Calculo de-una-variable-1

S T E W A R T

J A M E S S T E W A R T S e x t a e d i c i n

S e x t a e d i c i n

El contenido de la obra que tiene usted en sus manos, Clculo de una variable: Trascendentes tempranas, se ha reorganizado de manera tal que los profesores puedan ensear las funciones trascendentes (ms que simples funciones trigonomtricas) antes de pasar a la integral. Adems, el autor desarrolla el texto basndose en lo que l llama regla de tres, es decir, plantea que los temas deben presentarse de manera geomtrica, numrica y algebraica . El nfasis en la solucin de problemas, la meticulosa exactitud, las pacientes explicaciones y los conjuntos de problemas cuidadosamente graduados son conceptos que identifican este texto clsico de clculo.

Caractersticas

La obra tiene una presentacin clara y selectiva. El autor conduce al estudiante a lo largo de un material crucial mediante una forma sencilla, correcta y analtica.

Se han incorporado nuevos ejercicios que van desde un nivel bsico hasta los muy complicados, para obligar la prctica y adquisicin de habilidades (incluyendo problemas para software y calculadora graficadora).

En el texto se enfatiza la importancia de la solucin de problemas, en el apartado Principios para la resolucin de problemas , adems de las conocidas y aumentadas secciones de Problemas adicionales .

Estamos seguros de que esta excelente obra ser para usted una herramienta fundamental en la enseanza y/o aprendizaje del Clculo.

EDICIN REVISADA

EDICIN REVISADA

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C L C U L OD E U N A V A R I A B L E

Trascendentes tempranas

S E X TA E D I C I N(Edicin revisada)

J A M E S S T E WA RT

McMASTER UNIVERSITY

Traduccin:

Jorge Humberto Romo M.Traductor Profesional

Revisin tcnica:

Dr. Ernesto Filio LpezUnidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniera y Tecnologas AvanzadasInstituto Politcnico Nacional

M. en C. Manuel Robles BernalEscuela Superior de Fsica y MatemticasInstituto Politcnico Nacional

Australia Brasil Corea Espaa Estados Unidos Japn Mxico Reino Unido Singapur

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Clculo de una variable:Trascendentes tempranas,Sexta edicinJames Stewart

Presidente de Cengage LearningLatinoamrica:Javier Arellano Gutirrez

Director general Mxico y Centroamrica:Pedro Turbay Garrido

Director editorial Latinoamrica:Jos Toms Prez Bonilla

Director de produccin:Ral D. Zendejas Espejel

Coordinadora editorial:Mara Rosas Lpez

Editor de desarrollo:Sergio R. Cervantes Gonzlez

Editor de produccin:Timoteo Eliosa Garca

Ilustrador:Brian Betsill

Composicin tipogrca:Servicios Editoriales 6Ns, S.A. de C.V.

D.R. 2008 por Cengage Learning Editores, S.A.de C.V., una Compaa de Cengage Learning, Inc.Corporativo Santa FeAv. Santa Fe, nm. 505, piso 12Col. Cruz Manca, Santa FeC.P. 05349, Mxico, D.F.Cengage Learning es una marca registradausada bajo permiso.

DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte deeste trabajo amparado por la Ley Federal delDerecho de Autor, podr ser reproducida,transmitida, almacenada o utilizada encualquier forma o por cualquier medio, ya seagrco, electrnico o mecnico, incluyendo,pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado,reproduccin, escaneo, digitalizacin,grabacin en audio, distribucin en Internet,distribucin en redes de informacin oalmacenamiento y recopilacin en sistemas deinformacin a excepcin de lo permitido en elCaptulo III, Artculo 27 de la Ley Federal delDerecho de Autor, sin el consentimiento porescrito de la Editorial.

Traducido del libro Single Variable Calculus:Early Trascendentals, Sixth EditionPublicado en ingls por Thomson/Brooks/Cole 2008ISBN: 0-495-01169-XDatos para catalogacin bibliogrca:Stewart, JamesClculo de una variable:Trascendentes tempranasSexta edicinISBN-13: 978-607-481-317-3ISBN-10: 607-481-317-5

Visite nuestro sitio en:http://latinoamerica.cengage.com

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PARA SALLY Y DON

PARA ALAN Y SHARON

PARA KELLY, KIM Y CALLUM

PARA JACKIE Y NINO

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vPrefacio xi

Al estudiante xix

Exmenes de diagnstico xx

PRESENTACIN PRELIMINAR DEL CLCULO 2

FUNCIONES Y MODELOS 10

1.1 Cuatro maneras de representar una funcin 111.2 Modelos matemticos: un catlogo de funciones bsicas 241.3 Funciones nuevas a partir de funciones antiguas 371.4 Calculadoras gracadoras y computadoras 461.5 Funciones exponenciales 521.6 Funciones inversas y logaritmos 59

Repaso 73

Principios para la resolucin de problemas 76

LMITES Y DERIVADAS 82

2.1 La tangente y los problemas de la velocidad 832.2 Lmite de una funcin 882.3 Clculo de lmites utilizando las leyes de los lmites 992.4 Denicin exacta de lmite 1092.5 Continuidad 1192.6 Lmites al innito, asntotas horizontales 1302.7 Derivadas y razones de cambio 143

Redaccin de proyecto & Mtodos anticipados para la bsqueda de tangentes 153

2.8 La derivada como una funcin 154Repaso 165

Problemas adicionales 170

2

1

CONTENIDO

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REGLAS DE DERIVACIN 172

3.1 Derivadas de polinomios y de funciones exponenciales 173

Proyecto de aplicacin & Construccin de una montaa rusa 182

3.2 Las reglas del producto y el cociente 1833.3 Derivadas de las funciones trigonomtricas 1893.4 La regla de la cadena 197

Proyecto de aplicacin & Dnde debe un piloto iniciar un descenso? 206

3.5 Derivacin implcita 2073.6 Derivadas de funciones logartmicas 2153.7 Razones de cambio en las ciencias naturales y sociales 2213.8 Crecimiento y decaimiento exponencial 2333.9 Relaciones afines 2413.10 Aproximaciones lineales y diferenciales 247

Proyecto de laboratorio & Polinomios de Taylor 253

3.11 Funciones hiperblicas 254Repaso 261


APLICACIONES DE LA DERIVACIN 270

4.1 Valores mximos y mnimos 271

Proyecto de aplicacin & El clculo de los arcoris 279

4.2 Teorema del valor medio 2804.3 Manera en que las derivadas afectan la forma de una grca 2874.4 Formas indeterminadas y la regla de lHospital 298

Redaccin de proyecto & Los orgenes de la regla de lHospital 307

4.5 Resumen de trazo de curvas 3074.6 Trazado de grcas con clculo y calculadoras 3154.7 Problemas de optimizacin 322

Proyecto de aplicacin & La forma de una lata 333

4.8 Mtodo de Newton 3344.9 Antiderivadas 340

Repaso 347


4

3

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y

0

y

0 2

m=1 m=_1

m=0

2

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INTEGRALES 354

5.1 reas y distancias 3555.2 La integral denida 366

Proyecto para un descubrimiento & Funciones de rea 379

5.3 El teorema fundamental del clculo 379

5.4 Integrales indenidas y el teorema del cambio total 391

Redaccin de proyecto & Newton, Leibniz y la invencin del clculo 399

5.5 La regla de la sustitucin 400

Repaso 408


APLICACIONES DE LA INTEGRACIN 414

6.1 reas entre curvas 4156.2 Volmenes 422

6.3 Volmenes mediante cascarones cilndricos 433

6.4 Trabajo 4386.5 Valor promedio de una funcin 442

Proyecto de aplicacin & Dnde sentarse en las salas cinematogrficas? 446

Repaso 446


TCNICAS DE INTEGRACIN 452

7.1 Integracin por partes 453

7.2 Integrales trigonomtricas 460

7.3 Sustitucin trigonomtrica 467

7.4 Integracin de funciones racionales por fracciones parciales 473

7.5 Estrategia para integracin 483

7.6 Integracin por medio de tablas y sistemas algebraicos 489

Proyecto para un descubrimiento & Patrones de integrales 494

7

6

5

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viii | | | | CONTENIDO

7.7 Integracin aproximada 495

7.8 Integrales impropias 508

Repaso 518


MS APLICACIONES DE LA INTEGRACIN 524

8.1 Longitud de arco 525

Proyecto para un descubrimiento & Concurso de la longitud de arco 532

8.2 rea de una supercie de revolucin 532Proyecto para un descubrimiento & Rotacin sobre una pendiente 538

8.3 Aplicaciones a la fsica y a la ingeniera 539

Proyecto para un descubrimiento & Tazas de caf complementarias 550

8.4 Aplicaciones a la economa y a la biologa 550

8.5 Probabilidad 555

Repaso 562


ECUACIONES DIFERENCIALES 566

9.1 Modelado con ecuaciones diferenciales 567

9.2 Campos direccionales y mtodo de Euler 572

9.3 Ecuaciones separables 580

Proyecto de aplicacin & Qu tan rpido drena un tanque? 588

Proyecto de aplicacin & Qu es ms rpido, subir o bajar? 590

9.4 Modelos de crecimiento poblacional 591

Proyecto de aplicacin & Clculo y bisbol 601

9.5 Ecuaciones lineales 602

9.6 Sistemas depredador-presa 608Repaso 614


9

8

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ECUACIONES PARAMTRICAS Y COORDENADAS POLARES 620

10.1 Curvas denidas por ecuaciones paramtricas 621

Proyecto de laboratorio & Crculos que corren alrededor de crculos 629

10.2 Clculo con curvas paramtricas 630

Proyecto de laboratorio & Curvas de Bzier 639

10.3 Coordenadas polares 639

10.4 reas y longitudes en coordenadas polares 65010.5 Secciones cnicas 654

10.6 Secciones cnicas en coordenadas polares 662

Repaso 669


SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 674

11.1 Sucesiones 675

Proyecto de laboratorio & Sucesiones logsticas 687

11.2 Series 687

11.3 La prueba de la integral y estimaciones de las sumas 697

11.4 Pruebas por comparacin 705

11.5 Series alternantes 710

11.6 Convergencia absoluta y las pruebas de la razn y la raz 714

11.7 Estrategia para probar series 721

11.8 Series de potencias 723

11.9 Representaciones de las funciones como series de potencias 728

11.10 Series de Taylor y de Maclaurin 734

Proyecto de laboratorio & Un lmite escurridizo 748

Redaccin de proyecto & Cmo descubri Newton la serie binomial 748

11.11 Aplicaciones de los polinomios de Taylor 749Proyecto de aplicacin & Radiacin proveniente de las estrellas 757

Repaso 758


11

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APNDICES A1

A Nmeros, desigualdades y valores absolutos A2B Geometra de coordenadas y rectas A10C Grcas de ecuaciones de segundo grado A16D Trigonometra A24

E Notacin sigma A34F Pruebas de teoremas A39G El logaritmo denido como una integral A48H Nmeros complejos A55I Respuestas a ejercicios de nmero impar A63

NDICE A113

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Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero hay un grano de descu-brimiento en la solucin de cualquier problema. El problema del lector puedeser modesto, pero desafa su curiosidad y pone en juego sus facultades inventi-vas; si lo resuelve por s solo puede experimentar la tensin y disfrutar el triunfodel descubrimiento.

