CÁLCULO DE LIMITANTE INFERIOR PARA O VALOR SINGULAR ...

INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

CÁLCULO DE LIMITANTE INFERIOR PARA O VALORSINGULAR ESTRUTURADO VIA OTIMIZAÇÃO

NÃO-DIFERENCIÁVEL

Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de Mes-trado em Engenharia Elétrica do Instituto Militar de En-genharia, como requisito parcial para obtenção do título deMestre em Ciências em Engenharia Elétrica.

Orientador: Cap Alberto Mota Simões - Dr. ISAE

Rio de Janeiro2012

c2012

INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIAPraça General Tibúrcio, 80-Praia VermelhaRio de Janeiro-RJ CEP 22290-270

Este exemplar é de propriedade do Instituto Militar de Engenharia, que poderá incluí-loem base de dados, armazenar em computador, microfilmar ou adotar qualquer forma dearquivamento.

É permitida a menção, reprodução parcial ou integral e a transmissão entre bibliotecasdeste trabalho, sem modificação de seu texto, em qualquer meio que esteja ou venha aser fixado, para pesquisa acadêmica, comentários e citações, desde que sem finalidadecomercial e que seja feita a referência bibliográfica completa.

Os conceitos expressos neste trabalho são de responsabilidade do autor e do orientador.

L557 Lemos, Rodrigo Garrido da SilvaCálculo de limitante inferior para o valor singular estruturado

via otimização não-diferenciável / Rodrigo Garrido da Silva Lemos.- Rio de Janeiro : Instituto Militar de Engenharia, 2012.

104 p.: il.

Dissertação (mestrado) - Instituto Militar de Engenharia - Riode Janeiro, 2012.

1. Engenharia elétrica (teses e dissertações). 2. Controlerobusto 3. Valor Singular Estruturado 4. Otimização não-diferenciável I. Título II. Instituto Militar de Engenharia.

CDD 621.3822

2

INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

RODRIGO GARRIDO DA SILVA LEMOS

CÁLCULO DE LIMITANTE INFERIOR PARA O VALOR SINGULARESTRUTURADO VIA OTIMIZAÇÃO NÃO-DIFERENCIÁVEL

Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Elétricado Instituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para obtenção do título deMestre em Ciências em Engenharia Elétrica.

Orientador: Cap Alberto Mota Simões - Dr. ISAEAprovada em 09 de Março 2012 pela seguinte Banca Examinadora:

Cap Alberto Mota Simões - Dr. ISAE do IME

Cel Paulo César Pellanda - Dr. ENSAE do IME

Ricardo Hiroshi Caldeira Takahashi - Dr. UNICAMP da UFMG

Leonardo Antônio Borges Tôrres - Dr. UFMG da UFMG

Rio de Janeiro2012

3

À minha mãe.

4

AGRADECIMENTOS

Ao meu orientador, Cap Alberto Mota Simões, pela dedicação, atenção e compre-

ensão dispensados, que somados ao compartilhamento de notório saber possibilitaram o

desenvolvimento desse trabalho.

Aos meus pais, Nelson da Silva Lemos e Iris Garrido da Silva Lemos, in memorian,

por tudo.

Ao meu primo, Andersen, pelos constantes apoio e incentivo, sem os quais esse obje-

tivo jamais teria sido alcançado.

À minha esposa, Ana Paula, por dividir comigo, a cada dia, os risos dos momentos

felizes e as lágrimas dos momentos tristes.

Aos meus familiares, que contribuíram de maneira significante com a minha forma-

ção, em especial ao meu irmão Rafael, às minhas tias Isis e Célia e à minha madrinha

Conceição.

Ao Exército Brasileiro, pelo significativo investimento e pelo voto de confiança.

5

Epígrafe

“Julgue seu sucesso pelas coisas quevocê teve que renunciar para conseguir.”

Dalai Lama

6

SUMÁRIO

LISTA DE ILUSTRAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

LISTA DE SMBOLOS E ABREVIATURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1 Motivação do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2 Organização da dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 ANÁLISE DE ROBUSTEZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1 Caracterização das incertezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Quadro de trabalho para a análise de robustez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.1 Representação de incertezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.2 Definições de estabilidade e desempenho robustos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.3 Estabilidade robusta na estrutura M∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 Valor singular estruturado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.1 Estabilidade robusta para bloco de incertezas diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4 Valor singular estruturado oblíquo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5 Desempenho robusto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5.1 Teste-µ para desempenho robusto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6 Análise µ por espaço de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 ELEMENTOS DE OTIMIZAÇÃO NÃO-DIFERENCIÁVEL . . . . . 41

3.1 Análise não-diferenciável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1.1 Introducão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1.2 Subdiferencial de uma função convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1.3 Subdiferencial de Clarke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1.4 Regras de cálculo do subdiferencial de Clarke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2 Técnica de otimização não-diferenciável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.1 Algoritmo de penalização exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.2 Detalhes da implementação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7

4 APLICAÇÕES NUMÉRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.1 Exemplo com incertezas puramente reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2 Exemplo com incertezas mistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3 Sistema massa-mola-amortecedor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.4 Sistema de controle de voo longitudinal de míssil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.5 Avião flexível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.1 Visão geral do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2 Estudos de caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.3 Sugestão para trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7 APÊNDICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.1 Transformações Fracionais Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.1.1 Interconexão de LFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.2 Autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.3 Valores singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.4 Critério de Nyquist Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.5 Fórmula de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

FIG.2.1 Incerteza multiplicativa de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

FIG.2.2 Estrutura M∆ para análise de robustez em estabilidade . . . . . . . . . . . . . . 24

FIG.2.3 Estrutura N∆ para análise de robustez em desempenho . . . . . . . . . . . . . . 24

FIG.2.4 Forma padrão para síntese de controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

FIG.2.5 Estrutura M∆ particionada para análise ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

FIG.2.6 Estrutura G∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

FIG.2.7 ∆p incluso na estrutura N∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

FIG.2.8 Estrutura N∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

FIG.2.9 Teste µ - espaço de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

FIG.3.1 Interpretação geométrica do subdiferencial de uma função convexa

(HIRIART-URRUTY, 1993) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

FIG.3.2 Interpretação geométrica do subdiferencial de Clarke . . . . . . . . . . . . . . . . 47

FIG.4.1 Limitantes de µ com 1 ponto inicial: 1a aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

FIG.4.2 Limitantes de µ com 5 pontos iniciais: 1a aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

FIG.4.3 Limitantes de µ com 10 pontos iniciais: 1a aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

FIG.4.4 Análise de singularidade via menor valor singular (GB/ND-GF): 1a

aplicação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

FIG.4.5 Análise de singularidade via recíproco do número de condiciona-

mento (GB/ND-GF): 1a aplicação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

FIG.4.6 Diagramas de blocos do sistema em malha fechada: 2a aplicação. . . . . . . 63

FIG.4.7 Limitantes de µ: 2a aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

FIG.4.8 Análise de singularidade via menor valor singular (GB/ND-GF): 2a

aplicação (estabilidade robusta). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66


mento (GB/ND-GF): 2a aplicação (estabilidade robusta). . . . . . . . . . . . . 66

FIG.4.10 Limitantes para o pior caso de ganho da transferência F : 2a apli-

cação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

FIG.4.11 Análise de singularidade via menor valor singular (ND-GF): 2a apli-

cação (desempenho robusto). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

9


mento (ND-GF): 2a aplicação (desempenho robusto). . . . . . . . . . . . . . . . 69

FIG.4.13 Sistema massa-mola-amortecedor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

FIG.4.14 Limitantes de µ: massa-mola-amortecedor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

FIG.4.15 Análise de singularidade via menor valor singular (ND-EE): massa-

mola-amortecedor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73


mento (ND-EE): massa-mola-amortecedor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

FIG.4.17 Diagrama de blocos do míssil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

FIG.4.18 Limitantes de µ: míssil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

FIG.4.19 Análise de singularidade via menor valor singular (ND-EE): míssil

(análise µ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77


mento (ND-EE): míssil (análise µ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

FIG.4.21 Limitante de µ: míssil (Mα e Mβ reduzidos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

FIG.4.22 Análise de singularidade via menor valor singular para (GB/ND-

GF): míssil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79


mento (GB/ND-GF): míssil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

FIG.4.24 Limitantes de ν: míssil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

FIG.4.25 Análise de singularidade via menor valor singular (ND-EE): míssil

(análise ν). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82


mento (ND-EE): míssil (análise ν). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

FIG.4.27 Limitante para µ - míssil: Zα e Zβ reduzidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

FIG.4.28 Limitantes de µ - avião flexível. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

FIG.4.29 Análise de singularidade via menor valor singular (ND-EE): avião

flexível (análise µ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85


mento (ND-EE): avião flexível (análise µ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

FIG.4.31 Limitantes de ν - avião flexível: restrição na faixa de variação dos

coeficientes aerodinâmicos do modelo rígido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

10


flexível (1a análise ν. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88


mento (ND-EE): avião flexível (1a análise ν). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

FIG.4.34 Limitantes de ν: avião flexível (restrição na faixa de variação das

frequências naturais dos modos flexíveis). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90


mento (ND-EE): avião flexível (2a análise ν). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91


flexível (2a análise ν). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

FIG.7.1 LFT inferior em função de K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

FIG.7.2 LFT superior em função de ∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

FIG.7.3 Interconexão de LFTs resulta em uma LFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

FIG.7.4 Sistema com realimentação negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

11

LISTA DE SMBOLOS E ABREVIATURAS

ABREVIATURAS

VANT - Veículo Aéreo Não-Tripulado

UAV - Unmanned Aerial Vehicle

LFT - Linear Fractional Transformations

PI - Power Iteration

GBLB - Gain Based Lower Bound

EN - Estabilidade Nominal

ER - Estabilidade Robusta

DN - Desempenho Nominal

DR - Desempenho Robusto

LS - Limitante Superior

LI GB - Limitante Inferior Gain Based

LI ND-GF - Limitante Inferior Não-Diferenciável Grade de Frequências

LI ND-EE - Limitante Inferior Não-Diferenciável Espaço de Estados

LS-WC - Limitante Superior Worst Case

LI-WC - Limitante Inferior Worst Case

FIG(s) - Figura(s)

TEO(s) - Teorema(s)

EQ(s) - Equação(ções)

MIMO - Multiple-Imput Multiple-Output

CQP - Convex Quadratic Programming

SDP - Semidefinite Programming

SÍMBOLOS

, - igual, por definição

∀ - para todo

⇒ - se, então

⇔ - se, somente se

12

2 - fim de demonstração

a ∈ A - a pertence ao conjunto A

R - conjunto dos números reais

Rn×m - matriz real com n linhas e m colunas

Rn - vetor coluna real com n elementos

C - conjunto dos números complexos

Cn×m - matriz complexa com n linhas e m colunas

Cn - vetor coluna complexo com n elementos

co - fecho convexo de um conjunto

MT - transposta da matriz M

M∗ - adjunta da matriz M

MH - transposta conjugada da matriz M

Ip - matriz identidade de ordem p

Tr - traço da matriz quadrada

det - determinante da matriz

Re - parte real de uma matriz

Im - parte imaginária de uma matriz

λ - autovalor

q - autovetor

ρ - raio espectral

Hm - conjunto de matrizes hermitianas de ordem m

X � 0 - matriz X é positiva definida

X � 0 - matriz X é positiva semidefinida

X ∗ Y - produto estrela de Redheffer entre as matrizes X e Y

µ - valor singular estruturado

ν - valor singular estruturado oblíquo

σ - valor singular

σ - maior valor singular

σ - menor valor singular

B(δ, ρ) - bola de raio ρ > 0 centrada no ponto δ

Jf (δ) - matriz jacobiana para o campo vetorial f(·) em δ

δj - j-ésima componente do vetor δ ∈ Rn

13

∂f(δ) - subdiferencial de Clarke em δ

Epi(f) - Epígrafo da função f

f ′(δ;h) - derivada direcional de δ na direção h

∇δf(δ, y) - gradiente em relação à primeira variável

Fu - LFT superior

Fl - LFT inferior

14

RESUMO

Este trabalho trata da análise de robustez de sistemas incertos via otimização não-diferenciável.

É proposta uma nova técnica baseada em otimização não-diferenciável para o cálculode limitante inferior para o valor singular estruturado µ e para o valor singular estruturadooblíquo ν (skewed-µ), duas valiosas ferramentas para análise de robustez de sistemasincertos. µ e ν podem ser aplicados na análise de robustez de controladores utilizados emaplicações militares como mísseis e Veículos Aéreos Não-Tripulados (VANT). Exemplosnuméricos mostram que em alguns casos os limitantes inferiores encontrados, tanto paraµ quanto para ν, são iguais aos seus valores verdadeiros. Para o cálculo dos limitantesé utilizado um eficiente algoritmo de otimização dotado de certificado de convergênciae otimalidade local. Em virtude da eficiência da técnica não-diferenciável, o algoritmopode ser aplicado para resolver, até mesmo, problemas que envolvam um significativonúmero de incertezas paramétricas. Outra característica interessante da abordagem não-diferenciável proposta é o pequeno impacto causado no tempo computacional pelo númerode repetições das incertezas escalares no bloco estruturado das incertezas.

Para algumas aplicações desafiadoras, como as discutidas neste trabalho, a técnicaproposta pode fornecer limitantes inferiores menos conservadores quando comparada comas técnicas mais populares atualmente disponíveis.

15

ABSTRACT

This work deals with robustness analysis of uncertain systems by non-smooth opti-mization.

