SOLUCIONARIO - Cálculo de GRANVILLE

7/27/2019 SOLUCIONARIO - Clculo de GRANVILLE

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Solucionario de Calculo Integral

SOLUCIONARIO DE

CALCULO DIFERENCIAL

E INTEGRAL - GRANVILLE

AUTORES:

*GINA ALEJANDRINA VALLADARES BANCHN

*MARCOS ANTONIO VALLADARES SOSA

Este Solucionario de problemas resueltos,del texto de:Clculo Diferencial e Integral deGranville , es una elaboracin realizada conlujo de detalles, de tal manera que cadaproblema por ms complejo que parezca,pueda ser comprendido y analizado por elestudiante.El autor espera las sugerenciasrespectivas, que sabra receptarlas ycompaginarlas en una proxima edicin.Esta obra no puede ser reproducida otransmitida,mediante ningn sistema omtodo, electrnico o mecnico(incluyendoel fotocopiado,la grabacin o cualquiersistema de recuperacin y almacenamientode informacin,sin previo aviso uconsentimiento de los autores.

Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 1


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Problemas. Pagina 236

Verificar las siguientes Integraciones:

1. x4 dx = x5 + cv = x El diferencial esta completo, se procede a integrar.

dv = dx

n = 4

x 4 dx = x 4 + 1 = x5 + c .4+1 5

2. dx =x2

x-2.dxv = x El diferencial esta completo, se procede a integrar.

dv= dxn = -2

x-2 dx = x -2 + 1 = x -1 = - x -1= - 1 + c .-2+1 -1 x

3. x2/3 dxx

2/3+1

= x

5/3

= 3 x

5/3

+ c .2/3 + 1 5/3 5

4. dxx x -1/2.dx = x-1/2 + 1 = x 1/2 = 2x1/2= 2x + c .

- 1/2 +1 1/2



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v = 2x Falta (2) para completar el diferencial.

dv = 2 dx Se aplica: vn dv = vn+1 + c .n = -1/2 n+1

1 . (2x)-1/2.2dx = 1 (2x)-1/2+1 = (2x)1/2 = (2x)1/2 = (2x)1/2 =2 2 -1/2+1 2(1/2) 2/2 1

(2x)1/2 + c .

(3t)1/3 dt .v = 3t Falta (3) para completar el diferencial.

dv = 3 dt Se aplica: vn dv = vn+1 + c .n = 1/3 n+1

1 (3t)1/3.3dt = 1 (3t)1/3+1 = (3t)4/3 = (3t)4/3 + c .3 3 1/3 + 1 3(4/3) 4

11. (x3/2 - 2x2/3 + 5 x - 3) dx . x3/2dx - 2 x2/3 dx + 5 x dx - dx

x3/2dx - 2 x2/3 dx + 5 (x)1/2 dx - dxx3/2+1 - 2 x2/3+1 + 5 (x)1/2+1 - x + c .

3/2+1 2/3+1 1/2+1

x5/2 - 2 x5/3 + 5 (x)3/2 - x + c .

5/2 5/3 3/2

2x5/2 - 6x5/3 + 10(x)3/2 - x + c .

5 5 3


dt.t33.10


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12. 4x2 - 2x dxx

4x2 - 2x dx = 4x - 2x1/ 2 dx =x x x2/2 (4x - 2x 1/2.x -2/2) dx = (4x - 2x-1/2) dx . 4x dx - 2x -1/2 dx = 4 x dx - 2 x -1/2 dx .4 x1+1 - 2 x -1/2+1 = 4 . x

2 - 2 . x1/2 = 2x2 - 4x1/2 =

1+1 -1/2+1 2 1/2

2x2 - 4 x + c .

13. ( x2 - 2 ) dx .2 x2

x2 dx - 2 dx = 1 x2 dx - 2 x -2 dx =2 x

2

2

1 x2+1 - 2 x -2+1 = x3 - 2.x -1 = x

3 + 2 + c .

2 2+1 -2+1 2(3) -1 6 x

14. x(3x - 2) dx (3x. x - 2. x) dx = (3x.x1/2 - 2x1/2) dx = (3x 3/2 - 2x1/2) dx . 3x3/2 dx - 2x1/2 dx = 3 x3/2 dx - 2 x1/2 dx =3 x3/2+1 - 2 x1/2+1 = 3 x

3/2+1 - 2 x1/2+1 =3/2+1 1/2+1 3/2+1 1/2+1

3x5/2 - 2x3/2 = 6x5/2 - 4x3/2 + c .

5/2 3/2 5 3



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15. x3 - 6x + 5 dx = x3 - 6x + 5 ln x + c .x 3

x3 - 6x + 5 dx = x2 - 6 + 5 dx = x2 dx - 6 dx + 5 dx.x x x x x

x2+1 - 6(x) + 5(ln x) = x3 - 6x + 5 ln x + c .

2+1 3

16. a + bx dx = 2(a + bx)3/2 + c .3b

(a + bx)1/2 dx .v = (a + bx) Falta (b) para completar el diferencial.

dv =b dx vn dv = vn+1 + c .n = 1/2 n+1

1 . (a + bx)1/2.bdx = 1 (a + bx)1/2+1 = (a + bx)3/2 = (a + bx)3/ 2=b b 1/2+1 b(3/2) 3b .

2

2(a + bx)3/2 + c .

3b

17. dy . a - by

dy = (a - by)-1/2 dy =(a - by)1/2

v = (a - by) Falta (-b) para completar el diferencial.

dv = - b dy vn dv = vn+1 + cn = - 1/2 n+1



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- 1 (a - by)-1/2.( - b) dyb

- 1 (a - by)-1/2+1 = - (a - by)1/2 = - (a - by)1/2 = -2 (a - by)1/2 + c.

b -1/2+1 b(1/2) b/2 b

18. (a + bt)2 dt = (a + bt)3 + c .3

v = (a + bt) Falta (b), para completar el diferencial, se aplica:

dv =b dt vn dv = vn+1 + c .n = 2 n+1

1 (a + bt)2.b dt = (a + bt)2+1 = (a + bt)3 + c .b b(2+1) 3b

19. x (2 + x2)2 dx = (2 + x2)3 .6

(2 + x2)2. x dxv = (2 + x

2) Falta (2), se aplica: v n= v n+1/n+1 + c .dv = 2x dx 1 (2 + x2)2. 2x dx = 1 (2 + x2)2+1 = (2 + x2)3 = (2 + x2)3 + cn = 2 2 2 2+1 2(3) 6

20. y (a - by2) dy = - (a - by2)2 + c .4b

(a - by2) . y dy .v = (a - by

2) Falta (-2b),para completar el diferencial.

dv = -2by dy Se aplica: v n= v n+1/n+1 + c .n = 1

(a - by2) . y dy = -1 (a - by2)1+1 = - (a - by)2 = - (a - by2) + c.



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2b 1+1 2b(2) 4b

21. t 2t2 + 3 dt = (2t2 + 3)3/2 + c .6

(2t2 + 3)1/2. t dtv = (2t

2 + 3) Falta (4) para completar el diferencial.

dv = 4t dt . Se aplica: vn dv = vn+1 + c .n = 1/2 n+1

1 (2t2 + 3)1/2. 4t dt = 1 (2t2+3)1/2+1 = (2t2+3)3/2 = (2t2+3)3/2 =4 4 1/2+1 4(3/2) 12/2

(2t2+3)1/2 + c .

6

22. x (2x + 1)2 dx = x4 + 4x3 + x2 + c .3 2

Primero solucionamos el producto notable:

(2x + 1)2

= 4x2

+ 4x + 1 .

x (4x2 + 4x + 1) = (4x3 + 4x2 + x) dx . 4x3 dx + 4x2 dx + x dx = 4 x3 dx + 4 x2 dx + x dx .4 x3+1 + 4 x2+1 + x1+1 = 4x

4 + 4x3 + x2 =3+1 2+1 1+1 4 3 2

x4 + 4x3 + x2 + c .

3 2

23. 4x2 dx . x3 + 8



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(x3 + 8)-1/2 . 4x2 dxv = (x

3 + 8) Falta (3) para completar el diferencial.

dv = 3x2 dx Se aplica: vn dv = vn+1 + c .

n = -1/2 n+1El # 4 sale fuera de la integral porque no nos va a servir en dv.

4 (x3 + 8)-1/2 . 3x2 dx = 4 (x3 + 8)-1/2+1 = 4(x3 + 8)1/2 =3 3 -1/2+1 3(1/2)

4(x3 + 8)1/2 = 2{4(x3 + 8)1/2} = 8(x

3 + 8)1/2 = 8(x3 + 8) + c .

3/2 3 3 3

24. 6z dz .(5 - 3z2)2

(5 - 3z2)-2.6z dzv = (5 - 3z

2) A la integral original para que se integre

dv = - 6z solo le falta el signo negativo.

n = -2

- (5 - 3z2)-2. (-) 6z dz-(5 - 3z2)-2+1 = -(5 - 3z

2)-1 = (5 - 3z2)-1 = 1 + c .

-2+1 -1 (5 - 3z2)

25. (a - x)2 dx .Solucionando el producto notable: (a - x)

2

= a - 2a.x + x .

{(a)2 - 2a .x + (x)2} dx = (a - 2a .x + x ) dx . a dx - 2a .x + x dx = a dx - 2a x dx + x dx .a dx - 2a1/2 x1/2 dx + x dx = a. x - 2a1/2.x1/2+1 + x1+1 =

1/2+1 1+1



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ax - 2a1/2x3/2 + x2 = ax - 4 x

2/2 a1/2 x1/2 + x2 =3/2 2 3 2

ax - 4xa .x + x2 = ax - 4xax + x2 + c .

3 2 3 2

26. (a - x)2 dx x

v = (a - x) Falta (-1/2) para completar el diferencial.

dv = - 1 dx . Se aplica: vn dv = vn+1 + c .2x n+1

n = 2

(a - x)2. 1 .dx = - 2 (a - x)2 _ 1 dx x 2x

-2 (a - x)2+1 = -2(a - x)3 + c .

2+1 3

x{(a)2 - 2a.x + (x)2} dx = x(a - 2a.x + x) dx (ax - 2a.x.x + x.x)dx = {ax1/2 - 21/2.(x)2 + x2/2.x1/2}dx {ax1/2 - 2a1/2 x + x3/2} dx = a x1/2 dx - 2a1/2 x dx + x3/2 dx =a x1/2+1 - 2a1/2 x1+1 + x3/2+1 = a.x

3/2 - 2a1/2.x2 + x5/2 =

1/2+1 1+1 3/2+1 3/2 2 5/22a .x3/2 - a1/2.x2 + 2x5/2 = 2ax

3/2 - x2a + 2x5/2 + c .3 5 3 5

28. t3 dt .a4 + t4 (a4 + t4)-1/2.t3 dt . v = (a4 + t4) Falta (4)para completar el


( ) dx.xax.272


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dv = 4t3 dt diferencial, se aplica:

n = -1/2 vn dv = vn+1/n+1 + c .1 (a4 + t4)-1/2.(4)t3 dt = 1 (a4 + t4)-1/2+1 = (a4 + t4)1/2 =4 4 -1/2+1 4(1/2)

(a4 + t4)1/2 = 2(a4 + t4)1/2 = (a

4 + t4)1/2 =(a4 + t4) + c .

4/2 4 2

29. dy .(a + by)3

(a + by)-3 dyv = (a + by) Falta (b) para completar el diferencial.

dv =b dy Se aplica: Se aplica: vn dv = vn+1 + c .n = - 3 n+1

1 (a + by)-3.(b)dyb

1 (a + by)-3+1 = (a + by)-2 = (a + by)

-2 = - 1 + c .

b -3+1 b(-2) -2b 2b(a + by)2

30. x dx .(a + bx2)3

(a + bx2)-3.x dxv = (a + bx

2) Falta (2b) para completar el diferencial.

dv = 2bx.dx Se aplica: Se aplica: vn dv = vn+1 + c .n+1

1 (a + bx2)-3.(2b)x dx2b



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1 (a + bx2)-3+1 = (a + bx2)-2 =_ 1 + c .

2b - 3 + 1 (2b)( - 2) 4b(a + bx2)2

31. t2 dt .(a + bt3)2

(a + bt3)2.t2 dtv = (a+bt

3) Falta (3b) para completar el diferencial.

dv = 3bt2 dt Se aplica: vn dv = vn+1 + c .

n = 2 n+1

1 (a+bt3)-2.(3b)t2 dt = (a+bt3)-2+1 = (a+bt3)-1 =3b 3b(-2+1) 3b(-1)

(a+bt3)-1 = - 1 + c .

