CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO E. EXAMEN SEPTIEMBRE 2014

NOMBRE Y APELLIDOS...........................................................................................................................

1. (1.5 puntos) Demuestra que un subconjunto de Rn es compacto si y solo si es cerrado y acotado.

2. (1.5 puntos) Demuestra el teorema del valor medio para funciones (con valores) escalares definidas en unabierto de Rn.

3. (1.4 puntos) Considera la funcion f : R2 → R,

f(x, y) =

{x2y2 log(x2 + y2), (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).

(i) Estudia los puntos de continuidad de f . (ii) Estudia los puntos de diferenciabilidad de f .

4. (1.4 puntos) Considera el subconjunto de R, C = ∪n∈Z{(x, y) ∈ R2 : y = nx2}. (i) Halla el interior, adhe-rencia, puntos aislados, puntos de acumulacion y frontera de C. Justifica tus respuestas con argumentosgeometricos o analıticos. (ii) ¿Es C conexo? ¿Es C \ {(0, 0)} conexo?

5. (1.4 puntos) Considera el sistema de ecuaciones

x5yz + z2y2 + z4y4 + x = 4,

y2x4 + z5x2 + yz = 3.

(i) En el conjunto S de soluciones (x, y, z) ∈ R3 de este sistema, prueba que se puede obtener (x, y)como funcion implıcita h de clase infinito de z en un entorno del punto (x0, y0, z0) = (1, 1, 1). Deta-lla el enunciado del principal teorema que usas escribiendolo para este caso particular. Halla Dh(1).(ii) ¿Es S una variedad diferenciable de R3 en un entorno del punto (1, 1, 1)? Si lo es, halla su dimensiony su clase.

6. (1.4 puntos) Considera la funcion G : R2 → R2, G(x, y) = (cos3 x + sin(x + y), cos3 y + sin(x − y)). (i)¿Admite la funcion G una inversa local de clase infinito en algun abierto que contenga al punto (0, 0)? Sies ası, detalla el enunciado del principal teorema que usas escribiendolo para este caso particular. Calculala matriz de la diferencial de esta funcion inversa en el punto (1, 1). (ii) ¿Tiene G una inversa global?

7. (1.4 puntos) Considera el subconjunto de R3, A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2+y2+z2 ≤ 1} y la funcion f: A→ R,f(x, y, z) = (x+ 2y + 3z)2. (i) Decide si la funcion f tiene maximo y/o mınimo absoluto en A. Razona turespuesta. (ii) En caso afirmativo, hallalos.

1. (3 puntos) Enuncia con detalle y demuestra los resultados que establecen:

(SOLO HAS DE CONTESTAR A TRES DE LOS CUATRO APARTADOS SIGUIENTES)

(i) La imagen de un conjunto compacto a traves de una funcion continua es compacto.(ii) Una funcion continua definida en un compacto K es uniformemente continua en K.(iii) Si una funcion diferenciable definida en un abierto (y con valores escalares) tiene un extremo relativoen un punto x de este abierto, entonces x es un punto crıtico.(iv) La desigualdad del valor medio para funciones con valores vectoriales.

2. (1 punto) Da la definicion de interior, adherencia, frontera, puntos de acumulacion, puntos aislados de unsubconjunto A de R2 y hallalos para A = ∪n∈N{(x, y) ∈ R2 : xy = 1

n}. Has de justificar todas las respuestas

con argumentos geometricos o analıticos.

3. (1 punto) Considera el subconjunto de R3 definido como B = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y4 + z6}. Estudia si esconexo, conexo por caminos, cerrado, abierto, acotado, compacto y demuestra tu respuesta con argumentosanalıticos. Da la definicion de variedad diferenciable en Rn de clase p y dimension m. Estudia si B es variedaddiferenciable de clase infinito en R3 y, si lo es, indica su dimension.

4. (1 punto) Considera la funcion f : R2 −→ R definida como

f(x, y) =

{x+y2√x2+y2

, si (x, y) 6= (0, 0)

0, si (x, y) = (0, 0).

(i) Estudia en que puntos de R2 la funcion f es continua.(ii) Considera la restriccion g := f |S : S → R, siendo S := {(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ y2 ≤ 1}. Estudia si g esuniformemente continua en S.

