Cálculo Diferencial e Integral - Volume 1 - Thomas - Parte 1

5/6/2018 Cálculo Diferencial e Integral - Volume 1 - Thomas - Parte 1 - slidepdf.com

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OBRA SELECIONADA

PELA

UNIVERSIDADE DE S. PAULO

R EIT OR :. Prof. D r. Luis' AN TO NIO D A G AMA E SILV A

VICE-REITOR EM EXERc fc IO : P ro f. Dr. HELlO LOURENQODE OLIVEIRA

ED lTORA DA UN IVERS IDADEDE SAO PAULO

COMISSAOEDITORIAL:

PRESIDENTE - Prof. D r. Mario Guimaraes Ferri (Faculdade deFilosofia, C ienciase Letras). M embros: Prof. Dr. A . Brito da Cunha

(F acu ld ad e·d e F ilos ofia, Cieneias e Letras), Prof. D r. Carlos da

Silva Lacaz (Faculdade de. Medicina), Prof. D r. M iguel Reale

(Faculdade de Direito) e Prof. D r. Persio de Souza Santos (Escola

Politecnica).

sia.

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CALCULOpo r

GEORGE B. THOMAS, JR .do

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'1 1eenologia de Massachusetts

I

TRAnl~QAO DE

ALFREDO ALVES DE FARIAS

'='~CF"REf" PROFESSOR DE CALCULO DAESCOLA DE

JUtm}I;tIARIA DA UNIVERSIDADE DE MINAS GF..RAIS

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iNDICE

A secr;{iomaroada com wm asterisco pode ser suprimida sem

prejuizo de continuidade.

1. RAZiiO DE VARIAQiiO DE UMA FUNQiiO .Introducao .

Coordenadas ; .

Fungoes e graficos _'.............•......... ' .

Segmentos orientados : .

Tnclinacao de uma curva .

Derivada de uma 'fun<;ao ..~ .. _,_._._.~.' " .!c~'-~' '.

Velocidades - 'I'axas : .. -: .

Propriedades .dos l~m~tes c•••••• ' •••••••••••••••••

P~ob~m~s__§~_~~ , .

CAPiTULO 2. DERIV ADAS DAS FUNQoES ALGEBRICAS ........•

~ Polinomios e suas derivadas .. J8L. Fungoes racionais e suas derivadas : ..

. . & . 3 _ Relagoes implicitas e suas derivadas t-: ••••••••.••

~:;:. ~ 'Incremento de uma fungao' , •.......

~..:L. A "regra de· cadeia" para derivadas .

..lJi-. As diferenciais dx e dy ........................•....•...

2·7 Formulas de derivacao com notaeao diferencial .

2·8 Continuidade " .

Proble~~ ....•.•..... , : : .

OAPl'l'ULO1·1

1·2

1·3

1 · 4 '

~~

®

CAPITULO

3·1

3 - 2

3·3

3 _ APLICAQ6ES , .

Tangentes e normais ;.,., .

Metodo de Newton para aproximacao das raizes da equacao

Sinal da derivada primeira. Apl icacdes ao tracad o de curvas

11

3

5

1 6

1 8

_21._

2 6

3 2

4 3

48

485 6

6 3

6 8

7 3

7 7

83

85

95

1 00

1 0 0

1 0 7

1 1 2



x fNDICE

Breve. revisao da' trigonometria .v: $ .

Diferenciaqfio e integracso de senos e co-senos .Area sob uma curva· .

Oalculo de areas como limites .

Areas pelo calculo infinitesimal ..

A integral definida e 0 Teorema Fundamental do calculo in-

tegral .........•.........................................

A regra do trapezio para aproximaeao de umaintegral .

Alguns comentarios sobre a notaeao .

Sumarir, .

Problemas diversos ._~.D~-· . _ .:.._

4 - 1 0---«1

4 - 1 2

CAPiTULO. APLICAQoES DA INTEGRAL DEFINIDA .

5 - 1 Introdu~ao .

~- Area entre duas curvas .--W Distancia .

5 - 4 x Volumes .

~ Aproximaedes .5 - 6 Comprimento de uma curva plana .

5 - 7 . ' \Area de u m a superficie de re v ol u e a o .

~ Valor medic de uma fungao ; .

5 - 9 Momentos e centro de massa .

5 - 1 0 Centr6ide e centro de gravidade .5-11 Os Teoremas de Pappus - .

5 - 1 2 Pressao hidrostdtica ; .

, 5 - 1 3 Trabalho .' .

,CAPfTULO. COORDENADAS POLARES : .

6 - 1 Angulo do raio vetor com a tangente .

6 - 2 Areas planas em coordenadas polares .Problemas diversos .

Problemas diversos . ; .

~ CAPfTUW7. FUNgOES TRANSCENDENTES .

~____.. . l;l As fungoes trigo.nometricas .

~ Funedes trigonometrieas inversas .; .

7 - 3 Derivadas das fungoes trigonometricas inversas : .

-1.:.4 »1~illitlll_i'l{ttu5~J· /.,; ..1:5 A.~da-de-ba; .

..1:fj_ Propriedades dos logaritmos naturais .

7-7 Graf'ico de y =Lzr ................................•.....

7 - 8 A.._fu:u.g.ao_exp_onencialJ. ; _ _,_,__.!.~-._~~~_.-._7- 9 A fungao a' .

"It"

•1 7 7

1 82

1 9 2

1 9 7

2 03

2 09

2 1 8

2 2 3

2 2 5

2 3 0

2 3 4

2 3 4

2 3 4

~2 5 7

2 6 3

2 ' 6 9

2 7 2

2 7 9

2 82

28 6

29 0

3 01

3 01

3 073 1 0

3 ) 0

31 3

31 3

31 8

32 4

32 7

3 3 0

33 3

3 3 5

33 83 4 5



fNDICE XI

EQ.A Integrais impropriaa :,....... 407

8-11 Metodos numericos aproximados para calcular intcgrais definidas 415

Problemas diversos 419

RESPOSTAS DOS PROBI,EMAS ...••.•.... " . . • . • . • . . • • . • • . • • . . . • • . • . • . • • 427

APENDICE. FORMULARIO DE MATEMAnCA ELEMENTAR ...•............. A 1

TABUA 1. FUN<;:oEs TRIGONOMETRICAS NATURAlS A 6

TABUA 2. FUNgOES EXPONENCIAIS ~--:- ~:-:-:-.~- .• -: . . "'-~ ~

TABUA 3. LOGARITMOS NATURAlS DO S NUMEROS ••..•.••.••...•...... :\ 8

TABUA 4. TABUA DE INTEGRAlS •.•.•....•..•.....•.•.....••....... A 9

fNDICE ALFABETlCO ..•.••.••••...•....•....•.............••....... , A 23



RAZAO DE VARIACAO DE UMA FVNCAO

I-I Introducao. 0 calculo infinitesimal (tarnbem comumente

designado "calculo") e a matematica da ~i~~ e do._!p.52_vime!!.t<?

Onde ha movimento ou eresciI!J&nt..Q,onde atuam fon;as produzindo

a~9.{!Q, 0 calculo e 0 instrumento matematico adequado. Isto

foi tao verdadeiro no inicio quanta 0 e hoje, Q calculo e utilizadopara a previsao de orbitas dos satelites da Terra: para elaborar sis-

temas de navegacao giroscopica, ciclotrons, e sistemas de radar; para

estudar problemas de navegacao espacial'; e para tesj,ar t~o_rias_<::ien~t-

ficas acerca dos mais variados assuntos tais_cQmo dinamica da atmos-

fe;a, correntes oceanicas, c2.J.!lpo.Jtamento economico, sociologico e

psieologico, Naturalmente, 0 eientista necessita de muito mais do

que 0 conhecimento matematico, e de mais matematicado que de

calculo; mas () calculo e urn instrumento de grande importaneia

em quase todos os ramos da matematica superior.

Urn dos grandes matemritices do sec. xx, John von Neumann

(1903-57), escreveu: (*) "0 calculo foi a primeira conquista da mate-

matica moderna, e e diffcil subestimar sua importancia; define, de

msneira mais precisa do que qualquer putra coisa, 0 marco inicial



2 RAZAO DE VARIAQAO DE UMA FUNQAO CAP.

\.

se move num dado instante. 0 pilculodijere1Jfial e 0 ramo do e i . _

eulo que trata desse tipo de problema.

o segundo tipo de problema de aue se .ocupa 0caloulo eo::

determinar uma funeao quando se lhe conhece a razao. ou taxa, ::

variaQao. Assim, p. ex~'-~; ~o~he~e~~os"-a vet~cidade de urn mo"

em cada instante, poderemos determinar a distancia por ~le pe

rida como fun'vao do tempo. Problemas como este pertencern ~

ambito do cdlculo integral.

A cieneia e a engenharia modernas utilizam-se de ambos os r~

docalculo como linguagem para exprimir as leis fisicas em t e r r : : : L . .

matematicos precisos, e como instrumento para estudar as core-

qu~ncias de tais leis. Assim foi que Sir Isaac Newton (1642-1,_

pode explicar 0 movimonto dos planetas em relacao ao Sol como e : : : :

sequencia da hip6tese Iisica hoje conhecida como lei da atraeso p

vitacional. Poderemos melhor avaliar 0 alcance dessa conquista.

considerarmos que Kepler (1571-1630) passou cerca de 20 anos e,,-

dando dados de observacoes e utilizando metodos empiricos ps:-

descobrir as tres leis hoje conhecidas como leis de Kepler:

(a) A 6rbita de cada planeta em tOrno do Sol. e uma elipse, _

qual 0 Sol e urn dos focos.

