Cálculo Integral para Empresariales

Cálculo integral

M. C. Juliho Castillo3 de marzo de 2017

Escuela de Ciencias Empresariales y Económicas, Universidad Panamericana

1

1 Funciones diferenciables

2 Aproximaciones lineales y diferenciales

Análisis marginal

Aproximación por incrementos

Diferenciales

3 Análisis gráfico de la diferencial de una función

Diferenciación de funciones en forma implicita

Calculando la pendiente de una recta tangente

Aplicaciones a la economía

4 Reglas de diferenciación

Problemas

2

Funciones diferenciables

3

Notación delta

Sea f : R → R una función y x0 en el dominio de f. Sea ∆x

una variación variación infinitesimal, es decir, un cambio muypequeño en el valor de x. De manera similar, ∆y una variacióninfinitesimal en y = f(x). Entonces

∆y = f(x0 + ∆x) − f (x0) .

4

La tasa o razón de cambio promedio de la función f en elintervalo [x0, x0 + ∆x] se define como

∆y

∆x= f(x0 + ∆x) − f(x0)

∆x. (1.1)

5

Ejemplo 1.1.Sea y = f(x) = x2 + 2x. Comencemos en x0 = 1, que cambiaa x = 1.5. Entonces ∆x = 0.5. El cambio correspondiente eny es ∆y = f(1.5) − f(1) = 5.25 − 3 = 2.25. Por tanto, latasa de promedio de cambio de f en [1, 1.5] es

∆y

∆x= 2.25

0.5 = 4.5.

6

La derivada

Si y = f(x), y x0 está en el dominio de f, entonces por la tasade cambio instantanea de f en x0 se entiende el límite de latasa promedio de cambio entre x0 y x0 + ∆x cuando ∆x seaproxima a 0 :

lım∆x→0

∆y

∆x= lım

∆x→0

f(x0 + ∆x) − f(x0)∆x

siempre que este límite exista. Tal límite se le denominaderivada.

7

Notación para derivadas

Considere la derivada de f en un punto arbitrario x en sudominio:

lım∆x→0

∆y

∆x= lım

∆x→0

f(x0 + ∆x) − f(x0)∆x

.

El valor de la derivada es una función de x y se indicarámediante cualquiera de las expresiones siguientes:

Dxf(x) = dy

dx= y′ = f ′(x) = d

dxf(x) = lım

∆x→0

∆y

∆x.

El valor f ′(a) de la derivada de f en un punto especifico a seindica mediante: dy

dx|a.

8

Diferenciabilidad

Una función es diferenciable en un punto x0 si la derivada dela función existe en ese punto.

De hecho, la diferenciabilidad implica la continuidad.

Diremos que una función es diferenciable si lo es en cadapunto de su dominio.

9

Aproximaciones lineales ydiferenciales

10


Análisis marginal

11

Supóngamos que C(x) es el costo toal de la producción de x

unidades de una mercancía en particular. Si x0 unidades estánsiendo producidas actualmente, entonces la derivada

C ′(x0) = lım∆x→0

C(x0 + ∆x) + C(x0)∆x

es también llamada el costo marginal de producir x0 unidades.

12

Si ∆x = 1, entonces

C ′(x0) ≈ C(x0 + 1) − C(x0)1 = C(x0 + 1) − C(x0),

donde ≈ se usa para indicar una aproximación, y no unaigualdad.

13

Definición 2.1.Si C(x) es el costo total de producir x unidades de unamercancía, entonces el costo marginal de producir x0 unidadeses la derivada C ′(x0), la cual aproxima el costo adicional deproducir una unidad más.

14

Figura 2.1: El costo marginal C ′(x0)

15

Figura 2.2: El costo adicional C(x0 + 1) − C(x0) de incrementarla produccion una unidad maś.

16

Definición 2.2.Supongamos que R(x) es el ingreso generado por x unidadesde un bien en particular, mientras que P (x) = R(x) − C(x) esla ganancia correspondiente. Cuando x = x0 unidades sonproducidad, entonces:

El ingreso marginal R′(x) aproxima R(x0 + 1) − R(x0) elingreso adicional por producir una unidad más.La ganancia marginal P ′(x) aproxima P (x0 + 1) − P (x0)la ganancia adicional por producir una unidad más.

17

Ejemplo 2.1.Un manufacturador estima que cuando x unidades de un bienen particular son producidas, el costo total será deC(x) = 1

8x2 + 3x + 98 dolares y, más aún, que todas lasunidades serán vendidas a un precio de p(x) = 1

3(75 − x)dolares por unidad.

(a) Encuentre el costo marginal y el ingreso marginal.(b) Use el costo marginal para estimar el costo de producir la

novena unidad.(c) ¿Cuál es el costro real de producir la novena unidad?(d) Use el ingreso marginal para estimar el ingreso derivado de

la venta de la novena unidad.(e) ¿Cuál es el ingreso real derivado de vender la novena

unidad?18

Ejemplo 2.2.Una manufacturador de cámaras digitales estima que cuando x

cientos de camaras son producidos, la ganancia total será

P (x) = −0.0035x3 + 0.07x2 + 25x − 200

miles de dorales.

(a) Encuentre la ganacia marginal.(b) ¿Cuál es la ganancia marginal cuando el nivel de

producción es x = 10, x = 50 y x = 80?(c) Interprete estos resultados.