-3b 3b(a + bt3)

32. z(a + bz3)2 dz .Desarrollando el producto notable: (a + bz3)2 , obtenemos ,

z (a2 + 2abz3 + b2z6) dz (a2z+ 2abz4 + b2z7) dza2 z dz + 2ab z4 dz + b2 z7 dza2 z1+1 + 2ab z4+1 + b2 z7+1 = a

2z2 + 2abz5 + b2z8 + c .

1+1 4+1 7+1 2 5 8

33. xn-1a+bxn dx (a + bxn)1/2. xn-1 dx



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v = (a + bxn) Falta (nb) para completar el diferencial.

dv = nbxn-1 dx Se aplica: vn dv = vn+1 + c .

n = 1/2 n+1

1 (a + bxn)1/2. (nb) xn-1 dxnb

(a + bxn)1/2+1 = (a + bxn)3/2 = 2(a + bx

n)3/2 + c .

1/2+1 3/2 3

34. (2x + 3) dx x2 + 3x

(x2 + 3x)-1/2. (2x + 3) dxv = (x

2 + 3x) El diferencial esta completo, se procede a integrar.

dv = 2x + 3 Se aplica: vn dv = vn+1 + c .n = -1/2 n+1

(x2 + 3x)-1/2. (2x + 3) dx(x2 + 3x)-1/2+1 = (x

2 + 3x)1/2 = 2(x2 + 3x)1/2 = 2 x

2 + 3x + c .

- 1/2 + 1 1/2

35. (x2 + 1) dx . x3 + 3x

(x3 + 3x)-1/2. (x2 + 1) dxv = (x

3 + 3x) Falta (3) para completar el

dv = 3x2 + 3 dx = 3(x

2 + 1) dx diferencial.

n = -1/2

1 (x3 + 3x)-1/2.(3)(x2 + 1) dx = (x3 + 3x)-1/2+1 = (x3 + 3x)1/2 =3 3(-1/2+1) 3(1/2)



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(x3 + 3x)1/2 = 2(x3 + 3x)1/2 = 2 (x

3 + 3x) + c .3/2 3 3

36. (2 + ln x) dxx

(2 + ln x). 1 dxx

v = (2 + ln x) Falta 1/x para completar el diferencial.

dv = 1 dx Se aplica: vn dv = vn+1 + c .x n+1

n = 1

(2 + ln x). 1 dx = (2 + ln x)1+1 = (2 + ln x)2 + c .x 1+1 2

37. sen2x cos x dx (senx)2 . cos x dx . v = (senx) El diferencial esta

dv = cos x dx completo,se proceden = 2 a integrar.

(senx)2 cos x dx = (senx)2+1 = (senx)3 + c .2+1 3

38. sen ax cos ax dxv = sen ax Falta (a) para completar eldv = (cos ax)(a) dx = a cos ax dx diferencial.Se aplica:

n = 1 vn dv = vn+1 + c .n+1

1 (sen ax) . (a)cos ax dx = (sen ax)1+1 = (sen ax)2 = sen2ax + c .a a(1+1) 2a 2a



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39. sen 2x cos22x dx (cos 2x)2. sen 2x dxv = (cos2x) Falta (-2) para completar el diferencialdv = (- sen 2x)(2) dx = - 2sen 2x Se aplica: vn dv = v n+1 + c .n = 2 n+1

- 1 (cos2x)2.(-2)sen 2x dx = - (cos2x)2+1 = - (cos2x)3 =2 2(2+1) 2(3)

- cos32x + c .

6

40. tg x sec2 x dx 2 2

v = tg x/2 falta (1/2) para completar el diferencial.

dv = 1 sec2 x .

2 2

n = 1

2 [tg x ]1+1 2 [ tg x ]2

2 tg x 1 . sec2 x dx = 2 = 2 =2 2 2 1+1 2

tg 2 x =[tg 2 x ] + c .2 2

41. cos ax dx . b + sen ax

(b + sen ax)-1/2 . cos ax dx .v = (b + sen ax) Falta (a) para completar el



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dv = cos ax.a dx = a cos ax dx diferencial: Se aplica:

n = - 1/2 vn dv = vn+1 + c . n+1

1 (b + sen ax)-1/2 .(a) cos ax dx = (b + sen ax)-1/2+1 =a a(-1/2+1)(b + sen ax)1/2 = (b + sen ax)

1/2 = 2(b + sen ax)1/2 =

a(1/2) a/2 a

2b + sen ax + c .a

42. sec x 2 dx1 + tg x

sec2x dx(1 + tg2x)

(1 + tg x)-2. Sec2x dx .v = (1 + tg x) El diferencial esta completo, se procede a

dv = sec2x dx integrar.

n = -2

(1 + tg x)-2+1 = (1 + tg x)-1 =_ 1 + c .

-2+1 - 1 (1 + tg x)

43. dx .2 + 3x

v = 2 + 3x Falta (3) para completar el diferencial.

dv = 3 dx Se aplica: dv = ln v + c .v

1 (3) dx = 1 ln (2 + 3x) + c .3 2 + 3x 3



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44. x2 dx .2 + x3

v = 2 + x3 Falta (3) para completar el diferencial.

dv = 3x2 dx Se aplica: dv = ln v + c .

v

1 (3) x2 dx = 1 ln (2 + x3) = ln (2 + x3) + c .3 2 + x3 3 3

45. t dt . a + bt

2

v = a + bt

2 Falta (2b) para completar el diferencial.

dv = 2bt Se aplica : dv = ln v + c .v

1 (2b) t dt = 1 . ln(a + bt2) = ln(a + bt2) + c .2b (a + bt2) 2b 2b

46. (2x + 3) dxx2 + 3x

v = x2 + x El diferencial esta completo, se procede a integrar.

dv = (2x + 3)

(2x + 3) dx = ln (x2 + 3x) + c .x2 + 3x

47. (y + 2) dyy2 + 4y

v = y2 + 4y Falta (2) para completar el

dv = 2y + 4 dy = 2(y + 2) dy diferencial .Se aplica: dv = ln v + c .



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v

1 (2)(y + 2) dy = 1 .ln (y2 + 4y) = ln (y2 + 4y) + c .2 (y2 + 4y) 2 2

48. e d .a + be

v = a + be

Falta (b) para completar el diferencial.

dv =bed Se aplica: dv/v = ln v + c .

1 e (b) d .b a + be

ln (a + be) + c

b

49. sen x dx .1 - cos x

v = 1 - cos x El diferencial esta completo.

dv = - (-sen x ) dx = sen x dx . Se procede a integrar.

ln (1 - cos x) + c .

50. sec2y dy .a + btg y

v = a + btg y . Falta (b), para completar el diferencial

dv =b sec2y dy

1 (b) sec2y dy = 1 . ln(a + btg y) = ln(a + btg y) + c .b a + btg y b b

51. ( 2x + 3) dxx + 2



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Efectuamos la divisin: 2x + 3 x + 2

-2x - 4 2

- 1El resultado es:

2 + - 1 = 2 - 1 .Sustituyendo en la integral .

x + 2 x + 2

[ 2 - 1 ] dx = 2 dx - dx = 2x - ln(x + 2) + c .x + 2 x + 2

52. x2 + 2 dxx + 1

Efectuamos la divisin: x2 + 2 x + 1

- x2 - x x - 1

- x

+ x + 2

+ 2

El resultado es:

(x - 1) + 3 . Sustituyendo en la Integral.

x + 1

[ x - 1 + 3 ] dxx + 1

x dx - dx + 3 dx .x + 1

x1+1 - x + 3 ln (x + 1) = x2 - x + 3 ln (x + 1) + c .

1+1 2



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53. (x + 4) dx2x + 3

Efectuamos la divisin: x + 4 2x + 3

- x - 3/2 1/2 .- x + 5/2 .

5 .

El resultado es: 1 + 2 . Sustituyendo en la Integral.

2 2x + 3

1 + 5/2 dx2 2x + 3

1 dx + 5 . 1 (2)dx . v = 2x + 32 2 2 2x + 3 dv = 2 dx

1 dx + 5 (2) dx = 1 x + 5 ln (2x + 3) =2 4 2x + 3 2 4

x + 5 ln (2x + 3) + c .

2 4

54. e2s ds .e2s + 1

v = e2s + 1 El diferencial esta incompleto, falta (2)

dv = 2e2s . y se le opone 1/2.

1 (2)e2s ds = 1 . ln(e2s + 1) = ln (e2s + 1) + c .2 e2s + 1 2 2

55. ae + b dae - b



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Efectuamos la divisin:

b + ae

- b + ae El resultado es:

- b + ae - 1 - 1 + 2ae

.

+ 2ae

- b + ae

Para la 2da integral:

v = - b + ae

dv = aed

-1 + 2 ae d= - d + 2 ae d =- b + ae

- b + ae

- + 2 ln (- b + ae)= 2 ln (ae- b ) - + c .

56. 2x dx . (6 - 5x2)-1/3.2x dxv = (6 - 5x

2)

dv = - 10x dx El diferencial esta incompleto, falta (- 5 ) .n = -1/3 .

- 1 (6 - 5x2)-1/3 (-5)2x dx = - 1 . (6 - 5x2)-1/3+1 = -(6 - 5x2)2/3 =5 5 -1/3+1 5(2/3)

- 3(6 - 5x2)2/3 + c.

10

57. (x3 + 3x2) dx x3 dx + 3 x2 dxx3+1 + 3.x2+1 = x

4 + 3x3 = x4 + x3= c .

3+1 2+1 4 3 4


3 25x-(6 )


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58. x2 - 4 . dxx4

Desarrollando: x2 - 4 = x2 - 4 = 1 - 4 .

x4 x4 x4 x2 x4

Sustituyendo en la integral . [ 1 - 4 ] dx = 1 dx - 4 dx = x -2 dx - 4 x -4 dxx2 x4 x2 x4

x-2+1 - 4.x -4+1 = x-1 - 4x -3 = - 1 + 4 + c .

-2+1 -4+1 -1 -3 x 3x3

1 5x dx + 5 dx = 1 (5x)1/2 dx + 5 (5x)-1/2 dx.5 5x 5

v = 5x v = 5x Completando el diferencial a

dv = 5 dx dv = 5 dx ambas integrales.

n = 1/2 n = - 1/2

1 . 1 (5x)1/2.(5)dx + 5. 1 (5x)-1/2 (5)dx =5 (5) 5

1 . (5x)1/2+1 + (5x)-1/2+1 =25 1/2 + 1 - 1/2+1

(5x)3/2 + (5x)-1/2+1 = 2(5x)3/2 + 2(5x)1/2 =

25(3/2) 1/2 5(5)(3) 1

2( 5 x) (5x)1/2 + 2(5x)1/2 =2x(5x)1/2 + 2(5x)1/2 =5 (5)(3) 15

2(5x)1/2 { x + 1 } = 25.x x + 15 + c .15 15


dx.x5

x5 55

.59 +


23/198


dt = 1 dt = 1 . dt = 1 . t -3/2 dt = t -3/2+1 .t.t1/2.21/2 21/2 t1+1/2 2 t3/2 2 2(- 3/2 + 1)

t -1/2 = t-1/2

= - 2 = - 2 = - 2 + c

2(-1/2) - 2 2.t1/2 2. t 2t

(2 - 3x)1/3. dx .v = (2 - 3x) El diferencial esta incompleto, falta ( - 3 ) .

dv = - 3 dx Se aplica: vn= vn+1 + c .n = 1/3 n+1

(- 1 ) (2 - 3x)1/3 (- 3). dx = - (2 - 3x)1/3+1 = - (2 - 3x)4/3 =3 3(1/3+1) 3(4/3)-(2 - 3x)4/3 = - 3 (2 - 3x)

4/3 = - (2 - 3x)4/3 + c .