It is proposed a new technique based on non-smooth optimization to directly computelower bounds on the structured singular value µ and the skew structured singular valueν, which are two valuable tools for robustness analysis of uncertain systems. µ and ν canbe applied to the robustness analysis of controllers used in military applications such asmissiles and Unmanned Aerial Vehicles (UAV). Numerical examples show that in somecases the lower bounds found for both µ and ν are equal to their true values. For thecomputation of bounds is used an optimization algorithm endowed with a certificate ofconvergence and local optimality. Thanks to the efficiency of the non-smooth technique,the algorithm can be applied to solve problems that involve even a significant numberof parametric uncertainties. Another interesting feature of the proposed non-smoothapproach is the little impact of dimension of repeated scalar uncertainties in the overallstructured uncertainty matrix on the computational time.

For some challenging applications, such as those discussed in this work, the proposedtechnique can provide tighter lower bounds when compared with the most popular tech-niques currently available.

16

1 INTRODUÇÃO

Modelos matemáticos não possuem a capacidade de descrever com exatidão o compor-

tamento de sistemas físicos reais. No entanto, muitas vezes, para fins de análise e projeto,

é conveniente utilizá-los para se obter uma aproximação do comportamento de um deter-

minado sistema. Para muitas aplicações as aproximações se mostram eficazes, mas em

algumas circunstâncias, sobretudo em sistemas de alto desempenho, é possível que um

projeto de controle forneça bons resultados na simulação de seu modelo nominal, mas não

seja aplicável ao sistema físico real. Esse problema surge na medida em que o modelo não

é suficientemente preciso. A Teoria de Controle Robusto (ZHOU, 1996) (SKOGESTAD,

2005) leva em conta as incertezas e imprecisões inerentes ao modelo, visando possibilitar

uma análise sistemática e o desenvolvimento de técnicas de projeto para o tratamento

dessas incertezas.

O ponto de partida é considerar um modelo nominal e o conjunto de incertezas que o

afeta. O sistema obtido é dito robusto se mantém suas propriedades mesmo sob influência

dessas incertezas. Duas propriedades que são especialmente avaliadas são a estabilidade e

o desempenho. Problemas de controle robusto seguem basicamente duas linhas: a análise

de robustez e a síntese de controladores robustos. A primeira consiste em avaliar as

propriedades de um sistema dado (em geral, planta e controlador) sob influência de um

conjunto de incertezas. A segunda consiste em projetar um controlador que atenda, em

malha fechada, as condições de robustez requeridas. Essa dissertação abordará o problema

de análise de robustez.

Existem várias hipóteses que podem ser adotadas para traduzir o conhecimento prévio

que se tem acerca das incertezas e esse fato gera diferentes paradigmas para análise de

robustez. Para que sejam obtidas descrições mais realistas dos sistemas físicos, é preciso

permitir que modelos matemáticos mais sofisticados sejam utilizados na representação do

conjunto de incertezas. Porém, essa medida pode acarretar dificuldades no tratamento

do problema.

Um significativo número de aplicações pode ser representado supondo-se que as in-

certezas sejam limitadas em norma. A medida de robustez será dada, então, em função

da menor incerteza para a qual uma determinada propriedade do sistema não seja aten-

17

dida. No quadro de trabalho utilizado, as diferentes fontes de incertezas são organizadas

em uma matriz bloco diagonal, o que induz uma estrutura para o conjunto. Esta confi-

guração motiva a definição do valor singular estruturado µ (DOYLE, 1982), que é uma

ferramenta matemática utilizada para se medir a robustez de sistemas incertos sujeitos

à incertezas estruturadas. Outra grandeza utilizada para a análise de robustez é o valor

singular estruturado oblíquo ν (skewed-µ) (FAN, 1992) que consiste em uma generalização

para µ.

1.1 MOTIVAÇÃO DO TRABALHO

µ e ν são duas valiosas ferramentas utilizadas para análise de robustez de sistemas in-

certos. Originalmente desenvolvido para análise de robustez em estabilidade, µ também

pode ser utilizado para avaliação da robustez em desempenho via Teorema Principal de

Malha (Main Loop Theorem) (PACKARD, 1993a). No entanto, alguns problemas mais

complexos de análise de robustez só podem ser tratados através do caso mais geral, a

análise ν. Podem ser citados como exemplos típicos, a avaliação do pior caso de desem-

penho H∞, a maior incerteza permitida (FAN, 1992), e a obtenção da maior incerteza

paramétrica aceitável na presença de dinâmicas negligenciadas (FERRERES, 1996), todos

apresentando grande relevância do ponto de vista da engenharia.

Uma abordagem possível para a obtenção de ν consiste na resolução iterativa de

problemas µ (SKOGESTAD, 2005). Infelizmente, o cálculo de µ não é uma tarefa trivial e

foi provado que, em geral, trata-se de um problema NP-difícil (BLONDEL, 2000). Para o

caso de incertezas puramente reais até, mesmo o cálculo de um valor aproximado de µ é um

problema NP-difícil (FU, 1997). Em virtude disso, na prática obtém-se uma estimativa do

valor de µ a partir do cálculo de limitantes superior e inferior. Em contraste com o cálculo

do limitante superior, que permite uma formulação convexa (FAN, 1991) (YOUNG, 1992),

o cálculo do limitante inferior representa um problema bem mais delicado. A obtenção de

limitantes inferiores justos tem grande importância, uma vez que que o limitante superior

pode ser conservador (MEINSMA, 1997), especialmente quando há presença de incertezas

paramétricas repetidas.

No caso puramente complexo, o algoritmo baseado no método das potências (PI,

de power iteration) (PACKARD, 1993a) geralmente fornece bons limites inferiores com

baixo tempo computacional. O método foi estendido para o caso em que há presença de

18

incertezas mistas em (YOUNG, 1997), mas infelizmente não fornece bons resultados para

algumas classes de problemas, incluindo o caso puramente real (NEWLIN, 1995). Algumas

abordagens tem sido propostas na literatura com o objetivo de contornar as limitações do

algoritmo PI nos casos de incertezas puramente reais ou mistas. O algoritmo GBLB (gain-

based lower bound) (SEILER, 2010) fornece limitantes inferiores melhores em alguns casos.

Esquemas de regularização (PACKARD, 1993b) (FERRERES, 2001) podem representar

uma alternativa válida, mas geralmente é difícil inferir quão longe do problema original

está o problema resolvido. O algoritmo em tempo polinomial apresentado em (DAILEY,

1990) fornece bons resultados para o caso puramente real, mas possui a limitação de

funcionar bem somente em problemas que envolvem um número pequeno de parâmetros

incertos.

Programação não-linear foi utilizada em (HAYES, 2001) (BATES, 2004) para a obten-

ção de um limitante inferior para µ. No entanto, quando se utiliza técnicas de otimização

diferenciável para se tratar um problema genuinamente não-diferenciável, nenhum certifi-

cado formal de convergência ou otimalidade pode ser fornecido. De fato, existe uma longa

experiência no uso de métodos diferenciáveis clássicos para a solução de problemas não-

diferenciáveis. Na prática, ótimos locais são pontos de não diferenciabilidade (ZOWE,

1987). A utilização de métodos diferenciáveis invariavelmente provoca falhas em pontos

que não são ótimos locais mas que possuem características de não-diferenciabilidade.

Poucos trabalhos têm sido propostos tratando do cálculo direto de um limitante inferior

para ν. Em (HOLLAND, 2005), o algoritmo PI foi estendido para problemas ν. Estratégia

similares foram adotadas em (FERRERES, 1996) (GLAVASKI, 1998). Infelizmente, todas

essas técnicas enfrentam as mesmas dificuldades de convergência do algoritmo PI original.

Nessa dissertação, será apresentada uma abordagem baseada em otimização não-

diferenciável para o cálculo de limitantes inferiores para µ e ν. Para isso, um problema

de otimização não-convexa, não-diferenciável e com restrição será resolvido através de um

eficiente algoritmo dotado de certificado de convergência e otimalidade local. O obje-

tivo principal do trabalho é comprovar a eficiência da técnica proposta, com a realização

de extensivos testes numéricos. É mostrado que para algumas aplicações desafiadoras a

técnica de otimização não-diferenciável fornece limitantes menos conservadores quando

comparada com as técnicas atualmente disponíveis. Além disso, em muitos casos o li-

mitante inferior obtido é igual ao valor verdadeiro de µ ou de ν. Graças à eficiência do

algoritmo, o método pode ser aplicado em uma grande classe de problemas, até mesmo

19

nos casos com grande número de incertezas paramétricas. Outra característica fundamen-

tal da abordagem não-diferenciável é que a dimensão de incertezas escalares repetidas na

matriz estruturada de incertezas parece ter pequeno impacto no tempo computacional

global.

1.2 ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO

Além dessa introdução, a dissertação está organizada em mais 4 capítulos:

• Capítulo 2: São abordados os aspectos da teoria de controle robusto utilizados

na análise de robustez de sistemas incertos. É proposta uma formulação geral para

o tratamento das incertezas. A ideia principal é reuní-las em uma matriz bloco-

diagonal, dando origem a um bloco de incertezas ∆ estruturado. Em seguida é

definida a grandeza µ, ferramenta que permite, no domínio da frequência, medir

a robustez de sistemas incertos com ∆ estruturado. É proposta uma estratégia

baseada em otimização não-diferenciável para o cálculo direto de limitantes inferiores

para µ. São apresentados, ainda, testes para análise de estabilidade e desempenho

robustos que consistem, sumariamente, em realizar uma pesquisa do valor de pico de

µ em todo o domínio de frequência. Nesse capítulo, também é definida a grandeza ν.

Uma estratégia similar à primeira é adotada para obtenção de limitantes inferiores

para ν. Por fim, é apresentada uma abordagem por espaço de estados que permite

eliminar a pesquisa frequencial, tratando a frequência como um parâmetro incerto.

• Capítulo 3: São apresentados elementos de otimização não-diferenciável e é discu-

tido como a obtenção de limitantes inferiores para µ e ν pode ser realizada através

de eficientes programas de otimização não-convexa, não-diferenciável com restri-

ção. Cabe ressaltar aqui que a implementação do algoritmo não foi objetivo desse

trabalho, mas sim a sua aplicação em diversos problemas de controle.

• Capítulo 4: São realizados extensivos testes numéricos onde o valor prático da

técnica proposta é avaliado. Os resultados obtidos são comparados com os obtidos

pelas técnicas mais populares disponíveis atualmente.

• Capítulo 5: Finalmente, nesse capítulo, são apresentadas as conclusões do trabalho

e as perspectivas de estudos futuros.

20

2 ANÁLISE DE ROBUSTEZ

2.1 CARACTERIZAÇÃO DAS INCERTEZAS

A maioria dos projetos de controle é baseada no uso de modelos que aproximam um

determinado sistema físico. A relação entre os modelos e a realidade que eles representam

é sutil e complexa. Um modelo matemático fornece um mapa de entradas e respostas

e sua qualidade depende de quão perto essas respostas estão daquelas fornecidas pela

planta verdadeira. Nenhum modelo único é capaz de traduzir o comportamento da planta

verdadeira, precisa-se, no mínimo, de um conjunto de mapas. Obter um conjunto de

modelos que contenha a planta verdadeira é uma tarefa bastante difícil, tendo em vista

que, o universo matemático é diferente do universo de sistemas físicos. Um bom modelo

deve ser simples o suficiente para facilitar sua concepção e complexo o suficiente para

garantir sua aplicabilidade ao sistema real.

O termo incertezas refere-se às diferenças ou erros entre os modelos e a realidade

e qualquer mecanismo usado para expressar esses erros é chamado de representação de

incertezas.

As incertezas podem ter várias origens:

• Possibilidade de haver parâmetros do modelo linear que são conhecidos apenas apro-

ximadamente ou com erro.

• Variação dos parâmetros devido à não-linearidade ou mudança do ponto de opera-

ção.

• Imperfeições nos sensores.

• Em altas frequências, a estrutura e a ordem do modelo são desconhecidos.

• Mesmo quando um modelo bastante detalhado está disponível, pode-se optar em

utilizar um modelo mais simples, porém tratável computacionalmente. As dinâmicas

negligenciadas então são representadas como incertezas.

Os vários tipos de incertezas do modelo podem ser agrupados em duas classes princi-

pais:

21

a) Incerteza paramétrica: A estrutura do modelo, incluindo sua ordem, é conhecida,

mas alguns parâmetros são incertos.

b) Dinâmicas não modeladas ou negligenciadas: O modelo utilizado não é preciso

devido ao desconhecimento de sua dinâmica, geralmente em altas frequências, à

negligências deliberadas ou por falta de compreensão do processo físico. Qualquer

modelo de um sistema real, invariavelmente, irá conter essa fonte de incerteza.

Incertezas paramétricas podem ser quantificadas a partir de um valor nominal p0 e de

uma ponderação α que determina a faixa de variação. Desta maneira, tem-se conjuntos

de parâmetros com a seguinte forma:

pp = p0 + αδp0 (2.1)

onde δ é um escalar real satisfazendo |δ| ≤ 1.

Dinâmicas não modeladas ou negligenciadas são menos precisas e mais difíceis de serem

quantificadas. Uma abordagem válida para descrever essa classe de incertezas é o domínio

da frequência, que dá origem a perturbações complexas normalizadas ‖∆(s)‖∞ ≤ 1.

Pode ser considerada, ainda, uma terceira classe, que consiste em uma ou mais fontes

de incertezas paramétricas e/ou dinâmicas não modeladas/negligenciadas reunidas em

uma única incerteza concentrada. Como exemplos para essa classe podem ser citadas as

incertezas multiplicativas. A FIG. 2.1 ilustra uma incerteza multiplicativa de entrada.