GEORGE POLYA

PREFACIO

El arte de ensear, dijo Mark Van Doren, es el arte de ayudar en un descubrimiento. Hetratado de escribir un libro que ayude a estudiantes a descubrir el clculo, por su poderprctico y sorprendente belleza. En esta edicin, al igual que en las primeras cinco edicio-nes, mi meta es expresar al estudiante un sentido de la utilidad del clculo y desarrollarcompetencia tcnica en l, pero tambin me esfuerzo en dar alguna apreciacin de la be-lleza intrnseca de esta materia. Es indudable que Newton experiment una sensacinde triunfo cuando hizo sus grandes descubrimientos. Mi deseo es que el estudiante com-parta en algo esa emocin.

El nfasis est en entender conceptos. Creo que casi todos estamos de acuerdo en questa debe ser el objetivo principal de aprender clculo. De hecho, el mpetu para el actualmovimiento de reforma del clculo provino de la Conferencia de Tulane de 1986, queformul como su primera recomendacin:

Concentrarse en entender conceptos

He tratado de poner en prctica esta meta a travs de la Regla de Tres: Los temas debenpresentarse de manera geomtrica, numrica y algebraica. La visualizacin, la experimen-tacin numrica y grca, y otros mtodos, han cambiado de modo fundamental la formaen que enseamos el razonamiento conceptual. Ms recientemente, la Regla de Tres seha expandido para convertirse en la Regla de Cuatro al resaltar tambin el punto de vistaverbal, o descriptivo.

Al escribir la sexta edicin, mi promesa ha sido que es posible lograr la comprensinde conceptos y retener todava las mejores tradiciones del clculo tradicional. El libro con-tiene elementos de reforma, pero dentro del contexto de un currculo tradicional.

VERSIONES ALTERNATIVAS

He escrito otros libros de clculo diversos que podran ser preferidos por algunos profeso-res. Casi todos ellos vienen en versiones de una variable y de varias variables.& Clculo, Sexta edicin, es semejante al presente libro con excepcin de que las funciones

exponenciales, logartmicas y trigonomtricas inversas se tratan en el segundo semestre.& Clculo esencial es un libro mucho ms breve (800 pginas), aun cuando contiene casi

todos los temas del presente libro. La brevedad relativa se alcanza por medio de expo-siciones ms breves de algunos temas y poniendo algunos elementos en el sitio web.

& Clculo esencial: Primeras trascendentales se asemeja al Clculo esencial, pero lasfunciones exponenciales, logartmicas y trigonomtricas inversas se tratan en el Ca-ptulo 3.

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& Clculo: conceptos y contextos, Tercera edicin, destaca la comprensin de conceptoscon ms vehemencia incluso que este libro. El tratamiento de temas no es enciclop-dico, y el material sobre funciones trascendentales y sobre ecuaciones paramtricas seentrelaza en todo el libro, en lugar de tratarlo en captulos separados.

& Clculo: primeros vectores introduce vectores y funciones vectoriales en el primer se-mestre y los integra en todo el libro. Es apropiado para estudiantes que toman cursosde ingeniera y fsica de modo concurrente con clculo.

LO NUEVO EN LA SEXTA EDICIN

Veamos a continuacin algunos de los cambios para la sexta edicin de Clculo de unavariable: Trascendentes tempranas:& Al principio del libro hay cuatro exmenes de diagnstico, en lgebra bsica, geome-

tra analtica, funciones y trigonometra. Se dan las respuestas y el estudiante que nolo haga bien se remite a donde pueda buscar ayuda (Apndices, secciones de repasodel Captulo 1, y la web).

& En respuesta a las peticiones de diversos usuarios, el material que motiva la derivadaes ms breve: las Secciones 2.7 y 2.8 se combinan en una sola seccin llamada Deri-vadas y Magnitudes de Rapidez de Cambio.

& La seccin de Derivadas de Orden Superior del Captulo 3 ha desaparecido y esematerial est integrado en varias secciones de los Captulos 2 y 3.

& Los profesores que no cubren el captulo sobre ecuaciones diferenciales han comenta-do que la seccin sobre Crecimiento y Decadencia Exponenciales estaba ubicada enun lugar inadecuado. De conformidad con esto, se ha cambiado al principio del libro,al Captulo 3. Este movimiento precipita una reorganizacin de los Captulos 3 y 9.

& Las Secciones 4.7 y 4.8 se unen en una sola seccin, con un tratamiento ms breve deproblemas de optimizacin en nanzas y economa.

& Las Secciones 11.10 y 11.11 se unen en una sola. Previamente, yo haba descrito laserie del binomio en su propia seccin para destacar su importancia pero me enterque algunos profesores estaban omitiendo esta seccin, de modo que decid incorpo-rar la serie del binomio en la 11.10.

& Se han agregado nuevas frases y notas marginales para aclarar la exposicin.& Se han vuelto a dibujar nuevas guras.& Los datos en ejemplos y ejercicios se han actualizado para ser ms oportunos.& Numerosos ejemplos se han agregado o cambiado. Por mencionar alguno, el Ejemplo 2

de la pgina 185 se cambi porque era frecuente que los estudiantes se desconcertaranal ver constantes arbitrarias en un problema, por lo que quise dar un ejemplo en elque se presentan.

& Se han incluido pasos adicionales en algunos de los problemas existentes.& Ms del 25% de los ejercicios de cada uno de los captulos es nuevo. He aqu algunos

de mis favoritos: 3.1.79, 3.1.80, 4.3.62, 4.3.83 y 11.11.30.& Tambin hay algunos buenos problemas nuevos en las secciones de Problemas Adi-

cionales. Observen, por ejemplo, los Problemas 2 y 13 de la pgina 413, el Problema13 de la pgina 450, y el Problema 24 de la pgina 763.

& El nuevo proyecto de la pgina 550, Tazas de caf complementarias, proviene de unartculo de Thomas Banchoff en el que l se preguntaba cul de dos tazas de caf,cuyos perles convexo y cncavo ajustaban perfectamente, contendra ms caf.

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& El captulo de Herramientas para Enriquecer el Clculo (TEC, por sus siglas en in-gls) se ha rediseado por completo y est accesible en el Internet en www.stewart-calculus.com. Ahora incluye lo que llamamos visuales, que son breves animacionesde diversas guras del texto. Vea la descripcin en la pgina 14.

SECCIONES

EJERCICIOS CONCEPTUALES La forma ms importante de favorecer la comprensin de conceptos es por medio de losproblemas que dejamos de tarea, para cuyo n hemos ideado diversos tipos de problemas.Algunos conjuntos de ejercicios empiezan con peticiones para que el estudiante explique lossignicados de los conceptos bsicos de la seccin. (Vea, por ejemplo, los primeros ejer-cicios de las Secciones 2.2, 2.5 y 11.2.) Del mismo modo, todas las secciones de repasoempiezan con una Revisin de Conceptos y Preguntas de Verdadero-Falso. Otros ejerciciossometen a prueba la comprensin de conceptos mediante grficas o tablas (vea Ejerci-cios 2.7.17, 2.8.33-38, 2.8.41-44, 9.1.11-12, 10.1.24-27 y 11.10.2).

Otro tipo de ejercicio emplea la descripcin verbal para probar la comprensin deconceptos (Vea Ejercicios 2.5.8, 2.8.56, 4.3.63-64 y 7.8.67). En lo particular, valorolos problemas que combinan y comparan mtodos grcos, numricos y algebraicos (veaEjercicios 2.6.37-38, 3.7.25 y 9.4.2).

CONJUNTO DE EJERCICIOS Cada uno de los conjuntos de ejercicios se calica cuidadosamente, avanzando desde ejerci-CALIFICADOS cios bsicos de conceptos y problemas para desarrollo de habilidades hasta problemas de

mayor grado de dicultad que comprenden aplicaciones y pruebas.

DATOS REALES Mis ayudantes y yo hemos pasado mucho tiempo en bibliotecas, en empresas y ocinasgubernamentales, y buscando informacin real en Internet para presentar, motivar e ilus-trar los conceptos de clculo. Como resultado de esto, muchos de los problemas y ejerci-cios hablan de funciones denidas por esta informacin numrica o grcas. Vea, porejemplo, la Figura 1 de la Seccin 1.1 (sismgrafos del terremoto en Northridge), el Ejer-cicio 2.8.34 (porcentaje de poblacin de menos de 18 aos), el Ejercicio 5.1.14 (velocidaddel transbordador espacial Endeavour), y la Figura 4 de la Seccin 5.4 (consumo de ener-ga elctrica en San Francisco).

PROYECTOS Un modo de interesar a estudiantes y hacerlos lectores activos es hacerlos trabajar (quizen grupos) en proyectos prolongados que den la sensacin de un logro importante cuan-do se terminen. He incluido cuatro clases de proyectos: Proyectos de Aplicacin que com-prenden aplicaciones diseadas para apelar a la imaginacin de estudiantes. El proyectodespus de la Seccin 9.3 pregunta si una pelota lanzada hacia arriba tarda ms en alcan-zar su altura mxima o en caer a su altura original. (La respuesta podra sorprenderlo.)Los Proyectos de Laboratorio se reeren a tecnologa; el que sigue de la Seccin 10.2muestra cmo usar curvas de Bzier para disear formas que representan letras para unaimpresora lser. Los Redaccin de Proyectos piden a estudiantes comparar mtodos ac-tuales con los de los fundadores del clculo: el mtodo de Fermat para hallar tangentes,por ejemplo. Se sugieren referencias. Los Proyectos para un Descubrimiento anticipanresultados que se discuten ms adelante o estimulan el descubrimiento por medio del re-conocimiento de guras (vea la que sigue a la Seccin 7.6). Se pueden hallar proyectosadicionales en la Gua del Profesor (vea, por ejemplo, el Ejercicio 5.1 de Grupo: Posicindesde muestras).

RESOLUCIN DE PROBLEMAS Es comn que los estudiantes tengan dicultades con problemas para los que no hay un so-lo procedimiento bien denido para obtener una respuesta. Pienso que no hay nadie quehaya mejorado en mucho la estrategia de George Polya para la resolucin de problemasen cuatro etapas y, de conformidad con esto, he incluido una versin de sus principiospara la resolucin de problemas despus del Captulo 1. Se aplican, tanto implcita como

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explcitamente, en todo el libro. Despus de los otros captulos he puesto secciones llamadasProblemas Adicionales, que presentan ejemplos de cmo atacar los desaantes problemasde clculo. Al seleccionar los diversos problemas para estas secciones, siempre tuve presen-te el consejo de David Hilbert: Un problema matemtico debe ser difcil para convencernos,pero no inaccesible como para frustrarnos. Cuando pongo estos desaantes problemas entareas y exmenes los calico de forma diferente. Aqu recompenso muy bien a un estu-diante por sus ideas hacia una solucin y por reconocer cules principios de resolucin deproblemas son relevantes.