EN TODOS LOS EJERCICIOS HAS DE EXPLICAR CON DETALLE LOS RAZONAMIENTOS QUE TELLEVAN A TU CONCLUSION.

——–

5. (1 punto) Considera la funcion h : R2 −→ R, definida como

h(x, y) =

{x2y2

x2+y2, si (x, y) 6= (0, 0)

0, si (x, y) = (0, 0)

(i) Estudia en que puntos h es diferenciable.(ii) Halla la direccion de maximo crecimiento de la funcion en el punto (1, 1) y el maximo valor de todas lasderivadas direccionales de la funcion en ese punto.

6. (1 punto) Considera la funcion g : R2 −→ R, definida como g(x, y) = x2 + y2 + xy.(i) Considera el subconjunto de R2 definido como S = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}. Justifica que f = g|Stiene extremos absolutos en S.(ii) Halla max

Sf y mın

Sf y los puntos donde se alcanzan.

7. (1 punto) Sea F : R3 → R2 definida por F (x, y, z) = (x6z3 + 2y8z4 − 2, xy3z2 + yz + 1). En el conjunto desoluciones del sistema F = 0, Prueba que se puede obtener, en un entorno del punto (0, 1,−1), x e y comofuncion implıcita h de clase infinito de z. Detalla el enunciado del principal teorema que usas escribiendolopara este caso particular. Halla Dh(−1).

8. (1 punto) De una funcion f : R2 → R2 de clase infinito sabemos que su Jacobiano en todo punto es distintode cero. Consideremos la funcion composicion g : R2 → R2, g(x, y) = f(x2 + y, y2 + x).(i) ¿Es g de clase infinito en R2? ¿Admite la funcion g una inversa local de clase infinito en algun abiertoque contenga al punto (2, 1)? En caso afirmativo, calcula la matriz de la diferencial de esta inversa local

en el punto g(2, 1) sabiendo que Df(5, 3) =

(1 22 1

). Detalla el enunciado del principal teorema que usas

escribiendolo para este caso particular.(ii) Halla el conjunto de puntos (x, y) en los que se puede asegurar que g admite una inversa local de claseinfinito en algun abierto que contenga a (x, y). Si llamamos A a este conjunto, indica, en particular, para lospuntos (a, b) de R2 \ A, por que una inversa local (de existir) en un abierto que contenga a (a, b) no puedeser diferenciable en g(a, b).

EN TODOS LOS EJERCICIOS HAS DE EXPLICAR CON DETALLE LOS RAZONAMIENTOS QUE TELLEVAN A TU CONCLUSION.

1. Enuncia y demuestra el resultado que establece que la imagen de un conjunto compacto (conexo) a travesde una funcion continua es compacto (conexo, respectivamente).

2. Enuncia y demuestra el teorema del valor medio para funciones con valores escalares.

3. Halla interior, adherencia, frontera, puntos de acumulacion, puntos aislados del subconjunto de R2 definidocomo A = ∪n∈N{(x, y) ∈ R2 : y = ex

n}.

4. Considera el subconjunto de R4 definido como B = {(x, y, z, t) ∈ R4 : z = x2 +y2, t = x2−y2}. Estudia sies conexo, conexo por caminos, cerrado, abierto, acotado, compacto. Estudia si es variedad diferenciablede clase infinito en R4 y, si lo es, indica su dimension.

5. Considera la funcion f : R2 −→ R definida como

f(x, y) =

{sin(xy)x2+y2

, si (x, y) 6= (0, 0)

0, si (x, y) = (0, 0)

(i) Estudia en que puntos de R2 la funcion f es continua.(ii) Considera la restriccion g := f |S : S → R, siendo S := {(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ y2 ≤ 1}. Estudia si g esuniformemente continua en S.

6. Considera la funcion h : R2 −→ R, definida como

h(x, y) =

{x3

x2+y2, si (x, y) 6= (0, 0)

0, si (x, y) = (0, 0)

Estudia en que puntos h es diferenciable. Calcula (si existen) las derivadas direccionales de h en (0, 0).

