Premios del Departamento de Matemticasde la Universidad Autnoma de Madridpara Estudiantes de Secundaria Tercera Edicin, 2008/2009 TRABAJO: Construccin de una cpula geodsica de orden 9 basada en el tetraedro GANADOR EN LA CATEGORA DE BACHILLERATO AUTORES: oAlfonso Alhambra Morn olvaro Felipe Melcor oMiguel Garca Montero oPablo Rey Garca oAlejandro Villalba Sierra TUTORES: oJuan Gregorio Sanz oAurora Lacruz Lpez oMiguel Sierra Serrano CENTRO: I.E.S. Doctor Maran (Alcal de Henares, Madrid) 3 edicin de los Premios para Estudiantes de Secundaria CONSTRUCCIN DE UNA CPULA GEODSICA DE ORDEN 9 BASADA EN EL TETRAEDRO Grupo: TETRACEDRON ELEVATVS VACVVS Nivel: 1 y 2 de Bachillerato 2 NDICE AIntroduccin y antecedentes...................................................................................3 BObjetivos...................................................................................................................4 CResultados.............................................................................................................7 C1Frmulas...........................................................................................................7 C1.1Vrtices de un tetraedro............................................................................7 C1.2Coordenadas de los vrtices del entramado............................................9 C1.3Coordenadas de la proyeccin de un punto sobrela esfera circunscrita...............................................................................9 C1.4Arco entre dos puntos de la esfera.........................................................10 C1.5ngulo que forman en un punto de la esfera doscrculos mximos .......................................................................................11 C2Clculos con Excel.............................................................................................13 C2.1Lado del tetraedro.....................................................................................13 C2.2Vrtices del tetraedro...............................................................................13 C2.3Vrtices del entramado............................................................................14 C2.4Proyecciones............................................................................................14 C2.5Arcos........................................................................................................15 C2.6ngulo en un punto de la esfera ...............................................................15 C3Construccin.....................................................................................................16 C3.1Esquema y medidas de las piezas .............................................................16 C3.2Diseo de las plantillas de los ngulos.....................................................17 C3.3Proceso de montaje.................................................................................18 DConclusiones............................................................................................................19 EBibliografa................................................................................................................19 FAnexos......................................................................................................................20 3 A.INTRODUCCIN Y ANTECEDENTES CPULAS GEODSICAS: Qu son? Una cpula geodsica es una estructura formada por tringulos que componen una superficie inscrita en una semiesfera, hoy en da las podemos observar enedificios y construcciones modernascomo el planetario del museo de ciencias naturales CosmoCaixa en Alcobendas, cerca de Madrid o la gran Cpula, o