Cálculo diferencial e integral [granville]

1. QA371 R 293 1998GRANVILLECALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111110233007122

2. http://carlos2524.jimdo.com/Temas que trata la obra: Resumen de frmulas Variables, funciones y lmites Derivacin Reglas para derivar funciones algebraicas Aplicaciones de la derivada Derivadas sucesivas de una funcin.Aplicaciones Derivacin de funciones trascendentes.Aplicaciones Aplicaciones a las ecuaciones para mtricas y polaresy al clculo de las races de una ecuacin Diferencialesl. Curvatura. Radio de curvatura. Crculo de curvatu ra Teorema del valor medio y sus aplicaciones Integracin de formas elementales ordinarias Constante de integracin Integral definida La integracin como suma Artificios de integracin Frmulas de reduccin. Uso de la tabla de integrales Centros de gravedad. Presin de lquidos Trabajo. Valor medio Series Desarrollo de funciones en serie de potencias Ecuaciones diferenciales ordinarias Funciones hiperblicas Derivadas parciales Aplicaciones de las derivadas parciales Integrales mltiples Curvas importantes Tabla de integrales { , 3. http://carlos2524.jimdo.com/,CALCULODIFERENCIALE INTEGRAL 4. http://carlos2524.jimdo.com/SIR ISAAC NEWTON 5. http://carlos2524.jimdo.com/ ,CALCULODIFERENCIALE INTEGRAL WllLlAM ANTHONY GRANVlllE Doctor en Filosofa. Doctor en LeyesEx Presidente del Colegio de Gettisburg Edicin revisada por:PERCEY F. SMITHWllLlAM RAYMOND lONG lEY Doctores en Filosofa y Profesoresde Matemticas de la Universidad de Yale LIMUSA 6. http://carlos2524.jimdo.com/Granville. William Anthony Clculo diferencial e integral = Elements of differentialand integral calculus / William Anthony Granville. -- Mxico:Limusa, 2009.704 p. : il. ; 23 x 15.5 cm.ISBN-13: 978-968-18-1178-5Rstica.1. Clculo diferencial 2. Clculo integral1. Byngton, Steven, tr. 11. Romero Jurez, Antonio, colab.Dewey: 515.33 122/ G765cLe: QA303VERSiN AUTORIZADA EN ESPAOL DE LA OBRA PUBLICADAEN INGLS CON EL TTULO:ELEMENTS OF DIFFERENTIALANDINTEGRAL CALCULUS JOHN WILEY & SONS, INC.C OLABORADOR EN LA TRADUCCiN:STEVEN T. BYNGTONREVISiN:ANTONIO ROMERO JUREZPROFESOR EN LA UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DEMXICO.LA PRESENTACiN Y DISPOSICiN EN CONJUNTO DECLCULO DIFERENCIAL E INTEGRALSON PROPIEDAD DEL EDITOR . NINGUNA PARTE DE ESTA OBRAPUEDE SER REPRODUCIDA O TRANSMITIDA, MEDIANTE NINGNSISTEMA o MTODO, ELECTRNICO O MECNICO (INCLUYENDOEL FOTOCOPIADO, LA GRABACiN O CUALQUIER SISTEMA DERECUPERACiN Y ALMACENAMIENTO DE INFORMACiN) , SINCONSENTIMIENTO POR ESCRITO DEL EDITOR.DERECHOS RESERVADOS: 2009, EDITORIAL LlMUSA, S.A. DE C.v.GRUPO NORIEGA EDITORESBALDE RAS 95, MXICO, D . F.C.P. 06040~ 51300700r2J5512 2903 )iiii [email protected]" www.nonega.com.mxCANIEM NM. 121 HECHO EN MXICOISBN-13: 978-968-18-1178-5 45.1 7. http://carlos2524.jimdo.com/PROLOGO Esta obra es, en sus lneas generales, una edicin revisada yaumentada del texto debido al profesor Grallille. Los nicos cambiosintroducidos se reducen a pequefios detalles en las demostraciones, ala rev isin de los problemas - afiadiendo algunos de aplicacin a laEconoma y otros adicionales al final de cada captulo para alumnos msaventajados- y a la redaccin de un captulo sobre Funciones hiperb6-li cas, junto con algunos pjelllplos de apli cacin de las eoorrlenadas ciln-dricas en las integrales dobles. El cap tulo a11adido ha sido p,.;critosigui endo el Illtodo del libro , procurando quP fOlllle un todo armnicocon pI resto de la obra. Lai::l soluciones de la mayor parte de 10i::l problemaf i-P dan en pitexto. Algun as soluciones fe Ollliten de intento para a,costulllblar alestudiante a tener confianza en s mismo. El trabajo de los autores de esta edicin. se ver ampliamente CO I1l-pensado si tiene la misma acogida que tUYO la primpra edicin de laobra de Granville.PERCEY F. SMITH VILLIAM R. LONGLEY 8. http://carlos2524.jimdo.com/ 9. http://carlos2524.jimdo.com/ INDICECALCULO DIFERENCIAL CAPITULO 1 Resumen de frmulasFrmulas de Algebra y de Geometra elementales, 3. Frmulas de Trigo -nometra plana, 4. Frmulas de Geometra analtca plana, 6. Frmulas deGeometra analtica del espacio, 8. Alfabeto griego, 10. CAPITULO 11Variables, funciones y lmites Variables y constantes , 11. Intervalo de una variable, 11. Variacin con-tinua, 12 . Funciones, 12. Variables independientes y dependientes, 12. No-tacin de funciones. 13. La divisin por cero, excluda , 13 . Grfica de unafuncin: continuidad, 15 . Lmite de una variable, 16. Lmite de una fun-cin , 16. Teoremas sobre lmites, 17. Funcones contnuas y discontinuas. 17 .Infinito , 19 . Infinitsimos, 22.. Teoremas relativos a infinitsimos y lmi-tes , 23. CAPITULO III Derivacin Introduccin, 25. Incrementos , 25. Comparacin de incrementos 26.Derivada de una funcin de una variable, 27. Smbolos para representar lasderivadas, 28, Funciones derivables, 30 . Reg la general para la derivacin, 30.Interpretacin geomtr ica de la derivada, 32. CAPITULO IVReglas para deri v ar funciones alge bracas Importancia de la regla general. 36. Derivada de una constante. 37 . Deri-vada de una variable con respecto a, si mIsma, 38. Derivada de una suma, 38.Derivada del producto de una constante por una funcin, 39 . . Derivada del 10. http://carlos2524.jimdo.com/VIII INDICEproducto de dos funciones. 39. Derivada del producto de n funciones. siendon un nmero fijo. 40. Derivada de la potencia de una funcin. siendo elexponente constante. 41 . D e ri vada de un cociente. 41. Derivada de una fun-cin de funcin. 46. Relacin entre las deri va das de las funciones inver-sas . 47. Funciones implicitas . 49.Derivacin de funciones implcitas. 49 . CAPITULO V Aplicaciones de la derivada Direccin de un;l curva . 52. Ecuaciones de la tangente y la normal: longi-tudes d e la subtangente y la subnormal, 54. Valores mximo y mnimo de unafuncin: introdu cc i n . 58. Funciones crecientes y decrecientes. 62. Mximosy mnimos de una funcin; definiciones. 64. Primer mtodo para calcular losrr. ximos y minimos de una funcin. Regla gua en las aplicaones. 66.Mximos o mnimos cuando f (x) se vuelve infinita y f (x) es continua. 68.Problemas sobre m O), 669. Otras formas algebraicas , 670. For-mas exponenciales y logartmicas, 67 1. Formas trigonomtricas, 672. Formasde reduccin para integrales trigonomtricas , 674. Funciones trigonomtricasinversas, 675. Funciones hiperblicas , 676.INDI CE ALFABETICO . . .... 679 17. http://carlos2524.jimdo.com/GUILLERMO LEIBNIZ 18. http://carlos2524.jimdo.com/ 19. http://carlos2524.jimdo.com/ 20. http://carlos2524.jimdo.com/ 21. http://carlos2524.jimdo.com/ CAPITULO PRIMERORESUMEN DE FORMULAS1. Frmulas de Algebra y de Geometra elementales. Para como-didad del estudiante, en los Artculos 1 a 4 damos un resumen def()rmulas elementales. Empezaremos por las relativas al Algebra. (1) Resolucin de la ecuacin de segundo gradoAX2+ Ex + C = O.1. Factorizando: Se descompone AX2 + Bx+C en factores, seiguala cada factor a cero y se resuelven las ecuaciones que resultan,con respecto a x.2. Completando el cuadrado: Se transpone C al segundo miem-bro, se divide la ecuacin por el coeficiente de x 2 , se aade a ambosmiembros el cuadrado de la mitad del coeficiente de x y Re extrae laraz cuadrada.;~ . Empleando la frmulax=-Bv B2 - 4 AC2A Carcter de las races. La expresin B 2 - 4 AC, que aparece en lafrmula debajo del signo radical, se llama discriminante de la ecuacin.Las dos races son reales y desiguales, reales e iguales, o imaginarias,segn que el discriminante sea positivo, cero o negativo. (2) Logaritmos. log ab = log a+ log b .log a" = n log a.log 1= O. a log b = log a - log b .log v" / - a = -1 log a.. loga a = 1.n 22. http://carlos2524.jimdo.com/4 CALCULO DIFERENCIAL RESUMEN DE F (3) Frmula del binomio de Newton (siendo n un nmero enterode donde: 1 grado = ~= O 01positivo) .180 n(n -1)(a + b)"= a"+ nan-1b +a,,-2 b2+1 radin = 180 = 57 2I~ n:+n (n-ti(n - 2) a,,-3 b3 +De dicha definicin tenemosN mero de radianes en un ngnl+ n(n-1)(n - 2) ... (n - r+ 2) an- +1b 1 + Jr- I r - 1Estas ecuaciones permiten pasar de(4)Factoral de un nmero,(2)Relaciones entre las funcionesn!=I~=1234 ... (n-l)n. 1 ctg x = -- sec x = -En las siguientes frmulas de la Geometra elemental, r o R repre-tg xcsenta el radio, a la altura, B el rea de la base y s el lado o altura sen xe T,g x = -- ctg x = -inclinada. cos x s(5) Crculo. Longitud de la circunferencia = 2n:r. Area = n:r2 sen" x+ cos" X= 1; 1 + tg2X =(6) Sector circular. Area = Yz r2a, siendo a = ngulo central del (3) Frmulas para reducir ngulo:sector, medido en radianes . AnguloSenoCosenoTangente (7) Prisma. Volumen = Ba. (8) Pirmide. Volumen = HBa. -x - senxcosx-tg x90 x0- cosxsenxctg x90+x cosx -senxctg x (9) Cilindro circular recto.Volumen = n:r2a.Area lateral =2 n:ra. 180-x se n x -cosx-tg xArea total = 2 n:r(r + a). 180+ 270 -x0x - senx -cosx tg x- cosx -senxctg x(10) Cono circular recto.Volumen =}~ m a.2Area lateral = nrs . 270+x - cosxse n x- ctg x 360_x - senxcosx-tg xArea total = n:r(r + s). (11) Esfera. Volumen = j( n:r3 . Area = 4 n:r2. (4)Funciones trigonomtricas de(12) Tronco de cono circular recto. Volumen = % n:a (R2 +12+ Rr) . sen(x+ y) =sen z COEArea lateral = ns (R + r) . sen(x - y) = sen x coscos(x + y) = cos z cos 2. Frmulas de Trigonometra plana.Son de uso frecuente mu-cos(x - y) = cos x coschas de las siguietes frmulas.(1) Medida de ngulos. Hay dos mtodos generalmente usados tg (x+ )= tg x+ tg Y tiY. l-tgxtgypara medir ngulos; es decir, hay dos sistemas de unidades angulares.Medida en grados. En este sistema el ngulo unidad es %60 de una(5) Funciones trigonomtricas derevolucin completa y se llama grado. ~n2x=2~nxoosx;oos2x=oo~Medida circular. En est sistema el ngulo unidad es el que sub-tiende un arco de longitud igual al radio del arco, y se llama radin. x /1- C.os x z !1 sen 2= j 2; cos2= j-La ecuacin que da la relacin entre los dos ngulos unidad es sen2 x ;:; Yz - Yz cos 2 x i co 180 grados = ]( radianes (n: = 3,14159 ... ) , 23. http://carlos2524.jimdo.com/ RESUMENDE FORMULAS5un nmero enterode donde: 1 grado = I~O= 0,0174 radianes : 1 radin = 180 = 57 ,29grados Jt De dicha definicin tenemos N d d , larco correspondienteumero e ra wnes en un anqu. u=radio1l-r+lbl-1 + .... Estas ecuaciones permiten pasar de una medida a la otra. (2) Relaciones entre las funciones trigonomtricas. 111 ctg x = --sec x = -- csc x = --. tg x cos x sen z tal, r o R repre- el lado o altura sen xcos z T.gX = -- ctg x = --.cos x sen xnr , Area = n:r2sen" z + cos"X =1; 1 + tg2X = sec" x; 1 + ctg"X = ese" x.ngulo central del (3) Frmulas para reducir ngulos. IAnzulo Seno CosenoTangente Cotangente Secante Cosecante-x - senx eos x-tgxetg x see x -ese x 900-x eosx sen xetgx tg x ese xsee x 90+ xcosx - sen x- etgx- tgx - ese xsee xea lateral = 2 xra .180- xsenx - eos x-tgxetg X - see xese x1800+x - senx - eos x tgxetg x - see x - esex270- x- eosx - sen xetgx tg x - ese x - seex270+ x- eosx sen x- etgx- tgx ese x - secxrea lateral = nrs , 360- x- senx eos x- tg x-etgx sec x - cs~.A i (4) Funciones trigonomtricas de (x+ yJ y (x -y).sen (x + y) sen z cos y + cos x= sen y .sen (x - y) = senx cos y - cos x sen y.cos (x + y) = cos x cos y - sen x sen y. so frecuente mu-cos (z - y) = cos x cos y + sen x sen y.eralmente usadostg (x+ )=tg x + tg Y .t(x _) = tg x - tg Y y, l-tgxtgyg.y l+tgxtgy.dades angulares.dad es 7~60 de una (5) Funciones trigonomtricas de 2 x y de Y2 x. 2tg sen 2 x = 2 sen x cos x; cos 2 x = cos" X - sen 2 x; tg 2 x = 1-tg2 x X. ad es el que sub- se llama radin. x/1 - c.os x x/1+ cos xt z/1 - cos xsen 2 = j2; cos 2 = j2; g 2= j 1+ cos xngulos unidad es . .) , sen" x= Y2 - Y2cos 2 x i cos? X= + ~:! .Y:!00S 2x. 24. http://carlos2524.jimdo.com/6 CALCU LO DIFERENCIAL (6) Transformacin de sumas y diferencias de senos y cosenos enproductos. sen x + sen y = 2 sen ~ (x +y) cos ~ (x - y) . sen x - sen y = 2 cos ~ (x +y) sen Yz (x - y). cos x + cos y = 2 cos Yz (x+y) cos Yz (x - yj. cos x - cos y = - 2 lOen Yz (x + y) sen Yz (x - y).