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Escuera s,p".io,.'li,;Hll"#ü;;ilJH:ltrias Extra ctivas

Academia da MatemáticasPrimer examen parciar de cárcuro superior rurno vespirtino Tipo A 13sep11Duración: 2 horas' 5e permite consultar formularío. *" r" ,"rr,te uso de calculadora. Respondasólo los ejercicios para completar 10,puntos.

EJERclclo 1' Espacios vectoriales. 2 puntos. (a) Determíne si tres erementos u,u y wde un espaciovectoríal son linealmente independ¡entes cuandc existe entre ellos la relación 3u * zu- w = 0.(b) suponga ahora que^en efecto son índependientes, determine los valores de k,my n de larelación (3k - 1)u * 2mu - (1 _ n)w = 0

EJERqclo 2' convención de suma' 2 puntos. Desarrolle la siguiente suma dobre, para n= 3, utirizando erconvenio de suma, expresando cuales son los índices libres y cuales los índices d" ru^,^, r_r, *,EJERclclo 3' sumatorias' 2 puntos. 5i es posible, exprese ra siguiente suma en forma compacta utilízando laconvención de suma. Si no lo es, utilice la notación f:

n.-n,,§ffr*,##.o,##-o,{2(*o or'N , ^'áx'dx'vtr

á7 jp i vrz i¡ ij + 9n ñ a,é r

n 0x, axt . _ af axt ax, ar,e't ,u|fr+9ztññ*9,ññ

EJERcfclo 4' Determinantes' 2 puntos. calcule el determinante del arreglo dado utirizando propiedades y ladefinición tensorial de determinantes. Nota: si no utitiza estos dos recursos, su respuesta se considerar áerrónea.

^=(r' ; i) Uso de propiedades lpunto. Uso de la definición tensorial 1 punto

EJERClclo 5' sistemas de coordenadas curvifíneas. 3 puntos. calcule la integral I : Í; e-,, dx, con elsigu¡ente procedímiento:

(a) construvendo lz.= !í ,-" dx ff, e-f ay: Ií [í

"-(xz+yz) d.xdy yconsiderando quedA = dxdy = rd1d'r, haga el cambio de coordenadas en fa integral, de rectangular.r, *Lra,(nota: ras coordenadas porares son ras coordenadas ciríndricas con z = 0)(b) Determine el intervalo de varíación de las coordenqdas r y 0 para generar ra misma región deintegración que las rectangulares (es decir, todo el plano Xy). Estos valores serán los nlevos límitesde las integrales.

(c) lntegre y despeje la integral solicitada. Nota: cuando las variables son independientes (como en' este caso r y 0) y los límites constantes, una integral dobre se puede separar en el producto de dosintegrales senciltas, cada una respecto a una rariable.

EJERClclo 6' Rotacional de un campo vectoriar. 1 punto. Determine er rotacionar vxÉ = e ¡¡y'¡F,é¡rpara ercampo vectorial. Fe,y,z) - 4xy Í + {2x2 + Zyz)i + (3zz + yll

Escue ra s, pu'io, Xi ;HHX["áffi::'i[:lstria s Extra ct iva s

prime r exa me n departa men,j:1';T:':"r[1T]ffi Matutino, ripo A, 135e p 1 1Duración: 2 horas. 5e permite consultar formulario. No se permite uso de calculadora. Respondasólo los ejercicios para completar 10 puntos.

1' Espacios vectoriales.El conjunto S = [Mr, M2, M3,Mn]cuyos elementos se dan a continuación,es una base para el espacio vectorial de matrices de Z x 2:

*,=[fr 3],", = [3 uo!,*,=[l

3],"- = [3 :]Demuestre que es una base ortogonal, para el producto interior definido de la siguiente manera:

Azz . Bzz = [::: ::l li:: i::]= a,.b. * a,2b,, * a2,b2, ! a22b22 2 puntos

2' Convención de suma.Desarrolle la siguiente suma doble, para n = 3, utilizando el convenío desuma, expresando cuales son los índices libres y cuales los índices de suma.

