campo_electrico

El campoeléctrico6

1 / Revisión histórica de losexperimentos precursoressobre la electricidad

2 / Ley de Coulomb3 / El campo eléctrico.

Intensidad de campo4 / Estudio del dipolo

eléctrico

5 / Energía potencial eléctrica.Potencial eléctrico

6 / Campo eléctrico uniforme7 / El teorema de Gauss8 / Capacidad de un conductor9 / Analogías y diferencias

entre los camposgravitatorio y eléctrico

BS_fisica2bac_LA_06 26/2/09 14:17 Página 174

1756/El campo eléctrico

Figura 6.1. El generador Van der Graafes una máquina de electrización porfrotamiento.

A partir del siglo XVI se iniciaron un conjunto de trabajos de investigación

que desarrollaron el incipiente conocimiento del mundo griego en los cam-

pos de la electricidad y el magnetismo. El alemán Otto von Guericke (1602-

1686) fue el primero que realizó experimentos precisos sobre atracciones y

repulsiones eléctricas. Asimismo, construyó la primera máquina de electrizar

por frotamiento. Los resultados de estos experimentos son bien conocidos:

� Si se suspende un cuerpo ligero (esferita de papel, algodón, etc.) de un

hilo de seda seco, y se le acerca una varilla de ebonita o azufre, previa-

mente frotada con una piel blanda, se observa:

• El cuerpo es atraído por la varilla.

• Después de que el cuerpo haya tocado la varilla, la atracción se convier-

te en repulsión.

� Si se pasa la mano por la bolita suspendida y se realiza el experimento

con una varilla de vidrio ocurren los mismos fenómenos.

� Finalmente, repitiendo el experimento, primero con la varilla de ebonita y

luego con la de vidrio (sin pasar previamente la mano por la bolita suspen-

dida), el cuerpo que ha sido tocado por la varilla de ebonita es repelido por

esta y atraído por la de vidrio, y viceversa.

Estos experimentos llevaron a la conclusión de que había dos clases de

electricidad (Georg Christoph Lichtensberg 1774-1799), que se llamaron,

según Franklin, positiva (la del vidrio) y negativa (la de la ebonita).

Durante mucho tiempo se consideró la electricidad como una sustancia, y se

hablaba de la cantidad de electricidad que poseía un cuerpo. Se definía, así,

la carga eléctrica de un cuerpo como la cantidad de electricidad que poseía.

Se afirmaba, también, que dos cuerpos poseían la misma cantidad de elec-

tricidad cuando al ser colocados en el mismo punto y bajo las mismas con-

diciones producían el mismo efecto en magnitud y dirección sobre otra car-

ga dada.

Un cuerpo cargado con cantidades iguales de electricidad positiva y nega-

tiva debería comportarse como un cuerpo descargado, si ambas cargas es-

taban distribuidas sobre el cuerpo de la misma manera. En tal caso se de-

cía que el cuerpo era eléctricamente neutro.

Figura 6.2. La varilla y el globo, cargados por frotamiento, atraen a la cuerda y a las moléculas de agua (dipolos eléctricos).

1/ Revisión histórica de los experimentosprecursores sobre la electricidad


176

Las experiencias mencionadas anteriormente permitieron establecer que:

� Dos cuerpos cargados experimentan entre sí fuerzas de atracción o de

repulsión.

� Si los cuerpos tienen cargas de signos distintos se atraen, mientras que

si sus cargas son del mismo signo se repelen.

Solo faltaba medir la intensidad de las fuerzas. El experimento lo llevó a

cabo el francés Charles Augustin de Coulomb (1736-1806) utilizando una

balanza de torsión (fig. 6.3) parecida a la de Cavendish.

El resultado de sus medidas puede expresarse como sigue:

Si |Q| y |Q’| son los valores absolutos de las cargas que tienen dos cuerpos

puntuales, separados por una distancia r, la fuerza de interacción F entre

ellas es:

[6.1]

El valor de la constante de proporcionalidad K depende del sistema de uni-

dades elegido y del medio material en el que se realiza el experimento. En

el Sistema Internacional de unidades la unidad de carga eléctrica se llama

culombio (C). Aunque inicialmente se consideró la carga eléctrica como

magnitud fundamental, la dificultad de establecer un patrón preciso para el

culombio (unida a la mayor facilidad para establecerlo para el amperio)

hizo que se eligiera la intensidad de corriente eléctrica como magnitud fun-

damental, definiéndose el culombio así:

Para el Sistema Internacional y en el vacío, el valor de la constante K es:

K = 9 · 109 N m2 C–2

Posteriormente, al desarrollarse los modelos atómicos, se llegó a la conclu-

sión de que la naturaleza de la carga eléctrica tenía que ver, simplemente,

con el exceso o defecto de electrones, de modo que, al atribuir al electrón

carga negativa, se concluía que un cuerpo estaba cargado negativamente

cuando contenía electrones en exceso, y positivamente en caso contrario.

Así se pudieron establecer dos propiedades fundamentales de la carga:

� La carga se conserva, es decir, no se crea ni se destruye, simple-

mente pasa de un cuerpo a otro con los electrones.

� La carga está cuantizada, es decir, la cantidad de carga de cual-

quier cuerpo cargado es siempre múltiplo de la carga del electrón:

|Q | = N |e|

|e | es el módulo de la carga del electrón (e = –1,602 · 10–19 C) y

N un número natural.

Un culombio es la cantidad de carga eléctrica que pasa, por segun-

do, a través de un conductor por el que circula una intensidad de

corriente de un amperio.

F KQ Q'

r=

| | | |2

La fuerza de atracción o repulsión ejercida mutuamente por dos

cuerpos puntuales cargados es directamente proporcional al produc-

to de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la dis-

tancia que las separa.

2/ Ley de Coulomb

En la Unidad 8 se definirá el amperioasí:

Un amperio es la intensidad de una corriente constante que, mantenida endos conductores paralelos, rectilíneos,de longitud infinita, de sección circulardespreciable y colocados a una dis-tancia de un metro el uno del otro, enel vacío, produce entre esos conduc-tores una fuerza igual a 2 · 10–7 N pormetro de longitud.

Las unidades de las magnitudes fí-sicas se organizan en sistemas deunidades. Algunas de ellas debendefinirse mediante un patrón (co-rresponden a las magnitudes lla-madas fundamentales). Otras sedefinen a partir de las primerasutilizando las leyes físicas (corres-ponden a las magnitudes que lla-mamos derivadas).

Recuerda

Figura 6.3. Esquema de la balanza detorsión utilizada por Coulomb.



➧ Dadas dos cargas eléctricas puntuales, positivas, iguales, situadas a una distancia r,calcula el valor que ha de tener una carga negativa, situada en el punto medio del seg-mento que definen las dos primeras, para que el sistema esté en equilibrio.

El sistema estará en equilibrio si la fuerza resultante sobre cada carga es cero. Tenien-do en cuenta la simetría del problema, bastará considerar una de las cargas positivas,por ejemplo, la carga 2 de la figura.

Observa que al ser iguales las cargas situadas en los puntos 1 y 2, la carga Q’ (situada enel punto medio de las otras dos) siempre estará en equilibrio. Sin embargo, las cargas si-tuadas en los puntos 1 y 2, en general, se moverán a menos que la carga Q’ tenga el va-lor adecuado para contrarrestar la fuerza que la carga situada en 2 hace sobre la situa-da en 1 en un caso, y la 1 sobre la 2 en el otro.

La fuerza con que la carga positiva 1 la repele es:

La fuerza con que la carga negativa 3 la atrae es:

Por tanto, para que la carga esté en equilibrio, F1,2 = F3,2. Por tanto:

de donde

Habitualmente, el valor de la constante K de la ley de Coulomb se expresa

en función de otras magnitudes que caracterizan mejor las propiedades de

los medios materiales: la permitividad dieléctrica del vacío (e0) y la permi-

tividad dieléctrica relativa, con relación al vacío, del medio material que es-

tamos considerando (er).

En función de estas magnitudes, la constante de Coulomb se expresa así en

el Sistema Internacional:

con e0 = 8,8542 · 10–12 C2 N–1 m–2 y er = 1 para el vacío.

Kr

=1

4 0pe e

| | = | | | | =| |

Q Q' Q'Q

44

→

KQr

KQ Q'

r| |

=| | | |2

2 24

F KQ Q'

rK

Q Q'r3,2 =

| | | |=

| | | |

2

42 2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

F KQr1,2

2

=| |

2

Ejemplo

Tabla 6.1. Algunos valores de la permi-tividad dieléctrica relativa (a 25 °C).

Medio er

Agua 78,5

Aire 1,0006

Benceno 2,3

Etanol 24,3

Porcelanas 6-8

PVC 4,5

Teflón 2,1

Vidrios (Pirex) 4-6

1

Q Q’ Q→F

3,2

3 2

→F

1,2

Figura 6.4.


178

Si en un punto del espacio se coloca un cuerpo cargado, en principio, no ocu-

rre nada. No obstante, si se coloca en sus proximidades otro cuerpo, tam-

bién cargado, ambos experimentan fuerzas que vienen descritas por la ley

de Coulomb (interacción electrostática). Parece que, por el hecho de colo-

car una carga en un punto del espacio, cambian las propiedades de su en-

torno, de modo que se experimentan los fenómenos descritos. Esto se ex-

presa a menudo diciendo que: una carga eléctrica situada en una cierta

región del espacio (fig. 6.5) perturba sus propiedades, de modo que cual-

quier otra, colocada en sus proximidades, experimenta una fuerza de repul-

sión o atracción, según sea del mismo o de distinto signo que la primera,

respectivamente. Se dice, pues, que una carga eléctrica crea a su alrededor

un campo eléctrico.

Dado que la interacción entre las cargas es de tipo vectorial (una fuerza),

para caracterizar el campo eléctrico se necesitará una magnitud vectorial:

el vector intensidad de campo E. La intensidad de campo en un punto se

define como un vector con las siguientes características:

Estos conceptos quedan reflejados en la expresión:

[6.2]

Como es natural, dada su definición, la unidad de intensidad de campo

eléctrico en el Sistema Internacional es N C–1.

De lo dicho anteriormente se deduce que, conocida la intensidad de campo

eléctrico (E) en un punto, la fuerza ejercida sobre una carga q, colocada en

él, puede calcularse con la expresión

De esta expresión se deduce que una carga positiva colocada en el seno de

un campo eléctrico experimenta una fuerza de la misma dirección y senti-

do que el campo, mientras que si la carga es negativa, la fuerza tiene la mis-

ma dirección pero sentido contrario al campo.

3/1 Campo creado por una carga puntual

Considérese una carga puntual Q situada, para simplificar, en el origen de

coordenadas de un sistema cartesiano. La expresión de la intensidad del

campo eléctrico creado por dicha carga en un punto P (fig. 6.6), definido por

el vector de posición r, es:

donde q es una carga puntual de prueba y ur es un vector unitario en la di-

rección y sentido de la fuerza.

Para definir un vector unitario ur en una dirección y sentido dados, basta to-

mar un vector cualquiera r con la dirección y sentido deseado y dividirlo

por su módulo.

EF

u= =q

KQr r2

F E= q

EF

=q

�Módulo: la fuerza ejercida por unidad de carga colocada en dicho

punto.

� Dirección: la de la línea de acción de la fuerza.

� Sentido: el de dicha fuerza.