12/3 12 4

63. sen 2 d


.c5

by35

yb335

yb132

yb

13/2

yb.dyybdy.ybdy.y.b

by.60

3 5353135311323

132

33233 233 23

3 2

+==

=

+

=

+==

=+

+

t2t

dt.61

dx..62 3 3x-2


24/198


cos 2 (cos 2)-1/2.sen 2 d

v = (cos 2) Falta (-2) para completar el diferencial.dv = - 2 sen 2 d Se aplica: vn= vn+1 + c .n = - 1/2 n+1

(- 1 ) (cos 2)-1/2.(-2)sen 2 d2

(-1 ).(cos 2)-1/2+1 = - (cos 2)1/2 = - (cos 2)1/2 = -cos 2 + c.2 -1/2+1 2(1/2) 1

64. ex dx . ex - 5

v = (ex - 5) El diferencial esta completo, (ex - 5)-1/2 . ex dx . dv = ex dx se procede a integrar.

n = - 1/2

(ex - 5)-1/2.ex dx = (ex - 5)-1/2+1 = (ex - 5)1/2 = 2(ex - 5)1/2 + c-1/2+1 1/2

65. 2 dx . 3 + 2x

(3 + 2x)-1/2. 2 dxv = (3 + 2x) El diferencial esta completo ,

dv = 2 dx se procede a integrar.

n = - 1/2

(3 + 2x)-1/2. 2dx = (3 + 2x)-1/2+1 = (3 + 2x)1/2 = 2(3 + 2x)1/2= -1/2+1 1/2



25/198


2 (3 + 2x) + c

66. 3 dx =2 + 3x

v = 2 + 3x El diferencial esta completo, se usa la frmula:

dv = 3 dx dv = ln v + c .v

3 dx = ln (2 + 3x) + c .2 + 3x

67. x dx . 1 - 2x2 (1 - 2x2)-1/2. x dx .v = (1 - 2x

2) El diferencial esta incompleto,

dv = - 4x dx falta (- 4) y se le opone (-1/4) .

n = - 1/2

(- 1 ) (1 - 2x2)-1/2.( - 4) x dx = - 1 . (1 - 2x2)-1/2+14 4 -1/2+1

- (1 - 2x2)1/2 = -(1 - 2x2)1/2 + c .

4(1/2) 2

68. t dt .3t2 + 4

v = 3t2 + 4 El diferencial esta incompleto, falta (6)

dv = 6t dt y se le opone (1/6) .

( 1 ) (6)t dt = 1 .ln(3t2 + 4) = ln(3t2 + 4) + c .6 3t2 + 4 6 6



26/198


(y2)3 - 3 (y2)2. 1 + 3 (y2). 1 2 - 1 3 . dy .y2 y2 y2

y6 - 3. y2 . y2 + 3. y2 - 1 dy = y6 - 3 y2 + 3 - 1 dy.y2 y2 . y2 y6 y2 y6

y6+1 - 3 . y2+1 + 3 y-2 dy - y - 6 dy =6+1 2+1

y7 - 3 y3 + 3.y-2+1 - y-6+1 =7 3 - 1 - 5

y7 - y3 - 3.y-1 + y -5 = y7 - y3 - 3 + 1 + c .

7 5 7 y 5y5

71. sen a dcos a

Segn Trigonometra: sen a = tg a . tg a. d .cos a

v = a Utilizamos la integral:dv = a d tg v dv = - ln cos v = ln sec v + c .( 1 ) tg a. (a)d= - {ln cos (a) } = ln sec (a) + c .


( )( )

+=

+

dy.y

1y70.

dx.x

12xdx.x

1

x1.x2x

x1x.69

3

2

2

2

2

2

2

2


27/198


a a a

72. csc2 d . (2cot + 3) (2cot + 3)-1/2 . csc2 d .

v = (2cot + 3) Falta (-2) para completar el diferencial.dv = - 2 csc

2 d Se aplica: vn dv = v n+1 + cn+1

-1 (2cot + 3)-1/2.(-2)csc2 .d =_ 1 . (2cot + 3)-1/2+1 =2 2 -1/2+1

- 1 .(2cot + 3)1/2 = - (2cot + 3)1/2 = - (2cot + 3)1/2 =2 1/2 2(1/2) 1

- (2cot + 3)1/2 = - (2cot + 3) + c .

73. (2x + 5) dxx

2

+ 5x +6v = x

2 + 5x +6 El diferencial esta completo,

dv = (2x + 5) . dx aplicamos la frmula: dv/v = ln v + c . (2x + 5) dx = ln (2x + 5) + c .x2 + 5x + 6

74. (2x + 7) dxx + 3 Dividimos:2x + 7 x + 3 El resultado es: 2 + 1 .

- 2x - 6 2 x + 3

+ 1



28/198


2 + 1 dx .x + 3

2 dx + dx = 2 x + ln (x + 3) + c .x + 375. (x2 + 2) dx

x + 2 Dividimos:x2 + 2 x + 2

- x2 - 2x x - 2 El resultado es:

- 2x + 2 x - 2 + 6 .

+ 2x + 4 x + 2

+ 6 [x - 2 + 6 ] dx = x dx - 2 dx + 6 dx =x + 2 x + 2

x2 - 2x + 6 ln (x + 2) + c.

2

76. (x3 + 3x) dxx2 + 1

Dividimos: El resultado de la divisin es :

x3 + 3x x2 + 1 x + 2x .- x3 - x x x2 + 1

+ 2x

v = x2 + 1 El diferencial esta completo

dv = 2x dx se procede a integrar.

x dx + 2x dx = x1+1 + ln (x2 + 1) = x2 + ln (x2 + 1) + c .x2 + 1 1+1 2



29/198


77. (4x + 3) dx . 1 + 3x + 2x2

(1 + 3x + 2x2)-1/3.(4x + 3) dx .v = (1 + 3x + 2x

2) El diferencial esta completo, se

dv = 3 + 4x dx = 4x + 3 dx procede a integrar.

n = - 1/3

(1 + 3x + 2x2)-1/3 . (4x + 3) dx = (1 + 3x + 2x2)-1/3+1 .- 1/3 + 1

(1 + 3x + 2x2)2/3 = 3 (1 + 3x + 2x2)2/3 + c .2/3 2

78. (et + 2) dtet + 2t

v = e

t + 2t El diferencial esta completo.

dv = (et + 2) dt Se aplica: dv/v = ln v + c . (et + 2) dt = ln (et + 2t) + c .

et + 2t

79. (ex + sen x) dxex - cos x

(ex - cos x)-1/2.(ex + sen x) dxv = (e

x - cos x) El diferencial esta

dv = (ex - (-sen x) dx = (e

x + sen x) dx completo,se procede a

n = - 1/2 integrar.



30/198


(ex - cos x)-1/2+1 = (ex - cos x)1/2 = 2(e

x - cos x)1/2 + c .

-1/2+1 1/2

80. sec 2 tg 2 d3 sec 2 - 2

v = 3 sec 2- 2 Falta (6) para completar eldv = 3{sec 2 . tg 2}.2 d= diferencial y se le opone (1/6).dv ={6 sec 2 . tg 2} d Se aplica: dv/v = ln v + c .( 1 ) ( 6 )sec 2 tg 2 d = 1 . ln (3 sec 2 - 2) =6 3 sec 2 - 2 6

ln (3 sec 2 - 2) + c .6

81. sec22t dt . 5 + 3tg 2t

(5 + 3tg 2t)-1/2.sec22t dt .v = (5 + 3tg 2t) Falta (6)para completar el diferencial .

dv = 3(sec22t)(2) dt Se aplica: vn dv = v n+1 + c

dv = 6 sec22t dt n+1

n = - 1/2

( 1 ) (5 + 3tg 2t)-1/2.(6)sec22t dt6

( 1 ) . (5 + 3tg 2t)-1/2+1 = (5 + 3tg 2t)1/2 = (5 + 3tg 2t)

1/2 + c .

6 -1/2+1 6(1/2) 3



31/198


Problemas. Pagina 241

Verificar las Siguientes Integraciones:1. 6 e3x dx = 2 e3x + c .

6 e3x dx .v = 3x Falta el (3) para completar el diferencial,

dv = 3 dx luego se procede a integrar.

Se aplica: ev dv = ev + c .6 ( 1 ) e3x.(3) dx = 2 e3x + c .

3 .

2. ex/n dx = nex/n + c .v = x/n Falta 1/n completar en el diferencial,



32/198


dv = 1/n luego se procede a integrar. Se aplica:

ev dv = ev + c .(n) ex/n .(1/n) dx = n.ex/n + c .

3. dx = - 1 + c . ex ex

e-x. dx ; { v = - x ; dv = - dx }Para completar el diferencial, le falta el signo (-).

(-) e-x.(-) dx = - e-x= - 1 + c .ex

4. 10 x dx = 10 x + c . ln 10

v = x El diferencial esta completo, se usa la frmula:

dv = dx av dv = av + c .ln a 10 x dx = 10 x + c .

ln 10

5. any dy = any + c .n ln a

v = ny Falta (n) para completar el diferencial.

dv = n.dy Se aplica: av dv = av + c .ln a

(1/n) any.(n) dy = . 1 . any = any + c .n ln a n ln a



33/198


6. ex dx = 2ex + c . x

ex . 1 . 1 . dx =x 2

v = x Falta (1/2) para completar el diferencial,dv = 1 . dx luego se procede a integrar.

2x Se aplica: ev dv = ev + c . ex . 1 . 1 . dx = (2) ex. 1 .dx = 2ex + c . x 2 2x

7. (ex/a + e-x/a) dx = a (ex/a - e-x/a) + c .v = x/a v = - x/a

ex/a dx + e-x/a dx . dv = 1/a dx dv = - 1/a dxUna vez completado los diferenciales, se integra.

( a) ex/a.(1/a) dx + (- a) e-x/a.(- 1/a) dxa.ex/a - a.e-x/a= a (e

x/a - e-x/a) + c .

8. (ex/a - e-x/a)2 dxDesarrollando el producto notable: (e

x/a

- e

-x/a

)2

:

(ex/a - e-x/a)2= {(ex/a)2 - 2(ex/a)(e-x/a) + (e-x/a)2} .

e2x/a - 2e+x/a -x/a + e-2x/a= e2x/a - 2e0 + e-2x/a .

e2x/a - 2(1) + e-2x/a = e2x/a - 2 + e-2x/a .



34/198


Sustituyendo :{e2x/a - 2 + e-2x/a} en la integral .

{e2x/a - 2 + e-2x/a} dx = e2x/a dx - 2 dx + e-2x/a dx .Completando el diferencial, antes de integrar :

v = 2x/a v = -2x/a

dv = 2/a dx dv = - 2/a dx

Se aplica en ambas integrales: ev dv = ev + c .( a/2) e2x/a.(2/a) dx - 2 dx + (- a/2) e-2x/a.(- 2/a) dx .

a .e2x/a - 2x - a .e-2x/a= a .{e2x/a - e-2x/a} - 2x + c .

2 2 2

9. x ex2 dx = 1 .ex2 + c .2

v = x2 Como el diferencial esta completo,dv = 2x dx se procede a integrar.

x ex2 dx = 1 .ex2 + c .2

10. esen x cos x dx = esen x + c .

v = sen x El diferencial esta completo,

dv = cos x dx se procede a integrar.

esen x. cos x dx = esen x + c .11. etg sec2 d .



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v = tg El diferencial esta completo,dv = sec

2 d se procede a integrar.

etg . sec2 d= etg + c .12. et dt = 2et + c.

(et)1/2 dt = et/2. dt v = t/2 Falta (1/2) en el diferencial, dv = 1/2 luego se procede a integrar.

Se aplica: ev dv = ev + c .(2) et/2.(1/2) dt = 2et/2 + c .

13. axex dx-0



36/198


v = axex Falta (1 + ln a) para completar

dv = {ax.ex + ex. ax.ln a} dx el diferencial, luego se procede

dv = ax.ex{1 + ln a} dx a integrar.

1 . axex.( 1 + ln a) dx = axex + c .1 + ln a 1 + ln a

14. a2x dx = a2x + c .2 ln a


dv = 2 dx Se aplica: av dv = av + c .ln a

( 1 ) a2x.(2) dx = . 1 . a2x = a2x + c .2 2 ln a 2 ln a

15. (e5x + a5x) dx = . 1 e5x + a5x + c .5 ln a

e5x. dx + a5x. dxCompletando los diferenciales de ambas integrales.



37/198


v = 5x v = 5x

dv = 5 dx dv = 5 dx

Se aplica: ev dv = ev + c .( 1/5) e5x.(5) dx + ( 1/5) a5x.(5) dx

. 1 .e5x + . 1 . a5x = 1 e5x + a5x + c .

5 5 ln a 5 ln a

16. 5eax dxv = ax Falta (a) para completar el diferencial,

dv = a dx luego se procede a integrar.

Se aplica: ev dv = ev + c .5 1 eax.(a) dx = 5eax + c .

a a

17. 3 dx ex



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3 e-x. dxv = - x Falta el signo ( - ) , para completar el diferencial,

dv = - dx luego se procede a integrar.

Se aplica: ev dv = ev + c .3( - ) e-x .( - ) dx = -3.e-x= - 3 + c .

ex

18. 4 dt =et

(et)-1/2 dt = 4( - 2) e- t/2.( - 1/2) dt =- 8 e- t/2= - 8 + c .

et/2

19. cax dxSuponemos que : "c" de la integral dada es la constante "a" de

la formula.

v = ax Falta (a) para completar el diferencial,

dv = a dx luego se procede a integrar.

Empleando la frmula: av. dv = av + cln a

( 1/a) cax.(a) dx = . 1 . cax + c .a ln c

20. dx .



