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Derivadas Derivadas Propiedades Regla de la Cadena Derivadas de Orden Superior Derivadas de Funciones Elementales Derivadas de Funciones Inversas Teorema del Valor Medio Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 3: Derivadas Joaquín Ortega Sánchez Centro de Investigación en Matemáticas, CIMAT Guanajuato, Gto., Mexico

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Curso Propedéutico de CálculoSesión 3: Derivadas

Joaquín Ortega Sánchez

Centro de Investigación en Matemáticas, CIMATGuanajuato, Gto., Mexico

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Esquema

1 Derivadas

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3 Regla de la Cadena

4 Derivadas de Orden Superior

5 Derivadas de Funciones Elementales

6 Derivadas de Funciones Inversas

7 Teorema del Valor Medio

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Esquema

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3 Regla de la Cadena

4 Derivadas de Orden Superior

5 Derivadas de Funciones Elementales

6 Derivadas de Funciones Inversas

7 Teorema del Valor Medio

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DerivadasIntroducción

La derivada busca resolver dos problemas de laantigüedad, uno de ellos, de caracter geométrico, fueplanteado por los griegos y busca hallar la pendiente de larecta tangente a una curva.

El segundo es un problema físico y es posterior. Se trata dela determinación de la velocidad instantánea de un móvilque se desplaza con velocidad no uniforme.

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DerivadasDefinición

DefiniciónLa derivada de una función f (x) en un punto x = a es elvalor del límite,

f ′(a) = limh→0

f (a + h)− f (a)

h(1)

siempre que este límite exista. En este caso decimos que fes diferenciable en x = a.

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DerivadasDefinición

Observamos que a cada valor de a le corresponde un valordeterminado de la derivada f ′(a), de modo que la derivadatambién es una función de x .

Las notaciones usuales para esta función son

f ′(x),df (x)

dxo Dx f (x)

y el valor de la derivada en el punto a es

f ′(a),df (x)

dx

∣∣∣x=a

o Dx f (a)

Si ponemos y = f (x) también usamos la notación y ′ para laderivada dy/dx .

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DerivadasEjemplo

EjemploVeamos cómo se obtiene la derivada de la funciónf (x) = x2 a partir de la definición. Iniciamos con elincremento de la función en x:

f (x +h)− f (x) = (x +h)2−x2 = x2 +2xh+h2−x2 = 2xh+h2

y ahora tenemos que dividir esta expresión por h y tomar ellímite cuando h→ 0:

limh→0

f (x + h)− f (x)

h= lim

h→0

2xh + h2

h= lim

h→0(2x + h) = 2x ,

de modo que f ′(x) = 2x.

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DerivadasInterpretación Geométrica

Cuando h tiende a cero, el punto Q se acerca al punto P yla recta secante tiende a superponerse con la rectatangente a la función f (x) en el punto P, y por lo tanto elángulo α tiende a ser el ángulo β.

tanβ = f ′(a)

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DerivadasInterpretación Geométrica

La pendiente de la tangente a la curva que representa lafunción f (x) en un punto es igual a la derivada de la funciónen ese punto.

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DerivadasInterpretación Física

Consideramos un móvil que se desplaza linealmente apartir de un punto dado y supongamos que la función x(t)describe la distancia del móvil al origen en el instante t .

La velocidad promedio del móvil desde el instante t alinstante t + ∆t está dada por el cociente

vm(t) =∆x∆t

=x(t + ∆t)− x(t)

∆t

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DerivadasInterpretación Física

Sin embargo, si queremos un valor más preciso de lavelocidad que tiene el móvil en el instante t , es necesariohacer ∆t más y más pequeño, es decir, tenemos que tomarel límite cuando ∆t tiende a cero, es decir, llamando v(t) lavelocidad instantánea en el instante t ,

v(t) = lim∆t→0

x(t + ∆t)− x(t)∆t

= x ′(t).

O sea que la velocidad en el punto t es la derivada de x(t).