3/ El campo eléctrico. Intensidad de campo

Figura 6.5. Si situamos la carga Q+ fijaen un punto del espacio, cualquier otraque coloquemos en sus proximidadesexperimentará una fuerza de atraccióno repulsión.

Q+

q–

Figura 6.6. Campo eléctrico creado poruna carga puntual positiva Q. Si la car-ga Q fuera negativa el campo iría ensentido contrario.

Q

P

q

→ur =

→r

r

→ur

→r

→E

→F

–→F



El culombio es una unidad dema-siado grande para las aplicacio-nes normales en la ciencia y la in-dustria. Por esta razón se suelenusar submúltiplos, como:

1 mC = 10–3 C (miliculombio)

1 mC = 10–6 C (microculombio)

1 nC = 10–9 C (nanoculombio)

1 pC = 10–12 C (picoculombio)

Recuerda

Por tanto, dado que:

la expresión de la intensidad de campo eléctrico es:

[6.3]

cuyo módulo es:

➧ Se tiene una carga de 10 mC en el origen de coordenadas.

a) Calcula la intensidad del campo eléctrico creado en el punto P (3, 4, 0).

b) ¿Cuál sería la intensidad del campo si la carga fuera de –10 mC?Nota: las coordenadas están medidas en metros.

a) La expresión de la intensidad del campo eléctrico creado por una carga puntual es:

Teniendo en cuenta que, según se observa en la figura 6.7.a,

cuyo módulo es:

b) Como en este caso la carga creadora del campo es negativa (fig. 6.7b),

cuyo módulo es . Es decir, se trata de uncampo con el mismo módulo y dirección pero de sentido contrario.

E = ( + – NC = NC–1 –− 2160 2880 36002 2) ( )

E i j i j= ·(–10) ·

( + ) =·

( + )9 1010

53 4

9 10125

3 496

3

4–

− == –− 2160 2880i j

E = + NC = NC–1 –12160 2880 36002 2

r i j

E i

= +

= m + m = m

= ·10 ·

( +

3 4

3 4 5

9 1010

53

2 2

96

3

r ( ) ( )–

449 10125

3 4 2160 28804

j i j i j) =·

( + ) = +

E r= KQr 3

Ejemplo

E KQr

=| |

2

E r= KQr 3

ur

r r=

Figura 6.7.

Q = 10 mC

z

Q = –10 mC

b z

y y

PP

x x

→r

→r

→E

→E

Observa que cargas iguales de sig-nos opuestos crean campos del mis-mo módulo y dirección, pero de sen-tidos opuestos.

a


180

3/2 Principio de superposición

El principio de superposición, que ya se ha visto para el campo gravitato-

rio, es válido para todas las magnitudes vectoriales. Sea un conjunto dis-

creto de cargas puntuales Q1, Q2, ..., Qn, situadas en puntos definidos por

los vectores de posición r1, r2, ..., rn, que crean, en la posición P definida por

el vector r, campos eléctricos de intensidades E1, E2, ..., En, respectiva-

mente.

La intensidad del campo total creado por el conjunto de dichas cargas es,

de acuerdo con el principio de superposición:

E = E1 + E2 + … + En [6.4]

es decir:

➧ Se tienen dos cargas puntuales, Q1 = 1 nC y Q2 = –1 nC, situadas en los puntos O y Ade coordenadas (0, 0) y (2, 0), respectivamente, expresadas en metros. Calcula la inten-sidad del campo eléctrico en el punto P (1, 1).

Dato: K = 9 · 109 N m2 C–2.

Las distancias de las cargas al punto en que ha de calcularse la intensidad de campo seobtienen fácilmente a partir de la expresión de la distancia entre dos puntos. De la figu-ra 6.9, se tiene que:

con lo cual

ya que los ángulos son a = b = 45°, de donde el campo resultante es, de acuerdo con elprincipio de superposición:

E = E1 + E2 = 4,5 i

cuyo módulo vale:E = |E| = 6,4 N C–1

Observa que el vector suma de otros dos es otro vector cuyas componentes son la sumaalgebraica de las componentes de los vectores sumando.

2

E E KQr

E E

2 11

12

1 1 1

4 5

4 52

= = = NC

= + =

–1,

cos sin,

E i ja a ii j

E i j i j

+

= – = –

4 52

4 52

4 522 2 2

,

cos sin, ,

E Eb b

r

r

12 2

22 2

0 1 0 2

1 2 1 0 2

= (1 – + ( – m = m

= ( – + ( – m = m

) )

) )

Ejemplo

La intensidad de campo eléctrico en un punto, debida a la acción de

dos o más cargas puntuales, es la suma (vectorial) de las intensida-

des de campo que, individual e independientemente, crean en dicho

punto cada una de las cargas.

Figura 6.8. Campo eléctrico creado poruna distribución de tres cargas puntua-les negativas.

E = E1 + E2 + E3

x

yO

P

z

Q3

Q1

Q2

Figura 6.9.

O

y

xQ1 Q2

P(1, 1)

A(2, 0)a b

→r

→r1

→r2

→r3

→r1

→r2

→E

→k

→i →

j

→E

→E1

→E1

→E2

→E2

→E3



3/3 Líneas de campo

Muchas veces interesa conocer no solo la intensidad del campo eléctrico en

un punto, sino tener una imagen de cómo es el campo en una cierta región

del espacio. Una forma de lograrlo es mediante el concepto de líneas de

campo o líneas de fuerza. Se definen como líneas imaginarias tangentes al

vector intensidad de campo en cada punto del espacio.

De este modo, el campo eléctrico puede representarse así:

En la figura 6.10 se muestran, como ejemplo, las líneas de campo creadas

por distintas distribuciones discretas de carga.

Dada una distribución de cargas eléctricas:

� Las líneas de campo nacen en las cargas eléctricas positivas (fuentes del

campo).

� Las líneas de campo terminan en las cargas eléctricas negativas (sumide-

ros del campo).

� El número de líneas de campo que salen o entran en una determinada

carga tiene que ser proporcional al valor de dicha carga, ya que, a igual-

dad de otras condiciones (distancia y medio material), el módulo de la in-

tensidad del campo eléctrico solo depende del valor de la carga.

� Si no existen cargas positivas (negativas) las líneas de campo empiezan

(terminan) en el infinito.

� Dos líneas de campo no pueden cortarse (fig. 6.11) porque, si lo hicie-

ran, en el punto de corte existirían dos valores para la intensidad del

campo eléctrico.

� Las líneas de campo no indican necesariamente trayectorias de partícu-

las cargadas que se mueven bajo la acción de las fuerzas del campo.

�Módulo: mediante el número de líneas de campo por unidad de

superficie colocada normalmente al campo (densidad de líneas de

campo).

� Dirección: la de la tangente a la línea de campo en cada punto.

� Sentido: mediante una flecha colocada en la línea de campo que

indique el sentido de la fuerza que ejercería sobre una carga posi-

tiva colocada en dicho punto.

Figura 6.11. Dos líneas de campo nopueden cortarse porque, en este caso,en el punto de corte habría dos valoresde la intensidad de campo (ese vectores tangente a las líneas de campo).

→E1

→E2

c

Figura 6.10. Líneas de campo creadas por distintas distribuciones de carga: a) carga puntual posi-tiva, b) carga puntual negativa y c) dos cargas eléctricas puntuales de signos opuestos.

ba


182

Se llama dipolo eléctrico (fig. 6.12) a una distribución discreta de cargas

eléctricas constituida por dos cargas iguales y opuestas +Q y –Q, separadas

por una distancia d, pequeña frente a la distancia de dichas cargas al pun-

to donde se estudia su efecto.

La magnitud característica de un dipolo eléctrico es su momento dipolar.

Esto es:

En la ecuación anterior, d es un vector cuya dirección es la de la recta que

une las cargas, su módulo la distancia entre ellas y su sentido el que va de

la negativa a la positiva. La unidad del momento dipolar eléctrico, en el Sis-

tema Internacional, es el C m.

4/1 Acción de un campo eléctrico sobre un dipoloSea un campo eléctrico cuya intensidad tenga el mismo valor en todos los

puntos (campo uniforme) en cuyo seno se coloca un dipolo eléctrico como

se muestra en la figura 6.13.

La acción del campo sobre el dipolo se manifestará por la aparición de sen-

das fuerzas sobre las cargas, de la misma dirección que el campo, y cuyos

sentidos serán: el del campo para la carga positiva y el contrario al campo

para la negativa, tal y como indica la figura 6.13. Esto fuerza al dipolo a

orientarse de una manera determinada con relación al campo.

El campo eléctrico ejerce sobre el dipolo un par de fuerzas cuyo momento

es:

M = d × F = d × (Q E) =

= Q d × E = p × E

El dipolo eléctrico tiene un enorme interés científico. Piénsese que muchas

moléculas, como la del agua, por ejemplo, son dipolos naturales. Este ca-

rácter dipolar la hace un disolvente ideal de sustancias iónicas como el

NaCl (sal común). La molécula de agua constituye un dipolo eléctrico,

pues el oxígeno, al ser más electronegativo que el hidrógeno, «tira» con

más fuerza de los pares de electrones compartidos en los enlaces covalen-

tes O-H.

Se llama momento dipolar eléctrico de un dipolo a un vector con las si-

guientes características:

� Dirección: la de la recta que une las cargas del dipolo.

� Sentido: el que va de la carga negativa a la positiva.

�Módulo: el producto del módulo de una de las cargas por la distan-

cia entre ellas.

4/ Estudio del dipolo eléctrico

Figura 6.12. Dipolo eléctrico (r >> d).

d

–Q

+Q

P

Figura 6.13. Un campo eléctrico unifor-me tiende a orientar el dipolo de modoque su momento dipolar p tenga la mis-ma dirección y sentido que el campo E.

→F = Q

→E

→F = –Q

→E

H

H

O

+

+

_

Figura 6.14. Diagrama de una molécula de agua.

+ _

Figura 6.15. El agua disuelve al NaCl.

H

H

O Na+ Cl–

→r

→p

→p

→E

p = Q d



4/2 Campo eléctrico creado por un dipolo

El estudio general del campo eléctrico creado por un dipolo es complicado.

Por ello, se analizarán los casos más sencillos.

Campo en un punto de la línea que une las cargasSea P un punto situado a distancia r de la carga positiva de un dipolo, so-

bre la recta que une las cargas, según se indica (fig. 6.16). Las cargas eléc-

tricas positiva Q y negativa –Q del dipolo crearán campos cuyas intensida-

des son:

donde up es un vector unitario en el sentido del momento dipolar eléctrico.

Los subíndices p y n de los vectores campo se refieren a la carga positiva y

negativa, respectivamente.

Aplicando ahora el principio de superposición para obtener el campo resul-

tante,

de donde, teniendo en cuenta que d << r, se obtiene

Campo creado en un punto de la perpendicular al dipolo trazada por el punto medioConsideremos ahora el punto P de la perpendicular al dipolo por su punto

medio (fig. 6.17). Las intensidades de los campos creados por las cargas

positiva y negativa del dipolo son, respectivamente:

por lo que la intensidad de campo resultante es:

pero teniendo en cuenta que rp = rn = r y que rp – rn = –d resulta:

Se observa, pues, que el campo en este punto es paralelo al momento di-

polar eléctrico p pero de sentido opuesto.