39/198


42x

4-2x. dxv = - 2x Falta ( - 2) , para completar el diferencial,

dv = - 2 dx luego se procede a integrar.

Utilizamos la frmula: av. dv = av + cln a

( - 1/2) 4-2x.( - 2) dx = .- 1 . 4-2x = - 1 + c .2 ln 4 2 . ln 4 . 42x

21. x2ex3 dxOrdenando: ex3. x2 dxv = x

3 Falta (3) para completar el diferencial,

dv = 3x2 dx luego se procede a integrar.

Se aplica: ev. dv = ev + c .( 1/3) ex3 .(3) x2 dx = . 1 .ex3 = ex3 + c

3 3

22. (ex + 4) dxex

ex dx + 4 dx = dx + 4(-) e-x.(-) dx = x - 4e-x= x - 4 +c .

ex ex ex

23. ex dxex - 2



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v = ex - 2 El diferencial esta completo,

dv = ex dx aplicamos : dv = ln v + c .

v ln (ex - 2) + c .

24. x (ex2 + 2) dx {(ex2 + 2) . x} dx

ex2 . x dx + 2 x dxv = x

2 Falta (2) en la 1ra integral, para completar

dv = 2x dx el diferencial , el 2do integral esta completo.

Se aplica: ev dv = ev + c , en la 1ra integral .(1/2) ex2 .(2) x dx + 2 x dx = . 1 . e x2 + 2 . x1+1 =

2 1+1

ex2 + 2 . x2 = e

x2 + x2 + c.

2 2 2

25. (e x - 3 ) dxx

ex. 1 . dx - 3 dx .x x

v = x Falta (1/2) para completar el diferencial,dv = . 1 . 1 . dx de la 1

ra integral.

2 x Se aplica: ev dv = ev + c .



41/198


(2) ex . 1 . 1 . dx - 3 x-1/2 dx = 2ex - 3.x-1/2+1 =2 x -1/2+1

2e

x

- 3.x

1/2

= 2e

x

- 6x

1/2

= 2e

x

- 6 x + c .1/2

26. t 2t2 dt

2t2 . t dtv = t

2 Falta (2) para completar el diferencial,

dv = 2t dt luego se procede a integrar.Se aplica: av. dv = av + c

ln a

( 1/2) 2t2 .(2) t dt = . 1 . 2 t2 = 2 t2 + c .2 ln 2 2 ln 2

27. a db

3

a b-3. dv = - 3 Falta (- 3) para completar el diferencial.dv = - 3d Se aplica: av dv = av/ln a + c .a(- 1/3) b-3.( - 3) d= - a . b-3 = - a + c.

3 ln b (3 ln b) b3

28. 6 x e- x2 dx

Descomponiendo el # 6 en 2 factores y ordenando:

3 e- x2.2x dx



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v = - x

2 Falta el signo ( - ) para completar el diferencial.

dv = - 2x dx Se aplica: ev dv = ev + c .3(-) e- x2.(-)2x dx = - 3e- x2 = - 3 + c .

ex2

29. (e2x)2 dx e4 x dxv = 4x Falta el # 4 para completar el diferencial.

dv = 4 dx . Se aplica: ev dv = ev + c .( 1/4) e4 x.(4) dx = . 1 .e4 x = e 4 x + c .

4 4

30. x2 dxex3

e-x3 . x2 dxv = = -x

3 Falta ( - 3) para completar el diferencial.

dv = - 3x2 dx Se aplica: ev dv = ev + c .

- 1 e-x3 .( - 3) x2 dx = - 1 . e-x3 = - 1 + c .3 3 3 e

x3



43/198


Problemas. Paginas 244 y 245


1. cos mx dx = 1 sen mx + c .m

v = mx Falta (m) para completar el diferencial.dv = m dx Se aplica: cos v dv = sen v + c .( 1 ) cos mx .(m) dx = 1 sen mx + c .m m

2. tg bx dx = 1 ln sec bx + c .b

v =bx Falta (b) para completar el diferencial.

dv =b dx Se aplica:

tg x dx = - ln {cos (v)} + c = ln {sec (v)} + c .( 1 ) tg bx .(b) dx = 1 ln sec bx + c .b b

3. sec ax dx = 1 ln (sec ax + tg ax) + c .a



44/198


v = ax Falta (a) para completar el diferencial.

dv = a dx Usamos la frmula: sec v dv = ln(sec v + tg v) + c.( 1 ) sec ax .(a) dx = 1 ln (sec ax + tg ax) + c .a a

4. csc v dv = ln tg 1 v + c .2

ln (csc v - cot v) = ln 1 - cos v = ln 1 - cos v =

sen v sen v sen v

ln tg 1 v + c .

2

Por trigonometra :

csc v = 1 ; cot v = cos v ; tg v = 1 - cos v .

sen v sen v 2 sen v

Esta demostrado : csc v dv = ln tg 1 v + c .2

5. sec 3t tg 3t dt = 1 sec 3t + c .3

v = 3t Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica:

dv = 3 dt sec v tg v dv = sec v + c .( 1/3) sec 3t . tg 3t (3) dt = 1 sec 3t + c .

3

. 1 .{ sec 3t} + c .

3



45/198


6. csc ay cot ay dy = - 1 csc ay + ca

v = ay Falta (a) para completar el diferencial. Se aplica:

dv = a dy csc v cot v dv = - csc v + c

( 1/a) csc ay . cot ay. (a) dy .

. 1 .{ - csc ay } = - 1 csc ay + c .

a a

7. csc2 3x dx = - 1 cot 3x + c .3v = 3x Completando el diferencial con (3) .

dv = 3 dx Se aplica: csc2 v dv = - cot v + c .( 1/3) csc2 3x . (3) dx = 1 {- cot 3x } = - 1 cot 3x + c . + c .

3 3

8. cot x dx2v = 1 x Falta (1/2) para completar el diferencial.

2 Se aplica: cot v dv = ln {sen (v) } + c .dv = 1 dx

2

(2) cot x ( 1 ) dx = 2 ln (sen x ) + c .2 2 2

9. x sec2 x3= 1 . tg x3 + c .3



46/198


Ordenando: (sec x3)2 . x dx = sec2 x3 . xdxv = x

3 Falta (3) para completar el diferencial.

dv = 3x

2

dx Se aplica: sec2 v . dv = tg v + c .1 . (sec x3)2 .(3) x dx =3

1 . tg x3 + c .

3

10. dx .sen2x

Por Trigonometra: 1 = csc2 x

sen2 x csc2 x dx = - cot2 x + c .

11. ds = tg s + c .cos2 s

Por Trigonometra: 1 = sec2 s

cos2 s

sec2 s ds = tg s + c .12. (tg + cot )2 d = tg - cot + c .

(tg2 + 2 tg cot + cot2) d=Por Trigonometra:

tg . cot = 1 ; tg2 + 1 = sec2 ; cot2 + 1 = csc2 .Utilizando un artificio matemtico : 2 = 1 + 1 .

Reemplazando y utilizando el artificio, obtenemos:



47/198


(tg2 + 2(1) + cot2) d= (tg2 + 2 + cot2) d (tg2 + 1 + 1 + cot2 ) d= (tg2 + 1 + cot2 + 1 ) dPero: tg2 + 1 = sec2 ; cot2 + 1 = csc2 .

sec2 d + csc2 d= tg - cot + c .13. (sec - tg )2 d = 2 (sec - tg ) - + c .

(sec2 - 2 sec tg + tg2 )d =Pero: tg2 = sec2 - 1 , sustituyendo en la integral. (sec2 - 2 sec tg + sec2 - 1)d = (2sec 2 - 2 sec tg - 1)d = 2sec2 d - 2 sec tg d - d =2 sec2 d - 2 sec tg d - d =En la 1ra integral aplicamos: sec2 v dv = tg v + c .En la 2da integral aplicamos: secv tg v dv = sec v + c .

2 tg - 2sec - = 2(tg - sec ) - + c .

14. dx = - cot x + csc x + c .1 + cos x

Racionalizando: 1 .1 + cos x



48/198


1 . 1 - cos x = 1 - cos x .

1 + cos x 1 - cos x 1 - cos2x

Pero: 1 - cos2 x = sen2 x .

1 - cos x . dx . Aplicando artificios aritmticos, Ejm:sen2x

Aplicando artificios aritmticos, Ejm:

8 - 6 = 8 - 6 1 - cos x = 1 - cos x .2 2 2 sen2 x sen2 x sen2 x

1 - cos x dx = dx - cos x dx =sen2x sen

2x sen2x sen2x csc2 x dx - (senx)-2. cos x dx =v = sen x En la 1

ra aplicamos: csc2 v dv = - cot v + c .dv = cos x dx El diferencial de la 2

da integral, esta completo.

csc2x dx - (senx)-2. cos x dx = - cot x - (sen x)-2+1 =- 2 + 1

Por Trigonometra : 1 = csc x .

sen x

= - cot x - (sen x)-1 = - cot x + 1 = - cot x + csc x + c .

- 1 sen x

15. dx = tg x - sec x + c .1 + sen x

Racionalizando y efectuando artificios aritmticos :

1 . 1 - sen x = 1 - sen x = 1 - sen x .



49/198


1 + sen x 1 - sen x 1 - sen2 x cos 2 x

1 - sen x = 1 - sen x = sec2 x - senx =

cos2 x cos2 x cos2 x cos2 x

sec2 x dx - sen x dx = sec2 x dx - (cosx)-2. sen x dxcos2 x

v = cos x En la 1ra integral aplicamos: sec2 v dv = tg v + c

dv = - sen x dx En la 2da integral aplicamos: vn dv = vn+1 + c

n+1

sec2 x dx - (-) (cosx)-2.(-) sen x dx =tg x + (cos x)-2+1 = tg x + (cos x)

-1 = tg x - 1 =- 2 + 1 - 1 cos x

tg x - sec x + c .

16. sen s ds = - ln (1 + cos s) + c .1 + cos s

v = 1 + cos s Falta el signo (-) , para completar el diferencial

dv = - sen s ds Aplicamos la frmula : dv = ln v + c .v

(-) sen s (-)ds = - ln (1 + cos s) + c .1 + cos s

17. sec2 x dx =1 + tg x

v = 1 + tg x El diferencial esta completo,

dv = sec2 x dx se procede a integrar.

sec2 x dx = ln(1 + tg x ) + c .



50/198


1 + tg x

18. x cos x2 dx = 1 sen x2 + c .2

cos x2 . x dx =v = x

2 Falta (2) para completar el diferencial.

dv = 2x dx Se aplica: cos v dv = sen v + c .(2) cos x2 .(2)x dx = 1 sen x2 + c .

2

19. (x + sen 2x) dx = 1/2 (x2 - cos 2x) + c . x dx + sen 2x dx ={v = 2x ; dv = = 2 dx} x dx + 1 sen 2x .(2) dx = x1+1 + 1 - cos 2x =

2 1+1 2

x2 - cos 2x = 1 x2 - cos 2x + c .

2 2 2

20. sen x dx = 2 4 - cos x + c .4 - cos x

sen x dx = 2 4 - cos x + c .(4 - cos x)1/2

(4 - cos x )-1/2. sen x dx =v = (4 - cos x ) El diferencial esta completo,

dv = -(- sen x) dx = sen x dx se procede a integrar.



51/198


(4 - cos x )-1/2. sen x dx = (4 - cos x )- 1/2 + 1 =- 1/2 + 1

(4 - cos x )1/2 = 2(4 - cos x )1/2= 24 - cos x + c .

1/2

21. (1 + cos x) dx = ln (x + sen x) + c .x + sen x

v = x + sen x El diferencial esta completo, Aplicamos:

dv = (1 + cos x) dx dv = ln v + c .v

(1 + cos x) dx = ln (x + sen x) + c .x + sen x

22. sec2 d .1 + 2tg sec2 d .(1 + 2tg )1/2 (1 + 2tg )-1/2. sec2 d .v = (1 + 2tg ) Falta (2) para completar el diferencial.dv = 2 sec

2 d

(1/2) (1 + 2tg )-1/2.(2) sec2 d .. 1 (1 + 2tg )-1/2+1 = (1 + 2tg )1/2 = (1 + 2tg )1/2 =2 -1/2+ 1 2(1/2) 1

(1 + 2tg ) + c .



52/198


23. sen 2x dx3

v = 2x . Falta (2/3) para completar el diferencial.

