Funciones reales. Numeros complejos

Funciones reales

1. Encuentra todos los numeros reales x que verican:

a) (x 1)(x 3) > 0b)

1

x+ 1>

1

1 xc) jx 1j+ jx+ 1j < 1d) 5 < x2 14x+ 50 < 26

2. Si la graca de f(x) es la de la de la gura, esboza las gracas de:

a) y = 2f(x) b) y = 2 f(x) c) y = 1f(x)

d) y = f(x+ 1) e) y = jf(x)jf) y = f(jxj) g) y = f(2x) h) y = f(x=3) i) y = f(x) j) y = f(2 x):

0 1

3. Representa las funciones f1(x) = sen2 x, f2(x) = j sen xj y f3(x) = sen jxj.

4. Representa las funciones f(x) = 1xy g(x) = 2x+1

x1 .

5. Esboza las gracas de las funciones y = 5 sen 2t; y = 1 + 2 sen t.

6. Esboza las gracas de las funciones y = ex4; y = ex2.

1

7. Encuentra formulas tipo seno que pudieran responder a las siguientes gracas:

i) ii) iii)

Ejercicios de reserva

8. Encuentra todos los numeros reales x que verican la desigualdad

x 1x+ 3 < 2.

9. Esboza las gracas de las funciones y = senx2, y = 5 sen t2, y =

2x+ 5

x 1 , y = e2x,

y = ex=2, y = e3x.

8. Considera, para distintos valores de b, la funcion f denida por

f(x) =

8Para que valores de b es f continua? >Para que valores de b es f derivable?

9. Se considera la funcion f(x) = x2 + 1

a) Para cada a 2 R, escribe la ecuacion de la recta tangente a la graca def(x) en el punto (a; f(a)). >Para que valores de a la recta tangente pasa porel origen?

b) Determina la recta tangente a la graca de f(x) que es paralela a y = 4x.10. Si f(x) = ax2 + bx+ c, >que puedes decir sobre a; b y c en cada uno de los casos

siguientes?

2

a) (1; 1) esta en la graca de f .

b) (1; 1) es el vertice de la graca de f .

c) El punto de corte de la graca de f con el eje y es (0; 6).

Encuentra una funcion que satisfaga las tres condiciones anteriores.

11. Determina todas las funciones f de la forma f(x) = ax3 + bx2 + cx + d cona 6= 0 y que verican f 0(1) = f 0(1) = 0. >Alguna de las funciones determinadasanteriormente verica f(0) = f(1)? Justica las respuestas.

12. Supon que cada una de las gracas siguientes responde a un polinomio. Contesta,para cada una de ellas, a las cuestiones siguientes:

a) >Cual es el menor grado posible de dicho polinomio?

b) >Que signo tiene el coeciente principal?

13. Sea f : R ! R una funcion derivable en R; sean a y b dos races de la derivadaf 0 tales que entre ellas no hay ninguna otra raz de f 0(x). Razonar debidamentesi puede ocurrir cada una de las siguientes posibilidades:

a) Entre a y b no existe ninguna raz de f(x).

b) Entre a y b existe una sola raz de f(x).

c) Entre a y b existen dos o mas races de f(x).

14. >Cuantos puntos x del intervalo [0; 1] satisfacen la igualdad x = cos x? Justicala respuesta y enuncia los teoremas que utilices.

15. Una de las siguientes gracas es parte de la graca de la funcion f(x) = sen 2x+2ex. Decide cual y justica tu respuesta.

i) ii) iii)

3

16. Las gracas i), ii) y iii) corresponden, no necesariamente por ese orden, a las deuna funcion derivable f , su funcion derivada f 0 y una primitiva F de f . Identicacada graca con la funcion justicando la respuesta.

i) ii) iii)

2 1 0 1 2 3 4 5 61.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

2 1 0 1 2 3 4 5 63.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

0.5

2 1 0 1 2 3 4 5 61.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

17. La gura siguiente representa la graca de una funcion f : [0; 7]! R .

0 2 4 6 82

1

0

1

2

Sea F : [0; 7]! R la funcion denida por F (x) = R x0f(t)dt.

a) Calcula F (4), F (5), F (6) y F (7).

b) Dibuja la graca de F explicando como lo haces.