E r r dp

= ( – ) = =KQr

KQr

Krp n3 3 3

– –

E E E r r= + = –p np

pn

nKQr

KQr3 3

E r E rpp

p nn

nKQr

KQr

= = –3 3

E u p= =KQdr

rK

rp2 2

4 3

E E E u u= + = –( + )

=

=( + ) –

( + )

2

2

2

p n p pKQr

KQ

r d

KQr d rr r d

2

2

2

⎛⎝⎝⎜

⎞⎠⎟

u up pKQr d rd r

r r d

KQdd r

r r

=+ + –

( + )=

=+

( +

2

2

2 2

2

2

2

2dd p)2

u

E u

E u

p p

n p

KQr

KQ

r d

=

= –( + )2

2

Figura 6.16. Campo creado por un dipo-lo en un punto de la línea que une lascargas.

d

P

+Q

–Q

r

Figura 6.17. Campo creado por un dipo-lo en un punto sobre la perpendicular ala línea que une las cargas en su puntomedio. Obsérvese que:

d + rp = rn

y, por tanto,rp = rn – d

+Q

–Q

P

E

→p

→rn

→rp

→p

→E

→d

→Ep→

En


184

La relación entre el trabajo reali-zado por una fuerza conservativa yla energía potencial es:

W = –DEp

Recuerda

El campo eléctrico, como el campo gravitatorio, es un campo conservativo,

por lo que puede definirse también aquí una función energía potencial eléc-

trica y un potencial eléctrico.

Considérese una carga puntual Q, situada en el origen de coordenadas de

un sistema cartesiano. Colóquese, a continuación, una carga q, móvil, en

un punto P definido por el vector de posición r (fig. 6.18). Supóngase que

la partícula se desplaza desde el punto A al punto B siguiendo la trayecto-

ria L. El trabajo realizado por las fuerzas del campo será:

Se observa que el trabajo depende tan solo de las posiciones inicial y final,

y no de la trayectoria.

Por tanto, puede definirse una nueva función Ep, llamada energía potencial

eléctrica:

➧ Se tiene una carga positiva Q = 10 mC fija en el origen de coordenadas y se coloca otraidéntica a una distancia de 1 m. Calcula la velocidad de la segunda carga al pasar por unpunto situado a 2 m de la primera, sabiendo que cada carga tiene una masa de 9,0 g.

Por el teorema de conservación de la energía mecánica:

Ec (1) + Ep (1) = Ec (2) + Ep (2)

Sustituyendo se obtiene:

de donde, despejando v2 y teniendo en cuenta que v1 = 0, resulta:

vKQQm r r2

1 2

9

2 1 1

9 10 10 10

= – =

=2 · · N m C · ·2 –2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

–66 6

3

10 109 10

11

12

C · · C· kg

– = 10 m s–1–

– m m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

+ = +m v KQQr

m v KQQr1

2

122

2

12

Ejemplo

[6.5]

donde Ep, 0 es una constante arbitraria, con lo que

WA→B = Ep(A) – Ep(B)

W KQqr

KQq

r

r

r

r

r

r

A B

B B

B

→ = · d = · d =

=· d

A A

A

� �

�

F r r r

r r

3

rrKQq

r

KQqr

KQqr

r

r

r

r

3 2

1 1 1

=d

=

= =

A� B

A

B

– –A

r

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ rrB

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

5/ Energía potencial eléctrica. Potencial eléctrico

+

+

+

Figura 6.18. Trabajo realizado por lasfuerzas del campo eléctrico.

q

Q

P

B

A

→r + d

→r

Figura 6.19.

y

Q Q

1 m 2 mx

d→r→

r

→rA

→rB

→F

→F

E KQqr

kp = + 0

L



5/1 Potencial eléctrico

Para el caso de una carga puntual Q:

[6.6]

siendo V0 una constante arbitraria relacionada con EP, 0. En el caso de car-

gas puntuales, se suele considerar que el potencial que crea una carga a

una distancia infinita es nulo, de donde se deduce que V0 = 0.

Por tanto, para una carga puntual:

La unidad de potencial eléctrico será el JC–1 (julio por culombio), que reci-

be el nombre de voltio y se designa con la letra V.

Si se conoce el potencial en dos puntos A y B, se puede calcular fácilmen-

te el trabajo realizado al desplazar una carga q de uno a otro:

WA→B = Ep (A) – Ep (B) = qVA – qVB = q (VA – VB)

Por tanto, la diferencia de potencial entre dos puntos A y B es

[6.7]

de donde se puede deducir lo siguiente:

5/2 Superficies equipotenciales

Puede concebirse otro modo de representar gráficamente el campo a partir

del concepto de potencial. Basta definir superficie equipotencial (fig. 6.20)

como el lugar geométrico de los puntos en los que el potencial toma el

mismo valor.

Entre dos puntos de un campo eléctrico hay una diferencia de poten-

cial de un voltio si para transportar de uno a otro una carga de un cu-

lombio el trabajo realizado por el campo es de un julio.

V VW

qA BA B– = →

V KQr

=

VE

qK

Qr

Vp= = + 0

Se llama potencial (V) en un punto de un campo eléctrico a la ener-

gía potencial por unidad de carga.

+

Figura 6.20. Superficies equipotenciales del campo creado por: a) una carga puntual y b) unadistribución lineal, infinita y homogénea de carga.

La energía potencial de una cargapuntual q en un punto de un campoeléctrico en el que el potencial valeV es:

Ep = qV

En un día cualquiera y en una zonallana de la superficie de la Tierra (unazona desértica o el mar, por ejemplo)la variación del potencial eléctrico enla atmósfera es de unos 100 voltiospor metro y crece con la altura. Esdecir, si tomamos como referencia laTierra y establecemos que el poten-cial en la superficie vale cero, a unmetro de altura el potencial es de100 V, a dos metros, 200 V, etcétera.

Las superficies equipotenciales enuna zona plana de la Tierra son para-lelas a la superficie del planeta. Portanto, para ciertos problemas, pue-den considerarse planas, ya que laTierra tiene un radio muy grande.

+

+ba


186

De la definición de potencial se deducen inmediatamente varias caracterís-

ticas de interés:

� Cuando una carga se mueve sobre una superficie equipotencial no se

realiza trabajo, ya que la diferencia de energía potencial entre el punto

inicial y el final vale cero.

� La intensidad de campo eléctrico en un punto es perpendicular a la su-

perficie equipotencial que pasa por dicho punto. En efecto, si el trabajo

realizado al mover una carga sobre la superficie equipotencial vale cero,

significa que F y dr son perpendiculares (fig. 6.21), por lo que también lo

son E y dr. Así que, como dr está sobre la superficie, E debe ser perpen-

dicular a ella.

� La intensidad de campo eléctrico tiene el sentido de los potenciales decre-

cientes, ya que cuando una carga se mueve libremente bajo la acción del

campo lo hace siempre en el sentido en que su energía potencial dismi-

nuye. Este sentido, para una carga positiva, coincide con el del vector in-

tensidad de campo.

� Dos superficies equipotenciales no pueden cortarse. Si lo hicieran, en to-

dos los puntos de la línea de corte habría dos vectores intensidad de cam-

po eléctrico (fig. 6.22), cada uno perpendicular a una de las superficies,

lo cual no es posible.

5/3 Potencial creado por una distribución discretade cargas puntuales a

Como se deducirá en el apartado 6, la relación entre el potencial y la inten-

sidad de campo eléctrico es la dada por las expresiones:

dV = –E · dr V = –� E · dr

Supóngase un conjunto discreto de cargas puntuales Q1, Q2, ..., Qn, situa-

das en puntos definidos por los vectores de posición r1, r2, ..., rn, que crean,

en la posición definida por el vector r, los campos E1, E2, ..., En, respectiva-

mente. Sean V1, V2, ..., Vn, los potenciales respectivos. El potencial resultan-

te en P será:

V = –� E · dr = –� (E1 + E2 + ... + En) · dr =

= –�(E1 · dr + E2 · dr + ... + En · dr) =

= –�E1 · dr –� E2 · dr – ... –�En · dr = V1 + V2 + ... + Vn [6.8]

En general: V = �i

Vi

El potencial creado por una distribución discreta de cargas es la suma al-

gebraica de los potenciales debidos a cada carga individual e indepen-

dientemente considerada.

Los potenciales debidos a cada carga serán positivos o negativos según sea

positivo o negativo el signo de la carga correspondiente.

Si la distribución de carga fuera continua, la suma se transformaría en una in-

tegral extendida a toda la superficie que ocupa la distribución de carga.

Figura 6.21. Corte por un plano diame-tral de las superficies equipotencialesdel campo creado por una carga pun-tual positiva. Las líneas de campo sonperpendiculares a las superficies equi-potenciales.

Figura 6.22. Si las superficies equipo-tenciales se cortasen, en todos lospuntos de la línea de corte habría dosvectores campo distintos, lo cual es im-posible.

d→r

A

+

B

V1

V1

V2

V2

V1 > V2

→E1

→E2

→EA

→EB



El potencial creado en un puntopor una distribución discreta decargas es la suma algebraica delos potenciales debidos a cadauna de las cargas individual e in-dependientemente consideradas.

Recuerda

➧ Dadas dos cargas de valores 1 nC y –2 nC, situadas en los puntos A (0, 0, 0) y B (2, 0, 0),respectivamente, calcula:

a) El potencial en el punto C (1, 1, 1).

b) El potencial en el punto D (0, 1, 0).

c) El trabajo realizado por las fuerzas del campo al llevar una carga de 1 mC desde elprimer punto al segundo (las coordenadas están expresadas en metros).

Las distancias de los puntos C y D a las cargas son:

a) El potencial en C es:

b) El potencial en D es:

c) El trabajo realizado por las fuerzas del campo para llevar una carga de 1 mC desdeC hasta D será:

W = q [V (C) – V (D)] =

= 10–6 C (–5,2 V – 0,95 V) = – 6,2 · 10–6 J

El signo negativo del trabajo significa que para llevar la carga del primer punto al segun-do se ha realizado un trabajo venciendo las fuerzas del campo eléctrico.

V V' V' KQr'

KQr'

(D) = + = + =

= 9 ·10 N m C109 2 –2

–9

1 21

1

2

2

CCm

– 9 ·10 N m C2 ·10 C

m=

= 0,95 N m C = 0,95 V

9 2 –2–9

–1

1 5

V V V KQr

KQr

(C) = + = + =

= 9 ·10 N m C10 C

m–9 2 –2

–9

1 21

1

2

2

399 ·10 N m C

2 ·10 C

m=

= – 5,2 N m C = –5,2 V

9 2 –2–9

–1

3

AC = – + – + – m = m

BC = – + – + –

( ) ( ) ( )

( ) ( ) (

1 0 1 0 1 0 3

2 1 0 1 0

2 2 2

2 2 11 3

1

2 0 0 1 0 0 5

2

2 2 2

)

( ) ( ) ( )

m = m

DA = m

BD = – + – + – m = m

x

z

y

B(2, 0, 0)

C(1, 1, 1)

D(0, 1, 0)A(0, 0, 0)

Figura 6.23.

Ejemplo


188

5/4 Energía potencial de interacción electrostática

Un problema de gran interés es el de la energía que es necesario suminis-

trar a un cristal iónico, por ejemplo, un cristal de NaCl, para separarlo en

sus constituyentes fundamentales (Cl– y Na+), o la energía que hace falta

aportar a un átomo de hidrógeno para separar completamente su electrón

orbital y su protón nuclear. En general puede plantearse como el cálculo de

la energía potencial de interacción de un sistema de cargas eléctricas.