FIG. 2.1: Incerteza multiplicativa de entrada

O conjunto de plantas incertas gerado tem a seguinte forma:

ΠI : Gp(s) = G(s)(I +WI(s)∆I(s)), |∆I(jω)| ≤ 1 ∀ω (2.2)

onde WI(s) representa a ponderação.

22

2.2 QUADRO DE TRABALHO PARA A ANÁLISE DE ROBUSTEZ

2.2.1 REPRESENTAÇÃO DE INCERTEZAS

O ponto de partida para a análise de robustez é a definição de uma forma padrão para

representar os sistemas incertos, na qual todas as incertezas que os afetam são isoladas

em uma matriz bloco-diagonal, chamada de bloco de incertezas ∆:

∆ =

∆1

. . .

∆i

. . .

, (2.3)

onde cada bloco ∆i pode representar uma fonte específica de incerteza, como, por exemplo,

incerteza de entrada, ∆I , ou incerteza paramétrica, δi, onde δi é real.

Define-se uma estrutura geral para o bloco de incertezas utilizando-se a seguinte no-

tação padrão:

∆ ={

∆ = diag(δr1Ik1 , . . . , δrmrIkmr , δ

cmr+1Ikmr+1 , . . . , δ

c1Ikmr+mc ,∆

C1 , . . . ,∆

CmC

)

: δri ∈ R, δci ∈ C,∆Ci ∈ Ckmr+mc+i×kmr+mc+i

}. (2.4)

Tipicamente, os escalares reais δri representam incertezas paramétricas, enquanto que os

escalares complexos δci e os blocos complexos cheios ∆Ci representam dinâmicas não mo-

deladas ou negligenciadas. Os inteiros mr, mc and mC denotam o número de escalares

reais repetidos, escalares complexos repetidos e blocos complexos cheios, respectivamente.

O bloco de incertezas ∆ é dito complexo se é composto somente por escalares comple-

xos ou blocos complexos cheios. É dito real se é composto somente por escalares reais.

Finalmente, se possui simultaneamente incertezas complexas e reais é dito misto.

Se o objetivo é a análise de robustez em estabilidade, utiliza-se a estrutura M∆ (FIG.

2.2 para representar o sistema incerto, onde M(s) representa o sistema nominal.

23

FIG. 2.2: Estrutura M∆ para análise de robustez em estabilidade

Alternativamente, se o objetivo é a análise de robustez em desempenho utiliza-se aestrutura N∆ mostrada na FIG. 2.3.

FIG. 2.3: Estrutura N∆ para análise de robustez em desempenho

A Função de Transferência de w para z do sistema em malha fechada é dada pela

Transformação Fracional Linear (LFT, do inglês Linear Fractional Transformation)(Seção

7.1 do Apêndice) superior entre N e ∆,

z = Fu(N,∆)w =[N22 +N21∆(I −N11∆)−1N12

]w. (2.5)

N(s) normalmente é obtido a partir da LFT inferior envolvendo a planta generalizada P

(SKOGESTAD, 2005) e um controlador K,

N(s) = Fl(P (s), K(s)) =

[N11(s) N12(s)

N21(s) N22(s)

]. (2.6)

A FIG. 2.4 ilustra a forma padrão mais geral, envolvendo P , um controlador K e o blocode incertezas ∆:

24

FIG. 2.4: Forma padrão para síntese de controladores

com,

P (s) =

P11(s) P12(s) P13(s)

P21(s) P22(s) P23(s)

P31(s) P32(s) P33(s)

. (2.7)

Para se estabelecer as condições de robustez, cada incerteza individual será considerada

normalizada, ou seja:

σ (∆i(jω)) ≤ 1 ∀ω; |δi| ≤ 1. (2.8)

Como o maior valor singular de uma matriz bloco-diagonal é igual ao máximo entre

os maiores valores singulares dos blocos individuais (Seção 7.3), então o bloco geral de

incertezas também será normalizado:

σ (∆(jω)) ≤ 1 ∀ω ⇔ ‖∆‖∞ ≤ 1. (2.9)

No quadro de trabalho proposto, ∆ possui uma estrutura definida. Portanto, as con-

dições de estabilidade e desempenho robustos serão estabelecidas para um subconjunto

que possua a estrutura dada pela EQ. 2.4 que satisfaça a EQ. 2.9.

A hipótese de considerar ∆ estável pode ser relaxada, mas as condições de robustez

tornam-se mais difíceis de serem obtidas. Além disso, se for usada a forma correta para

representar as incertezas e se for permitida a ocorrência de incertezas múltiplas, sempre

será possível gerar a classe de plantas desejada utilizando-se somente incertezas estáveis.

2.2.2 DEFINIÇÕES DE ESTABILIDADE E DESEMPENHO ROBUSTOS

Foi discutido na Seção 2.2.1 como representar um sistema incerto através da estrutura

N∆ (FIG. 2.3). O próximo passo da análise é verificar se o sistema possui, sob influência

25

das incertezas, estabilidade e desempenho aceitável.

• Análise de estabilidade robusta: Consiste em determinar se um dado sistema incerto

permanece estável para todo ∆ permitido.

• Análise de desempenho robusto: Se há estabilidade robusta, determina-se o maior

"tamanho"da função de transferência que relaciona as entradas exógenas w com as

saídas exógenas z para todo ∆ permitido.

Na FIG. 2.3, w representa as entradas exógenas (por exemplo, distúrbios e referências

normalizados) e z representa as saídas exógenas (por exemplo, erros normalizados). A

Função de Transferência de w para z é dada pela EQ. 2.5, z = Fw, onde

F , Fu(N,∆) =[N22 +N21∆(I −N11∆)−1N12

]. (2.10)

Será usada a norma H∞ para medir o desempenho. A condição para que se tenha

desempenho robusto é ‖F‖∞ ≤ 1, ∀ ∆ permitido.

Na estrutura N∆, as condições de estabilidade e desempenho podem então ser resu-

midas como se segue:

Estabilidade Nominal (EN) ⇔ N é internamente estável (2.11)

Desempenho Nominal (DN) ⇔ ‖N22‖∞ < 1; e EN (2.12)

Estabilidade Robusta (ER) ⇔ F é estável ∀∆, ‖∆‖∞ ≤ 1; e EN (2.13)

Desempenho Robusto (DR) ⇔ ‖F‖∞ < 1,∀∆, ‖∆‖∞ ≤ 1; e EN (2.14)

2.2.3 ESTABILIDADE ROBUSTA NA ESTRUTURA M∆

Considere, em princípio, a estrutura N∆ (FIG. 2.3) para representar um determinado

sistema incerto. A Função de Transferência de w para z é dada pela EQ. 2.10. Suponha

que o sistema possui estabilidade nominal (com ∆ = 0), o que significa dizer que todo N

é estável e não somente N22. Suponha também que ∆ é estável. Da análise direta da EQ.

2.10 observa-se que a única fonte possível de instabilidade é o termo (I−N11∆)−1. Então,

a estrutura M∆ (FIG. 2.2) pode ser utilizada para verificar a estabilidade do sistema,

fazendo M = N11.

O próximo passo, portanto, é reunir as condições necessárias para se verificar a estabili-

dade da estruturaM∆. O teorema que segue deriva do Teorema de Nyquist Generalizado

26

(Seção 7.4) e é aplicado para os blocos de incertezas ∆, com norma H∞ limitada, mas

também pode ser aplicado para qualquer outro conjunto convexo de incertezas (isto é,

conjuntos com outras estruturas ou limitados com outros tipos de norma)

Teorema 2.1 (Condição de estabilidade do determinante (SKOGESTAD, 2005)). As-

suma que o sistema nominal M(s) e o bloco das incertezas ∆(s) são estáveis. Considere

o conjunto convexo de incertezas ∆ de tal forma que, se ∆′ é permitido, então c∆′ também

é, onde c é um escalar real qualquer, tal que |c| ≤ 1. Então, o sistema M∆ da FIG. 2.2

é estável para todo ∆ permitido (ER) se e somente se:

O diagrama de Nyquist de det (I −M∆(s)) não envolve a origem,∀∆ (2.15)

⇔ det (I −M∆(jω)) 6= 0, ∀ω,∀∆ (2.16)

⇔ λi(M∆) 6= 1, ∀i,∀ω,∀∆ (2.17)

Demonstração. A condição dada pela EQ. 2.15 é simplesmente a aplicação do Teorema

de Nyquist Generalizado a um sistema com realimentação positiva e com função de trans-

ferência igual a M∆.

(2.15) ⇒ (2.16): Esta implicação é trivial, uma vez que se o diagrama passar pela

origem, obviamente esta estará sendo envolvida.

(2.15) ⇐ (2.16): Basta provar que a negação de (2.15) implica na negação de (2.16).

Primeiramente nota-se que para ∆ = 0, det(I − M∆) = 1 para todas as frequências.

Assuma que exista uma perturbação ∆′ tal que o diagrama de Nyquist de det(I −M∆′)

envolva a origem. Como o contorno de Nyquist é fechado, então existe uma outra pertur-

bação ∆′′ = c∆′ com c ∈ [0, 1] e uma frequência ω′ tal que det(I −M∆”(jω′)) = 0.

(2.17) é equivalente a (2.16) pelas propriedades: det(I−A) =∏

i λi(I−A) e λi(I−A) =

1− λi(A) (Seção 7.2). �

2.3 VALOR SINGULAR ESTRUTURADO

O valor singular estruturado µ é uma grandeza que mede a robustez de sistemas in-

certos sujeitos a um bloco de incertezas ∆ com estrutura definida. A sua aplicação pode

fornecer condições necessárias e suficientes tanto para estabilidade quanto para desempe-

nho robustos.

27

Seja a estrutura M∆ mostrada na FIG. 2.2. Da condição de estabilidade do determi-

nante ( EQ. 2.16) tem-se que:

ER⇔ det (I −M∆(jω)) 6= 0, ∀ω,∀∆, σ(∆(jω)) ≤ 1,∀ω (2.18)

A motivação para a definição da grandeza µ é responder a seguinte questão: Dada

uma matriz M ∈ Cp×q, qual é o menor ∆ ∈ Cq×p (medido através do maior valor singular

σ(∆) (Seção 7.3)) tal que det(I −M∆) = 0, ou seja, qual o menor ∆ que leva o sistema

à instabilidade?

Definição 2.1 (Valor singular estruturado µ). Seja a matriz complexa M o valor da

matriz de transferência M(s) em s = jω e, de maneira semelhante, seja ∆ o valor de

∆(s) em s = jω. O valor singular estruturado µ(M) é definido como:

µ(M) =

(min∆∈∆{σ(∆) | det (I −∆M) = 0}

)−1

, (2.19)

com µ(M) = 0 se não existe ∆ ∈∆ tal que det (I −∆M) = 0.

É importante notar que o valor de µ(M) depende da estrutura de ∆. Isso às vezes

é mostrado explicitamente usando-se a notação µ∆(M). O valor de µ = 1 significa que

existe um ∆ com σ(∆) = 1 que torna a matriz (I −∆M) singular. Valores elevados de µ

indicam pouca robustez, pois significa dizer que existe uma pequena incerteza que torna

(I −∆M) singular. Inversamente, valores reduzidos de µ indicam boa robustez.

Nesse trabalho propõe-se o cálculo direto de um limitante inferior para µ. Assuma mo-

mentaneamente que µ(M) 6= 0 para um dado M . Considere, então, a seguinte estratégia

para se calcular µ(M) inspirada pela própria definição dada pela EQ. 2.19. Primeira-

mente, o programa de otimização com restrição abaixo é resolvido:

minimize∆∈∆

σ(∆)

sujeito a det (I −∆M) = 0 .(2.20)

Se ∆′ é uma solução factível para (2.20) minimizando σ(·), então pode-se facilmente

calcular µ(M) = σ(∆′)−1. Se, porém, nenhuma solução factível é encontrada, então

estabelece-se µ(M) = 0.

Se por um lado a abordagem acima soa natural, por outro lado solucionar (2.20)

representa uma difícil tarefa. De fato, trata-se de um programa de otimização com função

objetivo não-diferenciável e com uma restrição de igualdade que destrói sua convexidade.

28

Na Seção 3.2, é apresentada uma técnica de otimização não-diferenciável que permite

resolver eficientemente (2.20). O algoritmo não-diferenciável é dotado de certificado de

convergência global e de otimalidade local. Otimalidade local significa que se ∆′ é uma

solução factível para (2.20), então ∆′ é um minimizador local de σ(·). Consequentemente,

σ(∆′)−1 representa um limitante inferior para µ(M).

Uma vez que a abordagem proposta baseia-se em uma técnica de otimização local,

a seleção do ponto inicial pode impactar o resultado, eventualmente resultando em um

limitante inferior mais conservador. Apesar dessa possível limitação, exemplos numéricos

como os apresentados no Capítulo 4 confirmam o grande interesse prático da técnica.

De fato, em algumas aplicações desafiadoras a técnica não-diferenciável proposta produz

limitantes inferiores que são menos conservadores do que os fornecidos pelas técnicas

atuais. Graças à eficiência da técnica de otimização não-diferenciável, o método proposto

pode ser aplicado mesmo em problemas com um número moderado de incertezas. A

experiência também tende a indicar que a inicialização do algoritmo não-diferenciável

não é crítica e que ela pode ser facilmente complementada por estratégias de múltiplos-

começos.

A seguir, serão listadas algumas propriedades importantes de µ que são úteis no de-

senvolvimento desse trabalho.

As duas propriedades abaixo valem para todas as classes de perturbações (reais, com-

plexas ou mistas):

• µ(αM) = |α|µ(M) para qualquer escalar α real.