3 Se aplica : sen v dv = - cos v + c .dv = 2/3 dx

( 3 ) sen 2x ( 2 ) dx = 3 - cos 2x = - 3 cos 2x + c2 3 3 2 3 2 3

24. cos (b + ax) dxv = (b + ax) Falta (a) para completar el diferencial.

dv = a dx Se aplica : cos v dv = sen v + c .. 1 . cos (b + ax). (a) dx = 1 . sen(b + ax) = sen(b + ax) + c .a a a

25. csc2 (a - bx) dx = {csc(a - bx)}2 .dx{v = a - bx ; dv = - b dx} Falta(-b) para completar el diferencial.

Se aplica: csc2 v dv = - cot v + c .(- 1 ) {csc 2 (a - bx)} .( - b) dx = - 1 - cot(a - bx) =b b

cot (a - bx) + c .b

26. sec tg d2 2

v = /2 . Falta (1/2) para completar el diferencial,dv = 1/2 . d sec v tg v dv = sec v + c .



53/198


( 2 ) sec tg (1/2)d= 2 sec + c .2 2 2

27. csc a cot a d b b

v = a Falta (a/b) para completar el diferencial,b Se aplica: csc v cot v dv = - csc v + c .

dv = a . d b

b csc a cot a .( a ) d =. b .{- csc a }=a b b b a b

- b csc a + c.a b

28. ex cot ex dxv = e

x El diferencial esta completo,

dv = ex dx se procede a integrar.

cotex . ex dx = ln {sen (ex)} + c .29. sec2 2 ax dx =

v = 2ax Falta (2a) para completar el diferencial.

dv = 2a dx

( 1/2a) sec2 2ax.(2a) dx = . 1 .tg 2ax = tg 2a + c .2a 2a

30. tg x dx3



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v = x/3 . Falta (1/3) para completar el diferencial.

dv = 1/3 dx Se aplica: tg v dv = - ln cos v + c = ln sec v + c .dv = 1 dx luego se procede a integrar.

3

(3) tg x (1/3) dx = 3{ - ln cos x } = 3 ln sec x + c .3 3 3

31. dt .tg 5t

cot 5t dt .v = 5t Falta (5) para completar el diferencial

dv = 5 dt luego se procede a integrar.

(1/5) cot 5t dt = 1 ln sen 5t = ln 5t + c .5 5

32. d .sen24

Por trigonometria: 1/sen24= csc24 . d = csc24 d.sen24

v = 4 Falta (4) para completar el diferencial,dv = 4 d luego se procede a integrar.

csc24 d= 1 {- cot 4 } = - cot 4 + c .4 4

33. dy .



55/198


cot 7y

tg 7y dy =v = 7y Falta (4) para completar el diferencial,

dv = 7 dy luego se procede a integrar.

Se aplica: tg v dv = - ln cos v + c = ln sec v + c .(1/7) tg 7y .(7) dy = 1 {- ln cos 7y} = - ln cos 7y =

7 7

1 ln cos 7y + c .

7

34. sen x dxx

v = x Falta 1 para completar el diferencial,dv = 1 . dx 2

2x luego se procede a integrar.

2 (2) sen x dx . 1 . 1 . dx = 2 ( - cos x ) = - 2 cos x + c . 2 x

35. dt .sen2 3t

csc2 3t dtv = 3t Falta (3) para completar el diferencial.

dv = 3 dt Se aplica: csc2 v dv = - cot v + c .( 1/3) csc23t .(3) dt = 1 ( - cot 3t ) = - cot 3t + c .

3 3



56/198


36. d .cos 4 Por Trigonometra: 1/cos 4 = sec 4 .

sec 4 d .v = 4 Falta (4) para completar el diferencial, se aplica:dv = 4 d sec v dv = ln (sec v + tg v ) + c .(1/4) sec 4 .(4) d = 1/4 { ln (sec 4 + tg 4 ) } + c .

37. a dx .cos2 bx

Por trigonometra: 1/cos2bx = sec2bx .

a sec2bx dx =v =bx Falta (4) para completar el diferencial,

dv =b dx sec2 v dv = tg v + c .a sec2bx .(b) dx = a tg bx = a tg bx + c .

b b b

38. (sec 2 - csc ) d .2 sec 2 d - csc d .

2

v = 2 v = /2dv = 2 d dv = 1/2 d



57/198


(1/2) sec 2 .(2)d - (2) csc . 1 .)d .2 2

1 {ln (sec 2 + tg 2 )} - 2 { ln csc - cot } + c .2 2 2

39. (tg + sec )2 d {tg2 + 2 tg sec + sec2 } d Por Trigonometra: tg2 = sec2 - 1. Sustituyendo en la integral .

{sec2 - 1 + 2 tg sec + sec2 } d .2 sec2 d - d + 2 tg sec } d .2 tg - + 2 sec + c .

40. ( tg 4s - cot s ) ds .4

1 tg 4s .(4) ds - (4) cot s . 1 .ds = 1 ln{sec 4s} - 4 ln sen s =4 4 4 4 4

{ln sec 4s} - 4 ln sen s + c .

4 4

41. (cot x - 1)2 dx (cot2x - 2 cotx + 1) dxPero: 1 + cot2 x = csc

2 x , reemplazando en la integral.

(csc2 x - 2 cotx ) dx



58/198


csc2 x dx - 2 cotx dx = - cot x - 2ln (sen x) = -[cot x + 2 ln (sen x)]-{cot x + ln (sen x)2 } = -{cot x + ln (sen

2 x) } + c .

42. ( sec t - 1)2 dt . (sec2 t - 2 sec t + 1) dt . sec2 t dt - 2 sec t dt + dt .tg t - 2 ln (sec t + tg t) + t + c .

43. (1 - csc y)2 dy . (1 - 2 . 1 . csc y + csc2 y) dy = (1 - 2 csc y + csc2 y) dy . dy - 2 csc y dy + csc2 y dy .y - 2ln (csc y - cot y) - cot y + c .

44. dx .1 - cos x

Racionalizando: 1 .(1 - cos x)

1 1 + cos x = 1 + cos x = 1 + cos x =1 - cos x 1 + cos x 12 - cos2 x sen2 x

1 + cos x = csc2 x + cos x .

sen2 x sen2 x sen2 x

csc2 x + cosx dx = csc2 x + (sen x)-2 . cosx dx =sen2 x



59/198


60/198


47. cos t dt .a + b sen t

cos t dt = (a + b sen t)-1/2 .cos t dt =(a + b sen t)1/2

v = (a + b sen t) Falta (b) para completar el diferencial,

dv =b cos t dt Se aplica: vn dv = vn+1 + c .n + 1

1 . (a + b sen t)-1/2.(b)cos t dt = (a + b sen t)-1/2+1 = (a + b sen t)1/2 =b (b)(-1/2 + 1) 1/2 (b)

(a + b sen t)1/2

1 = 2 (a + b sen t)1/2 = 2 (a + b sen t) + c .

b b b

2

48. csc cot d5 - 4 csc

v = 5 - 4 csc Falta (- 4) para completar el diferencial,dv = - 4 csc cot d Se aplica: dv = ln v + c .

v

(- 1 ) ( - 4) .csc cot d4 5 - 4 csc

- 1 ln (5 - 4 csc ) + c .4

49. csc2 x dx . 3 - cot x



61/198


csc2 x dx = (3 - cot x)-1/2. csc2 x dx(3 - cot x)1/2

v = 3 - cot x El diferencial esta completo.

dv = csc2x dx Se aplica: vn dv = vn+1 + c .

n+1

(3 - cot x)-1/2+1 = (3 - cot x)1/ 2= 2(3 - cot x)

1/2 =-1/2 + 1 1/2

2(3 - cot x) + c .

50. 5 + 2tg x dxcos2 x

5 + 2tg x . 1 . dx = 5 + 2tg x . sec2 x dxcos2 x

(5 + 2tg x)1/2 . sec2 x dx .v = (5 + 2tg x) Falta (2) para completar el diferencial,

dv = 2 sec2x dx Se aplica: vn dv = vn+1 + c .

n+1

( 1 ) (5 + 2tg x)1/2 .(2) sec2 x dx = . 1 . (5 + 2tg x)1/2+1 =2 2 1/2 + 1

(5 + 2tg x)3/2 = (5 + 2tg x)3/2 = (5 + 2tg x)

3 =2(3/2) 3 3

(5 + 2tg x)2.(5 + 2tg x) = (5 + 2tg x) (5 + 2tg x) + c .3 3



62/198


Problemas. Pagina 248 y 249


1. dx .x2 + 9

dx . x2 + 32v = x El diferencial esta completo, se aplica:

dv = dx dv = 1 arc tg v + c .a = 3 v

2 + a2 a a

dx = 1 .arc tg x + c .x

2

+ 3

2

3 3

2. dx .x2 - 4

dx .x2 - 22

v = x El diferencial esta completo, se aplica:dv = dx dv = 1 . ln v - a + c .a = 2 v

2 - a2 2a v + a

dx = 1 . ln x - 2 = 1 ln x - 2 + c .x2 - 22 2(2) x + 2 4 x + 2



63/198


3. dy . 25 - y2

v = y El diferencial esta completo. Se aplica: dv = dy dv = arc sen v + c .a = 5 a2 - v2 a dy = arc sen y + c .

52 - y2 5

4. ds . s2 - 16

ds . s2 - 42

v = s El diferencial esta completo.

dv = ds Se aplica: dv = ln { v + v2 - a2 } + c .a = 4 v2 - a2

ds = ln { s + s2 - 16 } + c . s2 - 425. dx .

9x2 - 4

v = 3x Falta (3) para completar el diferencial dv . dv = 3 dx Se aplica: dv = 1 . ln v - a + c .(3x)

2

- 2

2

a = 2

v

2

- a

2

2a v + a

( 1 ) (3) dx = 1 1 ln 3x - 2 = 1 .ln 3x - 2 + c .3 (3x)2 - 22 3 2(2) 3x + 2 12 3x + 2

6. dx . 16 - 9x2



64/198


dx . 42 - (3x)2


dv = 3 dx Se aplica: dv = arc sen v + c .a = 4 a

2 - v2 a

( 1 ) (3) dx = 1 .arc sen 3x + c . 3 42 - (3x)2 3 4

7. dx .9x2 - 1 dx .(3x)2 - 12

v = 3x Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica:

dv = 3 dx dv = 1 . ln v - a .a = 1 v

2

- a

2

2a v + a dx = 1 . 1 . ln 3x - 1 = 1 ln 3x - 1 + c .(3x)2 - 12 3 1(2) 3x + 1 6 3x + 1

8. dt .4 - 9t2

dt .22 - (3t)2v = 3t Falta (3) para completar el diferencial.

dv = 3 dt dv = 1 .ln v - a + c.a = 2 v

2 - a2 2a v + a



65/198


( 1 ) (3) dt = 1 . 1 . ln 2 + 3t = 1 .ln 2 + 3t + c .3 22 - (3t)2 3 2(2) 2 - 3t 12 2 - 3t

9. ex dx1 + e 2x ex dx .12 + (e x)2 v = e

x El diferencial esta completo.

dv = ex dx Se aplica: dv = 1 arc tg v + c .

a = 1 a2 + v2 a a ex dx = 1 .arc tg e x = arc tg e x + c .

12 + (e x)2 1 1

10. cos d4 - sen2 cos d .

22 - (sen)2

v = sen El diferencial esta completo, se procede a integrar.dv = cos d dv = 1 . ln a + v + c .a = 2 a

2 - v2 2a a - v

cos d = 1 ln 2 + sen = 1 ln 2 + sen + c .22 - (sen)2 2(2) 2 - sen 4 2 - sen

11. b dx .a

2

x2

- c2

b dx .(ax)2 - c2

v = ax Falta (a) para completar el diferencial.

dv = a dx dv = 1 ln v - a + c .



66/198


a = c v2 - a2 2a v + a

( 1 )(b) (a) dx = b . 1 . ln ax - c = b . ln ax - c + c .a (ax)2 - c2 a 2(c) ax + c 2ac ax + c

12. 5x dx . 1 - x4

5x dx . 12 - (x2)2

v = x2 Falta (2) para completar el diferencial. Se aplica:

dv = 2x dx dv = arc sen v + c .a = 1 a

2 - v2 a

(5) (2)x dx = 5 .arc sen x = 5 arc sen x + c2 12 - (x2)2 2 1 2

13. ax dx .x4 + b4 ax dx .(x2)2 + (b2)2

v = x2 Falta (2) para completar el diferencial. Se aplica:

dv = 2x dx dv = 1 arc tg v + c .a =b

2 v2 + a2 a a

( a ) (2) ax dx = a . 1 . arc tg x2 = a arc tg x2 + c2 (x2)2 + (b2)2 2 b2 b2 2b2 b2

14. dt .(t - 2)2 + 9



67/198


dt =(t - 2)2 + 32

v = t - 2 El diferencial esta completo, se aplica:

dv = dt dv = 1 . arc tg v + c .a = 3 v

2 + a2 a a

1 . arc tg t - 2 + c .

