Cálculodiferencial:Conceptoy propiedadesdeunafunción...

Tema 1

Cálculo diferencial: Concepto ypropiedades de una función.Representación gráfica.

1.1. Un esbozo de qué es el Cálculo: paradojas y principalesproblemas planteados.

Los orígenes del Cálculo se remontan al siglo III a. C., cuando los griegos intentabanresolver el problema del cálculo de áreas usando el método exhaustivo (inventado porEudoxo), en el que se aproxima el área de la región que se desea conocer mediante áreas deregiones poligonales inscritas en ella cada vez más precisas. Con este método, Arquímedes(287-212 a. C.) determinó la fórmula exacta del área del círculo y de otras figuras.La sustitución de los números romanos por los caracteres arábigos, aparición de los signos+ y −, el importante desarrollo de las notaciones matemáticas que empezó en el siglo XVId. C., la notación decimal y los resultados sobre soluciones algebraicas de las ecuacionescúbica y cuártica estimularon el desarrollo de la Matemática y, en particular, de los símbolosalgebraicos que permitieron retomar el interés por el método exhaustivo, que se transformóen lo que hoy se conoce como cálculo integral.Sin embargo, el mayor impulso de esta rama de las Matemáticas se dió en el siglo XVIIgracias a Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716), y continuó su desa-rrollo hasta que Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) y Bernhard Riemann (1826-1866) ledieron una base matemática firme.Los aspectos fundamentales (o piedras angulares) que sustentan el Cálculo son el conceptode derivada y el concepto de integral. Ambos se apoyan en una herramienta fundamentalque es el límite. Observemos que:

El límite permite estudiar la tendencia de una función cuando su variable se apro-xima a un cierto valor.

La derivada permite calcular tasas de variación y pendientes de las tangentes alas curvas, definiéndose pues como un límite.

La integral se introduce como límite de una suma “especial” y permite calcular áreas,volúmenes, longitudes de curva, etc.

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Matemáticas Aplicadas a la Óptica Tema 1

1.1.1. La función valor absoluto.

El valor absoluto de un número real x se designa por |x|, definido por:

|x| ={x si x ≥ 0,−x si x < 0.

En el caso del valor absoluto de una función, debemos tener en cuenta que:

|f(x)| ={f(x) si f(x) ≥ 0,−f(x) si f(x) < 0.

Ejemplo 1.1.1

|x− 5| ={x− 5 si x− 5 ≥ 0,−(x− 5) si x− 5 < 0.

}=

{x− 5 si x ≥ 5,−x+ 5 si x < 5.

x2 − 2|x| − 3 =

{x2 − 2x− 3 si x ≥ 0,x2 + 2x− 3 si x < 0.

1.2. Las funciones y sus gráficas.

La gráfica de una ecuación de dos variables es el conjunto de puntos del plano que sonsolución de la ecuación y = f(x). Para definir el concepto de función, nos interesamospor aquellas ecuaciones de dos variables en las que una de ellas (habitualmente, la variabley) se puede expresar (de forma unívoca) en función de la otra variable (habitualmente, lavariable x). Hablamos entonces de variable dependiente e independiente, respectivamente,y se denotará de forma general como y = f(x).Hay varios aspectos importantes de las funciones a tener en cuenta a la hora de su repre-sentación gráfica, y que tratamos a continuación.

1.2.1. Dominio de una función

El dominio de una función es el conjunto de puntos de R para los que la función tienesentido. Ilustraremos algunos de los casos que se estudian con más frecuencia en ejemplos.

Ejemplo 1.2.1

f(x) =

√1− x1 + x

Para que la raíz tenga sentido necesitamos que1− x1 + x

≥ 0 y para que el denominadorno se anule que x 6= −1. Dicha situación de puede dar si:

•{

1− x ≥ 01 + x > 0

}, lo que se corresponde con (−1, 1],

•{

1− x ≤ 01 + x < 0

}, lo que se corresponde con ∅.

Es decir D(f) = (−1, 1].

Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico—2— Curso 2013/14


f(x) =√ex − 1.

El dominio de f viene dado por el conjunto de números reales tales que ex − 1 ≥ 0,es decir x ≥ ln(1) = 0. Por tanto, D(f) = [0,+∞).

f(x) = ln |x|

El dominio de f viene dado por el conjunto de números reales tales que |x| 6= 0, esdecir D(f) = R\{0} = (−∞, 0) ∪ (0,+∞).

f(x) = ln(x(2− 1x)(x+ 3))

El dominio de f viene dado por el conjunto de números reales tales que x(2−x)(x+3) > 0. Tenemos varias situaciones posibles:

•

x > 0

2− x > 0

x+ 3 > 0

, lo que corresponde con (0, 2),

•

x > 0

2− x < 0

x+ 3 < 0

, lo que corresponde con ∅,

•

x < 0

2− x > 0

x+ 3 < 0

, lo que corresponde con (−∞,−3),

•

x < 0

2− x < 0

x+ 3 > 0

, lo que corresponde con ∅.

