Clculo de valores de las funciones trigonomtricas para 30, 45 y 60 1.4. Clculo de valores de las funciones trigonomtricas para 30, 45 y 60

Las funciones trigonomtricas en un tringulo rectngulo implican un ngulo recto, es decir, un ngulo con una medida de 90. Considera un tringulo equiltero cuya longitud de sus lados es igual a dos unidades. Ahora, por ser ste equiltero, la amplitud de sus ngulos son congruentes cuya medida es de 60.

Al cortar dicho tringulo equiltero exactamente por la mitad, corta la longitud del lado exactamente a la mitad y la amplitud del ngulo exactamente a la mitad, por lo que se obtienen los siguientes dos tringulos rectngulos cuyas medidas son las siguientes: La longitud del lado faltante lo obtienes a travs del teorema de Pitgoras.

c2 = a2 + b2 a2 = c2 b2

a2 = (2)2 (1)2 a2 = 4 1 = 3

a = 3

Sus respectivas razones trigonomtricas correspondientes son:

Ahora, considera un tringulo issceles, la propiedad de los ngulos issceles seala que al poseer dos lados iguales, los ngulos opuestos a dichos lados tambin son iguales. Si dicho tringulo es un tringulo rectngulo y al mismo tiempo issceles, la medida de los ngulos y lados queda determinada bajo las siguientes caractersticas:

Como la suma de los ngulos internos de un tringulo es igual a 180 entonces, como ya tienes uno de 90 y dos iguales, tienes algo de la forma: 180 90 = 2x, despejando y realizando las operaciones necesarias obtienes que x = 45, dicho valor corresponde a la amplitud de cada uno de los ngulos congruentes en el tringulo rectngulo issceles. Como observas en la imagen, falta determinar un lado del tringulo el cual corresponde al valor de la hipotenusa, pero, con la ayuda del teorema de Pitgoras es fcil que obtengas su valor.

c2 = a2 + b2 c2 = (1)2 + (1)2 c2 = 1 + 1 = 2 c = 2 Sus respectivas razones trigonomtricas son: Obtn el valor de las razones trigonomtricas recprocas para el ngulo de 45.

Ejemplo:

Con la tabla de valores obtenidos anteriormente resuelve el siguiente tringulo rectngulo:

1) Calcula la medida de los catetos del siguiente tringulo rectngulo.

Toma cualquiera de las razones trigonomtricas y obtn el valor nmero de la funcin trigonomtrica como sigue: Por ejemplo: Si tomas la funcin sen 45 = a/ c, obtienes: Despejas a = c sen 45 Obtienes el valor de sen a = c (0.7071) Sustituyes c a = (8) (0.7071) Simplificas: a = 5.6568

Prctica 28 1) Un excursionista desea subir a la parte ms alta de un cerro que tiene 800 m de altura. Si el camino por donde va a subir tiene un ngulo de elevacin de 60, qu distancia deber recorrer para llegar a su meta? 2) Un edificio proyecta una sombra de 20 metros en el momento en que el sol forma un ngulo de 60 con el horizonte. Qu altura tiene el edificio? Calcula adems de las 6 funciones trigonomtricas, los lados y ngulos faltantes en los siguientes ejercicios: 3) La base de un tringulo rectngulo mide 30 m, y su lado adjunto 60 4) Uno de los lados de un tringulo rectngulo mide 8 cm y su hipotenusa 10 cm. 5) El ngulo adyacente a la base mide 39 y la hipotenusa del tringulo rectngulo mide 18 cm.

Anexo

Tabla con valores trigonomtricos para los ngulos mltiplos de 15