mejor dicho, esfera geodsica de Buckminister Fuller. Lo primero que hay que saber es de dnde vienen, de donde hay que partir para construir una cpula geodsica, la respuesta a esta pregunta es sencilla, las cpulas geodsicas se construyen a partir de los cinco poliedros regulares, que como sabemos son el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. TetraedroCuboOctaedroDodecaedroIcosaedro A partir de ellos, para generar una cpula geodsica de orden n lo que hacemos es dividir las aristas de cada cara enn partes iguales, unir los n-1 puntos obtenidos en cada arista para subdividir la cara en varias caras proyectar los vrtices de cada una de esas caras hacia la esfera definida por los vrtices iniciales del poliedro regular tomando siempre como punto de partida del rayo proyectante, el centro de esa esfera.Lo ilustra bien este modelo: 4 Como esta explicacin puede resultar un tanto compleja de visualizar espacialmente, lo podemos resumir muy toscamente en inflar el poliedro regular. Las cpulas geodsicas se pueden clasificar de una manera muy sencilla, primero, por el poliedro de origen, (cpulageodsica tetradrica, cbica, etc.)Y para el apellido dejamos el orden que lo miden las n divisiones de la arista principal. Tetraedrogeodsica tetradricageodsica tetradrica de orden 4de orden 9 Dodecaedro geodsica dodecadrica geodsica dodecadrica de orden 4de orden 9 B.OBJETIVOS NUESTRA CPULA Cul construimos? Nuestro objetivo principal es desarrollar, proyectar y construir nuestra propia cpula geodsica. Bien, despus de esta primera toma de contacto con el mundillo de las cpulas geodsicas, podemos empezar a hablar de qu tipo de cpula es la que queremos hacer nosotros. Para empezar veamos el poliedro de partida, vamos a pensar desde un primer momento en los poliedros cuyas caras son triangulares , que son estructuras rgidas, ya que las caras pentagonales o cuadradas del dodecaedro y el cubo no lo son. Nos interesa, por economa de medios, triangular slo una cara del poliedro de partida. Elegir un poliedro u otro tiene sus ventajas e inconvenientes. Si elegimos una cara del icosaedro triangulamos slo 1/20 (5%) de toda su superficie, pero los tringulos que se obtienen son ms uniformes. Si elegimos una cara del tetraedro, la superficie triangulada ser de 1/4 (25%) con lo que la cpula resultante dar ms impresin de esfericidad, como inconveniente tendremos que los tamaos de los tringulos sern muy distintos entre s. 5 Esfera icosadrica de orden 9Esfera tetradrica de orden 9 El nmero de tringulos en los que se divide una cara depende del nmero de subdivisiones que tiene su lado (orden de la esfera geodsica). Para orden n el nmero de tringulos correspondientes a una cara se puede calcular del siguiente modo: 1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1 =n21 n 2 1 + = n2 Nos interesa que el nmero total de tringulos sea mltiplo de 3 para poder dividir la cpula completa en tres mdulos iguales de igual nmero de piezas. Si3 divide a n2 3 divide a n. Por lo tanto el orden de la cpula puede ser 3, 6, 9, 12, ... Nuestra eleccin es el orden 9. 1 3 n 1 3 5 2n - 1 2 6 DISEO: ENTRAMADO Adems, para construir esta cpula, elegiremos un entramado, es decir, omitiremos algunas de las aristas de la cpula y pondremos slo las necesarias para aligerar as su diseo y solventar los problemas que daran intersecciones de mltiples aristas, el entramado por el que optamos es el siguiente: El entramado anterior se puede dividir en tres mdulos iguales.El paso siguiente es proyectar desde el centro O cada punto del entramado de la cara ABC sobre la esfera circunscrita al tetraedro obteniendo as los puntos que denotaremos Pij. Los puntos A, B y C ya