afbJ xu

2 puntos

3' Sumas. Sí es posible, escriba la siguiente suma con la convención de suma de Einstein; si no loes, utilice la notación f: ds2 = gr,qdxr), + gr(d*r), + grr(dxr), l punto

4' Determinantes. Calcule el determinante del arreglo dado utilizando propíedades y la definicíóntensorial de determinantes. Nota: si no utiliza estos dos recursos, su respuesta se considerará/-L 0 2\errónea.l = I ; :z ; I uso de definición tensoriatl punto.\, o tuJ

Uso de propiedades l punto.5' Coordenodos polores. Las coordenadas polares se obtienen a partir de las cílíndricas haciendoz=0' El movimiento generaleri un plano puede describirse tanto en coordenada, ¡."a.r,grl.r",como en polares. El vector de posicíón de una partícula expresado en ambos sistemas, es:

Donde ahora debemos entender or. ,.Í;í,t,.,lJr*it!;oer vector de posición), comod+ectcnbasp li., son variables en general.

(a) Demuestre que usando la base polar podemos expresar la velocidad de la partícula en laforma

ú=#=i§.+r000,endonde f =*'á=# lpunto(b) Derivando una vez más y t.otJán.ndo un poco los términos, demuestre que la aceleración

en coordenadas polares está dada por:

d =*= (i - r0\§,+ e6+zte)0e,endonde , =#vi) =# lpunto(c) si el módulo del vector de posición es constante, es decirsi consideramo s un movimiento

circularr(tl = fr (constante), y además es uniforme, lo cual implica que la velocidad angular0 = a¡ sea constante, las fórmulas de los incisos (a) v (b) se reducen. obténgalas. 1 punto

6. Determine el gradiente v f = 0¡f é¡ para la función dada, en el punto indicado.

f (x,y,z) = xzzzsenay,(2,i,t)1 punto

I NS]'II'UTO POt,ITIJCI'i I CO NAC ION AL,I]SCUELA SUPERIOR DE INGENIERíA QUiMICA E INDUSTRIAS EXTI{ACI'IVAs

lCT E)GMEN DEPARTAMENTAL DE O{I-CUI-O SUPERIOR28/Feb/20L2,11:00 - 13:00 hrsACADEMI,A DE MATEMAT¡CAS

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. 15 m inutos de a.la academia sin ejercicios resueltos. lndique

\Slglqe cada probtema:2 puntosProfesor: É -rr¡ ¿ Boleta 2¿//3?zzaAUMNO: (b¿re- 4ar.z¿-. 4JrátW Grupo 1Tfi7A

1. Determine si el conjunto de rectores son l¡nealmente ¡ndependientes.

v, = (a,-1,1,Q), v, = (L,z,o,Q),rr' = (e,2,3,-l) y vu= (1,0,1,0)

2. Escriba fa siguiente suma con la convención de sumade Einstein.

¿It =a'#-...*o'#

3' Calcule el determinante utilizando únicamente propiedades de determinantes. No desarrolle pormenores. sugerencia: puede llevar et,arreglo a un' anqto triangular.

4. Determine el sólido que está acotiado por las gráficas que se indican:

xz +y_2 -4, x2+y2 *zz =16, z=o

5. calcule la dívergencia y er rotacionalde la siguiente función vectoriar

F(x,y,z) = sxyes'i+ nx3yze, j +(fi)xyzetx

Dados los vectores x1=(112,2), x2=(1, 3t4) y v=(2,4).Determine los componentes contravar¡antes (a'lá')'oe v con respecto a los vectores Xr y xz.Determine los componentes covariantes (a1, ár) o"',

"on Áp*to a los vectores xt y xz.

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6.a)b)

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ffilnstruccion€ iS m,Formulario c,, la ac;

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1' Espacios vectoriares, La¡es. sea ef conjunto de matrices de orden 2.

, = [[á j,],[ á],h, ;l,ti _,,1]

3:f,HIñ' es una base en M, (linealmente independiente y generado r). M, eser conjunto de:¿. tensores básicos y convención de suma.Demuesrre que {r-x f¡ x cl = iJ.ó; _ @.b)cNota: elproductoescalar"rt¿ irOoior a-b = a¡bi,mientras que ox b = e¡¡¡ra¡b¡e¡,3' calcule eldeterminante por medio de e¡¡¡,utirizando propiedades de ros determinantes.

