CÁLCULO DE UNA BARRA DE ALMA LLENA.pdf
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M F j(y) i(x) k(z) ds dR R R+dR O f m M0 M1 CÁLCULO DE UNA BARRA DE ALMA LLENA Hipótesis de trabajo consideradas Las secciones normales transversales de una barra planas antes de la deformación, se mantienen planas aún después de la deformación, por lo cual los esfuerzos cortantes no se tienen en cuenta, las fuerzas transversales se determinan de las condiciones de equilibrio y las ecuaciones de las deformaciones se formulan solamente para la fuerza normal y para los momentos torsor y de flexión. La sección transversal se considera pequeña en comparación con las medidas generales de la barra y no cambia al tener lugar la deformación. Ecuaciones diferenciales básicas Ecuaciones diferenciales de equilibrio M (Mx, My, Mz) momento principal de las fuerzas F (Qx, Qy, Nz) vector principal de las fuerzas m (mx, my, mz) momento principal de la carga externa por unidad de longitud f (fx, fy, fz) vector principal de carga externa distribuida por unidad de longitud. + − + = 0 − + + = 0 − + + = 0 M+dM F+dF
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M
F j(y)
i(x)
k(z) ds
dR
R R+dR
O
f
m M0
M1
CLCULO DE UNA BARRA DE ALMA LLENA
Hiptesis de trabajo consideradas
Las secciones normales transversales de una barra planas antes de la deformacin, se mantienen
planas an despus de la deformacin, por lo cual los esfuerzos cortantes no se tienen en cuenta,
las fuerzas transversales se determinan de las condiciones de equilibrio y las ecuaciones de las
deformaciones se formulan solamente para la fuerza normal y para los momentos torsor y de
flexin.
La seccin transversal se considera pequea en comparacin con las medidas generales de la barra
y no cambia al tener lugar la deformacin.
Ecuaciones diferenciales bsicas
Ecuaciones diferenciales de equilibrio
M (Mx, My, Mz) momento principal de las fuerzas
F (Qx, Qy, Nz) vector principal de las fuerzas
m (mx, my, mz) momento principal de la carga externa por unidad de longitud
f (fx, fy, fz) vector principal de carga externa distribuida por unidad de longitud.
+ + = 0
+ + = 0
+ + = 0
M+dM
F+dF
-
Donde p, q, r son las componentes principales de la curvatura y torsin de la barra despus de la
deformacin.
+ + = 0
+ + = 0
+ + = 0
Las ecuaciones anteriores se conocen como frmulas de Kirchhoff y Clebsch, que se suman a las
componentes del vector de desplazamiento ux, uy, uz, del vector de ngulo de giro , , .
Las ecuaciones adicionales propuestas por Clebsch estn basadas en la proporcionalidad de las
componentes principales de curvatura y torsin durante la deformacin de la barra por las
componentes del momento principal de los esfuerzos internos.
= = ( )
= = ( )
= = ( )
Donde Bx=EJx y By=EJy son las rigideces principales a la flexin de la seccin transversal, C=GJk es
la rigidez a la torsin.
Eje inelstico
Suponiendo que Qy = Mx = Mz = fy = mx = mz = 0
=
, = 0, =
+ = 0,
+ = 0 ,
+ + = 0
=
Si fz=my=0 se obtienen las ecuaciones:
22
=
, =
, =
, = 0
Donde By=EJy, las ecuaciones anteriores se reducen a una ecuacin diferencial de flexin de la
viga recta:
-
44
=
Eje elstico
M=0, Fx=0, Fy=0 ecuaciones de la esttica
= 0,
= ,
=
22
=
,
=
,
44
=
,22
=
,
44
+ 22
= 0,
Oscilaciones de la barra
Para la barra recta de seccin constante se tiene:
= 2,
22
= ,
= 2,
=
,
= 0
w es la frecuencia de oscilaciones libres, que se descomponen en dos grupos, que caracterizan las
oscilaciones transversales y longitudinales de la barra, de acuerdo a las siguientes ecuaciones:
44
4 = 0 (44
+
22
= 0)
Donde
4 =2
=
2
(
1
4)
22
+ 2 = 0 (22
22
= 0)
Donde
2 =2
=
2
(
1
2)
-
= 2
4
= 2