TECNOLOGA La disponibilidad de tecnologa no hace menos importante sino ms importante entenderclaramente los conceptos que son las bases de las imgenes que aparecen en pantalla.Cuando se usan en forma adecuada, las calculadoras de grcas y las computadoras sonpoderosas herramientas para descubrir y entender esos conceptos. Este texto se puede usarcon o sin tecnologa y aqu uso dos smbolos especiales para indicar con claridad cundose requiere un tipo particular de mquina. El icono ; indica un ejercicio que en formadenitiva requiere el uso de esta tecnologa, pero no es para indicar que no se puede usartambin en los otros ejemplos. El smbolo se reserva para problemas en los que se re-quieren todos los recursos de un sistema computarizado de lgebra (como Derive, Maple,Mathematica o TI-89/92). Con todo, la tecnologa no deja obsoletos al lpiz y papel. A vecesson preferibles los clculos y dibujos hechos manualmente para ilustrar y reforzar algunosconceptos. Tanto profesores como estudiantes necesitan desarrollar la capacidad de deci-dir cundo es apropiada la mano o una mquina.

El TEC es un compaero de este libro de texto y est pensado para enriquecer y comple-mentar su contenido. (Ahora est accesible por Internet en www.stewartcalculus.com.)Creado por Harvey Keynes, Dan Clegg, Hubert Hohn y por m, el TEC utiliza un mtodode descubrimiento y exploracin. En algunas secciones de este libro en donde la tecnolo-ga es particularmente apropiada, los iconos situados a los mrgenes dirigen a estudiantesa mdulos del TEC que dan un ambiente de laboratorio en el que pueden explorar el temaen formas diferentes y a niveles diferentes. Visual son animaciones de guras del texto;Module son actividades ms elaboradas e incluyen ejercicios. Los profesores pueden es-coger participar en varios niveles diferentes, que van desde simplemente estimular al estu-diante a usar Visual y Module para exploracin independiente, hasta asignar ejerciciosespeccos de los incluidos en cada Module, o para crear ejercicios adicionales, laborato-rios y proyectos que hacen uso de Visual y Module.

El TEC tambin incluye Homework Hints para ejercicios representativos (por lo gene-ral de nmeros impares) en cada una de las secciones de este libro, indicados al imprimiren rojo el nmero del ejercicio. Estas sugerencias suelen presentarse en forma de preguntasy tratan de imitar un asistente efectivo de enseanza al funcionar como profesor particularsilencioso. Los ejercicios estn construidos para no revelar ms de la solucin real de loque es el mnimo necesario para avanzar ms.

WEBASSIGN MEJORADO La tecnologa est teniendo impacto en la forma en que se asignan tareas a estudiantes, so-bre todo en grupos numerosos. El uso de tareas en lnea es creciente y su inters dependede la facilidad de uso, precisin en calicacin y conabilidad. Con la sexta edicin hemosestado trabajando con la comunidad de clculo y WebAssign para crear un sistema de ta-reas en lnea. Hasta 70% de los ejercicios de cada seccin son asignables a tareas en lnea,incluyendo formatos de respuesta libre, opcin mltiple y partes diversas. Algunas preguntasson problemas de partes diversas sobre simulaciones de los Module del TEC.

El sistema tambin incluye ejemplos activos, en los que los estudiantes son guiados enel material didctico paso a paso por ejemplos del texto, con vnculos al libro de texto ysoluciones en video.

TOOLS FOR ENRICHING

CALCULUS

CAS

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Este sitio se ha renovado y ahora incluye lo siguiente:& Repaso de lgebra& Miente mi Calculadora y la Computadora me Dijo& Historia de las matemticas, con vnculos a los mejores sitios web histricos& Temas adicionales (completos con conjuntos de ejercicios): series de Fourier, frmu-

las para el resto del semestre en series de Taylor, rotacin de ejes& Problemas archivados (ejercicios de prctica que aparecieron en ediciones anteriores,

junto con sus soluciones)& Problemas de desafo (algunos de las secciones de Problemas especiales de ediciones

anteriores)& Vnculos, para temas en particular, a fuentes externas de la Web& Las Tools for Enriching Calculus (TEC), Module, Visual y Homework Hints

CONTENIDO

Exmenes de diagnstico El libro empieza con cuatro exmenes de diagnstico, en lgebra bsica, geometra anal-tica, funciones y trigonometra.

Presentacin preliminar del clculo ste es un repaso del tema e incluye una lista de preguntas para motivar el estudio delclculo.

Desde el principio, se destacan representaciones mltiples de funciones: verbales, num-ricas, visuales y algebraicas. Un estudio de los modelos matemticos lleva a un repaso delas funciones estndar, incluyendo funciones exponenciales y logartmicas, desde estoscuatro puntos de vista.

2 & Lmites y derivadas El material sobre lmites est motivado por un examen ya anterior de problemas de la tan-gente y velocidad. Los lmites se tratan aqu desde puntos de vista descriptivos, grcos,numricos y algebraicos. La Seccin 2.4, que trata de la denicin precisa de e-d de un lmi-te, es una seccin opcional. Las Secciones 2.7 y 2.8 se reeren a derivadas (en especial confunciones denidas grca y numricamente) antes de tratar las reglas de derivacin en elCaptulo 3. Aqu los ejemplos y ejercicios exploran los signicados de derivadas en varioscontextos. Las derivadas de orden superior se introducen ahora en la Seccin 2.8.

Todas las funciones bsicas, incluyendo funciones exponenciales, logartmicas y trigono-mtricas inversas se derivan aqu. Cuando las derivadas se calculan en situaciones de apli-cacin, a los estudiantes se les pide explicar sus signicados. El crecimiento y decaimientoexponenciales se tratan ahora en este captulo.

Los datos bsicos referentes a valores extremos y formas de curvas se deducen del Teore-ma del Valor Medio. Gracar con tecnologa destaca la interaccin entre clculo y calcu-ladoras y el anlisis de familias de curvas. Se dan algunos problemas de optimizacinimportante, incluyendo una explicacin de por qu es necesario levantar la cabeza 42 paraver la parte superior de un arcoris.

5 & Integrales El problema del rea y el problema de la distancia sirven para motivar la integral denida,con la notacin sigma introducida segn sea necesario. (Un tratamiento completo de la no-tacin sigma se da en el Apndice E). Se hace nfasis en explicar los signicados de inte-grales en diversos contextos y en estimar sus valores a partir de grcas y tablas.

4 & Aplicaciones de

la derivacin

3 & Reglas de derivacin

1 & Funciones y modelos

PGINA WEB

www.stewartcalculus.com

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6 & Aplicaciones de la integracin Aqu presento las aplicaciones de integracin, es decir, rea, volumen, trabajo, valor pro-medio, que razonablemente se pueden hacer sin tcnicas especializadas de integracin.Se destacan mtodos generales. La meta es que los estudiantes puedan dividir una can-tidad en partes pequeas, estimar con sumas de Riemann y reconocer el lmite comouna integral.

7 & Tcnicas de integracin Se tratan todos los mtodos estndar pero, por supuesto, el desafo real es ser capaz de re-conocer cul tcnica se usa mejor en una situacin dada. De conformidad con esto, en laSeccin 7.5 presento una estrategia para integracin. El uso de un sistema computarizadode lgebra se ve en la Seccin 7.6.

Aqu estn las aplicaciones de integracin la longitud de arco y el rea supercial pa-ra las que es til tener disponibles todas las tcnicas de integracin, as como aplicacionesa la biologa, economa y fsica (fuerza hidrosttica y centros de masa). Tambin he inclui-do una seccin sobre probabilidad. Hay aqu ms aplicaciones de las que en realidad sepuedan cubrir en un curso determinado. Los profesores deben seleccionar aplicacionesapropiadas para sus estudiantes y para las que ellos mismos puedan interesarse.

9 & Ecuaciones diferenciales La creacin de modelos es el tema que unica este tratamiento de introduccin a las ecua-ciones diferenciales. Los campos de direccin y el mtodo de Euler se estudian antes quelas ecuaciones separables y lineales se resuelvan de forma explcita, de manera que losmtodos cualitativo, numrico y analtico reciben igual consideracin. Estos mtodos seaplican a los modelos experimental, logstico y otros para crecimiento poblacional. Lasprimeras cuatro de cinco secciones de este captulo sirven como una buena introduccin aecuaciones diferenciales de primer orden. Una seccin nal opcional utiliza modelos depredador-presa para ilustrar sistemas de ecuaciones diferenciales.

Este captulo introduce curvas paramtricas y polares y aplica los mtodos del clculo aellas. Las curvas paramtricas son bien apropiadas para proyectos de laboratorio; las dosque aqu se presentan comprenden familias de curvas y curvas de Bzier. Un breve trata-miento de secciones cnicas en coordenadas polares prepara el camino para las leyes deKepler en el Captulo 13.

Las pruebas de convergencia tienen justicaciones intuitivas (vea pgina 697) as comopruebas formales. Las estimaciones numricas de sumas de series estn basadas en culprueba se us para demostrar una convergencia. El nfasis est en la serie y polinomiosde Taylor y sus aplicaciones a la fsica. Las estimaciones de error incluyen los de aparatos degrcas.

MATERIAL AUXILIAR

Clculo: Trascendentes tempranas, Sexta edicin, est apoyado por un conjunto completode materiales auxiliares creados bajo mi direccin. Cada parte se ha diseado para mejo-rar la comprensin del estudiante y para facilitar una enseanza creativa.

MATERIAL DE APOYO PARA EL PROFESOR

Este libro cuenta con una serie de recursos para el profesor, los cuales estn disponibles eningls y slo se proporcionan a los docentes que lo adopten como texto en sus cursos. Paramayor informacin, pngase en contacto con el rea de servicio a clientes en las siguientesdirecciones de correo electrnico:

Cengage Learning Mxico y Centroamrica [email protected] Learning Caribe [email protected]

11 & Sucesiones y series infinitas

10 & Ecuaciones paramtricas

y coordenadas polares

8 & Ms aplicaciones

de la integracin

xvi | | | | PREFACIO

Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xvi

Cengage Learning Cono Sur [email protected] Learning Pacto Andino [email protected]

Los recursos disponibles se encuentran disponibles en el sitio web del libro:

http://latinoamerica.cengage.com/stewart6

Las direcciones de los sitios web referidas en el texto no son administradas por CengageLearning Latinoamrica, por lo que sta no es responsable de los cambios o actualizacio-nes de las mismas.

REVISIN DE LA SEXTA EDICIN

He sido muy afortunado por haber trabajado con algunos de los mejores editores dematemticas en el negocio por ms de dos dcadas: Ron Munro, Harry Campbell, CraigBarth, Jeremy Hayhurst, Gary Ostedt y ahora, Bob Pirtle. Bob contina en esta tradicinde editores quienes mientras escuchan consejos y ofrecen una amplia ayuda, confan enmis instintos y me permiten escribir los libros que deseo escribir.

JAMES STEWART

AGRADECIMIENTOS

Asimismo, deseamos agradecer la valiosa colaboracin de los profesores: Dr. Manuellvarez Blanco, MSc. Jos Ignacio Cuevas Gonzles y MSc. Eduardo Fernandini Capurro,Profesores Principales del rea de Ciencias, de la Universidad Peruana de Ciencias Apli-cadas (UPC) miembro del grupo Laureate International Universities, en la revisin de estasexta edicin en espaol.