estn sobre la esfera y por lo tanto permanecern en su posicin mediante esta proyeccin. Por ltimo calcularemos las distancias entre los puntos Pij correspondientes al entramado inicial. Al principio pensamos utilizar directamente la frmula de la distancia entre dos puntos, pero ms tarde pensamos que la figura final quedara ms esfrica si construamos los arcos de circunferencia mxima que pasan por cada dos puntos. Esta ltima decisin, a parte de complicar la frmula de la nueva distancia entre dos puntos, implica la necesidad de medir los ngulos que forman dos circunferencias mximas sobre la esfera en un punto. Para dotar de consistencia a nuestro diseo, a construir en madera de contrachapado, la fabricaremos doble, uniendo una de radio menor con una de radio mayor con listones, pero esto es una cuestin ms bien de ingeniera y esto es un trabajo matemtico as que en lo que nos vamos a centrar a continuacin es en el desarrollo de los clculos tericos que harn posible la construccin de nuestra cpula geodsica. El archivo CUPULA GEODESICA.ppt es una presentacin en POWER POINT donde se describe el proceso que pretendemos desarrollar. A BC 7 C.RESULTADOS C1FRMULAS C1.1VRTICES DE UN TETRAEDRO Consideremos un sistema de referenciaortonormal centrado en el centro del tetraedro {O, {i, j, k}}. Sea L la arista del tetraedro (regular). Calculamos primero, en funcin de L, la distancia x. Cos 30 =x2 L

x = 2 / 32 / L=3L

Ahora calculamos la altura del tetraedro H = ED. ParaelloconsideramoseltringulorectnguloCEDy aplicamos el teorema de Pitgoras L2 = x2 + H2 H2 = L2 - x2 = L2 - 3L2 = 3L 22 H = 36 L Clculo del radio de la esfera circunscrita R = OD. En el tringulo OCD observamos que OC = OD = R, por lo tanto es issceles. Trazamos una perpendicular desde O al lado CD y entonces se tiene que los tringulos DEC y DFO son semejantes. A B C L L/2 x30C C u L L x l P 8 h O A B C D L L x 8 ODCDFDED= RL2 LH=RL2 / L3 / 6 L= RL36 2= R = 46 L6 2L 3= 6R 4L = Calculamos h = OE. h = OE = H R =36 L- 46 L = 126 L Por ltimo calculamos las coordenadas de los puntos A, B y C Las coordendas de A son: A(x, 0, h) = 126 L, 0 ,3LA Las coordenadas de B B(-x cos 60, x sen 60, h) =B(-3L23,3L21,126 L) = 126 L,3 2L,2LB Las coordenadas de C 126 L,3 2L,2LC A 8 C L L/2 x30 9 C1.2COORDENADAS DE LOS PUNTOS DEL ENTRAMADO Primero calculamos las coordenadas de los vectores u y w. u =AB91 u 9a b,9a b,9a b3 3 2 2 1 1 v =AC91 w 9a c,9a c,9a c3 3 2 2 1 1 LosvectoresuyvjuntoconelpuntoAconstituyenunsistemadereferenciaafnenelplanoABC,loque nospermitenombrarlospuntosponiendocomosubndiceslascoordenadasafinesdecadapuntocon respecto a dicho sistema de referencia. Ademspermiteobtenerunafrmulaparalascoordenadasespacialesdecadapuntosegnsus coordenadas afines en el plano ABC razonando como sigue: AVij = i u + j w Por lo tanto, en coordenadas de R3: Vij = A + i u + j w + + + + + +9) a c ( j ) a b ( ia ,9) a c ( j ) a b ( ia ,9) a c ( j ) a b ( ia V3 3 3 332 2 2 221 1 1 11 j i C1.3COORDENADAS DE LA PROYECCIN DE UN PUNTO SOBRE LA ESFERA CIRCUNSCRITA Para proyectar desde el origen O los puntosVij, calculados anteriormente, sobre la esfera de radio R, calculamos primero un vector unitario paralelo a OVij y luego se multiplica por R. Supongamos que las coordenadas del punto Vij son Vij(v1, v2, v3) A = V00 B = V90 C = V09 V20 V30 V40 V11 V31 V02 V12 V22 V32 V42 V03 V13 V23 V14 V05 V10 V01 uw 10 OVijijijOV| OV |1 OP = ijijOV| OV |R Las coordenadas de P son: P3ij2ij1ijv| OV |R, v| OV |R, v| OV |R = + ++ ++ +232221323222122322211v v vv R,v v vv R,v v vv RP C1.4ARCO ENTRE DOS PUNTOS DE LA ESFERA Para calcular los arcos de un crculo mximo que pasa por dos puntos P y Q de la esfera circunscrita al