Caminos más cortos a partir de múltiples fuentes en un grafo.

Caminos más cortos a partir de múltiples fuentes en un grafo

¿Qué es un grafo?

Un grafo es… Una pareja ordenada G(V,E) con las

siguientes características:

1. V es un conjunto de vértices2. E es un conjunto de parejas de distintos

vértices, entre los cuales se trazan líneas (aristas)

Grafos ponderados

1

2

4

3 5

2 4

1

1

53

1

1

3

Entoncesl(a) = peso de la arista ‘a’l(x,y) = peso de la arista de x a y

¿Y qué podemos modelar?

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0

3

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4

7

8

9

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19

20

21

5

3

86

1

2

43

5

11

11

1

2

4

2

3

3

2

1

3

Problema de la ruta mínima (Single Source)

¿Cómo llego del punto 1 a 4 de la manera más corta posible?

1

2

4

3 5

2 4

1

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1

3

¿Cómo se resuelve?Existen algoritmos genéricos para ello:

Dijkstra Algorithm Floyd AlgorithmBellman-Ford Algorithm

Algoritmo de DijkstraAlgoritmo glotón (greedy)Punto de inicio sConjunto SVector D

1

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4

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2 4

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53

1

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Condiciones inicialesS={1}V-S={2,3,4,5}D=[0,2,1,∞,3] 1 2 3 4 5

1

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4

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53

1

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El algoritmoAumentar S agregando el elemento v en V-

S tal que Dv sea el mínimo de ese conjunto.

Actualizar los valores de Di para todos los elementos i existentes en V-S.

Di=mínimo( Di, Dv+f(v, i) )Terminar cuando |S|=|V|

Paso a paso (Iteración 1)Buscar mínimo Di en V-S

S={1}V-S={2,3,4,5}D=[0,2,1,∞,3] 1 2 3 4 5

1

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13

Paso a paso (Iteración 1)Agregar elemento a S. Actualizar D

S={1,3}V-S={2,4,5}D=[0,2,1,∞,3] 1 2 3 4 5

1

2

4

3 5

2 4

1

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53

1

13


S={1,3}V-S={2,4,5}D=[0,2,1,∞,2] 1 2 3 4 5

1

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3 5

2 4

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1

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S={1,3,2}V-S={4,5}D=[0,2,1,∞,2] 1 2 3 4 5

1

2

4

3 5

2 4

1

1

53

1

13


S={1,3,2}V-S={4,5}D=[0,2,1,6,2] 1 2 3 4 5

1

2

4

3 5

2 4

1

1

53

1

13


S={1,3,2,5}V-S={4}D=[0,2,1,6,2] 1 2 3 4 5

1

2

4

3 5

2 4

1

1

53

1

13


S={1,3,2,5,4}V-S={ }D=[0,2,1,6,2] 1 2 3 4 5

1

2

4

3 5

2 4

1

1

53

1

13

Final|S| = |V|La mejor manera de llegar al vértice u se

encuentra en Du

S={1,3,2,5,4}V-S={ }D=[0,2,1,6,2] 1 2 3 4 5

1

2

4

3 5

2 4

1

1

53

1

13

¿Por qué funciona?Supongamos delta(s,v) = Mejor manera

de llegar de s a v

Si Dijkstra funciona:Du=delta(s,u) para toda u en V

Demostración por contradicciónSuponga que u es el primer vértice añadido

a S tal que Du≠delta(s,u)

Propiedades que tendría uu no puede ser s porque Ds = 0Existe un camino de s a u, de lo contrario Ds = ∞Si existe un camino, entonces debe existir

el camino más corto.

Suposición principalSea s->(p1)->x->y->(p2)->u el camino

más corto de s a u.

Propiedades de x y yx ya fue insertado en SDx=delta(s,x) Posteriormente se actualizó el vértice y, así

que Dy=delta(s,y), pero aun no es insertado en S

EntoncesPuesto que y se encuentra antes que u:

Dy=delta(s,y) ≤ Du ≤ delta(s,u)Pero partimos de que u esta siendo

insertado en S, así que se debe cumplir que:

Dy ≥ Du

FinalmenteAsí que:

Dy=delta(s,y) = Du=delta(s,u)

El Multiple Source Shortest-Path Problem

1

2

4

3 5

2 4

1

1

53

1

1

3

¿Cuál es el problema?¿Cuál es la mejor manera de llegar al los

puntos T (town o ciudad en naranja) a partir de cualquiera de los puntos S (fuente) ?

ConsideracionesExiste un conjunto de fuentes FEn el camino más corto para llegar a u,

existe sólo una fuente:f1->(p1)->f2->(p2)->v > f2->(p2)->v

Un problema más realPuntos Naranjas: Centros de DistribuciónPuntos Grises: Ciudades¿De qué centro de distribución es mejor

partir a la ciudad X de tal manera de que gaste los menos recursos posibles?

5

1

2

4

3 5

2 4

1

1

3

1

1

3

¿Qué otro problema podemos resolver?Puntos Naranjas: Centros de DistribuciónPuntos Grises: CiudadesQuiero construir un nuevo Punto de

Distribución ¿Cuál es el mejor lugar para hacerlo?

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2

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2 4

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¿Cómo lo resolvemos con Dijkstra?Algoritmo glotón (greedy)Puntos de inicio Conjunto FConjunto SVector D

Condiciones inicialesS=F={1,2}V-S={3,4,5}D=[0,0,1,4,3] 1 2 3 4 5

1

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3 5

2 4

1

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1

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Estado finalS={1,5,4,3,2}V-S={}D=[0,0,1,4,2] 1 2 3 4 5

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3 5

2 4

1

1

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1

13

ConclusionesComplejidad O(v2) pudiéndose reducir a

O(nlogn) con Busqueda BinariaProcesa hasta 10,000 vértices en 1

segundo

El Algoritmo de Dijkstra es rápidoDemostramos que resuelve eficazmente

nuestro problema

Caminos más cortos a partir de múltiples fuentes en un grafo.

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