E1 E2 E3 E4 E5 Calificacion

CALCULO INFINITESIMALExamen Final 12-Enero-2012

NUM.de MATRICULA

APELLIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

NOMBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

GRUPO / PROFESOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

INDICACIONES PREVIAS

La duracion del examen sera de dos horas y media sin interrupcion.

No se puede salir del aula y volver a entrar, debiendo permanecer en ella al menos durante la primerahora.

No se admiten calculadoras. Los telefonos moviles deberan estar apagados.

E1. Dada la funcion f(x) = ln(1− lnx) , estudiar y determinar razonadamente:

(a) el dominio y continuidad de la funcion.

(b) las asıntotas de la grafica de la funcion.

(c) los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Los extremos relativos.

(d) los intervalos de concavidad y convexidad. Los puntos de inflexion.

(2 p.)

E2. Sea f una funcion continua en el intervalo [a, b] con f(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b]. Sea P una particion delintervalo [a, b] y U(f, P ) y L(f, P ) la suma inferior y superior, respectivamente, de f asociada a P .Determinar razonadamente si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa.

(a) L(f, P ) = 3 U(f, P ) = 2 (0.5 p.)

(b) L(f, P ) = 3 U(f, P ) = 6∫ b

af = 2 (0.5 p.)

NOTA: L(f, P ) = s(f, P ) suma inferior de la funcion f repecto de la particion P del intervalo [a, b]U(f, P ) = S(f, P ) suma superior de la funcion f repecto de la particion P del intervalo [a, b]

E3. (a) Explicar razonadamente si es cierto que 0 ≤∫ 1

0x√

x− x2 dx <38

(1 p.)

(b) Dada la funcion f(x) = (1− x)√

x

3. Se considera el recinto plano acotado D, limitado por la

grafica de la funcion y el eje OX(y = 0). Se pide:

a) Calcular el area del recinto D. (0.5 p.)b) Calcular el volumen del solido de revolucion obtenido al girar D alrededor del eje OX .

(0.5 p.)

E4. (a) Razonar si la serie∞∑

n=1

cos(n2 − 2)3 3√

n4es convergente. (1 p.)

(b) Obtener el conjunto I de valores de x donde es convergente la serie

∞∑n=1

(−3)n

n + 2xn (1 p.)

E5. Sea f(x, y) =

y3 + 2yx2

x2 + y2(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

. Estudiar:

(a) la continuidad de f en IR2. (1 p.)

(b) la existencia de derivadas parciales primeras de f en IR2. (1 p.)

(c) la diferenciabilidad de f en IR2. (1 p.)

Solucion del EXAMEN

E1. Dada la funcion f(x) = ln(1− lnx) , estudiar y determinar razonadamente:

(a) el dominio y continuidad de la funcion.

(b) las asıntotas de la grafica de la funcion.

(c) los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Los extremos relativos.

(d) los intervalos de concavidad y convexidad. Los puntos de inflexion.

(a) Domf = {x ∈ IR / x > 0 ∧ 1− lnx > 0} = (0, e). La funcion es continua en dicho intervalo yaque es composicion de funciones continuas.

(b) Asıntotas vericales de la grafica de la funcion son: x = 0+, x = e−

lımx→0+

ln(1− lnx) = +∞ lımx→e−

ln(1− lnx) = −∞

(c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento: estudiamos la derivada de la funcion

f ′(x) = − 1x(1− lnx)

< 0 ∀x ∈ (0, e)

f es decreciente en su dominio y no posee extremos.

(d) Intervalos de concavidad y convexidad: estudiamos la derivada segunda de la funcion

f ′′(x) = − lnx

x2(1− lnx)2∀x ∈ (0, e) , f ′′(x) = 0 ⇐⇒ lnx = 0 ⇐⇒ x = 1

f ′′(x) > 0 ⇐⇒ lnx < 0 ⇐⇒ x < 1, f ′′(x) < 0 ⇐⇒ lnx > 0 ⇐⇒ x > 1

f es concava en el intervalo (0, 1), f es convexa en el intervalo (1, e) y x = 1 sera punto deinflexion.