• Seja ∆ = diag {∆1,∆2} um conjunto de perturbações organizadas em uma matriz

bloco diagonal. Considere a partição da matriz M de acordo com as dimensões de

∆1 e ∆2:

M =

[M11 M12

M21 M22

](2.21)

Então:

µ∆(M) ≥ max {µ∆1(M11), µ∆2(M22)} (2.22)

Esse último resultado mostra que as características de robustez em estabilidade, em re-

lação a um conjunto de incertezas, são tão ruins ou piores do que em relação à qualquer

uma das incertezas isoladas.

29

As próximas propriedades listadas valem somente para incertezas complexas e permi-

tem estabelecer limites para µ:

• Para incerteza complexa escalar repetida, ∆ = δI com δ ∈ C, µ(M) = ρ(M).

• Para incerteza complexa cheia, ∆ = Cn×n (incerteza não estruturada), µ(M) =

σ(M).

Conclui-se, então, que:

ρ(M) ≤ µ(M) ≤ σ(M). (2.23)

Outras propriedades de µ, tais como o refinamento dos seus limites, e as provas das

propriedades listadas podem ser encontradas em (SKOGESTAD, 2005).

2.3.1 ESTABILIDADE ROBUSTA PARA BLOCO DE INCERTEZAS DIAGONAL

A combinação da condição dada pela EQ. 2.18 com a definição de µ fornece uma

condição necessária e suficiente para que haja estabilidade robusta. O teorema a seguir

dá origem ao uso mais comum de µ, como um teste de robustez no domínio da frequência.

Teorema 2.2 (Estabilidade robusta para bloco de incertezas diagonal (SKOGESTAD,

2005)). Assuma que o sistema nominal M(s) e o bloco de incertezas ∆(s) são estáveis.

Então, a estrutura M∆ (FIG. 2.2) é estável para todo ∆ ∈ ∆, com σ(∆) ≤ 1, ∀ω, se e

somente se,

µ(M(jω)) < 1, ∀ω. (2.24)

Demonstração. Se µ(M) < 1 para todas as frequências, então σ(∆) > 1 para a menor

incerteza tal que det(I − ∆M) = 0, como os ∆’s permitidos são limitados em norma,

σ(∆) ≤ 1, ∀ω, então o sistema é estável. Por outro lado, se µ(M) ≥ 1 para alguma

frequência, então existe um ∆ com σ(∆) ≤ 1 tal que det(I −∆M) = 0. �

Este teorema indica que é possível avaliar as propriedades de robustez em estabilidade

de um sistema em malha fechada pesquisando o valor de µ em todo domínio de frequência.

O valor de pico de µ determina o tamanho máximo admissível de incerteza para a qual

garante-se que o sistema em malha fechada mantém-se estável. Entretanto, a varredura

de todo o domínio de frequência pode ter um alto custo computacional. Na prática, é

estabelecida uma grade de frequências dentro de uma faixa apropriada. O inconveniente

30

dessa abordagem é que corre-se o risco de perder pontos importantes se a grade não

for suficientemente densa, sobretudo porque em alguns casos µ pode ser descontínuo

(YOUNG, 2001).

2.4 VALOR SINGULAR ESTRUTURADO OBLÍQUO

Para explicar de maneira sucinta o conceito do valor singular estruturado oblíquo ν,

considere um valor de µ = 1, 1 em um problema de estabilidade robusta. Isso significa que

todas as incertezas do sistema devem ser diminuídas em magnitude por um fator de 1,1

para que se garanta a estabilidade. Mas se o desejo é fixar a faixa de variação de algumas

incertezas, então o quão grande podem ser as outras incertezas antes que a instabilidade

ocorra? Este valor que quantifica o quão grandes essas fontes podem ser é definido como

ν.

A descrição matemática de ν é semelhante à de µ e é desenvolvida em relação à estru-

tura M∆ (FIG. 2.2). O bloco de incertezas ∆ é dividido em dois sub-blocos, ∆f (bloco

contendo as incertezas com faixa de variação fixa) e ∆v (bloco contendo as incertezas com

faixa de variação livre) (FIG. 2.5).

FIG. 2.5: Estrutura M∆ particionada para análise ν

Sejam ∆f e ∆v com a mesma estrutura geral de ∆ (EQ. 2.4). A matriz de transfe-

rência M é particionada de acordo com as dimensões de ∆f e ∆v.

Como ∆f será limitado em norma, define-se uma nova estrutura de bloco:

B∆f = {∆f ∈∆f : σ(∆f ) ≤ 1} (2.25)

31

A partir dessas considerações, é possível definir uma nova estrutura geral para o bloco

de incertezas que será utilizado no cálculo de ν:

∆c = {∆c = diag(∆f ,∆v) : ∆f ∈ B∆f ,∆v ∈∆v} (2.26)

Definição 2.2 (Valor singular estruturado oblíquo ν). Seja a matriz complexa M o valor

da matriz de transferência M(s) em s = jω e, de maneira semelhante, seja ∆c o valor de

∆c(s) em s = jω. O valor singular estruturado oblíquo ν(M) é definido como:

ν(M) =

(min

∆c∈∆c

{σ(∆v) | det (I −∆cM) = 0})−1

(2.27)

com ν(M) = 0 se não existe ∆c ∈∆c tal que det (I −∆cM) = 0.

De maneira semelhante ao cálculo de µ, propõe-se o cálculo direto de um limitante

inferior para ν. Agora, assuma momentaneamente que ν(M) 6= 0 para um dado M . Con-

sidere, então, a seguinte estratégia para se calcular ν(M) inspirada pela própria definição

dada pela EQ. 2.27. Primeiramente, o programa de otimização com restrição abaixo é

resolvido:minimize

∆f∈∆f ,∆v∈∆v

σ(∆v)

sujeito a σ(∆f ) ≤ 1,

det (I − diag(∆f ,∆v)M) = 0 .

(2.28)

Note que a restrição de desigualdade existente em (2.28) garante que ∆f ∈ B∆f . Logo, se

(∆′f ,∆′v) é uma solução factível para (2.28) minimizando σ(∆v), então pode-se facilmente

calcular ν(M) = σ(∆′v)−1. Se, porém, nenhuma solução factível é encontrada, então

estabelece-se ν(M) = 0.

Na Seção 3.2, é apresentada uma técnica de otimização não-diferenciável que permite

resolver eficientemente o programa (2.28). As características de não-diferenciabilidade,

convergência global e otimalidade local presentes na obtenção de µ permanecem nesse

caso.

2.5 DESEMPENHO ROBUSTO

Muitas vezes, a estabilidade robusta não é a única propriedade que precisa ser avaliada

em um sistema em malha fechada. Normalmente, existem distúrbios exógenos que atuam

32

sobre o sistema, que sob influência das incertezas podem acarretar erros de monitoramento

e regulação. Na maioria dos casos, muito antes do início da instabilidade, o desempenho

em malha fechada pode degradar-se ao ponto de atingir níveis inaceitáveis. Diante disso,

surge a necessidade de realizar um teste de desempenho robusto que tenha como objetivo

obter o pior caso de degradação de desempenho, associado a um determinado nível de

incertezas.

2.5.1 TESTE-µ PARA DESEMPENHO ROBUSTO

Primeiramente será apresentado o Teorema Principal de Malha (Main Loop Theorem)

(PACKARD, 1993a), que é base para o teste proposto.

Teorema 2.3 (Teorema Principal de Malha (PACKARD, 1993a)). Seja G a matriz com-

plexa particionada da seguinte maneira:

G =

[G11 G12

G21 G22

].

Suponha que existam 2 blocos com a estrutura diagonal definida pela EQ. 2.4, ∆1 e ∆2,

que são compatíveis com as dimensões de G11 e G12, respectivamente. Define-se, então,

a estrutura ∆ da seguinte maneira:

∆ =

[∆1 0

0 ∆2

], ∆1 ∈∆1, ∆2 ∈∆2. (2.29)

Desta forma, obtém-se a estrutura G∆, que é similar à estrutura M∆ (FIG. 2.2) :

FIG. 2.6: Estrutura G∆

O Teorema Principal de Malha diz que:

µ∆(G) < 1⇔

µ∆1(G11) < 1, e

µ∆2(Fu(G,∆1)) < 1, com σ(∆1) ≤ 1.

(2.30)

33

Demonstração. (⇒) Considere ∆i ∈ ∆i tal que σ(∆i) ≤ 1 e assuma que ∆ =

diag(∆1,∆2), obviamente ∆ ∈ ∆ e σ(∆) ≤ 1 . Então,

det(I −G∆) = det

[I −G11∆1 −G12∆2

−G21∆1 I −G22∆2

]. (2.31)

Por hipótese (I −G11∆1) é não-singular, então utilizando a fórmula de Schur (Seção 7.5)

é possível reescrever a EQ. 2.31 como:

det(I −G∆) = det(I −G11∆1) det(I −G22∆2 −G21∆1(I −G11∆1)−1G12∆2)

= det(I −G11∆1) det(I − (G22 +G21∆1(I −G11∆1)−1G12)∆2).(2.32)

Agora escreve-se a EQ. 2.32 em função de Fu(G,∆1):

det(I −G∆) = det(I −G11∆1) det(I −Fu(G,∆1)∆2). (2.33)

Também por hipótese, µ∆2(Fu(G,∆1)) < 1 com σ(∆1) ≤ 1, o que significa dizer que

(I −Fu(G,∆1)∆2) é não-singular. Conclui-se, então, que (I −G∆) é não-singular e pela

definição de µ, µ∆(G) < 1.

(⇐) Basicamente, o argumento acima é invertido. Novamente considere ∆i ∈ ∆i tal

que σ(∆i) ≤ 1 e assuma que ∆ = diag(∆1,∆2). Então, ∆ ∈ ∆ com σ(∆) ≤ 1. Por

hipótese, det(I −G∆) 6= 0. De acordo com a propriedade de µ dada pela EQ. 2.22:

µ∆(G) ≥ max {µ∆1(G11), µ∆2(G22)} , (2.34)

pode-se afirmar que µ∆1(G11) < 1, o que significa dizer que (I − G11∆1) é não-singular.

Voltando à EQ. 2.33 conclui-se que:

det(I −G11∆1) det(I −Fu(G,∆1)∆2) = det(I −G∆) 6= 0.

Obviamente, (I − Fu(G,∆1)∆2) também é não-singular para ∆i ∈ ∆i com σ(∆i) ≤ 1, o

que indica que a afirmação é verdadeira. �

Conforme discutido na Seção 2.2.2, para um sistema nominalmente estável, a condição

de DR é dada por:

DR⇔ ‖F‖∞ < 1,∀∆, ‖∆‖∞ ≤ 1, (2.35)

onde F = Fu(N,∆) representa a transferência de w para z da estrutura N∆ (FIG. 2.3).

O DR pode ser tratado como um caso especial de ER com a criação de um bloco

fictício de incertezas ∆p para representar as especificações de desempenho H∞ (FIG. 2.7),

onde ∆p é uma matriz complexa cheia com as mesmas dimensões de F T .

34

FIG. 2.7: ∆p incluso na estrutura N∆

Define-se, então, o bloco de incertezas aumentado

∆ =

[∆ 0

0 ∆p

], (2.36)

dando origem a estrutura N∆:

FIG. 2.8: Estrutura N∆

O problema de DR original equivale ao problema de ER da estrutura aumentada, como

indicado pelo teorema a seguir:

Teorema 2.4 (Desempenho robusto). Assuma que um dado sistema nominalmente

estável seja representado pela estrutura N∆. O sistema é internamente estável e

‖Fu(N,∆)‖∞ < 1, ∀∆, ‖∆‖∞ ≤ 1 (DR), se e somente se

µ∆(N(jω)) < 1, ∀ω (2.37)

35

Demonstração. Será mostrado que trata-se de um caso particular do Teorema Principal

de Malha. Deixe o teorema ser reescrito como:

µ∆(N(jω)) < 1,∀ω ⇔

µ∆(N11(jω)) < 1,∀ω (estabilidade interna) e

‖Fu(N,∆)‖∞ < 1, ∀∆, com ‖∆‖∞ ≤ 1.

(2.38)

Para uma frequência dada pode-se afirmar que:

µ∆(N) < 1⇔

µ∆(N11) < 1, e

σ(Fu(N,∆)) < 1, com σ(∆) ≤ 1.

(2.39)

Por hipótese, ∆p foi definido como um bloco complexo cheio. Então, de acordo com a

propriedade discutida na Seção 2.3, tem-se a seguinte igualdade:

µ∆p(Fu(N,∆)) = σ(Fu(N,∆)).

Logo, a EQ. 2.39 pode ser reescrita como:

µ∆(N) < 1⇔

µ∆(N11) < 1, e

µ∆p(Fu(N,∆)) < 1, com σ(∆) ≤ 1,

(2.40)

o que representa um caso particular do Teorema Principal de Malha com N = G, ∆ = ∆1

e ∆p = ∆2 �

Observações:

• A condição dada pelo TEO. 2.4 permite testar se ‖F‖∞ < 1 para todos os ∆′s

possíveis sem ter que testar cada ∆ individualmente. Essencialmente, µ é definido

tal que o pior caso seja considerado.

• ∆p tem que ser um bloco complexo cheio. Com essa hipótese, no caso nominal

(∆ = 0) µ∆(N) = µ∆p(N22) = σ(N22). Se µ∆(N) < 1, ∀ω, então σ(N22) < 1, ∀ω, oque representa a condição de DN (‖N22‖∞ < 1).

• Uma vez que ∆ sempre possui estrutura, o uso da normaH∞, ‖N‖∞ < 1, geralmente

é conservador para análise de DR.