(7) Relaciones en un tringulo cualquiera. a b eLey de los senos. sen A = sen B = sen C .Ley de los cosenos.a2= b2 + c2 - 2 be cos A .Frmulas para el rea. K = Yz be sen A . K =Yz a2 sen B sen C sen (B+C) K = ,/ ses - a) (s - b) (s - e) , siendo s = Yz(a + b + e). 3. Frmulas de Geometra ana!Hica plana. Las frmulas msimportantes son las siguientes:(l) Distancia entre dos puntos Pl (Xl, yd y P2{X2, Y2).d =y (Xl -X2)2+(y -Y2)2 .Pendiente de P l P2 . m = Jll - y2 Xl - X2Coordenadas del punto medio.x = Yz(Xl + X2),y = Yz(Yl + Y2) .(2) Angulo de dos rectas en funcin de sus pendientes. tg ()= ml - m2 .1 +ml m2(Si las rectas son paralelas es ml = m2; si las rectas son perpen-diculares es ml m2 = - 1 . )(3) Ecuaciones de la lnea recta.En funcin de uno de sus puntos y de la pendiente. y-yl = m (x - Xl)En funcin de la pendiente y de la ordenada en el origen.y=mx+b. 25. http://carlos2524.jimdo.com/RESUMEN DE FORMULAS7En fun cin de dos de sus puntos .y - YIX -XlEn funcin de los segmentos que determina s()/Yre los ejes (4) Distancia del punto PI(XJ, y} a la recta Ax + By +e = o.d = AXl + BYIC . + VA2+ B2 (5) Relacior. cos () , y = sen (), = V x 2 + y2 , () = are tg]LX (6) Ecuacin de la circunferencia.Centro (h, k). (7) Ecuaciones de la parbola.Con vrtice en el origen. y2 = 2 px, foco (Y2 P., O) .x 2 = 2 py, foco (O, Y2 p) .Con vrtice en (h, k) .(y - k)2 = 2 p (x - h), eje y = k .(X - h)2 = 2p(y-k), ejex = h.Con eje en el eje de las y. y= AX2 + c. (8) Ecuaciones de otras curvas. Elipse con centro en el ongen y focos en el eje de las x . X2y2~+b2 = 1. (a>b). Hiprbola con centro en el origen y focos en el eje de las x . Hiprbola equiltera con centro en el origen y los ejes de coordenada~como asntotas . xy = C. Vase tambin el Capitulo XXVI 26. http://carlos2524.jimdo.com/8CALCULO DIFERENCIAL 4. Frmulas de Geometra analtica del espacio. He aqu algunasde las frmulas ms importantes.(1)Distancia entre PI (Xl, gl, Zl) y P1 (X2, g2, Z2).d= V (Xl - X2)2 + (YI - Y2) 2 + (Zl - Z2)2 .(2)Lnea recta.Cosenos directores: co~ u, cos (:, cos y.N lImeros directores: a, b, c. cos (( cos [1cos yEntonces -a- = --b- = -c-- cos 2 a+ cos 2(3 + cos2y =l. cos a =a-, , / a2+b +c22 b cos ~ =, ,/ a2 + b + ,.22c cos y = --:=~=== V a 2 + b2 + c2Para la recta que une los puntos (Xl, yl, Zl ) y (X2, y2, Z2), setiene: cos a cos ~ros yX2 - Xl y2 - yl Z2 - ZI (3) Angulo de dos rectas. Cosenos directores: cos a, cos ~, cos y; cosa, cos W, cos y . N illeros directores: a, b, c; a, b , c. Si 8 = ngulo de las dos rectas, se tiene: eos 8 = cos a cos a+ cos ~ cos W+ cos ycos y , aa + bb + cc cos 8 = ----;-==~~~..:....:...:=====:=====. V a +b +c V a +b +2 2 2 /22C/2 Rectas paralelas . Rectas perpendiculares.aa + bb + cc = O. (4) Ecuaciones de la recta que pasa por el punto (Xl, gl, Zl), y susnmeros directores son a, b, c. x - Xl Y - Yl Z - Zl ---a-=--b--= --c- 27. http://carlos2524.jimdo.com/RESUMEN DE FORMULAS 9 (5) Ecuacin del plano. En el plano Ax + By + Cz + D = O, loscueficientes A, B, C sun los nmeros directores de la recta perpen-dicular al plano. Ecuacin de un plano que pasa por el punto (Xl, Yl, z) y es per-pendicular a la recta que tiene los nmeros directores A, B, c.A (x - x) + B (y - Yl) + C (z - z) = O. (6)Angulo de dos planos. Ecuaciones:Ax + By + Cz + 1J = O. Ax + By + Cz + D = O. Nmeros directores de la recta de interseccin:BC- CB,CA-AC, AB- BA. ~i() es el ngulo de los dos planos, se tiene:cos () = --;-==~A=A==+~B:..:B=-:-==+===,C=,C=====-..../ A 2 + B2 +C 2V A,2+ B,2 + C/2 .(7) Coordenadas cilndricas. La distancia z (fig. 1) de un puntop (x, y, z) al plano XY y las coordenadas polares (Q, ()), de que forma OP con el eje de las z y el ngulo () que forma la proyeccin de OP sobre el plano XY con el eje de las x, se llaman coordenadas esfricas de P. El ngulo cf> se llama 28. http://carlos2524.jimdo.com/10CALCULO DIFERENCIALla colatitud y (j la longitud. Las coordenadas esfricas de P se escriben (1-, cf>, 8). Si x, y, z son las coordenadasrectangularesde P, entonces, delas definiciones y de la figura, tenemos:x = r sen cf> eos 8 , y= r sen cf> sen 8 , z = r cos, ~---c V x2 +y28= are tg JL,cf> = arc tg .xz 5. Alfabetogriego. CAPITULETRASNOMBRES LETRASNOMBHESLETRASNOMBRES AaAlfa Ilotal RoVARIABLES,FUNCII /1 (i Beta J{ K Kapa" rrSigrna rr GamaA,Lambdat :-Taur6. Variables y constantes. Un Ll o Delta Mp.Mi o mu uIpsilonse le puede asignar, durante el CUT E EpsilonN~ Ni o nu 1/1 l Finmero ilimitado de valores. Las va Zt Dseta o zetaE, Xi X1. Ji o ki las ltimas letras del alfabeto HYJ EtaOo Omieron1 ~" PsiUna cantidad que durante el curs e oTetaHt:Pi!!wOmega se llama constante. Constantes numricas o absolutasvalores en todos los problemas, corr Constantes arbitrarias, o parmetroasignar valores numricos, y que desos valores asignados.Usualmenteletras del alfabeto. As. en la ecuacin de la recta, ~+JL. a bx y y son las coordenadas variables dlnea, mientras que a y b son las consla abscisa en el origen y la ordenada Eque son valores definidos para cada rEEl valor numrico (o absoluto) de ude su valor algebraico , se representa 1smbolo I a I se lee "valor numrico d7. Intervalo de una variable.Aa una porcin del sistema de nmerosgir nuestra variable de manera que todidos entre a y b. Tambin puede SE 29. http://carlos2524.jimdo.com/ALsfricas de P se escribenres de P, entonces,dez = r coscf>; vi x2--- y2+ cp = arc t.g. z CAPITULO IILETRASNOMBRES rRoVARIABLES, FUNCIONESy LIMITES " rrSigma r:-Tau r 6. Variables y constantes.Una variable es una cantidad a la queu Ipsilon pse le puede asignar, durante el curso de un proceso de anlisis, unl Fi nmero ilimitado de valores. Las variables se designan usualmente por X1Ji o ki las ltimas letras del alfabeto r ~" Psi Una cantidad que durante el curso de un proceso tiene un valor fijo ~l wOmega se llama constante.Constantes numricas o absolutas son las que conservan los mismos valores en todos los problemas, como 2, 5, "";7, cr , etc. Constantes arbitrarias, o parmetros, son aquellas a las que se pueden asignar valores numricos, y que durante todo el proceso conservan esos valores asignados. Usualmente se representan por las primeras letras del alfabeto. As. en la ecuacin de la recta, x y-+-=ab1 x y y son las coordenadas variables de un punto que se mueve sobre la lnea , mientras que a y b son las constantes arbitrarias que representan la abscisa en el origen y la ordenada en el origen, las cuales se supone que son valores definidos para cada recta. El valor numrico (o absoluto) de una constante a, para diferenciarlo de su valor algebraico , se representa por 1al. As, 1- 21 2 = 121. El= smbolo 1 a I se lee "valor numrico de a" o "valor absoluto de a , . 7. Intervalo de una variable.A menudo nos limitamos solamente a una porcin del sistema de nmeros.Por ejemplo, podemos restru- gir nuestra variable de manera que tome nicamente valores comprendidos entre a y b. Tambin puede ser que a y b sean incluidos o que 30. http://carlos2524.jimdo.com/12 CALCULO DIFERENCIALuno () ambos sean excludos. Emplearemos el smbolo [a, b], siendoa menor que b, para representar los nmeros a y b y todos los nme-ros comprendidos entre ellos, a menos que se diga explcitamente otracosa . Este smbolo [ a, b] se lee "intervalo de a a b , .8. Variacin continua, Se dice que una variable a vara de una.manera continua en un intervalo [a, b] cuando x aumenta desde elvalor a hasta el valor b, de tal manera que toma todos los valoresintermedios entre a y b en elo--------- (x) ,J (x), etc.Durante todo el curso de un proceso, un mismo smbolo de funcio-nalidad indicar una misma ley de dependencia entre una funcin y suvariable. En los casos ms simples, esta ley expresa la ejecucin de unconjunto de operaciones analticas con la variable . Por consiguiente,en un caso de esta clase el mismo smbolo de funcin indicar la mismaoperacin, o conjunto de operaciones, aplicadas a diferentes valores dela variable. As, por ejemplo, sif(x) = X2 -9x + 14,entonces,f (?I) = y2 -9Y + 14 ; f(b+1)= (b+1) 2 - 9(b + 1)+14=b 2 -7b + Gf( O) = 02 - 9 0 + 14 = 14,f( - 1) = (_1)2 - 9 ( - 1) + 14 = 24, 2 f(3) =3 - 9. 3 + 14= - 4 .12. La divisin por cero, excluida. El cociente de dos nmerosa y b es un nmero x tal que a = bx. Evidentemente, con esta defini-cin la divisin por cero queda excluda. En efecto, si b = O, Y recor-dando que cero tomado cualquier nmero de veces como sumando essiempre igual a cero, se ve que x no existe, a menos que a = O.Si a = O, entonces x puede ser cualquier nmero. Por lo tanto, lasexpresiones que se presentan en una de las formasaOO O I carecen de sentido por no ser posible la divisin por cero. 32. http://carlos2524.jimdo.com/14 CALC ULO DIFERENCIAL Debe tenerse cuidado de no dividir inadvertidamente por cero.La siguiente paradoja es un ejemplo .Supongamos quea = b.Entonces, evidentemente, ab = a 2 Restando b2 , ab - b2 = a~ -b~ .Descomponiendo en factores, h (a- b) = (a+b) (a- /; ) .Dividiendo por a -/ , b=a+b.Pero,a = b;luego, b = 2 b,o ~ea que1 = 2. E l resultado absurdo proviene de haber dividido por a - b = O.PROBLEMAS1. Dado f (x) = x a - 5 X2 - 4 x+ 20 ,d emo strar qu e f ( I )=12, f(5)=0, ( 0 ) = - 2(3),(7)=5( -1 ).2. S i {(x)=4-2 x2+x, calcular (O), f( I ), f( - I), (2), (-2)3. Si F (e) = sen 2 e + cos e, hallar F (O), F ( Yz n), F (n).4. Dado f (x) = x 3 - 5 X2 - 4 x + 20, demostrar que f(t+I)=t3 - 2r 2 -11 t+ 12.5. Dado f (y) =y2 - 2 y + 6, demo s trar q U Cf (y + h) = y2 - 2 y + 6 + 2 (y- 1) h + !-J2.n. 0 .1(z);; 4=, demostrar que >(z + 1) - >(z) = 3 >(z) .9. Si > (x) = al,demostrar que> ( y ) > (z) = > (y+ z). 1 - x 10. Dado> (x) = l og - - , demostra r que I+ x >(1)+>(z) = >(1+Z). 1+ lJZ 11. D ado f ~ x) = se n x. d emostrar que f(x + 2h)-f(x) =2cos (x +h ) senh. S UGESTION . Utili za r l as frmu las (6) del Articulo 2 . 33. http://carlos2524.jimdo.com/VARIABLES . FUNCIONES Y LIMITES 15 13. Grfia de una funcin; continuidad.Consideremos la funcinx2 y hagamos(1) Y = Xl. Esta relacin da un valor de y para cada valor de x; es decir,(1) define unvocamente a y para todos los valores de la variable inde-pendiente. El lugar geomtrico de (1) es una parbola (fig. 4) Y sellama la grfica de la funcin X2. Si x vara continuamente (Art. 8)desde x = a hasta x = b, entonces y variar continuamente desdey = a2 ha"ta y = b2 , Y el punto P (x, y) se mover continuamente,a lo largo de la curva, desde el punto (a, a 2 ) hasta (b, b2 ). Adems,a y b pueden admitir todos los valores. En este caso decimos que, In. funcin X2 es continua para todos los valores de x".Fig.4Fig. 5 1 Consideremos ahora la funcin Hagamos x 1(2)Y = -XEflL p.cuacn da un valor de y para cada valor de x, con p.xcep-ci{m de x = O (Art.. 12) ; para x = O la funcin no est definida. Lagrfica (fig. 5), que es el lugar geomtrico de (2), es una hipr-bola equiltera. Si x aumenta continuamente en cualquier intervalola, bl que no incluya x = O, entonces y decrecer continuamentedp.sde~ hasta~, y el punto P (x, y) describir la curva entre lospuntos correspondientes ( a, ~),(b, ~ ). En este caso decimosquc "la funcin1- es continua para todos los valores de x con excep-xcin de x = O . No existe en la grfica un punto correspondiente ax = O. Estos ejemplos ilustran el concepto de continuidad de una funcin.Una definicin se dar en el Artculo 17. 