19



20

Comof ′(x0) = lım

∆x→0

f(x0 + ∆x) − f(x0)∆x

,

entonces para ∆x ≈ 0:

f ′(x0) ≈ f(x0 + ∆x) − f(x0)∆x

o de manera equivalente

f(x0 + ∆x) − f(x0) ≈ f ′(x0)∆x.

21


Si f(x) es diferenciable en x = x0 y ∆x es un cambiosuficientemente pequeño, entonces

f(x0 + ∆x) ≈ f(x0) + f ′(x0)∆x,

o de manera equivalente, si ∆f = f(x0 + ∆x) − f(x0),entonces

∆f ≈ f ′(x0)∆x.

22

Ejemplo 2.3.Supongamos que el costo total en dolares de manufacturar q

unidades de cierta mercancía es C(q) = 3q2 + 5q + 10. Si elnivel actual de producción es de 40 unidades, estime cuantocambiará el costo total si son producidas 40.5 unidades.

23

Propagación del error

Ejemplo 2.4.Durante un procedimiento médico, el tamaño de un tumor deforma aproximadamente esferica se estima al medir sudiametro usando la fórmula V = 4

3πR3 para medir su volumen.Si el diametro medido es 2.5cm, con un error máximo de 2 %,¿qué tan acertado es la medida del volumen?

24

Control del error

Ejemplo 2.5.La producción diaria de cierta fábrica es Q(L) = 900L1/3

unidades, donde L denota el tamaño de la fuerza laboralmedida en trabajador-hora. Actualmente, 1000trabajador-horas son usadas cada día. Estime el númeroadicionar de trabajador-horas de fuerza laboral que serequerirán diariamente para producir 15 unidades.

25

Fórmula de aproximación del cambio porcentual

Si ∆x es un cambio suficientemente pequeño en x, elcorrespondiente cambio porcentual en la función f(x) será

100 ∆f

f(x) ≈ 100f ′(x)∆x

f(x) .

26

Ejemplo 2.6.El PIB de cierto país era N(t) = t2 + 5t + 200 billones dedolares después de t años a partir del 2000. Estime el cambioporcentual en el PIB durante el primer cuarto de 2008.

27


Diferenciales

28

Definición 2.3.Si ∆x ≈ 0, entonces la diferencial de x es dx = ∆x y siy = f(x) es una función diferenciable de x, entoncesdy = f ′(x)dx es la diferencial de y.

29

Ejemplo 2.7.En cada caso, encuentre la diferencial de y = f(x) :

(a) f(x) = x3 − 7x + 2(b) f(x) = (x2 + 5)(3 − x − 2x2)

30

Figura 2.3: Aproximación de ∆x por la diferencial dy.

31

Análisis gráfico de la diferencialde una función

32

Las ecuaciones del tipo y = f(x) se conocen como explícitas.Por ejemplo,

y = x2 + 3x + 1, y = x3 + 12x − 3 , y =

√1 − x2.

Sin embargo, algunos problemas están en forma implicita, esdecir, F (x, y) = 0. Por ejemplo

x2y3 − 6 = 5y3 + x,

o de manera equivalente

F (x, y) = x2y3 − 6 − 5y3 − x = 0.

33


Diferenciación de funciones en formaimplicita

34

Si tenemos una ecuación en forma implicita F (x, y) = 0, yqueremos obtener y′ = dy

dx, podemos intentar despejar y y

derivar directamente. Sin embargo, esto no siempre es simple oincluso, posible: Por ejemplo, considere

x2y + 2y3 = 3x + 2y.

En algunos casos es posible, pero cálcular la derivada puedeser complicado. Por ejemplo, considere

x2y3 − 5y3 = x + 6.

Entoncesy =

(x + 6x2 − 5

)1/3.

35

Proposición 3.1.Si f = f(y) y y = y(x) son funciones diferenciables:

df

dx= df

dy

dy

dx= f ′(y)y′ (3.1)

Por ejemplo, si y = y(x), entonces

d

dx

(y2)

= d

dy

(y2) dy

dx= 2yy′.

36

Diferenciación implicita

Ejemplo 3.1.Encuentre y′ = dy

dxsi x2y + y2 = x3.

37

Método de Diferenciación Implicita

Suponga que una ecuación define y de manera implicita comouna función diferenciable de x. Para encontrar y′ = dy

dx:

1 Diferencie ambos lados de la ecuación con respecto a x.

Recuerde que y es en realidad una función de x y puedeusar la regla de la cadena al diferenciar los términos quecontienen a y.

2 Resuelva la ecuación diferencial algebraicamente para y′

en términos de x y y.

38


Calculando la pendiente de una rectatangente

39

Ejemplo 3.2.Encuentre la pendiente de la recta tangente al círculox2 + y2 = 25, en el punto (3, 4)− ¿Cuál es la pendiente en elpunto (3, −4)?

Figura 3.1: Gráfica de x2 + y2 = 25.

40

Ejemplo 3.3.Encuentre todos los puntos de la gráfica de la ecuaciónx2 − y2 = 2x + 4y donde la recta tangente es horizontal.¿Tiene la gráfica alguna tangente vertical?

