Cambio en Teoria - Práctica 2

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Grupo A Laboratorio de Mecánica de Materiales 2 REPORTE DE LABORATORIO (PRACTICA # 2) Esfuerzos y Deformaciones Profesor: Ing. Azueta García José Manuel Equipo 1 Miguel Ángel Galindo Camarena. Grissel Alejandra Pacheco Cárdenas. Jorge Roberto Porras Canché. Carlos Andrés Suaste Garma. Alberto Asael Yan Uc. Fecha de realización: Fecha de entrega: 27- agosto 2014 03- septiembre 2014

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ingenieria

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  • Grupo A

    Laboratorio de Mecnica

    de Materiales 2

    REPORTE DE LABORATORIO

    (PRACTICA # 2)

    Esfuerzos y Deformaciones

    Profesor: Ing. Azueta Garca Jos Manuel

    Equipo 1

    Miguel ngel Galindo Camarena.

    Grissel Alejandra Pacheco Crdenas.

    Jorge Roberto Porras Canch.

    Carlos Andrs Suaste Garma.

    Alberto Asael Yan Uc.

    Fecha de realizacin: Fecha de entrega:

    27- agosto 2014 03- septiembre 2014

  • Mecnica de materiales 2-Practica 2 Equipo # 1

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    INDICE

    I. Marco Terico 3

    1.1 Objetivo de la prueba .. 4

    1.2 Principios tericos ............................................ 7

    1.3 Equipo a utilizar............................................ 7

    II. Ejecucin.

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    III. Datos obtenidos.

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    IV. Anlisis..

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    V. Conclusin

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    VI. Referencias bibliogrficas...

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    OBJETIVO DE LA PRUEBA

    Calcular el esfuerzo real, el esfuerzo ingenieril y el mdulo de elasticidad de una cuerda de hule para posteriormente comparar los datos que se obtuvieron en la prctica mediante grficas.

    PRINCIPIOS TERICOS

    Terminologa de las propiedades mecnicas

    La deformacin (unitaria) elstica se define como una deformacin restaurable debido a un esfuerzo aplicado. La deformacin es elstica si se desarrolla en forma instantnea; es decir, se presenta tan pronto como se aplica la fuerza. Un material sujeto a una deformacin elstica no muestra de formacin permanente.

    En muchos materiales, el esfuerzo y la deformacin elsticos siguen una ley lineal. La pendiente en la porcin lineal de la curva esfuerzo contra deformacin unitaria a tensin define al mdulo de Young o mdulo de elasticidad (E) de un material. Las unidades E se miden en pascales (Pa) o en libras por pulgada cuadrada (psi), las mismas que las del esfuerzo. En los elastmeros se observan deformaciones elsticas grandes, como en el hule natural o siliconas, donde la relacin entre esfuerzo y deformacin elsticos no es lineal. En ellos, la enorme deformacin elstica se aplica por el enredado y desenredado de molculas semejantes a resortes.

    El inverso del mdulo de Young se llama flexibilidad (o capacidad elstica de deformacin) del material. De forma parecida, se define al mdulo de elasticidad cortante (G) como la pendiente de la parte lineal de la curva de esfuerzo cortante contra deformacin cortante.

    La deformacin permanente en un material se llama deformacin plstica. En este caso, cuando se quita el esfuerzo, el material no regresa a su forma original.

    El ensayo de tensin: Uso del diagrama esfuerzo-deformacin unitaria

    El ensayo de tensin est muy difundido, porque las propiedades que se obtiene pueden aplicarse en el diseo de distintos componentes. Este ensayo mide la resistencia de un material a una fuerza elstica o aplicada lentamente.

    Comnmente, el ensayo de tensin se hace con metales, aleaciones y plsticos. Se puede hacer ensayos de tensin a cermicos; sin embargo no son muy frecuentes, porque la muestra se puede fracturar mientras se est alineando.

    La siguiente descripcin se aplica principalmente al ensayo de tensin de metales y aleaciones. Tambin se describir en forma breve el comportamiento del polmero en esfuerzo-deformacin.

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    Propiedades obtenidas en un ensayo de tensin

    El valor crtico de esfuerzo necesario para iniciar la deformacin plstica se llama lmite elstico del material.

    El lmite de proporcionalidad se define como el valor del esfuerzo real del cual la relacin entre el esfuerzo y deformacin ingenieriles no es lineal.