(b) 0 raio vetor do Sol ao planeta descreve areas iguais em igc::

intervalos de tempo.

(c) Os quadrados dos periodos de revolucao dos planetas ;i.

proporcionais aos cu~os de suas distancias ao Sol.

Ora, todas estas tres lei~ podem deduzir-se matematicamar

com auxilio do crilculo, da lei do "quadrado-inverso" da atracao ;:

vitacional, e das leis do movimento, de Newton. Grande partscalculo foi, alias, desenvolvida por Newton como instrumento ;...:..:



1-2 COORDENADAS 3 \!

1-2 Coordenadas. 0 fundamento da geometria analitica e 0

estabelecimento de uma eorrespondencia 1-1 (biunivoca) ~ep.tre_o~

pontos do plano e os pares de numeros (x , y). Tal correspondencia

pode estabelecer-se de varias maneiras, sendo, porem, a mais usual

a que se expoe a seguir (Fig. 1-1): ...

v

~~olhe-se, no plano, uma reta, como ~~x, ou eixo dELabscissa~

Toma-se, sobre essa reta, urn ponto ~~_!:E)fer~l}ciao r , . w _ ! ! ] J ) J 2 . 0 eixo

e entao escalonado de modo que ao ponto 0 se faca corresponder 0

mimero zero; 0 mimero +a e associadoao ponto do eixo que esta-a unidades de medida a direita de 0, e 0 mimero - a ao ponto da

reta situado simetricamente a esquerda de O. Estabelece-se, assim,

uma correspond encia biunivoca entre os pontos do eixo-z e 0 con-

junto dos 'n1tmeros reaie. *

Tomemos agora uma segunda reta no plano, passando tambem

por 0 e perpendicular a I 2 _ t i I l l . f < I T . i l : . Esta segunda reta sera 0~

ou eixo de ordenadas. A unidade de comprimento usada para repre-

sentar +1sabre 0 eixo-y nao ey

necessariamente a mesma que

representa + 1 sabre 0 eixo-x.

o eixo-y e escalonado em ter-

mos da unidade de eomprimen-

to adotado para eIe, com 0 mi- _-+a_~_--::-t-_+-_-+-_

mero positive +b associado ao

ponto situado b unidades acima

de 0, e 0 mimero negativo - b

associado ao ponto situado si-

metricamente abaixo deO.

FIGURA 1-1Se, pelo ponto a do eixo-z,



4 RAZAO DE VARIAgXO 'DE UMA FUNgXO • CAP. ~

de mimeros' (a, b) como correspondente ao ponto P, e diremos que

as eoordenadas de P sao (a, b).

Obeeruacso. Em certos tipos de problema, e 6bvia a diversidadede unidade de medida do eixo-x e do eixo-y. ' P. ex., se yeo custo,

em cruzeiros, da producso de x pares de sapatos por semana, entso

"I" ria'~scala do eixo-z representa um par de sapatos, enquanto que

';1" na escala do eixo-y representa um cruzeiro. :i t claro que nao M

razao para utilizar amesma escala nos dois eixos.

Por outro lado, na topografia, um metro' medido no sentido

Leste-Oeste deve ser 0 mesmo que um metro medido no sentido

Norte-Sui, Na trigonometria, por conseguinte, e usual adotar-se amesma unidade de comprimento para os dois eixos. Essa hipotese

prevaleee tambem na geometria analitica.

Neste livro, quando as eoordenadas de um ponto forem dadas

comonumeros abstratos (isto e , sem estarem relacionados com qual-

quer unidade fisica), devem supor-se as mesmas as escalas sabre OE

dois eixos. Tal suposicao prevalecera, em especial, sempre que tiver-

mos de lidar com angulos entre retas ou com comprimentos de seg-

inentos de retas reversas.

PROBLEMAS

Em cada urn dos problemas 1 a 15 determine graficamente 0 ponto P, IE

coordenadas dadas, e o(s) outro(s) ponto(s) indicado(s).

(a) 0 ponto Q tal que QP seja perpendicular ,ao eixo-z e por IHe cortadc

ao meio. Coordenadas de Q . ~

(b) 0 ponto R tal que PR seja perpendicular' ao eixo-y epor ~le cortad;

ao meio. Coordenadas de R.

(e) 0 ponto S tal que a origem seja meio de PS. Coordenadas de S.



1-3 FUNqOE3 E GRAFICOS

Em cada um dos problemas 16 a 20 considere iguais as unidades de medida

si '>breos dois eixos,

16. Traca-se uma reta pelos pontos (0, 0) e (1, 1). Qual 0 angul? queela forma com 0 eixo-x? Faca 0 grafico.

17. Traca-se uma reta pelos pontos A (1,2) e B (2, 4). Determiner tg a,

a sendo 0 angulo que tal reta forma com a reta horizontal por A. Grafico.

18. Mostre que a reta pelos pontos (1, 1) e (2, 0) e paralela it reta pelos pontos

(-1, -1) e (0, - 2). Grafico.

. 19. Areta pelos pontos (2,3) e (1, 1) corta 0 eixo-y no ponto (0, b). Deter-

mine b empregando triangulos semelhantes. Faea 0 grafico,

20. • Areta pelos pont os (-1, -1) e (1, 2) passa pela .origem ? Justifique

sua resposta sem recorrer a evideneia do grafico.

1-3 Fun!;oes e graficos. DE:jdvel e urn simbolo, _talcomo x,

que pode tomar qualquer valor num dado conjunto de mimeros. 0

conjunto de nilln~o qual .

~Rodev~ar e chamado 0 d<f!!1.i-

n io * de x. Na maior parte de

.;~as aplicacoes, os <!2_minio~dl1s

variaveis seraount§1:v"algs'"'demime-ros como os que seguem:

1. 0 conjunto de todos os

mimeros reais compreendidos.entre

dois mimeros fixos a e b;

a < x < ba(~/////////P'///!///(/#/////M«~,mW«b'UU///~b

(e)

a < x< b.FIGURA 1-2

A dupla desigualdade indica que x deve ser simultaneamente

maior do que a e menor do que b, estando, por conseguinte, estrita-

mente entre a e b . Tal conjunto chama-se in te ro olo a b er to (Fig. 1-2a).

5



RAZAO DE VARIAgAO DE UMA FUNgAOG.E' __

entso x 2 nso pode superar 1, porque a raiz quadrada de um nilce::

negative e imaginaria. 0 dominic de x e , portanto, 0 inten-:E-:

fechado - 1::;z ::; 1.

Furuiio, No caloulo, interessam-nos as variaveis relacio

entre si. P. ex., a distancia que um m6vel percorre esta relaeiozea,

com sua velocidade; 0 peso de um individuo e funcao de sua i'

o selo postal de uma carta depende de seu peso; etc. Ha urn

especialmente importante de relacao entre variaveis que caract

uma jun~ao. A ideia fundamental de jun~ao e que, conheei '.

valor da primeira variavel, fica determinado 0 valor da seg -

variavel. Oonsideremos, p. ex., 0 conjunto de todos os pares (_~nados de val ores de x e dos correspondentes valores de y. Tal

junto e uma funcao.

DEFINI~AO. Uma jun~ao e um conjunto de pares order;

(z, y) tal que a cada valor da primeira variavel x corresponde um f ..

s6 valor da segunda varidvel y.

EXEMPLO 1. Beja 0 conjunto t o , 1, 2, 3, 4J 0 dominic de.z: a cads c

de x Iaeamos corresponder 0 nrimero y = x2• A fungao assim definida e ': =JIIII"

junto de pares{(0, 0), (1, 1), .(2, 4), (3, 9), (4, 16) J .

o par (2,4), p. ex., e urn elemento desse conjunto. Dizemos tambem que _

"pertence" a funeso.

EXEMPLo 2. Seja 0 intervale - 2 ~ x ~ 2 0 domtnio de : 1 < ; a cada"'1l!.

de z facamos corresponder 0 mimero y =x2• 0 conjunto de todos os pare:'

~ .nados (z, y) tais que -2~=_

e y = x2 indica-se por

{(x, y) I - 2 ~ z ~ 2, Y =~

Nessa notacao, a "chave" ~



1-3 FUNgO~ E GRAFICOS

P. ex., Be 0 valor atribuldo a x e ~ , 0 valor correspondente de y e ~ . 0 par

(-}, ~) 6, en tao, um membro da funQiio. 0 grajico da funeao e 0 da Fig. 1-3.

Uma fun<;iWpode ser designada por uma unica letra, j, p. ex.

Entao, se a e urn determinado mimero do' dominio de x, e se b e 0

valor de y associado a a, simbolizamos 0 fato 'de 0 par (a, b ) pertencer

a j escrevendo b = j (a), e dizemos que b eo valor da fun<;ao j em a.

o grafico de uma fun<;ao j e 0 conjunto de pontos cujas coorde-

nadas formam urn par (z, y) que pertence a j.