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DerivadasEjemplos

EjemploSi n ≥ 1 es un entero y f (x) = xn entonces

df (x)

dx= f ′(x) = nxn−1.

Para ver eso observamos que

f (x + h) = (x + h)n = (x + h)(x + h) · · · (x + h)

donde el factor se repite n veces.

Veamos cómo son los términos de este producto

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DerivadasEjemplos

f (x + h) = (x + h)n = (x + h)(x + h) · · · (x + h)

• Si escogemos x en todos los factores obtenemos eltérmino xn.

• Si escogemos x en todos los factores menos uno, en elcual escogemos h obtenemos xn−1h y esto ocurre nveces, una vez por cada factor en el producto.

• El resto de los términos del producto requierenseleccionar al menos dos veces el factor h, de modoque h aparece con una potencia igual o superior a 2.Estos términos los escribimos agrupadamente comoh2g(x ,h).

f (x + h) = (x + h)n = xn + nxn−1h + h2g(x ,h)

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f (x + h) = (x + h)n = (x + h)(x + h) · · · (x + h)

• Si escogemos x en todos los factores obtenemos eltérmino xn.

• Si escogemos x en todos los factores menos uno, en elcual escogemos h obtenemos xn−1h y esto ocurre nveces, una vez por cada factor en el producto.

• El resto de los términos del producto requierenseleccionar al menos dos veces el factor h, de modoque h aparece con una potencia igual o superior a 2.Estos términos los escribimos agrupadamente comoh2g(x ,h).

f (x + h) = (x + h)n = xn + nxn−1h + h2g(x ,h)

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f (x + h) = (x + h)n = (x + h)(x + h) · · · (x + h)

• Si escogemos x en todos los factores obtenemos eltérmino xn.

• Si escogemos x en todos los factores menos uno, en elcual escogemos h obtenemos xn−1h y esto ocurre nveces, una vez por cada factor en el producto.

• El resto de los términos del producto requierenseleccionar al menos dos veces el factor h, de modoque h aparece con una potencia igual o superior a 2.Estos términos los escribimos agrupadamente comoh2g(x ,h).

f (x + h) = (x + h)n = xn + nxn−1h + h2g(x ,h)

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f (x + h) = (x + h)n = (x + h)(x + h) · · · (x + h)

• Si escogemos x en todos los factores obtenemos eltérmino xn.

• Si escogemos x en todos los factores menos uno, en elcual escogemos h obtenemos xn−1h y esto ocurre nveces, una vez por cada factor en el producto.

• El resto de los términos del producto requierenseleccionar al menos dos veces el factor h, de modoque h aparece con una potencia igual o superior a 2.Estos términos los escribimos agrupadamente comoh2g(x ,h).

f (x + h) = (x + h)n = xn + nxn−1h + h2g(x ,h)

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El cociente incremental es

f (x + h)− f (x)

h=

xn + nxn−1h + h2g(x ,h)− xn

h= nxn − 1 + hg(x ,h)

Cuando h→ 0 el segundo término tiene a cero yobtenemos el resultado.

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EjemploLa función f (x) = |x | es diferenciable salvo en x = 0.

Veamos primero que la función es diferenciable si x 6= 0,para lo cual vamos a suponer que x < 0. Tomamos δ > 0de modo que x + δ < 0 y consideremos |h| < δ.El incremento de la función en este caso es

f (x + h)− f (x) = |x + h| − |x | = −x − h − (−x) = −h

Dividiendo por h y haciendo h→ 0

f ′(x) = −1 para x < 0.

De manera similar se tiene que

f ′(x) = 1 para x > 0.

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Veamos ahora que ocurre en x = 0. El cociente incrementalen este caso es igual a

f (0 + h)− f (0)

h=|h|h

=

{+1 si h > 0,−1 si h < 0.

En consecuencia los límites laterales cuando h→ 0 existenpero son distintos, y la derivada en 0 no está definida.

