calculoEnero_13_14

7/24/2019 calculoEnero_13_14

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CALCULO INFINITESIMAL

Examen Final 16-Enero-2014

Calificacion

/100

NUM.de MATRICULA

APELLIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

NOMBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

GRUPO / PROFESOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

INDICACIONES PREVIAS

La duracion del examen sera de dos horas y media sin interrupcion.

No se puede salir del aula y volver a entrar, debiendo permanecer en ella al menos durante la primerahora.

No se admiten calculadoras. Los telefonos moviles deberan estar apagados.

E1. (10p.) Dada la funcion f(x) =

3 x22

0x1

1

x 1< x2

(a) Dibuja la grafica de la funcion f.

(b) Prueba que fsatisface las hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange en [0, 2].

(c) Determina todos los numeros c, que satisfacen la conclusion del teorema.

E2. (25p.) Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

(a) La funcion F(x) =

x20

1 t+t21 +t+t2

dt es derivable y F(1) =1

3.

(b) La integral impropia

+1

dx

x2(x+ 1)es convergente.

(c) El area del recinto plano acotado por y= 2

a2x 1

a3x2 y el eje de las abscisas, siendo a >0, no

depende del valor de a.

E3. (10p.) Sea (an)nIN una sucesion de terminos no nulos tal que lmnn|an|= 5 . Razona si son

verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

(a) La serie numerican=1

3n

anes absolutamente convergente.

(b) La serie de potenciasn=1

(x 5)nan

es absolutamente convergente unicamente en el intervalo24

5 ,

26

5

.

E4. (15p.) Determina el conjunto de puntos donde converge la serie de potencias

n=1

(x 1)2nn 9n


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E5. (10p.) Sea f(x, y) = ayx2 x b+ y0

ln(2 +t2) dt . Determina los valores dea y b para que

z 5 =(x 1) + 2y sea la ecuacion del plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto(1, 0, f(1, 0)).

E6. (30p.) Dadas las funciones:

f(x, y) =

exy, y2 +

xy,x2 + ln y

g(u,v,w) =

uvw, u v, u2 +w2(a) Calcula y dibuja el dominio de definicion de f.

(b) Comprueba que fes diferenciable en (1, 1).

(c) Comprueba que g es diferenciable en IR3.

(d) Prueba que g fes diferenciable en (1, 1) y calcula la matriz jacobiana de g f en (1, 1).


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Solucion del EXAMEN

E1. Dada la funcion f(x) =

3 x22

0x1

1

x 1< x2

(a) Dibuja la grafica de la funcion f.Grafica de f

(b) Prueba que fsatisface las hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange en [0, 2].Hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange:

fcontinua en [0, 2]

fcontinua en [0, 2]{1} al ser cociente de funciones polinomicas con denominador no nulo

f(1) = lmx1

f(x) = lmx1+

f(x) 1 = lmx1

3 x22

= lmx1+

1

xfcontinua en x= 1

fderivable en (0, 2)

f(x) =

x 0< x


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E2. Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

(a) La funcion F(x) =

x20

1 t+t21 +t+t2

dt es derivable y F(1) =1

3.

FALSO.F(x) = G(u(x)) es derivable ya que es composicion de dos funciones derivables: u(x) = x2 y

G(x) =

x0

1 t+t21 +t+t2

dt que es derivable por el Teorema Fundamental del Calculo, ya que es una

funcion integral del lmite superior de la funcion g(t) =1 t+t21 +t+t2

continua en IR al ser cociente

de polinomios con denominador no nulo. Calculamos la derivada en x = 1

F(x) =G(u(x)) u(x) =g(x2) 2x= 1 x2 + (x2)2

1 +x2 + (x2)2 2xF(1) =2

3=1

3

(b) La integral impropia

+1

dx

x2(x+ 1)es convergente.

VERDADERO. +1

dx

x2(x+ 1)= lm

T+

T1

dx

x2(x+ 1)= lm

T+

T1

1

x+

1

x2+

1

x+ 1

dx =

= lmT+

ln x 1

x+ ln(x+ 1)

T

1= lm

T+

ln

x+ 1x

1

x

T

1=

= lmT+

ln

T+ 1

T

1

T

(ln2 1) = 1 ln 2

(c) El area del recinto plano acotado por y = 2a2

x 1a3

x2 y el eje de las abscisas, siendo a >0, nodepende del valor de a.

f(x) = 2

a2

x

1

a3

x2 =x2

a2

x

a3 =

x(2a x)

a3

Los puntos de corte con el eje de las abscisas son x= 0 y x= 2a. As pues el area pedida es:

A=

2a0

2

a2x 1

a3x2

dx= 2

a2

2a0

x dx 1a3

2a0

x2 dx= 2

a2

x2

2

2a0

1a3

x3

3

2a0

= 4 83

=4

3

Por tanto es independiente del valor de a.