EXEMPLO 3. Suponhamos que a cada numero x 'do intervale -I:= :; x :=:;1

esteja associado 0 mimero y =V1- x2• 0 domfnio esta especificado, e temosuma regra fixa que nos da urn unico nrimero y, quando aplicada a qualquer x

do dominio. Imaginemos, entao, 0 conjunto j de todos os pares ordenados

possiveis de numeros, da forma (z, y) , com - I:=:; x _::::; e y = VI - x2•

o valor de tal funcao no ponto 0 e j (0) = VI - 02 = 1; seu valor no ponto

x F = ! e j (-~ ) =~1- (!) 2 =: ;etc. Nao c dificil ver que, quando

x toma todos os valores de -1 a 0,

inclusive, y toma todos os valores de

o a 1; e esses mesmos valores se re-

petem na ordem inversa quando xtoma os restantes valcres do domi-

nio, isto e , de 0 a 1. 0 conjunto dos

valores j (z) dafuneao corresponden-

tes a todos os valores de x do domi-

nio, constitui 0 contradominio da fun-

Qao, .0 qual, no presente exemplo, eo intervale fechado 0 := :;y :=:;1. 0

grafico e 0 semicfrculo da Fig. 1-4.

u1 1 =VI -A-1s;xs;1

Varidveis independentes e FIGURA. 1-4

dependentes. A variavel x, que

7



8 RAZAO DE VARIAQAO DE UMA FUNQAO CAP. : :_

EXEM,PLO 4. A cada numero x associemos 0 nrimero y =l/ x (inverso de =Essa associacao da origem a uma funcao que consiste de todos os pares de

meres da forma (z, l/x), x.7 '" O. Assim (2, 1/2), (5, 1/5), (- v2, -1/v2> -

pares ordenados de ntimeros que pertencem it funcao. A imagem de qual~

nrimero do dominio da funcao e 0 seuinverso. 0 conjunto de todas essas ~

gens, 0 contradominio, e 0 conjunto de todos os numeros diferentes de zero -

mesmo conjqpto que 0 do domfnio. 0 grafieo e a hiperbolo da Fig. 1-5.

EXEMPLO 5. 0 domfnio de uma certa funQao e 0 conjunto dos mimeros I'aBS

nac-negativos, x ~ O . Denotaremos esta funeao pela letra g, eo valorda fur¢

em z sera g (x) = V;. Assim, g (0) = O. g ( ~) = ~, g (9) = 3, q (104) = :.:~

y

y=vX,X;?,O

o 2 3 4

FIGURA 1-5 FIGURA 1-6

etc. Como todo mimero positive e~raiz quadrada de algum ntimero positive

contradominio desta funQiio e 0 conjunto y ~ 0 - 0 mesmo que 0 do

Grifico na Fig. 1-6.

EXEMPLO 6. Seja 0 domfnio de x 0 conjunto x ~ 0, e y = ~~:. E : 1 1 . -



1-3 FUNgOESE GRAFICOS 9

EXEMPLO 7. (Fig. 1-8). E sta fun ea o e a chamada Iuneao "valor absoluto".

Seu domtnio e 0 conjunto dos nrimeros reais x. A cada x facamos corresponder 0

mimero nao-ncgativo VX2, que se representa pelo slmbolo I x I. 0 valor .da fun-

l(ao ,em x e

_ { x[z ] =Vx2 ='.

. -x B e

se x~O '

.x < O •

Esta funcao faz corresponder a si pr6prio todo real positivo; e todo realnegativo

'ao seu negative, que e 0 numero positive correspondente. Assim, [z ] nunca 'enegativo; e como urn retificador de corrente eletri<ia., que transforma em corrente

positiva tanto a corrente positiva como a corrente negativa:... /.

3

Y = I : t l

y

Y

-1-----------------

FIGURA 1-7 FIGURA 1-8

VALOR AB.SOLUTO. A funeao "valor absoluto", estudada no ex.

7, pode-se dar tambem interpretacao goometrica, como segue: [z ]

roede a distaneia da origem 0 ao ponto P que representa 0 nrimero

x na escala dos mimeros reais, independentemente de ser x positivo

P2 I X z l 0 Ixd PI

X2 0 XI



10 RAZAO DE VARIA~O DE UM.A. FUNQAO CAP. _

zero, isto e, que I x I < 1. Em outras palavras,as afirmaeoes I x I <e - 1< x < + 1 sao identioas.

o simbolo do valor absoluto e tao uti! em matematioa, quae

importante familiarizarmo-nos com algumas de suas propriedades,

Se dois mimeros a e b tem 0 mesmo sinal, entao I a + b I = I a I+ Ibl;se, porem, tem sinais contrarios, entao l a + b l < la l + I b l . Ambos

os casos enquadram-se na desigualdade

Quando subtraimos um numero de outro, p.ex., a-b, 0 sinal

result ado depende de qual dos dois mimeros e maior. Mas a - .e b - a diferem entre si apenas em sinal; dai, se desejarmos somen

o valor numerico da diferenea, poderemos tomar 0 valor absolu

de um ou de outre, isto e ,

la - b l =I b - c] '

Na escala dos mimeros reais,isto mede 'simplesmente a distancis.

entre os dois pontos representados pelos mimeros a e b .

.~~~ ~ Se desejarmos exprimir que a variavel xesta a menos de 3 uri

! ~1~ dades de urn certo mimero a (Fig. 1-9 (b)), poderemos escrever:

~ . ~ = I c ] < 3.~ x- .I>.IkJ C Q

;:: 0 Como I x - a I 'mede a distancia entre a e x, a desigualdade q"'_

~ ~ ; r n nos .diz que essa distancia". e menor do -que 3 indica, na realidade,

~-----..", que x _pode variar ent~e a .:' 3 e < ? : + 3; isto e , Ix - a I < 3 e 0 meso:

que a - 3 < x < a + 3. .

Uma funcao fica determinada pelo seu dominio e por qualqrse

regra queindique a imagem que, no contradominio, deve ser as:c-



1-3 ~UNg6ES E GRAFICOS 11

(Fig. 1-10). Qualquer que seja 0 valor numerico atribuido a x , a

maquina 0 eleva ao quadrado, adicionando-lhe 5. P. ex.,

f (2) = 22 + 5 =9

x

{(x) = x2 +5~-~-------- J

j (a + 3) = (a + 3)2+ 5 =

= a2 + 6a + 14. FIGURA 1-10

Observa<;ao. Outra maneira de utilizar uma maquina para dar

o valor de uma funr;aopara urn dado valor da variavel independente

x , e armazenar na "mem6ria"da maquina uma tabela completa.rla

pares (z, y) que constituem a funr;ao. Indicado urn z, a maquina

produzira 0 correspondente valor de y. Ou, entao, ao inves de uma

. tabela completa, poderemos armazenar na maquina urn conjunto

parcial de valores da funeao e, a partir destes, calcular os outrospor

interpolacao. Na pratica, a "mem6ria" de urn computador tern

capacidade limitada. Por isso, e melhor calcular os valores da.funcaode que necessitamos, ao inves de armazena-los. Mas, quer sejam

tais valores calculados ou armazenados em forma de tabela, 0 impor-

tante e que h a ap en as uma "resposta" y para cada x do dominic da

funcao, E quando os valores sao dados por uma tabela, ainda po-

demos dizer que existe uma "regra" para determinar 0 valor da

funcao para urn dado x - a regra sendo, nesse ca~o, "ver na tabela".

E 0 que fazemos, p. ex., no calculovde logaritmos (embora, mais

adiante, venhamos a estudar 0 metoda de calculo dos logaritmos

por meio de series - Cap. 14),'

Abreoiacoee. Como uma fun9ao fica determinada pelo dominio



1 2 RAZ..tO DE VARIAgAO DE UMA FUNgAO

tricao nao seja feita explicitamente. Segundo, lidaremos ex~

vamente com funcoes reais. 0 dominio deve, por conseguinte, ~

restricoes convenientes sempre que estejam em jogo, p. ex., I"

de ordem par. Assim, se y =V4, - x2, devemos ter em Ir=-:::JIl!'

que "x2 nso pode superar 4, isto e , 0 dominic nao deve ultrapesac

o intervalo - 2 :::;x :::;2, ou Ix l :::;2".

Funcce« de mais de uma varidvel independente. Ocasionalrce

estudaremos funcoes que dependem de varias variaveis indeoe;

dentes. Por exemplo, se reo raio da base e h a altura de urn _

circular reto (Fig. 1-11), entao 0 --

lume

FIGURA 1-11

fica determinado .de modo ~

quando se atribuem valores nurasr-

cos are a h. A natureza Ilsies,

problema exige que r, h e v ~:_

positivos. 0 conjunto de todos

ternos ordenados (r, h, v) com

1 .v =-7r r2h

3 '

e . urn .exemplo de funcao de duas variaveis independentes (r E'

Seu dominio eo conjunto detodos os pares (r, h), com r > 0 e h >Seu contradominio e 0 conjunto dos niimeros positivos v > O.

variaveis r e h sao independentes no senti do de que 0 valor atrit_

a uma delas nao depende necessariamente do valor atribuido ~ o==-

r> 0, h> 0,



1 - 3 FUN~ES E GRAFICOS 1 3

e outro exemplo de funeao das mesmas variaveis independentes r

e h. Aqui, sea area da superficie lateral do cone. Podemos dizer

que "a area da superficie lateral de urn cone circular .reto e funcao

do raio e cia altura", au que "s e funcao de r e de h",

Mais geralmente, suponhamos que uma quantidade y fique

determinada, de modo- iinico, por n quantidades Xl, X 2 , ••. , Xn• 0

con junto de todas as (n + I)-phs ordenadas (Xl, X2 , .•• , Xn, y) que

podem ser obtidas considerando-se os valores -perrnissiveis das varia-

veis Xi e os correspondentes valores de y, e uma funcao cujo dominio

e 0 conjunto de todas as n-plas (Xl, X 2 , .•. , X n ) e cujo contradominio

e a conjunto de valores de y correspondentes. Se pudermos atribuirvalores independentemente a cada uma das variaveis Xi, diremos que

elas sao variaveis independentes, e que "v e funcso dos xi". Escre-

veremose

y = J (Xl, X 2 , .•• , X n)

para indicar que y e uma funcso das n variaveis Xi, assim como escre-

vemosy =J ( X )

para indicar que y e fun<;ao da unica variavel .independente x.

o objetivo primordial deste Iivro -sera 0 estudo das funcoes de

uma rinica variavel independente. Em tais cases ha pelo menos-

quatro maneiras diferentes de representar a relacao .funcional entre

as variaveis X e y, todas elas provavelmente ja conhecidas do leiter,

Sao: ~

1. Por uibuae de l .Ialores. Por exemplo, as funcoes y = loglo X,

Y ,,;, sen ( X O ) , Y = V;, Y = l/x, e muitas outras, constam da maior ia

das tabu as numericas,



1-3 FUNgOES E GRAFICOS 15

1. 0 valor y, em cruzeiros, de uma apolice dadivida publica de

determinada emissao, x anos ap6s a emissao, 0 ~ x ::; 13,

p. ex.