Por tanto, D(f) = (−∞,−3) ∪ (0, 2).

1.2.2. Límites.

1. Los problemas de la tangente y la velocidad.

El concepto de límite se puede ilustrar a través del problema de la recta tangente auna curva y = f(x) en un punto de ella P : límite de las rectas secantes a la curvay = f(x) que pasan por P . Se usa entonces la definición de pendiente entre dospuntos de la curva, el propio P = (a, f(a)) y un punto genérico Q = (x, f(x)), como:

mPQ =f(x)− f(a)

x− a.

Si la recta tangente es el límite de las rectas secantes, su pendiente será el límite delas pendientes de las rectas secantes mPQ cuando Q tiende a P .

Del mismo modo, se puede ilustrar el concepto de límite a través del concepto develocidad.



2. El límite de una función.

Una definición formal de dicho concepto es la siguiente:

La notaciónlımx→a

f(x) = L

se lee “el límite de f(x) cuando x tiende a a es L", y quiere decir que si x es unnúmero arbitrariamente próximo a a, entonces la imagen de x a través de la funciónf se aproxima arbitrariamente a L.

Por aproximarse arbitrariamente dos números reales podemos entender aproximarsepor la izquierda o por la derecha, por tanto la definición anterior encubre que exis-ten los límites laterales, que denotaremos por lım

x→a+f(x) el límite por la derecha y

lımx→a−

f(x) el límite por la izquierda, y que ambos son iguales. Igualmente se define

el concepto de límite +∞ o −∞.

3. Cálculo de límites.

Una posible estrategia para calcular límites es relacionarlos con el concepto de con-tinuidad (que conocen, al menos de manera intuitiva). Así, si la función es continuaen un punto, el límite de la función en dicho punto coincide con su valor a través def . De este modo, se daría respuesta, por ejemplo, a límites de funciones polinómi-cas, racionales (siempre que el punto en el que se quiere calcular el límite no anuleel denominador) y trigonométricas (si el punto pertenece al dominio de la funcióntrigonométrica). En el caso del límite de una función compuesta:

Si f y g son funciones tales que lımx→a

g(x) = L y lımx→L

f(x) = f(L), entonces:

lımx→a

f(g(x)) = f(L).

Respecto al cálculo de límites de funciones definidas a través de la suma, resta,producto de dos o más funciones, de una función por una constante o del cocientede funciones (siempre que la función que aparece en el denominador no se anule enel punto en el que se quiere calcular el límite), podemos decir:

lımx→a

(f(x) + g(x)) = lımx→a

f(x) + lımx→a

g(x)

lımx→a

(f(x)− g(x)) = lımx→a

f(x)− lımx→a

g(x)

lımx→a

(f(x) · g(x)) = lımx→a

f(x) · lımx→a

g(x)

lımx→a

f(x)

g(x)=

lımx→a

f(x)

lımx→a

g(x)

El mismo resultado es válido para límites x → a−, x → a+ (a ∈ R), x → −∞ óx → +∞. Sin embargo, en algunos casos tales operaciones conducen a límites inde-terminados. Uno de los casos en el que se conoce la solución de dicha indeterminaciónes el caso del límite a infinito de funciones racionales, es decir, cociente de funciones



polinómicas:

lımx→∞

p(x)

q(x)=

∞ si grad(p) > grad(q)

anbn

si grad(p) = grad(q) y

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . . , q(x) = bnxn + bn−1x

n−1 + . . .

0 si grad(p) < grad(q)

También son conocidos los dos teoremas siguientes:

[T1 ] Si f(x) ≤ g(x) para todo x en un intervalo abierto conteniendo a a (quizásexcepto en a), y existen los límites de ambas funciones cuando x tiende a a,entonces:

lımx→a

f(x) ≤ lımx→a

g(x).

[T2 ] (Teorema del “sandwich") Si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x en unintervalo abierto conteniendo a a (quizás excepto en a), y lım

x→af(x) = lım

x→ah(x) =

L, entonces:lımx→a

g(x) = L.

4. Definición precisa de límite.

La definición de límite dada anteriormente es un poco vaga, ya que el concepto deproximidad no queda explicitado de manera clara. Así por ejemplo, no podemos darrespuesta a la cuestión básica de cuál es la cercanía de x al punto a para que lafunción f(x) esté a 0,1 del límite L. La siguiente definición formaliza los conceptosanteriores, traduciendo el concepto de proximidad en distancia (valor absoluto):

Definición de límite: Sea f una función definida en u intervalo abierto que contienea a (excepto posiblemente a), y sea L un número real. La notación

lımx→a

f(x) = L

significa que, para cada ε > 0, existe un δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ, entonces|f(x)− L| < ε.

Igualmente, se formalizarán los conceptos de límites laterales e infinitos.