36

• De acordo com as propriedades de µ discutidas na Seção 2.3, pode-se afirmar que:

µ∆(N)︸︷︷︸DR

≥ max

µ∆(N11)︸︷︷︸ER

, µ∆p(N22)︸︷︷︸DN

(2.41)

ou seja, DR implica em ER e DN, em sistemas com EN.

A condição dada pelo TEO. 2.4 fornece um teste para desempenho robusto (‖F‖∞ <

1, ∀∆, ‖∆‖∞ ≤ 1) mas não permite determinar o chamado pior caso de desempenho,

associado à seguinte pergunta: qual será o maior valor de ganho da transferência F

levando-se em conta todas as incertezas admissíveis (‖∆‖∞ ≤ 1)? Note que um valor de

µ∆(N) = 0, 8 corresponde a uma incerteza ∆ com σ(∆) = 1, 25(1/0, 8), o que significa que

a restrição não foi saturada, e que, consequentemente, ainda há margem para degradação

do valor do ganho da transferência F . O pior caso de ganho pode ser obtido resolvendo um

problema ν, com restrição de variação para ∆. A solução desse problema provavelmente

levará à saturação da restrição. Note também que a condição de desempenho robusto

pode ser inferida a partir da informação do pior caso de desempenho. Significa então

dizer que a condição de DR pode ser testada alternativamente por:

DR ⇔ ν∆c(N(jω)) < 1, ∀ω (2.42)

com ∆c = ∆, ∆f = ∆ e ∆v = ∆p.

2.6 ANÁLISE µ POR ESPAÇO DE ESTADOS

Conforme discutido na Seção 2.3.1, a pesquisa do valor de pico de µ em todo domínio

de frequência pode ter um alto custo computacional. Na prática é estabelecida uma grade

de frequências dentro de uma faixa previamente escolhida. No entanto, essa medida pode

ocasionar a perda de pontos importantes se a grade não for suficientemente densa.

A abordagem por espaço de estados permite eliminar tal pesquisa frequencial. A

idéia é representar a transferência M(s) da estrutura M∆ (FIG. 2.2) como uma LFT de

uma matriz constante em relação à variável frequência. A frequência passa então a ser

enxergada como um parâmetro incerto real, variando dentro de um intervalo previamente

escolhido (ω ∈ [ω, ω]), e é incluída no bloco das incertezas.

Considere a representação em espaço de estados para representar a função de trans-

ferência nominal, isto é, M(s) = C(sIp − A)−1B + D, com A ∈ Rp×p. Fazendo s = jω,

37

M(jω) pode ser representada pela seguinte expressão (SIDERIS, 1992),

M(jω) = C(jωIp − A)−1B +D = Fu(M, ωIp) (2.43)

onde M é constante,

M =

[jA−1 A−1B

−jCA−1 −CA−1B +D

]. (2.44)

Seja a frequência quantificada por:

ω = ω0 + αωδω, δω ∈ [−1, 1] (2.45)

com

ω0 = (ω + ω)/2, (2.46)

e

αω = (ω − ω)/2. (2.47)

A EQ. 2.43 pode ser reescrita por:

M(jω) = C(jωIp − A)−1B +D

= C[j(ω0 + αωδω)Ip − A]−1B +D

= C[j(αωδω)Ip − (A− jω0Ip)]−1B +D, (2.48)

seja a matriz A1 definida como:

A1 = A− jω0Ip, (2.49)

então

M(jω) = C[j(αωδω)Ip −A1]−1B +D = Fu(M(ω0), (αωδω)Ip), (2.50)

onde

M(ω0) =

[jA−1

1 A−11 B

−jCA−11 −CA−1

1 B +D

]. (2.51)

Passando αω para M(ω0) obtém-se:

M(jω) = Fu(M1(ω0, αω), δωIp), (2.52)

onde

M1(ω0, αω) =

[jA−1

1 αω A−11 B

−jCA−11 αω −CA−1

1 B +D

]. (2.53)

38

Reescrevendo a transferência nominal M(jω) com a expressão (2.52) é possível incluir

δωIp no bloco das incertezas. Conforme ilustrado pela FIG. 2.9, é definida uma perturba-

ção aumentada, ∆aum = diag(δωIp,∆), de tal forma que M1(ω0, αω) passe a desempenhar

o papel do sistema nominal.

FIG. 2.9: Teste µ - espaço de estados

A condição de estabilidade robusta é dada pelo seguinte teorema :

Teorema 2.5 (Teste em intervalo de frequência). Suponha que M(s) possui todos os seus

pólos no semiplano aberto da esquerda (isto é, estabilidade nominal). Seja a representação

mínima por espaço de estados de M(s) dada por:

M(s) = C(sIp − A)−1B +D (2.54)

Dado ∆ compatível com M(s), define-se uma nova estrutura para o bloco de incertezas

∆aum como:

∆aum = {diag(δωIp,∆) : δω ∈ R,∆ ∈∆} (2.55)

Então, ∀ ∆ ∈ ∆ com ‖∆‖∞ ≤ 1, o sistema em malha fechada mostrado na FIG. 2.9 é

estável se e somente se,

µ∆aum(M1(ω0, αω)) < 1 (2.56)

A formulação dada pelo TEO. 2.5 fornece um teste µ para a análise de robustez em

estabilidade. Isto pode ser melhorado reformulando o problema com a técnica ν.

39

Uma vez que δω é considerado dentro do intervalo real [−1, 1], a condição dada pela

EQ. 2.56 pode ser reescrita como um problema ν. A condição de estabilidade robusta é

então dada por:

ν∆c(M1(ω0, αω)) < 1, (2.57)

com ∆c = ∆aum, ∆f = δωIp e ∆v = ∆.

A abordagem por espaço de estados pode ser facilmente estendida para um problema

originalmente ν, considerando ∆c = ∆aum, ∆f = diag(δωIp,∆′f ) e ∆v = ∆′v, com ∆′f

e ∆′v representando, respectivamente, as incertezas com faixa de variação restringida e

não-restringida do problema original.

É possível ainda, obter a incerteza desestabilizante e o valor do parâmetro δω que

carrega a informação de frequência. Com δω é possível determinar o valor da frequência

crítica para o intervalo de variação considerado:

ωc = ω0 + αωδω. (2.58)

40

3 ELEMENTOS DE OTIMIZAÇÃO NÃO-DIFERENCIÁVEL

3.1 ANÁLISE NÃO-DIFERENCIÁVEL

As noções apresentadas nesta seção são discutidas em profundidade em (CLARKE,

1983) (POLAK, 1987) (HIRIART-URRUTY, 1993) (POLAK, 1997).

3.1.1 INTRODUCÃO

Denote por B(x, r) a bola aberta de centro x ∈ Rn e raio r > 0, definida por

B(x, r) , {y ∈ Rn : ‖y − x‖ < r} .

Comecemos pela definição de funções Lipschitz contínuas.

Definição 3.1. Uma função f : Rn 7→ R é dita Lipschitz contínua sobre S ⊂ Rn se existe

uma constante L > 0 tal que, para todo y, z ∈ S,

|f(y)− f(z)| ≤ L‖y − z‖. (3.1)

A função f é dita localmente Lipschitz contínua em x ∈ Rn se existe um real positivo

ε > 0 tal que f é Lipschitz contínua sobre B(x, ε).

Uma função Lipschitz contínua em x apresenta, assim, uma taxa de crescimento que

é limitada em uma vizinhança de x. Por outro lado, uma função localmente Lipschitz

contínua em x não é necessariamente diferenciável em x.

Definição 3.2. A função f : Rn 7→ R admite uma derivada direcional em x ∈ Rn na

direção d ∈ Rn se o limite

limt→0t>0

f(x+ td)− f(x)

t(3.2)

existe e é finito. Neste caso, a derivada direcional é representada por f ′(x, d).

Uma função f diferenciável em x admite derivadas direcionais em todas as direções d

e, além disso, tem-se que f ′(x, d) = ∇f(x)Td. A recíproca não é verdadeira em geral, a

menos que as derivadas direcionais sejam contínuas.

41

A propriedade de sublinearidade definida abaixo é importante para a noção de subdi-

ferencial de uma função.

Definição 3.3. Uma função σ : Rn 7→ R é dita sublinear quando apresenta as seguintes

propriedades:

(a) aditividade:

σ(x+ y) ≤ σ(x) + σ(y), para todo x, y ∈ Rn (3.3)

(b) homogeneidade positiva:

σ(tx) = tσ(x), para todo x ∈ Rn e t > 0. (3.4)

Toda função sublinear apresenta a propriedade de majorar ao menos uma função linear.

Tem-se, então, o seguinte teorema:

Teorema 3.1. Se σ : Rn → R é uma função sublinear, então o conjunto

Sσ , {s ∈ Rn : 〈s, x〉 ≤ σ(x) para todo x ∈ Rn} (3.5)

é não-vazio, compacto e convexo. Adicionalmente, tem-se a relação

σ(x) = sup {〈s, x〉 : s ∈ Sσ} . (3.6)

Reciprocamente, dado um conjunto S não-vazio, compacto e convexo, a função σS : Rn →R de S, definida por

σS(x) , sup {〈s, x〉 : s ∈ S} , (3.7)

é sublinear, e ela dita função suporte de S.

3.1.2 SUBDIFERENCIAL DE UMA FUNÇÃO CONVEXA

Antes de apresentar a noção de subdiferencial de Clarke, é conveniente apresentar

a definição do subdiferencial de uma função convexa (HIRIART-URRUTY, 1993). De

fato, o subdiferencial de Clarke, definido para a classe mais geral de funções localmente

Lipschitz contínuas, constitui uma generalização da ideia de subdiferencial de uma função

convexa.

42

Definição 3.4. Uma função f : Rn 7→ R é dita convexa se, para todo x, y ∈ Rn e para

todo real λ ∈ [0, 1], tem-se

f(λx+ (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1− λ)f(y). (3.8)

Alternativamente, f é dita estritamente convexa se a desigualdade (3.8) é estrita para

todo x, y ∈ Rn tais que x 6= y e para todo real λ ∈]0, 1[.

Mostra-se que toda função convexa f : Rn 7→ R é localmente Lipschitz contínua em

todo ponto de Rn.

Teorema 3.2. Para todo x ∈ Rn, uma função convexa f : Rn 7→ R admite derivadas

direcionais em todas as direções d ∈ Rn. Adicionalmente, para todo x fixo, a applicação

d ∈ Rn 7→ f ′(x, d) é sublinear.

De acordo com os TEOs. 3.1 e 3.2, concluimos que a aplicação d ∈ Rn 7→ f ′(x, d) é a

função suporte de um conjunto não-vazio, compacto e convexo de Rn, que é denominado

de subdiferencial.

Definição 3.5. O subdiferencial em x de uma função convexa f , representado por ∂cf(x),

é o conjunto não-vazio, compacto e convexo de Rn cuja função suporte é d ∈ Rn 7→f ′(x, d), ou seja,

∂cf(x) , {s ∈ Rn : 〈s, d〉 ≤ f ′(x, d) para todo d ∈ Rn} . (3.9)

Os elementos de ∂cf(x) são chamados de subgradientes de f em x.

Reciprocamente, as derivadas direcionais de f podem ser determinadas a partir do

subdiferencial por

f ′(x, d) = max {〈s, d〉 : s ∈ ∂cf(x)} . (3.10)

Para uma função f : Rn 7→ R convexa e diferenciável em x, ∂cf(x) corresponde ao conjunto

unitário {∇f(x)}.O subdiferencial admite uma interpretação geométrica. Para tanto, são necessárias as

definições a seguir.

43

Definição 3.6. O epigrafo de uma função f : Rn 7→ R é definida por

Epi(f) ,

{[x

l

]∈ Rn+1 : l ≥ f(x)

}.

Definição 3.7. A direção s ∈ Rm é dita normal, em x, a um conjunto convexo fechado

C ⊂ Rm quando

〈s , y − x〉 ≤ 0, ∀y ∈ C.

O conjunto de todas essas direções é chamado cone normal a C em x, e denotado por

NC(x).

Tem-se, então, o seguinte resultado:

Proposição 3.1. Seja uma função f : Rn 7→ R convexa. Um vetor s ∈ Rn é um

subgradiente de f em x se e somente se (s,−1) ∈ Rn×R é normal a Epi(f) em (x, f(x)).

Conclui-se daí que a interseção do cone normal NEpi(f)(x) com o espaço Rn no nível

−1 representa ∂cf(x)× {−1}, conforme mostrado na Figura 3.1.

3.1.3 SUBDIFERENCIAL DE CLARKE

Diferentemente do caso convexo, a hipótese de que a função f : Rn 7→ R é localmente

Lipschitz contínua em x ∈ Rn não é suficiente para a existência das derivadas direcionais

de f . Por esta razão é preciso generalizar o conceito de derivada direcional.

Definição 3.8. Uma função f : Rn 7→ R admite uma derivada direcional generalizada

em x ∈ Rn na direção d ∈ Rn se o limite

lim supy→xt→0t>0

f(y + td)− f(y)

t(3.11)

existe e é finito. Neste caso, ela é representada por f ◦(x, d).

Teorema 3.3. Para todo x ∈ Rn, uma função f : Rn 7→ R localmente Lipschitz contínua

em x ∈ Rn admite derivadas direcionais generalizadas em todas as direções d ∈ Rn.

Adicionalmente, a aplicação d 7→ f ◦(x, d) é sublinear.