2. A selagem y devida sobre uma earta pesando x gramas.

3. A taxa y, em cruzeiros, correspondente a urn telefonema

interurbano do Rio de Janeiro para Brasilia, com a duraeao

de z minutos.

4. Uma certa propriedade fisica y (p. ex., densidade, conduti-

vidade Mrmica, cceficiente de dilataeao) a distancia z em

de uma extremidade de uma barra metalica composta de dois

ou mais metais diferentes, unidos ponta a ponta.

Tais funcoes apresentam pontos de descontinuidade onde a fun<;ao

subitamente salta de urn valor para outro sem tomar nenhum dos

valores intermediaries, como na Fig. 1-12 em x =2, onde, na me-

dida em que x se aproxima de 2 pela esquerda, y salta de 1 para 2

sem tomar nenhum dos valores intermediaries.

PROBLEMAS

Resolva cads 'uma daa equacoea seguintes, exprimindo x em fun«;iio dElly.

Supondo x e y reais, examine os dominio8 e contradominios possiveis das funQoes'

defiuidas pelas expressces que diio y em termos de z,

II,\A1 G ) . - z'

1

5. y=z --. z



1 6 RAZAO DE VARIAgAO DE UMA FUNQAO CAP. ~

10. Esboce 0 grafico representativo da funcao y = 1 4 - x 21 para -3::;x:S~

II. Quando e 11 - z ] igual a 1 - x? Igual ~ x - 1? -

12. Esboce 0 grafico da funcao y =x - [xl para - 3::; x ::; 3, onde ._.indica 0 maior inteiro contido em x.

1~4 Segrnerrtos orientados. Dados dois pontos A e B s6Jm:.

o ~, ou sobni uma reta paralela ao eix~-x,-;;"·;;gmento AB, Q=

A para B, estende-se sobre urn certo numero de unidades de medids

do eixo-x. Se a seta de A para B aponta para a direita, dizernos

que AB e urn segmento positivo. Se a seta aponta para a esquerda,

dizemos que AB e urn segmento negativo. Atribuimos, assim, ac

segmento ;.4JLQ.,JnlnteJ~":::, positivo ou negativo, de unidades que e l l ?contem, com 0 sinal adequado. ~sse mimero relative indieamo-lc

por AB.

Para calcularmos 0 numero x, positivo ou negative, de unidades

do segmento 4-B, seja X2 a abscissa de B e Xl a abscissa de A. Sf :

Besta it direita de A, comona Fig. 1-13,0mimero X de unidades do

segmento AB e igual a Xz - Xl. Dejjnimos BA como 0 negative

do segmento AB. Assim,

XI AB = X2 - Xl %2

{ AB=x,-x,A B ( I J

BA =Xl - X2.

FIGURA 1-13

Ve-se, pois, que, tanto para urn segmento positive como pam

urn segmento negativo, 0 nurnero algebrico de unidades-x de um seg-

menlo dirigidodo eixo-x, ou de uma reta paralela ao eixo-x, e igual cdiferent;a das abscissas doe seus pontos terminal e inicial.



1- 4 1 7EGM.ENTOS ORIENTADOS

ticula varia de Xl a X 2; costuma-se,: no calculo, usar a notacso Ax

(leia-se "delta-x") para representar a diferenea Xz - Xl:

o simbolo Ax denota, assim, "variaoao em x", ou "diferenea

entre dois valores de x", niio significando, pois, multiplicacao de urn

nrimero por x.

Nil,Fig. 1-14 (a), p. ex., se supusermos uma partlcula que parte de Xl =-2

e vai ate X 2 = 3, a abscissa x sofre uma variacao dada por

~x = X2 - Xl = 3 - (- 2) =5.

Nil, Fig. 1-14 (b), se a particula vai de Xl = -1 a X 2 =' -4, a vaJiagao da

abscissa e dada por

~X = Xz - Xl = -4 - (-1) = = 3.

De modo precisamente analogo, -0 segmento CD do eixo-y, ou

paralelo aele, sera positivo ou negativo, conforme a seta aponte, respee-

tivamente, para cima ou para baixo. Atribuimos, assim, ao seg_·

mento CD 0 mimero de unidades-y, positivas ou negativas, nele con-

tidas. Se Y l e a ordenada de C e Y 2 a ordenada' de D, CD = !ly, onde

j fj.y =Y 2 - Vi, 1e igual Ii dijerenca entre as ordenadas dos ponios terminal D e inicial C.

Se PI (Xl, Y I) e P2 ( X z, Y z) sao dois pontos do plano, decompomos

PIP2 segundo as componentes orientadas

PIR=Ax=ii~Xi.

RP2 = Ay = Yz - Y I

paralelas aos eixos

xey respectivamente (Fig. 1-15).

(2)

(3)

J

~-.-,~



_....RAZAO DE VARIA~AO DE UMA FUN~AO8 CAP. 1

No pr6ximo paragrafo veremos como determinar a inclinacao

da tangente a curva em Pl.

PROBLEMAS

Em cada um dos problemas seguintes, os pontos A e B sao dados, e 0ponto

C deve ser determinado como interseccao da horizontal por A e da vertical por

B. Faca 0 gnificoe determine:

(a) as coordenadas de Cj

. (b) 0 numero de unidades-z do segmento AC = Ax;

(c) 0 mimero de unidades-y do segmento CB = Ay;

(d) a inclinacao de AB.

1. A (1,1),B (3,4) 6. A (1,2), B (-1, -1)

2. A (3,4), B (1, 1) 7. A (-3,2), B (-1, -2)

5. A (-1,2), B (2,-1) 8. A (-1, -2), B (-3, 2)

4. A (2,-1), B (-1, 2) ·,·9. A (-3, -2), B (-1, -1)

5. A (-1, -1), B (1,2) 10. A (-1, -1), B (-3, -2)

1-5 Incliriacdo de uma curva. Definiremos aqui 0 que se

deve entender por inclinacao de uma curva num ponto P (z, y) , da

mesma. Foi esse, alias, 0 caminho pelo qual Leibniz abordou 0

"calculo diferencial".

Na Fig. 1-16,P (Xl, Y l) e um ponto arbitrario da curva y = ( X ) ,

e Q (X2,Y2) e outro ponto da mesma na inclinacso da secante que

(4)



1-5 INCLINAyAO DE UMA CURVA 1 9

curva em P, OU, abreviadamente, inclina¢o da curiJaem P, OU coeji-

ciente angular e « curua em P.

y

1 /

--;o+-----------x

F I G U R : ' ; _ - " 1-16

EXEMPLo. Consideremos a curva

y = x3 - :'Ix + 3. (2)

, )Se P (Xl, YI) e um ponto dessa eurva, entao suas coordenadas devem satisfazer a

equacao (2): .~ -3 _-

l 1 1 1 F xl - 3XI + 3.,~

Be Qt (x2~ Y2 ) e outre ponto da curva, e se

(33)I

Ay=

Y2 - YI,

entao

, xi ( : 1 4'-:X) ,.Y2 =YI+ Ay

devem tambem satisfazer a 'equa-t;ao (2), isto e :,

- \

YI+ -A y = ( - q : l + Ax)3 - 3 ( X l + L}x) + 3 =, 3 -2

=Xl + 3x1Ax + 3x!,(Ax)2 + (AX)3 - 3XI - 3Ax + 3.

Subtraindo (3a) de (3b) obtemos

Ay = 3x~Ax + 3X1(Ax)2 + (Ax)3 - 3Ax.

. f - , J

(3b)

r(4)

..... ,..f 'V ' \'1 1 I " PI 1[1\11 IPlI rjlJ II

(I\I',

II '1IIIlIi I II II 1I' ",I" II I ii 1 1\ 11 1I il l d'i II I

1 4 1 . 1 ( 1 1 1 1 tI " dl l II I, II

t 0

I)I



" IIlN , IIIIII"m '1111\".

a , \ I A ,I .1.