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La gráfica de la función nos da una idea clara de lo queocurre.

−3 −1 0 1 2 3−

10

12

3

x

f(x)

Si nos aproximamos a 0 por la derecha, la pendiente de lafunción es positiva e igual a 1 siempre, mientras que por laizquierda es negativa e igual a -1, de modo que los límiteslaterales son distintos.

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Propiedad 1Si f (x) es diferenciable en el punto a, también es continuaen ese punto.Para ver esto observamos que como la función esdiferenciable, el límite

limh→0

f (a + h)− f (a)

h

existe, y lo denotamos por f ′(a). Por lo tanto, como

f (a + h) = f (a) + hf (a + h)− f (a)

h

Si tomamos el límite cuando h→ 0 obtenemos que

limh→0

f (a + h) = f (a)

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Sin embargo, el recíproco no es cierto: Una función puedeser continua en el punto a y no ser diferenciable allí.

Un ejemplo de esto esla función f (x) = |x |,que es continua enx = 0 pero no esdiferenciable en esepunto.

−3 −1 0 1 2 3

−1

01

23

xf(

x)

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Propiedad 2La derivada de una constante es 0.La derivada de una constante multiplicada por una funcióndiferenciable es la constante multiplicada por la derivada dela función.

Si c ∈ R es una constante,

dcdx

= 0

d(cf )

dx= c

dfdx

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Propiedad 3La derivada de la suma o diferencia de funcionesdiferenciables es la suma o la diferencia de la derivadas

ddx

(f (x)± g(x)) =df (x)

dx± dg(x)

dx(f ± g)′ = f ′ ± g′

Ejemplo

(3x3 + 2x)′ = (3x3)′ + (2x)′ = 9x2 + 2.

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Propiedad 4La derivada del producto de dos funciones diferenciablesf ,g existe y está dada por la siguiente fórmula

ddx

(f (x)g(x)) =df (x)

dxg(x) + f (x)

dg(x)

dx

(fg)′ = f ′g + fg′

Ejemplo

(xex )′ = x ′ex + x(ex )′ = ex + xex = (1 + x)ex

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Propiedad 5Si f y g son dos funciones con derivadas f ′(x) y g′(x) talesque g′(x) 6= 0, entonces la derivada del cociente f (x)/g(x)existe y está dada por la siguiente fórmula(

f (x)

g(x)

)′=

f ′(x)g(x) + f (x)g′(x)

g2(x)

Ejemplo

(x/ex )′ =x ′ex − xex

(ex )2 =1− x

ex

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Un caso particular interesante de la propiedad anteriorocurre cuando la función en el numerador es igual a 1, yqueremos hallar la derivada de 1/g(x).

La fórmula anterior nos dice que esta derivada existe sig(x) 6= 0 y vale ( 1

g(x)

)′=−1

g2(x)g′(x)

Ejemplo ( 1x3 − 3x

)′=

−1(x3 − 3x)2 (3x2 − 3)

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EjemploHallar la derivada de

3x − 5x2 + 7

.

Dx

(3x − 5x2 + 7

)=

(x2 + 7)Dx (3x − 5)− (3x − 5)Dx (x2 + 7)

(x2 + 7)2

=(x2 + 7)(3)− (3x − 5)(2x)

(x2 + 7)2

=−3x2 + 10x + 21

(x2 + 7)2

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EjemploDemostrar que la regla para la potencia se cumple paraexponentes enteros negativos, es decir,

Dx (x−n) = −nx−n−1

Dx (x−n) = Dx

( 1xn

)=−1x2n nx−n−1

= −nx−n−1.