tetraedro razonaremos del siguiente modo: Sean P y Q con coordenadas con coordenadas respecto de {O, {i, j, k}} P(p1, p2, p3) y Q(q1, q2, q3), es decir que los vectores OP y OQ tienen coordenadas OP(p1, p2, p3) y OQ(q1, q2, q3) respecto de la base {i, j, k} Si llamamos ! al ngulo que forman OP y OQ, podemos calcular su coseno con la frmula cos = | OQ | | OP |OQ OP En coordenadas (recordemos que la base{i, j, k} es ortonormal) cos = 2322212322213 3 2 2 1 1q q q p p pq p q p q p+ + + + + + Por lo tanto vl[ P R v3 p3 O v1 p1 X Y Z v2p2 11 = arccos 2322212322213 3 2 2 1 1q q q p p pq p q p q p+ + + + + + Por ltimo para calcular el arco PQ bastar multiplicar el ngulo (en radianes) por el radio R. 2322212322213 3 2 2 1 1q q q p p pq p q p q parccos R arcoPQ+ + + + + + = C1.5NGULO QUE FORMAN EN UN PUNTO DE LA ESFERA DOS CRCULOS MXIMOS Nos interesa calcular los ngulos que forman en cada punto proyectado sobre la esfera los arcos de circunferencias mximas que concurren en l. Consideramos el tringulo esfrico PQS. El ngulo en el punto P se define como el que forman las tangentes a los arcos PQ y PS en P. Observando el dibujo vemos que el ngulo es el que forman los planos (OPQ) y (OPS). Los vectores normales de los planos (OPQ) y (OPS) son, respectivamenten1 = OP x OQ y n2 = OP x OS. P R O X Y Z Q P O Q S 12 Si las coordenadas de los puntos son P(p1, p2, p3), Q(q1, q2, q3) y S(s1, s2, s3) entonces los vectores desde O tienen las mismas: OP(p1, p2, p3), OQ(q1, q2, q3) y OS(s1, s2, s3). Los vectores n1 y n2 tienen coordenadas: =q qp p,q qp p,q qp pOQ x OP2 12 13 13 13 23 21 1 =s sp p,s ss p,s sp pOS x OP2 12 13 13 13 23 22 2 Entonces el coseno del ngulo se puede calcular cos = | | | |2 12 1 y por lo tanto podemos obtener . | | | |arccos2 12 1= 13 C2CLCULOS CON EXCEL C2.1LADO DEL TETRAEDRO Con las frmulas de los apartados anteriores haremos todos los clculos necesarios. Para ello utilizaremos la hoja de clculo Excel. Todos los clculos que describimos a continuacin estn en el libro de Excel cupula_tetraedrica_9V.xls. En la primera hoja: cp_tetra 9V exterior estn los clculos para una esfera de radio 2.732 m. y en la segunda hoja: cp_tetra 9V interior los mismos clculos para radio 2.712 m.Abrimos un libro de hoja de clculo y en la casilla B4 introducimos el radio de la cpula. A este dato le asignamos el nombre Radiocon la secuencia de comandos Insertar Nombre Definir de tal manera que cuando escribamos en una frmula la palabra Radio la sustituir automticamente por el contenido de la casilla B4. El la casilla B6 escribimos la frmula =4*Radio/RAIZ(6)que expresa el lado del tetraedro6R 4L =calculado en C1.1. A esta casilla le asignamos el nombre lado. C2.2VRTICES DEL TETRAEDRO Ahora calcularemos los vrtices del tetraedro con las frmulas que hemos desarrollado en el apartado C1,1 C(-2L, - 3 2L, 126 L) =lado*RAIZ(6)/12 14 C2.3VRTICES DEL ENTRAMADO En la columna F y en la fila 2 escribiremos , en rojo, las abscisas y ordenadas de los puntos que nos permiten con una nica expresin nombrarlos y calcularlos con la frmula del apartado C1.2 C2.4PROYECCIONES En el rango E56:AJ103 calcularemos las proyecciones de los puntos sobre la esfera aplicando las frmulas del apartado C1.3. La funcin MV (mdulo de vector) de excel est desarrollada en Visual Basic por nosotros en el apndice 1 P+ ++ ++ +232221323222122322211v v vv R,v v vv R,v v vv R =Radio*T6/MV(T5:T7) =CONCATENAR("V";$F11;P$2) Vij + + + + + +9) a c ( j ) a b ( ia ,9) a c ( j ) a b ( ia ,9) a c ( j ) a b ( ia3 3 3 332 2 2 221 1 1 11 =$H$7+($F11*($H$7-$H$49)+P$2*($AJ$7-$H$7))/9 15 C2.5ARCOS En el rango AZ56:BY103 calcularemos los arcos de circunferencia entre dos puntos Pij de la esfera