1 " "1 1 1 11 1 1 ", 11 1 " 1 1 '1 1 1 11 1 1 11 ,0 1 'III I I,fill' 1 '" 1\ I' I 'Ii "IL ~ 'I Il I' ll , 4 1 1I j 1 1 1 I1 . 11 1 , 4 •

q(I" II oul.r ..,

( : 1 , 1 ' , I 1\,,.) L \ , , . ,

1 1 1 1 1 0 1 " P'" 'I I ~' '' '' ' 0", '1IIIdl1lLlIII '" 011" r I I

,I) IL ,I) , ; 1 . 0 1 1 ( 1 0 que

" IIllI il ,, , till 1/1 ,!IIIL I L\, II, 'I ,I: (.oll(ln pUI'' '' 1.CI'O 6 'h? _ '3

• ", pllt " " I ' I I " ' i~ ' " (\11110lilllil,' (i It' " _ ' •' I ' ,rill , " lI1e 'lIal'[1O du t

, ' " I' VI I. , 11 0 1I'"lio (r. , ) '" '1 " .u.ngnntc it curva, "I, 1 / 1 , Como (Xl 1) d ' ' ou a inclina<;ao

1II j, I,ll, jln""IIIOfI "llIiUI' (I (lid, "I'" .'/1, po 0 SOl' qualq11er ponto da curva daH.e , 0 dize r que

111, = 3x2 - 3

~ II 1III,IIIIIl.I"Ilo "II CIII'VII no A' ' (6)

II 1ou ponto generico P ( )

I, 1I~IHlH)fI I li tO N O /I', 'I' z, y .

Iinc 1 I . 1 1 1 < ; U O como r "

• 1 1 1 '( 1 11 1 1 1 ( H I/ I ((II'!lILL P ~ 11 propna equa9ao d. ,ox., vcrnos que a tangente it a curva para estu.,y _ 0) curva e horizontal (isto I'

m - quando x =±: 1 V "tambem " . emos

que a mclma9ao e negal.ivlLpara x entre -1 e +1 e

positivlLpa. ra qua !quer out ro ponto S i, t'tumdo x or' . UIJB 1-

entre -2Pe ;~Iores compl'eendidOf'

achar y , na eq. (2) PilI'lL

, e na eq (6)t . para achal ' IIIeremos ° segu inte quadro de vlll(\, ",,'

x y m-_---2 1 9--1 5 00 3 -3

1 2x' 1 1 0

2 9 9

,FlOUt'll\. 1-17

PROBLEMAS

I I M tl " n'(.Louo i lllstl'ado '" " " 1 1 1 11 11 11 . tl,\~curvns aba ixo :: ste paragra fo pa ra de te rminl !. j' n i, (I/" " \ 1 1 1 . 1 I'IIM illl,I'Lindo 'I. ~ irn ponto generico (x 1) C I 1 1 11 1 ', '1 1 11 oi"I 1 ( . \ equa9ao da curva e d _ ,.I. , , 0 1 l , 1 , 1 ' 1 I 1 L 11/1111 1 , , 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 , /1/1, / , I I , 1 1 I 1 I L todos os pont a equaQao obtida PUI'II" I / ,../ 1 1 1 1 ' 1 1 1 "I', os em que a cur t I qn "" 1 1 1 " " ' " 1

I I II., 110 cllL OUI'va utili , d va e n ia tan "P.II I (\ I ', llzan 0 todos os d d " ' 1 1 > 1 " , , , , , / , , 1 / . .

a os da tabua do vll/A",,,

J 1. 11I,a ~I' :1 II. /1 I : I , I

I2. V • 2x~ _ . (~ IU. I!

'1

I I 3. y = 4 - x2 II. 1 1 ' J , I 1 " : \ I ' " 1 '1 I

4. y = x2 - 4x 12. 1 1 - mR B ,~

5. y = x2- 4x + 4 13. V • ",3 , 1 2 , r

6. y = x2 + 4x + 4 14. Y,. x2 (if X -I- 3) I 1

7. y = 6 + x - x2 15. Y co xa - 3x 2 -I - 4 ,

8. y = 6 + 5x - x2

~~_fu~~ao. _F9rmularemos aqui 0 l no 't do

para determinar a inclinacao de uma eu rva rep resent a ti va do. Q\U1,911 ,o

funcional mais geral y =J (x). Seja P (Xl, Y l) um ponto fix e do,

curva. Emprega-se 0 indice "1" para salientar que Xl e Y I perma ..

necerao constantes em tOda a discussao q':le segue, Se Q (Xl ++ t.x, Yl + t.y) e outro ponto da curva, entao

/I

Y I + a y = ;= j (Xl + t.x);y

f(Xi+(U)' -----.;;_-----

subtraindo

Y I r- J (Xl)

obtemos (Fig. 1-18)

t.y '= J (Xl + t.x) - J (Xl)

Entao a inclinaQao da secan-

te Pq ~

";o>l-----.....L--'----a- xXl X I +Ax

'FIGURA 1-18

A divisao na eq. (1) e apenas indicada quando se trata de uma fUTI9aO gene-

rica J ; mas quando se trata de uma equa9ao espectfica, tal como J (x)=;;

x

3

-3x +3[eq, (2) do paragrafo 1-5}, a divisao de / : l y por .1x deve realizar-se efetivamente

[tal como fizemos ao passar da eq. (4) para a eq. (5)]antes de passarmos a pro-

xima operacao,

Tendo efetuado a divisao indicada na eq. (1), passaremos a

investigar 0 que ocorre se mantivermos Xl f ixo e fizermos t.x tender

para zero. Se m tende para um valor constante, esse valor e 0 seu

limite, e definimo-lo como a inclinacao m da tangente a eurva no



I A . 9 A D llJ U MA F UN QA O CAP. 1

I ' I Id n I. O lH i, L 1 6 f l lm b I iz l tdo as sim:

J m : ; u , _ lim f (X l + ~ X ) - !(XI)

Q IJ J Ax c , & J 0 ~X(2)

. ( 1 1 1 1 1 ' 4 1 1 0 I I I" (om ~'Ax-~ 0" escrito por baixo, Ie-se "limite,' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I I , I I I H ' I ])Itt'o, Z 1 ' 0 , de . .. "

I) l ' I , I I l I I , l i l l ( 1 (htH 0 e ra9e J s i nd ic ad as no ultimo termo de (2 ) eI I I '1I11111~ltI I, 1 1 1 ' 1 , c l t t Lt lnclinaeao, ou coejiciente angular, da tangente

, , 1 11 1 I I , 1 10 1 1 0 1 1 - 1 , 0 1) ( '1, 7 1 1 ) . Costuma-se indicar que Gstentimero esta

H lh w n lln do ('o n It . fUl19l io original j escrevendo-o como j' (Xl) (le-se

IIJ PI' 1111 t Ill. I,ll). De! ' ine-se, pois, l'Xl ) como

L r (Xl)'" lim j (X l + ~x) - j (Xl) (3)c,_o ~x

lllllill d A tt)OH, II a-se 0 Indice "l" para fazer ressaltar 0 fato

1 41 I II h i ,I

rnentldo constante no decorrer da realizacgo das ope-I ~ll 'I t lH h id I nclOIRno SI gundo membro de (3). 0 limite assim indi-

( ll I, do pod i) ( l ~fLi rpm 'a c er to s val!)res de Xl, e deixar de existir para

1 1 1 1 1 , 1 ' 1 1 1 1 . J 'lIth, mos ate aspecto da questao com maior detalhe

Ill'" ,I , 1 , ( 1 L l I I I I " . ) Em ada ponte Xl onde tal limite existe, diz-se que

I (1111 ,0 1)OHHlIt (1 rivada (ou que a funr;1io e dije1'encid'vel) i 0 n(I IDI 100

JI I~ tl ,'~'v(td(l,d :! no PO)) to Xl.

( ) P " O( II H II O ( I f I l( )hm ' a dm 'i lJ ll (h l d ?/,111It! ' I / ,U, ' (I t1 n . 0 11 1 1 11 1 1 11 01 1 1 1 1

I II 1 1 i 1 , 1 I, 1 do I 1 r t l O I l J O II f nl ' l l l H I Ll . POdlllllOM, II I ll ' l l , 1 1 11 1I'lIlhl"d.