Figura 3.2: Gráfica de x2 − y2 = 2x + 4y

41


Aplicaciones a la economía

42

Ejemplo 3.4.Suponga que la producción de cierta fábrica esQ = 2x3 + x2y + y3, donde x es el número de horas de trabajoespecializado y y es el número de horas de trabajo noespecializado. La actual fuerza de trabajo consiste de 30 horasde trabajo especializado y 20 del que no lo es. Estime elcambio en el trabajo no especializado y que compense unincremento de una hora de trabajo no especializado x, demanera que la producción mantenga su actual nivel.

43

Observación 3.1.Si Q(x, y) es el nivel de producción, diremos que Q(x, y) = C

es una isocuanta, y la razón de cambio dydx

que encontramosderivando implicitamente se conoce como relación marginal desustitución técnica.

44

Reglas de diferenciación

45

Este es un resumen de las propiedades más importantes de laderivada. Al final, se sugiere una lista de problemas que sepueden resolver con ayuda de las notas de clase y le seránútiles para repasar los conceptos básicos, ¡intentelos!

46

Definición 4.1.La derivada de una función f(x) esta definida como

d

dxf(x) = lım

h→0

f(x + h) − f(x)h

,

o de manera equivalente,

d

dxf(x) = lım

t→x

f(t) − f(x)t − x

,

si es que dicho límite existe.

47

Observación 4.1.En ocasiones, usamos la notación f ′(x) para la derivada

d

dx(f(x)).

Al usar esta notación, tenga cuidado en identificar la variableindependiente y la dependiente. Por ejemplo, si y = f(u),entonces

y′ = df

du.

48

Propiedades fundamentales de la derivada

Sean f, g, u funciones diferenciables y c, k unas constantes.

Linealidadd

dx(cf(x) + kg(x)) = c

d

dxf(x) + k

d

dxg(x) (4.1)

Regla de Leibnizd

dx(f(x)g(x)) =

(d

dxf(x)

)g(x) + f(x)

(d

dxg(x)

)(4.2)

Regla de la cadenad

dx(g(u(x))) =

(d

dug(u)

)(d

dxu(x)

). (4.3)

49

Proposición 4.1.Si p ≥ 0 es un número entero, entonces

d

dx(xp) = pxp−1. (4.4)

50

Observación 4.2.La formula 4.4 se puede obtener directamente a partir de laidentidad algebráica

tp − xp = (t − x)(tp−1 + tp−2x + ... + xp−1

),

donde p es necesariamente un entero positivo, o de manerarecursiva a partir de la derivada

d

dx(x) = 1

(veáse ejericicio 4.1) y la regla de Leibniz.

51

Reglas de diferenciación

Problemas

52

Ejercicio 4.1.

A partir de la definición de la derivada, deduzca que

d

dx(mx + b) = m, (4.5)

donde m, b son constantes reales.

En particular, deduzca que

db

dx= 0,

dx

dx= 1.

53

Ejercicio 4.2.

1 Deduzca que sif(x) = g(x)

h(x) , (4.6)

entoncesf ′(x) = g′(x) − h′(x)f(x)

h(x) . (4.7)

2 Sustituya (4.6) en (4.7), y simplifique para obtener,

f ′(x) = g′(x)h(x) − h′(x)g(x)h2(x) . (4.8)

54

Ejercicio 4.3.Deduzca que si f(x) =

√x, entonces

f ′(x) = 12√

x. (4.9)

Sugerencia 4.1.Recuerde que (

√x)2 = x, así que puede derivar de manera

implicita, usando regla de la cadena o puede aplicar la regla deLeibniz en el lado izquierdo de la identidad

f(x)f(x) = x.

55

Ejercicio 4.4.Supongamos que y = m

√xn, con n, m ≥ 0 número enteros.

Entoncesym = xn. (4.10)

Derive implicitamente la ecuación (4.10) (respecto de x),despeje y′ y deduzca que

y′ =(

n

m

)x( n

m−1). (4.11)

Sugerencia 4.2.Recuerde que x( n

m) := m

√xn.

56

Observación 4.3.La fórmula (4.11) nos dice que la fórmula (4.4) también esválida cuando p es una fracción mayor o igual que cero.

57

Ejercicio 4.5.Sea

y = 1xp

,

donde p es una fracción positiva. Entonces

y · xp = 1.

Derive de manera implicita (usando la regla de Leibniz) laecuación anterior y deduzca que

y′ = (−p)x−p−1. (4.12)

58

Observación 4.4.Como

x−p := 1xp

,

la fórmula (4.12) nos dice que (4.4) sigue siendo válido paralos exponente que son fracciones negativas y junto con 4.11,nos dice que la fórmula 4.4 es válida para cualquier exponentefraccionario, en particular, para números enteros.

59

Resumimos todos resultados anteriores en el siguiente:

Teorema 4.2.Sea y = xp, donde p es cualquier fracción. Entonces

dy

dx= pxp−1. (4.13)

60

5 Integración por sustitución

Modelos de ajuste de precio

Problemas aplicados a los negocios y la economía

6 Integracion por partes y por fracciones parciales

Integración por partes

La ecuación logística

Integración por Fracciones parciales

Problemas aplicados a los negocios y la economía

7 Integral definida y el teorema fundamental del cálculo

Integral Definida

Teorema Fundamental del Cálculo61

Sustitución en una integral definida

Variación total

62

Integración por sustitución

63

Calcule la siguiente integral:∫(3x + 5)7dx.

La primera solución sería expandir e integrar término atérmino.

