REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LA FUERZA ARMA DA

TEORÍ

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LA FUERZA ARMA DA NUCLEO-MÉRIDA

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

CAMPO DE VECTORES

Ejercicios Propuestos

Autor: Br. Douglas Castillo

Enero, 2011

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LA FUERZA ARMA DA

Br. Douglas Castillo

Ejercicios Planteados

� Calcular el rotacional del campo vectorial F en el punto indicado 1.1.- F(x,y,z) = xyzi + yj + zk en el punto (1,2,1) Calculamos el rotacional de F: rot F= = i - j + k rot F = (0-0)i – (0-xy)j + (0-xz)k rot F = xyj – xzk Ahora evaluamos el rotacional en el punto dado: rot F(1,2,1) = (1)(2)j – (1)(1)k = 2j – 3k = 2j - k

1.2.- F(x,y,z) = yjesenyie xx cos− en el punto (0,0,3) Calculamos el rotacional de F: rot F= = i - j + k

rot F = (0+0)i – (0+0)j + ( yeye xx coscos −− )k

rot F = ye x cos2− k Evaluamos el rotacional en el punto dado:

rot F(0,0,3) = )0cos(2 0e− k = -2k

zyxyz

zyx

kji

∂∂

∂∂

∂∂

zy

zy ∂∂

∂∂

zxyz

zx ∂∂

∂∂

yxyz

yx ∂∂

∂∂

0cosyesenye

zyx

kji

xx −

∂∂

∂∂

∂∂

0cosye

zy

x−

∂∂

∂∂

0senye

zx

x

∂∂

∂∂

yesenye

yx

xx cos−

∂∂

∂∂

� Determinar si el campo F es conservatido. En caso afirmativo, hallar una función potencial.

2.1.- F(x,y,z) = senyi – xcosyj + k Calculamos el rotacional de F: rot F = = i - j + k rot F = (0-0)i – (0-0)j + ( yy coscos −− )k rot F = ycos2− k Como rot F ≠ 0 el campo no es conservativo.

2.2.- F(x,y,z) = )( xykxjyie z ++ F(x,y,z) = xykexjeyie zzz ++ Calculamos el rotacional de F: rot F = = i - j + k

rot F = ( xexe zz − )i - ( yeye zz − )j + ( zz ee − )k rot F = (0)i – (0)j + (0)k = 0 Por lo que el campo es conservativo, la función potencial viene dada por:

yezyxf zx =),,(

xezyxf zy =),,(

xyezyxf zz =),,(

0cosyxseny

zyx

kji

∂∂

∂∂

∂∂

0cosyx

zy ∂∂

∂∂

0seny

zx ∂∂

∂∂

yxseny

yx

cos

∂∂

∂∂

xyexeye

zyx

kji

zzz

∂∂

∂∂

∂∂

xyexe

zy

zz

∂∂

∂∂

xyeye

zx

zz

∂∂

∂∂

xeye

yx

zz

∂∂

∂∂

1),(),,( kzygyxeydxezyxf zz ++== ∫ 2),(),,( kzxhyxexdyezyxf zz ++== ∫

3),(),,( kyxkyxexydzezyxf zz ++== ∫ Ahora basta con comparar las ecuaciones obtenidas:

kyxkzxhzyg === ),(),(),( kyxezyxf z +=),,(

2.3.- F(x,y,z) = kzjy

xi

y)12(

12

−+−

Calculamos el rotacional de F: rot F = = i - j + k

rot F = (0-0)i – (0-0)j + ( 22

11

yy+− )k

rot F = 0 Esto nos demuestra que el campo es conservativo, ahora debemos hallar una función potencial:

yzyxf x

1),,( =

2),,(

y

xzyxf y −=

12),,( −= zzyxf x

1),(1

),,( kzygy

xdx

yzyxf ++== ∫

2),(),,(2

kzxhy

xdy

y

xzyxf ++=−= ∫

3),(12),,( 2 kyxkzzdzzzyxf ++−=−= ∫

12z12

−−

∂∂

∂∂

∂∂

y

x

y

zyx

kji

12z2

−−

∂∂

∂∂

y

x

zy

12z1 −

∂∂

∂∂

y

zx

2

1

y

x

y

yx

−

∂∂

∂∂

La función buscada es:

kzzy

xzyxf +−+= 2),,(

� Calcular rot (FxG)