44

Epi(f)− (x, f(x))

∂cf(x)

Rn × {−1}

NEpi(f)

−1

0

FIG. 3.1: Interpretação geométrica do subdiferencial de uma função convexa(HIRIART-URRUTY, 1993)

Pode-se, assim, definir um subdiferencial para as funções localmente Lipschitz contí-

nuas de uma forma análoga ao caso convexo:

Definição 3.9. Para uma função f : Rn 7→ R localmente Lipschitz contínua em x ∈ Rn,

o subdiferencial de Clarke de f em x, representado por ∂f(x), é o conjunto não-vazio,

compacto e convexo Rn cuja função suporte é d ∈ Rn 7→ f ◦(x, d), ou seja,

∂f(x) , {s ∈ Rn : 〈s, d〉 ≤ f ◦(x, d) para todo d ∈ Rn} . (3.12)

Os elementos de ∂f(x) são chamados subgradientes de Clarke (ou gradientes generaliza-

dos) de f em x.

As derivadas direcionais generalizadas podem ser determinadas a partir de ∂f(x) para

toda direção d ∈ Rn:

f ◦(x, d) = max {〈s, d〉 : s ∈ ∂f(x)} . (3.13)

45

O subdiferencial de Clarke generaliza as noções de subdiferencial de uma função convexa

e de gradiente de uma função diferenciável:

a) Se uma função f é convexa, tem-se f ◦(x, d) = f ′(x, d) para todo d ∈ Rn, e assim

∂f(x) = ∂cf(x).

b) Se uma função f localmente Lipschitz contínua em x ∈ Rn é diferenciável em x, então

tem-se que f ′(x, d) = 〈∇f(x), d〉 ≤ f ◦(x, d) para todo d ∈ Rn, e então ∇f(x) ∈∂f(x).

c) Se uma função f é continuamente diferenciável em x, tem-se a igualdade

〈∇f(x), d〉 = f ◦(x, d) para todo d ∈ Rn, de modo que ∂f(x) = {∇f(x)}.

Se por um lado uma função localmente Lipschitz contínua não é necessariamente

diferenciável, por outro lado o conjunto de pontos nos quais ela é não-diferenciável é

de medida nula, como indicado no teorema abaixo.

Teorema 3.4 (Teorema de Rademacker). Suponha que a função f : Rn → R seja

localmente Lipschitz contínua. Então ∇f(x) existe para quase todo x ∈ Rn.

À luz do TEO 3.4, poder-se-ia pensar que as técnicas de otimização diferenciável

podem ser igualmente utilizadas para uma função localmente Lipschitz contínua, uma

vez que os pontos onde a função é não-diferenciável são "raros"em uma certa medida.

Entretanto, esta ideia revela-se falsa porque a prática mostra que o mínimo da função é

geralmente atingido exatamente nos pontos onde ela é não-diferenciável.

O subdiferencial de Clarke admite uma interpretação geométrica em Rn+1 análoga

àquela do caso convexo, com a condição de se generalizar a noção de cone normal a um

subconjunto qualquer C 6= ∅ não necessariamente convexo. Assim, ∂f(x) é novamente o

conjunto dos vetores s ∈ Rn tais que [ s−1 ] está no cone normal ao epigrafo de f em [

xf(x) ],

conforme representado na FIG. 3.2.

3.1.4 REGRAS DE CÁLCULO DO SUBDIFERENCIAL DE CLARKE

Em geral, as regras de cálculo do subdiferencial de Clarke compreendem apenas inclu-

sões. Entretanto, é possível obter-se igualidades sob uma condição suficiente mais forte

que a Lipschitz-continuidade local:

46

Epi(f)

f(x)

xx+ s

x+ ∂f(x)

f(x)− 1

FIG. 3.2: Interpretação geométrica do subdiferencial de Clarke

Definição 3.10. Uma função f : Rn → R localmente Lipschitz contínua é dita regular

se a derivada direcional f ′(x, d) existe para todo x, d ∈ Rn e se, adicionalmente, tem-se

f ′(x, d) = f ◦(x, d).

Em particular, toda função convexa e toda função continuamente diferenciável em

x ∈ Rn são então regulares. Por outro lado, se f é regular e diferenciável em x, então

∂f(x) = {∇f(x)}.Considere, a seguir, a regra da diferenciação em cadeia, ou de composição.

Lema 3.1. Seja H : Rn → Rm uma função continuamente diferenciável e g : Rm → Ruma função localmente Lipschitz contínua. Tem-se, então, que

∂(g ◦H)(x) ⊂ co

{η : η =

∂H(x)T

∂xξ, ξ ∈ ∂g(H(x))

}. (3.14)

Tem-se a igualdade em (3.14) quando g é regular.

Considere H ′(x) , ∂H(x)/∂x. Pode-se então representar por [H ′(x)]? ∂g (H (x)) o

segundo membro de (3.14), como a ação da aplicação linear adjunta [H ′(x)]? sobre o

subdiferencial.

Uma vez que os problemas do tipo minimax desempenham um papel central no pre-

sente trabalho, interessam particularmente as propriedades diferenciais das funções max.

Consideremos inicialmente o subdiferencial de Clarke de um máximo finito de funções.

47

Lema 3.2. Sejam f 1, f 2, . . . , fm : Rn → R funções localmente Lipschitz contínuas e

ψ(x) , maxj ∈m

f j(x),

com m , {1, 2, . . . , m}. Então,

∂ψ(x) ⊂ coj∈m(x)

{∂f j(x)

}, (3.15)

onde m(x) designa o conjunto de índices j ativos em x:

m(x) ,{j ∈m : f j(x) = ψ(x)

}.

Tem-se a igualidade em (3.15) se as funções f j, j ∈ m(x), são regulares em x.

A partir dos Lemas 3.1 e 3.2, a importância da condição de regularidade torna-se

evidente, pois ela permite um cálculo facilitado de todo o subdiferencial de Clarke. Esta

condição concerne, felizmente, a classe de funções que estamos interessados neste trabalho.

O teorema abaixo é fundamental pois ele caracteriza o subdiferencial de uma função

max calculada sobre um contínuo de índices. Denote-se por ∇xφ(·, ·) o gradiente de φ(·, ·)em relação ao primeiro argumento.

Teorema 3.5 (TEO. 5.4.7, (POLAK, 1997)). Considere a função

ψ(x) , maxy∈Y

φ(x, y). (3.16)

Suponha que

(a) φ : Rn × Rm → R é contínua,

(b) ∇xφ(·, ·) existe e é contínuo, e

(c) Y ∈ Rm é compacto. Então o subdiferencial de ψ(·) em x é

∂ψ(x) = coy∈Y (x)

{∇xφ(x, y)} (3.17)

onde Y (x) designa o conjunto de índices ativos

Y (x) , {y ∈ Y : ψ(x) = φ(x, y)} . (3.18)

48

3.2 TÉCNICA DE OTIMIZAÇÃO NÃO-DIFERENCIÁVEL

3.2.1 ALGORITMO DE PENALIZAÇÃO EXATA

Será tratado nessa seção o caso mais geral, dado pelo programa de otimização sob

restrição (2.28) utilizado na obtenção de um limitante inferior para ν. Reescrevendo-se

(2.28) de uma forma mais adequada, tem-se:

minimizeδ∈Rm

f(δ) , σ(∆v(δ))

sujeito a gI(δ) , σ(∆f (δ))− 1 ≤ 0

g1E(δ) = Re det (I −∆c(δ)M) = 0

g2E(δ) = Im det (I −∆c(δ)M) = 0 .

(3.19)

com ∆c(δ) = diag(∆f (δ),∆v(δ)). O vetor δ ∈ Rm de variáveis de decisão consiste nas

partes reais e imaginárias dos elementos de ∆c não-identicamente nulos. A título de

exemplo, suponha que ∆c compreenda um escalar real δr1 e um escalar complexo δc1, os

quais podem ser repetidos ou não (k1 ≥ 1, k2 ≥ 1). Então, δ = [δr1 Re δc1 Im δc1]T neste

caso. A dimensão de δ é dada por m = mr + 2mc + 2∑mC

i=1 kmr+mc+i × kmr+mc+i, com mr,

mc e mC definindo ∆c.

Denote-se por gE(δ) , [g1E(δ) g2

E(δ)]T a função restrição de igualdade para (3.19) e

seja FIE , {δ ∈ Rm | gI(δ) ≤ 0, gE(δ) = 0}. Então δ ∈ FIE é denominado um minimizador

local para (3.19) se existe um ρ > 0 tal que f(δ) ≥ f(δ) para todo δ ∈ FIE ∩ B(δ, ρ).

Na sequência, será apresentado um algoritmo de penalização que permite determinar

eficientemente um mínimo local para (3.19). Os teoremas e o algoritmo de penalização

exata a serem discutidos foram originalmente propostos em (POLAK, 1997) considerando

uma função restrição de desigualdade diferenciável e uma classe mais simples de funções

objetivo. No presente trabalho, as condições de otimalidade foram adaptadas para uma

classe mais abrangente de problemas não-diferenciáveis que inclui (3.19). As provas dos

teoremas imitam aquelas em (POLAK, 1997), e por isso não foram apresentadas aqui. O

leitor pode referir-se a (POLAK, 1997) para mais detalhes.

Para começar, considere a condição necessária de otimalidade de primeira ordem para

o programa (3.19) apresentada no próximo teorema.

Teorema 3.6 (TEO. 2.2.19, (POLAK, 1997)). Suponha que δ é um minimizador local

para (3.19) e que JgE(δ) é de posto de linha cheio. Então, existem multiplicadores χ ∈ Σ2,

49

ξ ∈ R2, e vetores δf ∈ ∂f(δ) e δgI ∈ ∂gI(δ) tais que

χ1δf + χ2δgI + JgE(δ)T ξ = 0, (3.20)

χ2gI(δ) = 0. (3.21)

Denota-se por Σn o seguinte conjunto, Σn , {χ ∈ Rn+ :∑n

j=1 χj = 1}.

A fim de se obter um teste prático de otimalidade, denote-se por

Ψ(δ) = max { gI(δ)+ , ‖gE(δ)‖∞ } (3.22)

a função violação de restrição para (3.19), onde

gI(δ)+ = max {0, gI(δ)} . (3.23)

Então, considere a função penalização exata fπ : Rm 7→ R definida como

fπ(δ) = f(δ) + πΨ(δ), (3.24)

com π ∈ R+. Note que Ψ(·) torna fπ(·) não-diferenciável mesmo quando f(·), gI(·) e gE(·)são diferenciáveis. É mostrado abaixo que sob certas circunstâncias um minimizador local

δ da função não-diferenciável fπ(·) também será um um minimizador local para (3.19).

Assim, ao invés de se abordar o problema original (3.19) diretamente, resolve-se o seguinte

problema de otimização sem restrição:

minimizeδ∈Rm

fπ(δ). (3.25)

Abordagens de penalização exata como (3.25) são atraentes porque soluções do problema

original podem ser obtidas com uma única execução com o valor do parâmetro de penali-

zação fixo, evitando-se assim o mal-condicionamento inerente às técnicas de penalização

clássicas para valores assintóticos do parâmetro de penalização. Os dois teoremas seguin-

tes estabelecem a equivalência dos problemas (3.19) e (3.25).

Teorema 3.7 (TEO. 2.7.12, (POLAK, 1997)). Suponha que δ ∈ Rm é tal que gI(δ) ≤ 0,

gE(δ) = 0, JgE(δ) seja de posto de linha cheio e que exista um χ ∈ Σ2, com χ1 > 0, e

um ξ ∈ R2 satisfazendo a condição de otimalidade de primeira ordem (3.20)-(3.21). Seja

π ,(χ2 +

∑2l=1 |ξl|

)/χ1. Então, para todo π ≥ π, δ satisfaz a condição de otimalidade

de primeira ordem 0 ∈ ∂fπ(δ) de um mínimo local de fπ(·).

50

Teorema 3.8 (TEO. 2.7.13 (POLAK, 1997)). Considere o problema (3.19), com a função

penalidade exata fπ(·) associada, com π > 0, definida em (3.24). Suponha que JgE(δ)

é de posto de linha cheio para todo δ ∈ Rm. Suponha que δ ∈ Rm satisfaça gI(δ) ≤ 0,

gE(δ) = 0.

(a) Se δ é um minimizador local de fπ(·), então δ é um minimizador local para (3.19).

(b) Se δ satisfaz a condição de primeira-ordem 0 ∈ ∂fπ(δ) para um minimizador local

de fπ(·), então existe um χ ∈ Σ2, com χ1 > 0, e um ξ ∈ R2 satisfazendo a condição de

otimalidade (3.20)-(3.21).

Baseado nos TEOs. 3.7 e 3.8, o problema é então reformulado como a procura por um

minimizador local de fπ(·). Para tanto, considere ∆v ∈ Cp1×q1 , ∆f ∈ Cp2×q2 e seja f(·)reescrito como

f(δ) = maxZ∈Zp1×q1

φf (δ, Z), (3.26)

onde

φf (δ, Z) , 〈 Z , ∆v(δ) 〉 . (3.27)

Por definição,

Zp1×q1 , {Z ∈ Cp1×q1 | Z = uvH , u ∈ Cp1 , v ∈ Cq1 , ‖u‖ = ‖v‖ = 1}, (3.28)

e

maxZ∈Zp1×q1

〈 Z , ∆v(δ) 〉 = maxZ∈Zp1×q1

Re Tr(ZH∆v(δ)

). (3.29)

Analogamente, seja

gI(δ) = maxW∈Zp2×q2

φI(δ,W ), (3.30)

onde

φI(δ,W ) , 〈 W , ∆f (δ) 〉 − 1. (3.31)

Agora, seja fπ(·) in (3.24) reescrita como

fπ(δ) = maxy∈Yπ

φπ(δ, y), (3.32)

51

com y , (j , Z , W ), Yπ , {1, . . . , 6} × Zp1×q1 × Zp2×q2 e

φπ(δ, y) ,

φf (δ, Z), se j = 1,

φf (δ, Z) + πφI(δ,W ), se j = 2,

φf (δ, Z) + πg1E(δ), se j = 3,

φf (δ, Z) + πg2E(δ), se j = 4,

φf (δ, Z)− πg1E(δ), se j = 5,

φf (δ, Z)− πg2E(δ), se j = 6.