ATENTAMENTE,

LOS EDITORES.

Marilyn Belkin, Villanova UniversityPhilip L. Bowers, Florida State UniversityAmy Elizabeth Bowman, University of Alabama in HuntsvilleM. Hilary Davies, University of Alaska AnchorageFrederick Gass, Miami UniversityNets Katz, Indiana University BloomingtonJames McKinney, California State Polytechnic University, PomonaMartin Nakashima, California State Polytechnic University, PomonaLila Roberts, Georgia College and State UniversityPaul Triantalos Hadavas, Armstrong Atlantic State University

PREFACIO || | | xvii

Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xvii

Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xviii

AL ESTUDIANTE

xix

Leer un libro de clculo es diferente a leer un peridico o unanovela, o incluso un libro de fsica. No se desanime si tieneque leer un pasaje ms de una vez para entenderlo. Debe tenerlpiz, papel y calculadora a la mano para bosquejar un diagra-ma o hacer un clculo.

Algunos estudiantes empiezan por tratar sus problemas detarea y leen el texto slo si se atoran en un ejercicio. Sugieroque un plan mucho mejor es leer y entender una seccin deltexto antes de abordar los ejercicios. En particular, el estudian-te debe leer las deniciones para ver los signicados exactosde los trminos. Y antes de leer cada ejemplo, sugiero que lleguehasta la solucin y trate de resolver el problema por s mismo.Obtendr mucho ms de ver la solucin si lo hace as.

Parte de la meta de este curso es capacitar al estudiante parapensar de una manera lgica. Aprenda a escribir las solucionesde los ejercicios de un modo enlazado y paso a paso con fra-ses explicativas, no slo una hilera de ecuaciones o frmulasdesconectadas.

Las respuestas a los ejercicios de nmeros impares apare-cen al nal de este libro, en el apndice I. Algunos ejerciciospiden una explicacin verbal o interpretacin o descripcin. Enestos casos no una sola forma correcta de expresar la respuesta,de modo que no se preocupe por no hallar la respuesta deniti-va. Adems, a veces hay varias formas diferentes en las cualesse expresa una respuesta numrica o algebraica, de modo que sisu respuesta difiere de la ma no suponga de inmediato queest en un error. Por ejemplo, si la respuesta dada en la partenal de este libro es y usted obtiene , en-tonces tiene razn y racionalizar el denominador demostrarque las respuestas son equivalentes.

El icono ; indica un ejercicio que denitivamente requiereel uso ya sea de una calculadora de grcas o una computadoracon software de grcas. Con todo, esto no significa que losaparatos de grficas no se puedan usar para comprobar el

trabajo en los otros ejercicios. El smbolo se reserva paraproblemas en los que se requieren todos los recursos de un sis-tema computarizado de lgebra (como el Derive, Maple, Ma-thematica, o la TI-89/92). Tambin encontrar el smbolo |que advierte para no cometer un error. He puesto este smboloen mrgenes en situaciones donde he observado que una granparte de mis estudiantes tienden a cometer el mismo error.

Al Tools for Enriching Calculus, que es compaero de estelibro, se hace referencia mediante el smbolo y se pue-de tener acceso al mismo en www.stewartcalculus.com. Dirigeal estudiante a mdulos en los que puede explorar aspectos declculo para los que la computadora es particularmente til. ElTEC tambin da Homework Hints para ejercicios representa-tivos que estn indicados con un nmero de ejercicio impresoen rojo: . Estas sugerencias de tarea hacen preguntas al es-tudiante que le permiten avanzar hacia una solucin sin dar enrealidad su respuesta. El lector tiene que seguir cada una de lassugerencias de una manera activa con papel y lpiz para trabajarlos detalles. Si una sugerencia en particular no lo hace capazde resolver un problema, puede hacer clic para ver la siguientesugerencia.

Recomiendo que conserve este libro como referencia despusque termine el curso. Debido a que es probable que el lectorolvide algunos de los detalles especcos del clculo, el libro ser-vir como un til recordatorio cuando necesite usar clculo encursos subsiguientes. Tambin, como este libro contiene ms ma-terial del que se puede cubrir en cualquier curso, puede servircomo un valioso recurso para cualquier cientco o ingeniero.

El clculo es una materia extraordinaria, justamente consi-derada como uno de los mayores logros de la mente humana.Espero que el lector descubra que no es slo til sino tambinintrnsecamente hermoso.

JAMES STEWART

15.

TEC

CAS

11 s2s2 1

Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xix

xx

EXMENES DE DIAGNSTICO

El xito en clculo depende en gran medida del conocimiento de las matemticas que prece-den al clculo: lgebra, geometra analtica, funciones y trigonometra. Los exmenes quesiguen tienen el propsito de diagnosticar los puntos dbiles que el lector pudiera tener enestos campos del conocimiento y, despus de tomar cada uno de estos exmenes, puedevericar sus respuestas contra las respuestas dadas. Adems, si es necesario, puede recordaro actualizar sus conocimientos si consulta los materiales de repaso que tambin se dan aqu.

EXAMEN DE DIAGNSTICO: LGEBRAA

1. Sin usar calculadora, evale cada una de estas expresiones.

(a) (3)4 (b) 34 (c) 34

(d) (e) (f) 163/4

2. Simplique estas expresiones. Escriba su respuesta sin exponentes negativos.

(a)(b) (3a3b3)(4ab2)2

(c)

3. Expanda y simplique.

(a) 3(x 6) 4(2x 5) (b) (x 3)(4x 5)(c) (d) (2x 3)2

(e) (x 2)3

4. Factorice estas expresiones.

(a) 4x2 25 (b) 2x2 5x 12(c) x3 3x2 4x 12 (d) x4 27x(e) 3x3/2 9x1/2 6x1/2 (f) x3y 4xy

5. Simplique la expresin racional.

(a) (b)

(c) (d) yx

x

y1y

1x

x2

x2 4

x 1x 2

2x2 x 1x2 9

x 3

2x 1x2 3x 2x2 x 2

sa sbsa sb

3x32y3x2y122

s200 s32

232523521

Examen de diagnstico 06/04/2009 17:41 Page xx

6. Racionalice la expresin y simplique.

(a) (b)

7. Complete el cuadrado de lo siguiente.(a) x2 x 1 (b) 2x2 12x 11

8. Resuelva la ecuacin. (Encuentre slo las soluciones reales.)

(a) (b) (c) x2 x 2 0 (d) 2x2 4x 1 0(e) x4 3x2 2 0 (f) (g)

9. Resuelva estas desigualdades, use notacin de intervalo.

(a) 4 5 3x 17 (b) x2 2x 8(c) x(x 1)(x 2) 0 (d)

(e)

10. Exprese si cada una de estas ecuaciones es verdadera o falsa.(a) (p q)2 p2 q2 (b)

(c) (d)

(e) (f) 1xax bx

1

a b1

x y

1x

1y

1 TCC

1 Tsa2 b2 a b

sab sa sb

2x 3x 1

1

x 4 3

2x4 x12 3s4 x 0

3x 4 10

2xx 1

2x 1

xx 5 14 12x

s4 h 2h

s10s5 2

EXMENES DE DIAGNSTICO || | | xxi

6. (a) (b)

7. (a) (b) 2(x 3)2 7

8. (a) 6 (b) 1 (c) 3, 4(d) (e) (f) (g)

9. (a) [4, 3) (b) (2, 4)(c) (2, 0) (1, ) (d) (1, 7)(e) (1, 4]

10. (a) Falsa (b) Verdadera (c) Falsa(d) Falsa (e) Falsa (f) Verdadera

125

23,

2231 s21 12 s2

x 122 34

1s4 h 25s2 2s10

1. (a) 81 (b) 81 (c) (d) 25 (e) (f)

2. (a) (b) 48a5b7 (c)

3. (a) 11x 2 (b) 4x2 7x 15(c) a b (d) 4x2 12x 9(e) x3 6x2 12x 8

4. (a) (2x 5)(2x 5) (b) (2x 3)(x 4)(c) (x 3)(x 2)(x 2) (d) x(x 3)(x2 3x 9)(e) 3x1/2(x 1)(x 2) (f) xy(x 2)(x 2)

5. (a) (b)

(c) (d) (x y)1x 2

x 1x 3

x 2x 2

x

9y76s2

18

94

181

RESPUESTAS AL EXAMEN DE PRUEBA A : LGEBRA

Si el lector tiene dicultad con estos problemas, puede consultar Reviewof Algebra (repaso de lgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com.

Examen de diagnstico 06/04/2009 17:41 Page xxi

xxii | | | | EXMENES DE DIAGNSTICO

EXAMEN DE DIAGNSTICO: GOMETRA ANALTICAB

1. Encuentre una ecuacin para la recta que pasa por el punto (2, 5) y(a) tiene pendiente 3(b) es paralela al eje x(c) es paralela al eje y(d) es paralela a la recta 2x 4y 3

2. Encuentre una ecuacin para el crculo que tiene centro en (1, 4) y pasa por el punto (3, 2).

3. Encuentre el centro y radio del crculo con ecuacin x2 y2 6x 10y 9 0.

4. Sean A(7, 4) y B(5, 12) puntos en el plano.(a) Encuentre la pendiente de la recta que contiene A y B.(b) Encuentre una ecuacin de la recta que pasa por A y B. Cules son los puntos de interseccin

con los ejes?(c) Encuentre el punto medio del segmento AB.(d) Encuentre la longitud del segmento AB.(e) Encuentre una ecuacin de la perpendicular que biseca a AB.(f) Encuentre una ecuacin del crculo para el cual AB es un dimetro.

5. Trace la regin en el plano xy denida por la ecuacin o desigualdades.

(a) 1 y 3 (b) y (c) (d) y x2 1(e) x2 y2 4 (f) 9x2 16y2 144

y 1 12 xy 2x 4

5. (a) (b) (c)

(d) (e) (f)

1. (a) y 3x 1 (b) y 5(c) x 2 (d)

2. (a)3. Centro (3, 5), radio 54.

(b) 4x 3y 16 0; cruce con eje x 4, cruce con eje y(c) (1, 4)(d) 20(e) 3x 4y 13(f) (x 1)2 (y 4)2 100

163

43

x 12 y 42 52

y 12 x 6

RESPUESTAS AL EXAMEN DE DIAGNSTICO B : GEOMETRA ANALTICA

Si el lector tiene dicultad con estos problemas, puede consultar Review ofAlgebra (repaso de lgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com.

y

x0

y

x0 4_4

y

x0 2

1

_1

32

_2

y=1- x12

y

x1 20

y

x0

y

x0 4

3

_1

2

y=-1

+=4

Examen de diagnstico 06/04/2009 17:41 Page xxii

EXMENES DE DIAGNSTICO || | | xxiii

EXAMEN DE DIAGNSTICO: FUNCIONESC

1. La grca de una funcin f se da a la izquierda.(a) Exprese el valor de f (1).(b) Estime el valor de f (2).(c) Para qu valores de x es f (x) 2?(d) Estime los valores de x tales que f (x) 0.(e) Exprese el dominio y rango de f.