aplicando las frmulas del apartado C1.4. La funcin PE (producto escalar) de excel est desarrollada en Visual Basic por nosotros en el apndice 1. C2.6NGULO En el rango AZ120:BY167 calcularemos los ngulos que forman dos crculos mximos en las proyecciones Pij. La funcin COSANGde excel est desarrollada en Visual Basic por nosotros en el apndice 1. =GRADOS(ACOS(COSANG(BJ123:BJ125;BB123:BB125;BF130:BF132))) = arccos cos = arccos | | | |2 12 1 R arccos 2322212322213 3 2 2 1 1q q q p p pq p q p q p+ + + + + + =Radio*ACOS(PE(BF66:BF68;BJ66:BJ68)/(MV(BF66:BF68)*MV(BJ66:BJ68))) 16 C3CONSTRUCCIN C3.1ESQUEMA Y MEDIDA DE LAS PIEZAS Primero nombramos las piezas de nuestra cpula segn el siguiente esquema: Observamos que debido a las simetras del tetraedro y del estramado que hemos elegido hay piezas que son iguales aunque estn en diferentes posiciones. Se marcan todas las medidas y ngulos necesarios para cortar las piezas. A P40 P05 E1(iz) E1(d) E2 E3 E3 E4 E4 E5(iz) E5(d) E3 0.72 1.349 53.7753.7751.56 87.900.689 3.147 63.163.1E1 (D) 0.8210.616 12031.06 73.2 52.46 3.096 E1 (IZ) 0.8210.616 12031.0673.239.22 2.244 E2 0.712 1.424 31.02 31.0239.06 17 Todas las piezas tienen 3 cm aadidos por cada extremo. Sobre tiras de calabo de 7 mm de espesor, 2.44 m de largo y 6 cm de ancho se marcan todas las distancias y se cortan las piezas de la cpula exterior. Anlogamente se marcan y cortan las piezas de la cpula interior. C3.2DISEO DE LAS PLANTILLAS DE NGULOS Para conservar los ngulos en los puntos donde se cruzan dos o ms piezas es necesario marcar con precisin en ambas piezas dos orificios que impidan el giro. Para ello hemos diseado con el programa Cabri unas plantillas en cartulina que permiten transportar el ngulo exacto y las marcas de los dos orificios a las piezas correspondientes. 73,220,273.22 La utilizacin de las plantillas se ilustra en la siguiente secuencia de imgenes: E4 0.58 1.06 51.56 68.66 87.90 39.05 0.545 2.44 E5(Iz) 0.559 1.488 73.32 63.1168.67 E5(D) 0.559 1.488 73.32 63.11 68.67 18

C3.3PROCESO DE MONTAJE Primero se montaron con las piezas 3, 4 y 5, y por separado, la parte central de las cpulas exterior e interior. Seguidamente se pas la parte exterior por encima de la interior y se unieronlas dos partes con travesaos de 15 cm. (la direrencia entre los radios de las cpulas exterior e interior) en los vrtices Pij. La estructura anterior se suspendi de la cubierta de la entrada del instituto. Por otro lado se construyeron con las piezas E1, I1, E2 e I2 las esquinas de la cpula. (foto1). Por ltimo se unieron a la estructura anterior completando la cpula final. (foto 3) Esta estructura se elev definitivamente hasta una altura de 4 m. En este proceso de montaje colaboraron todos los alumnos de los grupos de profundizacin de matemticas. Foto 1Foto 2 19 Foto 3 DCONCLUSIONES Hemos analizado un problema de construccin creando un modelo geomtrico. Mediante herramientas matemticas hemos calculado posiciones, distancias y ngulos que nos han permitido la construccin del modelo real, comprobando que nuestro modelo terico es correcto. El anlisis de cualquier situacin que requiera un modelo exige un tratamiento matemtico.