(%i1)expand((3*x+5)^7);( %o1) 2187 x7 + 25515 x6 + 127575 x5 + 354375 x4 +590625 x3 + 590625 x2 + 328125 x + 78125

64

Observación 5.1.La diferencial de u = f(x) es du = f ′(x)dx.

Hacemos la sustitución (o cambio de variable) u = 3x + 5 demanera que du = 3dx o de manera equivalente

dx = 13du.

65

∫(3x + 5)7dx =

∫u7(1

3du)

= 13

(18u8

)+ C

= 124u8 + C

= 124 (3x + 5)8 + C

66

Ejercicio 5.1.Verifique el resultado anterior, derivando. Sugerencia: Utilice laregla de la cadena.

67

Método 1 (Integración por sustitución de∫

f(x)dx).

1 Escoja una sustitución u = u(x) que simplifique elintegrando f(x)dx.

2 Exprese toda la integral en términos de u y du = u′(x)dx.

Esto significa que todos los términos que involucren tantox como dx deben transformarse, para involucrar solo u ydu.

3 Al concluir con el paso 2, la integral debe tener la forma∫f(x)dx =

∫g(u)du.

De ser posible, evalue esta transformación encontrandouna antiderivada G(u) para g(u).

4 Reemplace u por u(x) para obtener una antiderivadaF (x) = G(u(x)) para f(x) de manera que∫

f(x)dx = G(u(x)) + C.

68

Ejemplo 5.1.Encuentre

∫ √2x + 7dx

69


∫8x(4x2 − 3)5dx.

70


∫x3ex4+2dx.

71


∫ xx−1dx.

72


∫ 3x+6√2x2+8x+3dx.

73

Ejemplo 5.6.

Encuentre∫ (ln x)2

xdx

74


∫e5x+2dx.

75


∫ x2+3x+5x+1 dx.

76


∫ 11+e−x dx.

77

Ejemplo 5.10 (Cuando la sustitución falla).Encuentre

∫x4ex4+2dx.

78

Ejemplo 5.11.Encuentre la solución general de la ecuación diferencial

separable dy

dx=

√4 − y2

xy.

79

Ejemplo 5.12 (Una aplicación que involucra unasustitución).Se estima que el precio p en dólares de cada unidad de ciertobien cambia a una tasa de

dp

dx= −135x√

9 + x2

dónde x (medido en cientos de unidades) es la demanda delconsumidor (el número de unidades adquiridas a este precio).Supongamos que 400 unidades, es decir, x = 4 sondemandadas cuando el precio es $30 por unidad.

1 Encuentre la función demanda precio p(x).2 ¿A que precio serán demandadas 300 unidades?3 ¿Cuantas unidades serán demandadas a un precio de $20

por unidad.80


Modelos de ajuste de precio

81

Supongamos que S(p) es el número de unidades de ciertoartículo ofrecido en el mercado a un precio p, y D(p) elnúmero correspondiente de unidades demandas por el mercadoal mismo precio.

El modélo de ajuste de precio de Evans supone que

dp

dt= k (D − S) ,

donde k > 0.

82

Ejemplo 5.13 (Estudio de ajuste de precio).Se introduce un producto con precio inicial de $5 por unidad.La gerente de ventas determina que después de t meses, elprecio estará cambiando a una tasa igual al 2 % de la escasezD − S, donde la oferta S(p) y la demanda D(p) del producto(cada una en miles de unidades) está dada por

D = 50 − p, S = 23 + 2p, 0 ≤ p < 9.

1 Plantee y resuelva un problema de valor inicial para elprecio unitario p(t).

2 ¿Qué ingreso debe esperar la gerente a partir de la ventadel producto después de 6 meses?

3 ¿Cuál es el precio de equilibrio pe? Demuestre que p(t) seaproxima a pe en el largo plazo (cuanto t → ∞.)

83


Problemas aplicados a los negocios y laeconomía

84

Problema 5.1 (Costo marginal).En cierta fabrica, el costo marginal es 3(q − 4)2 dólares porunidad cuando el nivel de producción es q unidades.

1 Exprese el costo total de producción en función de losgastos indirectos (el costo de producir 0 unidades) y elnúmero de unidades producidas.

2 ¿Cuál es el costo de producir 14 unidades si el gastoindicado es $ 436?

85

Problema 5.2 (Ingreso).El ingreso marginal por la venta de x unidades de ciertoartículo se estima será R′(x) = 50 + 3.5xe−0.01x2 dólares porunidad, donde R(x) es el ingreso en dólares.

Determine R(x), suponiendo que R(0) = 0.

¿Qué ingreso se espera por la venta de 1000 unidades?

86

Problema 5.3 (Utilidad marginal).Una compañia determina que el ingreso marginal por laproducción de x unidades es R′(x) = x(5 − x)3 cientos dedólares por unidad, y el costo marginal correspondienteC ′(x) = 5 + 2x cientos de dólares por unidad. ¿En cuántocambia la utilidad cuando el nivel de producción se eleva de 1a 5 unidades?

87

Problema 5.4 (Oferta).El propietario de una cadena de comida rápida determina quesi se ofertan x miles de unidades de una nueva comida, elprecio marginal a ese nivel de oferta estará dado porp′(x) = x

(x+3)2 dólares por unidad, donde p(x) es el precio porunidad a la cual todas las x miles de unidades se venderán.Actualmente se ofertan 5000 unidades a un precio de $2.20por unidad.

