III.- PLAN TEMATICO.

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UNIDAD TEMAS C CT TOTAL

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1 Cálculo Vectorial 12 28 40

2 Matrices y Sistemas de

Ecuaciones Lineales. 04 06 10

3 Series Numéricas y Series

de Potencias. 10 16 26

4 Introducción a las Series de

Fourier. 02 06 8

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T O T A L 28 56 84

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IV.- DESCRIPCIÓN DE CONTENIDOS POR UNIDADES:

UNIDAD I: CALCULO VECTORIAL:

OBJETIVOS:

1.- Extender los conceptos del cálculo diferencial e integral de funciones escalares a funciones vectoriales.

2.- Adquirir habilidad en el manejo de las operaciones básicas del cálculo vectorial.

3.- Resolver aplicando las técnicas del calculo vectorial problemas geométricos, físicos y de ingeniería.

CONTENIDOS:

1. Función vectorial de una variable. Concepto.

2. Limite, continuiudad, derivación e interpretación de una función vectorial de una variable.

3. Fórmulas de derivación.

4. Triada móvil. Fórmulas de Frenet - Serret.

5. Aplicaciones a la mecánica.

6. Funciones vectoriales de varias variables .

7. Campos escalares y vectoriales.

8. Gradiente de un campo escalar. Divergencia y rotacional de un campo vectorial.

9. Integración de línea de primero y segundo tipo. Propiedades. Cálculo de integrales de línea.

10. Integrales de línea independientes de la trayectoria.

11. Teorema de Green.

12. Integral de Superficie de primero y segundo tipo. Propiedades. Cálculo de integrales de superficies.

13. Teorema de Ortogradski - Gauss.

14. Teorema de Stokes.

UNIDAD II: MATRICES Y SISTEMAS DE ECAUCIONES LINEALES:

OBJETIVOS:

1.- Adquirir habilidades en el uso de las diferentes operaciones matriciales y su aplicación en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales por medio de matrices.

2.- Asimilar la noción de determinantes asociada a una matriz cuadrada sobre un cuerpo, aplicando sus propiedades en el desarrollo de determinantes de orden n e interpretando el significado geométrico del determinante de un operador lineal sobre un espacio vectorial dado.

CONTENIDOS:

1. Concepto de matriz, notación.

1. Clasificación de matrices: Escalonada, triangulares, diagonales, escalar, identidad, traspuesta.

2. Operaciones con matrices: Suma, Multiplicación por un escalar, producto de matrices

4. Determinantes de orden 2,3,...n., propiedades de los determinantes, transformaciones elementales (matrices equivalentes), Cálculo de un determinate mediante transformaciones elementales.

5. Matrices inversas, cálculo de la inversa: método de cofactores y método de Gauss-Jordan

6. Rango de una matriz.

7. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales: Método de Gauss y Gauss - Jordan.

8. Resolución de un sistema cuadrado compatible mediante la inversa de la matriz de coeficientes.

UNIDAD III: SERIES NUMERICAS Y SERIES DE POTENCIAS:

OBJETIVOS:

1.- Asimilar los conceptos básicos de sucesiones así como su clasificación y aplicación de los teoremas para dicha clasificación.

2.- Comprender el concepto de serie y analizar su convergencia a través del análisis de la sucesión de sumas parciales.

3.- Aplicar los criterios de convergencia para la determinación de la característica de una serie numérica con términos positivos y una serie alternante.

4. Desarrollar funciones de una variable real en series de potencias utilizando operaciones con series o haciendo uso de la serie de Taylor y Maclaurin.

5. Hacer uso de las series de potencias en el cálculo aproximado y en resolución de integrales, así como la acotación del resto.

CONTENIDOS:

1. Sucesiones. Definición. Operaciones con sucesiones.

2. Limite de una sucesión. Teoremas.

3. Sucesiones monótonas y acotadas . El número "e".

4. Series. Concepto. Suma de una serie. Operaciones con series numéricas.

5. Condición necesaria para la convergencia de una serie.

6. Series con términos positivos.

7. Criterios de convergencia: comparación por término, comparación por límite, raíz, cociente, integral.

8. Series alternantes. Teorema de Leibníz.

9. Convergencia absoluta y condicional.

10. Series de potencias. Intervalo y radio de convergencia.

11. Serie de Taylor. Serie de MaClaurin. Serie Binomial.

12. Operaciones con series.

UNIDAD IV: INTRODUCCION A LAS SERIES DE FOURIER

OBJETIVOS:

1.- Asimilar los conceptos básicos de las funciones ortogonales y de las series de Fourier.

2.- Adquirir habilidades en el manejo de la metodología para determinar si dos funciones o conjunto de funciones son ortogonales.

- La serie de Fourier generalizada.

3.- Comprender el concepto de Serie de Fourier y de las extensiones periódicas de las funciones periódicas, trigonometricas, pares e impares.

