Calculo_Julio_11_12

8/19/2019 Calculo_Julio_11_12

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E1 E2 E3 E4 E5 Calificacion

CALCULO INFINITESIMALExamen Final 16-Julio-2012

NUM.de MATRICULA

APELLIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

NOMBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

GRUPO / PROFESOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

INDICACIONES PREVIAS

La duracion del examen sera de dos horas y media sin interrupcion.

No se puede salir del aula y volver a entrar, debiendo permanecer en ella al menos durante la primerahora.

No se admiten calculadoras.

E1. Dada la funcion f (x) = x√

4− x2 .

(a) Estudiar y determinar razonadamente:

a ) el dominio de la funcion. (0.5 p.)

b) los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (0.5 p.)

(b) Calcular el volumen del solido generado al girar alrededor del eje OY el recinto plano limitadopor |f (x)| y el eje de abcisas. (1 p.)

E2. (a) Enunciado del Teorema Fundamental del Calculo. (1 p.)

(b) Sea F (x) = 2x +

x2+2x

−1

cos(2t + 1)

1 + t2 dt. Estudiar la continuidad y derivabilidad de F en el

intervalo [−1, 2] y determinar F (0). (1 p.)

(c) Hallar el area de la region del primer cuadrante limitada por la grafica de la curva y = x2e−x

y el eje de abcisas. (1 p.)

E3. (a) Calcular el polinomio de Taylor de grado 3 de la funcion f (x) = tg x centrado en el origen.(1 p.)

(b) Obtener el conjunto I de valores de x donde es convergente la serie

∞n=1

3n + 1n!

xn (1 p.)

E4. Sea f (x, y) =

1− ln(x− y),

2√ x

, A = Dom f . Se pide:

(a) expresar y dibujar A. (0.5 p.)

(b) razonar si es verdadero o falso:

a ) f es diferenciable en su dominio. (0.5 p.)

b) la matriz jacobiana de f en (1, 0) es

−1 1−1 0

(1 p.)

(c) Sea g(u, v) =

3u + 2v, u2 + v2

. Hallar la diferencial de g ◦ f en (1, 0) (1 p.)



Solucion del EXAMEN

E1. Dada la funcion f (x) = x√

4− x2 .

(a) Estudiar y determinar razonadamente:

a ) el dominio de la funcion.Domf =

x ∈ IR / 4− x2 ≥ 0

= [−2, 2]

b) los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

f

(x) =

4− x2 + x · −2x

2√ 4− x2 = 4−

2x2

√ 4− x2 = 2(2

−x2)

√ 4− x2 x ∈ (−2, 2)

f (x) = 0 ⇐⇒ x = ±√

2, f (x) > 0 ⇐⇒ 2− x2 > 0 ⇐⇒ x ∈−√

2,√

2

f crece en el intervalo−√ 2,

√ 2

, decrece en el resto de su dominio.

(b) Calcular el volumen del solido generado al girar alrededor del eje OY el recinto plano limitadopor |f (x)| y el eje de abcisas.

V oy =

20

2πxf (x) dx =

20

2πx2

4− x2 dx

hacemos el cambio x = 2 sen t, dx = 2 cos tdt,x = 0 → t = 0, x = 2 → t = π/2

V oy = 2π

pi/20

4sen2 t · 2cos t · 2cos t dt = 2π

π/20

16 sen2 t cos2 t dt = 2π

π/20

4sen2(2t) dt =

= 4π

π/20

(1− cos(4t)) dt = 4π

t − sen(4t)

4

π/20

= 2π2

E2. (a) Enunciado del Teorema Fundamental del Calculo.

(b) Sea F (x) = 2x +

x2+2x

−1

cos(2t + 1)

1 + t2 dt. Estudiar la continuidad y derivabilidad de F en el

intervalo [−1, 2] y determinar F (0).