, I ' , t ll ll tl i I N J "M I I ' t l l f , ' 1 0 1 1 1 1 1 n I ' ll i l lI l d l l , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ' 1 1 1 j 1 l , I II I

1 1 1 1 1 1 tI'IIII",~ " 1 ' " , H II I I l t ~ I O

-Assim, a resposta ao problema I e : "A funcao i, eq. (4), possuiderivada para qualquer valor de, z-no intervale -, CD < X < + CD " ,

, e a resposta ao problema II e dada pela eq. (5), t - r J : , - - - -o

1-6 DERIVADA DE UMA FUNl}AO 2 3

vada, cujo valor, para qualquer Xl, e

(5)

Para a maior parte das funcoes consideradas neste livro, aresposta ao problema Ie que a derivada existe para quase todos os 0:

valores de x, isto e , os pontos onde a derivada deixa de existir sao "

excepcionais, Entao, 0 x da eq. (3) podeser qualquer urn desses [ i , >

valores nao-excepcionais de x. Poderemos, portanto, escrever X em ~

Ingar de Xl na eq. (3), desde que nao nos esquecamos de que,

X permanece constante, enquanto

Ax varia, tendendo para zero,

no calculo da derivada

. j : _ : ( " , - X _ _ : + _ ! 1 - : - x _ _ ; , ) _ ' . z . L _ , _ ( x . : _ )l' (x) = lim -t,z-->O !1 x

Isto convencionado, omitiremos daqui por diante 0 indice "l"

ao falarmos da derivada, e usaremos a eq. (6 ) para definir a derivada

de j em relacao a x, em qualquer ponto X do dominic onde exista

o limite indicado em (6). -

A jun~ao derioada. Seja Xl um mimero do dominic de j. Se

o limite indicado em (3) existe, entao (3) fornece uma regra para

associar um certci mimero l' (Xl) ao mimero Xl. 0 conjunto de todos

os pares (Xl, l'( Xl ) ) que se podem formar por este processo e chamado

a jun~ao derivada j', 0 dominio de }' e um subconjunto do doml-nio de j. Contem todos os ntimeros Xl do dominici de j para os quais

existe 0 limite em- (3), mas niio eontem os valores excepcionais de

X para os quais tal limite deixa de existir. A funeao derivada }'

chama-se tambem derivada de j,

EXEMPLO L Consideremos a funcao "valor absolute"

j (x) = [z ], - 0> < X < + 0>,

Do grM ioo du Fig. 1-8 0 0 1 1 . \ 1 ' 0 qu 1. \ i no li nL t9 1 lo 6 ' + 1 q ua n do x 6 positive, e

-1 Quando ttl 6 10 l(flti • M ON (I illl - () l d r lv i\ 1 0 , d oi xf l d o 'x iR til' ( grMleo'

\ 1 1 1 \ (0,0)). I I;J )L 0 , (I c/flllilll,10 < l l \ ftlllflaO I' '(,ill 0 , '0 \ -

c;:; " J : J....p

~-_~ 2!" '1= q ,- " " : I_!t.I'"

j . l [ t .~~~~

~r (")

r~ > 1

" " " =0

: t - ' . ! D, . . . _f . . . ,

I!~

~g~,



I IM ' • .'o D lO V A l 1 A < )A D lD 'OM.A. FUNgAO CAP. 1

I II I till I HI1 1 1 M I I I II I iltWlt I '{ Ilhl til O. Os valerea da func ;ao derivada sao dados

III hi I I , , ,

{

-I se x < 0,

J ' ( . ) - '+1, se x> 0.

III' 1 1 11 ,1 ,1 , ' I, 0 1 1 , 1 ( . 2 4 , . )

N O'I 'A I " 1 1 1 , AlOin de l' ( q ; ) , empregam-se varias outras notacoes

P"'I"" lid !lII,I' n It 'iva t\ de y = f (x) em relacso a x. As mais usadas

1'1 ,0

dy

dx'' , DxY·

Il , l m , t t A podem interpretar-se como

J

dy d \

- = -:x dx '\ ., j

Alr nhol lz a a operacao "derivada, em relaeao a z, de" a ex-If ,

0 1 1 ( 1 1 Ii

P I" ti M II (111 H gu eI

D xY = (D x( Y)

d1)1 , ,. ~i~ntnndo 0 mesmo que dx ...

ILlJlIIIMI"I,()2. Dotorminar l' (z) para a, func;ao

I 1j (x) = x2 + -, x r!0.

x

l~flll/gl¥(l. I~ rLuo.ndoas ope rac;5e s ind icadas no membro di re ito de (6):

1

I. '" I A ) • ( : I ) -I - Ax)2 + X + Ax

1- i l l + 2xAx'+ (Ax)2 + x + Ax

u -I - 1 . . .III

(1)

(2)

IlIhtll'lI,ltillil (2 ) th (I):

1

x• J ( . 1 1 I l\.~)

2 ,A m 1 (A J ))' ; 1 L- .. (I~ I· A .v ) ..J In ( I l l -I - A.g).

,I ( I I , I "I[ ( 1 1 1

1-6 D ER IV .A .D A D E UMA FUNgAO :~.i

Dividindo .par Llx:

4.f(x +Ax) -f(x) ,=2x +Ax 1 __ .

Llx x (x + Llx)

f (x + Ax) - f (x)

A x. jf (z) = lim

2,,,->0

= lim ( 2 z + Ax _ 1 )A,,->O x (x + Ax )

(a)

. 1=2x+O-~--=

x (z + 0)(b)

1= 2x -. x2 •

I

'I :

Mais adiant e dia cutiremos a validade dasoperacces de passagem ao limite

efetuadas de (a} para (b). Antecipando esse s re sul tados , podernos dize r quo ,

ap6s feita a divisa o por A'x e reduz ida a expressao a uma forma [como a (a ) acimu]

que "tenha senti do" (i.e., que niio envolva divisao por zero) quando se toma Ax

igual a zero, en t ao existe 0 limite quando Llx tende pa ra zero, e esse limite podo

ser determinado simplesmente pela substituicao deAx por zero na forma reduzlda.

EXEMPLo 3.Calcular dyjdi para if =V;:, x < o .

J ,r----Solu~ao. Seja '!! = v';, y + Ay =Vx + Ax , e 1)'1::: "i t: + t ' f ,_ - \J

Lly

Ax =V~-V;

A x

(V~ - V;) (V~ +V;)

Ax (Vx + Ax + Vx )(II)

(x + Ax) - x _ 1

8~(V x + A x + V x) - V x + Ax + V: c

Em (a ) multiplicamos por uma frac;ao igual a unidade, eh gamos [I I1m;\

for~a em que se eliminararn os radicais no numerador, Em ~gulda, ui'Vlclltl\l)~

por Ax. Podemos agora fazer Llx tender para Z 10 nil forma finnl, VIIl(i(1I

1 ' 1 1 1 ' ( lln(ll~ fl1no 0 J t i l ) l l 0 , 1 1 11 1 !\ { 1! t, I d ll t' lv i d l l , J ' (w ) ' ~ ( t l l l l l l , , 1 1 I I d O l e II nil

I II " I' (n).

II, II ItItj liMA II'IIN II I ,\I' . I

I. J ( , ) ) 1.

VIIII~IIJIH.\IIIII ' I' \

I tjlll (jIll " ' 1 , 1 1 111111111H 1111 ,1' ,~ VI t l lr , l l l l ' " d ll 1 11 11 '( 10 I IU Il I d n d ' i II



I~

J{) lr'.I (e) - ax 2 + b» +. + c (a " b, c constantes)

j().~m·I·S. .. /' ' 1

It_1 J (x) = --;

1:-, ,

J ( w ) - a;2 - x + 1

' b

• 14. J (z) =ax +- (a, b constantes)x

lI.1

15. j(x) =V2xj (e ) - -x

6.1

16. J ( x) "" - \Ix + 1( x) .. . 2'a;

1.1

17.1--

j(x) --- j (z)=V 2x + 32x + 1

8. f(x) "" _ x_ 18.1

j(x) =-=x+l V X

'y . f (. ;) = 2x2 - X + 5 19. j (x) =,1

V2x + 3

j (z) = xS - 12x + 11 20. j (x) = vx2 + 1

21. No exemplo 1, j (z) =Ix I, qual e 0 contradominio da funcao derivada

J"f Qual 0 grafico ? Compa:e os graficos de y = j' (x) e y = ,I z 1 lx, x·~ O.

1-7 Velocidade ~ Taxas, Quando urn corpo se move em linha

rota, costuma-se representar a linha de movimento por urn eixo

coordenado, escolher sabre ele urn ponto de referencia 0 como origem,

adotar urn sentido positivo e uma unidade de dis tancia sabre 0 eixo,

e descrever entao 0 movimento por meio de uma equacao que da

a coordenada do m6vel como fun~o do tempod'ecorrido desde 0

inicio do movimento.

Assim, p. ex., para u rn corpo em queda livre, a equaeao do movimento e

1 n

S = 2" gt", (1)

onde g e a aeeleracao da gravidade, aproximadamente igual a 9,8 m/seg2, e ~ ~

a distancia, em metros, percorrida pelo corpo em t segundos, desde 0 inicio da

queda.

Mais geralmente, suponhamos a lei do movimento dada pOI'

uma funoao i,

s = j (t), ('2)

L III, t. I l l i r l 1>I'UH to 1111(1~I, (1I111pl 'l Il(lflll'lIllI I l l 1 to /. l l l l r l 1 /1 11 1/ 1 /1

tdn a d 1 . o : r n lr vlm nl! .

Sup n d d i8 tdnc ia t m po a s q m l l 'c i d o . d , f t R l m v l I u II( l l l, l tl l I l l" I

que podem os m dlr, 1'0. io ina r m S 0 InO f:j gll. No ~{\Ulr)(l u

corpo esta na posi9110s =J (t) ( H

, i

e no tempo t + 6t 0 corpo €l8ta n o . posi9IIo

S + 6 s =j (t + 6 t ) .

No intervalo de tempo de t a' t + t l . t 0 corpo so fr eu um d slo 11m lli,n

igual a6 s = j (t + 6 t ) - j (t). ()

As quantidades nas eqs. (3), (4) e (5) sao·t6das 'quantidades i1 itA ,

que podem ser medidas.

. Definimos agora a oelocidade media como 0 quociente de 68 POl'At:

v _ _ 6 s _ - ,, - 1_ :_ (t -, - + _6 _ t- '- .)- __ ,f c_ _ _ o (- -' . . t )m - 6 t - 6 t (0 )

o leitor esta, sem drivida, familiarizado com as aplicaceea d o ,eq. (6) na vida cotidiana. P. ex., se uma pessoa corre 40 m o m

10 seg, sua velocidade media e

6 s 40 (m)Vm = At = 10 (seg) = 4 (m/seg).