4. Coordenadas curvifíneas.

Donde.,4

[fr§,f,U::f;jfi ff;trffff Hffi g.,ñ ¡"fl] de,a a cademia

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14 6 Bt

l¿ 3 ,B,l(a) Determine la región acotada por tas ecuaciones siguientes: xz .+ y, : 4, xz * y, + z2 = L6,v : 0(b) cambie las siguient"t

""'""¡[iufi "ooro"nadas iirinJi*, y determine ros intervaros de variacién oer' 0 y z que se requieren para generar er vorumen rimitado por estas superficies.

*' + !. = 4,2=gy z=0.5' carcure ta divergencía y rotacionarde ra siguiente función vectoriar

f (x,y, z) = rxe-ri + 4yz2 j * 3ye_z

6' sistemas de ecuac-iones tineales' Determine los varores de a pararos cuares er sistema de ecuacioneslineares sisuienre t¡un" ,n nri-u"ro;;1*r;,1il:#JJ iorráu r" án"-r*iái a varores de a)xr*(5-a)xz-t3=0

Resuelva ros sistemas resuttantes. nÍ,.?!i!:r:r:

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7 ' Ecuaciones matriciates. Encuentre ra matriz x, tat que. (A + A\x * A2 = (A _ Ar)X

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ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA QUIMICA E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS1Cr EXAMEN DEPARTAJI{ENTAI DE OúCUM SUPUN¡ON

28/Feb/2012,11:00 - 13:00 hrsACAD EMIA DE MATEMATICAS

lnstrucciones: 'lS minutos O" to

iXnn:il:,:':"?::1i:;,j:'"Y"1,::;-j:3*r" craramente sus resultados. Resrese esta hoja c,on su cuademiilo, resuetva para 10pafaProfesor:

BofetaAlumno:Grupo

1. Determine si el conjunto de vectores son linealmente independientes.

u, = (0, -2,1,,0),v2: (1,2,0,0),us = (0,2,3,-l) y vo : (1,0,2,0)

Escríba la siguiente suma con la convención de suma de Einstein.

5p =b,#- *u,#

calcule el determinante utilizando únicamente propiedades de determinantesmenores. sugerencia, puede llevar el aneglo a un aneglo triangutar.

t0 L4 5r

lz s o 1l

ll i" gl

4- Determine el sólido que está acotado por las gráficas que se indican

No desanolle por

z=xz*y2, x2+yz=25, z:o

5. calcule la divergencia y el rotacionalde ra siguiente función vectoriar

f (x,y,z) = -Sxye6*í* ax3yzezj * bxyzetk

Dados los vectores x¡(512,2), x2=(3, Sta) y v=(S, 4).Determine los componentes contravar¡aníes 1ai á'¡'oe v con respecto a los vectores xt y xz.Determine los componentes covariantes (a1, a2) de'v con repecto a los vectores xr y xe.

IPNESIQIE

PRIMER DEPARTAMENTALCALCULO SUPERIOR

25 DE FEBRERO DE 2013 ,I2.15 HRS-

Instrucc¡ones: 15 minutos de tolerancia . Duración 120 min. Presenta klertif¡oción. APAGA TU CELULAR O SE PUEDE RECOGER TU Efir''tEN.Formulario de la academia. Se permite C¿lo¡ladora NO graficadora. Corteda de forma order¡ada e lndica damrnente tu resultado. Regresaesta hoJa con tu arademillo. Res.¡elve solo para 10.0 puotos. LOS PROCEDIMENTOS DEBEN ESTAR COMPTETAMET'¡TE oESARROLLADOS.

l.- Aplicando la notación de sumatoria de Einstein, demostrar la siguiente identidad vectorial(2 puntos):

(Ax B). (B x A) = (A. B)' - (A - A)(8. B)Utilizando las siguientes propiedades de la notación de subíndices:

lt-v=6¡ru¡ur =u¡t¡ uxv= €¡¡é,urvo

- .€¡k€i^n = 6¡.6a, - 6¡r6u, é,'é, = 6, é,xé, = €aiér'