2. Si f(x) x3, evale el cociente de diferencia y simplique su respuesta.3. Encuentre el dominio de la funcin.

(a) (b) (c)

4. Cmo se obtienen las grcas de las funciones a partir de la grca de f?(a) y f (x) (b) y 2f (x) 1 (c) y (x 3) 2

5. Sin usar calculadora, haga un bosquejo aproximado de la grca.(a) y x3 (b) y (x 1)3 (c) y (x 2)3 3(d) y 4 x2 (e) (f) (g) y 2x (h) y 1 x1

6. Sea

(a) Evaluacin f (2) y f(1) (b) Dibuje la grca de f.7. Si f(x) x2 2x 1 y t(x) 2x 3, encuentre cada una de las siguientes funciones.

(a) f t (b) t f (c) t t t

f x 1 x2 si x 02x 1 si x 0y 2sxy sx

hx s4 x sx2 1gx 3sx

x2 1fx 2x 1

x2 x 2

f2 h f2h

(d) (e) (f)

(g) (h)

6. (a) 3, 3 7. (a) (f t)(x) 4x2 8x 2(b) (b) (t f)(x) 2x2 4x 5

(c) (t t t)(x) 8x 21

1. (a) 2 (b) 2.8(c) 3, 1 (d) 2.5, 03(e) [3, 3], [2, 3]

2. 12 6h h2

3. (a) (, 2) (2, 1) (1, )(b) (, )(c) (, 1] [1, 4]

4. (a) Reeje alrededor del eje x(b) Estire verticalmente en un factor de 2, y a continuacin

desplace 1 unidad hacia abajo(c) Desplace 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba

5. (a) (b) (c)

RESPUESTAS AL EXAMEN DE DIAGNSTICO C : FUNCIONES

Si el lector tiene dicultad con estos problemas, puede consultar Review ofAlgebra (Repaso de lgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com.

y

0 x

1

1

FIGURA PARA PROBLEMA 1

y

x0

y

1

1 x0

1

_1

y

x0

(2,3)

y

x0

4

2

y

x0

y

1 x0 1

y

x0

1

y

x0

1 1_1

y

x0_1

1

Examen de diagnstico 06/04/2009 17:41 Page xxiii

xxiv | | | | EXMENES DE DIAGNSTICO

EXAMEN DE DIAGNSTICO: TRIGONOMETRAD

1. Convierta de grados a radianes.(a) 300 (b) 18

2. Convierta de radianes a grados.(a) 5p/6 (b) 2

3. Encuentre la longitud de un arco de crculo con radio de 12 cm si el arco subtiende un ngulocentral de 30.

4. Encuentre los valores exactos.(a) tan(p/3) (b) sen(7p/6) (c) sec(5p/3)

5. Exprese las longitudes a y b de la gura en trminos de u.

6. Si sen y sec , donde x y y estn entre 0 y p/2, evale sen(x y).7. Demuestre las identidades.

(a) tan u sen u cos u sec u

(b)

8. Encuentre todos los valores de x tales que sen 2x sen x y 0 x 2p.

9. Trace la grca de la funcin y 1 sen 2x sin usar calculadora.

2 tan x1 tan2 x

sen 2x

y 54x 13a

b

24

F IGURA PARA PROBLEMA 5

6.

7. 0, p/3, p, 5p/3, 2p

8.

1

15 4 6s21. (a) 5p/3 (b) p/102. (a) 150 (b) 360/p L 114.63. 2p cm

4. (a) (b) (c) 25. (a) 24 sen u (b) 24 cos u

12s3

RESPUESTA AL EXAMEN DE DIAGNSTICO D: TRIGONOMETRA

_ x0

2y

Si el lector tiene dicultad con estos problemas, puede consultar Reviewof Algebra (Repaso de lgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com.

Examen de diagnstico 06/04/2009 17:41 Page xxiv

C L C U L OD E U N A V A R I A B L E

Trascendentes tempranas

Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 1

PRESENTACIN PRELIMINARDEL CLCULO

El clculo es fundamentalmente diferente de las matemticas que el lector ha estudiadocon anterioridad. El clculo es menos esttico y ms dinmico. Se interesa en el cam-bio y en el movimiento; trata cantidades que se aproximan a otras cantidades. Por esarazn, puede resultar til tener un panorama general de la materia antes de empezarsu estudio intensivo. En las pginas siguientes se le presentan algunas de las ideasprincipales del clculo, al mostrar cmo surgen los lmites cuando intentamos resolverdiversos problemas.

2


EL PROBLEMA DEL REA

Los orgenes del clculo se remontan a unos 2500 aos, hasta los antiguos griegos, quieneshallaron reas aplicando el mtodo del agotamiento. Saban cmo hallar el rea A decualquier polgono al dividirlo en tringulos como en la gura 1, y sumar las reas de estostringulos.

Hallar el rea de una gura curva es un problema mucho ms difcil. El mtodo griegodel agotamiento consista en inscribir polgonos en la gura y circunscribir otros polgonosen torno a la misma gura y, a continuacin, hacer que el nmero de lados de los polgo-nos aumentara. En la gura 2 se ilustra este proceso para el caso especial de un crculo conpolgonos regulares inscritos.

Sea An el rea del polgono inscrito con n lados. Al aumentar n, parece que An se aproxi-ma cada vez ms al rea del crculo. El rea del crculo es el lmite de las reas de los po-lgonos inscritos y

Los griegos no aplicaron explcitamente los lmites. Sin embargo, por razonamiento indi-recto Eudoxo (siglo v a. C.) utiliz el agotamiento para probar la conocida frmula del reade un crculo:

El captulo 5 expone una idea semejante para hallar las reas de regiones del tipo que semuestra en la gura 3. Se da una aproximacin del rea deseada A por medio de reas de rec-tngulos (como en la gura 4), hasta que disminuya el ancho de los rectngulos y, en seguida,se calcula A como el lmite de estas sumas de reas de rectngulos.

El problema del rea es el problema central de la rama del clculo que se conoce co-mo clculo integral. Las tcnicas desarrolladas en el captulo 5 para hallar reas tambinpermiten calcular el volumen de un slido, la longitud de una curva, la fuerza del aguacontra la cortina de una presa, la masa y el centro de gravedad de una varilla y el trabajoque se lleva a cabo al bombear agua hacia afuera de un tanque.

A r 2.

A lm nl

An

PRESENTACIN PRELIMINAR DEL CLCULO || | | 3

3

A A AAAA

FIGURA 2

FIGURA 3

1n

10 x

y(1, 1)

10 x

y(1, 1)

14

12

34

0 x

y

1

(1, 1)

FIGURA 4

10 x

y

y=

A

(1, 1)

FIGURA 1

A=A+A+A+A+A

A

AA A

A

El Preview Visual es una investiga-cin numrica y grca de la aproximacindel rea de un crculo mediante polgonosinscritos y circunscritos.

TEC


EL PROBLEMA DE LA TANGENTE

Considere el problema de tratar de hallar la ecuacin de la recta tangente t a una curva,con ecuacin y f (x), en un punto dado P. (En el captulo 2, aparece una definicinprecisa de recta tangente. Por ahora, puede concebirla como una recta que toca la curvaen P, como en la figura 5.) Como saber que el punto P est en la recta tangente, puedehallar la ecuacin de t si conoce su pendiente m. El problema est en que necesita dospuntos para calcular la pendiente y slo conoce un punto, P, de t. Para darle vuelta al pro-blema, primero halle una aproximacin para m al tomar un punto cercano Q de la curvay calcule la pendiente mPQ de la recta secante PQ. En la figura 6

Imagine ahora que Q se mueve a lo largo de la curva, hacia P como en la gura 7. Puedever que la recta secante gira y se aproxima a la recta tangente como su posicin lmite. Estosignifica que la pendiente mPQ de la recta secante se acerca cada vez ms a la pendientem de la recta tangente. Escriba

donde m es el lmite de mPQ cuando Q se aproxima a P a lo largo de la curva. Como x seacerca a a cuando Q lo hace a P, podra usar tambin la ecuacin 1 para escribir

En el captulo 2 se darn ejemplos especcos de este procedimiento.El problema de la tangente ha dado lugar a la rama del clculo llamada clculo dife-

rencial, el cual se invent ms de 2 000 aos despus que el clculo integral. Las ideasprincipales que se encuentran detrs del clculo diferencial se deben al matemtico fran-cs Pierre Fermat (1601-1665) y fueron desarrolladas por los matemticos ingleses JohnWallis (1616-1703), Isaac Barrow (1630-1677) e Isaac Newton (1642-1727), as como porel matemtico alemn Gottfried Leibniz (1646-1716).

Las dos ramas del clculo y sus problemas principales, el problema del rea y el dela tangente, parecen muy diferentes, pero existe una conexin muy ntima entre ellas. Elproblema de la tangente y el del rea son problemas inversos, en un sentido que se descu-brir en el captulo 5.

VELOCIDAD

Cuando mire el velocmetro de un automvil y lea que viaja a 48 mih, qu informa-cin se le indica? Sabe que la velocidad del automvil puede variar, qu signica decirque la velocidad en un instante dado es de 48 mih?

Para analizar esta cuestin analice el movimiento de un automvil que viaja a lo largo deun camino recto y suponga que pueda medir la distancia recorrida por el automvil (en pies)a intervalos de 1 segundo, como en la tabla siguiente.

m lm xl a

f x f ax a

2

m lm QlP

mPQ

mPQ f x f a

x a1

4 | | | | PRESENTACIN PRELIMINAR DEL CLCULO

t Tiempo transcurrido (s) 0 1 2 3 4 5d Distancia (pies) 0 2 9 24 42 71

0

y

x

P

y=

t

PQ

t

0 x

y

y

0 xa x

-f(a)P{a,f(a)}x-a

t

Q{x, }

FIGURA 5La recta tangente en P

FIGURA 6La recta secante PQ

FIGURA 7Rectas secantes aproximndosea la recta tangente


Como primer paso para hallar la velocidad una vez que han transcurrido 2 segundos,encuentre la velocidad durante el intervalo :

De manera anloga, la velocidad promedio en el intervalo de tiempo es

Tiene la sensacin de que la velocidad en el instante t 2 no puede ser muy diferentede la velocidad promedio durante un intervalo corto que se inicie en t 2. De modo queimagine que se ha medido la distancia recorrida a intervalos de 0.1 segundo, como en latabla siguiente:

Entonces, por ejemplo, calcule la velocidad promedio sobre el intervalo 2, 2.5:

En la tabla siguiente se muestran los resultados de esos clculos:

Las velocidades promedio sobre intervalos sucesivamente ms pequeos parecen apro-ximarse cada vez ms a un nmero cercano a 10, y, por lo tanto, espera que la velocidad enexactamente t 2 sea alrededor de 10 pies/s. En el captulo 2, se dene la velocidad instan-tnea de un objeto en movimiento como el valor lmite de las velocidades promedio sobreintervalos cada vez ms pequeos.