7. Considera el subconjunto de R2 definido como S = {(x, y) ∈ R2 : 2x2 + 3y2 = 3}, la funcion g : S −→ R,definida como g(x, y) = 3x+ 2y. Justifica que g tiene extremos absolutos en S. Halla estos puntos, max

Sg

y mınS

g. Haz una interpretacion geometrica en terminos de los conjuntos de nivel de g.

8. Sea F : R4 → R2 definida por F (x, y, z, t) = (x6z2 − y6t4 + z4t2 + z + 1, x2y2 + z6y4 − x3t4 + t + 1).(i) En el conjunto de soluciones del sistema F = 0, ¿se puede obtener, en un entorno del punto (1, 1, 0,−1),x e y como funcion implıcita h de clase infinito de z, t?(ii) Considera la funcion implıcita h(z, t) obtenida en el apartado anterior (definida en un abierto U deR2, que contiene al punto (0,−1)). Definimos la funcion p : R2 → R2, p(u, v) = (u + v, u− v) ¿Admite lafuncion composicion G(z, t) = (p◦h)(z, t) una inversa local de clase infinito en algun abierto que contieneal punto (0,−1)? En caso afirmativo, calcula la matriz de la diferencial de esta inversa local en el punto(2, 0).

1. Enuncia y demuestra el resultado que establece que la imagen de un conjunto compacto (conexo) a travesde una funcion continua es compacto (conexo, respectivamente).

2. Enuncia y demuestra el teorema del valor medio para funciones con valores escalares.

3. Halla interior, adherencia, frontera, puntos de acumulacion, puntos aislados del subconjunto de R2 definidocomo A = ∪n∈N{(x, y) ∈ R2 : y = ex

n}.

4. Considera el subconjunto de R4 definido como B = {(x, y, z, t) ∈ R4 : z = x2 +y2, t = x2−y2}. Estudia sies conexo, conexo por caminos, cerrado, abierto, acotado, compacto. Estudia si es variedad diferenciablede clase infinito en R4 y, si lo es, indica su dimension.

5. Considera la funcion f : R2 −→ R definida como

f(x, y) =

{sin(xy)x2+y2

, si (x, y) 6= (0, 0)

0, si (x, y) = (0, 0)

(i) Estudia en que puntos de R2 la funcion f es continua.(ii) Considera la restriccion g := f |S : S → R, siendo S := {(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ y2 ≤ 1}. Estudia si g esuniformemente continua en S.

6. Considera la funcion h : R2 −→ R, definida como

h(x, y) =

{x3

x2+y2, si (x, y) 6= (0, 0)

0, si (x, y) = (0, 0)

Estudia en que puntos h es diferenciable. Calcula (si existen) las derivadas direccionales de h en (0, 0).

7. Considera el subconjunto de R2 definido como S = {(x, y) ∈ R2 : 2x2 + 3y2 = 3}, la funcion g : S −→ R,definida como g(x, y) = 3x+ 2y. Justifica que g tiene extremos absolutos en S. Halla estos puntos, max

Sg

y mınS

g. Haz una interpretacion geometrica en terminos de los conjuntos de nivel de g.

8. Sea F : R4 → R2 definida por F (x, y, z, t) = (x6z2 − y6t4 + z4t2 + z + 1, x2y2 + z6y4 − x3t4 + t + 1).(i) En el conjunto de soluciones del sistema F = 0, ¿se puede obtener, en un entorno del punto (1, 1, 0,−1),x e y como funcion implıcita h de clase infinito de z, t?(ii) Considera la funcion implıcita h(z, t) obtenida en el apartado anterior (definida en un abierto U deR2, que contiene al punto (0,−1)). Definimos la funcion p : R2 → R2, p(u, v) = (u + v, u− v) ¿Admite lafuncion composicion G(z, t) = (p◦h)(z, t) una inversa local de clase infinito en algun abierto que contieneal punto (0,−1)? En caso afirmativo, calcula la matriz de la diferencial de esta inversa local en el punto(2, 0).

Calculo Diferencial. Test. Grupo E

APELLIDOS Y NOMBRE:————————————————————————————————————————————————

1. Supongamos que f : (M,d) → (N, ρ) es una funcion continua entre dos espacios metricos. Senala laafirmacion correcta:

� La imagen de un subconjunto acotado de M es un subconjunto acotado en N .

� La imagen de un subconjunto compacto de M es un subconjunto compacto de N .