5. Continuidad y límites laterales.

En el lenguaje cotidiano, un proceso es continuo si tiene lugar de forma gradual, sininterrupción o cambio abrupto. Del mismo modo se define el concepto de continuidaden un punto c:

Definición de continuidad:Una función f se dice que es continua en un punto csi:

1) está definida en c ∈ R, es decir, existe f(c)



2) existe lımx→c

f(x), es decir, si existe lımx→c−

f(x), existe lımx→c+

f(x) y

lımx→c−

f(x) = lımx→c+

f(x)

3) lımx→c

f(x) = f(c)

Una función f es continua en un intervalo abierto (a, b) si lo es en todos lospuntos del intervalo. Una función f es continua en el intervalo cerrado [a, b] silo es en el intervalo abierto (a, b) y, además, lım

x→a+f(x) = f(a) y lım

x→b−f(x) = f(b).

Si alguna de las condiciones anteriores no se verifica, aparece uno de los siguientesfenómenos de discontinuidad:

discontinuidad evitable: Si existe lımx→c

f(x) pero lımx→c

f(x) 6= f(c).

Ejemplo 1.2.2

• La función f(x) =

{x+ 2 si x ≥ 0,

2(x+ 1)2 si x < 0.es continua en x = 0.


x2−2x+1

x−1 si x 6= 1,

3 si x = 1.posee una discontinuidad evita-

ble en x = 0.

discontinuidad de salto: Si existe el límite por la izquierda lımx→c−

f(x), existe

el límite por la derecha lımx→c+

f(x) pero lımx→c−

f(x) 6= lımx→c+

f(x). Si lımx→c−

f(x) −lımx→c+

f(x) ∈ R, entonces se dice que la discontinuidad es de salto finito. En

caso contrario, la discontinuidad es de salto infinito.

Ejemplo 1.2.3


{ln(ex−1) si x ≥ 1,

1 si x < 1.posee una discontinuidad de sal-

to finito en x = 1.


{ 1x si x 6= 0,

0 si x = 0.posee una discontinuidad de salto infi-

nito en x = 0.

discontinuidad esencial: Si no existe alguno de los límites laterales lımx→c−

f(x)

ó lımx→c+

f(x).

Ejemplo 1.2.4 La función f(x) =

{sen(

1x

)si x 6= 0,

1 si x = 0.posee una disconti-

nuidad esencial en x = 0, ya que no existe ni lımx→0−

f(x) ni lımx→0+

f(x).



La suma, diferencia, producto, cociente y composición de dos funciones continuas escontinua, así como del producto de un escalar por una función continua.

Como consecuencia, podemos enunciar:

Teorema del Valor Intermedio: Supongamos que f es continua en un intervalocerrado [a, b] y que N es cualquier número entre f(a) y f(b). Entonces, existe unnúmero c ∈ [a, b] tal que f(c) = N .

1.2.3. Asíntotas de una función

Recordemos que hay tres tipos de asíntotas asociadas a una función f(x): verticales, hori-zontales y oblicuas. Se caracterizan por:

asíntotas verticales: Son de la forma x = a donde a /∈ D(f). Existen si lımx→a−

f(x) =

∞ y/o lımx→a+

f(x) =∞. No pueden cortar a la función en ningún punto.

Ejemplo 1.2.5 La función f(x) =1

x− 1tiene como dominio D(f) = R\{1}, luego

la única candidata a asíntota vertical de f(x) es x = 1. Como:

lımx→1−

1

x− 1= −∞, lım

x→1+

1

x− 1= +∞

entonces se trata realmente de una asíntota vertical.

asíntotas horizontales: Son de la forma y = b, b ∈ R, donde b = lımx→∞

f(x). Comose pueden calcular los límites a +∞ ó a −∞, pueden existir hasta dos asíntotashorizontales distintas. Las asíntotas horizontales pueden cortar a la función en unoo más puntos.

Ejemplo 1.2.6

• La función f(x) =x

1 + x2verifica que:

lımx→∞

x

1 + x2= 0 ∈ R

luego y = 0 es una asíntota horizontal (hacia −∞ y hacia +∞). Observemosque la curva y =

x

1 + x2y la asíntota horizontal y = 0 se cortan en el punto

(0, 0).

• La función f(x) =ex

x+ 1verifica que:

lımx→−∞

ex

x+ 1= 0, lım

x→+∞

ex

x+ 1= +∞

luego y = 0 es una asíntota horizontal hacia −∞, pero no hacia +∞. Obser-

vemos que la curva y =ex

x+ 1y la asíntota horizontal y = 0 no se cortan en

ningún punto.



• La función f(x) =1

1 + exverifica que:

lımx→−∞

1

1 + ex= 1, lım

x→+∞

1

1 + ex= 0

luego y = 1 es una asíntota horizontal hacia −∞, e y = 0 es una asíntota

horizontal hacia +∞. Observemos que la curva y =1

1 + exy las asíntotas ho-

rizontales y = 0 e y = 1 no se cortan en ningún punto.

asíntotas oblicuas: Son de la forma y = mx+ n, m ∈ R\{0}, n ∈ R, donde

m = lımx→∞

f(x)

x, n = lım

x→∞(f(x)−mx) .