Considérese el cálculo de la energía potencial de interacción de un sistema

de cargas puntuales qi situadas en posiciones ri cuando i = 1, 2, ..., n. Si se

suman las energías potenciales de interacción de todos los pares de par-

tículas, se toma cada energía dos veces, es decir, la de la partícula i en el

campo de la j y la de la partícula j en el campo de la i. Por tanto, la energía

potencial de interacción de un sistema de cargas puntuales qi situadas en

posiciones ri cuando i = 1, 2, ..., n es:

Los símbolos de suma (Σ) de la expresión anterior significan que una vez

efectuada la suma en el índice j hay que efectuar la suma en el índice i para

todo i =/ j.

➧ Calcula la energía potencial de interacción electrostática del átomo de hidrógeno ensu estado fundamental.

Datos: carga del protón qp = 1,6 · 10–19 C; carga del electrón qe = –1,6 · 10–19 C; radio de laórbita del electrón en el estado fundamental r = 5,3 · 10–11 m; K = 9,0 · 10–9 N m2 C–2;1 eV = 1,6 · 10–19 J.

El átomo de hidrógeno está constituido por un protón y un electrón. Por tanto:

Esta energía es, aproximadamente, el doble de la llamada energía de ionización del áto-mo que corresponde a la energía mecánica total del electrón en su órbita EI = –13,6 eV.Recuerda que la energía cinética del electrón en su órbita (positiva) vale la mitad del va-lor absoluto de la energía potencial de interacción (negativa).

E Kq q

rpp e= = 9,0 ·10 N m C

·10 C) ·109 2 –2–19( , (– ,1 6 1 6 ––19

–11

–18

C)·10 m

=

= 4,3 ·10 J = –27 eV

5 3,

–

Ejemplo

E Kq qr

Kq qr

Kq qr

Kq qr

Kq

pn

n

= + + + + +11

2

1 2

12

1 3

13

1

1

2

21

... 22

23

1 1

1

2

qr

Kq q

rii j

n

j

n i j

ij

3 + =

=

...⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

∑ ∑=≠

=

La energía potencial de interacción entre dos cargas eléctricas qi y qj

situadas a una distancia rij es la energía potencial de una de ellas por

estar en el campo de la otra, es decir

E Kq q

rp iji j

ij, =

Iones cloruro (Cl–)

Iones sodio (Na+)

Figura 6.24. Cristal iónico de sal común.



Como se observa en la figura 6.25, en un campo eléctrico uniforme:

� Sus líneas de fuerza (o de campo) son rectas paralelas equiespaciadas.

� Sus superficies equipotenciales son planos perpendiculares a la dirección

del vector intensidad de campo.

6/1 Relación entre intensidad de campo eléctrico y potencial

De la relación entre el trabajo que realizan las fuerzas de un campo eléctri-

co cuando se traslada una carga q desde un punto A a otro B y la diferen-

cia de potencial eléctrico entre dichos puntos [6.7], se tiene que:

pero teniendo en cuenta que

resulta que:

[6.9]

Esta expresión confirma que el sentido del vector intensidad de campo es

el de los potenciales decrecientes.

Considérese el caso particular del campo eléctrico uniforme de la figu-

ra 6.26 y una carga q que, colocada en el punto P de la superficie equi-

potencial en la que el potencial vale V, experimenta un desplazamiento in-

finitesimal dr, pasando al punto P’ de una superficie equipotencial en la que

el potencial vale V + dV. La variación del potencial es:

dV = –E dr cos a

de donde

Se observa que el módulo del campo eléctrico es igual a la máxima varia-

ción del potencial por unidad de longitud cambiada de signo (nótese que

dV < 0), puesto que dx es la menor distancia entre P y la superficie equipo-

tencial sobre la que se encuentra P’. Si se trata de un desplazamiento fini-

to entre dos puntos A y B, cuyas coordenadas son xA y xB, respectivamente:

es decir:

DV = –EDx

� �r

r

x

x

V E x xA A

d = · d = ( )B A

B B

– –E x

EV

rVx

= –d

d= –

d

dcos a

d = – · dV E r

�r

r

V V VA

d = –B A

B

V VW

q qr

r

r

r

A BA B–

B B

= = · d = · dA A

→ � �Fr E r

Se dice que un campo eléctrico es uniforme cuando su intensidad

tiene el mismo módulo, dirección y sentido en todos los puntos.

6/ Campo eléctrico uniforme

Figura 6.25. Corte, por un plano, de laslíneas de campo y superficies equipo-tenciales en un campo eléctrico unifor-me. Las placas y superficies equipoten-ciales son planos perpendiculares alplano del papel.

Figura 6.26. Relación entre el campo yel potencial.

V V + dV

P’

aP

dxq

d→r

→E

→E

Un caso real de campo eléctrico uni-forme es el de un condensador planoen su zona central, es decir, lejos delos bordes.


190

El potencial en las proximidadesde la tierra varía con la altura apro-ximadamente 100 Vm–1, es decir, sise toma la vertical como eje OZ:

Por tanto,

E k k= –dd

= –(100 V m )–1Vz

dd

= V m–1Vz

100

Recuerda

Teniendo en cuenta que el campo eléctrico es un vector y que el potencial

es un escalar:

y definiendo un nuevo vector, llamado gradiente del potencial y represen-

tado por grad V:

Se puede concluir que:

[6.10]

Este resultado es válido para el caso general, pero su demostración mate-

mática es mucho más compleja.

El vector gradiente puede definirse de una manera general como un vector

con las siguientes características:

� Módulo: la máxima variación del potencial por unidad de longitud.

� Dirección: la de la perpendicular a las superficies equipotenciales, que

coincide con la de máxima variación del potencial por unidad de longitud.

� Sentido: el de los potenciales crecientes.

Teniendo en cuenta que el campo va en el sentido de los potenciales decre-

cientes, tiene sentido contrario al vector gradiente, como queda de mani-

fiesto en la expresión anterior.

➧ Calcula la energía potencial eléctrica de una molécula de agua (fig. 6.27) en un cam-po eléctrico uniforme de 102 N C–1.

Dato: momento dipolar eléctrico de una molécula de agua, p = 6,1 · 10–30 C m.

La energía potencial del dipolo será la suma de las energías potenciales debidas a suscargas positiva y negativa.

Ep = qpVp + qnVn

qp y qn son los valores de las cargas positiva y negativa del dipolo y Vp y Vn son los valo-res del potencial en las posiciones de las respectivas cargas.

Ahora bien, qn = –qp por tanto:Ep = qpVp – qpVn = qp (Vp – Vn)

teniendo en cuenta ahora que, de acuerdo con la figura 6.27,

en la que d es la longitud del dipolo, resulta para una molécula

Ep = –p E = – 6,1 · 10–30 · 102 J = – 6,1 · 10–28 J

Como término de comparación, piénsese que el cálculo de la energía de interacción di-polar eléctrica entre dos moléculas de agua da un valor de 2,22 · 10–20 J, es decir 108 ve-ces mayor.

EV V

dp n= –

–⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Ejemplos

E = –grad V

grad = –d

dV

Vx

i

E i= –d

d

Vx

Observa que la intensidad de campoeléctrico se puede dar también enV m–1. Por tanto, V m–1 y N C–1, sonunidades equivalentes:

Vm

=

JCm

=N · mC · m

=NC

Figura 6.27.

qn qp

Vn Vpd

→E

→P



➧ Una distribución de carga desconocida crea un campo eléctrico. Se sabe que:

• Las superficies equipotenciales son planas y verticales.

• El potencial varía linealmente con la distancia según la expresión

V = 2 · 105 x

en la que el potencial está medido en voltios y la distancia x en metros. Se ha toma-do el eje X perpendicular a las superficies equipotenciales.

Contesta a las siguientes preguntas:

a) ¿Cómo es el campo?

b) ¿Cuál es el valor de la intensidad del campo?

Según se deduce de la expresión del potencial, las superficies equipotenciales son pla-nos paralelos al plano YZ.

Teniendo en cuenta que la intensidad de campo se puede expresar en función del poten-cial de la forma E = –grad V, y que, para el caso unidimensional,

resulta:E = –2 · 105 i (N C–1)

Se deduce que:

a) El campo es uniforme y dirigido en el sentido negativo del eje OX.

b) El valor de la intensidad de campo es de 2 · 105 N C–1.

6/2 Movimiento de una carga en un campo eléctricouniforme. Osciloscopios a

El movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos es de gran in-

terés tecnológico y científico. Piénsese, por ejemplo, en aplicaciones tan co-

nocidas como los osciloscopios o los aceleradores de partículas.

Partícula en reposo en un campo eléctrico uniformeSea una partícula de masa m y carga q en reposo en un campo eléctrico

uniforme E (fig. 6.28). Por tanto, sobre ella actúa una fuerza constante de-

bida al campo:

F = q E

que le comunica un movimiento uniformemente acelerado:

La componente de la aceleración en la dirección del campo es:

aqm

E=

am

qm

= =F

E

grad =dd

= 2 ·10 (V m )5 –1VVx

i i

Figura 6.28. Movimiento de una partícu-la cargada en un campo eléctrico uni-forme. Las cargas positivas (q > 0) semueven en el sentido del campo. Lascargas negativas (q < 0) se mueven enel sentido contrario al campo.

x

z

→E

→F = q

→E

→F = q

→E


192

En la anterior ecuación, a > 0 si q > 0 y a < 0 si q < 0 (con esta formulación

se considera que al sustituir q por su valor, en problemas concretos, se

debe sustituir con su signo).

La componente correspondiente de la velocidad es:

y su posición, suponiendo que para t = 0, z = 0, resulta:

Partícula lanzada en dirección perpendiculara un campo eléctrico uniformeSea una partícula que se lanzó con velocidad v0 en una dirección perpen-

dicular a un campo eléctrico uniforme (fig. 6.29). Considérese, además, que

la posición inicial de la partícula es z = z0.

Al entrar en el campo, la partícula experimenta la acción de la fuerza F = qE,

debida al campo, por lo que su movimiento a lo largo del eje X es unifor-

me. La fuerza F le comunica una aceleración constante en la dirección del

campo (eje Z) de valor:

donde az > 0 si q > 0 y az > 0 si q > 0.

Naturalmente, dada su pequeña influencia, en la práctica no se tiene en

cuenta el peso.

Por tanto, las componentes de su velocidad son:

La posición de la partícula en el instante t es:

Obsérvese que, si se trata de un campo eléctrico oscilante, de tipo armóni-

co, E = E0 cos (wt + �), el movimiento de la partícula es vibratorio armónico

simple, siendo las ecuaciones correspondientes:

vqEm

t zqEm

tz = =2

0 0

ww

wwsin ( ) – cos ( )+ +� �

x v t z z a t zqm

Etz= = +1

2= +

1

20 0

2

0

2

v v v a tqm

Etx z z= = =0

aqm

Ez =

z

z0

x

q

q

L+

L–

v0–

+

F=qE→

→

→

F=qE→ →

v0

→

Figura 6.29. Si la carga es positiva, se moverá según la trayectoria L+; si es negativa, según la L –.

z atqm

Et= =1

2

1

2

2 2

v atqm

Et= =

Multitud de dispositivos electrónicos,tanto en productos de consumo (tele-visión) como instrumentos científicoso de aplicación industrial (oscilosco-pio, fig. 6.30), están basados en eltubo de rayos catódicos. Se trata deun tubo en el que se ha hecho el va-cío. En uno de sus extremos posee uncañón de electrones (filamento que,al calentarse, emite las citadas partí-culas, que se separan de él al some-terlas a un potencial acelerador).Estos, al incidir sobre una pantallacatodoluminiscente, provocan la apa-rición de un punto luminoso.