34. http://carlos2524.jimdo.com/16 CALCULO DIFERENCIAL14. Lmite de una variable. La nocin de una variable que seaproxima a un limite se encuentra, en la Geometra elemental, alestablecer o deducir la frmula que da el rea del crculo. Se considerael rea de un polgono regular inscrito con un nmero n cualquiera delados, y se supone, despus, que n crece infinitamente. El reavariable tiende as haca un limite, y este lmite se define como readel crculo . En este caso, la variable v (rea) aumenta indefinida-mente, y la diferencia a - v (siendo a el rea del crculo) va disminu-yendo hasta que, finalmente, llega a ser menor que cualquier nmeropositivo escogido de antemano, sin importar lo pequeo que ste sehaya elegido.El concepto de lmite se precisa mediante la siguienteDEFINICIN. Se dice que la variable v tiende a la constante l comolmite, cuando los valores sucesivos de v son tales que el valor num-rico de la diferencia v - l puede llegar a ser, finalmente, menor quecualquier nmero positivo predeterminado tan pequeo como se quiera.La relacin as definida se escribe lim v = l. Por conveniencia, nosserviremos de la notacin v -7 l, que se leer "v tiende hacia ellmite l" o, ms brevemente, "v tiende al". (Algunos autoresusan la notacin v -:"l . ) EJEMPLO.Si u toma la sucesin infinita de va loreses evidente que u -72 al crecer n . es decir . lim u = 2.Si sobre una lnea recta, como en el Artculo 8, se seala el punto Lque corresponde al limite l, y se coloca a ambos lados de L la longitud E,sin importar lo pequeo que ste sea, entonces se observar que lospuntos determinados por v caern todos, finalmente, dentro del seg-mento que corresponde al intervalo [l - E. l + E ] .15. Lmite de una funcin. En las aplicaciones de la definicinde lmite, se presentan usualmente casos como el siguiente: se tieneuna variable v y una funcin dada z de v, y se supone que la variablev recibe valores tales que v -7 l. Tenemos que examinar entonces losvalores de la variable dependiente z e investigar, particularmente, siz tiende tambin a un limite. Si efectivamente existe una constante atal que lm z = a, entonces se expresa est.a relacin escribiendo lmz=a, V-71y se leer: "el lmite de z. cuando v tiende a l, es a ., 35. http://carlos2524.jimdo.com/ VARIABLES . FU NC IO NES Y LIMITES1716. Teoremas sobre lmites. En el clculo del lmite de una fun-cin tienen aplicacin los teoremas siguientes. Las demostraciones sedarn en el Artculo 20 .Supongamos que u, v y w sean funciones de una variable x y quelm u = A,lm v = B, lm w =c. ",~a", ~a x~aEntonees son ciertas las siguientes relaciones. (1)lm (u x~a + v- w) =A+B - C. (2)lm (uvw)=ABC. x~a (3)1 , 1m -u = -,A. BSIno es cero. x~a V BEn breves palabras: el lmite de una suma algebraica, de un productoo de un cociente es igual, respectivamente, a la suma algebraica, al pro-ducto o al cociente de los lmites respectivos, con tal de que, en el ltimocaso, el lmite del divisor no sea cero. Si c es una constante (independiente de x) y B no es cero, de loanterior se deduce:(4 )Hm (u x~a + c) =A + c,lm cu x ~a= cA , lm x~" ~ = ~.VB Conside remos algunos ejemplos. 1.Demostrar q u e l i m (x 2 + 4 x)= 12.x~2Demostracin. La f uncin dada es la suma deX2 y 4 x. En primer lugarh allarem os lo s li mites de estas d os funciones.Seg n (2). lim X2 = 4.p u esto q u e xc = xx. x~2Seg n (4). lim 4x=4 lim x = 8. :t ~ 2x~2Luego. seg n (1). el limite bu scado es 4+8 = 12 . 2. "Demostrar q ue l im Z2 - 9 = _2..z ~2 z +2 4 Demostracin.Co n side rand o el num erador. lim (Z2 - 9) = - 5. segn2~2 (2) Y (4).E n cuanto al denominador . li m (z+ 2)=4. Lu ego. d e (3).2~~tenemos el resultado buscado. 17. Funciones continuas y discontinuas. En el ejemplo 1 delArtculo 16 , donde se demostr que lm (X2 x-;2 + 4 x)12, 36. http://carlos2524.jimdo.com/18CALCULO DIFERENCIALobservamos que la solucin es el valor de la funcin para x = 2 ; esdecir, el valor lmite de la funcin cuando x tiende a 2 es igual al valorde la funcin para x = 2. En este caso decimcs que la funcin escontinua para x = 2. La definicin general es la siguiente:DEFINICIN.Se dice que una funcin f(x) es continua para x = asi el lmite de la funcin, cuando x tiende a a, es igual al valor dela funcin para x = a. En smbolos, silm (x) = (a), X-7aentonces f (x) es continua para x = a.Se dice que la funcin es discontinua para x = a si no se satisfaceesta condicin.Llamamos la atencin de los dos casos siguientes, que se presentanfrecuentemente. CASO l. Como ejemplo sencillo de una funcin que es continuapara un valor particular de la variable, consideremos la. funcin X2 - 4 f(x) = --o x- 2Para x = 1, f ex) = fe 1) = 3. Adems, si x tiende al, la fun-cin f(x) tiende a. 3 como lmite (Art. 16). Luego la funcin escontinua para x = 1 .CASO n. La definicin de funcin continua supone que la funcinest definida para x = a . Sin embargo, si este no es el caso, a veceses posible asignar a la funcin t al valor para x = a que la condicin decontinuidad se satisfaga. En estos casos se aplica el siguiente teorema: Teorema. Si f (x) no est definida para x= a, perolm (x) = B,X-7 aentonces fex) ser-continua para x = a, si se toma como valor de f ( x)para x = a el valor B.As, por ejemplo, la funcinX2 - 4x-2 no est definida para x = 2 (puesto que entonces habra divisin por cero ) . Pero para todo otro valor de x x~ - 4 x_2=x-l-2; 37. http://carlos2524.jimdo.com/VARIABLES, FUNCIONES Y LIMITE S19y lm (x :0 I1x s despus un24. Derivada de una funcin de una variable.La definicin fun- ondiente y, damental del Clculo diferencial es la siguiente:La derivada * de una funcin es el lmite de la Tazn del incrementode la funcin al incremento de la variable independiente cuando stetiende a cero. Cuando el lmite de esta razn existe , se dice que la funcin esderiooble o que tiene derivada. La definicin puede darse mediante smbolos, en la forma siguiente:Dada la funcin (1)y =f(x), idirlos dosconsideremosun valor inicial fijo de z . . Llamadata mb i n coeficiente diferencialo funcin derivada. 46. http://carlos2524.jimdo.com/28 CALCULO DIFERENCIAL Demos a x un incremento ~x; entonces obtenernos para la funciny un incremento ~y, siendo el valor final de la funcin (2)y + ~y = f (x + ~x) . Para hallar el incremento de la funcin, restarnos (1) de (2); seobtiene(3)~y = f (x + Sx) - f (x) Dividiendo los dos miembros por ~x, incremento de la variableindependiente, resulta: ~y f(x+~x) - f(x) (4 ) ~x~x El lmite del segundo miembro cuando ~X-70 es, por definicin,la derivada de f( x), o sea, segn (1), de y, y se representa por eldysmbolo dx. Luego, la igualdad (A)dy =lm(x + ~x) - (x)dx6 X-70~xdefine la derivada de y ro de f ( x) 1 con respecto a x.De (4) obtenemos tambindy _ lm ~y.dx - 6 X-70 ~x Asimismo , si u es funcin de t, entonces,du ~u.dt = 6~~0 ~t = derIvada de u con respecto a t. La operacin de hallar la derivada de una funcin se llama derivacin. 25. Smbolos para representar las derivadas. Puesto que l1y y I1xson siempre cantidades finitas y tienen valores definidos, la expresines una verdadera fraccin. Pero el smbolo dy dxha de mirarse no como una fraccin, sino como el valor lmite de una f?"ac-cin. En muchos casos veremos que este smbolo s tiene propiedades de 47. http://carlos2524.jimdo.com/ DERIVACION 29fraccin, y ms adelante demostraremos el significado-que puede atri-buirse a dy y dx, pero, por ahora, el smbolo ~; ha de considerarsecomo conjunto. Puesto que, en general, la derivada de una funcin de x es tambinfuncin de x, se emplea tambin el smbolo J (x) para representar laderivada de j(x). Luego, siy=j(x),podemos escribir la igualdad dy = J (x) dxque se lee "la derivada de y con respecto a x es igual a j primade x"El smbolod dxconsiderado por s mismo, se llama operador derivada; indica quetoda funcin que se escriba despus de l ha de derivarse con respectoa x. As, dyd- (1 -y indica la derivada de y con respecto a x; dxdx ix f (x) indica la derivada de j (x) con respecto a x; d~ (2 x2+5) indica la derivada de 2 x2+5 con respecto a x. El smbolo y es una forma abreviada de~~ . d El smbolo Dx se emplea por algunos autores en lugar de dxLlle-go, si y=j(x),podem-os escribir las identidades dyddy = - = - y = - j(x) = Dxj(x) = j(X). dxdx dxDebe hacerse hincapi en esto: en el paso esencial de hacer quet1x~O,la variable es t1x y no x. El valor de x se supone fijo desdeel principio. Para hacer resaltar que x = Xo desde el principio hasta elfin, podemos escribir: J (xo) = Hm j(xo+ t1x) - j(Xo) 6x~Ot1x 48. http://carlos2524.jimdo.com/30 CALCULO DIFERENCIAL26. Funciones derivables. De la teora de los lmites se deduceque si exist e la derivada de una funcin para cierto valor de la variableindependiente, la fun cin misma debe ser continua para aquel valor dela variable.Sin embargo, la recproca no es siempre cierta: se han descubiertofunciones que son continuas y, a pesar de eso, no t ienen derivada.Pero tales funciones no son frecuentes en las Matemticas aplicadas,yen este libro se consideran solamente las funciones derivables, es decir,las funciones que tienen derivada para todos los valores de la variableindependiente, con excepcin, a lo ms, de valores aislados. 27. Regla general para la derivacin. Segn la definicin dederivada se puede ver que el procedimiento para derivar una funciny = f (x) comprende los siguientes pasos: REGLA GENERAL PARA LA DERIVACIN PRIMER PASO. Se sustituye en la funcin x por x + !::..x, y secalcula el nuevo valor de la funcin y /1y .+ SEGUNDO PASO . Se resta el valor dado de la funcin del nuevo valory se obtiene /1y ( incremento de la funcin ) . TEIWEH PASO.Se divide /1y ( incremento de la funcin ) por /1x(1:ncremento de la variable independiente) . CUARTO PASO. Be calcula el lmite de este cociente cuando llx( incremento de la variable independiente) tiende a cero. El lmite ashnuado es la den:vada buscada .El estudiante debe familiarizarse con esta regla, aplicando el pro-cedimiento a muchos ejemplos . La resolucin detallada de tres deestos ejemplo s se da a continuacin. Ntese que los teoremas delArtculo 16 se emplean en el cuarto paso, mantenindose x constante . EJEMPLO 1.Hal lar la derivada de la f un cin 3X2 + 5. Resolucin. Ap l icando los pasos s ucesi vos de la regla ge neral, obtenemos,despu s de h acery = 3 X2 + 5, Pri mer paso. y + Ay = 3 (x + 11 x ) 2 + 5= 3 X2 + 6 x 11 x + 3 (11 x ) 2 + 5, Segundo paso. y + l1y = 3 x2+6 x.l1x+ 3 (l1x)2 +5 y- 3 X2 +511 y =6xl1x+3( X)2 49. http://carlos2524.jimdo.com/ DERIVACION31Tercer paso.11/j = 6 x+ 3.l1x .I1xCuarto paso. En el segundo m iembro haga m os I1x----;O.Seg n CA)re-sul ta :d/j = 6 x .dxo bien,/j =~ (3dx X2 + 5)-~ 6 x.EJEMPLO 2. Hallar la der i vada de x 3-2 x + 7.Resol ucin. Hagamos /j = x3-2 x+ 7.Primer paso. /j+ 11/j =(x+ I1x) 3 - 2 (x + I1x) + 7= x 3 +3 X2 l1x+3 x. ( l1x ) 2 + (l1x) 3-2 x-2 .l1x+ 7.Segundo paso./j+ 11/j = x3 +3X2 .l1x + 3 x. (l1x)2+ (l1x) 3-2 x - 2.l1x+7/j= x3- 2x +711/j = - 2l1xTercer paso.11/j =3 x 2+3 x.l1x+(l1x)2-2.I1xCuart o paso. En el se g undo mi em bro hagam os I1x----;O.Segn (A) ten -dremo s:.!J=3x 2 - 2.dxo bi e n , y = ~ (x 3dx - 2x + 7) = 3 X2 - 2.EJEM PLO 3. Ha l lar la deri v ada d e la funcin c ? Resol ucin.Hagamos y=-~ . X2 Primer paso . /j+ l1y=(x + l1x)2 C Segundo paso .y + 11/j= c(x+ I1x) 2y11 _c - c l1x (2 x + I1x) y --:-(x--: I1-x ---;:2+---;- ) x2(x+l1x)2Tercer paso.11/j = -e2 x+ I1xI1xX2 (x+ I1x) 2Cuarto paso. En e l segu n do miembro hagamo s I1x ----;O.Segn (A) ten - dremos :d/j = _ c.