Como se pueden calcular los límites a +∞ ó a −∞, pueden existir hasta dos asíntotasoblicuas distintas. Las asíntotas oblicuas pueden cortar a la función en uno o máspuntos.Las asíntotas horizontales y oblicuas son incompatibles hacia −∞ y hacia +∞, esdecir, si existe asíntota horizontal hacia +∞ no puede existir asíntota oblicua hacia+∞, e igualmente hacia −∞.

Ejemplo 1.2.7 La función f(x) =x3

(1 + x)2verifica que:

m = lımx→∞

x3

(1+x)2

x= lım

x→∞

x2

(1 + x)2= 1,

n = lımx→∞

(x3

(1 + x)2− x)

= lımx→∞

−2x2 − x(1 + x)2

= −2,

luego y = x− 2 es una asíntota oblicua (hacia −∞ y hacia +∞). Observemos que la

curva y =x3

(1 + x)2y la asíntota oblicua y = x− 2 se cortan en el punto (−2

3 ,−83).

1.3. Derivación

1.3.1. La derivada.

Dada una función f definida en un entorno del punto a, se define la derivada de f en x,que denotaremos por f ′(x) (también se darán a conocer otras notaciones para la definiciónde este concepto), como:

f ′(x) = lım∆x→0

f(x+ ∆x)− f(x)

∆x

siempre que éste exista, y donde ∆x representa el incremento de x. El cociente que apareceen la definición recibe el nombre de cociente incremental. Análogamente al caso de lacontinuidad, la derivada por la derecha y por la izquierda existen si los límites laterales(por la derecha y por la izquierda) del cociente incremental existen. Sólo si ambos soniguales, la función será derivable en dicho punto. Se dice que una función es derivable enun intervalo abierto (a, b) si lo es en todos los puntos del intervalo. Recordemos que laderivabilidad implica continuidad. El recíproco no es cierto.



1.3.2. Fórmulas de diferenciación.

Como es muy lento el cálculo de derivadas a partir de la definición, es conveniente cono-cer las reglas de derivación más básicas. A continuación mostramos las derivadas de lasprincipales funciones elementales:

Derivadas de funciones elementales Regla de la cadena

Potencia(xn)′ = nxn−1 (f(x)n)′ = nf(x)n−1f ′(x)

Exponenciales(ex)′ = ex

(ef(x)

)′= ef(x)f ′(x)

(ax)′ = ax · (ln a)(af(x)

)′= (ln a)af(x)f ′(x)

Logarítmicas

(lnx)′ =1

x, x > 0 (ln f(x))′ =

1

f(x)f ′(x)

(loga(x))′ =

1

ln a

1

x(loga f(x))

′ =1

ln a

1

f(x)f ′(x)

Trigonométricas(senx)′ = cosx (senf(x))′ = f ′(x) cos f(x)

(cosx)′ = −senx (cos f(x))′ = −f ′(x) senf(x)

(tanx)′ = 1 + (tanx)2 =1

(cosx)2(tan f(x))′ = [1 + (tan f(x))2] f ′(x)

(cotanx)′ = −(1 + (cotanx)2) =−1

(senx)2(cotanf(x))′ = − [1 + (cotanf(x))2] f ′(x)

Inversas trigonométricas

(arcsenx)′ =1√

1− x2, si |x| < 1 (arcsenf(x))′ =

f ′(x)√1− f(x)2

(arccosx)′ =−1√1− x2

, si |x| < 1 (arc cos f(x))′ =−f ′(x)√1− f(x)2

(arctanx)′ =1

1 + x2(arctan f(x))′ =

f ′(x)

1 + f(x)2

(arccotanx)′ =−1

1 + x2(arccotanf(x))′ =

−f ′(x)1 + (f(x))2

En la tabla anterior, la columna de la derecha es relativa a la derivación de funcionescompuestas (y equivalente al uso de la Regla de la Cadena). Además, tendremos que tener



en cuenta el álgebra de derivadas, cuyas fórmulas son:

Derivada de una suma/resta:

(c f(x))′ = c f ′(x), para c ∈ R.

Derivada de una constante por una función:

(f(x)± g(x))′ = f ′(x)± g′(x)

Derivada de un producto:

(f(x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)

Derivada de un cociente:(f(x)

g(x)

)′=f ′(x) · g(x)− f(x) · g′(x)

g(x)2, si g(x) 6= 0

1.3.3. La Regla de la Cadena.

Regla de la cadena: Si existen las derivadas de la función f respecto de u y de la funciónu = g respecto de x, entonces la función F = f ◦ g es una función derivable respecto de xy su derivada respecto de x, F ′(x) viene dada por la expresión:

F ′(x) = f ′(g(x)) g′(x).