6 j^6 ktJt jv n tl kv , = (6 .,^u ,v ^)(6 *u rv n) = (o ¡, ¡)(u rv r)

2.- Determinar si el siguiente conjunto forma o no una base. Desarrollar la demostración y declararsi el conjunto forma o no una base y decir porqué (2 puntos):

ftr ol t-- r - rl l-o rl I-o 2 ll'-" =tL, ol Lo -rJ [, rj [, -r1l

3.- Resolver e[ determinante aplicando propiedades de determinantes (2 puntos)

I -l 2 |

2 -l -l 4

i-q s -lo -6i,l

;3 -2 l0 -li

Descarga este examen y sus respuestas en https://sites.google.com/site/matematicasesiqieipn

it¡ =

4.- Calcular:a) rf, para f(x,y,z)=xz*y2 +yi donder:xi+y j+zk eselvectordeposición (l punto)

b) Calcular div(rQ, y finalmente evatuárla en el punto P(1,2,3) (l punto)

5.- Sólidos y Curvas:a) Determine el sólido delimitado por las superficies: ( I punto)

. x'*y'=4 A=; *t*y'+22=25b) Determine la curva generada por: ( I punto)

F(t) = Scos0i + 5sen(t)i para te{0,n/2)6.' Determinar el conjunto de valores de c¿ para que el sistema de ecuaciones sea linealmenteindependiente (2 puntos):

It t z1lx.l t-rl

L: l ,'{;;] Ll]

ffiB IPNESIQIE

PRIMER DEPARTAMENTALcÁrculo supERtoR

25 DE FEBRERO DE 20f3 12:iS HRS.

Insbuccbnes: ls m¡nutos de tohranda ._ourqaon-zoñn. pr€senta kenüficacián. eprcrffillfff ¿:áT,il ffm:r:T:*Ty.ggl*^g**.*^rry_qgssda e rndica darar*nte tu req¡nado. Resresaffi|.?l

con h¡ cuademirro. Resuetve soro para r0.0 pur¡fu. ros mocro¡¡ri¡nófó¡#N;#ñ üffitr^11ffiffiHffi'#&""á;Hnna: Bol:

l'- Aplicando la notación de sumatoria de Einstein, demostrar la siguiente identidad vectorial(2 puntos):

(U xv) . (U "pt/) = (U . U)(t/ .w) _ (U .W)(U . v)

utilizando las siguientes propiedades de la notación de subíndices:a'b=6rra.,br=d,b, axb-€¡&,a,br

€¡k€i^,=6¡^6rn-6¡^6a, é,'ér=6, é,xér=€t,jér6 r^6 oa.,b ^a rb, - (6,^a,b^)(6 *a rb,) = (o

¡b ¡)(a rbr)2'- Determinar si el siguiente conjunto forma o no una base. Desarrollar la demostración y declararsi el conjunto forma o no una base y decir porqué (2 puntos):

,^.,={1,,;,] [_ j _l] [: ?] t: :,1]

3.- Resolver el determinante apricando propiedades de determinantes (2 puntos)

4.- Demuestre que:a) La solución de la ecuación de Maxwell v'H = 0 es H : vxA, donde A es et potencial vectorial.

(l punro)

(l punto)

(t punro)7r

9=,(l punto)

F(t) = 2cos(r)r' +2sen(t)i + tt para te[0,3n/2]

6'-. Determinar el conjunto de valores de c¿ para que el sistema de ecuaciones sea linealmenteindependiente (2 puntos):

14 -r _3 6l

lgl='l-2 3 ' ol

l0 5 0 0i

lt 2 3 -ll

Ii

D

rt,

b) Verifique este resultado con A = xz i + y2 ¡ + yzz k

5.- Sólidos y Curvasa) Determine el sólido delimitado por las superficies:

0 =I ,'+ y' +22 =25 e=0b) Determine Ia curva generada por:

li :: i{ll [l']