1 Determine la función de oferta p(x)2 Si se ofertan 10,000 unidades de alimentos a restaurantes

en la cadena, ¿qué precio unitario se deberá cobrar paraque se vendan todas las unidades?

88

Problema 5.5.Sean S(t) la función de oferta y D(t), la de demanda.Suponga que el precio cambia a una tasa proporcional a laescasez D(t) − S(t), con la constante de propocionalidad k

indicada y el precio inicial p0. En cada ejercicio:

(a) Plantee y resuelva la ecuación diferencial para p(t)(b) Encuentre el precio unitario del artículo cuando t = 4(c) Determine lo que sucede con el precio cuando t → ∞

1 S(t) = 3 + t; D(t) = 9 − t; k = 0.01; p0 = 12 S(t) = 2 + 3p(t); D(t) = 10 − p(t); k = 0.02; p0 = 1

89

Integracion por partes y porfracciones parciales

90


Integración por partes

91

Proposición 6.1 (Regla del producto).Si u, v son diferenciables en x

d

dx(u(x)v(x)) = u(x) d

dxv(x) + v(x) d

dxu(x)

De manera breve,

(uv)′ = u′v + uv′.

92

En forma diferencial, podemos escribir la regla del productocomo:

d (uv) = udv + vdu,

de dondeuv =

∫udv +

∫vdu.

93

Proposición 6.2 (Integración por partes).∫udv = uv −

∫vdu (6.1)

94

Ejemplo 6.1.Calcule ∫

x2 ln(x)dx

95

Método 2 (Integración por partes).Para calcular

∫f(x)dx :

(a) Escoja u, v de manera que f(x) = udv.

(b) Encuentre du y v =∫

dv

(c) Aplique la fórmula (6.1)

96

Ejemplo 6.2.Encuentre ∫

xe2xdx

97

Ejemplo 6.3.Encuentre ∫

x√

x + 5dx

Intente el mismo ejercicio por sustitución.

98

Ejemplo 6.4 (Integración por partes doble).Encuentre ∫

x2e2xdx

99


La ecuación logística

100

Una ecuación diferencial de la forma general

dQ

dt= kQ (M − Q) (6.2)

con k, M contantes se denomina ecuación logística, y l gráficade su solución y = Q(t) se denomina curva logística.

101

Ejemplo 6.5 (Propagación de un rumor).A las 6 a.m., dos ejecutivos contables de una empresacorredora, escuchan el rumor de que una nueva acción que seofrece, se presentará a medio día. El rumor se propaga a travésde 26 ejecutivos de la empresa a la tasa

dN

dt= 0.025N (26 − N)

donde N(t) es el número de ejecutivos que oyeron el rumor t

horas después de las 6 a.m.

1 Determine N(t)2 ¿Cuántos ejecutivos no han oído el rumor a mediodía?

102


Integración por Fracciones parciales

103

En esta sección, consideraremos funciones racionales, es decir,cocientes de polinomio. De hecho, consideraremos sólamente f.r. propias, es decir aquellas en las que el dividendo es de gradoestrictamente menor que el divisor.

104

Ejemplo 6.6.

∫ 2x4 − 3x3 − 4x2 − 17x − 6x3 − 2x2 − 3x

dx =∫

2x + 1 + 4x2 − 14x − 6x3 − 2x2 − 3x

dx

= x2 + x +∫ 4x2 − 14x − 6

x3 − 2x2 − 3xdx

105

Ejercicio 6.1.Compruebe que

14x2 − 14x − 6x3 − 2x2 − 3x

= 2x

+ 3x + 1 − 1

x − 3Este desarrollo se conoce como fracciones parciales.

2 ∫ 4x2 − 14x − 6x3 − 2x2 − 3x

dx = 2 ln |x| + 3 ln |x + 1| − ln |x − 3|

106

Ejemplo 6.7.Determine ∫ 2x + 1

3x2 − 27dx

107

Ejemplo 6.8.Evalue

6x2 + 13x + 6(x + 2)(x + 1)2 dx

108

Determine ∫ −2x − 4x3 + x2 + x

dx

109


Problemas aplicados a los negocios y laeconomía

110

Problema 6.1 (Costo marginal).Un fabricante encontró que el costo marginal es(0.1q + 1)e0.02q dólares por unidad cuando se produjeron q

unidades. El costo total de producir 10 unidades es $200.¿Cuál es el costo total de producir las primeras 20 unidades?

111

El problema de valor inicial es

C ′(q) = (0.1q + 1)e0.02q, C(10) = 200.

cuya solución es

C(q) = e(0.02q)(5q − 200) + 383.21

de donde obtenemos C(20) = 234.028.

112

Integral definida y el teoremafundamental del cálculo

113


Integral Definida

114

Definición 7.1 (Área bajo la curva).Sea f(x) continua y tal que f(x) ≥ 0 sobre el intervaloa ≤ x ≤ b. Entonces la región bajo la curva y = f(x) en elintervalo dado tiene área

A = lımn→∞

[f(x1) + ... + f(xn)]∆x

donde xj es el punto extremo izquierdo del j−ésimo intervalo,si el intervalo a ≤ x ≤ b se divide en n partes iguales, cadauna con longitud

∆x = b − a

n.