A fim de obtermos a velocidade instanuinea no instante 't, con-

sideramos a velocidado media em intervalos de tempo At cada v III

mais curtos. Somos,' assim, levados a : definir velocidade instan-

tanea, ou velocidade no instants' t, como 0 limite de V m quando At

tende para zero; isto e :

v = lim As = lim j (t + At) - j (t)At->{) At At->{) Atr

(7)

Reconhecemos em (7) a pr6pria definicao de derivada

ds /V = .a t = j (t). (8 )



!!8 RAZAO DE VARL\9AO DE Ul\iA FUN gAO CAP.l 1-7 VELOCIDADE - TAXAS 2 0

J~XEMPLO. Para 0 movimento regido pela eq. (1), t = 8, a posicao da tangente varia positivamento a razao de '12 unidades-s num

intervalo de 2 unidades-z. A velocidade em t = 8 e , pois, .aparentemente igual u

12 (m)--~--. =6 (m/seg)..2 \seg) ,

uccntramos, pelos metodos do paragrafo anterior, 110 expressao . 1 .

dsv = at = gt,

Dizemos "aparentemente" porque nao podemos asseverar que a construcao ~1'1't.

f ica da tangente esteja rigorosamente certa, Na real idade, a construeao rigo-

rosa exigiria 0 conhecimento exato da derivada l' (t) em t = 8, e e isso proclsa-mente 0 que estamos procurando estimar. POI' outro lado, 'podemos obtcr UIlIII

aproximacao satisfatoria da tangcnte pOT inspeeao, e issei e 0 que Iizemoa Il()

grafico.

pur", a ve loc idade no instante t.

Referindo-nos a Fig. 1-19, vemos que

Vm = Ha muitas outras aplicacoes das nocoes de taxa media e tmm

instantanea. P. ex., a quantidade de agua Q (I t) em urn reservato-

rio no instants t (min) e funcao de i. A agua pode entrar no 1'01'101'-

vat6rio ou sail' dele. Suponhamos entao que Q varie de uma quun-

tidade D .Q no intervale de tempo de {a t + D . t . A taxa m edia do, \.

variaeao de Q' em relaeao a t sera entao

6 (t inclinacso da secante PQ , medidasua taxa de variacao em uni-

d ' ,Ldos .. .. . .8 po r unidade - t. Aqui nao ha razao para suporrnos que

'IL unidade de comprimento usada no eixo - t para representar 1

sogundo soja a mesma unidade de comprimento usada para repre-

H n L c L l ' 1 metro no eixo - s. E, certamente, a, inclinacao geometri-

('H, ~/ cla secante PQ depende das escalas usadas para representarILIi unklades 8 e t sabre os do is eixos. Podemos entretanto dizer,«Il 11vel cidade media e igual a rasao do cateto oposto para 0 ca-

L c Lo adiaoente a < P no triangulo PRQ, cada urn tornado em sua uni-

dm i com 0 sinal adequado. Entao a velocidade instantanea pode

M t' goomatricamente interpretada como a razao, ou taxa, devariacao

lilL 'Lttl'lgon.te em unidades - s por unidadss - t.

~~_ (It/min)

e a taxa instantanea de variacso de Q em re1a98.0at e

s a l' D . Q ' · ( 1 j . . . )-= 1m -_ tmm.d t AHO D .t

As derivadas tern grande importancia na teo ria n on Clm inll,

onde sao usuaJmente' indicadas pelo adjetivo "marginal". Hupo -

nhamos, p. ex., que urn industrial produza x toneladas do fi90 T}(lr

, semana, ao custo total de y = (x ) cruzeiros. :fl;ssecusto t tnl I n o l u

parcelas tais como quota proporcional do custo do clif~'io, HULIIII"

tencao da aciaria, salaries, impostos, manutencao do escritorio, (UHI,O

da materia-prima, mao de obra, etc. Sup nhamos que It 'p1:()(lIi~1 (I

, de x + D .x toneladas de a90 POl ' semana cuetaseo V -I - fly (IJ' l I l1ol"mI.

o aumento no custo PO} ) aumento unitar io do p l 'odu9 lto H( l'ilL 1; / ,I.

o limite dessa rela9ao, quando A x tendo para l'l 1:0, Ohll111 11<10 (I

CUR to ma rg i n a l . Em outras palavras, s o 11 6 0 O llH (,O VI, I I , i d,~ P"O

(I\IQ 0 H manal X, l ' l.Lllo 0 c us to m a r(J in l'l,l [] ,do 'iv",d,~d( V (II' "(,I,w ,0

I t1 , 1\ t,t. II. d 11.\UYl.1)'(,0 U O "M(IO P I' 1~\IIn()II(,O IIIIUlfI,I'ln til 111'0

e l l ! I tI, 'I , rlll,l'(,l!' do 1 I 1 v l

(I 1'1 11 11 '1 1 1 1 , , 1 1 , 0 ( 11 (,.t (, I "d)~llI 1 1 I ( , t H ' I I H M I l . t ! O 1 I1 ~ I'll( (\ li n II 110 111(11'0.

1'11111 \ , l Il Id l\ . , 1m 1 ' 1' 1111114 ' I I tI , I 1 , 1 I J1 ( 1 l nd I iH P '" ' IIIUllllllt !II podll 11(11"11.1

.I~Han Illtorpl'ota911o geometrica e por vezes utilizada para estimar a velo-

(' <'111(10Ul1nd 0 movimento e dado por meio de· urn grafico ao.inves de uma

s

,12 (m)

3 -f (t)

o 6 8 10

t e m s 6(T U nd oB

t . ' T < 1 HA 1-20"1(1(111\ L·IO

I'l'm !,! ". J (Il, I', mi., 110 ~;1 ' , r t f ' ( I II 1 " , , , . 1 . : 1 . 1 ) , N " I I JI . 'I IM111 lI , li , " ( 1 (1 I1I 'dl l 1l 1 ll 1 ll (1

Hili 1111111,0till P,II'IIIII " i l l 1111111 hi" ( 1 1 1 1 1 1 1 Illlltili t'~II'lidl " I I ' !flllil. Nil h l l l l , l l n t ,



~Ytg = f' (z) . ~x.y = fIx)

III I A VJ ( ) I II V .M g A o DE 'OMA I I ' U N Q A . O CAP. 11.-7 VELOCIDADE - TAXAS

Iada, [Usualmente, a urn preco rna istangente ao inves de ao longo da curva: isto e(Fig. 1-21):

I I I I

y

T = xP - y.

Urna das razoes da importancia do

ca lcu lo e permit ir-nos determinar

quantitativamente como uma va-ria93.0 'em' uma de duas variaveis ~ ~~ __-L x

relacionadas entre si afeta a se- 0 x x + ~x

gunda varia vel .

// PROBLEMAS

./a/Se a, b, c siio constantes e ',)

J (t) = at2 + bt + > ! '

FIGURA 1-21

No (h~p, l' mas como 0 fabricante deve ajustar SUa producao

p"'I'", ohh( 1', III 1'0 maximo. ~sse ajuste envolve 0 lucro marginal,

,('Jl/dJJ, (lIt Il 'taxa de aumento deIucro por aumento unitario na

I I J'l I lH iJ ( ), (Para uma discussao mais ampla das aplicacoes a econo-

1 1 1 1 1 " (lonflult Economic Theory and Operations Analysis, W. J. Bau-

11101 , p t lh l t ltd por Prenntice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1961.

l Io r 1 .1 , H O 1 ~l'ginal e estudada a pag. 20 e seguintes.)

q\ll~lql1er derivada pode ser interpretada como a taxa instan-

IIAIIIIlI~ d fil'ia91J,o de uma variavel pOI' unidade de variacao da

OIl I,"n.Assim,

se a funcao definida pOI' y= f

(x ) possui derivada

mostre que

" ( x ) = lim D _ y = limA",-40 ~x A",-40

f (x + ~x) - J (x)

~x

i' (t) = lim J (t + .: It ) - J (t) = 2at + b.

" At->o.:lt

f J ~ Nos problemas 2 a 10, a lei do movimento da 8 como fun«;iio de t. Apliqu

o re8ultado encontrado no problema 1 pa ra e sc reve r, por inspecao, a velocidade

ds

v = dt' J l - t - -\-3 - ' 1 > C Z 1fJ '2-{ t+ z. ? 1 ' '

2. = 2t~+ 5t - '3 <v~ (2t + 3) 2 «-{ ~ \7 f----)0

(i) 8 =!t2 + vo t + 80 (g, VO, s o cons- ~s-=~t)2 t~. . . 2 . 1 , ftan~ /.-- .

d-/";:4t + 3~j? < r t ~/':3 - 2t2 • < ' r f -

~2 _ 3t + 2 - - ' l > ~ - l: - 2 ®/s': 64t - 16 t2 ~'1 ' § 7 , . . f

~~4 - 2 t - t2 41 - 2,.- ' L - - t

11. 0 quadro a ba ix o d a a c oo rd en dds 8 d urn ro6vol para vdtioe VIlIOI'("

de t. Dete rmine os pont os (8, t) em papa l mi lim tro.d 0 tl~a 0 pOl' 010Bumn ury,

suave. Admitindo que essa curva suave r PI' H fl't 0' movlm nt do OOI'PQ, ~ L 1 1 t 1

a velooidade (a) em t - 1,0; (b) In t ,. 2,('); (0) o m t • 2,0,

l ) ( i l l l 1 l 1 l O F l l11tOl'pl'o"tar ~ijrb..x)como taxa media de variacao, e

l' (x) = lim ~yA",-40 ~x

"I'UII(I' u inatantd.nea de v'aria9ao de y.em relacao a x. Tal taxa

di1.11(11 t~ t jl ltu, tidade de var iaeao produzida em y pela variaeao de

\11111\ unhlndo In x, desde que a taxa de variaeao permaneca cons-

', ul L ,

A 'IH 1 \ tn6dia de variaQao de y por unidade de variacao de x,

I J l 1 1 \ U i l " l i nda pelo mimero de unidades de variacao de x ; ~ x,\ 1 ' , r l' ~9I tO f tiva de y:

AyAy =~x,Ax.