~ =_ ~.dx X2(X)2 x3[/j /_ dd(C) -_ - 2e ] -x X2x3 50. http://carlos2524.jimdo.com/32CALCULODIFERENCIAL PROBLEMAS. Procedamos ahora a deri a interpretarcada paso gECalcularla derivadade cada una de las siguientesfunciones usandola reglageneral. punto P (x, y) de la curva, lotambin de la curva y cerca y=2-3 x . Sol.y = -3.16.y=--. 1 dy=_ 2x x2+a2 dx {x2+(2)2 2.y=mx+b. y = m.PRIMJ.:H. PASO.y+L 3.y=ax2.y=2ax.17.x Y = x2+1 .v :dxl-x2(x2+1)2SEGUNDOPA .O. y+L 4.s =2(_(2. s = 2-2t. y y=3cx2.x2 v : 8x 5.q=c x" . 18.y =4-x2 dx(4-X2)2 6.y =3 x-x3.y= 3-3 x2.19.y = 3 x2 - 4 x -5. 7.u=4 v2+2v3. u=8v+6v2.y =4x3.20.s = a(2 +bt+ e.TERCERPASO. 8.y=x. 2dQ = ___ 2_2lou = 2 v3 - 3 v2. 9.Q=--. 0+1dO (8+1)2 22.Y = ax3 +bx? +ex+ d.3 d u __6x10.y=--.23.Q=(a-bO)2. x2+2 dx (x2+2) 2 Con este paso vemos que la 424.y=(2 -x) (l-2x). a la pendiente de la secante1lo t+4 ~= S=-.t dt t2 25.y=(Ax + B) (Cx+D). P (x, y)12. 1dy =226.s = (a+bt)3. y=I-2xdx (l--2x) 2 en la grfica de f( x) . x13.Q=--. OdQ =2 27. y=~+bX2Examinemos el sentido g0+2 dO (0+2)2 sidera el valor de x como fi; At+B ds AD-BC 28. y=---. a +b x? Asimismo , ~:l: vara tendie14,s=--(j(- (Ct+D)x2 Ct+D2 punto Q ha de moverse a u15.y=--.x3+1r!:l = 2 x __ 1_.29. x2posicin limiteLuego la sx dx x2y = a +bX2 corno lm ite la tangon te en28. Interpretacin geomtrica de la derivada.Ahora vamos a > = inclinconsiderar un teoremaque es fundamental en todas las aplicaciones7 = inclin del Clculo diferencial a la Geometra. y Primero es necesario recordar la definicinLuego lm > _. Suponi6.1---70 de tangente a una curva en un punto P deA (vase el Art , 70), tenemo la misma,Supongamos una secante que pase por P y un punto prximo Q de la dy _ curva (fig. 6). Hagamos que el punto Q CUARTOPAi-iO. d~-oNxse mueva sobre la curva aproximndoseFig. 6 indefinidamente a P: La secante girar alrededor de P, y su posicin lmite es, As hemos establecido el impor definicin, la tangente a la curva en P. Consideremos ahora la grficade la funcin f (x) , o sea, la curva AB (fig. 6) , dada porla ecuacin Teorema. El valor de le(1) y=f(x). iqual. a la pendietue de la tal 51. http://carlos2524.jimdo.com/DERIVACION33. Procedamos ahora a derivar la funci n ( 1) segn la regla general ya in terpletar cada paso geomtricamente. P a ra ello pscogemoR unpunto P(x, y) de la curva, y un segundo punt.o QCx + }.:r, y + }.y),tambin de la curva y cercano a P. PRIMIC]i PASO. Y + y = f( x + }.:r)=NQ S~iGUNDO PASO .Y + }. y = f(x + }.x)=NQy = f(x) =ll1P = N R}.Y = ;(x + x) -f (x) ;= RQ}.y _ f(x + }.x) -f(x)RQ RQ TERCER PASO .}.X -}.x = M = PR= tg L RPQ = tg 1>=pendiente de la secante PQ .Con cRLe pa:;;o vemos que la raz _. Suponiendo :ue Lg 1> es lna fllllcin c;)ntinll:t6..1" ----;. u(vase el Art. 70), tenemos:CUAR!O PASO. d -d~ = f I ( x) = Im tg 1> = t g :- ,X6 :1: ----7 0= pendiente de la tangente en P .As hemos establecido el importante teorema siguien te : Teorema. El valor de la derivada en cualqer punto de na crva. es ente de la tangente a la cu rva en wuel punto .gual a la pend11 52. http://carlos2524.jimdo.com/14CALCULODIFERENCIAL[Este problema de la t.angentellev a Leibnitz * al descubrimiento6.Hallar el puntode la curtangentees de 45.del Clculo diferencial.7. En la curva y = ;(3+) EJ ElvIPLO. Hallarlas pendientes de las tangentes a la parbola y = x2 paralela a la recta y = 4 x .(fig. 7) en el vrtice y en el punto de a bscisa x= Yz .E n cada uno de los tres sig u ier Solucin.Derivandosegn la regla general(Arr. 27)seccin del par de curvas dado; 1 resulta: a cada curva,y el ngulo forma(2) dy =2x = pendiente de la tangente en cualquierseccin (vase (2) del Artculodx punto(x, y) de la curva. 8.y=l-x2,Sol. Para hallar la pendientede la tangenteen el vrtice, y = x2 - 1, bastar sustituir x = O en (2),obteniendo:9.Y = x2, o x dy dx= O.X - Y +2= O. Fig.7 11. Hallar el ngulode las C1Luego la pendientede la tangente en el vrtice es cero;de interseccin (3, 3).es decir,la tangentees paralela al eje de las x , y en este caso coincide con l.Para hallarla pendientede la tangente en el puntoP, de ahscisa x = Yz bastar s u st i t u i r x = Yz en (2). Se obtiene: dy= l: dx e s de c ir , la tangente en el puntoP forma con el eje de las x un a n g ul o de 45". PROBLEMAS Aplicando las derivadashallar la pendientey la inclinacinde la tangente acada una de las curvas siguientesen el punto cuya absc isa se indica. Verificarelre s u l t ad o r ra z.an do la curva y la tangente, 1.x2 - 2, s ie n d o x ..1.So!2; 63" 26. Y 2.lJ2x - Yz x 2, s ie n do x 3.4 3.y siendo x = 2. - x-l 4.Id = 3 +3x - x3 siendo x = - J. 5.= x3 - 3x2,siendo1. Y x=Gottfried Wilhelm Leibnitz(1646-1716) naci en Le ipz ig . Su grantalento se manifestcon investigacionesoriginales en varios ramos de la Cienciay de la Filosofa,Fu el primeroque public sus descubrimientosde Clculoinfinitesimalen un breve ensayo que aparecien la revistaActa Eru d i t or um .de Leipzig. en 1684. Se sabe,no obstan te, que ya existan manuscritosdeNe w to n sobre las" fluxiones", y algunos hi si or i.idores creen que Leibnitzrecibi las nuevas ideas de aqullos.Actualmente se cree, a lo que parece,queNe w to n y Leibnitzinventaron el Clculo inf in ite si mal independientementeel uno del otro.La notacinque hoy se usa es la que Le ibn itz introdujo. 53. http://carlos2524.jimdo.com/DERIVACION 35 6. Hallar el p un to de la cu rva y = x - X 2 en el qu e la inclin aci n de latan ge nt e es de 45 .S ol . (2, 6 ) .7. En la cur va y = x 3 + x h a llar lo s puntos en los que la tangente esparal ela a la recta y = 4 x.Sol . (1. 2) . (-1. -2) . E n cada uno de los tres siguientes problemas hallar: a) los puntos de intei.seccin del par de curvas dado; b) la pendiente y la inclinacin de la tallgentea cada curva, y el ngulo formado por las tangentes. en cada punto de inter-seccin (vase ( 2) del Artculo 3) .8.y=l-x 2 , Sol. Angulo de interseccinarc tg % 53 8.y = X2 - 1. 9. Y = X2. 10.!J = x 3 -3 x.X - !J +2= O.2 x +!J "" O. 11. Hallar el ngulo de las curvas 9!J - x 3 y !J - 6+8 x- x 3 en el puntode interseccin (3, 3). Sol. 21 27. 54. http://carlos2524.jimdo.com/CAPITULO IV REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS29. Importancia de la regla general. La regla general paraderivacin, dada en el Artculo 27, es fundamental, puesto que sededuce directamente de la definicin de derivada, y es muy impor-tante que el lector se familiarice completamente con ella. Sin embargo,el procedimiento de aplicar la regla en la resolucin de problemas eslargo o difcil; por con>iguiente, se han deducido de la regla general,a fin de facilitar la tarea, reglas especiales para derivar ciert.as formasnormales que se presentan con frecuencia.Es cmodo expresar estas reglas especiales por medio de frmulas,de las cuales se da a continuacin una lista . El lector no slo debeaprender de memoria cada frmula cuando se ha deducido, sino tam-bin poder enunciar en palabras la regla cOlTespondiente .En estas frmulas 1l, v, w representan funciones deriva bles de x. FHMULAS DE1)b~RJVA C16N1 de = Odx. II d:r = 1dx.ddu do dwIII- (u dx+v- w) = -, + - dx dx - -. dx ddvIV -(ev) = e-. dx dxd dvduv- (uv) dx = u-dx + v-odx 55. http://carlos2524.jimdo.com/ REG LAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS 37ddv VI _(vn) = mi -l - .dx dxd VIadx (xn)= nXn - l. dudv v dx -- ud;VII 2V duVIIa ~ (~) = d;. dy dy dvVIII -- - .- siendo y funcin de v. dx - dv dx dy 1 IX dxdx siendo y funcin de x. - - - dy 30. Derivada de una constante. Si se sabe que una funcin tieneel mismo valor para cada valor de la variable independiente, estafuncin es constante, y podemos representarla por y = c.Cuando x toma un incremento .1x, el valor de la funcin no sealtera j es decir, .1y = O, Y Ay = O .1x., .1ydyPero hm--=-=o.1" -7 0 I1xdx I:. ~~ = o. La derivada de una constante es cero.Este resultado se prev fcilmente. En efecto, la grfica de laecuacin y = c es una recta paralela a OX j luego su pendiente escero . Y como la pendiente es el valor de la derivada (Art. 28) resultaque la derivada es cero. 56. http://carlos2524.jimdo.com/38CALCULO DIFERENCIAL 31. Derivada de una variable con respecto a s misma. Seay= x. Siguiendo la regla genera.! (Art. 27), tenemos: PRIMER PASO.y+ f..y = x + f..x . SEGUNDO PASO.f..y = f..x . TERCER PASO. f..y = . Alo;;dy CUARTO PASO. -= 1dx. 11 dx = 1.dx La derivada de una variable con respecto a s misma es la unidad. Este resultado se prev fcilmente. En efecto, la pendiente de larecta y = x es la unidad. 32.Derivada de una suma. Sea1! = u+v- -w . Segn la regla general: PRIMER PASO. y + f..y = u + f.. u + v + f..v - It - f..w. SEGUNDO PASO.f..y = f..u+ f..v - f..w. TERCElt PASO.f.. y = f..u+ f..v _ f..U)f..xI1xf..x f..x Ahora bien (A;-t. 24) , lm f.. u = dulm f..v = dvlm f..1Jj = dw6.>:-)0 f..x dx 6 :1:--70 f..xdx6X--70 f..xdx .Luego, segn (1) del Artculo 16 , CUARTO PASO. dy = du+ dv_ dy; . dx dx dxdJ;d. du dv dwIII -(u+v-- w)dx = -+---. dx dx dx 57. http://carlos2524.jimdo.com/ REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS 39 Una demostracin semejante es vlida para la suma algebraica decualquier nmero de funciones.La derivada de la suma algebraica. de un n"lmero finito n de funcioneses 1:gual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones. 33.Derivada del producto de una constante por una funcin. Seay = cv . Segn la regla general: PRIMER PASOy+ f1y = e (v+ f1v)= cv + c/).v. SEGUNDO PASOf1y= cf1v f1,!/ f1v TERCER PASO - =c - f1x /).x De donde, segn (4) del Artculo 16, CUARTO PASO ddv IV - (ev)= e-.dxdx La derivada del producto de una constante por una funcin es 1gualal producto de la constante por la derivada de la funcin .34. Derivada del producto de dos funciones.Sea y = uv.Segn la regla general:PRIMER PASO y+ f1y =(u+ f1u) (v+ f1v) .Efectuando la multiplicacin:?J + l1y =uv + uf1v + vf1u + f1uf1v.SEGUNDO PASO.f1y= uf1v + vf1u + f1uf1v . i1y /10 f1u /).VTERCER PASO. -=u-+v-+/).u-. /).x/).x /).x /).x 58. http://carlos2524.jimdo.com/40 CALCULO DIFERENCIAL Aplicandn (2) Y (4) del Artculo 16, notando que lm l1u = O, 6X-7 0I1vy que, por tant.o, el lmite del producto l1u I1x es cero, tenemo,;: CUARTO PASO. dy = u dv+ u du .dx dx d.l:ddv duv -(uv) = u-dx dx + v-odxT,a derivada di! un JHvdw to de dus funciones es igual al producto dela primera funcin por la derivuda de la segunda, ms el producto de {nsegunda por ln dr!11vadn de la prirnem . 35. Derivadadel producto de n funciones, siendo n un nmero fijo.Si se dividen am bos miembros de la fnlmula V por x2) =!!...