E2. Sea f una funcion continua en el intervalo [a, b] con f(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b]. Sea P una particion delintervalo [a, b] y U(f, P ) y L(f, P ) la suma inferior y superior, respectivamente, de f asociada a P .Determinar razonadamente si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa.

(a) L(f, P ) = 3 U(f, P ) = 2

(b) L(f, P ) = 3 U(f, P ) = 6∫ b

af = 2

f es una funcion continua en el intervalo [a, b], por tanto integrable, utilizando las propiedades de lassumas superiores e inferiores, se sabe que

L(f, P ) ≤∫ b

af ≤ U(f, P ) ∀P particion del intervalo [a, b]

(a) L(f, P ) = 3 U(f, P ) = 2 FALSO, ya que cualquier suma superior debe ser mayor o igual queuna suma inferior.

(b) L(f, P ) = 3 U(f, P ) = 6∫ b

af = 2 FALSO, ya que el valor de la integral no puede ser menor

que una suma inferior.

E3. (a) Explicar razonadamente si es cierto que 0 ≤∫ 1

0x√

x− x2 dx <38

Por el Tma. de acotacion de la integral m(1− 0) ≤∫ 1

0x√

x− x2 dx ≤ M(1− 0)) siendo M ,

el maximo y m, el mınimo de f(x) = x√

x− x2 x ∈ [0, 1]

f ′(x) =x(3− 4x)2√

x− x2=⇒ posibles extremos de f en el intervalo [0, 1] son x = 0, x = 3/4, x = 1,

como f ′ > 0 si x ∈ (0, 3/4) =⇒ x = 0, x = 1 son mınimos, y el maximo se alcanza en

x = 3/4. Por tanto, m = f(0) = f(1) = 0, M = f(3/4) =3√

316

0 = m(1− 0) ≤∫ 1

0x√

x− x2 dx ≤ M(1− 0)) =3√

316

<3 · 216

=38

(b) Dada la funcion f(x) = (1− x)√

x

3. Se considera el recinto plano acotado D, limitado por la

grafica de la funcion y el eje OX(y = 0).

Calculamos los puntos de corte de f(x) = (1− x)√

x

3con OX

(1− x)√

x

3= 0 ⇐⇒ x = 1, o x = 0

a) Area del recinto D = A(D) =∫ 1

0(1− x)

√x

3dx

•A(D) =∫ 1

0(1− x)

√x

3dx =

1√3

∫ 1

0(1− x)x1/2 dx =

=1√3

∫ 1

0

(x1/2 − x3/2

)dx =

1√3

(x3/2

3/2− x5/2

5/2

]1

0

=1√3

(23− 2

5

)=

4√

345

unidades cuadradas

•A(D) =∫ 1

0(1− x)

√x

3dx Cambio

∣∣∣∣∣∣∣√

x = t, x = t2, dx = 2t dtx = 0 7→ t = 0x = 1 7→ t = 1

∣∣∣∣∣∣∣A(D) =

∫ 1

0

1√3(1− t2)t · 2t dt =

2√3

∫ 1

0(t2− t4) dt =

2√3

(t3

3− t5

5

]1

0

=2√3

(13− 1

5

)=

4√

345

b) Volumen del solido de revolucion obtenido al girar D alrededor del eje OX = V (D)

V (D) =∫ 1

0π

((1− x)

√x

3

)2

dx =π

3

∫ 1

0(1− x)2x dx =

π

3

∫ 1

0(x− 2x2 + x3) dx =

=π

3

(x2

2− 2

x3

3+

x4

4

]1

0

=π

3

(12− 2

3+

14

)=

π

36unidades cubicas

E4. (a) Razonar si la serie∞∑

n=1

cos(n2 − 2)3 3√

n4es convergente.