Si se somete el haz de electrones a laacción de un campo eléctrico per-pendicular a su eje, se desvía en esadirección (se puede conseguir unefecto similar con un campo magné-tico). El movimiento que experimentedependerá del campo. Así, si el cam-po varía sinusoidalmente, también lohará el haz.

Finalmente, sometiendo el haz a la ac-ción de dos campos variables perpen-diculares al mismo y perpendicularesentre sí, el punto luminoso se muevepor la pantalla según se desee.

Figura 6.30. Osciloscopio de rayos cató-dicos.



Hasta ahora se han estudiado campos vectoriales creados por distribucio-

nes discretas de masa o carga; pero, ¿qué ocurre cuando la distribución de

estas magnitudes es continua? Por ejemplo, ¿cómo calcular el campo eléc-

trico en el interior de una nube cargada, o el campo gravitatorio creado por

una distribución continua de masa que no tenga simetría esférica?

Estos problemas podrían abordarse empleando los recursos del cálculo di-

ferencial e integral, pero sería muy elaborado y, en muchos casos, inabor-

dable. Cuando la distribución de masa o carga tiene algún tipo de simetría,

el problema puede resolverse con relativa facilidad empleando el teorema

de Gauss.

Este teorema puede establecerse con toda generalidad en el marco de la

teoría general de campos; no obstante, como se requieren conocimientos

superiores de cálculo, se deducirá aquí de un modo fenomenológico y se

supondrá que tiene validez general, aun cuando no se demuestre. A con-

tinuación, se aplicará al cálculo de campos eléctricos creados por algunas

distribuciones de carga.

7/1 Conceptos previos

Vector que caracteriza una superficie elemental

Toda superficie elemental dS se caracteriza, para su empleo en el cálculo

vectorial, por un vector dS, cuyas características son:

El área de una superficie finita se calcula sumando las áreas de todas las

superficies elementales:

Si la superficie es cerrada, se indica como sigue:

Flujo de un vector a través de una superficie

Dado un campo vectorial de intensidad E, representado en la figura 6.31

por sus líneas de campo, y una superficie elemental dS caracterizada por el

vector dS, se llama flujo elemental del campo a través de dicha superficie

al producto escalar:

dF = E · dS = E dS cos a = E dSn

es decir:

El flujo es el producto del módulo de la intensidad de campo por la

proyección de la superficie sobre el plano normal a la dirección del

mismo.

S SS

= d�

S SS

= d�

�Módulo: es el área de la superficie.

� Dirección: la de la perpendicular a la superficie.

� Sentido: arbitrario, pero fijo, si la superficie es plana; si no es pla-

na, va dirigido de la zona cóncava a la convexa.

7/ El teorema de Gauss

Figura 6.31.

→E

→S

a


194

Si se tiene en cuenta que el módulo del vector intensidad de campo se re-

presenta por la densidad de líneas de campo, es decir, por el número de lí-

neas de campo por unidad de superficie colocada normalmente al mismo,

se concluye que:

Si la superficie es finita (fig. 6.32), se divide en trozos infinitesimales dS y,

se calcula el flujo mediante la integral extendida a toda la superficie:

Si la superficie es cerrada, se indica así:

7/2 Teorema de Gauss para el campo eléctrico

Supóngase una carga puntual Q en el origen de coordenadas rodeada de

una esfera imaginaria, de radio r (superficie de Gauss). El flujo del campo

eléctrico a través de la misma es:

Este resultado (teorema de Gauss) se admite con validez general.

Por tanto, dada una distribución cualquiera de carga, el flujo del campo

creado por ella a través de cualquier superficie cerrada que contenga una

carga Q vale:

[6.11]

En función de la constante K de Coulomb queda:

El teorema de Gauss puede enunciarse así:

El cálculo del campo eléctrico aplicando el teorema de Gauss, es sencillo si:

� La distribución de carga tiene simetría.

� Se puede elegir una superficie de Gauss en los puntos de la cual la expre-

sión E · dS sea sencilla, por ejemplo, que esté compuesta de superficies

que bien sean paralelas o bien perpendiculares a las líneas de campo.

El flujo del campo eléctrico creado por una distribución cualquiera de

carga, a través de una superficie cerrada, se calcula dividiendo la car-

ga limitada por dicha superficie por la permitividad dieléctrica del

medio.

F p= d =�S

KQE S· 4

Fe e

= d =�S r

QE S·

0

F

p

= d = d = d =

= d =1

4

� � �

�S S S

S

KQr r

KQr

S

KQr

S

E Sr

S· ·2 2

2 ee ep

e er r

Qr

rQ

0

2

2

0

4 =

F = d�S

E S·

F = d�S

E S·

El flujo elemental representa el número de líneas de campo que atra-

viesan dSn y, por tanto, dS.

Figura 6.32.

Figura 6.33. Teorema de Gauss para elcampo eléctrico. La superficie deGauss se elige de modo que la integraldel flujo sea fácil de calcular. Esto im-plica que la superficie sea, en cadapunto, paralela o perpendicular al cam-po. En esta figura se supone Q < 0.

La superficie S de una esfera deradio r es:

S = 4pr2

Recuerda

→r

z

→E

x

Q

y

→E

d→S

d→S

d→S



7/3 Aplicaciones a distribuciones con simetría simple

Campo eléctrico creado por un hilo rectilíneo indefinidouniformemente cargado Considérese un hilo rectilíneo, indefinido, uniformemente cargado con una

densidad lineal de carga l > 0. Se define la densidad lineal de carga l (su uni-

dad en el SI es el C m–1) como la carga por unidad de longitud:

En el caso de una distribución uniforme (l = cte), si en una longitud L hay

una carga Q,

Por simetría, el vector intensidad de campo ha de ser, en todos los puntos,

perpendicular a la distribución de carga. Por tanto, para calcular la intensi-

dad de campo en un punto situado a distancia r del hilo cargado, se puede

tomar como superficie de Gauss un cilindro, de longitud finita l, y radio r,

que pase por el punto en cuestión y tal que el hilo cargado sea el eje de si-

metría del cilindro (fig. 6.34).

El flujo a través de la superficie de Gauss es, si se llama SL a la superficie

lateral del cilindro y BI y BS a las áreas de las bases inferior y superior, res-

pectivamente:

ya que en todos los puntos de las bases la intensidad de campo y el vector

característico de la superficie son perpendiculares, por lo que su producto

escalar vale cero.

En todos los puntos de la superficie lateral E y dS son paralelos, por tanto:

E · d S = E dS

de donde,

ya que, por simetría, el módulo de la intensidad de campo es el mismo en

todos los puntos de la superficie lateral.

Si se aplica ahora el teorema de Gauss, teniendo en cuenta que la carga Q

encerrada en la superficie gaussiana es Q = ll:

que, comparada con el resultado anterior, da:

de donde

[6.12]Err

=1

2pe e

l

0

Er

2 r =pl

e el

l

0

Fe e

l

e e= =

Q

r r0 0

l

F p= d = =�SL

E S ES E r2 l

F = d = d + d + d = d� � � � �S S B B SL I S L

E S E S E S E S E S· · · · ·

l =QL

l =d

d

Ql

Figura 6.34. Campo creado por un hilo,rectilíneo e indefinido, uniformementecargado, con carga positiva.

l

→E

→E

→E

d→S

d→S

E es el módulo de la intensidad delcampo creado por un hilo rectilíneo,indefinido, uniformemente cargadocon una densidad lineal de carga del C m–1, a una distancia r del mismo.


196

Campo eléctrico creado por un plano indefinidouniformemente cargadoEste problema tiene un gran interés por su aplicación inmediata a los con-

densadores.

Considérese un plano indefinido, uniformemente cargado con una densi-

dad superficial de carga s > 0.

Se define la densidad superficial de carga (su unidad es el C m–2) como la

carga por unidad de superficie:

En el caso de una distribución uniforme de carga (s = cte), si en una super-

ficie S hay una carga Q:

Para calcular E en un punto situado a distancia r de la distribución plana de

carga, se puede tomar como superficie de Gauss un cilindro, de radio fini-

to y de altura 2r, que pase por el punto en cuestión y tal que el plano de car-

ga sea un plano de simetría del cilindro, paralelo a sus bases (fig. 6.35).

El flujo a través de la superficie de Gauss es, si se llama SL a la superficie

lateral del cilindro y BI y BS a las áreas de las bases inferior y superior, res-

pectivamente:

ya que en todos los puntos de la superficie lateral (SL), el campo y el vector

característico de la superficie son perpendiculares, por lo que su producto

escalar vale cero.

Dado que el vector intensidad de campo en los puntos de las bases y los

vectores que caracterizan la superficie de las mismas son paralelos, resul-

ta que, en ambas bases:

E · d S = E dS

Por tanto,

Puesto que, por simetría, el módulo de la intensidad de campo es el mismo

en todos los puntos de las dos bases (el subíndice B de la integral se refie-

re al área de cualquiera de las bases de la superficie de Gauss).

Si se aplica ahora el teorema de Gauss, teniendo en cuenta que la carga en-

cerrada en la superficie gaussiana es Q = sS:

que, comparada con el resultado anterior, da:

de donde

[6.13]Er

=2

s

e e0

20

ESS

r

=s

e e

Fe e

s

e e= =

Q S

r r0 0

F = 2 d =�BE S ES2

F = d = d + d + d = d +� � � � � �S S B B B BL I S I

E S E S E S E S E S· · · · ·SS

E S· d

s =QS

s =d

d

QS

Un condensador plano está formadopor dos conductores planos paralelosy situados a una distancia muy pe-queña el uno del otro. De este modo,desde cualquier punto del interior delcondensador (se exceptúan, natural-mente, los puntos próximos a los bor-des), las placas conductoras se vencomo infinitas.

Figura 6.35. Campo creado por un planoindefinido, uniformemente cargado.

r

r

s

→E

→E

→E

d→S

d→S

d→S



El volumen V de una esfera de ra-dio r es:

Recuerda

Figura 6.36. Campo eléctrico en el exte-rior de una distribución esférica y ho-mogénea de carga. Se muestra el cortepor un plano diametral. La carga es po-sitiva.

Campo creado por una distribución esférica y uniforme de carga Sea una esfera de radio R, uniformemente cargada con densidad de carga

, donde Q es la carga total y V el volumen de la esfera.

Se define la densidad cúbica de carga como la carga por unidad de volumen:

Su unidad en el SI es C m–3.

Se distinguen dos casos:

� Campo en un punto exterior.

Considérese un punto P (fig. 6.36), situado en el exterior de la distribu-

ción de carga, a distancia r > R de su centro. Para calcular la intensidad

de campo eléctrico, se toma, como superficie de Gauss, una esfera, de

radio r, con centro en el centro de la esfera cargada. En este caso, toda

la carga de la distribución está dentro de la superficie de Gauss, por lo

que la aplicación del teorema da:

Por simetría, el módulo de la intensidad de campo toma el mismo valor

en todos los puntos de la superficie de Gauss. Además, E y dS son para-

lelos, ya que el vector intensidad de campo es perpendicular a la super-

ficie. Se tiene entonces que:

resultado que, sustituido en la expresión anterior, permite obtener

[6.14]

Es decir, que para puntos exteriores, esta distribución de carga se com-

porta como una carga puntual Q, colocada en el centro de la esfera.