EBIBLIOGRAFA [1]http://www.geometer.org/mathcircles/geodesic.pdf [2]Algoritmo matemticas 2. J. R. Vizmanos/M. Anzola. Ed. S. M.[3]Matemticas 1. Bachillerato. Jos Mara Arias Cabezas/Ildefonso Maza Sez, Ed. Bruo [4]Informtica XP.Tecnologas de la Informacin. J.M. Arias/O. Arias. Ed. Casals [5]Microsoft Excel. Functions & Formulas. Bernd Held. Wordware Publishing, Inc. 20 FAPNDICES F1FUNCIONES EXCEL CON VISUAL BASIC Option Base 1 ' Calcula el mdulo del vector Vec. Function MV(Vec As Object) As Variant Dim modulo modulo = ((Vec.Cells(1, 1).Value) ^ 2 + (Vec.Cells(2, 1).Value) ^ 2 + (Vec.Cells(3, 1).Value ^ 2)) ^ 0.5 MV = modulo End Function Option Base 1 ' Calcula el producto escalar de los vectores Vec1 y Vec2. Function PE(Vec1 As Object, Vec2 As Object) As Variant Dim escalar escalar = Vec1.Cells(1, 1).Value * Vec2.Cells(1, 1).Value + Vec1.Cells(2, 1).Value * Vec2.Cells(2, 1).Value + Vec1.Cells(3, 1).Value * Vec2.Cells(3, 1).Value PE = escalar End Function Option Base 1 ' Calcula el coseno del ngulo que forman los vectores n1=Vec1 x Vec2 y n2=Vec1 x Vec3 Function COSANG(Vec1 As Object, Vec2 As Object, Vec3 As Object) As Variant ' TempArray1 es un vector temporal que almacena el producto vectorial n1 = Vec1 x Vec2. ' TempArray2 es un vector temporal que almacena el producto vectorial n2 = Vec1 x Vec3. Dim TempArray1(3, 1) Dim TempArray2(3, 1) ' Las siguientes lineas calculan las coordenadas de n1 y las asigna a TempArray1. TempArray1(1, 1) = Vec1.Cells(2, 1).Value * _ Vec2.Cells(3, 1).Value - Vec1.Cells(3, 1).Value * _ Vec2.Cells(2, 1).Value TempArray1(2, 1) = Vec1.Cells(3, 1).Value * _ Vec2.Cells(1, 1).Value - Vec1.Cells(1, 1).Value * _ Vec2.Cells(3, 1).Value TempArray1(3, 1) = Vec1.Cells(1, 1).Value * _ Vec2.Cells(2, 1).Value - Vec1.Cells(2, 1).Value * _ Vec2.Cells(1, 1).Value ' Las siguientes lineas calculan las coordenadas de n2 y las asigna a TempArray2. TempArray2(1, 1) = Vec1.Cells(2, 1).Value * _ Vec3.Cells(3, 1).Value - Vec1.Cells(3, 1).Value * _ Vec3.Cells(2, 1).Value TempArray2(2, 1) = Vec1.Cells(3, 1).Value * _ Vec3.Cells(1, 1).Value - Vec1.Cells(1, 1).Value * _ Vec3.Cells(3, 1).Value TempArray2(3, 1) = Vec1.Cells(1, 1).Value * _ Vec3.Cells(2, 1).Value - Vec1.Cells(2, 1).Value * _ Vec3.Cells(1, 1).Value ' Asigna el coseno del ngulo que forman n1 y n1 a la variable COSANG COSANG = (TempArray1(1, 1) * TempArray2(1, 1) + TempArray1(2, 1) * TempArray2(2, 1) + TempArray1(3, 1) * TempArray2(3, 1)) / (((TempArray1(1, 1) ^ 2 + TempArray1(2, 1) ^ 2 + TempArray1(3, 1) ^ 2) ^ 0.5) * ((TempArray2(1, 1) ^ 2 + TempArray2(2, 1) ^ 2 + TempArray2(3, 1) ^ 2) ^ 0.5)) End Function F2DESARROLLO DEL MODELO CON AUTOCAD La presentacin en PowerPoint de la pgina 6 que explica el proceso de formacin de nuestra cpula geodsica est formada por imgenes generadas con Autocad. La siguiente presentacin describe el procedimiento grfico que se ha seguido con dicho programa. Cupula geodesica en autocad.pptCPULA GEODSICA TETRADRICA DE TIPO 9 Desde el tetraedro hasta la cpula Todo parte de este tetraedro En el cual subdividimos una de sus caras Por ser de tipo 9, nueve divisiones en cada lado Proyectamos desde el centro del tetraedro los rayos de proyeccin que darn esfericidad a la cpula Y uniendo los extremos de los rayos ya podemos construir la cpula tetradrica de tipo 9 Pero para nuestro diseo, hemos decidido no tomar todas las aristas sino un entramado Que proyectaremos del mismo modo que habamos hecho antes Obteniendo as nuestra cpula geodsica Que construiremos con listones de madera Y que ser reforzada con una doble estructura Y presentar este aspecto: Aunque tambin se le pueden quitar las patas y colgarla Quedando as nuestra cpula: Lo ltimo que hemos hecho ha sido cerrar una cara triangular Y as es como hemos fotografiado nuestra cpula ACLARACIONES ! Hasta aqu hemos visto una presentacin grfica de los pasos que hemos de dar para construir nuestra cpula. ! Las herramientas matemticas de las que nos hemos servido as como la forma de aplicarlas aparecen desarrolladas en el documento de word adjunto as como una introduccin a nivel divulgativo acerca de las cpulas geodsicas ! Adjuntamos por ltimo el modelo 3D de la cpula desarrollado en Autocad