1.4. Aplicaciones de la derivación

1.4.1. Recta tangente y recta normal a una curva y = f(x).

La recta tangente a una curva y = f(x) en el punto x = a viene dada por la expresión:

y = f(a) + f ′(a) (x− a)

y la recta normal a una curva y = f(x) en el punto x = a viene dada por la expresión:

y = f(a)− 1

f ′(a)(x− a)

Ejercicio 1.4.1 Calcula la recta tangente de las siguientes funciones en los puntos indi-cados:



f(x) = e−x2 en x = 1

En x = 1, f(1) = 1e , y la recta tangente viene dada por la expresión:

y − f(1) = f ′(1) (x− 1), es decir, y − 1

e= f ′(1) (x− 1).

Por tanto, tenemos que calcular f ′(1). Observemos que f ′(x) = −2x e−x2 , luego

f ′(1) = −2e . La recta tangente viene dada pues por y − 1

e = −2e (x− 1), es decir:

y =1

e(3− 2x).

Y la recta normal viene dada por y − 1e = e

2(x− 1), es decir:

y =e

2x+

(1

e− e

2

).

f(x) = ln(x+ 1) en x = 2

En x = 2, f(2) = ln(3), y la recta tangente viene dada por la expresión:

y − f(2) = f ′(2) (x− 2), es decir, y − ln(3) = f ′(2) (x− 2).

Por tanto, tenemos que calcular f ′(2). Observemos que f ′(x) = 1x+1 , luego f

′(2) = 13 .

La recta tangente viene dada pues por y − ln(3) = 13(x− 2), es decir:

y = ln(3) +1

3(x− 2).

Y la recta normal viene dada por y − ln(3) = −3(x− 2), es decir:

y = ln(3)− 3 (x− 2).

1.4.2. Regla de l’Hôpital.

El cálculo de límites presenta algunos casos de indeterminación que pueden ser dilucidadosgracias a una de las aplicaciones del cálculo de derivadas como es la Regla de l’Hôpital1: Supongamos f y g funciones diferenciables y g′(x) 6= 0 sobre un intervalo abierto I quecontiene al punto a, a ∈ [−∞,+∞], (salvo quizás a). Supongamos que

lımx→a

f(x) = 0 y lımx→a

g(x) = 0

o bienlımx→a

f(x) = ±∞ y lımx→a

g(x) = ±∞,

es decir, tenemos una indeterminación del tipo 0/0 o ∞/∞. Entonces,

lımx→a

f(x)

g(x)= lım

x→a

f ′(x)

g′(x)

siempre que el límite de la derecha no sea indeterminado.Dicha regla es válida también para el cálculo de límites laterales.

1Nota: La regla de l’Hôpital debe su nombre al Marqués de l’Hôpital (1661-1704), pero fue descubiertapor el matemático suizo J. Bernouilli (1667-1748).



Ejercicio 1.4.2

lımx→+∞

ex

x=

+∞+∞

(indet.) = (L’Hôpital) lımx→+∞

ex

1= +∞

lımx→−1

x2 + 2x+ 1

x+ 1=

+∞+∞

(indet.) = (L’Hôpital) lımx→−1

2x+ 2

1= 0

Análogamente, las indeterminaciones 0 · ∞ ó ∞−∞ se pueden resolver usando la Regla

de L’Hôpital, siempre y cuando se hayan transformado inicialmente en límites del tipo0

0ó∞∞

.

Ejercicio 1.4.3

lımx→+∞

xe−x = +∞ · 0 (indet.) = lımx→+∞

x

ex=

+∞+∞

= (L’Hôpital) lımx→+∞

1

ex= 0

lımx→+∞

(ex − x) = +∞−∞ (indet.) = lımx→+∞

ex(

1− x

ex

)= +∞ ·

(1− +∞

+∞

), donde

lımx→+∞

x

ex=

+∞+∞

= (L’Hôpital) lımx→+∞

1

ex= 0, luego

lımx→+∞

ex(

1− x

ex

)= +∞ · (1− 0) = +∞.

Nota: El caso de límites de f(x)g(x) que sean de la forma 00, ∞0 o 1∞ no se tratarán eneste tema.

1.4.3. Monotonía y determinación de extremos.

Intuitivamente una función es creciente o decreciente en un intervalo si su pendiente espositiva o negativa (respectivamente) en todos los puntos del intervalo. Por tanto, si lafunción es derivable se puede demostrar (de manera formal) cuándo es creciente y cuándodecreciente según el signo de su derivada. Los puntos en los que dicha derivada se anu-le serán llamados puntos críticos, ya que se corresponden con el paso de una funcióncreciente a decreciente o viceversa.El crecimiento/decrecimiento de una función se puede conocer usando el llamado criteriode la derivada primera:

Una función se dice creciente en x si f ′(x) > 0.

Una función se dice decreciente en x si f ′(x) < 0.