+∞∑n=1

cos(n2 − 2)3 3√

n4

Estudiamos la serie de los valores absolutos+∞∑n=1

∣∣∣∣∣cos(n2 − 2)3 3√

n4

∣∣∣∣∣ =+∞∑n=1

| cos(n2 − 2)|3 3√

n4

Sabemos que| cos(n2 − 2)|

3 3√

n4≤ 1

3n4/3∀n ≥ 1 , y que la serie

+∞∑n=1

1n4/3

es convergente, luego

por el Criterio de Comparacion la serie a estudiar es absolutamente convergente, por tanto,la serie dada converge.

(b) Obtener el conjunto I de valores de x donde es convergente la serie∞∑

n=1

(−3)n

n + 2xn

Estudiamos la convergencia absoluta utilizando el criterio del cociente:

lımn→+∞

∣∣∣∣∣∣(−3)n+1xn+1

n+1+2(−3)nxn

n+2

∣∣∣∣∣∣ = lımn→+∞

|x|3(n + 2)n + 3

= 3|x| < 1 ⇐⇒ |x| < 13

La serie de potencias converge en el intervalo(−1

3,13

)Para x = −1

3=⇒

∞∑n=1

(−3)n

n + 2

(−1

3

)n

=∞∑

n=1

1n + 2

divergente (serie armonica).

Para x =13

=⇒∞∑

n=1

(−3)n

n + 2

(13

)n

=∞∑

n=1

(−1)n

n + 2convergente (por el criterio de Leibniz).

Por tanto, la serie de potencias converge en el intervalo(−1

3,13

]

E5. Sea f(x, y) =

y3 + 2yx2

x2 + y2(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

. Estudiar:

(a) la continuidad de f en IR2.(b) la existencia de derivadas parciales primeras de f en IR2.(c) la diferenciabilidad de f en IR2.

Continuidad Dom(f) = IR2, la funcion es continua en IR2−{(0, 0)} por ser cociente de funcionescontinuas con denominador no nulo, estudiamos la continuidad en (0, 0) : f(0, 0) = 0

lım(x,y)→(0,0)

f(x, y) = lım(x,y)→(0,0)

y3 + 2yx2

x2 + y2=

= lımr→0,α∈IR

r3 sen3 α + 2r3 cos2 α senα

r2= lım

r→0,α∈IRr(sen3 α + 2 cos2 α senα

)= 0

f continua en IR2.Derivadas parciales primeras de f :

∂f

∂x(x, y) =

2xy3

(x2 + y2)2,

∂f

∂y(x, y) =

x2y2 + 2x4 + y4

(x2 + y2)2∀(x, y) ∈ IR2−{(0, 0)}

∂f

∂x(0, 0) = lım

h→0

f(h, 0)− f(0, 0)h

= lımh→0

0− 0h

= 0,∂f

∂y(0, 0) = lım

h→0

f(0, h)− f(0, 0)h

= lımh→0

h− 0h

= 1

Diferenciabilidad f posee derivadas parciales primeras, continuas en IR2−{(0, 0)} =⇒ f es dife-renciable en IR2−{(0, 0)}. Diferenciabilidad en (0, 0):

df(0, 0)(h, k) =∂f

∂x(0, 0) h +

∂f

∂y(0, 0) k = 0 · h + 1 · k = k

lım(h,k)→(0,0)

f(h, k)− f(0, 0)− df(0, 0)(h, k)√h2 + k2

= lım(h,k)→(0,0)

k3 + 2h2k

h2 + k2− 0− k

√h2 + k2

=

= lım(h,k)→(0,0)

h2k

(h2 + k2)√

h2 + k2= lım

r→0,α∈IR

r3 cos2 α senα

r3= lım

r→0,α∈IRcos2 α senα → no existe

Por tanto f NO es diferenciable en (0, 0).