    Se define un valor convencional de deformacin plstica (normalmente 0.002 o 0.2%, pero no siempre). A continuacin se traza una recta paralela en este valor desplazado, paralela a la parte lineal de la curva esfuerzo-deformacin ingenieril. El valor de esfuerzo que corresponde al cruce de esa recta y la curva de esfuerzo-deformacin ingenieril se le define como resistencia a la cedencia.

    En algunos materiales, la transicin de deformacin elstica a flujo plstico es abrupta. Esa transicin se llama fenmeno de punto de fluencia.

    En esta figura se muestra de forma cualitativa las curvas de esfuerzo-deformacin unitaria normales para (a) un metal, (b) un material termoplstico, (c) un elastmero y (d) cermicos (o vidrio) bajo velocidades de deformacin relativamente pequeas.

    (a) Determinacin de la resistencia de cedencia con 0.2 % de deformacin convencional en el hierro colado gris y (b) puntos de cedencia

    superior e inferior de un acero al bajo carbono.

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    Propiedades elsticas

    El mdulo de elasticidad o mdulo de Young (E), es la pendiente de la curva esfuerzo-deformacin unitaria en la regin elstica. Esta relacin es la ley de Hooke

    =

    Esfuerzo y deformacin ingenieriles

    Los resultados de un solo ensayo se aplican a todos los tamaos y secciones transversales de determinado material, siempre que se conviertan la fuerza en esfuerzo y la distancia entre marcas de calibracin se convierta a deformacin. El esfuerzo ingenieril y la deformacin ingenieril se definen con las siguientes ecuaciones:

    = =

    = =

    En donde es el rea de la seccin transversal original del espcimen antes de que comience en ensayo, es la distancia original entre las marcas de calibracin y es el cambio de longitud o elongacin despus de haber aplicado la fuerza F.

    Ejemplo de curva de esfuerzo ingenieril-deformacin ingenieril para una aleacin de aluminio.

    Ejemplo de curva de esfuerzo ingenieril-deformacin ingenieril para una aleacin de aluminio.

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    Esfuerzo real y deformacin real

    En los clculos se us el rea original pero no es exacto, porque el rea cambia en forma continua. Se definirn el esfuerzo real y la deformacin real con las siguientes ecuaciones:

    = =

    ( ) = ln (

    )

    ( ) = ln (

    )

    Elastmeros: Los elastmeros forman una gran familia de polmeros amorfos con una temperatura de transicin vtrea baja, tienen una capacidad caracterstica de sufrir grandes deformaciones elsticas sin ruptura, son blandos y tienen un bajo modulo elstico.

    Relacin entre los diagramas de esfuerzo real-deformacin unitaria real y esfuerzo ingenieril-deformacin ingenieril. Las curvas son idnticas hasta el punto de cedencia.

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    EQUIPO A UTILIZAR

    Vernier Flexmetro

    Pesas de 500g

    Polmero sujeto a canasta para cargar las pesas

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    EJECUCIN

    Al iniciar la prctica, el ingeniero nos explic los pasos a realizar. Estos pasos consistan en:

    1. Colgar el polmero junto con su canastilla, en un marco de metal.

    2. Medir su longitud inicial, as como su dimetro inicial del polmero. (Sin ningn peso an)

    3. Comenzar a cargar la canastilla, esto es, colocar la primera pesa de 0.5 kg.

    4. Una vez listo el paso anterior, se cuentan 20 segundos para poder medir de nuevo, longitud y dimetro del polmero, y as, ir llenando la canastilla pesa por pesa (0.5 kg

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    cada una) y poder sumar: 1, 1.5, 2, 2.5 y 3 kg. (Los 20 segundos se cuentan para poder estabilizar el sistema y no est movindose).

    5. Ya llena la canastilla, se inicia midiendo longitud y dimetro, pero ahora quitando una pesa, una por una, contando el tiempo ya mencionado anteriormente, y as, poder medir de nuevo las longitudes y dimetros.