Notemos que los extremos relativos de una función también verifican la condición de puntocrítico f ′(x) = 0, pero no todos los puntos críticos son extremos relativos.

Ejemplo 1.4.4 La función f(x) =x

1 + x2está definida en R y tiene como derivada

f ′(x) =1− x2

(1 + x2)2.

Por tanto, es decreciente en (−∞,−1) ∪ (1,+∞) y creciente en (−1, 1). Además,posee un mínimo relativo en (−1,−1

2) y un máximo relativo en (1, 12).



La función f(x) =x3

(1 + x)2está definida en R\{−1} y tiene como derivada

f ′(x) =x2(x+ 3)

(1 + x)3.

Por tanto, es creciente en (−∞,−3) ∪ (0,+∞) y decreciente en (−3,−1) ∪ (−1, 0).Observemos que el punto que no pertenece al dominio influye en la determinaciónde las zonas de crecimiento/decrecimiento. Además, posee un máximo relativo en(−3,−27

4

)y un mínimo relativo en (0, 0).

El concepto de extremo relativo es un concepto local, mientras que el concepto de ex-tremo absoluto necesita conocer e comportamiento global de la función en el dominioconsiderado.

1.4.4. Concavidad y convexidad: el criterio de la derivada segunda.

En el caso de que la función sea dos veces derivable, se introduce el criterio de concavidadbasado en la derivada segunda. Los puntos en los que la curva cambia de cóncava a convexase llaman puntos de inflexión, y, si la función es dos veces derivable, se pueden identificarcomo los valores que anulan la derivada segunda f ′′(x) = 0. De ese modo:

Una función se dice convexa en x (abierta hacia arriba) si f ′′(x) > 0.

Una función se dice cóncava en x (abierta hacia abajo) si f ′′(x) < 0.

Ejemplo 1.4.5

La función f(x) =x

1 + x2está definida en R y tiene como derivadas:

f ′(x) =1− x2

(1 + x2)2, f ′′(x) =

2x(x2 − 3)

(1 + x2)3.

Por tanto, es cóncava en (−∞,−√

3) ∪ (0,√

3) y convexa en (−√

3, 0) ∪ (√

3,+∞).

Además, posee como puntos de inflexión:

(−√

3,−√

3

4

), (0, 0) y

(√

3,

√3

4

).

La función f(x) =x3

(1 + x)2está definida en R\{−1} y tiene como derivadas

f ′(x) =x2(x+ 3)

(1 + x)3, f ′′(x) =

6x

(1 + x)4.

Por tanto, es cóncava en (−∞,−1)∪ (−1, 0) y convexa en (0,+∞). Observemos queel punto que no pertenece al dominio influye en la determinación de las zonas deconcavidad/convexidad. Además, posee un punto de inflexión en (0, 0).



1.5. Representación gráfica.

Describimos los pasos principales para representar gráficamente una función y = f(x):

1. Dominio.

2. Continuidad y derivabilidad: Calcular los valores de x para los que la función escontinua y los valores de x para los que la función es derivable.

3. Paridad/periodicidad: Comprobar si la función es:

a) par: si verifica que f(−x) = f(x)

b) impar: si verifica que f(−x) = −f(x)

y/o si es periódica, es decir, si existe T > 0 tal que f(x+ T ) = f(x).

4. Cortes con los ejes:

a) Corte con el eje OX: Calcular los puntos x0 tales que f(x0) = 0. Dichos puntostienen por coordenadas (x0, 0).

b) Corte con el eje OY: Calcular f(0). Dichos puntos tienen por coordenadas(0, f(0)).

5. Asíntotas:

a) Verticales: Existen si existe un punto a /∈ D(f) tal que lımx→a−

f(x) = ∞ ó

lımx→a+

f(x) =∞.

En ese caso, x = a es una asíntota vertical.

b) Horizontales: Existen si lımx→∞

f(x) = b ∈ R. En ese caso, y = b es una asíntotahorizontal.

c) Oblicuas: Existen si existe lımx→∞

f(x)

x= m ∈ R, y si existe lım

x→∞(f(x)−mx) =

n ∈ R. En ese caso, y = mx+ n es una asíntota oblicua.

NOTA: No pueden existir simultáneamente asíntotas horizontales y oblicuas.

6. Monotonía, extremos:

a) Crecimiento/decrecimiento: Calcular los valores de x para los que la funciónes creciente (f ′(x) > 0) y los valores para los que la función es decreciente(f ′(x) < 0).

b) máximos/mínimos: Calcular los puntos que verifican que f ′(x) = 0 y tales queque son un máximo o un mínimo de la función.

7. Concavidad/convexidad, puntos de inflexión:

a) concavidad/convexidad: Calcular los valores de x para los que la derivada se-gunda de la función es positiva o negativa.

b) puntos de inflexión: Calcular los valores de x para los que se verifica que f ′′(x) =0.