Descargaesteexamenysusrespuestasenhttps://sites.g*gI".o'7'it"ffi

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IPNESIOIE

PRIMER DEPARTAI¡ENTALPRECALCULO

10 DE SEPTIEMBRE DE 2013 9:30 HRS

Infúcdor€s: 15 mlnutos de tobrancia . Duracfiín 90 mln. Presenh Uertificacion. APAGA TU CELUTAR O SE ruEDE RE@GER TU Eü¡48N. Formutariode la academ¡a. NO perm¡te Calohdora graficadora. Contesta de furma ordenada e indica dar¿mente h¡ res¡ltado. Regresa esta hoja con tu o¡ademillo.Resudvesolo para 10.0 puntos. Los PRoCEDIMEMToS DEBEN ESIARCoMPt-EIAI4ENTE DESARROTIADOS.

Problema l. Sea el campo vectorial F(x,y,z): (e* seny;ex cosy;z\ Determinar:a)Divergencia b)Rotacional (2 puntos)

Problema 2. Aplicando la notación de sumatoria de Einstein, demostrar la siguiente identidad vectorial. (2puntos):

Y x(Ax B) = A(v .B)- B(v . A)Utilizando las siguientes propiedades de [a notación de subíndices:

rt.v = 6rourvr =u¡v¡ ttxy = €u1é,urvo

V =e_!- ox^

€¡k€,*n :6¡^6u, - 6¡n6t^ 'é,'e, = 5- é,xér: ta¡é*

5 ,^6 *u ,v ^il kv n = (6 ,^u ,v ^)(6 *u rv ^) = (u tv ¡)(u ru n)

Problema 3.Determine si el siguiente conjunto de matrices determinan una base en el espacio vectorial dado(2 puntos):

M,,, en lt'

Problema 4. Sea la Matriz A[-r r -r 21

l-, z -3 rl4=l -'ll2 -l I 3l

Ir -r -r s]

Calcular el determinante de A aplicando propiedades de los determinantes (2 puntos).

Problema 5. A continuación se listan las curvas que limitan Ia superficie de un sólido. Dibuje el sólido (2puntos):

a) curvagenerada porel parámetro d, encoordenadas cilíndricas, con z=a yr = 3b)curvageneradaporel parámetro d,encoordenadas cilíndricas,conz= s y r= 3c)curvagenerada porel parrímetro 0, encoordenadas cilíndricas, con z=a y r= 1

d)curvageneradaporel parámetro d, encoordenadas cilíndricas,con z =s yr= lNota: considere alángulo d, talque }§gn.

{[ti][-l:]l;tl[;l]]

Descarga este examen y sus respuestas en https:i/sites.google.com/sit"7*rt"rrti."oriqi.ipn

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PRIMER DEPARTAMENTALCalculo superior

1O DE SEPTIEMBRE DE 2013 16.00 HRS

Instrucciones: 15 minutos de tolerarrcia . Duración 90 min. Presenta idenfific¿cion. APAGA TU CELULAR o sE PUEDE RECOGER TU EüMEN. Formulariode la acadernia. NO permite Calo¡ladora. Contesta de forma ordenada e indica daramente tu re§lltado. Regresa esta hoja con tu cuadernillo. Resuelve5OIO PATA 1O.O PUNTO§. LOS PROCEDIMENTOS DEBEN ESTAR COT4PLETAMENTE DESARROLLADOS.

Firma: 8ol:

Problema I . Se tiene el siguiente campo escalar: 6 : xl * yz * zx, y el siguiente campo vectorial:

F : xzy * j,' , + zz x. Determinar las siguientes operaciones:

a) F.(v/)u) (v/) x F

(2 puntos) :

Problema 2. Aplicando la notación de sumatoria de Einstein, demostrar la siguiente identidad vectorial. (2puntos):

Áx(Ex0:(É 4-c-ri,4l-ÉUtilizando las siguientes propiedades de la notación de subíndices:

ll't:6rourrr =u,v¡ uXV: E¡teiulvt

€4k€i*n = 6 r,,6^ - 6¡16*n, é,'é, = 6, é,xé, = €r,jét

6 t^6 o,u ,v *u kv n = (6 ,^u ,v ^)(6 o;t ov ^) = (u ¡, ¡)(, o, ) "

Problema 3.Determine si los siguientes conjuntos de vectores determinan una base en el espacio vectorialdado (2 puntos):

[(i,2, -i,o), (o,r,o,ri, (-r, -;,:,0], (2,s, -2,7i] en s,

Problema 4. Sea la

lz 3 -2 41

lr 4 -r tolA=l IlJ 2 3 4lrll-z 4 o s)

Calcular el determinante de A aplicando propiedades de los determinantes (2 puntos).