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Recordamos la noción de composición de funciones:Si tenemos dos funciones f y g de modo que los valores def caen dentro del dominio de g, definimos la funcióncompuesta g ◦ f como

(g ◦ f )(x) = g(f (x))

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Propiedad 6: Regla de la CadenaSean f y g dos funciones diferenciables tales que losvalores de f caen en el dominio de g. La derivada de lafunción compuesta g ◦ f se obtiene mediante la fórmula

(g ◦ f )′(x) = g′(f (x)

)f ′(x)

Si usamos la notación u = f (x) entonces podemos resumirla regla de la cadena con la fórmula

d(g ◦ f )

dx=

dgdu

dudx

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EjemploSea f (x) = x2 + 1 y g(u) = u5, entonces la composición es

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 + 1) = (x2 + 1)5.

Las derivadas f y g son f ′(x) = 2x y g′(u) = 5u4 por laregla de la cadena

(g ◦ f )′(x) = 5(x2 + 1)42x = 10x(x2 + 1)4

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La regla de la cadena se puede extender a la composiciónde un número mayor de funciones. Por ejemplo, si tenemostres funciones f ,g y h de modo que la imagen de f está enel dominio de g y la imagen de g está en el dominio de h,podemos definir la función compuesta (h ◦ g ◦ f ).

Tenemos que

(h ◦ g ◦ f )′(x) = h′((g ◦ f )(x)

)g′(f (x)

)f ′(x)

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EjemploHallar la derivada de (la densidad gaussiana)

ϕ(x) = exp(−(x − µ)2/σ2)

Esta función es la composición de tres funciones h(x) = ex ,g(x) = −x2 y f (x) = (x − µ)/σ.La derivada es

ϕ′(x) = exp(− (x − µ)2/σ2)(−2)

x − µσ

=−2σ2 (x − µ) exp

(− (x − µ)2/σ2)

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Derivadas

Derivadas

Propiedades

Regla de laCadena

Derivadas deOrdenSuperior

Derivadas deFuncionesElementales

Derivadas deFuncionesInversas

Teorema delValor Medio

DerivadasInterpretación Física

En general podemos interpretar la derivada de unamagnitud y = f (x) como la razón o tasa de cambiode y con respecto de x .

Si x está dada como función del tiempo, por ejemplox = g(t) entonces podemos determinar la tasa de cambiode y respecto de t usando la regla de la cadena:

dydt

=dydx

dxdt

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Derivadas

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Regla de laCadena

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Derivadas deFuncionesInversas

Teorema delValor Medio

DerivadasInterpretación Física

EjemploUn cuadrado se expande de modo que su lado cambia arazón de 2cm. por segundo. Cuando el lado del cuadradoes 6cm. ¿cuál es la tasa de cambio de su área?

El área de un cuadrado de lado x está dada por A(x) = x2.Si el lado x es función del tiempo t , x = x(t), entonces larazón de cambio del área con respecto del tiempo es

d(A(x(t)))

dt.

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Derivadas

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Regla de laCadena

Derivadas deOrdenSuperior

Derivadas deFuncionesElementales

Derivadas deFuncionesInversas

Teorema delValor Medio

DerivadasInterpretación Física

Usamos la regla de la cadena y obtenemos que

dAdt

=dAdx

dxdt.

Sabemos que dx/dt = 2 y dA/dx = 2x . Cuando x(t) = 6encontramos que

dAdt

= 2 · 6 · 2 = 24cm2/seg.

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Derivadas

Derivadas

Propiedades

Regla de laCadena

Derivadas deOrdenSuperior

Derivadas deFuncionesElementales

Derivadas deFuncionesInversas

Teorema delValor Medio

Esquema

1 Derivadas

2 Propiedades

3 Regla de la Cadena

4 Derivadas de Orden Superior

5 Derivadas de Funciones Elementales

6 Derivadas de Funciones Inversas

7 Teorema del Valor Medio

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Derivadas

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Derivadas deFuncionesElementales

Derivadas deFuncionesInversas

Teorema delValor Medio

DerivadasDerivadas de Orden Superior

Vamos a considerar una función f y supongamos que estafunción es diferenciable en todo su dominio de modo que laderivada de esta función f ′(x) es otra función sobre elmismo dominio.Supongamos ahora que la función f ′(x) es, a su vez,diferenciable. La derivada de f ′ se conoce como la segundaderivada de f . La notación es

f ′′(x)d2f (x)

dx2 , D2x f (x) y ′′

si y = f (x).