8. Representación gráfica.

Ejercicio 1.5.1 Dada la función

f(x) =x2

x2 − 1

represéntala gráficamente estudiando previamente: dominio de definición, simetrías, cortescon los ejes, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, concavidad y convexidad,puntos de inflexión y asíntotas.Solución: Describimos a continuación los principales pasos a seguir para obtener la repre-sentación gráfica:

Dominio: D(f) = R\{−1, 1}.

Corte con los ejes:

• Corte con OX: Buscamos la intersección de y = f(x) con y = 0, que es el punto(0, 0).

• Corte con OY : Se corresponde con el punto cuya coordenada x = 0, es decir,(0, 0).

Asíntotas:

• Asíntotas verticales: Las candidatas son x = −1 y x = 1, ya que {−1, 1} /∈ D(f).Lo comprobamos:{

x = −1 lımx→−1− f(x) = +∞

lımx→−1+ f(x) = −∞

} {x = 1 lımx→1− f(x) = −∞

lımx→1+ f(x) = +∞

}

• Asíntotas horizontales: Son de la forma y = b, siendo b ∈ R tal que lımx→∞

f(x) =

b. Observemos que:

lımx→∞

x2

x2 − 1= 1.

Por tanto, la función posee una asíntota horizontal que es y = 1 cuando x →−∞ y x→ +∞.

• Asíntotas oblicuas: No hay, ya que existe asíntota horizontal.

Monotonía, máximos y mínimos: Para estudiar la monotonía, calculamos laderivada primera de la función:

f ′(x) =−2x

(x2 − 1)2.

Igualando la expresión anterior a cero, obtenemos que f ′(x) = 0 si x = 0, de maneraque f es creciente en (−∞,−1) ∪ (−1, 0) y decreciente en (0, 1) ∪ (1,+∞). Además,podemos deducir que en x = 0 hay un máximo relativo, que se corresponde con elpunto (0, 0).



Concavidad/convexidad, puntos de inflexión: Para su estudio, calculamos laderivada segunda:

f ′′(x) =6x2 + 2

(x2 − 1)3.

La expresión anterior nunca es igual a cero, pero puede cambiar de signo, ya que eldenominador lo hace en x = −1 y x = 1. No hay, por tanto, son puntos de inflexión,pero la derivada segunda es positiva en (−∞,−1) ∪ (1,+∞) y negativa en (−1, 1).

La siguiente gráfica corresponde a la función y =x2

x2 − 1en el intervalo [−3, 3]:

–10

–8

–6

–4

–2

2

4

6

8

10

12

–3 –2 –1 1 2 3x

Ejercicio 1.5.2 Dada la función

f(x) = ln(x2 + 2x)

represéntala gráficamente estudiando previamente: dominio de definición, simetrías, cortescon los ejes, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, concavidad y convexidad,puntos de inflexión y asíntotas.Solución: Describimos a continuación los principales pasos a seguir para obtener la repre-sentación gráfica:

Dominio: D(f) = (−∞,−2) ∪ (0,+∞).

Corte con los ejes:

• Corte con OX: Buscamos la intersección de y = f(x) con y = 0, que gracias alas propiedades del logaritmo son los puntos que verifican x2 + 2x = 1, es decir,los puntos (−1−

√2, 0) y (−1 +

√2, 0).

• Corte con OY : Se corresponde con el punto cuya coordenada x = 0. Como0 /∈ D(f), no hay puntos de corte con OY .

Asíntotas:



• Asíntotas verticales: Las candidatas son x = −2 y x = 0, ya que (−2, 0) /∈ D(f).Lo comprobamos:

x = −2 lımx→−2− f(x) = −∞

x = 0 lımx→0+ f(x) = −∞

• Asíntotas horizontales: Son de la forma y = b, siendo b ∈ R tal que lımx→∞

f(x) =

b. Observemos que:

lımx→∞

ln(x2 + 2x) = +∞.

Por tanto, la función no posee asíntotas horizontales ni cuando x → −∞ nicuando x→ +∞.

• Asíntotas oblicuas: Son de la forma y = mx+ n, m, n ∈ R, donde

m = lımx→∞

ln(x2 + 2x)

x=∞∞

= L’Hôpital lımx→∞

2x+2x2+2x

1= 0,

Luego como m = 0 no hay asíntota oblicua.

Monotonía, máximos y mínimos: Para estudiar la monotonía, calculamos laderivada primera de la función:

f ′(x) =2x+ 2

x2 + 2x.

Igualando la expresión anterior a cero, obtenemos que f ′(x) = 0 si x = −1 /∈ D(f).Observemos que, en cualquier caso, la derivada en los puntos a la izquierda de x =−1 y a la derecha de x = −1 tendrán signo distinto, es decir, f es decreciente en(−∞,−2) y creciente en (0,+∞). Además, podemos deducir que la función no poseeextremos relativos.

Concavidad/convexidad, puntos de inflexión: Para su estudio, calculamos laderivada segunda:

f ′′(x) =−2x2 − 4x− 4

(x2 + 2x)2.