� La imagen inversa de un subconjunto conexo de N es un subconjunto conexo de M .

� La imagen de un subconjunto abierto de M es un subconjunto abierto de N .

� La imagen inversa de un subconjunto cerrado y acotado de N es un subconjunto cerrado y acotadode M .

� Ninguna de las anteriores.

2. ¿Cual de las siguientes afirmaciones es falsa?

� En todo espacio vectorial con una norma: conjunto convexo ⇒ conjunto conexo ⇒ conjuntoconexo por caminos.

� En cualquier espacio metrico, si un subconjunto es compacto, entonces es cerrado y acotado.

� En Rn, toda sucesion de Cauchy es convergente.

� En Rn, todas las normas son equivalentes.

� En Rn, toda sucesion acotada tiene una subsucesion convergente.

� En (C[0, 1], || · ||∞) existen subconjuntos cerrados y acotados no compactos.

3. ¿Cual de los siguientes subconjuntos de R2 es compacto?

� ∪n∈N{(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1n} ∪ {(0, 0)}.

� {( nn+1

, (−1)n

n) : n ∈ N}.

� {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 − y2 ≤ 2}.

� {(x, y) ∈ R2 : xy = 1}.

� {(x, y) ∈ R2 : 1 < x2 + y2 ≤ 2}.

� Ninguno de los anteriores.

4. ¿Cual de los siguientes subconjuntos de R2 es conexo?

� {( nn+1

, (−1)n

n) : n ∈ N} ∪ {(1, 0)}.

� {(n, y) ∈ R2 : n ∈ N}.

� {(x, y) ∈ R2 : |x| < |y|}.

� {(t3 + et, t2 + cos t) : t ∈ R}.

� {(x, y) ∈ R2 : xy = 1}.

� Ninguno de los anteriores.

5. ¿Cual de los siguientes lımites NO existe?

� lım(x,y)→(0,0)1

1+x2+y2.

� lım(x,y)→(0,0)cos(x2+y2)−1

x2+y2.

� lım(x,y)→(0,0)sin(xy)x2+y2

.

� lım(x,y)→(0,0)x2y

x2+y2.

� lım(x,y)→(0,0)xy√x2+y2

.

� Todos los lımites anteriores existen.

6. ¿Cual de las siguientes funciones es continua en R2?

� f(x) =

{x√

x2+y2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

� f(x) =

{1

x2+y2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

� f(x) =

{xy√x2+y2

, (x, y) 6= (0, 0)

1, (x, y) = (0, 0)

� f(x) =

{xy√x2+y2

, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

� f(x) =

{xy log(x2 + y2), (x, y) 6= (0, 0)

1, (x, y) = (0, 0)

� Ninguna de las anteriores.

7. ¿Cual de las siguientes funciones f : M → R es uniformemente continua en el conjunto que se indica?

� M = {(x, y) ∈ R2 : 0 < y < x < 1}, f(x) = y√x2+y2

.

� M = {(x, y) ∈ R2 : 0 < y < x2 < 1}, f(x) = y√x2+y2

.

� M = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x2 + y2 < 1}, f(x) = y√x2+y2

.

� M = {(x, y) ∈ R2 : 0 < y < x < 1}, f(x) = sin yx.

� M = {(x, y) ∈ R2 : 0 < y < x < 1}, f(x) = yx.

� Ninguna de las anteriores.

8. Considera el conjunto A = ∪n∈N{(x, y) ∈ R2 : y = xn}. Senala la respuesta correcta:

� A = ∅, A = A′ = ∂A = A ∪ {(x, y) ∈ R2 : y = 0}, Ais(A) = ∅.� A = ∅, A = A′ = A, ∂A = {(x, y) ∈ R2 : y = 0}, Ais(A) = ∅.� A = A = A = A′ = ∂A, Ais(A) = ∅.� A = ∪n∈N{(x, y) ∈ R2 : y < x

n}, A = A′ = ∪n∈N{(x, y) ∈ R2 : y ≤ x

n},

∂A = {(x, y) ∈ R2 : y = x}, Ais(A) = ∅.� A = ∅, A = A′ = ∂A = A, Ais(A) = ∅.� Ninguna de las anteriores.

CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO E. EXAMEN SEPTIEMBRE 2012

1. Demostrar que si (M,d) y (N, ρ) son dos espacios metricos y f : (M,d)→ (N, ρ) es una funcion continua,entonces la imagen de un conjunto conexo (conexo por caminos, respectivamente) de (M,d) es un conjuntoconexo (conexo por caminos) en (N, ρ).

2. Consideremos la funcion f(x, y, z) = xyz3 definida sobre la porcion de la esfera de R3 definida comox2 + y2 + z2 = 5r2 tales que x ≥ 0, y ≥ 0 y z ≥ 0, y que llamaremos A (r > 0 es una constante fija).Razonar si existe maximo y/o mınimo absolutos de la funcion f en A. En caso afirmativo, calcularlos.

3. Sea B = ∪n∈N{(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1n2} . Halla el interior, adherencia, frontera, acumulacion y

puntos aislados del conjunto B. Contestar razonadamente si B es cerrado, abierto, acotado o compacto.

4. Enuncia y demuestra el teorema del Valor Medio para funciones escalares de varias variables.

5. Consideremos la funcion h : R2 −→ R, definida como

h(x, y) =

{x3

x2+(y−1)2 , si (x, y) 6= (0, 1)

0, si (x, y) = (0, 1).

Estudia la continuidad de la funcion, especificando en que puntos es continua y en que puntos no lo es. Cal-cula las derivadas direccionales (si existen) de h en el punto (0, 1). Finalmente, estudia la diferenciabilidadde h, indicando igualmente en que puntos es diferenciable y en que puntos no lo es.

6. Considera el subconjunto C de puntos (x, y, z) de R3 que verifican las ecuaciones,

x4 + y4 + z4 − 18

256= 0

x+ y + z − 1 = 0.

¿Se pueden obtener x, y en el conjunto C como funciones implıcitas f y g (respectivamente) de claseC∞ de z en un abierto de R3 que contiene al punto (x0, y0, z0) = (1

4, 1

2, 1

4)? Si es ası, calcula f ′(1

4) y

g′(14). ¿Es el subconjunto C una variedad diferenciable de clase infinito? Si es una variedad diferenciable,

¿que dimension tiene?

1. Enunciar y demostrar el teorema de caracterizacion de los subconjuntos compactos de Rn.

2. Para cada n ∈ N consideremos la funcion definida en R2: f(x, y) = (x− 2y)n. Razonar si existe maximoy/o mınimo de la funcion f en la circunferencia unidad, es decir en x2 + y2 = 1. En caso afirmativo,calcularlos analıticamente. Hacer ademas una interpretacion geometrica en terminos de los conjuntos denivel de f .

3. (i) Sea A = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x2 + y2 + 2z2 + 4t2 ≤ 7} . Contestar razonadamente si A es cerrado,abierto, acotado o compacto y demuestralo analıticamente.

(ii) ¿Es conexo el subconjunto de R2, B = {(8 + t5 + sin4 t, (2 + cos3 t)−1) : t ∈ R}?(iii) Halla el interior, adherencia, frontera, acumulacion y puntos aislados del subconjunto de R2, definidocomo C = ∪n∈N{(x, y) ∈ R2 : y = 1

nx}.

4. Enuncia y demuestra el resultado que nos proporciona una condicion suficiente para que una funcionf : U → R definida en un abierto U de Rn y f ∈ C3(U) tenga un mınimo relativo en un punto crıticoa ∈ U de la funcion f .

5. Consideremos la funcion h1 : R2 −→ R, definida como

h1(x, y) =

{x sin y2

x2+y2, si (x, y) 6= (0, 0)

0, si (x, y) = (0, 0)

(i)¿En que puntos la funcion h1 es continua?

(ii) Calcula las derivadas direccionales (si existen) de h1 en el punto (0, 0). ¿Es h1 diferenciable en(0, 0)? ¿En que puntos es h1 differenciable?

6. (i) Considerar la aplicacion f : R3 −→ R3 definida como

f(x, y, z) = (x + xyz, 2y + xy, z + 2x + 3z2).

¿ Admite f una inversa local g de clase C∞ en un entorno del punto (0, 1, 0)? En caso afirmativo, calcularla matriz de la diferencial D(g(0, 2, 0)).