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Derivadas

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Regla de laCadena

Derivadas deOrdenSuperior

Derivadas deFuncionesElementales

Derivadas deFuncionesInversas

Teorema delValor Medio

DerivadasDerivadas de Orden Superior

Este procedimiento se puede continuar indefinidamente,siempre que las funciones que vayamos obteniendo comoderivadas sean, a su vez, diferenciables.

Las notaciones para la derivada n-ésima en este esquemaes

f (n)(x)dnf (x)

dxn , Dnf (x), y (n)

si y = f (x).

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Derivadas

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Teorema delValor Medio

DerivadasDerivadas de Orden Superior

EjemploConsideremos la función f (x) = 3x3 + 5x2 y calculemossus derivadas:

f ′(x) = 9x2 + 10xf ′′(x) = 18x + 10f ′′′(x) = 18

f (iv)(x) = 0

y de ahí en adelante todas las derivadas superiores sonnulas.

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Derivadas deFuncionesInversas

Teorema delValor Medio

DerivadasDerivadas de Orden Superior

EjemploUn objeto se mueve a lo largo de un eje coordenadohorizontal de modo que su posición en el instante t estádada por

x = t3 − 12t2 + 36t − 30

a) ¿Cuándo es cero la velocidad?b) ¿Cuándo es positiva la velocidad?c) ¿Cuándo se está moviendo el objeto hacia la izquierda?d) ¿Cuándo es positiva la aceleración?Aquí x se mide en centímetros y t en segundos.

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Teorema delValor Medio

DerivadasDerivadas de Orden Superior

Ejemploa) v =

dxdt

= 3t2 − 24t + 36 = 3(t − 2)(t − 6). Por lo tanto lavelocidad se anula en t = 2 y t = 6.

b) La velocidad es positiva cuando (t − 2)(t − 6) > 0. Paraesto necesitamos que ambos factores sean positivos oambos negativos. Esto ocurre si t < 2 ó t > 6, que entérminos de intervalos es (−∞,2) ∪ (6,∞)

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Teorema delValor Medio

DerivadasDerivadas de Orden Superior

Ejemploc) El objeto está moviéndose hacia la izquierda cuando lavelocidad es negativa, o sea cuando (t − 2)(t − 6) < 0. Estoocurre en el intervalo (2,6).

d) La aceleración es la derivada de la velocidad, es decir,es la segunda derivada de la distancia al origen comofunción del tiempo.

a =dvdt

= 6t − 24 = 6(t − 4).

Por lo tanto la aceleración es positiva cuando t > 4

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Derivadas

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Derivadas deFuncionesElementales

Derivadas deFuncionesInversas

Teorema delValor Medio

Esquema

1 Derivadas

2 Propiedades

3 Regla de la Cadena

4 Derivadas de Orden Superior

5 Derivadas de Funciones Elementales

6 Derivadas de Funciones Inversas

7 Teorema del Valor Medio

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Derivadas deOrdenSuperior

Derivadas deFuncionesElementales

Derivadas deFuncionesInversas

Teorema delValor Medio

DerivadasFunciones Trigonométricas

Las derivadas de las funciones sen x y cos x son

d sen xdx

= cos x

d cos xdx

= − sen x

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Derivadas

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Derivadas deFuncionesInversas

Teorema delValor Medio

DerivadasFunciones Trigonométricas

Veamos cómo se obtiene la primera de estas derivadas.Recordemos los siguientes límites

limx→0

sen xx

= 1 limx→0

1− cos xx

= 0

y la relación sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y .

El cociente incremental es

sen(x + h)− sen(x)

h=

sen(x) cos(h) + cos x sen h − sen(x)

h

= cos xsen h

h+ sen x

(cos h − 1)

h

Si hacemos ahora h→ 0 obtenemos el resultado.