CONTENIDOS:

1. Conceptos básicos: funciones periódicas, par e impar. Funciones cuadrado integrables.

2. Funciones ortogonales. Series trigonométricas de Fourier.

3. Prolongación de una función. Series trigonometricas de Fourier de periodo T.

4. Desarrollo trigonométrico de Fourier para funciones pares e impares.

V.- RECOMENDACIONES METODOLOGICAS:

UNIDAD I: CALCULO VECTORIAL

En esta unidad se debe hacer énfasis en las aplicaciones físicas y mecánicas de las funciones vectoriales, sin descuidar los aspectos teóricos de los conceptos, es decir, pretendemos poner en manos de los estudiantes una herramienta que les permita resolver muchos problemas prácticos, no solamente de cálculo sino de otras materias relacionadas con su carrera. Se recomienda para esto:

1.- Hacer énfasis en las interpretaciones geométricas y físicas de la hodografía de una función vectorial.

2.- Dar la interpretación física y geométrica de la primera derivada del vector de posición r(t), así como la interpretación física de la segunda derivada. Que el docente plantee y resuelva problemas de cálculo de vectores de velocidad y aceleración, dada la ecuación vectorial del movimiento de una partícula tanto en R2 como en R3

3.- Hacer una amplia y variada ejercitación sobre los conceptos siguientes:

* Recta tangente y plano normal a una curva.

* Reglas de derivación.

* Derivadas parciales de funciones vectoriales de más de una variable.

* Longitud de arco de una curva.

4.- Ejercitar a los estudiantes en el cálculo de vectores: Tangentes, Normales, Binormales, y de curvatura y plantear problemas de aplicación de dichos vectores a la mecánica.

5.- Dar al estudiante las diferentes formas de calcular el diferencial de superficie y hacer interpretación geométrica del mismo.

6.- Además de las propiedades de gradiente de una función escalar el docente deberá hacer con el estudiante una amplia ejercitación de este concepto en:

- Cálculo de vectores normales a una superficie.

- Determinación de la ecuación del plano tangente a una superficie.

- Cálculo de derivadas direccionales y la dirección en la cual la derivada direccional es máxima.

7.- En cuanto a la divergencia hacer una interpretación física de la misma, así como de las campos vectoriales con divergencia cero o diferente de cero, y ejercitar a los estudiantes en el cálculo de la divergencia de un campo vectorial.

8.- Dar una interpretación física del concepto de rotacional, explicar el significado de campos rotacionales e irrotacionales y hacer una amplia ejercitación sobre el rotacional de un campo vectorial.

9.- Para introducir el concepto de integral de línea es recomendable hacer relación de como se llegó al concepto de integral doble y triple, generalizando el concepto de la integral definida simple, en estos casos el intervalo unidimensional (a,b) fué reemplazado por regiones de integración en 4 y 5 respectivamente. La integral de línea es una generalización de la integral definida simple pero en una nueva dirección, aquí se reemplaza el intervalo unidimensional (a,b) por un segmento de curva y el integrando por un campo escalar o vectorial.

10.- En el estudio de las integrales de línea se darán los conceptos de la integral de línea de primera forma escalar y de segunda forma escalar, es necesario hacer énfasis en que las propiedades de ambas formas de integrales de línea son las mismas, excepto la propiedad de

cambio de orientación que en la primera forma escalar cambia de sentido fdr = - fdr, mientras que en la segunda forma escalar no cambia fds = fds.

11.- Cabe destacar la importancia del Teorema de Green, ya que mediante la aplicación de éste es posible calcular la integral a través del cálculo de una integral doble, que en muchos casos resulta más fácil; para aplicar el teorema es necesario verificar que se cumplen las condiciones del mismo.

12.- Para introducir el concepto de integral de superficie, se puede hacer analogía con la forma en que se introduce el concepto de integral de línea y considerar la integral de superficie como una generalización de las integrales dobles, aquí; las superficies planas que servían de regiones de integración en una integral doble son sustituidas por superficies en el espacio que no necesariamente son planas.

13.- Hacer mención que una de las aplicaciones físicas de gran importancia que tienen las integrales de superficie es el cálculo del flujo de un fluido a través de una superficie.

14.- Se estudiará la forma vectorial y escalar de la integral de superficie, destacar que las propiedades de ambas son iguales, exceptuando, la propiedad del cambio de orientación.

15.- Destacar que los conceptos de gradiente, divergencia y rotacional son de gran importancia, el primero para el cálculo del vector normal a una superficie y los otros en los Teoremas de la Divergencia de Gauss y del Rotacional de Stokes, el cual es una generalización del Teorema de la Divergencia de Gauss.

UNIDAD II: MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

La unidad ha de ser desarrollada haciendo énfasis en la adquisición de habilidades operativas, reduciendo al mínimo las fundamentaciones teóricas. El concepto de operaciones elementales sobre las filas de una matriz se puede introducir sobre la base de los principios que se aplican en la resolución de un sistema dado de ecuaciones lineales (tres ecuaciones con tres incógnitas), y después extendiéndolos a las filas de una matriz, sin referencia a un sistema de ecuaciones.