- (ax 4) -~(bX2)segn II! dx dx dx dx =a~ (x 4 ) -,~(X2)seg n IV dx dx =4 ax 3- 2 bx. Segn VI a 3. Y = x% + 5. Solucin. dy = dx!!...-dx (x%)+ _~ (5) dx .segn JII =% x Va . Segn VI a y * Mientras el estudiante aprende a derivar.debe recibir leccin oral dederivacin de funciones sencillas. 61. http://carlos2524.jimdo.com/REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS43 segn IIr Seg n IVy vr a5.y=(x2-3)~.Solucin.dy= 5 (x 2 -- 3) 4~(.X2 - ) ) segun VI dx dx l () = X2 - 3 y 11 =5. J =5(x 2 -3)4.2x= IOx (x 2 - 3)4 Es posible desarrollar esta funcin segn la frmula del hinomi0 de Newtolll (3 ). Art. 11 y ento nces aplicar III. etc .. pero el procedimiento aqui dadoes preferible. 6.Va 2 - x2 1} = Solucin. dy =.!!... (a2 _ x2)Yo=.l (a2_ xZ ) -Yo .!!... (a Z -x2)segn VI dxdx 2dx[() = a2 -X2 y n=l1z .1 =..!...(a 2 - x 2 )-Yo(-2x) =-x2Va 2 - X2 7. y =(3 x2+ 2) vi 1 + 5X2. Solucin. dI} = (3x2+2)~ ( 1 +5 x 2 )v, + ( 1 +5 X 2)Y, ~ (3 x2+2) dxdxdx segn V..!... (1 + 5 X2) -Yo .!!... (l + 5 X2) + 2dx + (1+5x2) Y, 6 x segn VI. etc.(1 +5 x 2 )-y, 5 x+6x(1 +5 x 2 ) y, 5x(3x2+2) ./ 5 . 45x 3 +16x = V +1 5 X2 + 6 x v 1 + X2 =l + 5 X2 . Vy =a2 +X2 . V a2 -X2 (a 2 - X2) y, ~ (a 2 + X2) -(a 2 + x2) .!!... (a 2 - X2) y, Solucin. dy = .dx dx dxa2-X2 segn VII 2 x (a 2- x2) + x (a 2 + X2) (a 2 -X2) %[Multiplicando num erado r y denominador por (a 2-x2L 1 3 a2 x - x 3 (a 2 -X2)% 62. http://carlos2524.jimdo.com/44CALCULODIFERENCIAL REGLASPARA DER Comprobarcada una de las s ig u ie n t es derivadas.28. y=(a+~y29. y = X/II +x . b 10.s. (4 + 3 x -dx2 x3) = 3- 6 x2~O. s = tV a2 +t 2 11.~(at -- 5 b(3) =5 at" - 15 bt>.dty=--. - x a 12.:z (~ -z7 7 )= Z - Z6.31.32. a+xy=---. + a 2 x2 13.~vv=~elu 2 a-x2dx2vudxV~233. y=14. :x (~ - ;)= - ~ + ~.34. y= x x .15. ~(2t%-3 t%) =.2t~-2 t-~..Va2- x2dt 316. ~(2 x% + 4 x-X) = 2. x-X - x-X. 35. r = 02V3=40.,dx 217.36.18. s: ( a + bx + cx2)= C _ .z .37.dx X x" V-:; 2 dy __ 1__ I_ 19.y=------. dx -_ /-+ xvx ._/- s ~H/2 + 3 t.2 V-:; 4vx 38. "j2-3t+ bt + ct -=---+--+---.3 cve .y-:-; .2 ds a b a 39.lj = 20. =svedt2 t Ve2ve 2dya_ u 40.Y =~V {/~-x2 21.Y = I/-;; + _a_o(/ vaxdx - 2,/ax2 xV-ax 22.e=v~_ dedO = -V 11- 2 O Hallar la derivadade cadaUI 23.F(t)= (2-3t2)3. F(t)= -18t(2 - 3 t2)2. 42.f (x) =V2x + ~33 24.F (x ) = ~ 4 - 9 x. F (x) = 43.2-xy = J ~-2.2.dyx x 25.y=. dx =31 44. y = .V a2 - x2 (a2 _ X2) 12.Va - hx3V~26. F (O) = (2 -5 O)%.F(O)=-2/45. s=(2 -5 IJ)1527. dy=2b(a_~). 46.dx x2 x 63. http://carlos2524.jimdo.com/ REGLAS PARA DERIVARFUNCIONESALGEBRAICAS4528. y=(a+~t rjy dx = -?J>.(ax 3+~)2. x229. y = x/ ({ + bx .d Y 2 a3 X+ dX=2v/a+-;;lis a2+2/230. s = /V a2 +/2.di = V a2+ {231. a -x.du2 ay=-;+x d~ = -(a+;)232. ay = a22+x x 2dy _4 a2x-2 dx-(a2-x2)~V~2ti Y u233. y= x "d.;= - x2V ~2 +x2xdy a234.- =y = V a2 - x2dx 3/ (a2 _ X2) /2 dr6 (1 -10 (1235. r = 02V3-4 O. liH - li 3 - 4 ()._..36. y=j~ 1I- ex dy _ edx -(l+ex)VI-e x2237.1a +x 2 2 is : 2a2xy = ja2 - x2 d.x - . (a2 - _ ---- x2) V {/4 - x".:.. H/2 +3tds43R.s-j2_3/T:"(2+3/)%(2 -3/)% +3 ,VI ::9 .lj-e- ...;-=-;; . e/y = E...2 dxy40. y = .!2- V {/2 - x2 d!J _ /)2.(/~,:~- - lI2~1ax.-41. ti =(a% _.. Y (y) SI-multneamente segn la regla general.PHIMr,m PASO.y+~y= f(x+~x) x+ ~ x=1> (y+Ay). SEGUNDO PASO. y+!y= f(x+~x)x+!x= 1> (y-t,1y) y = f(x)x = 1> (y)~ y= f(x+~x)- f(x) ~x =1> (y + ~y) - 1> (y).~y f(x+~x)-f(x)~x _ 1>(y+ ~y) - 1>(y)Tlc l tC~~R PA SO.~x ~x~y-~y Mu ltiplicando e:-;Las ra zo,n es , Lomando las formas d e la izquierda,tenemos: l1y I1x - -=1 11~:l1y ,~y =-I1x~xAy CUARTO PAS.Cuando Ax-;O, entonces, en general, tamhin[). y -;. O. Pasando al lmite, dy1(e)segn (3), Art. Hi dx = dxdy1(n)f(x) = cf>/{y) La derivada de la funcin inversa es igual al1ec proco de la derivadade la funcin directa. 67. http://carlos2524.jimdo.com/REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS 49 40. Funciones implcitas. Cuando se da una relacin entre x y ypor medio de una ecuacin no resuelta para y, entonces y se llamafuncin implcita de x. Por ejemplo, la ecuacin (1 )X2 -4Y = Odefine y como funcin implcita de x . Es claro que por medio de estaecuacin x se define igualmente como funcin implcita de y.A veces es posible resolver la ecuacin que define una funcin impl-cita con respecto a una de las variables, obteniendo as una funcinexplcita. As, por ejemplo, la ecuacin (1) puede resolverse con res-pecto a y, obtenindose1Y= - x2 , 4donde aparece y como funcin explcita de x. En un caso dado,sin embargo I puede ocurrir que semejante resolucin sea imposible I odemasiado complicada para una aplicacin cmoda. 41. Derivacin de funciones implcitas. Cuando y se define comofuncin implcita de x I puede no ser conveniente (como hemos dichoen el artculo anterior) el resolver la ecuacin para obtener y comofuncin explcita de x, o x como funcin explcita de y. Entonces para calcular la derivada seguimos la siguiente regla: Derivar la ecuacin, trmino a trmino, considerando y corno funcinde X, y de la ecuacin resultante despejar~~ . La justificacin de este mtodo se dar en el Artculo 231. En laderivada pueden sustituirse solamente los valores correspondientesde x y y que satisfacen a la ecuacin dada. Apliquemos esta regla en hallar ~; en la funcin Tendremos: dd d- (ax 6) + .- (2X3 y ) - - (y7:x;) = -d (10);dx dxdxdx6 ax" + 2 x a dy + 6 x2y --dx y7 - 7 xy6 dI} ~ = dx O. )(2 x 3 -7 xl;) dy = y7 - 6 ax .- 6 xly ; dx 68. http://carlos2524.jimdo.com/50 CALCULODIfERENCIALREGLAS PARADER 25. Demostrar que las parY desneu de dy espejan O dxresulta:tan en ngulo recto.dy _ yl - 6 ax5 -6 :J.;~y26.Demostrar que las cirdx -2 x3-7 xl x2 -- y2 -1- 2 x -1- y = 10 son t 27. Bajo qu nguloco rt:El estudiante debe notarque, en general,el resultado contendrtanto u T como a y.Si f (x) 28.y

(x) puede dibujarseconstruya la izquierda 90 alrededor del PROBLEMAS Hallardy para cada una de las funcionessiguientes: PROBL dx1.1. El vrtice de la parbode la parbolaes un extremoparbolay la elipse se cortan er d,y _2.y = V 2 u-u2, U= x3 - X. dx -(3 x2 -1) .2. Se traza un crculo de b -- X3.y._--- au1I=~-- . d Y =~4.,-::..ab=-- _ _c o r t a en ngulo recto a la elipsea-1-(1 b -- x dx(,,-I-lI)2(b--X)24.lI=VI-x2.".J! e/x 3. Se une un punto cualeque estas rectas forman con la (~!!.= __--=l__5.15 x15 Y -1- 5 y" -1- 3 y". dx1 + y2 + y 4. Demostrar que . recta dy6 y%f.. x = Vy -I--Y;;.--- = --,-;--. il x 3y ...I;--2 n i amc e n te si se vcr if ica que t.l. y2= 2 px . 13. x" -1- 3x2y-1- y~ = (. 5. Hallar la ecuacin de la8.x2+ y2=(2.H. .v +- 2V--::Y +y= (/. cualquiera.Demostrar que la >9.b2 x2 -1-a2y2 =a2 1>2. 15.x2-1-aV---;;y -1-y2 = b>. dividida en la raznm porel n 10.V~+ Vy= V~.16. x4+4x3l+y4=20. 17. ax3 - 3 b2xy -- cy3 = 1. 11. 2xl3 + yl32/ =2/a/3 .6.Si k es la pe n dren .e de demostrar que su ecuacin es y 12.x3 - 3 axy + y3= O. 18. ~-I-~~ = 6.de los puntos de interseccin d ecuacin x2 -1- y2 = a2 - b2. Hallarla pendiente de cada una de las siguientescurvasen el punto dado. 19.x2 + xy -1- 2 y2 = 28;(2, 3) .Sol.- );:1. 20.x3 - 3 x q? -1- y3 = 1 ;(2, -1) . ~t. 21. V2x+ ../3Y= 5; (2,3) . 22.x2-2Vxy-l2 = 52 ;(8,2) .23.x3 - ax q +3Cl9:!. = 3 a3; (a,a) . 21, x2 -xVxy - 2 l2= (,;(4, 1) . 69. http://carlos2524.jimdo.com/ REGLAS PARA D ERIVAR FU N CIONE S ALGEBRA ICAS51 25. Demo s trar que las parabolas y2 = 2 p x + p2 Y y 2 = p2 - 2 px se cor-tan e n ngulo recto.26. Demostrar que las circu nf erencias X2 + y 2 - 12 x - 6 y + 25 = O yX 2 + y2 + 2 x + y = 10 son tangentes en e l punto (2, 1). 27. Bajoqu ngulo corta la recta y =2x alacurvax 2 -x y+2 y2=28?28. Si f (x) y " (y) son funciones in ve rs as, demostrar que la grfica d e" (x) puede dibujarse construyendo la grfica de -f (x) y haciendo girar staa la izquierda 90 a lr ede dor del origen.PROBLEMAS ADICIONALES 1. El vrtice de la parbola y2 = 2 px es el centro de una elipse. El focode la parbola es un extremo de uno de los ejes principales de la elipse, y laparbola y la elipse se cortan en ngulo recto. Hallar la ecuacin de la elipse.Sol.4X2+2y2=p2. 2. Se tra za un circulo de centro (2 a . O) con un radio tal que el crculoCOrla en ngulo recto a la elipse 1> 2 x 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 Hallar el radio. Sol. 3 . Se un e un punto cualquiera P d e una e lip se con los focos. Demostrarque es tas re c ta s fo rman con l a n or mal a la curva en P ngul os a g udos igual es. 4.D e m ost ra r qu e l.1 re cta Bx + Ay = AH es tangente a la elipseni ca ment e si se verifica que IF,, 2 + .tP2 = A2/F. 5 . Hallar la Hitacin de la tangente a la curva xmyll = u m + 1l en un puntocua lquiera. Demostrar que la parte de tangente comprendida entre los ejes quedadi v idida en la ra z n m por el p unto de contacto. nSol. mYI (x - XI)+ nx (y -YI) = o. 6.Si k es l a pendlerLe d e una tangente a la hip rbola b 2 x2 - a 2 y2 = u 2b 2.,demostrar qu e s u ecuacin es y = kx V a 2 k 2 - b 2 , y que el lugar geomtricode los puntos de interseccin de las tangentes perpendiculares est dado por laecuacin X 2 + y2 = a 2 - b 2 . 70. http://carlos2524.jimdo.com/ CAPITULO VAPLICACIONES DE LA DERIVADA 42. Direccin de una curva. Se ha demostrado en el Articulo 28que siy = f(x)es la ecuacin de una cu rva (fig. 8), en tonces:~ =pendiente de la tangente a la curva en P (x, y). y B x AF ig .8Fig.9 La direccin de una curva en cualquier punto se define como ladireccin de la tangente a la curva en este punto. Sea T = inclinacindE la tangente. Entonces la pendiente = tg T, Y : : = tg T =pendiente de la curva en cualquier punto P (x, y). En los puntos como D, F, H, donde la direccin de la curva esparalela al eje de las x y la tangente es horizontal, se tiene dyT = O; lu ego dx = O. 71. http://carlos2524.jimdo.com/ APLICACIONES DE LA DERIVADA 53 En los puntos como A, B, G, donde la direccin de la curva esperpendicular al eje de las x y la tangente es vertical, se t.iene7" = 90 ; luego ~~se hace infinita.EJ EM PLO 1.- 33Dada la curva y = x - X2 +2(fig. 9). hallar:a)La inclinacin. cuando x = l.b)El ngulo. cuando x = 3.c)Los puntos donde la direccin de la cur va es paralela a OX.d)Los puntos donde T = 45.e)Los puntos donde la direccin de la curva es paralela a la recta 2:< - 3 Y = 6 (re cta AB).Solucin.D er ivando . dy = X2 - 2 x = tg "dxa)Cuando x = 1. tg = 1 - 2 = - 1; luego" = 135 .b)Cuando x = 3. t g T = 9 - 6 = 3; luego. = 71 34.c) Cuando .=0. tg.=O: luego x2 -2x=0. Resolviendo estaec uac in. obtenemos x = O 2 . S ustituy endo estos valores en la ecu,lcin 2de la curva. hallamos y = 2 cuando x = O. y =3" cuandox = 2. Por tanto .las tan gentes ene(o . 2) y D(2 .+) son paralelas al eje OX.d)Cu.lnoT = 45" . tg e = l. lu ego: 2, f (x) es positiva, y j (x)es creciente. Estos resultados concuerda n con las conclusiones deducidas conayuda de la grfica (fig. 21). 