E3. Sea (an)nIN una sucesion de terminos no nulos tal que lmnn

|an|= 5 . Razona si son verdaderas

o falsas las siguientes afirmaciones:

(a) La serie numerica

n=1

3n

an es absolutamente convergente.

VERDADERO. La serie numerican=1

3n

anes absolutamente convergente ya que si utilizamos

el criterio de la raz

lmn

n

3n

|an| =3

5


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FALSO. La serie de potenciasn=1

(x 5)nan

es absolutamente convergente enx = 8 por el apartado

anterior. O bien, calculando la convergencia absoluta mediante el criterio de la raz obtenemos

lmn

n

(x 5)nan = lmn |x 5|n|an| =

|x 5|5


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E6. Dadas las funciones:

f(x, y) =

exy, y2 +

xy,x2 + ln y

g(u,v,w) =

uvw, u v, u2 +w2(a) Calcula y dibuja el dominio de definicion de f.

f : IR2 IR3Estudiamos el dominio de definicion de las tres funciones componentes

f1(x, y) =exy, f2(x, y) =y2 +

xy, f 3(x, y) =x

2 + ln y.

Dom(f1) = IR2 Dom(f2) ={(x, y)IR2 / xy0} Dom(f3) ={(x, y)IR2 / y >0}

Dom(f) =Dom(f1) Dom(f2) Dom(f3) ={(x, y)IR2 / x0, y >(b) Comprueba que fes diferenciable en (1, 1).

fes diferenciable en (1, 1)

Dom(f)

f1(x, y)x

=yexy f1(x, y)

y =xexy

SeaD un abierto tal que (1, 1)DLas derivadas parciales existen y son continuas(x, y) D Dom(f) Cond.Suf. f1 es dife-renciable en (1, 1).

f2(x, y)

x =

y

2

xy

f2(x, y)

y = 2y+

x

2

xy

Las derivadas parciales existen y son continuas(x, y) D Dom(f) Cond.Suf. f2 es dife-renciable en (1, 1).

f3(x, y)

x

= 2x f3(x, y)

y

= 1

yLas derivadas parciales existen y son continuas(x, y) D Dom(f) Cond.Suf. f3 es dife-renciable en (1, 1)

Entonces f es diferenciable en (1, 1) y la matriz jacobiana f(1, 1)

f(1, 1) =

f1(1, 1)

x

f1(1, 1)

y

f2(1, 1)

x

f2(1, 1)

y

f3(1, 1)

x

f3(1, 1)

y

=

e e

1

2

5

2

2 1

(c) Comprueba que g es diferenciable en IR3.g: IR3 IR3 con

g1(u,v,w) =uvw g2(u,v,w) =u v g3(u,v,w) =u2 +w2

Dom(g) =Dom(g1)Dom(g2)Dom(g3) = IR3 conjunto ABIERTO. Veamos que es diferenciableen IR3

g1(u,v,w)

u =vw

g1(u,v,w)

v =uw

g1(u,v,w)

w =uv

Las derivadas parciales existen y son continuas

(u,v,w)

IR3

Cond.Suf.

g1 es diferenciable

en IR3.


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g2(u,v,w)

u = 1

g2(u,v,w)

v =1 g2(u,v,w)

w = 0

Las derivadas parciales existen y son continuas(u,v,w)IR3 Cond.Suf. g2 es diferenciableen IR3.g3(u,v,w)

u = 2u

g2(u,v,w)

v = 0

g2(u,v,w)

w = 2w

Las derivadas parciales existen y son continuas en (u,v,w)IR3 Cond.Suf. g3es diferenciableen IR3.

Entonces g es diferenciable en IR3, y la matriz jacobiana sera

g(u,v,w) =

vw uw uv1 1 0

2u 0 2w

(d) Prueba que g fes diferenciable en (1, 1) y calcula la matriz jacobiana de g f en (1, 1).fes diferenciable en (1, 1) y g es diferenciable en f(1, 1) = (e, 2, 1) =g fes diferenciable en (1, 1)La matriz jacobiana de g fen (1, 1)

(g f)(1, 1) = g(f(1, 1)) f(1, 1) = g(e, 2, 1) f(1, 1) = 2 e 2e

1 1 02e 0 2

e e

12

52

2 1

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