1.- Construir una herramienta, fácil de comprender y manipular, que nos permita obtener un método eficaz para resolver un sistema de n ecuaciones lineales con m incógnitas. Esto se logra a través de las transformaciones elementales por filas sobre la matriz ampliada del sistema hasta convertirla en una matriz escalonada equivalente de GAUSS - JORDAN. Se liga fácilmente con el concepto de rango de una matriz para resumir los resultados en el enunciado del Teorema de ROUCHE - FROBENIUS (KRONECKER - CAPELLI).

2.- Para el caso de ser n = m, deducir la Regla de CRAMER en cuya ampliación se usan los determinantes. La definición inductiva de determinante en vez de usar la teoría de las permutaciones, ahorra tiempo. El método de CHIO o del PIVOTE es rápido y combinado con las propiedades de los determinantes provee una herramienta muy útil para el cálculo de los mismos.

3.- Obtener un método para invertir una matriz cuadrada por medio de la matriz adjunta o por transformaciones elementales y resolver un sistema de ecuaciones lineales (n = m), usando la inversa.

UNIDAD III : SERIES NUMERICAS Y SERIES DE POTENCIAS

La ubicación de esta unidad se justifica por el hecho de construir una aplicación del límite de una función real de variables discretas, ya que el concepto de serie se llega a través del límite de una sucesión de sumas parciales, y las sucesiones no son más que funciones con dominio en el conjunto de los números naturales.

1.- Definir e interpretar el límite de una sucesión. Clasificar las sucesiones en convergentes o divergentes de acuerdo a la característica del límite de ésta.

2.- Definir sucesiones monótonas, definir cotas para inducir el concepto de sucesión acotada.

3.- Enunciar y ejemplificar los teoremas de sucesiones.

4.- Introducir el concepto de serie a través de sumas e inmediatamente explicar que a toda serie le corresponde una sucesión de sumas parciales.

5.- Definir la serie geométrica y analizar su convergencia, aplicar a esta serie a algunos cálculos y a problemas prácticos.

6.- Enunciar el teorema de la condición necesaria para la convergencia de una serie. Explicar que si an es convergente, entonces, lim an = 0, pero no es válido el recíproco. n-->

7.- Explicar y ejemplificar cada uno de los criterios de convergencia de las series con términos positivos: Comparaciones, raíz, cociente, integral. Hacer uso de la serie hiperarmónica o serie p. En el caso dudoso de los criterios de la raíz y del cociente se puede utilizar el "CRITERIO DE RAABE", el cual nos indica que 1 entonces:

a) Si k > 1, la serie converge.

b) Si k < 1 o si 2, la serie diverge.

c) Si k = 1, no hay información.

Es claro que antes de aplicar cualquiera de estos criterios hay que comprobar si se cumple la condición necesaria de convergencia, ya que de no cumplirse se sabe que la serie es divergente.

8.- Enunciar y explicar el criterio de Leibnitz para analizar la convergencia de una serie alternante. Clasificar para este caso, la convergencia en absoluta y condicional.

9.- Definir series de funciones y explicar que toda serie de funciones converge a una función. Ejemplificar.

10.- Definir series de potencias, explicar que su dominio de convergencia es un intervalo, definir radio de convergencia.

11.- Definir y realizar operaciones con series de potencias: suma, resta, producto, composición, derivación e integración.

12.- Explicar que el desarrollo de una función en series de potencias puede obtenerse por derivación sucesiva, éste es el caso de la serie de Taylor y Maclaurin. Obtener las series de ex, senx, cosx, senhx, coshx, (1 + x)m, etc.

13.- Explicar que el desarrollo en series de potencias tiene aplicaciones, por ejemplo, cálculos como sen(100), ln(1.7),

, etc.

UNIDAD IV : INTRODUCCION A LAS SERIES DE FOURIER

En esta unidad se deberá iniciar por definir las funciones ortogonales y posteriormente la metodología de como determinar la serie de Fourier generalizada, así como la serie de Fourier de funciones tales como:

- Algebraicas.

- Seccionadas.

- Trigonométricas.

- Periódicas.

- Pares e impares.

y también como describir sus extensiones periódicas para las distintas funciones desarrolladas en Series de Fourier.

VI.- SISTEMA DE EVALUACION

La evaluación de esta asignatura será de acuerdo al régimen académico vigente: controles sistemáticos con valoración del 30%, dos pruebas parciales con un 70%, por lo tanto, cada nota parcial tendrá un valor del 50% que sumados las dos nota parciales dará la nota final.

VII.- BIBLIOGRAFÍA:

TEXTO BASICO:

- Cálculo con Geometría Analítica.

Earl Swokowski.

- Ecuaciones Deferenciales con Aplicaciones.

Dennis G. Zill.

TEXTOS COMPLEMENTARIOS:

- Cálculo con Geometría Analítica.

Dennis G. Zill.

- Algebra Lineal.

Harvey Gerber.

VIII.- RELACION DE AUTORES:

Elaborado por : Departamento de Matemática.

Aprobado por : Facultad de Tecnología de la Construcción