46. Mximos y mnimos de una funcin; definiciones. Un valorde una funcin es un mximo si es mayor que cualquiera de los valoresque le anteceden o le siguen inmediatamente. Un valor de una funcines un minimo si es menor que uno cualquiera de los valores que leanteceden o le siguen inmediatamente. Por ejemplo, en la figura 21, es evidente que la funcin tiene unvalor mximo MA (= y = 2) cuando x = 1, y un valor mnimoN R (= y = 1) cuando x = 2.E l estudiante observar que un mximo, as defin ido, no es, nece-san:amente, el mayor valor posible de una funcin, ni un mnimo tiene que ser el menor de todos. * En efecto,y en la figura 21 se ve que la funcin (= y) tiene valores a la derecha de B que son mayores que el mx imo MA , y valores a la izquierda de A que son menores que el mnimo N R . Si j (x) es una funcin crecien te de x cua.ndo x es ligeramente menor que a, pero es una funcin decreciente de xx cua ndo x es ligeramente mayor que a, es decir, si j(x) cambia de sig no pasando ele + a - a l aum enta.r x a travs de a, en [,on ces f (x) ticne un mximo Fig. 2 1 cuando x = eL. Luego, :-Ji f (x) es con-tinua, debe anularse cuando x = a.As, en el ejemp lo anterior (fig. 21) en e, f(x) es positiva;enA ,j(x)=O; enD,j(x) es negativa .." N . del T . Por es to a lg un os autores les ll ama n re/oliuo s a estos m ,lx i-mos y mnim os. 83. http://carlos2524.jimdo.com/APLICACIONES DE LA DERIVADA 65Por otra parte I si j (x) es una funcin decreciente cuando x esligeramente menor que a I pero es una funcin creciente cuando xes ligerament.e mayor que a; es decir I si j (x) cambia de signo pasandode - a+al aumentar x a travs de a, entonces j(x) tiene unmnimo cuando x = a. Luego I si j (x) es continua debe anularsecuando x = a.As I en la figura 21 I en D, j (x) es negativa; en B I j (x) = O;en E, j(x) es positiva.Podemos formular I pues I las condiciones generales siguientes paramximos y mnimos de j (x) : f(x) es un mximo si f(x) = O Y f(x) cambia de signo pasandode +a - . f(X) es un mnimo si f(x) = O Y f(x) cambia de signo pasandode - a+.Los valores de la variable independiente que satisfacen la ecuacinj (x) = O se llaman valores crticos; as I segn (2) del Art.culo 45 Ix = 1 y x = 2 son los valores crticos de la variable para la funcincuya grfica es la figura 21. Los valores crticos determinan puntos decambio donde la tangente es paralela a OX.Para det,e rminar el signo de la primera derivada * en puntos vecinosa un punto de cambio, basta sustituir en ella en primer lugar un valorde la variable ligeramente menor que el valor crtico correspondiente Iy despus un valor ligeramente mayor.Si el primer signo es + y el segundo - , entonces la funcin tieneun mximo para el valor crtico que se considera. Si el primer signo es- y el segundo + entonces la funcin tiene un mnimo. Si el signoIes el mismo en ambos casos I en tonces la funcin no ti.~ne ni mximoni mnimo para el valor crtico que se considera.Consideremos) por ejemplo I la funcin (1) del Artculo 45. (1 ) y = j(x) = 2 x 3 - 9 X2 + 12 x - 3.Segn vimos, (2)f(x) = 6(x-1) (x - 2). Resolv iendo la ecuacin j (x) = O, hallamos los valores crticosx = 1, x = 2. Consideremos primero el valor x = 1. Sustituiremosen el segundo miembro de (2) valores de x cercanos a este valor * Por lo que veremos en el capitulo siguiente, a la derivada fl (x) de ucafuncin r (x) se le lLlma tambin primera derivada. 84. http://carlos2524.jimdo.com/66 CALCULO DIFERENCIALcrtico y observaremos los signos de los factores . (Comprese con lovisto en el Articulo 45 . ) x y Cuando x< 1, ji (x) = (- ) (-) +. Cuando x> 1, f(x) = (+) (-) 2 Luego f (x) tiene un mximo cuando x = 1. Por la 2 tabla adjunta vemos que este valor es y = f (1) = 2.Veamos ahora lo que ocurre para x = 2. Procede-remos como antes, tomanclo en este caso valores de x prximos alvalor crtico 2.C uando x < 2,f (x) (+)( - ) = - .Cuando x> 2,f (x) (+ ) (+) = +.Luego f(x) tiene un mnimo cuando x = 2. Segn la. tabla anterior,este valor es y = f(2) = 1 .Estos resultaclos se resumen en la siguient0, regla, que sirve de guo,en las aplicaciones. 47. Primer mtodo para calcular los mximos y mnimos de unafuncin. Regla gua en las aplicaciones. PRIMER PASO.Se halla la primera derz:vada de la funcin. SECUNDO PASO. Se iguala la primera derivada a cero, y se hallanlas races reales de la ecuacin resultante. Estas races son los valorescrticos de la variable.TEHCER PASO. Se consideran los valores crticos uno por uno, y secalculan los signos de la primera derivada, en primer lugar para un valorun poco menor * que el valor cTlico y despus para un valor un pocomayor que l. Si el signo de la derivada es primeramente+ y des-pus - , la funcin tiene un mXZ:mo para este valor crtico de la variable;en el caso contrario, tiene un mnimo. Si el signo no cambia, la funcinno tiene ni mximo ni mnimo para el valor crtico considerado .En el tercer paso, a menudo conviene descomponer f(x) en facto-res, como se hizo en el Artculo 46. EJEMPLO l.En el primer problema que se resolvi en el Artculo 44.vimos, por medio d e la grf ic a de la funcinA=xV IOO - x 2,* En este caso, cuando decimos u n poco menor" queremos indicar cual-quier va lor entre la raz (valo r crtico) que se considera y la raz inferior a ellams prxi m a; y " un poco mayor" significa cualquier va lor entre la ra z quese co n sidera y la prxima mayor. 85. http://carlos2524.jimdo.com/APLICACIONES DE LA DERIVADA 67que el rectngulo de rea mxima inscrito en un circulo de 5 cm de radio tieneuna rea = 50 cm 2 . Ahora podemos obtener el mismo resultado analticamente.aplicando la regla que acabamos de dar. Solucin. f(x) = xV 100-x 2 100 - 2 x2 Primer paso.f (x)VIOO-x 2Segundo paso. Resolviendo la ecuacin f (x) = O. tenemos:x= 5V2 = 7.07.que es el valor cntlco. Se toma solamente el signo positivo del radical. pues-to que el signo negativo carece de sentido por la natur a le za del problema. Tercer paso. Cuando x< 5 V2.entonces 2X2 5 V2. entonces 2X2>100. y f (x) es Puesto que el signo de la derivada cambia de+a -. la funcin tiene unvalor mximo f (5 V2) = 5V2 . 5 V2 = 50. EJEMPLO 2. Calcular los mx i mos y mnimos de la funci"n (x - 1)2 (x+ 1)3.y xFig. 22 Solucin.f(x) =(x _1 )2 (x+ 1)3. Primer paso. f(x) =2(x- l ) (x+I)3 + 3(x-I)2 (x+I)2= (x - 1) (x +1) 2 (5 x - 1) . Seg Zwdo paso. (x - 1) (x+ 1) 2 (5 x - 1) =O. Luego x = 1.- l.%.son los va lore s crticos . Tercer paso. f(x)=5(x - 1) (x + 1)2 (x-}O. Examinemos primero el valor crtico x = 1 (C en la figura 22). Cuando x< 1. f(x)=5(-) (+)2 (+) Cuando x > 1.f(x)= 5(+) (+)2 (+)+. Luego. cuando x = I la funcin tiene un va lor mnimof(l) = O (= la ordenada d e C). 86. http://carlos2524.jimdo.com/68 CALCULO DIFERE NC IAL Examinemos aho ra el v alor crit i co x = ~ ( B en la figura ) . 5C u a nd o x < ;1.{(x) :a:: 5 (-)(+)2 ( - ) =+.C u a ndo x >~. ( +)2 (+) = - . ++)( (x ) = 5 ( -) Luego, c uand o x = la funcintiene un valor mximo f ( = J, J I( = la ordenada de B). Examinemos, por ltimo, d valor critico x = - 1 (A en la figura). C uando x < - 1. ((x) =5 ( -) (_) 2 (-) = +. C uando x> -1. ((x) = 5( -) ( + )2 ( - )= + . Luego, cuando x = -1 la fu n ci n no tien e ni mximo ni mnimo. 48. Mximos o mnimos cuando f(x) se vuelve infinita y f(X)es continua. Consideremos la grfica de la figura 23. En B o G, f ( x)Fi g. 23es continua y t.iene un valor maXllllO, pero f(x ) :;e vuelve infinita,puesto que la t.angen te en B es paralela al eje de las y. En jI,, f (x)tiene un valor mnimo y otra vez f(x) se vuelve infinita. Por tanto,en nuestra di scusin de todos los valores mximos y mnimos posiblesde f( x), debemos incluir t ambin como valores crticos los valores de xpara los que f (x) se vuelve infini ta , o lo que es lo mismo, los valo-res de x que satisfacen la ecuacin.-1(1)f (x) = O. Por consiguiente, el segundo paso de la regla dada en el Artculo 47deber modificarse teniendo en cuent.a lo que representa la ecua-cin (1). Los otros pasos no se alteran.En la figura 23 obsrvese que f (x) se vuelve tambin infinitaen A, pero la funcin no tiene en A ni un mximo ni un mnimo. EJEMPLO.Determinar lo s m xi mos y mnimos de la f uncina - b (x - c )% . 87. http://carlos2524.jimdo.com/ APLICACIONES DE LA DERIVADA 69Solucin. {(x)(1- b(x-c) ";.py2 [, ((x)3 (x - c) Ji3(x - c) J(. f (x) 2bePuesto que x = e es un valor critico para el1 Fig. 24que - - -=0 . (yf(x)=oo) . pero para el que f (x)f (x) no es infinita . veamos si cuando x = e la funcin tiene un mximo oun mnimo .Cuando x < c. f (x)+.Cuando x>c, f(x)Luego, cuando x e= OM.(fig. 24) la funcin tiene el valor mximo 1(r)=a=JvtP.PROBLEMASCa lcul ar los mximos y mnimos de cada una de las funciones sig uien tes : 1.Xl - 6 X2 +9 x.Sol. Mx. = 4 para x = . Min. =0 para x = 3.2. 10 + 12x - 3 X2 - 2 x" .1l x . = 17 para x = . Min. = - 10 para x1 3.2 x" +3 X2 + 12 x - 4 . No tiene ni mximos n minim os.4. xl +2 X2 - 15 x - 20. Min. = O para x= O. Mx. para x l. 6.x - 4 x .Mn. 3 p3ra x = .7. x - X2 + l.8. 3 x-4 xl -12 X2. Min. = - 5 para x = - l. Mx. = O para x = O. Min. = - 32 para x = 2.9. x5 - 5 x.Mx.= O para x = O. Min . = - 256 para x = 4. 10. 3 x 5 - 20 x". Mi n.3 (12 par" x = (l. 12. 2 x 88. http://carlos2524.jimdo.com/70 CALCULO DIFERENCIALAPLICACIO 13.x2 +~. Sol. Mn.= 2 a2 parax = a. 30. ea - x)3 x2 a-2x 14.axMn.= - 31 para x = -a.31. x2 + X - lx2+a2Mx.= 31 para x = (/.x2 - X +l x2 15.x + a 49. Problemas sobre m; debemos primeramente halla] 16.x2 mtica de la funcin cuyos vx2 +a Z como hemos hecho en los ( 17.x~ + 2 a2Esto es a veces bastante di x2 + a2 los casos, pero en muchos 18. (2+x)2(1-x)2. guicntes 19. (2 + .x ) 2(l - x) 3.Instrucciones generales. 20.b+c(x-a)%.Mi n ,= b para x = Q.a) Determinar la funci 21.a - b(x _. c)Y,.No tiene ni mximo ni minimo.b) Si la expresin rest 22. (2 + x) y, (1 - x)%. Mn.= O parax = 1. condiciones del problema proMx.= 1"4 =1,6 para x = - l.variables para que la funcin 23. x(a+x)2(a - X)3. Mx. = O para x = - a. variable.Mn. = - 2%4 a6 parax= - Y2 a.c) A. la [uncion resultanMx. = 12%29 a para 6 x = 7~ a.tculo 47 para el clculo de mi Para el valor crticox = a, la fun-d ) En los problemas pflcinno tiene ni mximo III de los valores crticos dar unmnimo.no siempre es necesario aplica 24.(2 x - a) y, (x - a)%. Mx.= ~ a para x = %a.e) Conciene construir le Mn.= O para x = a. resultado obtenido. Parael valorcrtico x = Y2 Q,lafuncin no tiene ni mximoIII El clculo de mximos y ;mnimo.la ayuda de los siguientes pri x+2 de lo anteriormente expuesto 25.Mx. = Y2 para x = O. x2 +2 x +4 Mn. = - %. para x = - 4.a) Los mximos y mini 26.x2+x +4Mx.= - 5 para x = - 3. alternativamente.x+lM n .= 3 para x = l. b ) Cuando e es una con x2x 4 + + mnimo para los valores de x 27.Mx.= %para x = - 2.x2+2 x +4para otros.Mn.= %para x = 2. 28,(x - a)(b - x)Mx. "" (b-a)2 parax=~.Por tanto, al determina x~ 4 ab a+b regla para ver si se trata de factores constantes.29.a2 b-+--. 2M n.= (a + b)2paraax=--.2 xa-xaa+b Cuando c es negativa, c f(Mx. = (a - ~para x = ~. y recprocamente. aa - b 89. http://carlos2524.jimdo.com/ APLICACIONES DE LA DERIVADA7130.Ca - x) 3Sol. Mn. = 2~~2 02 para x =!!... a - 2 x 431.X2 + X - 1X2 - X + 1 49. Problemas sobre mximos y mnimos. En muchos problemasdebemos primeramente hallar, a partir de los datos, la expresin mate-mtica de la funcin cuyos valores mximos o mnimos se desean, talcomo hemos hecho en los dos ejemplos resueltos en el Artculo 44.Esto es a veces bastante difcil. Ninguna regla es aplicable en todoslos casos, pero en muchos problemas podemos guiarnos por las si-guientes Instrucciones generales.a) DeteTminar la fun cin cuyo mximo o mnimo se desea obtener .b) Si la expresin resultante contiene ms de una variable, lascondiciones del problema proporcionarn sujientes relaciones entTe lasvariables para qu e la funcin pueda expTesarse en trminos de una solavariable.c) A. la funcin resultante se le aplica la regla que se di en el Ar-tculo 47 para el clculo de mximos y mnimos.d) En los problemas plcticos, muchas veces se ve con facilidad culde los valores crticos dar un mximo y cul un mnimo; en consecuencia,no siempre es necesario aplicaT el teTcer paso.e) Conviene constTuir la grfica de la funcin para comprobar elresultado obtenido.El clculo de mximos y mnimos puede a menudo simplificarse conla ayuda de los siguientes principios, que se deducen inmediatamentede lo anteriormente expuesto.a) Los mximos y mnimos de una funcin continua se presentanalternativamente.b) Cuando c es una constante positiva, c fe x) es un mximo o unmnimo para los valoTes de x que hacen a fe x) mxna u mnima, y nopara otros.Por tanto, al determinar los valores crticos de x y al aplicar laregla para ver si se trat.a de mximos o mnimos, pueden omitirse losfactores constantes. Cuando c es n egativa, cf( x) es un mximo cuando f (x) es mnima,y recprocamente. 