Problema 5. A continuación se describen las superficies (en coordenadas cilíndricas y rectangulares), quelimitan a un sólido. Dibuje el sólido (2 puntos):

a) 0=0y0=x/2b) r=3c) z=0y z; it6-*'-y'

Sugerencia: la superficie en coordenadas rectangulares del inciso (c) puede convertirla a coordenadases fericas o manipu larla al gebrai camente hasta reconocerla.

l_.1 -

Matriz A

IPNESIOIE

PRIMER DEPARTAMENTAL. Calculo superior

1O DE SEPTIEMBRE DE 2013 16:OO HRS

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Instrucciones: 15 minutos de tolerancia . Duración 90 min. Presenta idertificacih. APAGA TU CELULAR o sE PUEDE RECoGER TU aAMEN. Formulariode la academia. NO permite Calculador-¿. Contesta de forma ordenada e indica daramente tu resiltado. Regresa esta hoja con tu orademillo. ResuelveSOIO PArA 1O.O PUNtOS. LOS PROCEDIMENTOS DEBEN ESTARCOMPLETAMENTE DESARROLLADOS.

Firma: Bol:

Problema l:Setieneelsiguientecampo vectorial: F :.r2], * ),r, * z2-rjuntocon el siguiente campo

escalar: Ó : x! + yz + ZX. Determinar tas siguientes operaciones:

a) (/v)' F

b; v/xF(2 puntos)

Problema 2. Aplicando la notación de sumatoria de Einstein, demostrar la siguiente identidad vectoriat. (2puntos):

i (E*C) :qÁxF¡ iutilizando las siguientes propiedades de Ia notación de subíndices:

u-v = 6¡or¡rr :u¡v, llxv = t4teiulv*€¡k€i*n = 6r*6*n - 6.,n6r,n é,'é, = 6, é,xé, = €*,jé*

6 ¡,6 o,u .,v *u kv, = (6 r,nu rv ^)(6 n,u rvn ) = (u

ru ¡ )(u o, o )

Problema 3.Determine si los siguientes conjuntos de vectores determinan una base en el espacio vectorialdado (2 puntos):

.i = {(-1, -i.2.01, (r,:, -L.oj, (:,¡. -z.zj. io.r,o,ui en 31

Problema 4. Sea la Matriz A

Problema 5. A continuación se describen las superficies, en coordenadas esfericas, que limitan a un sólido.Dibuje el sólido (2 puntos):

a) 8=nl4b) r:3c) 9:0,y<p:n/2

Nota: aquí, 0 representa al ángulo entre el radio vector y et eje z. Y g es el ángulo entre la proyección delradio vector sobre el plano r-1, y el eje x

r%

It -2 3 -4)o=1, -r o -tl

L: :, :;]Calcular el deterrninante de A aplicando propiedades de los determinantes (2 puntos).

ll-NESIOIE

PRIMER EMMEN DEPARTAMENTALCALCULO SUPERIOR

28 DE FEBRERO 0E 2014. HORA: 16100 A 17:30 hrs

Instrucoones: 15 minutos de toleranoa. Durmión 90 min. Pre<enta idenüficación. APAGA TU CELULAR O 5E PUEDE RECOGER TU EXAMEN. Sc

permite Formulario de la academia. Se permite C¿lculadora NO GRAFICADORA. Contesta de fonna ordenada e indica claramente tu resultado.

Regres¿ esta hoja con tu cuademillo. Resuetve solo para 1O.O puntos. LOS PROCEDII"TENTOS DEBEN EíAR COMPLETAMENTE

DESARROLLADOS.