18. De una funcion continua f : [1; 1] ! R se sabe que para cada x en dichointervalo se tiene jf(x)j 1+x2. De los numeros 3, 2, 1, 205 y 2075, >cualespueden ser el valor de la integral

R 11 f(x)dx? Justica la respuesta.

19. Tres estudiantes no se ponen de acuerdo sobre el valor de la integralR 0sen4 xdx.

Antonio dice que es igual a , Beatriz dice que vale3

8y Carlos que vale (

3

901).

Uno de ellos esta en lo cierto. >Quien es? No intentes calcular esta integral.Elimina, justicadamente, las dos respuestas erroneas.

20. Sea f : [a; a] ! R con a > 0 una funcion continua tal que R aa f(x) dx = 0.Responde a las siguientes preguntas:

a) >Es necesariamente f(x) = 0 para todo x 2 [a; a]?

4

b) >Es necesariamenteR aa jf(x)jdx = 0?

c) >Cuanto valeR aa(f(x) + 2x)dx?

21. a) Representa la funcion f para los valores b = 1; 0; 1; 2.

f(x) =

8>:1

x 1 si x < 0

x2 + bx 1 si x 0

b) Estudia, segun los valores de b, la derivabilidad de la funcion f . CalculaR 31 f(x)dx cuando f es derivable.

22. Considera la funcion f : R ! R denida por f(x) = jx + 2jjx 2j. Determinalos puntos donde f es derivable y halla sus maximos y mnimos locales. CalculaR 302f(x) dx.

23. De entre todos los triangulos isosceles de permetro 60 cm, calcula las dimensionesdel de mayor area.

24. Se tiene un alambre de 2 m. de longitud y se desea dividirlo en dos partes paraformar con la primera un cuadrado y con la segunda un crculo. Hallar la longitudde cada parte resultante para que la suma de las areas de las dos guras sea: a)maxima; b) mnima.

25. Para cada r 1 se dene la funcion fr : [0;1)! [0;1) mediante fr(x) = xr.a) Determina la ecuacion de la recta tangente a la graca de fr en el punto

(1; 1).

b) Calcula el area A(r) de la region limitada por la graca de fr, su tangenteen el punto (1; 1) y el eje OX.

c) >Para que valor de r 1 es el area A(r) maxima?

Ejercicios de reserva

26. Justica que el polinomio P (x) = x3+x+1 tiene una raz en el intervalo [1; 0].>Posee alguna raz mas?

27. El caudal de agua que sale de un deposito de 200 litros es variable y viene dadopor la ecuacion C(t) = 5 0; 1t (t en minutos, C en litros/minuto).a) Dibuja la graca del caudal en funcion del tiempo.

b) Calcula el area bajo la curva en el intervalo [0; 50]. Interpretar el resultado.

5

c) Dibuja la funcion que determina el volumen de agua del deposito en funciondel tiempo.

28. Supon que cada una de las gracas siguientes responde a un polinomio. >Cuales el menor grado posible de dicho polinomio? >Que signo tiene el coecienteprincipal?

29. La velocidad de un movil que parte del origen viene dada en m=s por la graca.

0 1 2 3 4 5 61

0

1

2

3

a) Calcula la funcion espacio recorrido.

b) Dibuja la graca de la funcion espacio recorrido-tiempo.

c) Prueba que el area bajo la curva que da la velocidad coincide con el espaciototal recorrido.

30. De todas las primitivas de la funcion f : R ! R dada por f(x) = 1 + xjxj,determina aquella cuya graca pasa por el punto (1; 0).

31. Sea f una funcion continua tal que para cualquiera que sea x > 0 se cumple queR 0x f(t) dt =

R x0f(t) dt. Prueba que en ese caso f(x) = f(x) para todo

x > 0.

32. a) Esboza la graca de la funcion dada por f(x) =1

x2 4b) >Que signo tiene

R 11 f(x) dx? Justica tu respuesta.