90. http://carlos2524.jimdo.com/72CALCULO DIFERENCIAL c) Si c es constante, f (x) y c + f( x) tienen valores mximos ymnimos para los mismos valores de x. Por tanto, al hallar valores crticos de x y a l aplicar la reglapueden omitirse los t.rminos constantes. PROBLEMAS 1. De una pieza cuadrada de hojalata de lado a (fig . 25) . se de sea conslruiruna caja. abierta por arriba . del mayor volumen posible. cortando de las esqui -nas cuadrados iguales y doblando hacia arriba la hojalata para form ar las caraslaterales. Cul debe ser la longitud del lado de los cuadrados cortados Solucin. Sea x= lado del cuadrado peq ue o = pr of undidad de la caja;a-2xlado del cuadrado que fOfma el fondo de la caja .yvCa - 2 X)2X es el volumen de la caja.Queremos calcular el valor d e x para el cual esta funcin V es un mximo.Aplicando la regla CArt. 47). tendremos: Pri mer paso. dV = (a - 2 x) 2 .-4 x ({ - 2 x)=a2 - 8 ax + 12 X2. dx Segundo paso.Resolvi en do la ecuacin a 2- 8 ux + 12X2 = O. se obtie -nen 1os va 1ores cntlcos x ..= u T a y 6 Se ve. por la figura 25. que x = 3... da un mnimo . puesto que en ese caso2toda la hojalata se quitara y no quedara material para constru ir l a caja.3A pican d o l a reg l a. se h a 11 a que x = 6 d a e 1 vo 1um en nuxlmo U. L uego la .. 2ae l lado del cuadrado que se ha de cortar es un sexto del lado del cuadrado dado. En este problema y los siguientes . se recomienda a l estudian te el trazado de lagrfi ca. Fig. 25Fig. 262. Suponiendo que la resistencia de una viga de seccin lransversal rectan-gular es directamente proporcional a la anchura y al cuadrado de la profundidad. cules son las dimensiones de la viga de mayor resistencia que puede aserrarsede un tronco redondo de dimetro d? 91. http://carlos2524.jimdo.com/APLICACIONES DE LA DERIVADA 73 Solucin. Si x = la anchura y " = la prof undid a d . e nt o n ces la v iga ten-dr.l res i s t e n cia m x im .! cuando la funcin .::,,2 es m x im a . De la figura 26 selh duce !J~ = ([2 - x~; luego deb e m os trab a jar con la funcin (e x )X(J2 -X2).Pri mer paso.f (x)- 2X2+d 2 -- X2 =d~ - 3 x2.Segu n do paso. x=V3 d I = va or . CriticOque co rres -ponde a un mximo.P o r tanto. si la v iga se corta de man e ra queprof undidad=~+ del dimetr o de l tronc o.ya n chur a = J~ d el dilimetro delt ron co .la viga t end"j mxima resist e ncia. 3. C ul es e! ancho de! rec t n g ulo de rea mxima que puede ins c ribirse enun seg mento d a do OAA (fi g. 27) d e un a p arbola ?SUGESTIO . Si OC = h . entonces Be = h - x y PP = 2 y: po r ta nt o.el rea d el rect n g ul o PD DP I es 2 ( h - x ) y.Pero P es un punto de la parbola 1 2 = 2 px ; por co n sig ui e n te. la f un ci n porestudiar esf ex) = 2 (17 - x) V 2 IJX .Sol.Ancho% h.BxoFig.27Fig. 28 4. Hallar la altura del cono de volumen mximo que puede inscribirse enuna esfera de radio r.SUGESTION . V o l u me n de l cono = Ya1tX 2 y (fig . 28). Pero X2 = BC X CD= y (2 r -y) ;luego la funcin por tratar esr ey) T yl (2 r - y ).So l.Altura del cono= Ya f. 92. http://carlos2524.jimdo.com/74CALCULO DIFERENCIAL 5. Hallar la altura del cilindro de vol umen mximo que puede inscribirseen un cono circular recto dado. SUGESTION. Sea AC = r y BC = h (figu- 8 -------1ra 29). Volumen dc cilindro = Jtx 2 y.Pero de los tringulos semejantes ABe y DBG, se deduce r:x=h:h-y, h Por tanto , la funcin por estudiar esr2f (y) = - y ( h -y)2.h2Sol.Altura = ~h.6. S i trcs lad os de un trap ec io miden cada uno 10 cm, cunlo debe mcdir c cuarto lado para que Fig . 29el rea sea m x ima ? Sol. 20 cm. 7. Se desea construir un a va lla alrededor de un campo rectan g ular , y divi-dirlo en dos parcelas por otra valla paralela a un o de los lados . Si el rea de!campo es dada, hallar la razn de los lados para qu e la longitud total de las vallassea la mnima.Sol. %.8. Una huerta rectangular ha de proyectarse alIado del solar de un vec ino ,y ha de tener un rea de 10 800 m etros cuadrados. Si el ve cino paga la mitad dela cerca medianera, cules deben ser las dimen sio ne s de la huerta para queel costo de cercarla sea para el dueo de la hu erta el mnimo ?Sol. 90 m X 120 m. 9. Un fabricante de ra dios averigua que puede vender x instrumentos porsemana a p pesos cada uno, siendo 5 x = 375 - 3 p . El costo de la produccines (500 + 15 x + % X2) pesos. Demostrar que se obtie n e la m x ima gananciacuando la produccin es alrededor d e 30 instrumentos por semana. 10. Si en el problema anterior se supone que la relacin entre x y p es x = 00 - 20 ~~,demostrar que la produccin que corresponde a una ganancia mxima es la deunos 25 instrumentos por semana. 11. Si en el problema 9 se supone que la relacin entre x y p esX2 = 2 500 - 20 p,cuntos instrumentos deben producirse cada semana para obtener la mximaganancia ? 12. El costo total de producir x artculos por semana es (ax 2 + bx + e)pesos, y el precio (p pesos) al que cada uno puede venderse es p = i3 -Cl.X 2 Demostrar que la produccin total para la ganancia mxima es vi a 2 + 3 o. (13 - b) - Qx=30. NOTA. En las aplicaciones a la Economa, los nmerosQ, b , c, o. y 13 sonpositivos. Lo mismo ocurre en el problema 14. 93. http://carlos2524.jimdo.com/ APLICACIONFS DE LA DERIVADA75 13. En el problema 9. supngase que el gobierno imponga un impuestode t pesos por instrumento. El fabricante agrega el impuesto a sus gastos decosto y determina la produccin total y el precio en las nuevas circunstancias. a) Demostrar que el precio aumenta un poco menos que la mitad del im-puesto. b) Expresar los ingresos debidos al impuesto en funcin de t. y determinarpara qu valor del impuesto la ganancia es mxima. e) Demostrar que cuando se establece el impuesto determinado en eb). elprecio se aumenta alrededor de un 33 por ciento.14. El costo total de producc i n de x artculos por semana es(ax 2 + bx + e) pesos.a lo cual se agrega un impu esto de { pesos por artculo. decretad o por el gobierno.y rl precio (p pesos) a que cada artculo puede venderse es {3 - a x . Demostrarque el mximo retorno del impuesto se consigue cuando t=Y, ({3 - b) Y queel aumento del precio de venta sobre el costo es siempre menor que el impuesto. Nota: En aplicaciones a economa, a, b, e, a, {1 son nmeros positivos. 15. Una planta productora de acero puede producir por da x Tm de acerode segunda cl ase . y y Tm, por da, de acero de primera clase. siendoy = 4~0 -=..5 x. Si el precio corriente del acero de segunda clase es la mitad delxde primera , demostrar que el mximo beneficio se obtiene produciend o alrededorde 5. 5 toneladas diarias de acero de segunda clase .16. Una compaia de telfonos halla que obtiene una ganancia lquida de 15pesos por aparato si la central tiene 1000 abonados o menos. Si hay ms de 1 000abonados. dicha ganancia por aparato imta1ado disminuye un centavo por cadaabonado que sobrepasa ese nmero. Cuntos abonados darian la mxima ganancialquida?Sol. l250. 17. El costo de fabricar ci e rto artculo es p pesos. yel nmero que puedenvenderse vara in v ersamente con la potencia en sima del precio de venta. Calcu-lar el precio de venta que dar la mayor ganan cia lquida. np Sol.-;;--=1 . 18. I-iai ar el dimetro de un bote cilndrico de hojalata de un litro decapacid ad. para que en su construccin entre la menor cantidad de hoja lata.a) si el bote es abierto por arriba; b) si el bote est tapado. - 3/- ~ .Sol.a) 8 It dm. . b) j~dm.19. El rea lateral de un cilindro circular recto es 411: metros cuadrados. Delcilindro se corta un hemisferio cuyo dimetro es igual al dimetro del cilindro.Calcular las d i mensiones del cilindro para que el volumen que queda sea un m-ximo o un mnimo. Determinar si es mximo o mnimo.Sol. Radio = 1 m. altura = 2 m; mximo. 20. Hallar el rea del mayor rectngulo, con lados paralelos a los ejes coor-denades. que puede incribirse en la figura limitada por las dos parbolas3 y = 12 - X2 y 6 y = X2 - 12.Sol. 16. 94. http://carlos2524.jimdo.com/76 CALCULO DIFERENCIAL 21. Dos vrtices de un rectngulo estn sobre el eje de las x. Los 01 ros dos, nices eS l n sobre las rectas cuyas ecuaciones son y = 2 x y 3 x y = 30.+ P.uJ qu valor de y ser mxima el rea del rectngulo?Sol. y=b.22. Una base de un trapecio isscele s es un dimetro d e un circulo der,ldio u. y los extremos de la otra base estn sobre la cir c unfHen cia . Hallar lalongitud de la otra base para que el rea sea mxima.Sol. u. 23. Un rectngulo est inscrito en un se g mento de parbola y un lado delrectn g ulo es t en la base del segmento. Demostrar que la ra z n del area del rec-tngulo mximo al rea del segmento esv1T 24 . La re s istencia de una vig a rectangular es proporcional ai produclo delancho por el cuadrado de su espesor. Calcular las dimensiones de la v iga m sresistente que puede cortarse de un lronco cu y. seccin tr .llIs vers.1 es una elipsede slmicjcs el ( m.yol) y b (menor ). Sol. Anchura = 2 1> ~+; espe so r = 2u ~. 25. La rigidez de una viga rectangular es proporcional a l producto de laanchura por el cubo del espesor. Calcular las dimensiones de la viga ms rigidaque pueda cortarse de una troza cilindrica de radio a. Sol. a X a/1. 22 26. La ecuacin d e l a tray ec toria de una pelota es y = m x _(m +l )x 200tomndose el origen en el punto desde e l cual se lan z a la pelota . y siendo m lapendiente de la curva en el origen; a) Para qu valor de m caer la pelota .en el mismo nivel horizontal. a la mayor distancia? b) Para qu valor de mdar a la mayor alt ur a en una pared vertical a la distancia de 75 metros!Sol. u ) 1; b) %.27. Una ve ntana tiene la forma de un rectn g ulo coronado d e un trin g ulorec t ngulo issceles . Demostrar que si el perm e tro es p metros . la mayor can-tidad de luz entrar cuando los lados del rect n g ulo sean i g uales a los catetos deltringulo .28. Dada la suma de las reas de una esfera y un cubo. demostrar que 1.1suma de sus volmenes ser mnima cuando el dimetro de la esfera es igual ala arista del cubo. Cundo ser mxima la suma de los v olmenes? 29 .Hallar las aimensiones del mayor rectngulo que pueda inscribirse en la .elIpse -X2a2 +-y2b 2= l. Sol. a../2X b../2 .30. Hallar el rea del mayor rectngulo que pueda construirse con su base enel eje de l as x y con dos vrtices en la cur va llamada bruja de Agnesi cuya ecua- .. 