115

Observación 7.1.En realidad, podemos elegir cualquier punto xj en el j−ésimointervalo. Por ejemplo, es común elegir el punto medio, el otroextremo (derecho), el punto donde la función alcanza elmáximo en el intervalo o el mínimo.

116

Ejemplo 7.1.Sea R la región bajo la gráfica de f(x) = 2x + 1 sobre elintervalo 1 ≤ x ≤ 3, como se muestra en la gráfica 7.1.Cálcule el área como límite de una suma.

117

La región R se muestra en la figura 7.1, (b) aproximada por 6rectángulos, cada uno de ancho h = 3 − 1

6 ≈ 0.33.

Retomaremos los puntos extremos de cada intervalo y susvalores en la siguiente tabla:

118

En el ejemplo anterior, el error absoluto se calcula como

Errabs = |Aproximación − Valor Exacto| ,

mientras que el error relativo está dado por

Errrel = Errabs

Valor Exacto × 100 %

119

Definición 7.2 (Suma de Riemman).Sea f(x) una función continua en a ≤ x ≤ b. Se divide elintervalo a ≤ x ≤ b en n partes iguales, cada una con unancho

∆x = b − a

n=: h,

y se elige un número xk en cada k−ésimo subintervalo, parak = 1, ..., n. Se plantea la suma de Riemman:

n∑i=0

f(xi)∆x = f(x1)h+ ...+f(xn)h = (f(x1) + ... + f(xn)) h

120

Definición 7.3 (Integral indefinida).La integral indefinida de f en el intervalo a ≤ x ≤ b, denotadapor ∫ b

af(x)dx

es el límite de la suma de Riemman cuando n → ∞ :∫ b

af(x)dx =

n∑i=0

f(xi)∆x.

121

La función f(x) recibe el nombre de integrando, y los númeroa y b se conocen como límite inferior y superior de integración,respectivamente. El proceso de cálcular una integral indefinidase denomina integración indefinida.

122

Definición 7.4 (Área como integral definida).Si f(x) es continua y f(x) ≥ 0 en el intervalo a ≤ x ≤ b,

entonces la región R bajo la curva y = f(x) intervalo dadotiene una área

A =∫ b

af(x)dx.

123


Teorema Fundamental del Cálculo

124

Si la función f(x) es continua en el intervalo a ≤ x ≤ b,

entonces ∫ b

af(x)dx = F (b) − F (a) =: F (x)|ba

donde F (x) es cualquier antiderivada de f(x) en a ≤ x ≤ b.

125

Ejemplo 7.2.Utilice el TFC para determinar el área de la región bajo larecta y = 2x + 1 sobre el intervalo 1 ≤ x ≤ 3

Solución.

A =∫ 3

1(2x + 1) dx = x2 + x|31(

(3)2 + 3)

−((1)2 + (1)

)= 10

126

Ejemplo 7.3.Una parcela de tierra mide 100 pies de ancho y está delimitadaen 3 de sus lados, y por un arroyo en el otro lado del río. Unagente de bienes raíces determina que se puede establecer unsistema de coordenadas en el que las calles se representen porlas líneas y = 0, x = 0 y x = 1, y el arroyo por la curvay = x3 + 1, dónde x y y se miden en cientos de pies.

Si la tierra en la parcela se avalúa en $12 por pie cuadrado,¿cual será el valor total de la parcela?

127

Ejemplo 7.4.Evalúe la integral definida∫ 1

0

(e−x +

√x)

dx

129

Ejemplo 7.5.Evalúe ∫ 4

1

(1x

− x2)

dx.

130

Proposición 7.1 (Reglas para integrales definidas).Sean f, g funciones continuas en el intervalo a ≤ x ≤ b.

Linealidad: Si c1, c2 son cualesquiera dos constantes,entonces∫ b

ac1f(x) + c2g(x)dx = c1

∫ b

af(x)dx + c2

∫ b

ag(x)dx

Regla aditiva: Si c ∈ [a, b], entonces∫ b

af(x)dx =

∫ c

af(x)dx +

∫ b

cf(x)dx.

131

Problema 7.1.A partir de la regla aditiva, deduzca las siguiente propiedades:∫ a

a f(x)dx = 0,∫ ac f(x)dx = −

∫ ca f(x)dx

132

Ejemplo 7.6.Sean f(x), g(x) funciones continuas en −2 ≤ x ≤ 5 y quesatisfacen∫ 5

−2f(x)dx = 3,

∫ 5

−2g(x)dx = −4,

∫ 5

3f(x)dx = 7.

Utilice esta información para evaluar cada una de las siguientesintegrales definidas:∫ 5

−2 (2f(x) − 3g(x)) dx∫ 3−2 f(x)dx

133


Sustitución en una integral definida

134

Proposición 7.2.∫ b

af(g(x)) · g′(x)dx =

∫ g(b)

g(a)f(u)du,

donde u = g(x), du = g′(x)dx.

135

Ejemplo 7.7.Cálcule ∫ 1

08x(x2 + 1)3dx

Ejemplo 7.8.Evalúe ∫ 2

1/4

(ln(x)

x

)dx

136


Variación total

137

Definición 7.5.Si Q′(x) es continua en el intervalo a ≤ x ≤ b, entonces lavariación total de Q(x) cuando varía de x = a a x = b estádada por

Q(b) − Q(a) =∫ b

aQ′(x)dx.