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    DATOS OBTENIDOS

    Longitud inicial de la liga (Li) 204 mm

    Dimetro inicial de la liga 6.81 mm

    rea transversal inicial de la liga (Ai) 36.424 mm2

    Gravedad 10

    Datos obtenidos al aplicar carga al polmero

    Masa (gramos) Longitud (cm) Dimetro (mm)

    0 20.40 6.81

    500 22.00 6.42

    1000 24.10 6.15

    1500 27.20 5.72

    2000 31.10 5.20

    2500 35.40 4.87

    3000 39.60 4.54

    Datos obtenidos al retirar las cargas del polmero

    Masa (gramos) Longitud (cm) Dimetro (mm)

    2500 36.10 4.69

    2000 31.60 5.24

    1500 27.90 5.45

    1000 24.90 5.87

    500 22.10 6.29

    0 20.50 6.83

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    ANALISIS

    En la siguiente tabla contamos con la informacin ms relevante que nos ser til para la

    realizacin de los siguientes clculos

    Esfuerzo Real e Ingenieril

    Grfico Esfuerzo ingenieril vs deformacin unitaria

    0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    0 0.5 1

    esf

    ue

    rzo

    inge

    nie

    ril

    Deformacion

    DEFORMACIONUNITARIA VSESFUERZOINGENIERIL(CARGA)

    DEFORMACIONUNITARIA VSESFUERZOINGENIERIL(DESCARGA)

    dL

    dL/Li F/A

    Kg N mm mm mm mm2 MPa ln(L/Li) F/Ai L/Li

    0.000 0.000 204 0 0.000 6.81 36.424 0.000 0.000 0.000 1.000

    0.500 4.905 220 16 0.078 6.42 32.371 0.152 0.076 0.135 1.078

    1.000 9.810 241 37 0.181 6.15 29.706 0.330 0.167 0.269 1.181

    1.500 14.715 272 68 0.333 5.72 25.697 0.573 0.288 0.404 1.333

    2.000 19.620 311 107 0.525 5.20 21.237 0.924 0.422 0.539 1.525

    2.500 24.525 354 150 0.735 4.87 18.627 1.317 0.551 0.673 1.735

    3.000 29.430 396 192 0.941 4.54 16.188 1.818 0.663 0.808 1.941

    3.000 29.430 396 191 0.936 4.54 16.188 1.818 0.663 0.808 1.941

    2.500 24.525 361 156 0.765 4.69 17.276 1.420 0.571 0.673 1.770

    2.000 19.620 316 111 0.544 5.24 21.565 0.910 0.438 0.539 1.549

    1.500 14.715 279 74 0.363 5.45 23.328 0.631 0.313 0.404 1.368

    1.000 9.810 249 44 0.216 5.87 27.062 0.362 0.199 0.269 1.221

    0.500 4.905 221 16 0.078 6.29 31.074 0.158 0.080 0.135 1.083

    0.000 0.000 205 0 0.000 6.83 36.638 0.000 0.005 0.000 1.005

    Esfuerzo

    real

    DES

    CA

    RG

    A

    Esfuerzo

    ingenieril

    Deformaci

    n real

    Deformacin

    ingenierilDiferencia

    de

    Deformacin

    unitaria

    CA

    RG

    A

    MasaFuerza

    (F)

    Longit

    ud (L)Dimetro

    Area

    transversal

    (A)