8 a3ClOn es y = X2+ 4 a 2 (vase la grfica de la curva en el Captulo XXVI) .2 Sul.4 rl 31. Hal l M la ra z n del re.n. 95. http://carlos2524.jimdo.com/ APLICACIONES DE LA DER IV AD f 77 32. Los dos v rtices inferi.o r es de un trapecio issceles son los puntos cuyascoordenadas son (-o. O) y (6, O). Los dos v rtices superiores estn e n lacurva X2 + 4 Y = 36. Hallar el rea del mayor trapecio que puede tra za rse deesta manera. Sol. 64. 33. Los radios de dos esferas son a y b y la distancia entre los centros es c.i Desde qu~ punto P en la recta de los centros AB es visiJle la mayor .lrea desuperficie esfrica? (El rea de una zona esfrica o casquete esfr i co de a l tura hes 2 rrrh, s iendo r el radio de la esfera.) So/ . unidad es de superficie. 34. Hallar las dimensiones del mayor paralelepipedo rectang ular con basecuadrada que puede cortarse de una esfera slida de radio f.Sol. h 2 = 3" fy -3.35. Dada un a es fera de ( cm de radio , calcular l a altura d e cada uno de lossl idos siguientes:a) ci lindro circular recto inscrito de volumen mximo; b)cilindro circular recto inscrito d e superficie total mxima;e) cono re cto circunscrito de "olumen m n imo. Sol .a}4y3 cm; b) 6,31 cm; e)2~ C I11.36.Del110strar que una tienda de campaa de forma cnica de capacidad dada. eXlglra la menOr ca ntidad de Ion,) cuando la altura es V2 ve ce s e l radio de la base. Demostrar tambin que s i se extiende la lona en un plano, se obtiene un sector circular de 207 0 51- ,e u .i nta lona se n eces itara para una tienda de 3 111 dealto Sol. 24,5m 2 .37. Dado un punto d el eje de la parbola y2 = 2 px a una distancia a del vrt ice, calcular la abscisa del punto de la curVa ms cercano al punto dad o . Sol. x=a-p .38.Hallar e l punto de la curva 2 y X2ms cercano al punto(4, 1). Sol. (2, 2).39. SI PQ es el segmento de recta m s lar go que se puede trazar de P(a, b)la curva y = F (x), o e l ms CO rl O, demostrar que PQ es perpendicular a latangente a la c urva en Q. 40. Una frmula para e! re ndimiento de un torni l lo es h (1 -h tg~) Rh+ tg ~s iendo O e l ngulo de rozamiento y h el paso del tornillo. Hallar h para ren-dimiento mximo. So/h = sec O - tg O 96. http://carlos2524.jimdo.com/78CALCULO CIFERENCIAL41. La distancia entre dos focos calorficos A y B (fig. 30) cuyas inten-sida des respecti vas son a y b, es 1. La intensidad total de calor en un punto P,entre A y B, se da por la frmulaAPB1 = ~_+------J X2 b(l-x)2Fig. 30 siendo x la distancia entre P y A. Para quposicin tendr P la tempera tura ms baja?a Y:; 1 Sol. x = .....-: a Y:;+ bY42. La base inferior de un trapecio ssceles es el eje mayor de una elipse;los extremos de la base s upe rior so n puntos de la el ipse. Demostrar que en eltrapecio de este tipo de ra mxima la longitud de la base superior es la mitadde la inferior.43. En la elipse b 2x2 + a 2y2 = a 2b 2 se ha de inscribir un tringulo isscelescuyo vrtice sea el punto (O, b). Hallar la ecuacin de la base correspond ient eal tringulo de rea mxima.Sol. 2 y + b = O. 44. Hallar la base y la a ltur a del tringulo issceles de rea mnima circuns-cr it o a b elipse b 2 x2+a 2 y2 = a 2 b 2 , y cuya base es paralela al eje de las x. Sol.Altura=3b, base=2aV1. 45. Sea P (a, b) un punto en el primer cuadrante de un sistema de ejes rec -tangulares. Trcese por P una recta que corte las partes positivas de los ejesen A y B. Calcu lar la longitud de OA y de OB en cada un o de los siguientesC.1S0S: a)cuando el rea OAB es mnima; b)cuando la longitud AB es mnima; e)cuando la suma de OA y OB es mnima; d)cuando la di stanc ia (perpendicular) de O a AB es maxlma. Sol.,,) 2a,2b; b) a+ a)"o b %,b+a%b Y. ;c)d)a50. La derivada como rapidez de variacin.* En el Artculo 23la relacin funcional (1 )di como razn de los incrementos correspondientes !1y ( 2)!1x = 2x + !1x.Cuando x4 Y i1x = O ,5, la ecuacin (2) se convierte en !1y (3) 8,5. !1xLlamada tambin razn de ca mbio o rapidez de cambio. 97. http://carlos2524.jimdo.com/ APLICACIONES DE LA DERIVADA 79Luego decimos que la rapidez media de variacin de y con respectoa x es igual a 8,5 cuando x aumenta desde x = 4 hasta x = 4 ,5. En general, la razn (A) ~y = oxrapidez media de variacin de y con respecto a x cuando xvara desde x hasta x+ /).x. Caso de rapidez constante de variacin.En el caso (4) y = ax+ b, /).ytenemos, /).X = a.Es decir, la rapidez media de variacin de y con respecto a x es iguala a, la pendiente de la rect.a (4), Y es const ante . En este caso, ysolamente en este caso, el cambio en y (/).y), cuando x aumentadescie un valor cualquiera x hasta x + /).x , es igual a /).X multiplicadopor la rapidez de variacin a.Rapidez instantnea de variacin. Si el intervalo de x a x + /).Xdisminuye, es decir, si /).X ---7 0 , entonces la rapidez media de la varia-cjcJn de y con respecto a x se convierte, en el lmite, en la rapidezinstantn ea de variacin de y con res pecto a x . Por consiguiente, segnel Artculo 24, (B) ~: = rapidez instantneade la vanacin de y con respecto a xpara un valor definido de x. Por ejemplo, de (1 ) se deduce,dy(5 )dx = 2 x. Cuando x = 4, la rapidez inst.antnea de variacin de y es 8 uni-dades por unidad de vari acin de x. Es frecuente que en la igua l-dad tB) se prescinda de la palabra "inst.antnea". Interpretacin geomtrica. Trace- 8 Symos la grfica (fig. 31) de la funcin (6)y = j(x) . ACuando x aumenta de OM a ON, en-tonces y aumenta de MP a N Q. Larapidez media de la variacin de y con o xrespecto a x es igual a la pendientede la recta secante PQ. La rapidez Fig. 31 98. http://carlos2524.jimdo.com/80CALCULO DIFERENCIALinstantnea cuando x= OM es igual a la pendiente de la tan-gente PT.Luego la mpidez instantnea de variacin de y en P (x, y) es iguala la mpidez constante de variacin de y a lo largo de la tangente en P.Cuando x = Xo, la rapidez instan tnea de variacin de y, o seade f(x), en (6), es f (XO). Si x aumenta ahora de Xo a Xo + Lx ,el cambio exacto en y no es igual a f ( Xo )Lx , a no ser f (x) constante,como en (4) . Sin embargo, veremos ms tarde que este producto es,aproximadamente, igual a L y cuando Lx es suficien temente pequeo 51. Velocidad en un movimiento rectilneo. Cuando la variableindependiente es el tiempo, se presentan aplicaciones importantes .Entonces la rapidez de v~riacin con respecto al tiempo se llamasimplemente velocidad. La velocidad en un movimiento rectilneo su-mini stra un ejemplo sencillo. Consideremos el movimiento de unpunto P (fig. 32) sobre la recta AB. Sea s la distancia medicta de---x > O. f /l ( x )x F i g . 41 Lu ego la cur v a es cnca v a ha c ia arriba a la iz quierda d e x = O ( A e n lafi g ur a 41) Y c n cav a haci a abajo a la der echa d e es e punto.Cuando O < x< %. f " ( x)Cuand o x > %. (/1 (x ) +. Lu eg o la CUrva es cncava ha cia abaj o a la iz quierda de x2 (B en la fi-g ura 41) Y c n ca va hacia arriba a la d e rech a d e ese punto .P o r tanto . l os plinto s A ( O. 1) Y B (%. v, ) son p un tos d e i n f lex i n .E vid ent e m ent e la c u rva es c n cav a ha cia a ba jo e ntre A (O. 1) y R O. )4 ;).y cOn Colv.l ha c ia a r r i b a en lo d os s u s p unto s sit uad os a l a iz qui e rd a d e A ya laderec ha d e H. 116. http://carlos2524.jimdo.com/98 CALCULO DIFERENCIAL 2.Hal l ar lo s pu nt os de inflexin yel se ntid o d e la concavidad de la curva(y - 2) 3 = (x - 4) . y Solucin.y = 2 +(x - 4) Y:I. Primer paso.dY=.l(x - 4) -% . dx 32 d y = _ ~ (x - 4) -% dX2 9Fig. 42S eg u n d o paso.Cuando x = 4. tanto la p rim era de-ri vada como la segunda se v u el ven i nfinitas. Ter ce r pa so .C u and o x< 4.2 d y = dX2 +.2 Cuando x>4. d y_ dX2 -Lu ego. po demo s concluir que la tangente en (4. 2) es perpendicular al ejede las x; que a la izq ui erd a de (4. 2) la cur v a es cncava h acia arriba . y quea la d erec h a de (4. 2) es c nc ava hacia abajo. Por tanto . (4. 2 ) es un puntode in f lex i n. 3.!I = X2.Sol. C n cava hacia arriba en todos sus p unto s. 4.Y = 5 - 2 x - X2.Cncava hacia abajo en todos su s p un tos. 5.!I = x 3 . C n cava hacia abajo a la izquierda y cncava hacia arriba a la derec ha de (O. O). (i. !I = x. Cn cava hacia arriba en todos s u s p untos. 7.tJ =2x 3 - 3 X2 - 3 x + 25. Cncava hacia abajo a la iz quierda y c n-cava ha cia arriba a la der ec ha d e x = ~. 8.!I24x 2-X 4 .9.LJ = x +Lx 10. y = x 2 +.l .x58. Mtodo para construccin de curvas dadas por su ecuacin.E l mtodo elemental de construir una curva cuya ecuaClOn se da encoord enadas rectangulares, mtodo al que el estudian te est ya acos-Lumbrado, consiste en despejar de la ecuacin una de las variables,?J (o x), da l .valores arbitrarios a x (o y), calcular los valores corres-pondientes de y (o x), sealar en el papel los puntos respectivos, y trazar por ello s una curva suave ; el resulta do ser una aproximacin a la eurv:l. deseada. Ese procedimiento es en todo caso muy la borioso;y cua ndo la ecuacin de la curva es de grado superior al segundo, pucdp. se r que no sea posible despejar de la ecuacin el valor clE~ y o de x. Ordinariamente, todo lo qu e se desea es t.ene r una idea 117. http://carlos2524.jimdo.com/ DERIVADAS SUCESIVAS D E UNA FUNCION99r1 e la forma general de una curva, yel Clculo diferencial nos SUlninis-tra mtodos para poder determinar la forma de una curva con muypoco clculo numrico.La primera derivada nos da la pendiente de la curva en cualquierpunto; la segunda derivada determina los intervalos dentro de loscuales la curva es cncava hacia arriba o hacia abajo, y los puntos dp.inflex in que separan estos intervalos; los puntos donde hay mximoson los puntos altos de la curva, y los puntos donde hay mnimo son lospuntos bajos. Como gua en su trabajo puede el estudiante seguir laregla siguiente: Regla para construccin de curvas, empleando coordenadas rectan-gulares.PRIMER PASO. Se halla la primera derivada; se ~guala a cero y seresuelve la ecuacin resultante al objeto de hallar las abscisas de los puntosmximos y minimos.SEGUNDO PASO.Se halla la segunda derivada; se iguala a cero y seresuelve la ecuacin resultante a fin de hallar las abscisas de los puntos deinflexin.TERCER PASO. Se calculan las ordenadas de los puntos cuyas absci-sas se hallaron en los dos primeros pasos. Se determinan tantos otrospuntos como se necesiten para tener una nocin suficientemente clara de lacurva, Se construye una tabla tal como la que damos en el problema quese resuelve a continuacin.CUARTO PASO.Se sealan en un papel los puntos que se han deter-m1nado, y se bosqueja la curva de manera de hacerla corresponder con losresultados de la tabla .Si el clculo da valores grandes para las ordenadas, es mejor redu-cir la escala en el eje de las y de manera que la forma general de lacurva se muestre dentro de los lmites del papel . Debe emplearsepapel cuadriculado. Los resultados deben arreglarse en frma detabla, como se hace en los problemas resueltos. En esa tabla losvalores de x deben ordenarse de modo que sea.n algcbraiwmentecrecientes.PROBLEMAS Construir la s siguie nt es cu r vas, e m p leando la rcgb anterior. Hallar tam-bi n las ecuaciones de la tangente y la normal en ca d a punto de inflrx in. 1. Y = x:1 - 9 x2 + 24 x - 7. 118. http://carlos2524.jimdo.com/100 CALCULODIFERENCIALDERIV ADA.S SUCESSolucin. Siguiendola regladada en la pgina anterior. tendremos: 11.12y=(x-I)4-I4(x-l)12.y= x2 (9 - X2) y Prim

Cálculo diferencial e integral [granville]

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