� Campo en un punto interior.

Sea el punto P (fig. 6.37), situado en el interior de la distribución de car-

ga, a distancia r < R del centro. Para calcular la intensidad de campo eléc-

trico, se toma, de nuevo, como superficie de Gauss, una esfera de radio

r con centro en el centro de la esfera cargada. En este caso, la superficie

de Gauss solamente contiene la cantidad de carga (QG) correspondiente

a su propio volumen (VG), es decir:

[6.15]

Al aplicar el teorema de Gauss, se obtiene:

Por simetría, el módulo de la intensidad de campo toma el mismo valor en

todos los puntos de la superficie de Gauss. Además, E y d S son paralelos,

ya que el vector intensidad de campo es perpendicular a la superficie.

Fe e

= d =�S

G

r

QE S·

0

Q V rG G= =r r p4

3

3

EQrr

=1

4pe e0

2

�E S· d = =ES E r4 2p

Fe e

= d =�S r

QE S·

0

r =d

d

QV

r =QV

P

r

R

Figura 6.37. Campo eléctrico en el inte-rior de una distribución esférica de car-ga. Se muestra un corte por un planodiametral. La carga es positiva.

Pr

V r=43

3p

→E

→E

d→S

d→S


198

Por ello, se tiene que:

resultado que, sustituido en la expresión anterior, permite obtener:

y teniendo en cuenta [6.15], resulta

[6.16]

Comparando las expresiones de la intensidad de campo en el interior y en

el exterior de la esfera, se observa que, en el interior, crece linealmente con

el radio y alcanza un máximo en la superficie de la distribución de carga. A

continuación, decrece cuadráticamente con la distancia al centro. Este com-

portamiento es similar al del campo gravitatorio terrestre, según se estudió

en la Unidad 5.

Se observa también que la intensidad de campo depende de las caracterís-

ticas del medio material a través de la permitividad dieléctrica relativa er.

Si en lugar de tratarse de una esfera maciza, fuese hueca, con la carga ho-

mogéneamente distribuida, el campo en el interior de la zona hueca sería

cero, al ser nula la densidad de carga en todos los puntos del interior de di-

cha zona.

➧ Se tiene un conductor esférico hueco de 1 m de radio, cargado con 2 mC. Si la distribu-ción de carga superficial es uniforme, calcula la intensidad de campo eléctrico:

a) En un punto interior.

b) En un punto de la superficie.

c) En un punto exterior al conductor a 3 m del centro.

Tomando como superficie de Gauss para cado uno de los casos sendas esferas con cen-tro en O y que pasen, respectivamente, por los puntos A, B y C. Se tiene que, por sime-tría, la intensidad del campo eléctrico E, si no es cero, es paralela al vector d S y vale lomismo en todos los puntos de la correspondiente superficie de Gauss. Por tanto:

a) En este caso, como toda la carga está en la superficie:

E 4pr2A = 0 → E = 0

b) En el segundo caso: r = rB = R. Por tanto:

c) En el tercer caso: r = rC = 3R. Por tanto:

E RQ

EQRr r

4 (3 ) = =4

pe e pe e

2

0 02

19

→

E RQ

EQRr r

4 = =4

pe e pe e

2

0 02

1→

�S

E rE S· d = 24p

Ejemplo

E rr

=1

3 0

r

e e

EQrr

G=1

4pe e0

2

�E S· d = =ES E r4 2pEl hecho de que el campo en el inte-rior de un conductor en equilibrio seanulo implica que, si un conductor estáhueco, la cavidad interior queda«apantallada» de los campos eléctri-cos externos. Esto permite aislar deinfluencias eléctricas externas cier-tos dispositivos experimentales (jaulade Faraday) o proteger las señaleseléctricas que viajan por un cable(cables coaxiales).

En el caso de un conductor esféricocargado, en equilibrio, la carga sedistribuye uniformemente en la su-perficie de la esfera. Al aplicar el teo-rema de Gauss, se obtiene que:

■ La intensidad de campo en el inte-rior es E = 0.

■ La intensidad de campo en unpunto exterior es:

EQrr

=1

4pe e02

Figura 6.38.

A

B

C

RARB

RC

O



El campo en el exterior de un con-ductor esférico cargado, de radioR vale:

Por tanto, suponiendo que el po-tencial vale cero en el infinito, elpotencial del conductor es:

y su capacidad:

CQV

Rr= = 4pe e0

VQrr

=1

4pe e0

E =1

4pe er

Qr0

3r

Recuerda

Según se ha visto, la intensidad de campo eléctrico en el interior de un con-

ductor cargado, en equilibrio, vale cero, esto es, E = 0. Recordando la rela-

ción entre la intensidad de campo y el potencial (dV = –E · dr), resulta que

dV = 0, es decir:

V = constante

Por tanto:

Se puede demostrar (véase cuadro al margen) que, a medida que aumenta-

mos la carga del conductor, su potencial aumenta. Esta relación permite de-

finir una magnitud de gran interés, la capacidad eléctrica C del conductor.

La unidad de capacidad en el Sistema Internacional recibe el nombre de fa-

radio y se define como la capacidad de un conductor en equilibrio que al-

macena una carga de un culombio cuando su potencial es de un voltio.

➧ Dos conductores esféricos de radios 5 cm y 10 cm, cargados con cargas de 1 mC y5 mC, respectivamente, se unen por un hilo conductor delgado. Calcula el estado final decarga del sistema.

El conjunto de los dos conductores esféricos y el hilo que los une forma un único conduc-tor. Por tanto, en la situación final de equilibrio, las dos esferas han de estar al mismo po-tencial. Teniendo en cuenta la expresión para el potencial de un conductor esférico car-gado, resulta:

de donde,

Por tanto,

y como, por otro lado, Q1 + Q2 = 6 mC

se tiene Q1 = 2 mC y Q2 = 4 mC.

Al conectar ambas esferas mediante un hilo conductor, la carga pasa por él desde la es-fera de mayor potencial a la de menor potencial. Esta corriente circula hasta que se igua-lan los potenciales.

Q QQ Q1 2

1 25 10 10 10· ·–2 –2= , es decir, 2 =

QR

QR

1

1

2

2

=

1 1

0

1

1 0

2

24=

4pe e pe er r

QR

QR

Ejemplo

Se llama capacidad del conductor a la cantidad de carga que es ca-

paz de almacenar por unidad de potencial, es decir

[6.17]

Un conductor cargado, en equilibrio, es un volumen equipotencial, o

lo que es lo mismo, el potencial en todos los puntos del conductor

tiene el mismo valor.

8/ Capacidad de un conductor

En un conductor cargado, en equi-librio:

Einterior = 0

V = constante

Recuerda

CQV

=


200

Se han estudiado, hasta el momento, dos campos vectoriales de primordial

importancia, el gravitatorio y el eléctrico. Conviene establecer lo que tienen

de común y en qué se diferencian, para ampliar el punto de vista sobre los

campos en general:

� Entre el campo gravitatorio y el eléctrico existen las siguientes analogías:

• Los campos gravitatorio y eléctrico son conservativos.

• Las líneas de fuerza de los campos gravitatorio y eléctrico son abiertas,

es decir, empiezan en algún punto (fuentes del campo o el infinito) y ter-

minan en algún otro (sumideros del campo o el infinito).

• En los campos conservativos, como el gravitatorio o el eléctrico, se pue-

de definir una función escalar (potencial) y, a partir de ella, construir su-

perficies equipotenciales. Las líneas de campo son perpendiculares a las

superficies equipotenciales.

• La intensidad de campo es igual al gradiente del potencial, cambiado de

signo.

• La circulación del vector intensidad de campo a lo largo de una trayec-

toria cualquiera entre dos puntos depende solo de los puntos inicial y

final y es independiente de la trayectoria.

• La circulación del vector intensidad de campo a lo largo de una línea

cerrada vale cero.

• La fuerzas debidas a los campos gravitatorio y eléctrico son centrales.

• Las fuerzas gravitatorias y eléctricas tienen siempre la dirección del vec-

tor intensidad de campo.

� Entre el campo gravitatorio y el eléctrico, a pesar de sus analogías, exis-

ten también importantes diferencias:

• El campo gravitatorio no tiene fuentes. Sus líneas de campo siempre

empiezan en el infinito. El eléctrico, por el contrario, puede tener fuen-

tes (las cargas positivas) y sumideros (las negativas).

• Las fuerzas debidas al campo gravitatorio son siempre de atracción,

mientras que las debidas al campo eléctrico pueden ser tanto de atrac-

ción como de repulsión.

• Un punto material solo crea campos gravitatorios, tanto si está en repo-

so como en movimiento. Una carga eléctrica, por el contrario, crea un

campo eléctrico si está en reposo y, como se estudiará en la unidad si-

guiente, un campo eléctrico y otro magnético si está en movimiento.

• Todo cuerpo material crea un campo gravitatorio. Para crear un campo

eléctrico hace falta, además, que el cuerpo esté cargado.

• Una partícula en reposo, abandonada a la acción del campo gravitato-

rio, se mueve siempre en la dirección y sentido del vector intensidad de

campo. Sin embargo, una carga, en reposo y abandonada a la acción de

un campo eléctrico, lo hace en la dirección del vector intensidad de cam-

po, pero su sentido de movimiento es el de dicho vector si la carga es

positiva y el contrario si la carga es negativa.

• Un campo eléctrico se puede apantallar, mientras que el gravitatorio no.

Es decir, ningún cuerpo material puede eliminar la acción de un campo

gravitatorio encerrándose en ningún tipo de recinto. En cambio, un

cuerpo cargado, puede protegerse de un campo eléctrico si se encierra

en una jaula de Faraday.

9/ Analogías y diferencias entre los camposgravitatorio y eléctrico

Figura 6.39. Líneas de intensidad decampo entre dos placas uniformementecargadas. No se ven exactamente rec-tas porque las placas no son infinitas y,dada la separación entre ellas, la in-fluencia de los bordes es muy notable.


/ Resumen� Carga eléctrica

• La carga se conserva.

• La carga está cuantizada, es decir: |Q | = N |e |,

donde |e | representa el valor absoluto de la

carga del electrón (e = –1,602 · 10–19 C) y N un

número natural.

• Dipolo eléctrico: es un conjunto de dos cargas

eléctricas, iguales y opuestas +Q y –Q, sepa-

radas por una distancia d, pequeña frente a la

distancia de dichas cargas al punto donde se

estudia su efecto. La magnitud

p = Q d

se llama momento dipolar.

� Campo y potencial

• Ley de Coulomb: la fuerza de atracción o re-

pulsión ejercida entre dos cargas puntuales

es directamente proporcional al producto de

sus cargas e inversamente proporcional al

cuadrado de la distancia que las separa.

• Campo eléctrico: la intensidad del campo

eléctrico creado por una carga puntual Q, en

un punto P definido por un vector de posición

r con respecto a la posición de la carga Q, es:

• La fuerza ejercida sobre una carga q situada

en un campo E es: F = qE.

• Según el principio de superposición: el cam-

po eléctrico creado por un sistema de cargas

se calcula sumando vectorialmente los cam-

pos creados por cada una de las cargas.

• La energía potencial de una carga q en un

punto P de un campo eléctrico es igual al tra-

bajo realizado por las fuerzas del campo para

llevar dicha carga desde el punto P hasta el

punto en que la energía potencial valga cero.