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c) Calcula el valor de la integral del apartado b) descomponiendo el integrandoen fracciones simples.

33. Supon que f y g son funciones derivables para las que se verican las dos condi-ciones siguientes:

1) f(0) = 0 y g(0) = 1

2) f 0(x) = g(x) y g0(x) = f(x).

a) Sea h(x) = f 2(x) + g2(x). Calcula h0(x) y utiliza el resultado que obtengaspara demostrar que f 2(x) + g2(x) = 1 para todo x.

b) Supon que F y G son otro par de funciones derivables que satisfacen lascondiciones 1) y 2) y sea k(x) = [F (x) f(x)]2 + [G(x) g(x)]2. Calculak0(x) y utiliza el resultado que obtengas para deducir que relacion existeentre f(x) y F (x) y entre g(x) y G(x).

c) Muestra un par de funciones f y g que satisfagan las condiciones 1) y 2).>Puede haber otras? Justica tu respuesta.

34. Demuestra que la ecuacion cosx+ x sen x x2 = 0 tiene exactamente dos racesreales.

35. Dada la funcion f : R! R denida por

f(x) =

8>:(x 1) + cos(x 1) si x 1

sen(x 1)x 1 si x > 1

a) Determina los puntos en los que f es continua y los puntos en los que f esderivable.

b) >Cumple f en [0; 2] las condiciones del teorema de Rolle?

36. Considera la funcion f : R! R denida por f(x) = 5 + (x 1)4(x+ 2)3.a) Demuestra que la ecuacion f 0(x) = 0 tiene al menos una solucion en el

intervalo (2; 1).b) Demuestra que la ecuacion f(x) = 0 tiene exactamente una solucion menor

que 2.c) Demuestra que f(x) = 0 no tiene ninguna solucion mayor que 2.

37. Para cada una de las dos condiciones siguientes, encuentra todos los polinomiosP , de grado 2, que las satisfacen para todo x,a) P (x) = P (x).

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b) P (2x) = 2P (x).

38. Halla el punto de la parabola x2 = 4y de abscisa no negativa que menos diste de(0; 3

2).

39. Calcula las dimensiones del trapecio de permetro maximo que se puede inscribiren una semicircunferencia de radio r si una base del trapecio ocupa todo eldiametro de la semicircunferencia.

40. El numero de bacterias de cierto cultivo en un instante t viene dado por la formula

N = 1000(25 + tet=20) para 0 t 100:a) >En que instantes de ese intervalo, 0 t 100, hay un numero maximo y

un numero mnimo de bacterias?

b) >En que instante es mas lento el crecimiento o decrecimiento del numero debacterias?

Numeros complejos

26. Resuelve las siguientes cuestiones.

a) Determina los numeros complejos cuyo cuadrado sea igual a su conjugado.

b) Encuentra los numeros complejos cuyo conjugado coincide con su inverso.

c) Halla los numeros complejos que son iguales al cuadrado de su conjugado.

d) Encuentra los numeros complejos cuyo cuadrado coincide con el cuadradode su conjugado.

e) Encuentra los numeros complejos z tales que la suma (respectivamente, ladiferencia) de z y su conjugado es nula.

f ) Halla los numeros complejos cuyos inversos son iguales a sus opuestos.

g) Determina los numeros complejos cuyo cuadrado sea:

imaginario puro

real positivo

real negativo

27. Si z 6= 0 es un numero complejo, prueba que z; 1z; 0;z; 1

zestan alineados. Decide

cuales estan en la misma semirrecta que z de las dos que determina el origen 0.Escribe z; 1=z; z y 1=z en forma modulo-argumental.

28. Sea z 2 C n f1g y tal que jzj = 1. Prueba que z + z1 es real y que 1+z1z es

imaginario puro.