3 3

15. dy . 1 + a2y2

v = ay Falta (a) para completar el diferencial, se aplica:

dv = a dy dv = ln {v + a2 + v2} + c .a = 1 a

2 + v2

1 (a) dy = 1 . (a) dy = 1 ln {ay + 1 + a2y2} + c .a 1 + (ay)2 a (ay)2 + 12 a

16. du . 4 - (u + 3)2

du .22 - (u + 3)2

v = u + 3 El diferencial esta completo, se procede a integrar.

dv = du Se aplica: dv = arc sen v + c .a = 2 a

2 - v2 a

du = arc sen u + 3 + c .22 - (u + 3)2 2



68/198


17. dx .9 - 16x2

dx .32 - (4x)2v = 9 - 16x

2 Falta (4) para completar el diferencial, se aplica:

dv = 4 dx dx = arc sen v + c .a = 3 a

2 - v2 a

( 1 ) (4)dx = 1 . arc sen 4x + c .4

3

2

- (4x)

2

4 3

18. dy .9y2 + 4

dy .(3y)2 + 22

v = 3y Falta (3)para completar el diferencial.

dv = 3 dy Se aplica: dv = ln {v + v2 + a2} + c.a = 2 v

2 + a2

( 1 ) (3) dy = 1 . ln {3y + (3y)2 + 22 } =3 (3y)2 + 22 3

ln {3y + 9y2 + 4 } + c3

19. dt .4t2 + 25

dt .



69/198


(2t)2 + 52

v = 2t Falta (2) para completar el diferencial, se aplica:

dv = 2 dt dv = ln {v + v2 + a2} + c.a = 5 v

2 + a2

( 1 ) (2)dt = 1 . arc tg 2t + c .2 (2t)2 + 52 5 5

20. dx .25x2 - 4

dx .(5x)2 - 22

v = 5x Falta (5) para completar el diferencial, se aplica:

dv = 5 dx dv = 1 ln v - a . + c .a = 2 v2 - a2 2a v + a( 1 ) (5) dx = 1 1 ln 5x - 2 = 1 ln 5x - 2 + c

5 (5x)2 - 22 5 2(2) 5x + 2 20 5x + 2

21. 7 dx .3 + 7x2

7 dx .(3)2 + (7.x)2

v = 7. x Falta (7) para completar el diferencial, se aplica:

dv = 7 dx dv = 1 arc tg v + c .a = 3 a2 + v2 a a

( 1 ) 7 dx = 1 1 arc tg 7.x =7 (3)2 + (7.x)2 7 3 3



70/198


1 arc tg 7.x + c .21 3

21 . arc tg 7. 3.x = 21 arc tg 21. x + c .21.21 3. 3 21 3

22. 3 dy .9y2 - 16

3 dy .(3y)2 - 42

v = 3y El diferencial esta completo, se procede a integrar.

dv = 3 dy Se aplica: dv = 1 . ln v - aa = 4 v

2 - a2 2a v + a

3 dy = 1 . ln 3y - 4 = 1 ln 3y - 4 = ln 3y - 4 1/8 + c .(3y)2 - 42 2(4) 3y + 4 8 3y + 4 3y + 4

23. ds . 4s2 + 5

ds . (2s)2 + (5)2

v = 2s Falta (2) para conmpletar el diferencial, se aplica:

dv = 2 ds dv = ln {v + v2 + a2} + c .a = 5 v

2 + a2

( 1 ) (2)ds = 1 {ln [2s + (4s2 + 5)]} + c .2 (2s)2 + (5)2 2



71/198


24. t dt . t4 - 4

t dt . (t2)2 - (2)2

v = t2 Falta (2) para completar el diferencial, se aplica:

dv = 2t dt dv = ln {v + v2 - a2} + c .a = 2 v

2 - a2

( 1 ) (2)t dt = 1 {ln [t2 + (t4 - 4)]} + c .2 (t2)2 - (2)2 2

25. x dx . 5x2 + 3

(5x2 + 3)-1/2. x dx .v = 5x

2 + 3 Falta (10) para completar el diferencial, se aplica:

dv = 10x dx vn dv = vn+1 + c .n = -1/2

1 . (5x2 + 3)-1/2.(10) x dx = 1 . (5x2 + 3)-1/2+1 =10 10 -1/2+1

(5x2 + 3)1/2 = 5x2 + 3 + c .10(1/2) 5

26. 2x dx . 1 - 2x



72/198


2x dx . 12 - (x)2

v =x El diferencial esta completo, se procede a integrar.

dv =x dx Se aplica: dv = arc sen v + c .

a = 1 a2 - v2 a

2 x dx = 2 arc sen x = 2 arc sen x + c .12 - (x)2 1

27. 6t dt .8 - 3t2

v = 8 - 3t2 Falta el signo (-) para completar el diferencial,

dv = - 6t dt se usa la frmula: dv = ln v + c .v

(-) (-) 6t dt = - ln (8 - 3t2) + c .8 - 3t228. sen . 4 + cos2

sen d . 22 + (cos)2

v = cos Falta el signo (-) para

dv = - sen d completar el diferencial.a = 2

Se aplica: dv = ln {v + a2 + v2 } + c .a2 + v2



73/198


(-) (-)sen d = - ln { cos + 4 + cos2 } + c . 22 + (cos)2

29. dx .m2 + (x + n)2

v = x + n El diferencial esta completo, se procede a integrar.

dv = dx Se aplica: dv = 1 . arc tg v + c .a2 + v2 a a

dx = 1 . arc tg x + n + cm2 + (x + n)2 m m30. du .

4 - (2u - 1)2

du .22 - (2u - 1)2

v = 2u - 1 Falta el (2) para completar el diferencial, se aplica:

dv = 2 du dv = 1 . ln a + v + c .a = 2 a

2 - v2 2a a - v

( 1 ) (2) du = 1 . 1 . ln 2 + (2u - 1) =2 22 - (2u - 1)2 2 2.2 2 - (2u - 1)

1 . ln 2 + 2u - 1 = 1 .ln 1 + 2u + c .8 2 - 2u + 1 8 3 - 2u

31. 7x2 dx .5 - x6



74/198


Haciendo cuadrado perfecto al # 5 ,y luego le extraemos la raizcuadrada y lo elevamos al cuadrado:

7x2 dx .(5)2 - (x3)6

v = x3 Falta (3) para completar el diferencial, el (7) se

dv = 3x2 dx coloca fuera de la integral. Se aplica:

a = 5 dv = 1 . ln a + v + c .a2 - v2 2a a - v

(7. 1 ) (3)x2 dx = 7 . 1 . ln 5 + x3 = 7 . ln 5 + x3 + c3 (5)2 - (x3)6 3 2.5 5 - x3 65 5 - x3

7 . 5 . ln 5 + x3 = 7 . 5 . ln 5 + x3 =

6 5. 5 5 - x3 6 . 5 5 - x3

7 . 5 . ln 5 + x3 + c .30 5 - x3

Problemas. Pagina 250 , 251 y 252.


1. dx .x2 + 4x + 3

Factorizar el denominador y hacerlo trinomio cuadrado perfecto:Primero dividimos para (2) al coeficiente del 2do trmino , y

luego al resultado lo elevamos al cuadrado. 4/2 = 2 ; 22= 4 .

Luego: sumamos y restamos "4" a : x2 + 4x + 3.



75/198


x2 + 4x + 4 - 4 + 3 = x2 + 4x + 4 - 1 .

x2 + 4x + 4 , es un trinomio cuadrado perfecto: (x + 2)2.

Tendremos:

x2 + 4x + 4 - 1 = (x + 2 )2 - 1 = (x + 2 )

2 - 12 .

Sustituyendo este ultimo resultado en la integral; esta estar

lista para desarrollarse, se usa la frmula:

dv = 1 . ln v - a + c .v2 - a2 2a v + a

dx = dx .x2 + 4x + 3 (x + 2 )2 - 12

v = (x + 2 )

dv = dx El diferencial esta completo.

a = 1

dx = 1 . ln x + 2 - 1 = 1 ln x + 1 + c .(x + 2 )2 - 12 2.1 x + 2 + 1 2 x + 3

Nota.- Tambien habra casos en que se completa cuadrados a lacantidad sub-radical.

Este sera el arquetipo, en que se regiran los demas problemas.

2. dx .2x - x

2

- 10

- x2 + 2x - 10 = - (x2 - 2x + 10) . 2 = 1 ; 12= 12

- (x2 - 2x + 1 - 1 + 10) = - [ (x - 1)2 + 9] = - [ (x - 1)

2 + 32]



76/198


dx = - dx .- [ (x - 1)2 + 32] [ (x - 1)2 + 32]

v = x - 1 El diferencial esta completo, se procede a integrar.

dv = = dx Se emplea la frmula: dv = 1 .arc tg v + c .a = 3 v

2 + a2 a a

- dx = - 1 arc tg x - 1 + c .[(x - 1)2 + 32] 3 3

3. 3 dx .x

2

- 8x + 258/2 = 4 ; 4

2= 16

x2 - 8x + 16 - 16 + 25 = x2 - 8x + 16 + 9 = [(x - 4)

2 + 32]

3 dx .[(x - 4)2 + 32]

v = x - 4 El diferencial esta completo, se aplica: dv = dx dv = 1 arc tg v + c .

a = 3 v2 + a2 a a

(3) 3 dx = 3 . 1 . arc tg x - 4 = arc tg x - 4 + c .[(x - 4)2 + 32] 3 3 3

4. dx . 3x - x2- 2

3x - x2 - 2 = - x2 + 3x - 2 = - (x

2 - 3x + 2) ; 3 ; 3 2= 9 .2 2 4

- (x2 - 3x + 2) = - (x2 - 3x + 9 - 9 + 2) = - [(x - 3 )

2 - 9 + 8 ] =4 4 2 4 4



77/198


= - (x - 3 )2 - 1 = - (x - 3 )

2 - 1 2 = 12 - (x - 3 )2

2 4 2 2 2 2

dx . 2 - x - 3/2 2

v = x - 3/2 Esta completo el diferencial. Se aplica:

dv = dx dv = arc sen v + c .a = 1/2 a

2 - v2 a

2x - 3

= arc sen x - 3/2 = arc sen 2 =arc sen (2x - 3) + c .

5. dv .v2 - 6v + 5

v2 - 6v + 5 ; 6 = 3 ; 32= 9

2

v2 - 6v + 5 = v2 - 6v + 9 - 9 + 5 = (v - 3)2 - 4 = (v - 3)2 - 22=

Sustituyendo este valor en la integral: dv .(v - 3)2 - 22

v = v - 3 El diferencial esta completo, se emplea la frmula:

dv = dv dv = 1 . ln v - a + c .a = 2 v

2 - a2 2a v + a

dv = 1 . ln v - 3 - 2 = 1 . ln v - 5 + c .(v - 3)2 - 22 2.2 v - 3 + 2 4 v - 1

6. dx .2x2- 2x + 1



78/198


79/198


[42 - (x - 1)2]. Se reemplaza este valor en la integral.

dx = dx =15 + 2x - x2 {42 - (x - 1)2}

v = x - 1 El diferencial esta completo,se usa la frmula:

dv = dx dv = arc sen v + c .a = 4 a2 - v2 a

arc sen x - 1 + c .4

8. dx .x2 + 2x

x2 + 2x ; 2/2 = 1 ; 12= 1. Se suma y resta 1 a: x

2 + 2x .

x2 + 2x = x2 + 2x + 1 - 1 = [(x + 1)

2 - 1] = [(x + 1)2 - 12] .

dx .{(x + 1)2 - 12}

v = x + 1 El diferencial esta completo. Se usa la frmula:

dv = dx dv = 1 ln v - a + c .a = 1 v

2 - a2 2a v + a

dx = 1 ln x + 1 - 1 = 1 ln x + c.{(x + 1)2 - 12} 2.1 x + 1 + 1 2 x + 2

9. dx .4x - x2

4x - x2= - x2 + 4x = - (x

2 - 4x)

4 = 2 ; 22= 4

2



80/198


= - (x2 - 4x + 4 - 4) = = - {(x - 2)

2 - 4} = - {(x - 2)2 - 22 } =

{22 - (x - 2)2}

dx .{22 - (x - 2)2}

v = x - 2 El diferencial esta completo,se usa la frmula:

dv = dx dv = 1 . ln a + v + c .a = 2 a

2 - v2 2a a - v

1 ln 2 + x - 2 = 1 ln x = 1 ln x + c .2.2 2 - (x - 2) 4 2 - x + 2 4 4 - x

10. dx .2x - x2

2x - x2= - x2 + 2x = - (x

2 - 2x ) ; 2 = 1 ; 12= 1

2

-(x2 - 2x + 1 - 1) = {-(x - 1)2 - 1} = {-(x - 1)

2 - 12} = 12 - (x -1)2 dx .