(ii) Considera el subconjunto S de puntos de R3 que verifican las ecuaciones,

x4 + y4 + z4 − 3

8= 0

x + y + z − 1 = 0.

¿Se pueden obtener y, z en el conjunto S como funciones implıcitas h1 y h2 (respectivamente) de clase C∞

de x en un abierto que contiene al punto (14, 1

2, 1

4)? Si es ası, calcula h′1(

12) y h′2(

12). ¿Es el subconjunto

S una variedad diferenciable de clase infinito? Si es una variedad diferenciable, ¿que dimension tiene?

Examen de Calculo Diferencial. Grupo DEnero, 2012

1. (2.5 puntos) Considera una funcion diferenciable f : Rn → R.(i) Demuestra que si f tiene un extremo relativo en un punto a ∈ Rn, entonces a es un punto crıtico de f .

(ii) Consideremos la funcion restriccion de f a una bola cerrada B de Rn, que denotamos por f |B. Supon-gamos que f |B tiene un extremo relativo en un punto b ∈ B. ¿Podemos asegurar que b es punto crıticode f?

2. (3.5 puntos) Consideremos la funcion f : R3 → R definida como f(x, y, x) = x2 + y2 + z2 + x+ y+ z, y elsubconjunto de R3, A = {(x, y, x) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 4, z ≤ 1}(i) ¿Puedes asegurar que existen el max{f(x) : x ∈ A} y mın{f(x) : x ∈ A}?

(ii) En caso afirmativo, halla este maximo y mınimo y los puntos en los que se alcanzan.

3. (4 puntos) Consideremos M el subconjunto de puntos (x, y, z, t) de R4 que verifican las igualdades:

x(1 + z) + log y + t2 − 2 = 0

x+ x2y + sin z + x2 + ty2 − 2 = 0

(i) Demuestra que el conjunto M define una variedad diferenciable de R4 de clase infinito en un entornodel punto (x0, y0, z0, t0) = (1, 1, 0,−1). ¿Que dimension tiene esta variedad?

(ii) Prueba que en este sistema de ecuaciones se puede obtener x e y como funciones implıcitas de claseinfinito de (z, t) en un entorno del punto (x0, y0, z0, t0) = (1, 1, 0,−1). Si llamamos ψ a esta funcionimplıcita, calcula Dψ(0,−1). ¿Que punto es ψ(0,−1)?

(iii) ¿ Admite ψ inversa local de clase infinito en un entorno de punto (0,-1)? En caso afirmativo, si lla-mamos ψ−1 a esta inversa local, calcular Dψ−1(1, 1). Para cada (x, y) en el dominio de ψ−1, explicaque representan (ψ−1)i(x, y), siendo (ψ−1)i la componente i-esima de ψ−1 para i = 1, 2.

Examen de Calculo Diferencial. Grupo D. Noviembre 20111. (i) (3 puntos) Demostrar que si una funcion entre dos espacios metricos es continua, entonces la imagen de

cualquier conexo del espacio metrico de partida es un conexo en el espacio metrico de llegada. ¿Que puedesdecir de la imagen de un conexo y compacto cuando el espacio metrico de llegada es R (con la distanciausual)?(ii) (1.5 puntos) Considera el subconjunto de R2, A = {(tet, te−t) : t ∈ R}. ¿Es A conexo por caminos?¿Es A conexo?

2. (2 puntos) Consideramos la funcion f : R2 → R, f(x, y) = x2y2 log(x2 +y2) si (x, y) 6= (0, 0) y f(0, 0) = 0.¿Es f continua en el abierto U = R2 \ {(0, 0)}? ¿Es f continua en el punto (0, 0)?

3. (i)(1.5 puntos) ¿Existe lım(x,y)→(0,0)y√

x2+y2?

(ii) (2 puntos) Consideramos el conjunto M = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ x2 ≤ 1} y la funcion f : M → R,f(x, y) = y√

x2+y2si (x, y) ∈M \ {(0, 0)} y f(0, 0) = 0. ¿Es f uniformemente continua en M?

Examen de Calculo Diferencial. Grupo D. Octubre 20111. (2.5 puntos) Demostrar que si una funcion entre dos espacios metricos es continua,

entonces la imagen de cualquier compacto del espacio metrico de partida es uncompacto en el espacio metrico de llegada. ¿Que puedes deducir cuando el espaciometrico de llegada es R (con la distancia usual)?