Al ser f (x) = cos(2x + 1)

1 + x2 una funcion continua en IR, sabemos que es integrable y que la

funcion

u−1

cos(2t + 1)

1 + t2 dt es continua. Por tanto, F es continua en [−1, 2] ya que es suma

y composicion de funciones continuas. Por el Tma. Fundamental del Calculo sabemos que esderivable y su derivada es

F (x) = 2 + cos(2(x2 + 2x) + 1)

1 + (x2 + 2x)2 ·(2x + 2) x

∈(−

1, 2)

En particular, F (0) = 2 + 2 cos 1



(c) Hallar el area de la region del primer cuadrante limitada por la grafica de la curva y = x2e−x

y el eje de abcisas.

Area=

+∞0

x2e−x dx = lımT →+∞

T 0

x2e−x dx

u = x2, du = 2xdx,dv = e−x dx, v = −e−x

Area= lımT →+∞

−x2e−x

T 0

+

T 0

2xe−x dx

u = 2x, du = 2 dx,dv = e−x dx, v = −e−x, Area = lımT →+∞

−x2e−x − 2xe−x

T 0

+

T 0

2e−x dx

=

= lımT →+∞

−x2e−x − 2xe−x − 2e−x

T 0

= lımT →+∞

(−T 2 − 2T − 2)e−T − (−2)

= 2 unidades cuadradas

E3. (a) Calcular el polinomio de Taylor de grado 3 de la funcion f (x) = tg x centrado en el origen.

P 3(x) = f (0) + f

(0)1!

(x− 0) + f

(0)2!

(x− 0)2 + f

(0)3!

(x− 0)3

f (0) = tg 0 = 0, f (x) = 1+tg2 x = 1

cos2 x =⇒ f (0) = 1, f (x) = 2tg x(1+tg2 x) =

2sen x

cos3 x =⇒ f (0) =

f (x) = 2(1 + tg2 x)(1 + 3 tg2 x) = 2cos2 x + 6 sen2 x

cos4 x =⇒ f (0) = 2

P 3(x) = 0 + 1

1!x +

0

2!x2 +

2

3!x3 = x +

x3

3

(b) Obtener el conjunto I de valores de x donde es convergente la serie

∞n=1

3n + 1n!

xn

Aplicamos el criterio del cociente:

lımn→∞

3(n+1)+1(n+1)! xn+1

3n+1n! xn

= lımn→∞

n!(3n + 4)

(n + 1)n!(3n + 1)|x| = |x| lım

n→∞

(3n + 4) n!

(n + 1) n!(3n + 1) =

= |x| lımn→∞

3n + 4

(n + 1)(3n + 1) = 0 < 1

Por tanto, la serie converge en IR.

O bien, calculando el radio de convergencia R = 1ρ

:

ρ = lımn→∞

3(n+1)+1(n+1)!3n+1n!

= lımn→∞

3n + 4

(n + 1)(3n + 1) = 0



E4. Sea f (x, y) =

1− ln(x− y),

2√ x

, A = Dom f . Se pide:

(a) expresar y dibujar A.

A = Dom f =

(x, y) ∈ IR2 / x > 0, x− y > 0

(b) razonar si es verdadero o falso:

a ) f es diferenciable en su dominio.

b) la matriz jacobiana de f en (1, 0) es

−1 1−1 0

a ) VERDADERO, como existen las derivadas parciales de sus componentes y son continuas en A,aplicando la Condicion suficiente de diferenciabilidad podemos afirmar que f es diferenciable

en su dominio.

f (x, y) =

∂f 1∂x

∂f 1∂y

∂f 2∂x

∂f 2∂y

=

− 1

x− y

1

x− y

− 1√ x3

0

b) VERDADERO, ya que

f (1, 0) =

− 1

x− y

1

x− y

− 1

√ x3 0

(1,0)

=

−1 1−1 0

(c) Sea g(u, v) =

3u + 2v, u2 + v2

. Hallar la diferencial de g ◦ f en (1, 0)

g es diferenciable en IR2 ya que existen las derivadas parciales de sus componentes y son continuas :

g(u, v) =

D1g1 D2g1

D1g2 D2g2

=

3 2

2u 2v

(g ◦ f )(1, 0) = g( f (1, 0)) · f (1, 0) = g(1, 2) · f (1, 0) = 3 2

2 4

−1 1

−1 0

= −

5 3

−6 2

d(g ◦ f )(1, 0) = (g ◦ f )(1, 0)

dxdy

=

−5 3

−6 2

dxdy

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