(3.33)

Em seguida, uma aproximação quadrática convexa de primeira ordem para fπ(·) é

introduzida:

fπ(δ + h, δ) , maxy∈Yπ

{φπ(δ, y) + 〈∇δφπ(δ, y), h〉+

1

2hTQh

}, (3.34)

com Q � 0. Denote por

θπ(δ) , minh∈Rm

[fπ(δ + h, δ)− fπ(δ)

]= min

h∈Rmmaxy∈Yπ

{φπ(δ, y)− fπ(δ) + 〈∇δφπ(δ, y), h〉+

1

2hTQh

}(3.35)

a chamada função de otimalidade para fπ(·), e seja

h(δ) , arg minh∈Rm

[fπ(δ + h, δ)− fπ(δ)

]. (3.36)

A função de otimalidade θπ(·) apresenta propriedades interessantes que são sintetizadasno próximo teorema.

Teorema 3.9 (TEO. 2.1.6 (POLAK, 1997)). Considere a função de otimalidade θπ(·) em(3.35), e a função h(·) em (3.36). Então,

(a) para todo δ ∈ Rm, θπ(δ) ≤ 0;

(b) para todo δ ∈ Rm, f ′π(δ;h(δ)) ≤ θπ(δ);

(c) para qualquer δ ∈ Rm, 0 ∈ ∂fπ(δ) se e somente se θπ(δ) = 0.

Dois fatos fundamentais resultam do TEO. 3.9. Primeiro, θπ(δ) = 0 é uma condição

de otimalidade para o programa original (3.19) que pode ser utilizada na prática como

um critério de parada. Segundo, como h(δ) é uma direção de descida para fπ(·) em δ,

ela pode ser usada em um algoritmo de minimização do tipo de descida. A próxima

iteração será então δ+ = δ + h(δ), o que representa uma estimativa de primeira ordem

de um minimizador local de fπ(·). Em implementações práticas δ+ é escolhido como

52

δ+ = δ + ρh(δ) para uma largura de passo adequada ρ ∈ (0, 1) determinada por uma

pesquisa linear de Armijo por backtracking (DENNIS, 1996), isto é,

fπ(δ + ρh(δ))− fπ(δ) ≤ ζρf ′π(δ, h(δ)) < 0, (3.37)

onde 0 < ζ < 1. A condição de Armijo acima trata-se de uma pesquisa linear exata que

garante a convergência global do algoritmo para um minimizador local de (3.19).

Na prática, o seguinte procedimento iterativo é utilizado para se determinar um mí-

nimo local de fπ(·). Suponha que a iteração atual δ seja tal que θπ(δ) 6= 0, o que

implica que é possível reduzir fπ(·) em uma vizinhança de δ, isto é, encontrar δ+ tal

que fπ(δ+) < fπ(δ). Substituindo δ por δ+, o procedimento é repetido. A menos que

θπ(δ+) = 0, que significaria que uma ponto crítico foi encontrado, é possível novamente

encontrar δ++ tal que fπ(δ++) < fπ(δ+), etc. Espera-se que a sequência δ, δ+, δ++, . . .

assim gerada convirja para um mínimo local δ de (3.25).

Considere a seguinte função de otimalidade associada a Ψ(·):

θΨ(δ) , minh∈Rm

[Ψ(δ + h, δ)−Ψ(δ)

]= min

h∈Rm

{max

{0,max

W∈W{φI(δ,W ) + 〈∇δφI(δ,W ), h〉} ,

‖gE(δ) + JgE(δ)h‖∞}+1

2hTQh

}−Ψ(δ) (3.38)

O próximo teorema suplementa o TEO. 3.8.

Teorema 3.10 (TEO. 2.7.13 (POLAK, 1997)). Considere o problema (3.19), com a

função penalidade exata associada fπ(·), com π > 0, definida em (3.24). Suponha que

JgE(δ) é de posto de linha cheio para todo δ ∈ Rm. Considere a função violação de

restrição Ψ(·) em (3.22) e a função de otimalidade correspondente θΨ(·) em (3.38). Então,

para qualquer δ ∈ Rm tal que θΨ(δ) < 0, existe um πδ < ∞ tal que θπ(δ) < 0 para todo

π > πδ, onde θπ(·) é a função de otimalidade para fπ(·) em (3.35).

Em resumo, nossa estratégia para resolver (3.19) consiste em solucionar o problema

sem restrição auxiliar (3.25), baseado no fato de que um minimizador local de fπ(·) é

também um minimizador local para o problema original (3.19) sob condições apropriadas.

A única dificuldade restante reside na seleção de uma valor grande o suficiente para o

parâmetro de penalidade π. Para tanto, considere a chamada função-teste para fπ(·):

tπ(δ) , θπ(δ) +1

πΨ(δ). (3.39)

53

Teorema 3.11 (TEO. 2.7.24 (POLAK, 1997)). Considere a função-teste tπ(·) em (3.39)

para o problema (3.19), e suponha que JgE(δ) é de posto de linha cheio para todo δ ∈ Rmr .

Além disso, suponha que, para todo δ ∈ Rmr tal que Ψ(δ) > 0, θΨ(δ) < 0, com θΨ(·)definido em (3.38). Então,

(a) para todo π > 0, tπ(·) é contínua,

(b) para todo π > 0, se δ é tal que θπ(δ) = 0 e tπ(δ) ≤ 0, então gI(δ) ≤ 0, gE(δ) = 0,

e a condição de otimalidade de primeira ordem (3.20)-(3.21) é atendida para o problema

(3.19),

(c) para todo δ∗ ∈ Rmr , existe um ρ∗ > 0 e um π∗ ∈ (0,∞) tais que, para todo

δ ∈ B(δ∗, ρ∗) e π ≥ π∗, tπ(δ) ≤ 0.

Com o TEO. 3.11 em mente, usamos a função-teste tπ(·) para adaptativamente de-

terminar um valor satisfatório finito para o parâmetro de penalidade π. Tendo descrito

todos os seus elementos-chave, o algoritmo não-diferenciável é apresentado no Algoritmo

1.

Algorithm 1 Algoritmo de penalização exata para o programa (3.19)Parâmetros: Q � 0, κ > 1, 0 < β, ζ < 1.

1: Inicialização. Inicialize o vetor de incertezas δ. Selecione o parâmetro de penalidade

π > 0.

2: Critério de parada. Se θπ(δ) = 0, isto é 0 ∈ ∂fπ(δ), então pare. Senão, continue.

3: Cálculo da direção de descida. Resolva o programa tangente (3.35)

θπ(δ) = minh∈Rm

maxy∈Yπ

{φπ(δ, y)− fπ(δ) + 〈∇δφπ(δ, y), h〉+

1

2hTQh

}A solução representa a direção de busca h(δ).

4: Função-teste. Compute tπ(δ) em (3.39)

tπ(δ) = θπ(δ) +1

πΨ(δ).

Se tπ(δ) ≤ 0 então continue. Senão, faça π ← κπ e volte para o passo 3.

5: Pesquisa linear. Encontre ρ = βγ, γ ∈ N, satisfazendo a condição de Armijo

fπ(δ + ρh(δ))− fπ(δ) ≤ ζρf ′π(δ, h(δ)) < 0.

6: Atualização. Faça δ ← δ + ρh(δ). Volte para o passo 2.

54

Estratégia semelhante é adotada para resolver o programa de otimização dado por

(2.20), utilizado na obtenção de um limitante inferior para µ.

3.2.2 DETALHES DA IMPLEMENTAÇÃO

O programa tangente (3.35) pode ser convertido em um SDP da seguinte maneira.

Primeiro, considere as decomposições em valores singulares ∆v(δ) = U(δ)Σ(δ)V (δ)H e

∆f (δ) = UI(δ)ΣI(δ)VI(δ)H . Considere Qu(δ) a submatriz de U(δ) compreendendo os

vetores singulares à esquerda associados a σ(∆v(δ)) e considere Qv(δ) a submatriz de

V (δ) compreendendo os vetores singulares à direita associados a σ(∆v(δ)). Analogamente,

considere QIu(δ) a submatriz de UI(δ) compreendendo os vetores singulares à esquerda

associados a σ(∆f (δ)) e considere QIv(δ) a submatriz de VI(δ) compreendendo os vetores

singulares à direita associados a σ(∆f (δ)). Note que o valor de θπ(δ) permanece inalterado

se as matrizes Z em (3.26) e W em (3.30) são restringidas a Z = Qu(δ)Y Qv(δ)H , com

Y ∈ Yr1 , e W = QIu(δ)XQIv(δ)H , com X ∈ Yr2 , respectivamente. Denota-se por Yr o

seguinte conjunto, Yr , {Y ∈ Hr | Y � 0 ,Tr Y = 1}. Em seguida, seja θπ rescrita como

θπ(δ) = minh

maxj

maxYj ,Xj

{φjπ(δ, Yj, Xj)− fπ(δ) +

⟨∇δφ

jπ(δ, Yj, Xj), h

⟩+

1

2hTQh

}. (3.40)

A dualidade de Fenchel permite cambiar os operadores min e max em (3.40). Inicialmente,

o primeiro supremo interior é substituído por um supremo sobre o envelope convexo,

parametrizado por algum τ ∈ Σ6. Esta operação não altera o valor de θπ. Então, max e

min são trocados. O agora interno ínfimo sobre h ∈ Rm torna-se sem restrição e pode ser

calculado explicitamente. Para τ , Yj e Xj fixos, determina-se

h(δ, τ, Yj, Xj) = −Q−1∑j

τj∇δφjπ(δ, Yj, Xj). (3.41)

Substituindo de volta, a seguinte expressão dual é obtida:

θπ(δ) = maxτ∈Σ6

maxYj ,Xj

{∑j

τj(φjπ(δ, Yj, Xj)− fπ(δ)

)−1

2

(∑j

τj∇δφjπ(δ, Yj, Xj)

)T

Q−1

(∑j

τj∇δφjπ(δ, Yj, Xj)

) . (3.42)

55

Para o cálculo dos gradientes aparecendo em (3.42), observe que

df(δ) = maxZ∈Zp1×q1

〈 Z , d∆v(δ) 〉

= maxZ∈Zp1×q1

Re Tr(ZHd∆v(δ)

)= max

Z∈Zp1×q1Re Tr

((Z∗)Td∆v(δ)

)= max

Z∈Zp1×q1Re(vecT (Z∗) vec(d∆v(δ))

)= max

Z∈Zp1×q1Re(vecT (Z∗) J∆vdδ

)= max

Z∈Zp1×q1

(Re(JT∆v

vec(Z∗)))T

dδ.

Conclui-se, então, que

∇δφf (δ, Y ) = Re(JT∆v

vec (Z∗)). (3.43)

O TEO. 3.5 permite caracterizar completamente o subdiferencial ∂f(·):

∂f(δ) = co{Re(JT∆v

vec(Qu(δ)

∗Y Qv(δ)T))

: Y ∈ Yr1}. (3.44)

Aplicando raciocínio análogo para gI(δ), obtém-se

∇δφI(δ,X) = Re(JT∆f

vec (W ∗)), (3.45)

∂gI(δ) = co{Re(JT∆f

vec(QIu(δ)

∗XQIv(δ)T))

: X ∈ Yr2}. (3.46)

Para o cálculo de JGE(·), é necessário o cálculo da derivada do determinante. Como a

matriz (I−∆c(δ)M) estará frequentemente próxima da singularidade, torna-se necessária

a aplicação da Fórmula de Jacobi, que diz que para uma matriz A qualquer,

d(det(A)) = Tr (Adj(A) dA) (3.47)

Assim, para g1E(·) obtém-se:

dg1E(δ) = Re d (det (I −∆c(δ)M))

= Re Tr (Adj(I −∆c(δ)M)d (I −∆c(δ)M))

= −Re Tr (Adj(I −∆c(δ)M)d∆c(δ)M)

= −Re Tr (MAdj(I −∆c(δ)M)d∆c(δ))

= −Re Tr((

AdjT (I −∆c(δ)M)MT)Td∆c(δ)

)= −Re

(vecT

(AdjT (I −∆c(δ)M)MT

)vec (d∆c(δ))

)= −Re

(vecT

(AdjT (I −∆c(δ)M)MT

)J∆cdδ

)=(−Re

(JT∆c

vec(AdjT (I −∆c(δ)M)MT

)))Tdδ.

56

De onde se conclui que

∇δg1E(δ) = −Re

(JT∆c


)). (3.48)

Pelo mesmo raciocínio, tem-se

∇δg2E(δ) = −Im

(JT∆c


)). (3.49)

Baseado em (3.43), (3.45), (3.48) e (3.49), e definindo Tj = τ jYj e Rj = τ jXj em

(3.42),

θπ(δ) = max

Tj � 0, Rj � 0,∑j Tr(Tj) = 1,∑j Tr(Rj) = 1

{∑j

φjπ(δ, Tj, Rj)− fπ(δ)

−1

2

(∑j

∇δφjπ(δ, Tj, Rj)

)T

Q−1

(∑j

∇δφjπ(δ, Tj, Rj)

) . (3.50)

Finalmente, o programa (3.50) pode ser convertido em um problema LMI utilizando-se

complemento Schur.