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29. a) Considera z; w 2 C distintos, no nulos y no alineados con 0, y el cuadrilateroK que tiene como vertices 0; z; w; z + w. Justica que K es un paralelogramo.Calcula las longitudes de los lados de K. Comprueba que las diagonales de Kmiden jz + wj y jz wj.b) Identidad del paralelogramo. Prueba que para todos z; w 2 C se vericaque 2(jzj2 + jwj2) = jz + wj2 + jz wj2. Interpreta este resultado a la vista delapartado anterior.

30. Calcula las races cubicas de la unidad y representalas gracamente. Calcula elproducto de las dos races distintas de 1 y el cuadrado de cada una de ellas.

31. Determina las tres races cubicas de 64 y sus seis races sextas.32. Sean z = 1i y w = 1+p3i. Determina los numeros p; q 2 N tales que zp; wq 2 R.33. Determina, en cada caso, los numeros reales x; y que cumplen a) x+ iy = jx+ iyj,

b) x+ iy = ((p2 ip2)=2)8n+3, con n 1, c) x+ iy =P100k=0 ik.

34. a) Sean n 2 y P (z) = zn1 + zn2 + zn3 + :::: + z2 + z + 1. Demuestra quelas races n-esimas de la unidad distintas de 1 son las soluciones de la ecuacionP (z) = 0. [Sugerencia: usa que 1 es solucion de zn 1 = 0].b) Prueba que si w = cos(2=5) + i sen(2=5), entonces w satisface la ecuacionz4 + z3 + z2 + z + 1 = 0.

35. a) Justica que si w es raz de un polinomio P con coecientes reales, entoncesw tambien lo es.

b) Calcula las soluciones de la ecuacion z7 + z5 z2 1 = 0. [Observa que i essolucion].

c) Razona por que al menos una de las races de la ecuacion 2z33z24z+1 = 0debe ser real.

36. En el conjunto C de los numeros complejos se dene la relacion denida por

a+ bi c+ di (o, equivalentemente, c+ di a+ bi) si8Se verica que el producto zw 0 cuando z; w 0?

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37. Comprueba las siguientes armaciones, para la transformacion T :

T : C n f0g ! C ; dada por T (z) = zjzj2 =1

z

a) T (T (z)) = z, para todo z 6= 0 ; T (z) = z si jzj = 1 y jT (z)j < 1, jzj > 1.b) Si z = x+ iy 6= 0 esta en la recta y = x, entonces T (z) tambien.c) Si z = x+ iy esta en la recta x = 1, entonces T (z) esta en la circunferencia decentro 1=2 y radio 1=2.

d) Si z 6= 0 esta en la circunferencia jz 2j = 2, entonces T (z) esta en la rectax = 1=4.

e) Si z esta en la circunferencia jz 2j = 1, entonces T (z) esta en una circunfe-rencia: >en cual?

Ejercicios de reserva

38. Dadas f(z) = z32iz2 (1 i)z2i y g(z) = 2z3+(1+ i)z2 (3+2i)z7+16icalcula f(i); f(1i); g(1+i); g(2i) y g(2i). [Solucion: f(i) = 12i, f(1i) =6 2i, g(1 + i) = 14 + 17i, g(2 i) = 4 8i y g(2i) = 7 10i].

39. a) Halla el valor de E = (1+p3i)n (1p3i)n, siendo n un numero natural.

b) Halla los valores de n naturales para los que (1 + i)n es un numero realpositivo.

40. a) Prueba que si el numero complejo z es solucion de la ecuacion ax2+bx+c = 0,siendo a; b y c numeros reales, tambien es solucion su conjugado z.

b) Razona por que al menos una de las races de la ecuacion 2z33z24z+1 = 0debe ser real.

41. Determina los conjuntos C1 = fz 2 C : jz3ij = 2g, C2 = fz 2 C : jz3iei=4j =2g y C3 = fz 2 C : jei=3z 3ij = 2g.

42. Se consideran un numero real r 2 (0; 1) y w 2 C tal que jwj < 1.a) Describe el conjunto feit + reit : t 2 [0; 2]g.b) Describe el conjunto feit + weit : t 2 [0; 2]g. [Sugerencia: si w = jwjei,escribe eit + weit = ei(=2)(ei(t=2) + jwjei(t=2)) ].

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