1

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

INTEGRALES INMEDIATAS E INTEGRALES QUE SE VUELVEN

INMEDIATAS MEDIANTE CAMBIOS DE VARIABLES Y

COMPLETANDO LA DIFERENCIAL.

du u C

u v w dx udx v dx wdx

; constantekdu k du ku C k

1

; 11

nn uu du C n

n

cossenudu u C cosudu senu C

2sec tanudu u C 2csc cotudu u C

sec tan secu udu u C csc cot cscu udu u C

2 2

du uangsen C

aa u

2 2

1tan

du uang C

a au a

2

1sec

1

du uang C

a au u

Ejemplo. Resolver la integral 2

38

x dx

x

2

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

Ejemplo. Resolver la integral

4

2 35 6 1x x dx

Ejemplo. Resolver la integral

2 xdx

x

Ejemplo. Resolver la integral

327

30 2

1 xdx

x

Solución. Primero se resuelve la integral indefinida, la que

también se puede escribir como: 1

2 13 23 3

3 2

11

xdx x x dx

x

3

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

Mediante un cambio de variable se convierte en integral

inmediata, de donde: 1 2

2 3 31

1 23

u x udu x dx

1 112 1 2 12 2

2 223 3 3 31

1 3 1 3 2 63

x x dx x x dx u u du u du

33 3

3 3 2

3 2

6 12 2 1

3

u xC u C dx x C

x

Ahora se aplica la regla de Barrow y queda resuelta la integral

definida. Así,

27

3 3 338

3 3 32 2 2

30 2

0

12 1 2 1 27 2 1 0 16 2 14

xdx x

x

38

30 2

114

xdx

x

Ejemplo. Resolver la integral

2

7

xdx

x

4

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

Ejemplo. Resolver la integral

2cos 1x x dx

Solución. Se realiza un cambio de variable como sigue y se

aplica la fórmula correspondiente: 21 2u x du xdx

21 1cos 1 2 cos 1 cos

2 2x x dx x x dx u du

2 21 1cos 1 1

2 2senu C x x dx sen x C

Ejemplo. Resolver la integral

4

0 1

dx

senx

5

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

Ejemplo. Resolver la integral 2

csc2

1 cot2

xdx

x

Ejemplo. Resolver la integral

2 2cos

dx

sen x x

Solución. Se acude a la identidad trigonométrica 2 2cos 1sen x x

y: 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

cos

cos cos

cos

cos cos

dx sen x xdx

sen x x sen x x

sen x xdx dx

sen x x sen x x

2 2

2 2sec csc tan cot

cos

dx dxxdx xdx x x C

x sen x

2 2tan cot

cos

dxx x C

sen x x

6

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

Ejemplo. Resolver la integral 2 2

3 3

1

3

csc cotx xdx

x

Ejemplo. Resolver la integral 2

4

4 xdx

x

Solución. En la resolución de esta integral se utilizarán dos

cambios de variable como sigue:

2

1 dux dx

u u

2 22

4 2

4

14

44 1

1

x duudx u u dux u

u

La otra sustitución es: 2 2 24 1 4 1 8 2

4

u w u w udu wdw

udu wdw

321

4 4 12

w wwdw w dw C

7

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

Se sustituyen los dos cambios de variable que hubo y se

obtiene finalmente:

3

23 32 22 23 2

36

41

4 1 4

12 12 12 12

u xw xC C C C

x

3

2 22

4 3

44

12

xxdx C

x x

Ejemplo. Resolver la integral

2

sec

1

ang xdx

x x

Ejemplo. Resolver la integral

2

1 tan2

1 4

ang xdx

x

Solución. Se divide en dos integrales y,

2 2 2

1 tan2 tan2

1 4 1 4 1 4

ang x ang xdxdx dx

x x x

8

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

Para resolver la primera integral:

2 2 2

2; 4 2 2 ; 1 1

1 4

dxu x u x du dx a a

x

12 2

1 1 1 1tan tan2

2 2 2

du uang C ang x C

a aa u

Y la segunda integral se resuelve como:

2 2

tan2 2; tan2

1 4 1 4

ang x dxdx u ang x du

x x

31 22

2

1 1 1

32 2 2

2

uudu u du C

3 3

2 22 2

1 1tan2

3 3u C ang x C

Finalmente, haciendo 1 2C C C se obtiene:

3

22

1 tan2 1 1tan2 tan2

2 31 4

ang xdx ang x ang x C

x

Ejemplo. Resolver la integral 3.5

2 25 4

dx

x x

Solución. Se resuelve la integral indefinida 25 4

dx

x x .

Se hacen arreglos algebraicos en el integrando consistentes en

ordenar los términos y completar el trinomio cuadrado

perfecto.

9

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

2 2 25 4 4 5 4 4 4 5

dx dx dx

x x x x x x

2

9 2

dx

x

Mediante el siguiente cambio de variable se resuelve la

integral. De donde,

22 22 2 ; 9 3u x u x du dx a a

2 2 2

2

35 4

du u dx xangsen C angsen C

aa u x x

Se aplica la regla de Barrow y 3.5

3.5

2 22

2

35 4

dx xangsen

x x

1.5 10

3 2 6angsen angsen angsen

3.5

2 2 65 4

dx

x x