Si la carga Q que crea el campo es puntual:

• El potencial en un punto de un campo eléctri-

co es la energía potencial por unidad de car-

ga en dicho punto. Para una carga puntual:

• El potencial de una distribución discreta de

cargas puntuales se calcula sumando alge-

braicamente los potenciales de cada una. La

unidad SI de potencial es: V = J C–1.

• Un campo eléctrico puede representarse me-

diante líneas de campo y, como es conserva-

tivo, mediante superficies equipotenciales.

Las líneas de campo son perpendiculares a

las superficies equipotenciales.

• El campo y el potencial eléctrico están relacio-

nados mediante las expresiones:

• Teorema de Gauss: el flujo del campo eléctri-

co creado por una distribución cualquiera de

carga, a través de una superficie cerrada, se

calcula dividiendo la carga encerrada en el in-

terior de la superficie por la permitividad die-

léctrica del medio.

� Intensidad de algunos campos eléctricos

• Distribución rectilínea uniforme e indefinida:

, donde l es la densidad lineal de

carga.

• Distribución plana uniforme e indefinida:

, donde s es la densidad superficial

de carga.

• Distribución esférica en un punto exterior:

, donde Q es la carga total.

• Distribución esférica en un punto interior:

, donde r es la densidad cúbica de

carga.

El campo en el interior de un conductor en

equilibrio es nulo.

EQrr

=1

2pe e0

2

Fe e

= d =�S r

QE S·

0

d = – d ; = – dV VE r E r· ·�

V KQr

=

E KQqrp =

E E E E= + + +1 2 n…

E r= ; unidad SI: N C–1KQr 3

F KQ Q'

rK=

| | | |= 9 ·10 N m C9 2 –2

2;

Err

=1

2pe e0

λ


E rr

=1

3 0

r

e e

Er

=2

s

e e0


Experiencias de laboratorio

202

Estudio experimental del campo en el interior de un conductor hueco. Jaula de FaradayObjetivoEstudiar las características del campo eléctrico en

el interior de un conductor cargado.

Material� Placa de plástico (si no se dispone de ella se

puede construir con un bloque prismático de

base cuadrada o rectangular de poliestireno

expandido, porexpán, muy usado en emba-

lajes).

� Electróforo de Volta (si no se dispone de él se

puede construir fácilmente con un disco de co-

bre, un mango aislante y pegamento).

� Paño de lana.

� Electroscopio y/o electrómetro.

� Tela metálica fina.

� Alambre.

� Dos teléfonos móviles.

� Papel de aluminio.

� Aparato de radio.

Procedimiento: experiencia 1� Corta un trozo rectangular de tela metálica y

construye con él un cilindro (debe ser lo sufi-

cientemente grande como para que quepa den-

tro, con comodidad, el electroscopio).

� Une los bordes del cilindro con un alambre.

� Corta otros dos trozos de tela metálica con for-

ma de cuadrado (aproximadamente), y utilíza-

los como tapas inferior y superior del cilindro

(no tienen por qué ser del mismo tamaño que

la base del cilindro, pueden ser mayores).

� Coloca el electroscopio fuera del cilindro.

� Frota la placa de plástico o el bloque de porex-

pán con el paño de lana durante 10 o 20 segun-

dos.

� Coloca el electróforo sobre la placa de plástico

o el bloque de porexpán.

� Toca la parte superior de la placa metálica del

electróforo con la mano.

� Toca con el electróforo la bolita exterior del

electroscopio. Observa lo que ocurre.

� Pasa la mano por la bolita del electroscopio.

� Repite la experiencia pero ahora acerca el elec-

tróforo a la bolita sin tocarla, observa lo que

ocurre y luego sepáralo.

Cuestiones

¿Qué ocurre con la placa de plástico o el bloque deporexpán al frotarlos con el paño de lana?

¿Qué ocurre con el electróforo al ponerle en contac-to con la placa de plástico o bloque de porexpán?

¿Por qué es necesario tocar la parte superior de laplaca metálica del electróforo con la mano?

¿Qué ocurre con el electroscopio al tocarle con elelectróforo? ¿Por qué?

¿Qué ocurre con el electroscopio al tocar su bolita su-perior con la mano? ¿Por qué?

¿Qué ocurre al acercar el electróforo a la bolita delelectroscopio? ¿Por qué?

¿Qué ocurre al separar el electróforo del electrosco-pio? ¿Por qué?

7

6

5

4

3

2

1

Figura 6.40. En la imagen puedes ver un electróforo de Voltaa la izquierda y un electrómero a la derecha.

Figura 6.41.



Procedimiento: experiencia 2� Coloca ahora el espectroscopio dentro del cilin-

dro de tela metálica. Debes colocarlo de modo

que la bolita del electroscopio quede dentro del

cilindro pero muy próxima a la superficie. Al

acercar el electróforo por la parte superior,

debe quedar suficientemente cerca pero fuera

del cilindro.

� Repite los dos últimos pasos de la experiencia

anterior.

Cuestiones

¿Qué esperabas que ocurriera? ¿Por qué? ¿Qué ocu-rre realmente?

¿Afecta para algo el cilindro metálico que rodea alelectroscopio? ¿Por qué?

Procedimiento: experiencia 3� Saca el electroscopio del cilindro metálico.

� Pasa la mano por la bolita metálica del mismo

y vuelve a introducirlo.

� Tapa el cilindro con el trozo cuadrado de tela

metálica.

� Frota la placa de plástico o el bloque de porex-

pán con el paño de lana durante 10 o 20 s.

� Coloca el electróforo sobre la placa de plástico

o el bloque de porexpán.

� Toca la parte superior de la placa metálica del

electróforo con la mano.

� Toca ahora la rejilla metálica con el electróforo.

� Repite la operación varias veces.

� Acerca ahora el electróforo cargado a la tapa

metálica cuadrada del cilindro pero sin tocarla.

Asegúrate de que la posición es aproximada-

mente la misma que en la experiencia 2.

Cuestiones

¿Qué esperas que ocurra? ¿Por qué? ¿Qué ocurre enrealidad?

¿Por qué es necesario tocar varias veces el cilindrometálico con el electróforo? ¿Qué se consigue con ello?

¿Afecta en algo el que el electroscopio se encuentredentro de una envoltura metálica?

¿Qué ocurre en el espacio interior que envuelve el ci-lindro metálico? ¿Cuánto vale el campo eléctrico ensu interior? ¿Cómo es el potencial?

Procedimiento: experiencia 4� Con el permiso del profesor o de la profesora

haz que un compañero te llame al móvil. No

hace falta que descuelgues, es solo para ver si

suena. Cuando suene corta la llamada.

� Envuelve el teléfono en papel de aluminio y haz

que el compañero te vuelva a llamar.

� Observa lo que ocurre.

Cuestiones

¿Qué esperabas que ocurriera? ¿Por qué?

¿Qué ocurre en realidad?

¿Afecta para algo la envoltura de papel de aluminio?¿Por qué?

Procedimiento: experiencia 5� Con el permiso del profesor o la profesora pon

en marcha un aparato de radio que pueda oír-

se sin auriculares

� Envuelve el aparato en papel de aluminio.

� Observa lo que ocurre.

Cuestiones

¿Qué esperabas que ocurriera? ¿Por qué?

¿Qué ocurre realmente?

¿Afecta para algo la envoltura de papel de aluminio?¿Por qué?

¿Ocurriría lo mismo si lo envolvieras en papel de periódico?

¿Es más seguro o menos seguro estar en un automó-vil durante una tormenta? ¿Y si el automóvil lleva unacadena para descargar la carga estática?

5

4

3

2

1

3

2

1

4

3

2

1

2

1

Figura 6.42.


Actividades finales

204

CuestionesExplica los fenómenos de atracción que experimenta unpéndulo de médula de saúco por un cuerpo cargado, cual-quiera que sea la carga de dicho cuerpo.

Explica por qué los cuerpos cargados con cargas de dis-tinto signo se atraen, mientras que, si las cargas son delmismo signo, se repelen.

Explica por qué se descarga espontáneamente, en el aire,un cuerpo cargado.

Explica qué ocurre cuando a un electroscopio descargadose le acerca, sin tocarle, una varilla cargada.

Explica cómo en la balanza de Coulomb puede conseguir-se que las distancias entre las esferas que experimentanla interacción electrostática se mantengan constantes, afin de estudiar la dependencia de la fuerza con la magni-tud de las cargas.

Explica las semejanzas y diferencias entre los camposgravitatorio y eléctrico.

Dibuja las líneas de campo y superficies equipotencialescreadas por una distribución uniforme, rectilínea e indefi-nida de carga.

En una región del espacio el campo eléctrico es nulo.¿Debe ser nulo también el potencial eléctrico en dicha región?

ProblemasSe tienen dos esferas cargadas con sendas cargas de va-lor Q y Q’, de modo que sus centros están separados poruna distancia r. Debido a que se encuentran en el aire y alhecho de que este se halla parcialmente ionizado, las esfe-ras se van descargando lentamente. Supóngase que suscargas se han reducido a la tercera parte de las iniciales.¿A qué distancia deberán colocarse las esferas para quela fuerza de repulsión entre ellas no varíe?

Dos cargas se repelen, la una a la otra, con una fuerza de10 N cuando están separadas 10 cm. ¿Cuánto valdrá lafuerza de repulsión entre ellas cuando estén separadas2 cm?

Dos cargas eléctricas A y B, que se encuentran separadas3 cm, se atraen con una fuerza de 4 · 10–5 N. ¿Cuál sería lafuerza de atracción entre las cargas A y B si se separanuna distancia de 9 cm?

Dos esferas puntuales iguales están suspendidas de unmismo punto, mediante hilos inextensibles y de masasdespreciables de un metro de longitud cada uno. Determi-na la carga eléctrica que ha de poseer cada una de ellaspara que cada hilo forme un ángulo de 30º con la vertical.¿Cuál es la tensión del hilo? Datos: masa de cada esfera, 10 g; K = 9 · 109 N m2 C–2; g = 10 m s–2; cos 30º = 0,866.

Colocada y fija sobre las paredes interiores de un tubo muylargo, en una región del espacio donde no existe influenciade ningún otro campo gravitatorio ni eléctrico y aislada deltubo, se tiene una esferita uniformemente cargada con car-ga positiva. Se dispone de otra esfera idéntica a la anteriore igualmente cargada, que se introduce por el otro extremodel tubo y se observa que la segunda esfera permanece enequilibrio en todas las posiciones. ¿Qué relación hay entrela carga y la masa de las esferas? (No existe rozamiento).Datos: K = 9 · 109 N m2 C–2; G = 6,673 · 10–11 N m2 kg–2.

Dos cargas eléctricas en reposo de valores q1 = 2 mC yq2 = –2 mC, están situadas en los puntos (0, 2) y (2, 0) respec-tivamente, estando las distancias en metros: Determina:a) La intensidad del campo eléctrico creado por esta dis-

tribución de cargas en el punto A de coordenadas (3, 0).b) El potencial en el citado punto A y el trabajo necesario

para llevar una carga de 3 mC desde dicho punto hastael origen de coordenadas.

Dato: K = 9 · 109 N m2 C–2.

14

Figura 6.45.

13

Figura 6.44.

1 m30°

m = 10 g

12

11

10

r

Q’Q

Q’1

3

1

3Q

r’

Figura 6.43.