12 - (x -1)2

v = x - 1 Esta completo el diferencial, se usa la frmula:

dv = dx dv = arc sen v + c .a = 1 a2 - v2 a

arc sen x - 1 = arc sen (x - 1) + c .1

11. ds .2as + s2



81/198


82/198


1 ln 2y + 3 - 5 + c .5 2y + 3 + 5

13. dy .1 + x + x2

1 + x + x2= x2 + x + 1 . 1 ; 1 2 = 1 .

2 2 4

= {x2 + x + 1 - 1 + 1 } = {(x + )

2 - 1 + 4 } =4 4 4 4

{(x + )2 + } = {(x + )2 + ()

2} = (x + )2 + (3/2)2.

dy =(x + )2 + (3/2)2 .

v = x + 1/2 El diferencial esta completo.

dv = dx dv = 1 arc tg v + c .a = 3/2 v2 + a2 a a

x + 1 .

dy = 1 arc tg 2 =(x + )2 + (3/2)2 3 . 3 .

2 2

2x + 1 .

2 arc tg 2 = 2 arc tg 2x + 1 + c3 3 3 3 .

2

14. dx .1 + x + x2



83/198


1 + x + x2= x2 + x + 1 . 1 ; 1

2= 1 .

2 2 4

x2 + x + 1 - 1 + 1 = {(x + )2 - 1 + 4 } = {(x + )

2 + }.

4 4 4 4

(x + )2 + 3 2 = (x +)2+ 3 2 = (x + )2 + (3/2)2

4 2

dx .{(x + )2 + (3/2)2}

v = x + 1/2 Esta completo el diferencial.

dv = dx Se aplica : dv = ln{v + v2+a2}+ c.a = 3/2 v2+a2

ln { x + + {(x + )2 + (3/2)2} =

ln {x + + (1 + x + x2)} + c.

15. dx .4x2 + 4x + 5

4x2 + 4x + 5 = 4(x2 + x + 5 ) . 1 ; 12 = 1 .

4 2 22 4

4(x2 + x + 1 - 1 + 5 ) = 4(x2 + x + 1 + 4 ) =4 4 4 4 4

4{(x + )2 + 1 } = 4 {(x + )2 + 12 }.

El factor (4) sale como fuera de la integral

1 dx .



84/198


4 {(x + 1 )2 + 12}.

2

v = x + 1/2 El diferencial esta completo:

dv = dx Se aplica: dv = 1 arc tg v + ca = 1 v

2 + a2 a a

1 . 1 arc tg x + = 1 arc tg (2x + 1) + c .4 1 1 4 2

16. dx .3x2- 2x + 4

2 .3x2 - 2x + 4 = 3(x

2 - 2/3x + 4/3). 3 = 2 = 1 ; 12 = 1 .

2 6 3 3 9

1

3[x2 - 2/3x + 1/9 - 1/9 + 4/3] = 3[(x - 1/3)2 - 1/9 + 12/9] =

3[(x - 1/3)2 + 11/9] = {3(x - 1/3)2 + (11/9)2 =

{3(x - 1/3)2 + (11/3)2}El factor (3) del denominador, sale como 1/3 fuera de la integral .

dx = 1 dx .{3(x - 1/3)2 + (11/3)2} 3 (x - 1/3)2 + (11/3)2

v = x - 1/3 El diferencial esta completo, se aplica:

dv = dx dv = 1 arc tg v + c .a = 11/3 v

2 + a2 a a

x - 1 3x - 1 .

1 . 1 . arc tg 3 = 1 arc tg 3 =3 11 11 11 11 .

.



85/198


3 3 3 .

1 . arc tg 3x - 1 + c.11 11 .

17. dx .2 - 3x - 4x2

2 - 3x - 4x2= {- 4x2 - 3x + 2} = {- 4(x

2 + x - 2/4)} ,

=; ()2= 9/642

{- 4(x2 + x + 9/64 - 9/64 - 2/4)} = {- 4[(x +)2 - 9/64 - 32/64]}

-4[(x +)2 - 41/64]} = {- 4[(x +)

2 - (41/64)2]}

{- 4[(x +)2 - (41/8)2]} = {4[(41/8)2 - (x +)2]} =

Al factor (4) se le extrae la raiz cuadrada y sale fuera de la integral como

dx = dx ={4[(41/8)2 - (x +)2]} 4 . [(41/8)2 - (x +)2] dx = 1 dx =

2a[(41/8)2 - (x +)2]} 2 [(41/8)2 - (x +)2]

v = x + El diferencial esta completo, se procede a integrar.

dv = dx Se aplica : dv = arc sen v + c .a = 41/8 a

2

- v2

a

8x + 3 .

. 1 arc sen x + = 1 arc sen 8 + c .

2 41/8 2 41 .8



86/198


87/198


1 ln x + 1 - 2 = 1 ln x - 1 + c . 2 . 2 x + 1 + 2 4 x + 3

20. dy .3 - 2y - y2

3 - 2y - y2= - y

2 - 2y + 3 = - (y2 + 2y - 3 ) .

2/2 = 1 ; 12= 1

{- (y2 + 2y + 1 - 1 - 3)} = {- [(y+ 1)2 - 1 - 3]} ={-[(y

+ 1)2 - 4]}

{- [(y+ 1)2 - 22 ]} = {22 - (y + 1 )2}.Sustituyendo en la integral.

dy .{22 - (y + 1 )2}

El diferencial esta completo, se aplica:

v = y + 1 dv = 1 ln a + v + c .dv = dy a

2 - v2 2a a - v

a = 2

1 ln 2 + y + 1 = 1 ln 3 + y = 1 ln 3 + y + c . 2(2) 2 - (y + 1) 4 2 - y - 1 4 1 - y

21. 3 du .5 - 4u - u2

5 - 4u - u2= - u

2 - 4u + 5 = - (u2 + 4u - 5) .

4/2 = 2 ; 22= 4

{- (u2 + 4u + 4 - 4 - 5)} = {- (u+ 2 )2 - 4 - 5} = {- (u

+ 2 )2 - 9}



88/198


89/198


90/198


91/198


27. dx .2 + 2x - x2

2 + 2x - x2= - x2 + 2x + 2 = - (x

2 - 2x - 2) .

2/2 = 1 ; 12= 1

{-(x2 - 2x - 2)} = {-(x2 - 2x + 1 - 1 - 2)} = {-[(x - 1)

2 - 1 - 2]} =

{-[(x - 1)2 - 3]} = {-[(x - 1)2 - (3)2]} = (3)

2 - (x - 1)2 .

dx .(3)2 - (x - 1)2

v = x - 1 El diferencial esta completo, se aplica:

dv = dx dv = 1 ln a + v + c .a = 3 a

2 - v2 2a a - v

1 ln 3 + x - 1 = 1 ln 3 + x - 1 + c .23 3 - (x - 1) 23 3 - x + 1

28. dr .r2- 2r - 3

r2 - 2r - 3 . 2 = 1 ; 12= 1

2r2 - 2r - 3 = r

2 - 2r + 1 - 1 - 3 = (r - 1)2 - 1 - 3 = (r - 1)

2 - 4 = (r - 1)2 - 22

Sustituyendo este valor en la integral. dr . (r - 1)2 - 22

v = r - 1 El diferencial esta completo, se aplica:

dv = dr dv = 1 ln v - a + c .a = 2 v

2 - a2 2a v + a

1 . ln r - 1 - 2 = 1 ln r - 3 + c .2 . 2 r - 1 + 2 4 r + 1



92/198


93/198


231. dv .

v2- 8v + 15

v2 - 8v + 15 . 8/2 = 4 ; 42= 16

v2 - 8v + 16 - 16 + 15 = (v - 4)2 - 16 + 15 = (v - 4)

2 - 1 =

(v - 4)2 - 12 . Reemplazando este valor en la integral.

dv .(v - 4)2 - 12

v = v - 4 Esta completo el diferencial, se aplica:

dv = dv dv = ln (v + v2 - a2 ) + c .a = 1 v2 - a2

ln {v - 4 + [(v - 4)2 - 12]} + c .

32. x dx .x4- x2- 1

x4 - x2 - 1 = (x2)2 - x2 - 1 . 1/2 ; (1/2)2= 1 .

4

(x2)2 - x2 - 1 = (x2)2 - x2 + - - 1 = (x

2 - )2 - - 1 =(x2 - )2 - 5/4 = (x

2 - )2 - (5/4)2= (x2 - )2 - (5/2)2=

(x2 - )2 - (5/2)2 .reemplazando este valor en la integral.

x dx .(x2 - )2 - (5/2)2

v = x2 - Falta (2) para completar

dv = 2x dx Se aplica:



94/198


a = 5 dv = 1 ln v - a + c .2 v2 - a2 2a v + a

1 (2) x dx .2 (x2 - )2 - (5/2)2x2 - 1 - 5 2x2 - 1 - 5 .

1 . 1 . ln 2 2 = 1 . ln 2 =2 2 . 5 x2 - 1 + 5 25 2x2 - 1 + 5 .

2 2 2 2 .

1 . 5 . ln 2x2 - 1 - 5 = 5 . ln 2x2 - 1 - 5 + c .25.5 2x2 - 1 + 5 10 2x2- 1 + 5

33. dt . 1 - t - 2t2

1 - t - 2t2= - 2t2 - t + 1 = -2(t

2 + t - ) .

= ; ( )2= 1/16

2

{-2(t2 + t - )} ={-2(t2 + t + 1/16 - 1/16 - )} =

{-2[(t + )2 - 1/16 - ]}={-2[(t + )2 -1/16 - 8/16]}=

{-2[(t + )2 - 9/16]} = {-2[(t + )2 - (9/16)2]}

{2(-1)[(t + )2 - ( )2]} = {2[( )2 - (t + )2]}.

dt = dt = 1 dt.

{2[ ()2 - (t + )2]} 2 [( )2 - (t + )2] 2 [( )2 - (t +)2]



95/198


v = t + El diferencial esta completo, se aplica:

dv = dt dv = arc sen v + c .a = a2 - v2 a

4t + 1 .1 arc sen t + = 1. 2 arc sen 4 = 2 arc sen 4t + 1 + c .

2 2.2 3 2 34 .

34. dx .3x2 + 4x + 1

3x2 + 4x + 1 = 3(x2 + 4/3x + 1/3). 4/3 = 4/6 = 2/3 ; (2/3)2= 4/92

3(x2 + 4/3x + 4/9 - 4/9 + 1/3) = 3{(x + 2/3)2 - 4/9 + 1/3) =

3{(x + 2/3)2 - 4/9 + 3/9) == 3{(x + 2/3)2 - 1/9} =

3{(x + 2/3)2 - (1/9)2} = 3{(x + 2/3)2 - (1/3)2} .

dx = dx = 1 dx =3x2 + 4x + 1 3{(x + 2/3)2 - (1/3)2} 3 (x + 2/3)2 - (1/3)2

v = x + 2/3 El diferencial esta completo, se aplica:

dv = dx dv = 1 . ln v - a + c .a = 1/3 v

2 - a2 2a v + a

3x + 1.

1 . 1 . ln x + 2/3 - 1/3 = 1 ln x + 1/3 = 1 ln 3 =

3 2. 1 x + 2/3 + 1/3 6 x + 3/3 2 3x + 3 .

3 3 3 .

1 ln 3x + 1 =ln 3x + 1 1/2 + c .2 3x + 3 3x + 3



96/198


35. dw .2w2 + 2w + 1

2w2 + 2w + 1 = 2(w2 + w + ) . 1/2 ; (1/2)2= 1 .

4

{2(w2 + w + - + )} = {2(w + )2 - + } =

{2(w + )2 - + 2/4} = = {2[(w + )2 + ]} =

{2(w + )2 + [()2 ]} =

{2[(w + )2 + ( )2]} .Reemplazando en la integral. dw = 1 dw .

{2[(w + )2 + ( )2]} 2 (w + )2 + ( )2

v = w + El diferencial esta completo, se aplica:

dv = dw dv = 1 arc tg v + c .a = v

2 + a2 a a

2w + 1 .

1 . 1 arc tg w + = 1 arc tg 2 =2 2 1 .

2 2 .

arc tg (2w + 1) + c .

36. x2 dx .9x6- 3x3- 1

9x6 - 3x3 - 1. Suponiendo que: x3= m 9m2 - 3m - 1 =x6= m

2

9(m2 - 3/9m - 1/9) = 9(m2 - 1/3m - 1/9) .