138

Ejemplo 7.9 (Determinación de la variación total en elcosto).En cierta fábrica, el costo marginal es 3(q − 4)2 dólares porunidad cuando el nivel de producción es de q unidades. ¿Encuanto se incrementará el costo total de manufactura si elnivel de producción se aumenta de 6 a 10 unidades?

139

8 Aplicaciones de la Integral Definida

Área entre curvas

Exceso Neto de Utilidad

Curvas de Lorenz

Valor promedio de una función

9 Aplicaciones adicionales

Determinación del valor futuro de una anualidad

Disposición a gastar y curva de excedente de losconsumidores

140

Aplicaciones de la IntegralDefinida

141


Área entre curvas

142

Definición 8.1.Si f(x) y g(x) son continuas en el intervalo a ≤ x ≤ b, yf(x) ≥ g(x) en este intervalo entonces el área A entre lascurvas y = f(x) y y = g(x) en este intervalo está dada por

A =∫ b

a(f(x) − g(x)) dx

143

Ejemplo 8.1.Determine el área de la región R acotada por las curvasy = −x2 + 1 y x2 − 1.

144

Ejemplo 8.2.Determine el área de la región R acotada por las curvasy = x3 y x2.

145

Ejemplo 8.3.Determine el área de la región R acotada por las curvasy = 4x y x3 + 3x2.

146

Ejercicio 8.1.En los siguientes ejercicios, grafique la región R, delimitadaspor las curvas indicadas y después determine su área.

1 y = x, y = −x y la recta x = 1.

2 el eje x y y = −x2 + 4x − 3.

3 el eje x y y = x2 − 2x.

4 y = x2 − 2x y y = −x2 + 4.

5 y = x3 − 3x2 y x2 + 5x.

147


Exceso Neto de Utilidad

148

Suponga que dentro de t años, dos planes de inversióngenerarán utilidades P1(t) y P2(t), respectivamente, y que seespera que las tasas de rentabilidad respectivas, P ′

1(t) y P ′2(t)

satisfagan P ′2(t) ≤ P ′

1(t) durante los próximos N años, esdecir, en el intervalo 0 ≤ t ≤ N.

149

EntoncesE(t) = P2(t) − P1(t)

representa el exceo de utilidad del plan 2 sobre el plan 1 en eltiempo t, y el exceso neto de utilidad

NE = E(N) − E(0)

en el intervalo 0 ≤ t ≤ N esta dado por la integral:

NE =∫ N

0E ′(t)dt =

∫ N

0(P ′

2(t) − P ′1(t)) dt.

150

Figura 8.1: Exceso neto de utilidad como el área entre curvas delas tasas de rentabilidad.

151

Suponga que dentro de t años, uan inversión generaráutilidades a una tasa

P ′1(t) = 50 + t2

cientos de dólares por año, en tanto que una segunda inversióngenerará utilidadea una tasa de P ′

2(t) = 200 + 5t ciento dedólares por año.

1 ¿Durante cuántos años sobrepasa la tasa de rentabilidadde la segunda inversión a la primera?

2 Calcule el exceso neto de utilidad para el periododeterminado en el inciso (a). Interprete el exceso neto deutilidad como un área.

152


Curvas de Lorenz

154

Definición 8.2.La curva de Lorenz de la economía de una sociedad particulares la gráfica de la función L(x), que denota la fracción delingreso nacional anual total recibido por el x100 % de menorsalario del total de trabajadores asalariados en la sociedad,para 0 ≤ x ≤ 1.

155

Por ejemplo, si el 30 % = 0.030 de menor salario de todos lostrabajadores recibe el 23 % = 0.23 del ingreso total de lasociedad, entonces

L(.0.30) = 0.23.

156

Observe que L(x) es una función en 0 ≤ x ≤ 1 que tiene lassiguiente propiedades:

1 L(x) es una función creciente;2 0 ≤ L(x) ≤ 1;3 L(0) = 0;4 L(1) = 1;5 L(x) ≤ x.

157

Figura 8.2: Curva de Lorenz y = L(x) y su índice de Gini

158

El índice de Gini GI, también llamado índice de desigualdaddel ingreso, se puede calcular mediante la fórmula

GI =∫ 1

0 (x − L(x)) dx∫ 10 xdx

=∫ 1

0 (x − L(x)) dx12

,

es decir,GI = 2

∫ 1

0(x − L(x)) dx.

159

Ejemplo 8.4.Una agencia gubernamental determina que las curvas deLorenz para la distribución del ingreso para odontólogos ycontratistas en cierto estado están dadas por las funciones

L1(x) = x1.7, L2(x) = 0.8x2 + 0.2x,

respectivamente. ¿Para cuál profesión es más justa ladistribución del ingreso?.

161


Valor promedio de una función

162

Definición 8.3 (Valor promedio de una función).Sea f(x) una función que es continua en el intervaloa ≤ x ≤ b. Entonces el valor promedio V de f(x) ena ≤ x ≤ b está dado por la integral definida

V = 1b − a

∫ b

af(x)dx

163

Ejemplo 8.5.Un fabricante determina que t meses después de introducir unproducto nuevo, las ventas de la compañía serán S(t) miles dedólares, dónde

S(t) = 750t√4t2 + 25

¿Cuál es el promedio de las ventas mensuales de la compañíaen los primero 6 meses después de la introducción delproducto nuevo?