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Derivadas

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Derivadas deOrdenSuperior

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Derivadas deFuncionesInversas

Teorema delValor Medio

DerivadasFunciones Trigonométricas

Veamos la derivada de la tangente

Dx tan x = Dx

(sen xcos x

)=

cos x Dx sen x − sen x Dx cos xcos2 x

=cos x cos x + sen x sen x

cos2 x

=1

cos2 x= sec2 x

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Derivadas

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Teorema delValor Medio

DerivadasFunciones Trigonométricas

EjemploHallar la recta tangente a la curva y = sen 4x en x = π/16.Comenzamos por la derivada de la función:f ′(x) = 4 cos 4x. Por lo tanto la pendiente de la rectatangente en x = π/16 es igual a

f ′(π/16) = 4 cos(4π/16) = 4 cos(π/4) = 4/√

2

y la recta tiene ecuación y = (4/√

2)x + b. Falta hallar b

Como la recta pasa por el punto (π/16,1/√

2),necesariamente

1√2

=4√2π

16+ b

de dondeb =

1√2− π

4√

2

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Derivadas

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Derivadas deFuncionesElementales

Derivadas deFuncionesInversas

Teorema delValor Medio

DerivadasFunciones Trigonométricas

EjemploHallar la derivada de la función

1 + sen xcos x

ddx

(1 + sen xcos x

)=

cos x ddx (1 + sen x)− (1 + sen x)

(ddx cos x

)cos2 x

=cos2 x + sen x + sen2 x

cos2 x

=1 + sen x

cos2 x

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Derivadas

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Regla de laCadena

Derivadas deOrdenSuperior

Derivadas deFuncionesElementales

Derivadas deFuncionesInversas

Teorema delValor Medio

DerivadasPotencias

Hemos visto que para potencias enteras, positivas onegativas, la regla de derivación es

(xn)′ = nxn−1

Esta regla es cierta aun para potencias reales: Si a ∈ R

(xa)′ = axa−1

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Derivadas

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Regla de laCadena

Derivadas deOrdenSuperior

Derivadas deFuncionesElementales

Derivadas deFuncionesInversas

Teorema delValor Medio

DerivadasFunción Exponencial

Sea f (x) = ax para a 6= 0 una función exponencial. Veamoscual es la derivada de esta función.

f ′(x) = limh→0

ax+h − axh

= limh→0

ax (ah − 1)

h

= ax limh→0

ah − 1h

= ax f ′(0)

Por lo tanto, si escogemos a de modo que f ′(0) = 1,tenemos que f ′(x) = f (x).

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Derivadas

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Derivadas deFuncionesElementales

Derivadas deFuncionesInversas

Teorema delValor Medio

DerivadasFunción Exponencial

El número que satisface f ′(0) = 1 se conoce como e y lafunción f (x) = ex se conoce como la función exponencial.

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Derivadas

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Derivadas deOrdenSuperior

Derivadas deFuncionesElementales

Derivadas deFuncionesInversas

Teorema delValor Medio

DerivadasFunción Exponencial

¿Cuál es la derivada de la función f (x) = ax si a 6= e?

Para ver esto usamos el hecho de que

ax = (elog a)x = ex log a.

Usando la regla de la cadena

dax

dx= ex log a(log a) = ax (log a).

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Derivadas

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Regla de laCadena

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Derivadas deFuncionesElementales

Derivadas deFuncionesInversas

Teorema delValor Medio

Esquema

1 Derivadas

2 Propiedades

3 Regla de la Cadena

4 Derivadas de Orden Superior

5 Derivadas de Funciones Elementales

6 Derivadas de Funciones Inversas

7 Teorema del Valor Medio

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Derivadas

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Regla de laCadena

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Teorema delValor Medio

DerivadasFunciones Inversas

Consideremos una función f definida en un intervalo (a,b)de modo que su derivada existe y no se anula.Supongamos que f ′(x) > 0 para todo x en este intervalo,entonces la función inversa x = g(y) existe:

f (g(y)) = y .