En la gura 8 se muestra una representacin grca del movimiento del automvil algracar los puntos correspondientes a la distancia recorrida como funcin del tiempo. Siescribe d f (t), entonces f (t) es el nmero de pies recorridos despus de t segundos. Lavelocidad promedio en el intervalo 2, t es

lo cual es lo mismo que la pendiente de la recta secante PQ de la gura 8. La velocidad vcuando t 2 es el valor lmite de esta velocidad promedio cuando t se aproxima a 2; esdecir

y reconoce, a partir de la ecuacin 2, que esto es lo mismo que la pendiente de la recta tan-gente a la curva en P.

v lm tl 2

f t f 2t 2

velocidad promedio distancia recorridatiempo transcurrido

f t f 2

t 2

velocidad promedio 15.80 9.00

2.5 2 13.6 piess

velocidad promedio 24 93 2

15 piess

2 t 3

16.5 piess

42 94 2

velocidad promedio distancia recorridatiempo transcurrido

2 t 4


t 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

d 9.00 10.02 11.16 12.45 13.96 15.80

Intervalo 2, 3 2, 2.5 2, 2.4 2, 2.3 2, 2.2 2, 2.1

Velocidad promedio (piess) 15.0 13.6 12.4 11.5 10.8 10.2

FIGURA 8

t

d

0 1 2 3 4 5

10

20

P{2,f(2)}

Q{ t,f(t)}


Por lo tanto, al resolver el problema de la tangente en el clculo diferencial, tambinest resolviendo problemas referentes a velocidades. Las mismas tcnicas permiten re-solver problemas en que intervienen razones de cambio en todas las ciencias naturalesy sociales.

LMITE DE UNA SUCESIN

En el siglo v a. C., el lsofo griego Zenn de Elea propuso cuatro problemas, que ahorase conocen como las paradojas de Zenn, las cuales desaaban algunas de las ideas con-cernientes al espacio y al tiempo que sostenan en sus das. La segunda paradoja de Zennse reere a una carrera entre el hroe griego Aquiles y una tortuga a la que se ha dado unaventaja inicial. Zenn argumentaba, como se hace ver a continuacin, que Aquiles nuncapodra rebasarla. Suponga que Aquiles arranca en la posicin a1 y la tortuga en la posicin t1(vase la figura 9). Cuando Aquiles llega a a3 t2, la tortuga est en t3. Este procesocontina indenidamente y, de este modo, parece que la tortuga siempre estar adelante!Pero esto contraviene el sentido comn.

Una manera de explicar esta paradoja es con la idea de sucesin. Las posiciones suce-sivas de Aquiles o las posiciones sucesivas de la tortuga formanlo que se conoce como una sucesin.

En general, una sucesin es un conjunto de nmeros escritos en un orden denido.Por ejemplo, la sucesin

se puede describir al dar la frmula siguiente para el n-simo trmino

Puede visualizar esta sucesin situando sus trminos en una recta numrica como enla figura 10(a) o trazando su grfica como en la figura 10(b). Observe, a partir de cual-quiera de las dos figuras, que los trminos de la sucesin se aproximan cadavez ms a 0 al aumentar . De hecho, es posible hallar trminos tan pequeos como lodesee al hacer n suficientemente grande. Entonces el lmite de la sucesin es 0 y se in-dica al escribir

En general, se usa la notacin

si los trminos an se aproximan al nmero L, cuando n se hace sucientemente grande. Estosignica que se puede aproximar los nmeros an al nmero L tanto como quiera si se tomauna n lo sucientemente grande.

lm nl

an L

lm nl

1n

0

n

an 1n

an 1n

{1, 12 , 13 , 14 , 15 , . . .}

an

t1, t2, t3, . . .a1, a2, a3, . . .


Aquilestortuga

a a a a a

t t t t

. . .

. . .FIGURA 9

1

n1 2 3 4 5 6 7 8

FIGURA 10

10

aaaa

(a)

(b)


El concepto de lmite de una sucesin se presenta siempre que usa la representacin de-cimal de un nmero real. Por ejemplo, si

entonces

Los trminos de esta sucesin son aproximaciones racionales a p.De nuevo la paradoja de Zenn. Las posiciones sucesivas de Aquiles y la tortuga for-

man las sucesiones y , en donde para toda n. Se puede demostrar que lasdos sucesiones tienen el mismo lmite

Es precisamente en este punto p en que Aquiles alcanza a la tortuga.

SUMA DE UNA SERIE

Otra de las paradojas de Zenn, segn. Aristteles, es: Un hombre parado en un cuarto nopuede caminar hasta la pared. Para que esto suceda, primero avanzara la mitad de la dis-tancia, en seguida la mitad de la distancia restante y, a continuacin, una vez ms la mitadde la que todava queda. Siempre se puede continuar este proceso y nunca se termina.(Vase la gura 11.)

Por supuesto, sabe que el hombre llega a la pared, de modo que esto sugiere que quizse pueda expresar la distancia total como la suma de una innidad de distancias ms pe-queas, como sigue

1 12

14

18

1

16

12n

3

lm nl

an p lm nl

tn

an tntnan

lmn l

an

a7 3.1415926

a6 3.141592

a5 3.14159

a4 3.1415

a3 3.141

a2 3.14

a1 3.1


12

14

18

116FIGURA 11


Zenn argumentaba que no tiene sentido sumar una innidad de nmeros. Pero existenotras situaciones en que, implcitamente, se usan sumas innitas. Por ejemplo, en notacindecimal, el smbolo signica

y, por lo tanto, en cierto sentido, debe ser cierto que

De modo ms general, si denota el n-simo dgito en la representacin decimal de unnmero, entonces

Por lo tanto, algunas sumas innitas, o series innitas como se les llama, tienen un signi-cado. Pero debe denir con cuidado lo que es la suma de una serie innita.

Considere de nuevo la serie de la ecuacin 3 y denote con la suma de los primeros ntrminos de la serie. De este modo

Observe que conforme agrega ms y ms trminos, las sumas parciales se aproximan ca-da vez ms a 1. De hecho, se puede demostrar que, si n es sucientemente grande (es de-cir, si se suman un nmero suciente de trminos de la serie), es posible aproximar la sumaparcial tanto como desee al nmero 1. Por lo tanto, parece razonable decir que la serieinnita es 1 y escribir

12

14

18

12n

1

sn

s16 12

14

1

216

0.99998474

s10 12

14

11024 0.99902344

s7 12

14

18

116

132

164

1128 0.9921875

s6 12

14

18

116

132

164 0.984375

s5 12

14

18

116

132 0.96875

s4 12

14

18

116 0.9375

s3 12

14

18 0.875

s2 12

14 0.75

s1 12 0.5

sn

0.d1d2d3d4 . . . d110

d2

102

d3103

dn

10n

dn

310

3

100

31000

3

10 000

13

310

3

100

31000

3

10 000

0.3 0.3333 . . .



En otras palabras, la razn de que la suma de la serie sea 1 es que

En el captulo 11 se analizan con ms detalle estas ideas. Entonces usar la idea deNewton de combinar las series innitas con el clculo diferencial e integral.

RESUMEN

El concepto de lmite surge al tratar de hallar el rea de una regin, la pendiente de unatangente a una curva, la velocidad de un automvil o la suma de una serie infinita. En ca-da caso, el tema comn es el clculo de una cantidad como el lmite de otras cantidadescalculadas con facilidad. Esta idea bsica de lmite separa al clculo de las otras reasde las matemticas. De hecho, podra denirlo como la parte de las matemticas que tratacon lmites.

Despus que sir Isaac Newton invent su versin del clculo, la utiliz para explicar elmovimiento de los planetas alrededor del Sol. En la actualidad sirve para calcular lasrbitas de los satlites y de las naves espaciales, predecir los tamaos de poblaciones,estimar la rapidez con que se elevan los precios, pronosticar el tiempo, medir el ritmo car-diaco, calcular las primas de seguros y en una gran diversidad de otras reas. En este libroencontrar algunos de estos usos.

Para dar una idea del poder de la materia, nalice este panorama preliminar con una lis-ta de algunas de las preguntas que podra usted responder al aplicar el clculo:

1. Cmo explica el hecho que se ilustra en la gura 12 de que el ngulo de eleva-cin desde un observador hasta el punto ms alto de un arcoris es 42. (Vasepgina 279.)

2. Cmo explica las formas de las latas en los anaqueles de los supermercados?(Vase pgina 333.)

3. Dnde es el mejor lugar para sentarse en un cine? (Vase pgina 446.)4. Qu tan lejos del aeropuerto debe empezar a descender el piloto? (Vase p-

gina 206.)5. Cmo usar las curvas y el diseo de formas para reprsentar letras en una

impresora lser? (Vase pgina 639).6. Cul ser la posicin del parador en corto para atrapar la pelota lanzada por el

jardinero y lanzarla a la base? (Vase pgina 601).7. Una bola lanzada hacia arriba tarda ms tiempo en llegar a su altura mxima o

en volver al sitio del lanzamiento? (Vase pgina 590.)

lm nl

sn 1


rayos del Sol

observador

rayos del Sol

42

FIGURA 12

138


10

Representacin grca de una funcin. Aqu elnmero de horas de luz solar en diferentes

periodos del ao y diferentes latitudes,es la manera ms natural y conveniente

de ilustrar la funcin.

FUNCIONESY MODELOS

1

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.

Horas

60N

50N40N30N20N

El propsito fundamental del clculo son las funciones. En este captulo se prepara elcamino para el clculo al analizar las ideas bsicas referentes a las funciones, sus grcasy las maneras para transformarlas y combinarlas. Se har hincapi en que una funcinse puede representar de diferentes modos: mediante una ecuacin, en una tabla, conuna grfica o con palabras. Se considerarn los tipos principales de funciones que sepresentan en el clculo y se describir el proceso de usarlas como modelos matemticosde fenmenos del mundo real. Tambin se expondr el uso de las calculadoras gracado-ras y del software para trazar grcas.

CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 10

CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIN

Las funciones surgen siempre que una cantidad depende de otra. Considere las siguientescuatro situaciones:A. El rea A de un crculo depende de su radio r. La regla que relaciona r con A se expresa

mediante la ecuacin A pr 2. Con cada nmero positivo r existe asociado un valorde A, por lo que A es funcin de r.

B. La poblacin humana del mundo, P, depende del tiempo t. En la tabla se dan estima-ciones de la poblacin del mundo, Pt, en el tiempo t, para ciertos aos. Por ejemplo,

P1950 2 560 000 000

Pero para cada valor de tiempo t existe un valor de P correspondiente, por lo que P esuna funcin de t.

C. El costo C de enviar por correo una carta de primera clase depende de su peso w. Auncuando no existe una frmula sencilla que relacione w con C, la ocina de correostiene una regla parta determinar C cuando se conoce w.

D. La aceleracin vertical a del suelo, segn la mide un sismgrafo durante un terremo-to, es una funcin del tiempo transcurrido t. En la figura 1 se muestra una grcagenerada por la actividad ssmica durante el terremoto de Northridge que sacudi Losngeles en 1994. Para un valor dado de t, la grca proporciona un valor correspon-diente de a.

En cada uno de estos ejemplos se describe una regla por la cual, dado un nmero r, t, wo t), se asigna otro nmero A, P, C o a). En cada caso, el segundo nmero es funcin delprimero.

Una funcin f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto D exacta-mente un elemento, llamado fx), de un conjunto E.