3.1.- F(x,y,z) = i + 2xj + 3yk G(x,y,z) = xi - yj + zk Hallamos el producto cruz: FxG = = i - j + k

FxG = kxyjzxyiyxz )2()3()32( 22 −−+−++ Ahora calculamos el rotacional de FxG : rot FxG = rot FxG = i - j + k rot FxG = (0)i – (-4x-2x)j + (3y-6y)k rot FxG = 6xj + 3yk

zyx

kji

−

3y2x1zy−

3y2x

zx

3y1

yx −

2x1

22 2x33y2 −−−

∂∂

∂∂

∂∂

yzxy+xz

zyx

kji

22x3 −−−

∂∂

∂∂

yzxy

zy

22 2x3y2 −−

∂∂

∂∂

y+xz

zx

zxy+xz

yx

−

∂∂

∂∂

33y2 2

� Hallar rot (rot F) = )( xFx ∇∇ 4.1.- F(x,y,z) = xyzi + yj + zk Calculamos el rotacional de F rot F = = i - j + k rot F = (0)i – (0-xy)j + (0-xz)k rot F = xyj - xzk Ahora calculamos el rot (rot F): rot (rot F) = = i - j + k rot (rot F) = (0)i – (-z-0)j + (y-0)k rot (rot F) = zj + yk

� Calcular la divergencia de campo vectorial

5.1.- F(x,y,z) = jxyix 226 −

div F(x,y,z) = 06 22

zxy

yx

x ∂∂+−

∂∂+

∂∂

div F(x,y,z) = 12x – 2xy

zyxyz

zyx

kji

∂∂

∂∂

∂∂

zy

zy ∂∂

∂∂

zxyz

zx ∂∂

∂∂

yxyz

yx ∂∂

∂∂

xzxy

zyx

kji

−

∂∂

∂∂

∂∂

0

xzxy

zy

−

∂∂

∂∂

xz

zx

−

∂∂

∂∂

0 xy

yx

0

∂∂

∂∂

5.2.- F(x,y,z) = kzyjsenxi 2cos ++

div F(x,y,z) = 2cos z

zy

ysenx

x ∂∂+

∂∂+

∂∂

div F(x,y,z) = zsenyx 2cos +−

� Calcular la divergencia del campo vectorial F en el punto indicado: 6.1.- F(x,y,z) = xyzi + yj +zk en el punto (1,2,1)

div F(x,y,z) = zz

yy

xyzx ∂

∂+∂∂+

∂∂

div F(x,y,z) = yz + 2 Evaluando el punto: div F(1,2,1) = (2)(1) + 2 = 4

6.2.- F(x,y,z) = yjesenyie xx cos− en el punto (0,0,3)

div F(x,y,z) = 0cosz

yey

senyex

xx

∂∂+−

∂∂+

∂∂

div F(x,y,z) = senyesenye xx +

div F(x,y,z) = senye x2 Evaluendo el punto dado:

div F(0,0,3) = 02 0 sene = 0

� Calcular div (FxG) 7.1.- F(x,y,z) = i + 2xj + 3yk G(x,y,z) = xi - yj + zk Hallamos el producto cruz (FxG): FxG = = i - j + k

FxG = kxyjzxyiyxz )2()3()32( 22 −−+−++ Ahora calculamos div (FxG ):

div (FxG) = 22 2332 xy

zzxy

yyxz

x−−

∂∂+−

∂∂++

∂∂

div (FxG) = 2z + 3x

� Hallar div (rot F) = )( xFx ∇∇ 8.1.- F(x,y,z) = xyzi + yj +zk Calculamos el rotacional de F rot F = = i - j + k rot F = (0)i – (0-xy)j + (0-xz)k rot F = xyj - xzk Ahora hallamos div (rot F):

div (rot F) = xzz

zxyyx

−∂∂+−

∂∂+

∂∂

0

div (rot F) = 0

zyx

kji

−

3y2x1zy−

3y2x

zx

3y1

yx −

2x1

zyxyz

zyx

kji

∂∂

∂∂

∂∂

zy

zy ∂∂

∂∂

zxyz

zx ∂∂

∂∂

yxyz

yx ∂∂

∂∂