Supongamos que g es diferenciable, derivando y usando laregla de la cadena tenemos que

f ′(g(y))g′(y) = 1

De donde obtenemos

g′(y) =1

f ′(g(y))=

1f ′(x)

Otra manera de escribir esta relación esdxdy

=1

dy/dx

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Teorema delValor Medio

DerivadasFunciones Inversas

El LogaritmoLas funciones logaritmo y exponencial son funcionesinversas, y podemos obtener la derivada de la funcióny = log x usando los resultados anteriores: Sea y = log x yen consecuencia x = ey . Por consiguiente

dydx

=1

dx/dy=

1ey =

1x

Es decir qued log x

dx=

1x.

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Derivadas deOrdenSuperior

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Derivadas deFuncionesInversas

Teorema delValor Medio

DerivadasFunciones Inversas

El ArcosenoEsta es la función inversa del seno. Sabemos que estafunción no es invectiva, pues sus valores se repitenperiódicamente.

Para garantizar que lafunción sea biyectivaes necesario limitar sudominio. Escogemosel intervalo [−π

2 ,π2 ].

−10 −5 0 5 10

−1.

00.

00.

51.

0

La función seno

tsi

n(t)

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Derivadas deFuncionesInversas

Teorema delValor Medio

DerivadasFunciones Inversas

−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

−1.

0−

0.5

0.0

0.5

1.0

sen(x)

x

f(x)

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.

5−

0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

arcsen(x)

x

f(x)

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Derivadas deOrdenSuperior

Derivadas deFuncionesElementales

Derivadas deFuncionesInversas

Teorema delValor Medio

DerivadasFunciones Inversas

Sea y = f (x) = sen x y x = arcsen y la función inversa.

Como f (0) = 0, tenemos que arcsen(0) = 0.

Además como sen(π/2) = −1 y sen(π/2) = 1, sabemosque el dominio de la función arcoseno será el intervalo[−1,1].

Observamos que para cualquier valor de x que no esté enel intervalo −π2 ≤ x ≤ π

2 , no se tiene la relaciónarcsen(sen(x)) = x

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Derivadas deFuncionesElementales

Derivadas deFuncionesInversas

Teorema delValor Medio

DerivadasFunciones Inversas

Usando la fórmula general para la derivada de lasfunciones inversas tenemos que si y = sen x yx = arcsen y , la derivada de x respecto de y es

dxdy

=1

dy/dx=

1cos x

.

Para expresar esta derivada explícitamente en función de yusamos la relación

sen2 x + cos2 x = 1,

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Derivadas deOrdenSuperior

Derivadas deFuncionesElementales

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Teorema delValor Medio

DerivadasFunciones Inversas

A partir de esta relación obtenemos, usando que el cosenoes positivo en el intervalo de definición del arcoseno

cos x =√

1− sen2 x

Usando esta relación en la fórmula de la derivadaobtenemos

dxdy

=arcsen y

dy=

1√1− y2

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Teorema delValor Medio

Esquema

1 Derivadas

2 Propiedades

3 Regla de la Cadena

4 Derivadas de Orden Superior

5 Derivadas de Funciones Elementales

6 Derivadas de Funciones Inversas

7 Teorema del Valor Medio

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Teorema delValor Medio

DerivadasTeorema de Rolle

Sea f una función continua definida en un intervalo cerrado[a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Supongamosque f (a) = f (b) = 0.

Entonces existe un punto c con a < c < b y f ′(c) = 0.

Este resultado se conoce como el Teorema de Rolle.

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Teorema delValor Medio

DerivadasTeorema de Rolle

Sea f una función continua definida en un intervalo cerrado[a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Supongamosque f (a) = f (b) = 0.