    dL

    dL/Li F/A

    Kg N mm mm mm mm2 MPa ln(L/Li) F/Ai L/Li

    0.000 0.000 204 0 0.000 6.81 36.424 0.000 0.000 0.000 1.000

    0.500 4.905 220 16 0.078 6.42 32.371 0.152 0.076 0.135 1.078

    1.000 9.810 241 37 0.181 6.15 29.706 0.330 0.167 0.269 1.181

    1.500 14.715 272 68 0.333 5.72 25.697 0.573 0.288 0.404 1.333

    2.000 19.620 311 107 0.525 5.20 21.237 0.924 0.422 0.539 1.525

    2.500 24.525 354 150 0.735 4.87 18.627 1.317 0.551 0.673 1.735

    3.000 29.430 396 192 0.941 4.54 16.188 1.818 0.663 0.808 1.941

    3.000 29.430 396 191 0.936 4.54 16.188 1.818 0.663 0.808 1.941

    2.500 24.525 361 156 0.765 4.69 17.276 1.420 0.571 0.673 1.770

    2.000 19.620 316 111 0.544 5.24 21.565 0.910 0.438 0.539 1.549

    1.500 14.715 279 74 0.363 5.45 23.328 0.631 0.313 0.404 1.368

    1.000 9.810 249 44 0.216 5.87 27.062 0.362 0.199 0.269 1.221

    0.500 4.905 221 16 0.078 6.29 31.074 0.158 0.080 0.135 1.083

    0.000 0.000 205 0 0.000 6.83 36.638 0.000 0.005 0.000 1.005

    Esfuerzo

    real

    DES

    CA

    RG

    A

    Esfuerzo

    ingenieril

    Deformaci

    n real

    Deformacin

    ingenierilDiferencia

    de

    Deformacin

    unitaria

    CA

    RG

    A

    MasaFuerza

    (F)

    Longit

    ud (L)Dimetro

    Area

    transversal

    (A)

    dL

    dL/Li F/A

    Kg N mm mm mm mm2 MPa ln(L/Li) F/Ai L/Li

    0.000 0.000 204 0 0.000 6.81 36.424 0.000 0.000 0.000 1.000

    0.500 4.905 220 16 0.078 6.42 32.371 0.152 0.076 0.135 1.078

    1.000 9.810 241 37 0.181 6.15 29.706 0.330 0.167 0.269 1.181

    1.500 14.715 272 68 0.333 5.72 25.697 0.573 0.288 0.404 1.333

    2.000 19.620 311 107 0.525 5.20 21.237 0.924 0.422 0.539 1.525

    2.500 24.525 354 150 0.735 4.87 18.627 1.317 0.551 0.673 1.735

    3.000 29.430 396 192 0.941 4.54 16.188 1.818 0.663 0.808 1.941

    3.000 29.430 396 191 0.936 4.54 16.188 1.818 0.663 0.808 1.941

    2.500 24.525 361 156 0.765 4.69 17.276 1.420 0.571 0.673 1.770

    2.000 19.620 316 111 0.544 5.24 21.565 0.910 0.438 0.539 1.549

    1.500 14.715 279 74 0.363 5.45 23.328 0.631 0.313 0.404 1.368

    1.000 9.810 249 44 0.216 5.87 27.062 0.362 0.199 0.269 1.221

    0.500 4.905 221 16 0.078 6.29 31.074 0.158 0.080 0.135 1.083

    0.000 0.000 205 0 0.000 6.83 36.638 0.000 0.005 0.000 1.005

    Esfuerzo

    real

    DES

    CA

    RG

    A

    Esfuerzo

    ingenieril

    Deformaci

    n real

    Deformacin

    ingenierilDiferencia

    de

    Deformacin

    unitaria

    CA

    RG

    A

    MasaFuerza

    (F)

    Longit

    ud (L)Dimetro

    Area

    transversal

    (A)

    dL

    dL/Li F/A

    Kg N mm mm mm mm2 MPa ln(L/Li) F/Ai L/Li

    0.000 0.000 204 0 0.000 6.81 36.424 0.000 0.000 0.000 1.000

    0.500 4.905 220 16 0.078 6.42 32.371 0.152 0.076 0.135 1.078

    1.000 9.810 241 37 0.181 6.15 29.706 0.330 0.167 0.269 1.181

    1.500 14.715 272 68 0.333 5.72 25.697 0.573 0.288 0.404 1.333

    2.000 19.620 311 107 0.525 5.20 21.237 0.924 0.422 0.539 1.525

    2.500 24.525 354 150 0.735 4.87 18.627 1.317 0.551 0.673 1.735

    3.000 29.430 396 192 0.941 4.54 16.188 1.818 0.663 0.808 1.941

    3.000 29.430 396 191 0.936 4.54 16.188 1.818 0.663 0.808 1.941

    2.500 24.525 361 156 0.765 4.69 17.276 1.420 0.571 0.673 1.770

    2.000 19.620 316 111 0.544 5.24 21.565 0.910 0.438 0.539 1.549

    1.500 14.715 279 74 0.363 5.45 23.328 0.631 0.313 0.404 1.368

    1.000 9.810 249 44 0.216 5.87 27.062 0.362 0.199 0.269 1.221

    0.500 4.905 221 16 0.078 6.29 31.074 0.158 0.080 0.135 1.083

    0.000 0.000 205 0 0.000 6.83 36.638 0.000 0.005 0.000 1.005

    Esfuerzo

    real

    DES

    CA

    RG

    A

    Esfuerzo

    ingenieril

    Deformaci

    n real

    Deformacin

    ingenierilDiferencia

    de

    Deformacin

    unitaria

    CA

    RG

    A

    MasaFuerza

    (F)

    Longit

    ud (L)Dimetro

    Area

    transversal

    (A)

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    Grfico esfuerzo vs Deformacin

    Se determina el esfuerzo con la siguiente formula:

    =

    [PA]

    Donde

    F = es el peso de que provoca cada pesa en N.