2. (i) (2.75 puntos) En R3 consideramos el conjunto A = {(x, y, x) ∈ R3 : x+ y + z =0, x2 + y2 ≤ z2 + 1}. Hallar adherencia, interior, frontera, acumulacion y puntosaislados de A.

(ii) (2.75 puntos) Considera en R3 el conjunto B = ∪n∈N{(x, y, 1n) ∈ R3 : x2 + y2 ≤

1n2}. ¿Es B cerrado, abierto, acotado o compacto?

3. (2 puntos) Demuestra, usando la definicion de funcion continua (es decir, a travesde la condicion ε-δ), que la funcion f : R2 −→ R definida como f(x, y) = 1+xy

1+y2 es

continua en (0, 0).

Examen de Calculo Diferencial. Grupo DDiciembre, 2011

1. (3 puntos) Enuncia y demuestra el Teorema del Valor Medio para funciones escalares de variasvariables.

2. (3.5 puntos) Considera la funcion f : R2 → R definida como f(x, y) = x4yx4+y4 si (x, y) 6= (0, 0)

y f(0, 0) = 0.(i) ¿Es f diferenciable en el abierto U := R2 \ {(0, 0)}? ¿Es f de clase infinito en U?(ii) ¿Es f diferenciable en (0, 0)?(iii) ¿Tiene f derivadas direccionales en el punto (0, 0)?

3. (3.5 puntos) Sea H : R3 → R una funcion de clase uno en R3. Consideremos la funcionG : R3 → R definida como G(x, y, z) = H(x + yx2z, x + z2, xy2 + z), para cada (x, y, z) ∈ R3.(i) ¿Es G de clase 1 en R3?(ii) Calcula las parciales de orden uno de G en terminos de las parciales de orden uno de H.(iii) Sabiendo que ∇H(2, 2, 2) = (1, 2, 1), halla ∇G(1, 1, 1).

CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO E. EXAMEN SEPTIEMBRE 2012

1. Demostrar que si (M,d) y (N, ρ) son dos espacios metricos y f : (M,d)→ (N, ρ) es una funcion continua,entonces la imagen de un conjunto conexo (conexo por caminos, respectivamente) de (M,d) es un conjuntoconexo (conexo por caminos) en (N, ρ).

2. Consideremos la funcion f(x, y, z) = xyz3 definida sobre la porcion de la esfera de R3 definida comox2 + y2 + z2 = 5r2 tales que x ≥ 0, y ≥ 0 y z ≥ 0, y que llamaremos A (r > 0 es una constante fija).Razonar si existe maximo y/o mınimo absolutos de la funcion f en A. En caso afirmativo, calcularlos.

3. Sea B = ∪n∈N{(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1n2} . Halla el interior, adherencia, frontera, acumulacion y

puntos aislados del conjunto B. Contestar razonadamente si B es cerrado, abierto, acotado o compacto.

4. Enuncia y demuestra el teorema del Valor Medio para funciones escalares de varias variables.

5. Consideremos la funcion h : R2 −→ R, definida como

h(x, y) =

{x3

x2+(y−1)2 , si (x, y) 6= (0, 1)

0, si (x, y) = (0, 1).

Estudia la continuidad de la funcion, especificando en que puntos es continua y en que puntos no lo es. Cal-cula las derivadas direccionales (si existen) de h en el punto (0, 1). Finalmente, estudia la diferenciabilidadde h, indicando igualmente en que puntos es diferenciable y en que puntos no lo es.

6. Considera el subconjunto C de puntos (x, y, z) de R3 que verifican las ecuaciones,

x4 + y4 + z4 − 18

256= 0

x+ y + z − 1 = 0.

¿Se pueden obtener x, y en el conjunto C como funciones implıcitas f y g (respectivamente) de claseC∞ de z en un abierto de R3 que contiene al punto (x0, y0, z0) = (1

4, 1

2, 1

4)? Si es ası, calcula f ′(1

4) y

g′(14). ¿Es el subconjunto C una variedad diferenciable de clase infinito? Si es una variedad diferenciable,

¿que dimension tiene?