164

Ejemplo 8.6.Como parte de una investigación, se modela la temperatura T

(en ◦C) en cierta ciudad del norte durante el periodo de 6A.M. a 6 P.M. mediante la función

T (t) = 3 − 13 (t − 4)2 ,

para 0 ≤ t ≤ 12, donde t es el número de horas después de las6 A.M.

1 ¿Cuál es la temperatura promedio en la ciudad durantelas horas de trabajo, de 8 A.M. a 5 P.M.?

2 ¿En qué momento durante el día de trabajo se debeesperar que la temperatura sea mayor o igual a latemperatura promedio que se obtuvo en el inciso (a)?

165

Proposición 8.1 (Interpretación de la tasa del valorpromedio).El valor promedio de una función f(x) en un intervaloa ≤ x ≤ b, dónde f(x) es continua, es el mismo que la tasa decambio promedio de cualquier antiderivada F (x) de f(x) en elmismo intervalo.

166

Aplicaciones adicionales

167


Determinación del valor futuro de unaanualidad

168

Se tranfiere dinero a una cuenta, a una tasa constante de$1200 dólares por año. La cuenta gana intereses a una tasaanual de 8 % capitalizada continuamente. ¿Cuánto habrá en lacuenta al cabo de dos años?

169

Observación 9.1.P0 dólares invertidos a una tasa anual r y capitalizadoscontinuamente valdrán

P (t) = P0ert,

después de t años.

170

Figura 9.1: Valor futuro (aproximado) del dinero depositadodurante el j-ésimo subintervalo.

171

Dinéro depositado

(dólares por año) (número de años) = 1200∆t

VF del deposito en el j-ésimo intervalo

1200e0.08(2−tj)∆t

VF de flujos de ingresos (aprox.)n∑

j=11200e0.08(2−tj)∆t

VF del flujo de ingresos∫ 2

01200e0.08(2−t)dt

172

Definición 9.1 (Valor futuro de un flujo de ingresos).Suponga que se transfiere dinero continuamente a una cuentadurante un periodo 0 ≤ t ≤ T, a una tasa dada por la funciónf(t), y que la cuenta gana interés a una tasa anual r,

capitalizada continuamente. Entonces el valor futuro V F delflujo de ingresos después de T años está dado por la integraldefinida

V F =∫ T

0f(t)er(T −t)dt = erT

∫ T

0f(t)e−rtdt.

173

El valor presente de un flujo de ingresos generados a una tasacontinua f(t), durante un plazo especifico de T años, es lacantidad de dinero V P que se debe depositar hoy, a la tasa deinterés prevaleciente, para generar el mismo ingreso que elflujo de ingresos durante el mismo periodo de T años:

V P(erT

)= erT

∫ T

0f(t)e−rtdt.

174

Definición 9.2.Con las mismas condiciones de la definición anterior, diremosque el valor presente está dado por

V P =∫ T

0f(t)e−rtdt.

175

Ejemplo 9.1.Una persona trata de decidir entre dos inversiones. La primeracuesta $9000 y se espera que genere un flujo de ingresoscontinuo a una tasa de

f1(t) = 3000e0.03t

dólares por año. La segunda inversión es una anualidad quecuesta $12000 para comprar y generar ingreso a una tasaconstante de f2(t) = 4000 dólares por año. Si la tasa anualpermanece fija a 5 % capitalizada continuamente durante lospróximos 5 años, ¿cuál inversión generá más ingreso netodurante este periodo?

176


Disposición a gastar y curva deexcedente de los consumidores

177

Definición 9.3.La disposición a gastar (total) del consumidor hasta q0

unidades de una mercancía está dada por

WS =∫ q0

0D(q)dq

donde p = D(q) es la función de demanda del artículo.Geométricamente, ésta es el área bajo la curva de demandasobre el intervalo 0 ≤ q ≤ q0.

179

El gerente de una granja determina que q toneladas de granose venderán cuando el precio sea p(q) = 10 (20 − q2) dólarespor tonelada. Encuentre el número total de compradoresdispuestos a gastar hasta 3 toneladas de grano.

180

[Excedente del consumidor] = [Cantidad total quelos consumidores están dispuestos a gastar] -[Gasto real del consumidor por q0 unidades].

181

Definición 9.4 (Excedente del consumidor).Si q0 unidades de un artículo se venden a un precio de p0 porunidad y si p = D(q) es la función de demsnda del consumidorpara un artículo, entonces el excedente del consumidor EC

está dado por

EC =∫ q0

0D(q)dq − p0q0.

182

Definición 9.5 (Excedente del productor).Si q0 unidades de un artículo se vende a un precio de p0 dólarespor unidad y p = S(q) es la función de oferta del artículo,entonces el excedente del productor EP está dado por

EP = p0q0 −∫ q0

0S(q)dq

183

Ejemplo 9.2.Un fabricante de neumáticos estima que los mayoristascomprarán (demandarán) q miles de neumáticos radialescuando el precio sea

p = D(q) = −0.1q2 + 90 dólares por neumático,,

y el mismo número de neumáticos se ofertará cuando el preciosea

p = S(q) = 0.2q2 + q + 50 dólares por neumático.

Determine el precio de equilibrio, así como la cantidadofertada y demandada a ese precio.Determine el excendente de los consumidores y el de losproductores en el precio de equilibrio. 184

Cálculo Integral para Empresariales

Economy & Finance

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