    A= rea del hule expresada en m2

    Para determinar la deformacin se utiliza la siguiente formula:

    =0

    0 [Adimensional]

    Donde

    =

    =

    0 =

    Deformacin cundo se empieza a cargar el hule hasta llegar a su valor mximo de 3 kg.

    A continuacin se muestra un ejemplo de como se obtuvieron los valores, y los resultados se resumen

    en la tabla siguiente.

    Esfuerzo y deformacin para la pesa 0.5 kg cuando se empieza a cargar el hule.

    =

    =

    =

    .59.81

    2

    4

    = 4.905

    (0.00681)2

    4

    =4.905

    3.6424E05 = 134665.053 N

    Donde

    m=masa =0.5 kg

    d=0.00681 m =dimetro del hule [m]

    A=rea del hule [m2]

    a= aceleracin= 9.81

    2

    Para la deformacin.

    =0

    0=

    2220.4

    20.4= 0.07843137

    Donde

    = Longitud cuando el hule est cargado 0.5 kg

    0 = .

  • Mecnica de materiales 2-Practica 2 Equipo # 1

    13

    m(kg) l(cm) d(m) F(N) A(m) esfuerzo 0(cm)

    inicial 20.4 0.00681

    3.64237E-05

    0.5 22 4.905 3.64237E-05 134665.053 1.7 0.08333333

    1 24.1 9.81 3.64237E-05 269330.106 4.5 0.22058824

    1.5 27.2 14.715 3.64237E-05 403995.159 7.5 0.36764706

    2 31.1 19.62 3.64237E-05 538660.212 11.2 0.54901961

    2.5 35.4 24.525 3.64237E-05 673325.265 15.7 0.76960784

    3 39.6 29.43 3.64237E-05 807990.318 19.2 0.94117647

    2.5 36.1 24.525 3.6424E-05 673325.265 15 0.73529412

    2 31.6 19.62

    3.6424E-05 538660.212 10.7 0.5245098

    1.5 27.9 14.715 3.6424E-05 403995.159 6.8 0.33333333

    1 24.9 9.81 3.6424E-05 269330.106 3.7 0.18137255

    0.5 22.1 4.905 3.6424E-05 134665.053 1.6 0.07843137

    Los resultados se resumen en la siguiente tabla

    m(kg) Esfuerzo Deformacin

    0.5 134665.0531 0.07843137

    1 269330.1061 0.18137255

    1.5 403995.1592 0.33333333

    2 538660.2122 0.5245098

    2.5 673325.2653 0.73529412

    3 807990.3183 0.94117647

    2.5 673325.2653 0.76960784

    2 538660.2122 0.54901961

    1.5 403995.1592 0.36764706

    1 269330.1061 0.22058824

    0.5 134665.0531 0.08333333

  • Mecnica de materiales 2-Practica 2 Equipo # 1

    14

    La Grafica esfuerzo deformacin se muestra en el siguiente grafico se puso se dos colores distintos para

    observar las deformaciones que se obtuvieron al cargar el hule y al descargarlo.

    Carga vs Deformacin

    Para la determinacin de este grfico fue necesario calcular la fuerza aplicada al polmero de la siguiente

    manera:

    Fuerza: mg Donde m = masa (kg) g= fuerza de gravedad (9.81 m/s2)

    Deformacin = / Donde = Longitud inicial (20.4)

    = Diferencia de longitud con respecto a la longitud inicial

    Ejemplo:

    Fuerza a 0.5 kg

    F=mg = (0.5 )(9.81 /2) = 4.905 / 2

    Deformacin a 0.5 kg

    =

    =

    2220.4

    20.4=0.078431373

    0

    100000

    200000

    300000

    400000

    500000

    600000

    700000

    800000

    900000

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    E

    s

    f

    u

    e

    r

    z

    o(

    N)