8 ( 0 0) 1 10 I 8 I s s I 70 I 7 4 1 I 70 r l i f o ! I a li I ,1 0

t (~II) -0 0 ;- 1,0 1,ll ',0 : . 1 , 1 ' 1 I a,1I I,ll, I~,O~

I' • J ){W( H l r! ll H r H I ilL 1 )1 H td lll 1 11 ~r t I H 1 J 1 t 1 ~ I , H it ( J 1'111)'" HilJdlll II ,1\ HI I'll

4 1 , I t'I'O~d ' ~ I I I '" ( I IH J i l l hllll 1 1 , ( 1 I I,,1H. 1 1 1 1 1 1 1 0 III ( 1 1 ' 1 1 1 1 ' 1 4 . 1 1 1 1 , II I ' 0 0 ( : I l l I ) ' ,q lm !, 1 11 11 11 11 11I I I t i l l f H f ll I' I I 1 1 1 1 1 , 0 II, 1( " II I 1 1 1 1 1 0 dl! 10 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 II " Y l l i u

. I d ll l l , " , ,f II tl n "~I ( 1 1 1 1 1 11 1 1 1 , 1 1 1 1 \ 1 "1 1 1 1 , 1 WI 1 0 J l l ' I H l l l h l l ~ III ' 1 I l I l l 1 ~V

1,1 I~ d ' , I I / , ( I , n t a n d ril19lto d v p ar u ni da de de varia9fio de

I, I(I,IItHll1 plllHdll, 1 1 1 \ ' 1 0 ll'\lIYl( '0 d unidnd fl d l1'i,t Ito I, IA I

I ~ '" ,~ , 1 1 1 1 1 1 l i O r" HI ' I ~ /1 ' 0 1 1 0 '1 1 1 10 ( ,1 1 I I U I l I \ l I I ~ I I I I 1 1 1 1 1 I I II,



1-8,)

' ' ' 'PROPRIEDADFS DOS LJMITES,RAZAO DE VARIAQAO DE UMA FUNQAO CAP. :1

'.~Ii

!I

isto e , j (X + Ax) deve ter sentido. Mas, no presente caso, isto nao

acarreta qualquer restricao a Ax, porque a eq. (3)e definida para

todo x + Ax real, - 00 <x + Ax < + 00. Ha ainda uma se-

gunda restri9ao a Ax, isto e : Ax .deve ser dijerenie de zero. Por que?

Porque 0 membro esquerdo da eq. (4) se tornaria % _ . 0 que nao

tem sentido - quando ali tomassemos Ax =0. Cheg~os assim

a um ponto oruciante: Desejamos -saber 0 que ocorre na eq. (4)

quando se toma Ax cada vez mais pr6ximo de zero, todavia, na o

podemos tomar Ax = O,p01'que entao teriamos uma expressao sem

sentido no Iado esquerdo da equacao.

Dois 'fates devejn ser salientados agora, 0 primeiro e que a

divisao na eq. (2) deve efetuar-se antes de fazermos Ax tender para

zero'. Assim e que, na eq. (4), por mais pequeno que seja Ax, desde

que nao seja .zero, a divisao indicada da' a expressao do membro di -

reito da referida equacao. o segundo fa to e que a expressao a di-

reita de (4), que depende tanto de :t como de Ax e que, POl' isso,

indicaremos como uma funcao F de' x e Ax,

F (z, Ax ) =3x2 - 3 ~~AX)2, (5 )'---.

1:'1. (II) Se 0 raio de um clrculo varia de r a r +,6r, qual a taxa media de

VI l l ' I I t t J l I , o (lt~ a rea do c ir culo em re la cao ao ra io ? Qual a taxa instantanea dessa

vllrln~l1,() ? '

J ", U volume 'V (ma ) de uma e sfera de raio r (m) e V = : 71'r3. Determi-

1 11 1 I I I ,' IX II do va ria9~0 de 'V em relacao a r.

Ill. 0 raio rea altura h de um cone sao iguais em qualquer instante, De-

tlt1l'mlJlo LI tAxa de variacao do volume V = ~ 71'r2 h em relacao a h.

1·8 Propriedades dos Hmites. 0 caleulo da derivada de

l l l l l l t f u H 9 t t o

y = j (x), (1)

IIIlv o lv o 0 caloulo de urn limite

l'(x) = lim f (x + Ax) - f (x)

. Ll",->O ~x(2)

t ' H I oomo Ilust rado nos paragrafos precedentes. No pr6ximo capitulo

(ltj(,n!)( I ( t· mos algumas regras que tornarn extremamente faeil a

011(,0111,) 0 daR deri vadas de imimeras funcoes, sem necessidade de

( r , ti ll I,' O H (){Lloulosexigidos pela aplicacao, direta da eq. (2), Nao

P ln II eI, tltl' "tanto, perder de vista que essas regras baseiam-se

lllL 1 ) 1 ' ( ' 1 > 1 ' 1 1 ; 1 , oquac;:do de defini9ao (2), devendo portanto ser de-

dlJlll lt'l l~H d sSIL,difi!lic;:!o fundamental de derivada.

I Il HLt I( ir u :m s aqui cornrnaior deta lhe 0 que significa dizer que

, 1 " " I Jl lI n ( n i H il lit In u m limite", Os limites que rnais nos interessarn

I 0 do t,ip o b dioado no, eq. (2). Voltemos uma v ez m ais ao exem-plo H V C I 1 f l o o .

J (x) = x8- 3x +3, (3)

pode ser tornada tao proxima de

t.(z) =3x2 - 3

quanto queiramos (desde que nao imponharnos igualdade exa la ) ,

tom ando-se A x suJicientemente proximo de zero.

Em tilrmos comuns, suponhamo-nos fabrica ntes de urn produto (n08811 frl.·

brica produz F (z, Ax) como na eq. (5)] que, se pudessemos atingir It P Q r J o i ~ ( J , ( J

absoluta, seria 0 L (x) da eq. (6). Um comprador vern a n6 s e faz um p c1!d (~ ,

Embora e xig ent e, ~ le n ao espers perfeicao. Deseja apenas qu e garantMnoH I

fabrio!l.r;ao de um artigo que se a fa ste da perfeir;ao absoluta, de uma ,quo.nU(Iu.t

infe rior a um ' ,'limite de tolerancia" qu e (l Ie e spec ifica ra . Em outms pCllLwl'liil,I~le compra ra nosso F (z, 6x) se garantirmoa qu o fioara entre

I IHLudr do no VM ttg, 1~5,eqs. (2 ) a (6). Pela algebra verificamos

1 ( 1 1 1 1 L (x) - E 0 L (x) e,

undo d ( 6p silo n) 6 u rn n rim ero p oe lt iv o q u I ' l ) J' O H ( lH t l 1 0 " l ! m l t o do l,olm'ttlllllll"

1 ) 1 ' ( ~ t l l ' l ' b o . Pa l'a oontrola e a qunlldndo d o no~Hr) J)l'ocluto l~U I, A m ) , 1,()IfUII'llIlIIlIl

, pOlin no. Pcdcr rnos ft\~ r Au t 0 lw(1x 1 1\ 0 I l( 1'1 ro (1l01l1l, lvo 01 1 f lo~aLlv())

( j 1 l l~ 1 1 I 1 ( ) ( l l1 t H l'mOA, A q n l1 n 1, ldm !o d, l ' l m p O I ' f o l r , , / tI I " do no J H C l prouuLo, t~I,U I

J 11 1 I A x ) - Ux1

A :IJ ~ = 3 x2- 3 + 3x A x + (Ax)2. . (4 )

I, ",qlll II I) (Iltroll HindUI11 :tlOt"lito do lim ite. M as dizemos agora:

if'IIII,lIl,lIIrl"" II' 1 '1 (I ( ( 'H lJn A . t J U ( ) I I < lm ' p n, m Z O l' ()II, I s t o 6 , .6:t: var ia ra ,

III (III I), ,"qllll lt i,U .1 111",,,1,1<1,0 (lOIIR(,HII(,(, Qwd 6 0 dominio

t ll~ VII,I' t ,II , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , 'I(I'""~' (I 'f A " O jo ( I H l~ I " n < 1 1 1 ( 1 , I) prlm 11'0

II I 1 1 , 1 , , d ' I ' 1 1 1 1 1 ' lId !III II n 1 ' 1 1 1 1 1 , , 1 \ ,1 1 I f i ll :I) 1 1 11 " , c it I' " c l lL 1 1 m . , ' I (li -

/1 ' (w , Aw ) ' ' ' w ) H ill A " I (6 )~

Jlul lnr lt lint r (II I, l'll •

I ,

33

(0)

(7)

(Ii)

Cálculo Diferencial e Integral - Volume 1 - Thomas - Parte 1

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