Entonces existe un punto c con a < c < b y f ′(c) = 0.

Este resultado se conoce como el Teorema de Rolle.

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Derivadas deFuncionesInversas

Teorema delValor Medio

DerivadasTeorema de Rolle

Si la función es constante en el intervalo, entonces suderivada es 0 en cualquier punto de (a,b).

En caso contrario existe algún punto en donde la función noes 0, y este punto no puede ser un extremo. Supongamosque hay un valor positivo, entonces como la función escontinua la función tiene un máximo en algún punto c,a < c < b.

Si la derivada existe en un máximo o en un mínimo de unafunción f entonces la derivada se anula en este punto. Estodemuestra el resultado.

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Teorema delValor Medio

DerivadasTeorema del Valor Medio

Teorema del Valor Medio

Si f es una función diferenciable en el intervalo [a,b], existeun punto c en este intervalo tal que la pendiente de la rectatangente en (c, f (c)) es igual a la pendiente de la recta queune los puntos extremos de la gráfica

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Teorema delValor Medio

DerivadasTeorema del Valor Medio

La recta que une los puntos extremos de la gráfica tienependiente

f (b)− f (a)

b − ay pasa por el punto (a, f (a)), de modo que la ecuación deesta recta es

g(x) = f (a) +f (b)− f (a)

b − a(x − a)

Consideramos ahora la función s(x) = g(x)− f (x), quesatisface g(a) = g(b) = 0 y tiene derivada

s′(x) = f ′(x)− f (b)− f (a)

b − a

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Teorema delValor Medio

DerivadasTeorema del Valor Medio

Por el Teorema de Rolle existe un punto c en (a,b) tal ques′(c) = 0, esto es,

s′(c) = f ′(c)− f (b)− f (a)

b − a= 0

y despejando obtenemos

f ′(c) =f (b)− f (a)

b − a

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Teorema delValor Medio

DerivadasTeorema del Valor Medio

Supongamos que la función f es diferenciable en elintervalo I y su derivada f ′(x) > 0 para todo x ∈ I (salvoquizás en los extremos). Entonces f es creciente en I.

Tomemos dos puntos x < y en I y aplicamos el TVM a f en[x , y ]: Existe un número c en (x , y) tal que

f (y)− f (x)

y − x= f ′(c)

y despejando obtenemos

f (y) = f (x) + f ′(c)(y − x) > f (x)

porque f ′(c)(y − x) > 0.

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Teorema delValor Medio

DerivadasTeorema del Valor Medio

De manera similar si la derivada de la función esestrictamente negativa, la función es decreciente:

Si f’(x) < 0,x < y ⇒ f (x) > f (y).

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Teorema delValor Medio

DerivadasTeorema del Valor Medio

EjemploEncuentre el numero c que satisface el TVM para la funciónf (x) = 2

√x en [1,4]

La pendiente del segmento de recta que une los extremoses

f (4)− f (1)

4− 1=

4− 23

=23

y la derivada de la función es

f ′(x) = 212

x−1/2 =1√x

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Derivadas

Derivadas

Propiedades

Regla de laCadena

Derivadas deOrdenSuperior

Derivadas deFuncionesElementales

Derivadas deFuncionesInversas

Teorema delValor Medio

DerivadasTeorema del Valor Medio

Por lo tanto queremos resolver

1√c

=23

cuya solución es c = 9/4.

0 1 2 3 4 5

01

23

4

x

f(x)

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Teorema delValor Medio

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EjemploSuponga que la posición de un objeto está dada por lafunción x(t) = t2 − t − 2. Determine la velocidad promedioen el intervalo [3,6] y encuentre el instante en el cual lavelocidad instantánea es igual a la velocidad promedioLa velocidad promedio en [3,6] es

x(6)− x(3)

6− 3=

243

= 8

y la velocidad instantánea es x ′(t) = 2t − 1. Resolviendo laecuación 2t − 1 = 8 obtenemos t = 9/2.