A menudo, se consideran funciones para las cuales los conjuntos D y E son conjuntos denmeros reales. El conjunto D se llama dominio de la funcin. El nmero f x) es el valorde f en x y se lee f de x. El rango de f es el conjunto de todos los valores posibles defx), conforme x vara en todo el dominio. Un smbolo que representa un nmero arbitrarioen el dominio de una funcin f se llama variable independiente. Un smbolo que representaun nmero en el rango de f se llama variable dependiente. En el ejemplo A, r es la variableindependiente y A es la dependiente.

FIGURA 1Aceleracin vertical del suelo

durante el terremoto de Northridge

{cm/s@}

(segundos)

Calif. Dept. of Mines and Geology

5

50

10 15 20 25

a

t

100

30

_50

1.1

11

PoblacinAo (en millones)1900 1 6501910 1 7501920 1 8601930 2 0701940 2 3001950 2 5601960 3 0401970 3 7101980 4 4501990 5 2802000 6 080

CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 11

Resulta til concebir una funcin como una mquina vase la gura 2). Si x est en eldominio de la funcin f, entonces cuando x entra en la mquina, se acepta como una en-trada y la mquina produce una salida fx) de acuerdo con la regla de la funcin. De estemodo, puede concebir el dominio como el conjunto de todas las entradas posibles y elrango como el conjunto de todas las salidas posibles.

Las funciones preprogramadas de una calculadora son buenos ejemplos de una funcin co-mo una mquina. Por ejemplo, la tecla de raz cuadrada en su calculadora calcula una de esasfunciones. Usted oprime la tecla marcada como o y registra la entrada x. Si x 0,en tal caso x no est en el dominio de esta funcin; es decir, x no es una entrada aceptable yla calculadora indicar un error. Si x 0, en tal caso aparecer una aproximacin a en lapantalla. As, la tecla de su calculadora no es la misma exactamente que la funcin ma-temtica f denida por .

Otra manera de representar una funcin es un diagrama de echas como en la gura 3.Cada echa une un elemento de D con un elemento de E. La echa indica que fx) estasociada con x, fa) con a, y as sucesivamente.

El mtodo ms comn para visualizar una funcin es su grca. Si f es una funcin condominio D, su grca es el conjunto de las parejas ordenadas

Observe que son parejas entrada-salida.) En otras palabras, la grca de f consta de todoslos puntos x, y) en el plano coordenado, tales que y fx) y x est en el dominio de f.

La grca de una funcin f da una imagen til del comportamiento, o la historia de lavida, de una funcin. Como la coordenada y de cualquier punto x, y) de la grfica esy fx), es posible leer el valor de fx) a partir de la grca como la altura de esta ltimaarriba del punto x vase la gura 4). La grca de f tambin permite tener una imagen deldominio de f sobre el eje x y su rango en el eje y como en la gura 5.

EJEMPLO 1 En la gura 6 se muestra la grca de una funcin f.(a) Encuentre los valores de f1) y f5).(b) Cules son el dominio y el intervalo de f ?

SOLUCIN(a) En la gura 6 se ve que el punto 1, 3) se encuentra sobre la grca de f, de modoque el valor de f en 1 es . En otras palabras, el punto de la grca que se encuen-tra arriba de x 1 est tres unidades arriba del eje x.)

Cuando x 5, la grca se encuentra alrededor de 0.7 unidades debajo del eje x portanto,

(b) fx) est denida cuando , de modo que el dominio de f es el intervalo cerrado[0, 7]. Observe que f toma todos los valores desde 2 hasta 4, de manera que el interva-lo de f es

y 2 y 4 2, 4

0 x 7f 5 0.7

f 1 3

0

y (x)

dominio

intervalo

FIGURA 4

{x, }

f(1)f(2)

0 1 2 x

FIGURA 5

x

y

x

y

x, f x x D

f x sxsx

sx

sxs

12 | | | | CAPTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS

FIGURA 2Diagrama de una mquina para una funcin

x(entrada)

(salida)

f

fD E

f(a)a

x

FIGURA 3Diagrama de flechas para

FIGURA 6

x

y

0

1

1

& La notacin para intervalos aparece en elapndice A.

CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 12

EJEMPLO 2 Trace una grca y encuentre el dominio y el intervalo de cada funcin.a) b)

SOLUCINa) La ecuacin de la grca es y esto se reconoce como la ecuacin de larecta con pendiente 2 y ordenada al origen 1. Recuerde la forma de pendiente-ordenadaal origen de la ecuacin de una recta: . Vase apndice B.) Esto permite trazarla grca de f. Ver la gura 7. La expresin est denida para todos los nmerosreales, de modo que el dominio de f es el conjunto de todos los nmeros reales, el cualse denota con . En la grca se muestra que el rango tambin es .b) Como y , podra dibujar los puntos 2, 4) y1, 1) junto con unos cuantos puntos ms de la grca y unirlos para producir la gr-ca gura 8). La ecuacin de la grca es , la cual representa una parbola vaseel apndice C). El dominio de t es . El rango de t consta de todos los valores detx); es decir, todos los nmeros de la forma x2. Pero para todos los nmeros xy cualquier nmero positivo y es un cuadrado. De este modo, el rango de t es

. Esto tambin se ve en la gura 8.

EJEMPLO 3 Si fx 2x2 5x 1 y h 0, evaluar

SOLUCIN Primero evale fa h sustituyendo x mediante a h en la expresinpara fx:

fa h 2(a h)2 5(a h) 1 2(a2 2ah h2) 5(a h) 1

2(a2 2ah h2) 5a 5h 1

Por lo tanto al sustituir en la expresin que se proporciona y simplicando:

REPRESENTACIN DE LAS FUNCIONES

Se tienen cuatro maneras posibles para representar una funcin:& Verbalmente (mediante una descripcin en palabras)& Numricamente (con una tabla de valores)& Visualmente (mediante una grca)& Algebraicamente (por medio de una frmula explcita)Si la funcin se puede representar de las cuatro maneras, con frecuencia resulta til

pasar de una representacin a otra, para adquirir un conocimiento adicional de la funcin.(En el ejemplo 2 se empieza con frmulas algebraicas y, a continuacin, se obtuvieron lasgrcas.) Pero ciertas funciones se describen de manera ms natural con uno de los mtodos

4ah 2h2 5h

h 4a 2h 5

2a2 4ah 2h2 5a 5h 1 2a2 5a 1

h

f a h f ah

2a2 4ah 2h2 5a 5h 1 2a2 5a 1

h

f a h f ah

y y 0 0, x 2 0

y x 2

t1 12 1t2 22 4

2x 1y mx b

y 2x 1

tx x 2f x 2x 1

SECCIN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIN | | | | 13

& La expresin

en el ejemplo 3 se le denomina un cocientede diferencia y habitualmente sucede enclculo. Como se ver en el captulo 2, repre-senta la razn promedio de cambio f (x) entrex a y x a h

f (a h) f (a)h

FIGURA 7

x

y=2x-1

0-1

y

12

(_1,1)

(2,4)

0

y

1

x1

y=

FIGURA 8

CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 13

que con otro. Con esto en mente, analice de nuevo las cuatro situaciones consideradas alprincipio de esta seccin.

A. Quiz la representacin ms til del rea de un crculo como funcin de su radio sea lafrmula algebraica , aunque es posible compilar una tabla de valores o trazaruna grca (la mitad de una parbola). Como un crculo debe tener un radio positivo, eldominio es , y el rango tambin es .

B. Se ha descrito verbalmente la funcin: Pt es la poblacin humana del mundo en eltiempo t. La tabla de valores de la poblacin mundial da una representacin conve-niente de esta funcin. Si coloca estos valores en una grca, obtendr la grca (lla-mada grca de dispersin) de la gura 9. Tambin es una representacin til; puesnos permite absorber todos los datos a la vez. Qu hay acerca de una frmula? Porsupuesto, es imposible idear una frmula explcita que d la poblacin humana exactaPt en cualquier tiempo t. Pero es posible hallar una expresin para una funcin queproporcione una aproximacin de Pt). De hecho, con la aplicacin de los mtodosque se explican en la seccin 1.2, se obtiene la aproximacin

y en la gura 10 se ilustra que es un ajuste razonablemente bueno. La funcin f sellama modelo matemtico para el crecimiento de la poblacin. En otras palabras, es unafuncin con una frmula explcita que da una aproximacin para el comportamientode la funcin dada. Sin embargo, ver que las ideas del clculo se pueden aplicar auna tabla de valores; no se necesita una frmula explcita.

La funcin P es tpica entre las funciones que surgen siempre que intenta aplicarel clculo al mundo real. Empieza con una descripcin verbal de la funcin. En se-guida, es posible que sea capaz de construir una tabla de valores de la funcin,quiz a partir de lecturas de instrumentos en un experimento cientfico. Aun cuandono tenga el conocimiento completo de los valores de la funcin, a lo largo del librover que todava es posible realizar las operaciones del clculo en una funcin deese tipo.

C. Una vez ms, la funcin est descrita en palabras: Cw) es el costo de enviar por correouna carta de primera clase con peso w. La regla que en 1996 aplicaba el U.S. PostalService (Servicio Postal de Estados Unidos) es la siguiente: el costo es de 39 centavosde dlar hasta por una onza, ms 24 centavos por cada onza sucesiva, hasta 13 onzas.La tabla de valores que se muestra en el margen es la representacin ms convenientepara esta funcin, aunque es posible trazar una grca (vase el ejemplo 10).

D. La grca que se muestra en la gura 1 es la representacin ms natural de la funcinaceleracin vertical at). Es cierto que se podra compilar una tabla de valores e incluso

FIGURA 10FIGURA 9

1900

6x10'

P

t1920 1940 1960 1980 2000 1900

6x10'

P

t1920 1940 1960 1980 2000

Pt f t 0.008079266 1.013731t

0, r r 0 0, Ar r 2


PoblacinAo (en millones)1900 1 6501910 1 7501920 1 8601930 2 0701940 2 3001950 2 5601960 3 0401970 3 7101980 4 4501990 5 2802000 6 080

(onzas) (dlares)0.390.630.871.111.35

3.2712 w 13

4 w 53 w 42 w 31 w 20 w 1

Cww

& Una funcin denida por una tabla de valores se conoce como funcin tabular.

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es posible idear una frmula aproximada. Pero todo lo que necesita saber un gelogo,amplitudes y patrones, puede observarse con facilidad a partir de la grca. (Lo mismose cumple para los patrones que se ven en los electrocardiogramas de los pacientes car-diacos y en los polgrafos para la deteccin de mentiras.)En el ejemplo siguiente, se graca una funcin denida verbalmente.

EJEMPLO 4 Cuando abre una llave de agua caliente, la temperatura T del agua depende decunto tiempo ha estado corriendo. Trace una grfica aproximada de T como funcindel tiempo t que ha transcurrido desde que se abri el grifo.

SOLUCIN La temperatura inicial del agua corriente est cercana a la temperatura ambiente,debido al agua que ha estado en los tubos. Cuando empieza a salir la que se encuentra enel tanque de agua caliente, T aumenta con rapidez. En la fase siguiente, T es constante ala temperatura del agua calentada del tanque. Cuando ste se drena, T decrece hasta latemperatura de la fuente de agua. Esto permite realizar el boceto de grca de T comouna funcin de t en la gura 11.