La expresión anterior nunca es igual a cero, el numerador es siempre negativo yel denominador siempre positivo. Por tanto la función siempre es cóncava (abiertahacia abajo), y no hay puntos de inflexión.

La siguiente gráfica corresponde a la función y = ln(x2 + 2x) en el intervalo [−10, 10]:



–1

0

1

2

3

4

–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x

1.5.1. Problemas de optimización

Aunque se trata de una de las aplicaciones más útiles de la derivación, los problemas deoptimización presentan una dificultad adicional para el alumno: Esta consiste en traducirun enunciado escrito en lenguaje cotidiano al lenguaje matemático. Por ello, deben quedarclaros los pasos a dar para un buen planteamiento y resolución del problema:

asignar variables o símbolos a cada una de los elementos que aparecen en el problema

escribir una ecuación inicial que exprese lo que se quiere maximizar o minimizar,

si en la ecuación anterior aparecen varias variables, escribir una o varias ecuaciones(de ligadura) que relacionen las variables entre sí a partir de la información suminis-trada por el problema

gracias a las ecuaciones de ligadura, escribir la ecuación inicial como una funciónexplícita de una única variable (independiente): Función a optimizar

determinar el dominio de la función a optimizar

calcular los extremos de la función usando los métodos y criterios anteriormenteexplicados.

Ejercicio 1.5.3 Uno de los lados de un campo abierto está acotado por un río recto.

1. ¿Cómo podrían cercarse los otros tres lados de una figura rectangular para encerrarla mayor área posible con una cerca de longitud 80 m?

2. Si se desea vallar una superficie de 18 m2, ¿qué dimensiones requerirán la mínimacantidad de valla?

Solución:



(a) El campo abierto sólo requiere 3 lados de cerca, ya que el lado del rectánguloque falta tiene como frontera el río. Al tratarse de un rectángulo, habrá 2 ladosde longitud x y un lado de longitud y. Por tanto, el perímetro viene dado por2x+ y y según el enunciado debe ser igual a 80, es decir, 2x+ y = 80. Por otraparte, el área de dicha figura (que es un rectángulo) viene dada por A = x · y. Siqueremos deducir la expresión del área A en función de x, hacemos lo siguiente:

A = x · y2x+ y = 80

}⇒ A(x) = x (80− 2x) = 80x− 2x2.

Observemos que se trata de una función continua definida en [0, 40], pues fue-ra de dicho intervalo la función A(x) toma valores negativos (y eso no tienesentido).Estamos entonces ante un problema de calculo de extremos absolutos de unafunción, para una función continua en un intervalo cerrado y acotado. Por tan-to, para calcular los extremos absolutos de la función tenemos que estudiar losvalores de dicha función en los posibles candidatos:• extremos: x = 0, x = 40, y sus valores son A(0) = 0, A(40) = 0,• puntos en (0, 40) donde A′(x) = 0: x = 20, y su valor es A(20) = 800,• puntos donde la función no es derivable: en este caso no hay.

Máximo de A : 800, alcanzado en x = 20. Mínimo de A : 0, y se alcanza enx = 0, x = 40.

Otra forma de resolver el problema es estudiando su gráfica. Observamos que:

A′(x) = 80− 4x, A′(x) = 0 ⇔ x = 20.

Luego A es creciente (estrictamente) en (0, 20) y decreciente (estrictamente) en(20, 40). Por tanto, la función A(x) alcanza un máximo local en x = 20, quees A(20) = 800. Como A(0) = 0 y A(40) = 0, deducimos que dicho máximo esglobal.

En definitiva, debe haber 2 lados de 20m. y un lado de 40 m. para que el áreaencerrada por la cerca sea la máxima posible.

(b) En este caso, los datos del problema nos llevan a la conclusión siguiente, dondeP es el perímetro de la superficie que se desea vallar:

x · y = 18P = 2x+ y

}⇒ P (x) = 2x+

18

x.

Observemos que se trata de una función continua definida en (0,+∞), puesfuera de dicho intervalo la función P (x) toma valores negativos (y eso no tienesentido).Estamos entonces ante un problema de calculo de extremos absolutos de unafunción, para una función continua en un intervalo semiabierto y no acotado.Por tanto, para calcular los extremos absolutos de la función sólo podemos usarel segundo razonamiento del apartado anterior. Observemos que:

P ′(x) = 2− 18

x2, P ′(x) = 0 ⇔ x = 3.



La función P (x) es decreciente en (0, 3) y creciente en (3,+∞), por tanto poseeun mínimo local en x = 3 que vale P (3) = 12. Como además lım

x→0+P (x) = +∞

y lımx→+∞

P (x) = +∞, podemos deducir que dicho mínimo es global.

En definitiva, debe haber 2 lados de 3m. y un lado de 6 m. para que se requierala mínima cantidad de valla.


Cálculodiferencial:Conceptoy propiedadesdeunafunción...

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