9

8

7

6

5

4

3

2

1



Tres partículas cargadas Q1 = +2 mC, Q2 = +2 mC y Q3 de va-lor desconocido están situadas en el plano XY. Las coor-denadas de los puntos en los que se encuentran las car-gas son Q1: (1, 0); Q2: (–1, 0) y Q3: (0, 2). Si todas lascoordenadas están expresadas en metros:a) ¿Qué valor debe tener la carga Q3 para que una carga

situada en el punto (0, 1) no experimente ninguna fuer-za neta?

b) En el caso anterior, ¿cuánto vale el potencial eléctricoresultante en el punto (0, 1) debido a las cargas Q1, Q2y Q3?

Dato: K = 9 · 109 N m2 C–2.

El campo eléctrico en las proximidades de la superficie dela Tierra es aproximadamente 150 N C–1, dirigido haciaabajo.a) Compara las fuerzas eléctrica y gravitatoria que actúan

sobre un electrón situado en dicha región.b) ¿Qué carga debería suministrarse a un clip metálico

sujetapapeles de 1 g para que la fuerza eléctrica equili-bre a su peso cerca de la superficie de la Tierra?

Datos: masa del electrón: me = 9,1 · 10–31 kg; carga delelectrón: e = –1,6 · 10–19 C; intensidad de campo gra-vitatorio terrestre: g = 10 m s–2.

En cada uno de los vértices de la base de un triánguloequilátero de 3 m de lado hay una carga de 10 mC. Calculala intensidad de campo eléctrico y el potencial creado enel tercer vértice, considerando que dichas cargas estánen el vacío. Dato: K = 9 · 109 N m2 C–2.

En cada uno de los vértices de un triángulo equilátero de3 m de lado hay una carga de 10 mC. Calcula la intensidaddel campo eléctrico y el potencial creado en el centro decada uno de los lados, considerando que dichas cargasestán en el vacío. ¿Cuánto vale el trabajo neto realizadopor las fuerzas del campo al llevar una carga de 5 mC en-tre puntos medios de lados contiguos? Justifica la res-puesta. Dato: K = 9 · 109 N m2 C–2.

Se construye un péndulo con una esfera metálica, demasa 10 mg, colgada de un hilo, sin masa, de material ais-lante de 1 m de longitud, y se desea estudiar su comporta-miento en el seno de un campo eléctrico. Para ello, se car-ga la esfera con 10 mC y se la hace oscilar en un campoeléctrico de valor E = 5,8 V m–1, dirigido verticalmente ha-cia arriba. Calcula el periodo del péndulo. ¿Qué ocurriría siel campo estuviese dirigido hacia abajo? Dato: g = 9,8 m s–2.

Un electrón (e = 1,6 · 10–19 C) está situado en un campoeléctrico uniforme de intensidad 120 kV m–1. Determina laaceleración del electrón y el tiempo que tarda en recorrer30 mm desde el reposo. Dato: me = 9,1 · 10–31 kg.

Dos placas metálicas horizontales y paralelas están sepa-radas 2 cm. La diferencia de potencial entre ellas es de120 V. Se pide:a) La magnitud de la intensidad del campo eléctrico en el

espacio comprendido entre las placas.b) La fuerza que actúa sobre un electrón, sabiendo que

(qe = –1,6 · 10–19 C).c) La energía que un electrón, inicialmente equidistante

entre las placas, gana al recorrer una distancia de 1 mmen una dirección que forma 30º con el campo eléctrico.

Dos cargas puntuales de –5 · 10–8 C están fijas en los pun-tos A (0, 0) mm y B (5, 0) mm. Halla:a) La intensidad del campo eléctrico (módulo, dirección y

sentido) en el punto P (10, 0) mm.b) La velocidad con que llega al punto P’ (8, 0) mm una par-

tícula, de carga 8 · 10–9 C y 5 mg de masa, que se aban-dona libremente en el punto P (10, 0) mm.

Dato: K = 9 · 109 N m2 C–2.

22

Figura 6.48.

→E 1 mm

30°

21

20

Figura 6.47.

→E

→g

19

18

3 m

Figura 6.46.

3 m

3 m10 mC 10 mC

17

16

15

A B

C


Actividades finales

206

Un campo eléctrico uniforme de intensidad E = 200 N C–1

está dispuesto horizontalmente en la dirección del eje OX.Se deja en libertad y en reposo, en el origen, una cargapuntual de Q = 3 mC y m = 0,12 g. Calcula:a) La energía cinética de la carga en x = 4 m.

b) La variación de energía potencial en el mismo recorrido.

c) El desplazamiento vertical experimentado por la par-tícula.

d) La diferencia de potencial eléctrico entre la posición ini-cial y final de la partícula.

Dato: g = 9,8 m s–2.

Nota: la partícula se mueve bajo la acción de los camposgravitatorio y eléctrico.

Se tienen dos placas metálicas horizontales cargadas se-paradas 10 cm. La intensidad del campo eléctrico en lazona comprendida entre ambas placas es uniforme y demódulo igual a 200 N C–1. Una partícula de 0,01 g de masay 10–4 C de carga se suelta, con velocidad inicial nula, enla placa positiva. Determina:a) El módulo de la aceleración de la partícula.b) La diferencia de potencial eléctrico entre las placas.c) La energía cinética de la partícula cuando llega a la pla-

ca negativa.

Se tiene un péndulo que consta de una esferita de dimen-siones despreciables cargada con una carga de valor des-conocido y cuya masa es de 20 g, que cuelga de un hilo,sin masa, de 1 m de longitud. Para averiguar el valor de sucarga se la coloca en las proximidades de una placa pla-na, de gran superficie, uniformemente cargada con densi-dad s = 1 mC m–2. Se observa entonces que el péndulo secoloca formando 45º con la horizontal. ¿Cuánto vale la car-ga de la esferita? (El experimento se realiza en el vacío,donde K = 9 · 109 SI).

El potencial eléctrico en un punto del eje OX es:

V (x) = x2 – 3x

Calcula la intensidad del campo eléctrico y el potencial enel punto x = 4 m.

Dos cargas en reposo de 4 mC y 2 mC están situadas la pri-mera en el origen de coordenadas, y la segunda a 200 cmde la primera, sobre el semieje positivo del eje OX. Calcu-la el potencial y la intensidad de campo eléctrico en elpunto de coordenadas (1, 1, 1) en el vacío (las coordena-das están dadas en metros).Dato: K = 9 · 109 N m2 C–2.

Una lámina plana, infinita, tiene una densidad superficialde carga cuyo valor es 5 · 10–6 C m–2. ¿Cuál será la separa-ción entre dos superficies equipotenciales cuya diferenciade potencial en el vacío es de 5 V?Dato: K = 9 · 109 N m2 C–2.

Una esfera conductora en equilibrio posee una carga su-perficial de densidad s conocida, homogéneamente distri-buida. Se sabe que a una distancia L de su centro, el po-tencial es 1/10 del potencial de dicha esfera. Calcula:a) El radio de la esfera conductora.b) La carga eléctrica de la esfera.c) El potencial eléctrico de la esfera.d) La intensidad de campo eléctrico en un punto muy pró-

ximo a la superficie de la esfera. e) La intensidad del campo eléctrico en un punto del inte-

rior de la esfera.Dos esferas conductoras de radios R1 = 90 cm y R2 = 45 cm, cargadas de modo que sus superficies están aun potencial, respecto del infinito, de V1 = 10 V y V2 = 20 V,se encuentran en una zona del espacio vacío y con suscentros separados 10 m. Calcula:a) La fuerza que ejercen entre sí ambas esferas.b) La intensidad del campo eléctrico en el punto medio de

la recta que une sus centros.c) Si ambas esferas se unen mediante un conductor de ca-

pacidad despreciable, calcula la carga que quedará encada esfera.

Dato: K = 9 · 109 N m2 C–2.

30

29

Figura 6.50.

Dx

V – 5V

s

V

28

27

26

Figura 6.49.

45°

+s

1 m

25

24

23

Figura 6.51.

R1

R2



Test de autoevaluación

Elige la respuesta correcta:

Dadas dos cargas puntuales, si se reducen sus cargas a ladécima parte, la fuerza entre ellas no varía si se acercan:

a) A la centésima parte de la distancia original.

b) A la décima parte de la distancia inicial.

c) A la quinta parte de la distancia inicial.

d) A la distancia inicial dividida por ��10.

Dadas dos cargas de 10 mC y –20 mC, ¿existe un punto enel que la intensidad del campo valga cero?

a) Sí, y está entre las dos cargas.

b) No existe.

c) Sí, en la recta que une las cargas, por fuera y más cer-ca de la negativa.

d) Sí, en la recta que une las cargas, por fuera y más cer-ca de la positiva.

Cuando se intenta medir la aceleración de la gravedad conun péndulo la esferilla debe estar descargada:

a) Verdadero.

b) Falso.

c) Solo si hay un conductor cargado próximo.

d) Depende del tipo de carga.

Cuando se carga un conductor aislado, la cantidad de car-ga que admite:

a) Tiene un límite absoluto.

b) Depende del volumen del conductor.

c) Depende de su radio.

d) Depende del potencial.

Si no hay tormenta, la intensidad del campo eléctrico enlas proximidades de la Tierra es cero:

a) Verdadero.

b) Falso.

c) Depende de la humedad.

d) Depende de las condiciones de la atmósfera.

Si se desea realizar un experimento sin que haya interferen-cias debidas a campos eléctricos basta construir una cajametálica y realizar el experimento dentro:

a) Verdadero.

b) Falso.

c) Es mejor construir una caja de madera.

d) El experimento se ha de hacer en el vacío.

Si la intensidad del campo eléctrico es cero en una ciertaregión:

a) El potencial también lo es en dicha región.

b) El potencial no puede valer nunca cero.

c) El potencial es constante.

d) No se puede saber nada del potencial.

Sea una distribución de cargas en el vacío.

a) Las líneas de campo podrían cortarse.

b) Las superficies equipotenciales se cortan.

c) El trabajo para mover una carga sobre una línea decampo vale cero.

d) El trabajo para mover una carga sobre una superficieequipotencial vale cero.

La permitividad dieléctrica relativa del medio:

a) Depende de la naturaleza del dieléctrico.

b) Depende del tamaño del dieléctrico.

c) Cuanto más pequeña sea, mejor.

d) No afecta a la energía almacenada.

Considerando el campo eléctrico de la atmósfera en unazona plana y próxima a la superficie de la Tierra, se puedeafirmar que cuando ascendemos:

a) La intensidad del campo crece.

b) La intensidad del campo decrece.

c) El potencial crece.

d) El potencial es constante.

El potencial de un conductor cargado y aislado:

a) Depende del material del que está hecho.

b) Depende de su volumen.

c) Depende del valor de la carga.

d) Depende de su capacidad.

Cuando se tiene un dipolo eléctrico en un campo no homo-géneo, el dipolo se orienta en el sentido del campo y...

a) es arrastrado hacia la zona donde el campo es más in-tenso.

b) es arrastrado hacia la zona donde el campo es menosintenso.

c) no ocurre nada más.

d) su comportamiento depende del campo.

La capacidad de la Tierra, supuesta esférica de radio6 370 km y aislada, es, tomando K = 9 · 109 SI:

a) 1 342 mF.

b) 1 F.

c) 1,27 · 103 F.

d) 708 mF.

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

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Comprueba tus respuestas en el CD.


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