Nombre: Bol:

PROBLEMA r (2.5

Donde: zt = *i

( , , \"'pUNToS) Catcutar:[; -

;,Jzt = | - i zi= -3+3i zt = 4+0i

PROBLEM A 2 {2.5 PUNTOS) Sea la ecuación de estado de van der waals:

P+-\ = YV' Ir'-bAplicar la Reglade laCadenaparadeterminarlaexpresiónquecalcula larazóndecambiodelapresión. si

se sabc que la temperatura cambia arazónde 0-3 K.min-', y el volumen cambia a razÓn de 0-5 [-'mol-r'tnirr I

pRoBLEMA 3 (2.5 PUNTOS) Derenninar sielconjunto cumple ta condición de independcncia lineal para

conlormar r¡na base generadora:

v, =Q..-1,3,07 v', = [t,o.t,o]

4 =[:.0,0.-r] 4 =[r,-r,z.o]

PROBLIIMA 4 (2.5 PUNTOS) Hallar los puntos c.ríticos, máximo, mínimo y punto de silla, si los hay:

"f (*,Y)= ¡-t + Yo -3x-2Y1 +lo

PROBLEMA 5 (2.5 PUNTOS)a) Desarrollar la siguiente suma doble, para n=3. utilizando la convención de sulna. expresandtt cuálcs son

los subíndices libres y cuáles los subíndices dt suma:

arx! xqj

b) t)esarrollar la siguiente exprcsión. aplicando la notación de suma y las propiedades dc épsilon dc [-cvi-

t ivita:

Ax B = €4¡,é¡A,B¡

á¡ ,i = 6::; = 6.,, = *l

Ellt=t:¡:=át¡z=-l

¡ = j,i =k,.i = k,i = j =t -+e =0

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ii,NESIOIE

PRIMER EXAMEN DEPARTAMENTALCÁLCULO SUPERIOR

28 DE FEBRERO DE 2014 HOM: 16:00 A 17:30 hrs

Instrucciones: 15 minutos de tolerancia. Duracirn 90 min. Presenta iien6ficacirin. APAGA TU CELULAR O SE PUEDE RECOGER TU EXAMEN' Se

permite Formulario de la academia. se permrte caloiad;; Ño cnar¡caooRA. contesla de forma ordenada e indica claramente tu resultado'

Regresa esta hoja con b.r cuademillo. Res¡elve solo para 10.0 puntos. LOS PROCEDIMENTOS DEBEN ESTAR CoMPÍ-ETAMENTE

DESARROLLADOS.

Bol:

(, , \''oITnOBLEMA I (2.5 PUNTOS)Calcular:l i- ft l

\¿z tq )

Dr¡nde: zt = *5 - 5i zz = -l - i zt = l0 +Ai zt=l-i

PltoBL.E,M A 2 (2.5 PUNTOS) Sea la ecuaciÓn de estado de van der waals:

p+a= RT

V, V _b

Aplicar la ltegla de la Cadena para determinar la expresiÓn que calcula la razón de carnbio del volttmett'

se'sabe que la temperatura cambia a razón de -0.2 K'min-t, y la presion cambia a razón de 0'4 atm'nrin-r

PROBLEMA 3 (2.5 ptJNTOS) Determinar sielconjunto curnple lacondición de independencia lincal para

conlbrmar una base generadora:

fl-¡ llto llIz ol[-t oll''.'=tL-, ;l'L; -,1 L-, ilL, -,ll

ITROBLEM A 4 (2.5 PUNTOS) Hallar los puntos críticos, máximo, mínimo y punto de silla- si los lray:

f (x,Y)= -r4 t Yo + 4x -2Y! +10

PT1OBLEMA s (2.tPUNTOS)a) Desarrollar la siguiente suma doble, para n:3, utilizando la convención de suma. expresando cuáles son

los subíndices libres y cuáles los subíndices de suma:

bu x)xr,

b) Desarrollar la siguiente expresión, aplicando la notación de sumay las propiedades de épsilon de Levi-

C ivita:

€ut €ut'

etZl= tllt = 6-,,, = *l

€¡lt=tztl=€tlt= |

i = j,i - k,j = k,i = i = k -+ e =0

SI

I)escarga este examen y sus respuestas en https://sites.google.com/site/matematicasesiqieipn