El ejemplo que sigue, parte de una descripcin verbal de una funcin, en una situacinfsica, y se obtiene una frmula algebraica explcita. La capacidad para llevar a cabo estoconstituye una habilidad til en los problemas de clculo en los que se piden los valoresmximo y mnimo de cantidades.

EJEMPLO 5 Un recipiente rectangular para almacenamiento, con su parte superiorabierta, tiene un volumen de 10 m3. La longitud de su base es el doble de su ancho. Elmaterial para la base cuesta 10 dlares por metro cuadrado y el material para los lados,cuesta 6 dlares por metro cuadrado. Exprese el costo del material como funcin delancho de la base.

SOLUCIN Dibuje un diagrama como el de la figura 12 e introduzca la notacin to-mando w y 2w como el ancho y la longitud de la base, respectivamente, y h comola altura.

El rea de la base es , de modo que el costo, en dlares, del materialpara la base es . Dos de los lados tienen el rea y el rea de los otros doses , as el costo del material para los lados es . En consecuenciael costo total es

Para expresar C como funcin slo de w, necesita eliminar h, lo que sucede al aplicar elhecho de que el volumen es 10 m3. De este modo,

lo cual da

Si se sustituye esto en la expresin para C

Por lo tanto, la ecuacin

expresa C como funcin de w.

w 0Cw 20w2 180w

C 20w2 36w 5w2 20w2 180w

h 102w2

5w2

w2wh 10

C 102w2 62wh 22wh 20w2 36wh

62wh 22wh2whwh102w2

2ww 2w2

V


t

T

0

FIGURA 11

w2w

h

FIGURA 12

& Al establecer funciones de aplicacin, comoen el ejemplo 5, puede resultar til repasar losprincipios para la resolucin de problemas comose plantean en la pgina 76, en particular el paso 1: comprender el problema.

CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 15

EJEMPLO 6 Encuentre el dominio de cada funcin.

(a) (b)

SOLUCIN(a) Ya que la raz cuadrada de un nmero negativo no est denida (como nmero real),el dominio de f consta de todos los valores de x tales que . Esto es equivalentea , de modo que el dominio es el intervalo .(b) Dado que

y la divisin entre 0 no est permitida, tx no est denida cuando x 0 o x 1. Por lotanto, el dominio de t es

lo cual tambin podra escribirse, con la notacin de intervalos, como

La grca de una funcin es una curva en el plano xy. Pero surge la pregunta: culescurvas en el plano xy son grcas de funciones? La siguiente prueba responde lo anterior.

PRUEBA DE LA LNEA VERTICAL Una curva en el plano xy es la grfica de unafuncin de x si y slo si ninguna lnea vertical se interseca con la curva ms deuna vez.

En la gura 13 se puede ver la razn de la veracidad de la prueba de la lnea vertical.Si cada lnea vertical x a interseca una curva slo una vez, en a, b, por lo tanto sedene exactamente un valor funcional mediante . Pero si una lnea x a se in-terseca con la curva dos veces, en a, b y a, c, entonces la curva no puede representaruna funcin, porque una funcin no puede asignar dos valores diferentes a a.

Por ejemplo, la parbola que aparece en la gura 14(a) en la pgina que sigueno es la grca de una funcin de x porque, como el lector puede ver, existen lneas vertica-les que intersecan dos veces esa parbola. Sin embargo, la parbola en realidad contienelas grcas de dos funciones de x. Observe que significa , por loque Por esto, las mitades superior e inferior de la parbola son las grcasde las funciones [del ejemplo 6(a)] y [vase las figu-ras 14(b) y (c)]. Observe que, si invierte los papeles de x y y, en tal caso la ecuacin

dene x como funcin de y (con y como la variable independiente y xcomo dependiente) y la parbola aparece ahora como la grca de la funcin h.x hy y 2 2

tx sx 2f x sx 2y sx 2.

y 2 x 2x y 2 2

x y 2 2

FIGURA 13a

x=a

(a,b)

0 a

(a,c)

(a,b)

x=a

0 x

y

x

y

f a b

, 0 0, 1 1,

x x 0, x 1

tx 1x 2 x

1

xx 1

2, x 2x 2 0

tx 1x 2 x

f x sx 2


& Si se da una funcin mediante una frmulay no se da el dominio explcitamente, la con-vencin es que el dominio es el conjunto detodos los nmeros para los que la frmulatiene sentido y dene un nmero real.

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FUNCIONES SECCIONALMENTE DEFINIDAS

Las funciones de los cuatro ejemplos siguientes estn denidas por frmulas diferentes endiferentes partes de sus dominios.

EJEMPLO 7 Una funcin f se dene por

Evale f0), f1) y f2) y trace la grca.

SOLUCIN Recuerde que una funcin es una regla. Para esta funcin en particular, la reglaes: primero se considera el valor de la entrada x. Si sucede que x 1, entonces el valor defx) es 1 x. Por otra parte, si x 1, entonces el valor de fx) es x2.

Cmo dibujar la grca de f? Observe que, si x 1, entonces fx) 1 x de modo que la parte de la grca de f que se encuentra a la izquierda de la lnea verticalx 1 debe coincidir con la lnea y 1 x, la cual tiene la pendiente 1 y 1 comoordenada al origen. Si x 1, entonces fx) x2, por lo que la parte de la grca de fque est a la derecha de la lnea x 1 tiene que coincidir con la grca de y x2, la cuales una parbola. Esto permite trazar la grca de la gura 15. El punto relleno indica queel punto 1, 0) est incluido en la grca; el punto hueco indica que el punto 1, 1) estfuera de la grca.

El ejemplo siguiente de una funcin seccionalmente denida es la funcin valor abso-luto. Recuerde que el valor absoluto de un nmero a, denotado con , es la distancia dea hasta 0, sobre la recta de los nmeros reales. Las distancias siempre son positivas o 0;de tal manera

para todo nmero aPor ejemplo,

En general,

(Recuerde que si a es negativo, entonces a es positivo.)

si a 0 a asi a 0 a a

3 3 s2 1 s2 1 0 0 3 3 3 3

a 0

a

Como 2 1, tenemos f 2 22 4.Como 1 1, tenemos f 1 1 1 0.Como 0 1, tenemos f 0 1 0 1.

f x 1 xx 2

si x 1si x 1

V

FIGURA 14 (b) y=x+2

_2 0 x

y

(_2,0)

(a) x=-2

0 x

y

(c) y=_x+2

_20

y

x


1

x

y

1

FIGURA 15

& Para un repaso ms extenso de los valoresabsolutos, vase el apndice A.

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EJEMPLO 8 Trace la grca de la funcin valor absoluto, .

SOLUCIN Con base en el anlisis precedente, sabe que

Al aplicar el mtodo del ejemplo 7, la grfica de f coincide con la lnea y x, ala derecha del eje y, y coincide con la lnea y x, a la izquierda del eje y (vase lagura 16).

EJEMPLO 9 Encuentre una frmula para la funcin f que se dibuja en la gura 17.

SOLUCIN La lnea que pasa por 0, 0) y 1, 1) tiene pendiente m 1 y su ordenada al ori-gen es b 0, de forma que su ecuacin es y x. As, para la parte de la grfica de fque une 0, 0) con 1, 1),

si

La lnea que pasa por 1, 1) y 2, 0) tiene pendiente m 1, de suerte que su formapunto-pendiente es

De tal manera quesi

Observe tambin que, para x 2, la grca de f coincide con el eje x. Si rene esta in-formacin, tiene la frmula siguiente para f, en tres secciones:

EJEMPLO 10 En el ejemplo C del principio de esta seccin, se consider el costo Cw deenviar por correo una carta de primera clase con peso w. En realidad, sta es una funcinseccionalmente denida porque, a partir de la tabla de valores, se tiene

La grca se muestra en la gura 18. Usted puede ver por qu a las funciones semejantesa sta se les llama funcin escaln: saltan de un valor al siguiente. En el captulo 2 seestudiarn esas funciones.

0.390.630.871.11

si 0 w 1si 1 w 2si 2 w 3si 3 w 4

Cw

f x x2 x0

si 0 x 1si 1 x 2si x 2

1 x 2f x 2 x

y 2 xoy 0 1x 2

0 x 1f x x

FIGURA 17x

y

0 1

1

x xx si x 0si x 0

f x x


x

y=| x |

0

y

FIGURA 16

& Forma punto-pendiente de la ecuacin deuna recta:

vase el apndice B.

y y1 mx x1

FIGURA 18

C

1

1

0 2 3 4 5 w

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SIMETRA

Si una funcin f satisface para todo nmero x en su dominio, entonces f sedenomina funcin par. Por ejemplo, la funcin es par porque

El signicado geomtrico de una funcin par es que su grca es simtrica con respecto aleje y (vase la gura 19). Esto signica que si traza la grca de f para x 0, obtiene todala grca con slo reejar esta porcin con respecto al eje y.

Si f satisface para todo nmero x en su dominio, entonces f se conocecomo funcin impar. Por ejemplo, la funcin es impar porque

La grca de una funcin impar es simtrica respecto al origen (vase la gura 20). Si yatiene la grca de f para x 0, puede obtener la grca entera al hacerla girar 180 alrede-dor del origen.

EJEMPLO 11 Determine si cada una de las funciones siguientes es par, impar o ningunade las dos.(a) (b) (c)SOLUCIN

(a)

En consecuencia, f es una funcin impar.

(b)

De modo que t es par.

(c)

Dado que y , se concluye que h no es par ni impar.

En la gura 21 se muestran las grcas de las funciones del ejemplo 11. Observe quela grca de h no es simtrica respecto al eje y ni respecto al origen.

1

1 x

y

h1

1

y

x

g1

_1

1

y

x

f

_1

(a) (b) (c)FIGURA 21

hx hxhx hx

hx 2x x2 2x x 2

tx 1 x4 1 x 4 tx

f x x 5 x x 5 x

f x x5 x 15x 5 x

hx 2x x 2tx 1 x 4f x x 5 x

V

f x x3 x 3 f x

f x x 3f x f x,

f x x2 x 2 f x

f x x 2f x f x,


0 x_xf(_x)

FIGURA 19Una funcin par

x

y

0x

_x

FIGURA 20Una funcin impar

x

y

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FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

La grca que se muestra en la gura 22 sube desde A hasta B, desciende desde B hasta C,y vuelve a subir desde C hasta D. Se dice que la funcin f est creciendo sobre el intervaloa, b, decreciendo sobre b, c, y creciendo de nuevo sobre c, d. Observe que si x1 y x2son dos nmeros cualesquiera entre a y b, con , entonces . Use estocomo la propiedad que dene una funcin creciente.

Se dice que una funcin f es creciente sobre un intervalo I si

Se dice que es decreciente sobre I si

En la denicin de funcin creciente es importante darse cuenta que se debe satisfacerla desigualdad para toda pareja de nmeros x1 y x2 en I con .

A partir de la gura 23 es posible observar que la funcin es decreciente sobreel intervalo y creciente sobre el intervalo .0, , 0

f x x 2x1 x2f x1 f x2

siempre que x1 x2 en If x1 f

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