    Deformacion(cm/cm)

    Esfuerzo vs deformacion

    descarga del hule

    carga del hule

  • Mecnica de materiales 2-Practica 2 Equipo # 1

    15

    Las tablas para su fcil interpretacin esta de la siguiente manera:

    Naranja: Carga del polmero

    Azul: Descarga del polmero

    Masa Fuerza Longitud Diferencia de longitudes

    Deformacin

    Kg N cm cm cm/cm

    0 0 20.4 0 0

    0.5 4.905 22 1.6 0.078431373

    1 9.81 24.1 3.7 0.181372549

    1.5 14.715 27.2 6.8 0.333333333

    2 19.62 31.1 10.7 0.524509804

    2.5 24.525 35.4 15 0.735294118

    3 29.43 39.6 19.2 0.941176471

    2.5 24.525 36.1 15.7 0.769607843

    2 19.62 31.6 11.2 0.549019608

    1.5 14.715 27.9 7.5 0.367647059

    1 9.81 24.9 4.5 0.220588235

    0.5 4.905 22.1 1.7 0.083333333

    0 0 20.5 0.1 0.004901961

    Fuerza Deformacin

    N cm/cm

    0 0

    4.905 0.07843137

    9.81 0.18137255

    14.715 0.33333333

    19.62 0.5245098

    24.525 0.73529412

    29.43 0.94117647

    24.525 0.76960784

    19.62 0.54901961

    14.715 0.36764706

    9.81 0.22058824

    4.905 0.08333333

    0 0.00490196

    0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1

    0 5 10 15 20 25 30 35

    Fue

    rza

    (N)

    Deformacin (cm/cm)

    Fuerza vs Deformacin

  • Mecnica de materiales 2-Practica 2 Equipo # 1

    16

    Mdulo de elasticidad:

    Para encontrar el mdulo de elasticidad para un material elastmero como el hule se tiene que buscar

    con la siguiente formula:

    =

    2 ( )2

    : =

    =

    =

    A continuacin mostraremos una tabla con los dados resultantes de la operacin.

    esfuerzo(y) deformacin(x) xy x^2 (sumatoria

    x)^2

    1 134665.053 0.07843137 10561.9646 0.00615148 22.88965777

    2 269330.106 0.18137255 48849.0881 0.032896

    3 403995.159 0.33333333 134665.052 0.11111111

    4 538660.212 0.5245098 282532.56 0.27511053

    5 673325.265 0.73529412 495092.108 0.54065744

    6 807990.318 0.94117647 760461.476 0.88581315

    7 673325.265 0.76960784 518196.403 0.59229623

    8 538660.212 0.54901961 295735.02 0.30142253

    9 403995.159 0.36764706 148527.633 0.13516436

    10 269330.106 0.22058824 59411.0541 0.04865917

    11 134665.053 0.08333333 11222.0873 0.00694444

    sumatoria 4847941.91 4.78431372 2765254.45 2.93622645

    Por lo dando el mdulo de elasticidad (m) es:

    =(11)(2765254.45) (4847941.91)(4.78431372)

    11(2.93622645) (22.88965777)= 767759.805

  • Mecnica de materiales 2-Practica 2 Equipo # 1

    17

    CONCLUSIN

    Mediante el anlisis de esta prueba podemos comprender que los materiales reaccin ante los esfuerzos que son aplicados en l, que comprenden de un lmite elstico como en el caso de este material (polmero) que era evidente como reaccionaba ante la carga y la descarga y tambin la deformacin irreversible que demostr al cargar y descargar las fuerzas en l.

    De esta manera se pudo comprobar de manera visual la teora aplicada en clase.

    REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

    Hibbeler, R. C. (2006). Mecnica de Materiales (6 ed.). Mxico: Pearson.

    Ingeniera, E. C. (2008). Recuperado el 03 de Octubre de 2014, de

    http://copernico.escuelaing.edu.co/lpinilla/www/protocolos/MATE/tension.pdf

    Materiales de construccin. (s.f.). Recuperado el 02 de Octubre de 2014, de

    http://www3.ucn.cl/FacultadesInstitutos/laboratorio/esfuerzom4.htm

    Ciencia e Ingeniera de los Materiales 4ta Edicin Donald R. Askeland pp253 254 247 246 245 243 242 241 235 234