97/198


98/198


99/198


100/198


101/198


1 ln { x - 3/2 + (x - 3/2)2 - (2/2)2 } + c .2

Problemas. Paginas 253 y 254

Veri ficar las siguientes Integraciones:



102/198


1. (1 + 2x) dx = arc tg x + ln (1 + x2) + c .1 + x2

Primero tomamos como referencia un artificio aritmtico cualquiera:

7 + 14 = 7 + 14 ; 1 + 2x = 1 + 2x .

3 + 4 3 + 4 3 + 4 1 + x2 1 + x2 1 + x2

Aplicando este artificio en la integral: 1 + 2x dx = dx + 2x dx =1 + x2 1 + x2 1 + x2 1 + x2

v = x La 1ra integral, esta completa.dv = dx Se aplica: dv = 1 arc tg v + c .a = 1 a

2 + v2 a a

v = 1 + x2 La 2da integral, tambien esta completa.

dv = 2x dx Se aplica: dv = ln v + c. v

1 arc tg x + ln (1 + x2) = arc tg x + ln (1 + x2) + c .1 1

2. ( 2x + 1) dx . x2- 1

2x + dx .x2 - 1 x2 - 1

2x dx + dx = (x2 - 1)-1/2. 2x dx + dx =(x2 - 1)1/2 x2 - 12 x2 - 12

v = (x2 - 1) 1ra integral .Esta completo el diferencial.

dv = 2x dx Se aplica: vn dv = vn+1 + c .n = -1/2 n+1



103/198


v = x 2da integral. Se aplica:

dv = dx dx = ln (v + v2 - a2 ) + ca = 1 v2 - a2

(x2 - 1)-1/2+1 + ln{x + x2 - 12}= (x2 - 1)1/2 + ln { x + x2 - 12 }=

- 1/2 + 1 1/2

2(x2 - 1)1/2 + ln {x + x2 - 12} = 2 x2- 12 + ln{x + x2- 12} + c .

3. (x - 1) dx .1 - x2

x dx - dx = (1 - x2)-1/2. x dx - dx .1 - x2 1 - x2 1 - x2

v = 1 - x2 1ra integral . Falta (-2) para completar el diferencial.

dv = - 2x Se aplica: vn dv = vn+1 + c .n = -1/2 n+1

v = x 2da integral. Esta completo el diferencial.dv = dx Se aplica: dv = arc sen v + c . + c .a = 1 a2 - v2 a

(- 1 ) (1 - x2)-1/2.(-2) x dx - dx .2 12 - x2

- 1 . (1 - x2)-1/2+1 - arc sen x = - (1 - x2)1/2 - arc sen x =

2 -1/2+1 1 2(1/2)-(1 - x2)1/2 - arc sen x = - (1 - x2)1/2 - arc sen x + c.

4. (3x - 1) dx .(x2 + 9)



104/198


3x dx - dx = 3x dx - dx .(x2 + 9) (x2 + 9) (x2 + 32) (x2 + 32)

v = x2 + 9 1ra integral. v = x 2

da integral.

dv= 2x dx dv = dx

1ra integral. Falta (2) para completar el diferencial, se aplica: dv/v = ln v + c.Pero antes se coloca al # 3 fuera dela integral.

2da integral. Esta completo el diferencial, se aplica:

dv = 1 arc tg v + c .v2 + a2 a a

3 . 1 . (2)x dx - dx = 3 ln(x2 + 32) - 1 arc tg x + c.2 (x2 + 32) (x2 + 32) 2 3 3

5. (3s - 2) ds . 9 - s2

3s - 2 ds = 3s - 2 ds =9 - s2 9 - s2 (9 - s2)1/2 32 - s2

3 (9 - s2)-1/2.sds - 2 ds . 32 - s2

v = 9 - s2 1ra integral ,falta (-2). v = s 2da integral esta completo

dv = - 2s ds Se aplica: dv = ds el diferencial.

n = -1/2 vn dv = vn+1 + c .n + 1 dv = = 3(-1/2) (9 - s2)-1/2.(-2) sds - 2 ds .

a2 - v2 32 - s2

-3 .(9 - s2)-1/2+1 - 2 arc sen s = - 3 . (9 - s2)1/2 - 2arc sen s =



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7. (2x - 5) dx .3x2- 2

2x dx - 5dx = 2x dx - 5 dx =3x2 - 2 3x2 - 2 3x2 - 2 3x2 - 2 .

3

2x dx - 5 . 1 . dx =3x2 - 2 3 (x)2 - 2 2

3

v = 3x2 - 2 1ra integral .

dv = 6x dx Falta (3) para completar el diferencial.Se aplica: dv/v = ln v + c .

v = x 2da integral .

dv = dx Esta completo el diferencial.

a = 2 Se aplica: dv = 1 ln { v - a } + c .3 v2 - a2 2a v + a

= ( 1 ) 2(3) x dx - 5 dx =3 3x2 - 2 3 (x)2 - 2 2

3

x - 2 .1 . ln (3x2 - 2) - 5 . 1 . ln 3 =.

3 3 2. 2 x + 2 . 3 3

x - 2 . 3 .1 . ln (3x2 - 2) - 53 . ln 3 . 3 =3 6. 2 x + 2 . 3

3 . 3



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x - 61 . ln (3x2 - 2) - 5 .3 .2 . ln 3 =3 6 . 2 .2 x + 6

3

3x - 61 . ln (3x2 - 2) - 5 .6 . ln 3 = .3 6 . 2 3x + 6 .

3

1 . ln (3x2- 2) - 5 6 . ln 3x - 6 + c .3 12 3x + 6

8. (5t - 1) dt . 3t2- 9

5 t dt - dt = 5 t dt - dt=

3t2 - 9 [(3.t)2 - 32] (3t2 - 9)1/2 [(3.t)2 - 32]

5 (3t2 - 9)-1/2 . t dt - dt = [(3.t)2 - 32]

v = 3t2 - 9 Falta (6) para completar el diferencial.(1ra integral).

dv = 6t dt Se aplica: v n dv = vn+1 + c .n = -1/2 n + 1

v = 3. t Falta (3) para completar el diferencial.(2da integral).

dv = 3 Se aplica: dv = ln (v + v2 - a2 ) + c .a = 3 v2 - a2

5 . 1 . (3t2 - 9)-1/2 .(6) t dt - 1 3 dt = 6 3 [(3.t)2 - 32]

= 5 . (3t2 - 9)-1/2+1 . - 1 . ln {3.t + [(3.t)2 - 32]} =

6 -1/2 + 1 3



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Pero :[(3.t)2 - 32] = 3t2 - 9 , adems ordenando 3.t = t 3

= 5 (3t2 - 9)1/2 - 1 . ln { t 3 + 3t2- 9 } .

6 1/2 3

9. (x + 3) dx .6x - x2

Haciendo artificios con el nmerador de la integral:

x + 3 - 3 + 3 = {x - 3 + 6} = {- 3 + x + 6} = {-(3 - x) + 6}.

Reemplazando en la integral.

{-(3 - x) + 6} dx = - (3 - x) dx + 6 dx =6x - x2 6x - x2 6x - x2

Multiplicamos y dividimos para (2) al nmerador de la 1ra integral .

- 1 2(3 - x) dx + 6 dx =2 6x - x2 6x - x2

Descomponemos el denominador de la 2da integral:

6x - x2= - (x2 - 6x) . 6/2 = 3 ; 3

2= 9

- (x2 - 6x + 9 - 9) = - {(x - 3)2 - 9 = -{(x - 3)

2 - 32}. Este valor se

sustituye en la 2da integral.

- 1 2(3 - x) dx + 6 dx =2 6x - x2 -{(x - 3)2 - 32}

- 1 2(3 - x) dx + 6 dx =2 6x - x2 (-){(x - 3)2 - 32}

Sacando el signo negativo (-) fuera de la integral como producto:

- 1 2(3 - x) dx + 6 dx =



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2 6x - x2 (-) {(x - 3)2 - 32}

- 1 2(3 - x) dx - 6 dx =2 6x - x2 {(x - 3)2 - 32}

v = 6x - x2 1ra Integral. El diferencial esta completo, al hacer

dv = 6 - 2x operaciones: 2(3 - x) = 6 - 2x , nos da el verdaderodiferencial . Se aplica: dv/v = ln v + c .

v = x - 3 2da Integral. El diferencial esta completo. Se aplica:

dv = dx dv = 1 ln v - a + c .a = 3 v

2 - a2 2a v + a

- 1 ln{6x - x2} - 6 . 1 . ln x - 3 - 3 + c .

2 2 .3 x - 3 + 3

- 1 ln{6x - x2} - 6 . 1 . ln x - 6 + c .

2 6 x

- 1 ln{6x - x2} - ln x - 6 + c .2 x

10. (2x + 5) dx .x2 + 2x + 5

Suponiendo que:v= x2 + 2x + 5; dv= 2x + 2.(verdadero diferencial)

Haciendo artificios: (2x + 5) lo descomponemos en :

(2x + 2 + 3)dx = [(2x + 2) + 3]dx .

{(2x + 2) + 3}dx = (2x + 2) dx + 3 dx =x2 + 2x + 5 x2 + 2x + 5 x2 + 2x + 5

Descomponiendo: x2 + 2x + 5 . {2/2 = 1 ; 12= 1}



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x2 + 2x + 1 - 1 + 5 = x2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1)2 + 22 .

Reemplazando este resultado en la 2da integral .

(2x + 2) dx + 3 dx =x2 + 2x + 5 x2 + 2x + 5

v = x2 + 2x + 5 La 1ra integral, tiene el diferencial completo:

dv = (2x + 2) dx Se aplica: dv = ln v + c .v

La 2da integral, tambien tiene el diferencial completo:

Se aplica: dv = 1 arc tg v + c .v2 + a2 a a

(2x + 2) dx + 3 dx = (2x + 2) dx + 3 dx.

x2 + 2x + 5 x2 + 2x + 5 x2 + 2x + 5 (x + 1)2 + 22

ln (x2 + 2x + 5) + 3 . 1 .arc tg (x + 1) =

2 2

ln (x2 + 2x + 5) + 3 arc tg (x + 1) + c .2 2

11. (1 - x) dx .4x2 - 4x - 3

- (-1 + x) dx = - (x - 1) dx = - 1 8(x - 1) dx.4x2 - 4x - 3 4x2 - 4x - 3 8 4x2 - 4x - 3

- 1 8x - 8 dx = - 1 (8x - 4 - 4)dx = - 1 (8x - 4) - 4 dx8 4x2 - 4x - 3 8 4x2 - 4x - 3 8 4x2 - 4x - 3

- 1 (8x - 4) dx - 4 dx =



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2

.

- 1 ln(4x2 - 4x - 3) + 1 ln 2x - 1 - 2 =8 8.2 2x - 1 + 2

- 1 ln(4x2 - 4x - 3) + 1 ln 2x - 3 + c .8 16 2x + 1

12. (3x - 2) dx .1 - 6x - 9x2

(3x - 2) dx = - (3x - 2) dx =-(9x2 + 6x - 1) 9x2 + 6x - 1

Suponiendo que:

v = 9x2 + 6x -1; dv = 18x + 6 ;(verdadero diferencial); a :(3x - 2)

lo multiplicamos por (6) ; 6(3x - 2)dx = (18x - 12)dx y al mismo

tiempo se le opone 1/6 a la integral.

Descomponiendo :9x2 + 6x - 1 = 9(x

2 + 6/9x - 1/9) = 9(x2 + 2/3x - 1/9).Se le extrae la

mitad al coeficiente del 2do trmino y al al resultado se lo eleva

al cuadrado.

Luego, se suma y resta el resultado 1/9 : a (x + 2/3x - 1/9) .

2/3 = 2 = 1 ; { 1 }2

= 1 ; 9[(x + 2/3x + 1/9 - 1/9 - 1/9)]

2 6 3 3 9

9[(x + 1/3)2 - 1/9 - 1/9)] = 9[(x + 1/3)2 - 2/9 ] =

9[(x + 1/3)2 - (2/9)2] = 9[(x + 1/3)2 - (2/3)2].



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6 22 3x + 1 - 2

- 1 ln {9x2 + 6x - 1} + 2 ln 3x + 1 - 2 =6 22.2 3x + 1 - 2

- 1 ln {9x2 + 6x - 1} + 2 ln 3x + 1 - 2 =6 2.2 3x + 1 - 2

- 1 ln {9x2 + 6x - 1} + 2 ln 3x + 1 - 2 + c .6 4 3x + 1 - 2

13. (x + 3) dx . x2 + 2x

Suponiendo

SOLUCIONARIO - Cálculo de GRANVILLE

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