Note que se Yj e Xj são mantidos fixos, então (3.50) se reduz a um programa convexo

quadrático (CQP). Por um lado, isto resulta em direções de descida h(·) de pior quali-

dade. Por outro lado, o CQP resultante pode ser resolvido eficientemente pelos algorimos

atualmente disponíveis e com um tempo de execução menor que o SDP (3.50) original.

A experiência prática tende a demonstrar a superioridade da abordagem CQP, porque

embora o número de iterações possa eventualmente aumentar, o tempo computacional

final é menor do que se SDP fossem resolvidos.

O modelo da função objetivo representado por θπ(·) é em princípio de primeira ordem,

mas o termo quadrático no programa tangente (3.35) pode em tese ser usado para capturar

informação de segunda ordem. A escolha mais elementar consiste em se fazer Q = ηI � 0.

É sabido que o determinante não representa a medida mais apropriada da singularidade

de uma matriz, uma vez que uma matriz pode ter um determinante bastante pequeno

mesmo estando longe da singularidade (STRANG, 2005). De fato, na presente aplicação

tal fenômeno torna-se facilmente perceptível tão logo a dimensão dos blocos de escalares

repetidos aumenta. O menor valor singular seria uma medida mais apropriada, mas

57

infelizmente esta função viola as hipóteses feitas até aqui com relação à função restrição

de igualdade. Para contornar essa dificuldade, o determinante foi reescalonado a cada

iteração, com o fator de reescalonamento permanecendo fixo durante cada iteração. Este

reescalonamento é feito com salvaguardas de forma a não comprometer as propriedades

de convergência e otimalidade do algoritmo.

A seguinte heurística foi utilizada para a seleção do fator de reescalonamento citado

acima. Sejam λi, i = 1, . . . ,m os autovalores da matriz (I −∆M) organizados por ordem

decrescente de módulo. Considere o inteiro

g , min i : |λi| ≤ ε,

onde ε ∈ R é em princípio bastante pequeno. Note que a finalidade de g é caracterizar a

partir de qual índice os autovalores podem ser considerados numericamente nulos. Defina-

se, também,

ζ ,

∣∣∣∣∣g−1∏i=1

λi

∣∣∣∣∣ .Então, em uma dada iteração k, a função restrição de igualdade será multiplicada por um

fator de reescalonamento γk dado por

γk = min{γk−1, ζ

−1k

}. (3.51)

A experiência numérica decorrente dos diversos exemplos discutidos no Capítulo 4 corro-

bora a validade dessa abordagem.

58

4 APLICAÇÕES NUMÉRICAS

As simulações e cálculos envolvidos nas aplicações numéricas apresentadas nesta seção

foram realizados com a ferramenta Matlab, versão R2010b. O processador utilizado foi

um Core 2 Duo, 2,10GHz, com 4Gb de memória RAM.

4.1 EXEMPLO COM INCERTEZAS PURAMENTE REAIS

A primeira aplicação trata do problema acadêmico apresentado originalmente em (EL-

GERSMA, 1992). A técnica para a obtenção de limitantes inferiores para µ via otimização

não-diferenciável com a utilização de grade de frequências (LI ND-GF), tratada nos Capí-

tulos 2 e 3, é utilizada para estimar um limitante inferior para µ. É considerada a matriz

M ∈ C3×3, da estrutura M∆, que varia com o parâmetro escalar real ω (frequência):

M =

r/2 s/θ s/θ

θ/2 r s/θ

θ/2 θ r

(4.1)

onde,

r = 2(ω + j), s = r2 − 12j, j =√−1 (4.2)

e θ é a solução da equação quadrática

sθ2 + r(r2 − 3s)θ + s2 = 0. (4.3)

O bloco de incertezas ∆ é composto por 3 parâmetros escalares reais não-repetidos:

∆ =

δ1

δ2

δ3

. (4.4)

Em (ELGERSMA, 1992) é proposto um método para o cálculo do valor exato de

µ para o exemplo em questão. A comparação dos resultados fornecidos pelo algoritmo

ND-GF com o valor exato de µ, que nesse caso particular é conhecido, mostra a eficácia

da técnica proposta. São realizadas 3 análises que diferem no número de pontos iniciais

considerados para cada frequência. Os pontos iniciais foram escolhidos aleatoriamente.

59

A FIG. 4.1 mostra o valor exato de µ além dos limitantes obtidos por diferentes técni-

cas: limitante superior (LS) proposto em (FAN, 1991) (YOUNG, 1992), limitante inferior

pelo algoritmo gain-based (LI GB) (SEILER, 2010) e limitante inferior via otimização

não-diferenciável com grade de frequências (LI ND-GF), obtido com 1 ponto inicial para

cada frequência da grade.

FIG. 4.1: Limitantes de µ com 1 ponto inicial: 1a aplicação .

LS e LI GB são calculados através de rotinas disponíveis na toolbox de controle robusto

do Matlab. O algoritmo GB levou 1,2 minutos no cálculo do limitante inferior, para

uma grade de frequências com 100 pontos logaritmicamente espaçados. O algoritmo ND-

GF, para o mesma grade, gastou 2,5 minutos. Contudo, é possível observar que mesmo

considerando apenas 1 ponto inicial para cada frequência, de uma maneira geral, LI ND-

GF é mais preciso do que LI GB.

O algoritmo ND-GF é baseado em uma técnica de otimização local, e portanto, a esco-

lha do ponto inicial pode impactar o resultado. A FIG. 4.2 retrata os mesmos limitantes

da FIG. 4.1, no entanto, nessa simulação foi adotada a estratégia de múltiplos-começos,

sendo considerados 5 pontos iniciais para cada frequência. O algoritmo ND-GF gastou,

neste caso, cerca de 15 minutos para o cálculo do limitante inferior.

60

FIG. 4.2: Limitantes de µ com 5 pontos iniciais: 1a aplicação .

Nota-se que com o aumento do número de pontos iniciais, o limitante encontrado é

menos conservador, aproximando-se do valor exato de µ. Finalmente, a FIG. 4.3 mostra os

limitantes de µ para 10 pontos iniciais. O algoritmo ND-GF gastou cerca de 33 minutos,

com essa configuração, e o limitante inferior obtido praticamente coincidiu com o valor

exato de µ.

Com a finalidade de obter-se uma certificação de que as incertezas encontradas são

realmente desestabilizantes, são calculados dois indicadores de singularidade para a matriz

(I−∆M): O menor valor singular σ(I−∆M) e o recíproco do número de condicionamento,

rcond(I −∆M) =σ(I −∆M)

σ(I −∆M). (4.5)

As FIGs. 4.4 e 4.5 mostram estes indicadores nos casos GB e ND-GF na simulação com

10 pontos iniciais. Os resultados indicam que as incertezas encontradas são realmente

desestabilizantes. São considerados satisfatórios valores menores do que 10−5 (zero numé-

rico).

61

FIG. 4.3: Limitantes de µ com 10 pontos iniciais: 1a aplicação .

FIG. 4.4: Análise de singularidade via menor valor singular (GB/ND-GF): 1a aplicação.

62

FIG. 4.5: Análise de singularidade via recíproco do número de condicionamento(GB/ND-GF): 1a aplicação.

4.2 EXEMPLO COM INCERTEZAS MISTAS

Essa aplicação trata da análise de estabilidade e desempenho robustos de um exemplo

apresentado originalmente na toolbox de controle robusto do Matlab (versão R2010b). O

bloco de incertezas inclui dinâmicas não-modeladas e variações paramétricas. A FIG. 4.6

mostra o diagrama de blocos do sistema em malha fechada:

FIG. 4.6: Diagramas de blocos do sistema em malha fechada: 2a aplicação.

63

O modelo da planta P é incerto, os sinais d e n são distúrbios e a saída e deve

ser mantida pequena para uma rejeição adequada desses distúrbios. P é um sistema

de segunda ordem que possui incerteza paramétrica nos coeficientes do denominador e

significativa dependência frequencial de dinâmicas não modeladas. O modelo matemático

considerado é descrito a seguir:

P (s) =16

s2 + 0, 16s+ k(1 +Wu(s)δc(s)). (4.6)

Assume-se que o parâmetro k possua 40% de incerteza e valor nominal 16. A incerteza

dependente da frequência na entrada da planta, referente às dinâmicas não-modeladas, é

considerada 20% para baixas frequências e atinge 100% em 6 rad/s. A variação é dada

pela ponderação Wu(s):

Wu(s) =10s+ 12, 18

s+ 60, 93. (4.7)

O controlador K de 3a ordem é dado a seguir:

K(s) =−12, 56s2 + 17, 32s+ 67, 28

s3 + 20, 37s2 + 136, 74s+ 179, 46. (4.8)

Considere inicialmente a análise de robustez em estabilidade. O sistema nominal em

malha fechada M(s) da estrutura M∆ tem ordem 6. O bloco de incertezas ∆ ∈ C2×2 é

composto pela incerteza complexa δc, que é representada por δc1 + δc2j, e pela incerteza

paramétrica δk, com δc1 , δc2 e δk ∈ R:

∆ =

[δc1 + δc2j

δk

]. (4.9)

A FIG. 4.7 mostra os limitantes de µ obtidos por diferentes técnicas: limitante superior

(LS) proposto em (FAN, 1991) (YOUNG, 1992), limitante inferior pelo algoritmo gain-

based (LI GB) (SEILER, 2010), limitante inferior via otimização não-diferenciável com

grade de frequências (LI ND-GF). LS e LI GB são calculados através de rotinas disponíveis

na toolbox de controle robusto do Matlab.

O algoritmo GB gastou 2 segundos no cálculo de LI GB, para um grade de frequên-

cias com 100 pontos logaritmicamente espaçados. O algoritmo ND-GF, para a mesma

grade, gastou 28 segundos no cálculo de LI ND-GF, considerando 1 ponto inicial para

cada frequência. Observa-se na FIG. 4.7 que LS, LI GB e LI ND-GF são praticamente

coincidentes, o que sugere que a presença de incerteza complexa tende a convexificar o

problema, facilitando a determinação do mínimo global. Nesses casos, o algoritmo GB

64

FIG. 4.7: Limitantes de µ: 2a aplicação .

fornece limitantes inferiores bastante satisfatórios com um tempo de execução inferior

ao algoritmo ND-GF. Esse resultado parece indicar que o foco de aplicação da técnica

de otimização não-diferenciável são os sistemas onde só existam incertezas paramétricas,

casos em que há margem para melhoria na exatidão do cálculo de limitantes inferiores

para µ e ν. As FIGs. 4.8 e 4.9 indicam que as incertezas encontradas, tanto por GB

quanto por ND-GF, são realmente desestabilizantes. É possível observar que em altas

frequências (acima de 100 rad/s) o algoritmo ND-GF não conseguiu encontrar incertezas

desestabilizantes. Porém, nesse exemplo, isso não chega a representar uma limitação, uma

vez que, nessa faixa de frequências o valor de µ é praticamente nulo.

Considere agora o teste de robustez em desempenho discutido na Seção 2.5.1. A

técnica para obtenção de limitantes inferiores para ν via otimização não-diferenciável com

grade de frequências (LI ND-GF) é utilizada na determinação do pior caso de ganho da

transferência F , com a medida do ganho sendo dada pela norma ‖H‖∞. A estrutura N∆

(FIG. 2.3) é utilizada para representar o sistema em malha fechada. O sistema nominal

N(s), assim comoM(s), possui ordem 6, mas agora o canal de desempenho é considerado.

A transferência do sistema em malha fechada da entrada [d, n]T para a saída e é dada por

F = Fu(N,∆) ∈ C1×2. A FIG. 4.10 mostra os limitantes para o pior caso de ganho da

65

FIG. 4.8: Análise de singularidade via menor valor singular (GB/ND-GF): 2a aplicação(estabilidade robusta).

FIG. 4.9: Análise de singularidade via recíproco do número de condicionamento(GB/ND-GF): 2a aplicação (estabilidade robusta).

66

transferência F obtidos por diferentes técnicas: limitante superior (LS-WC) e limitante

inferior (LI-WC) obtidos pela rotina wcgain da toolbox de controle robusto do Matlab e

limitante inferior via otimização não-diferenciável com grade de frequências (LI ND-GF).

FIG. 4.10: Limitantes para o pior caso de ganho da transferência F : 2a aplicação.

O bloco fictício ∆p ∈ C2×1 que representa as especificações de desempenho H∞ é dado

por:

∆p =

[δ1 + δ2j

δ3 + δ4j

]. (4.10)

O bloco de incertezas aumentado ∆ é dado por diag {∆,∆p}:

∆ =

δc1 + δc2j 0 0

0 δk 0

0 0 δ1 + δ2j

0 0 δ3 + δ4j

. (4.11)

LI ND-GF é obtido com a técnica ν, onde ∆c = ∆, ∆f = ∆ e ∆v = ∆p. O algoritmo ND-

GF gastou 128 segundos no cálculo de LI ND-GF, considerando 1 ponto inicial para cada

frequência de uma grade com 100 pontos logaritmicamente espaçados. O cálculo feito

67

pela rotina wcgain levou 40 segundos. Assim como no estudo da estabilidade robusta,

em função de ∆ possuir blocos de incertezas complexos, LS-WC, LI-WC e LI ND-GF são

praticamente coincidentes. Novamente, os resultados obtidos pelas técnicas atualmente

disponíveis não oferecem margem para melhoria na exatidão. As FIGs. 4.11 e 4.12 mos-

tram que as incertezas encontradas pelo algoritmo ND-GF na faixa crítica de frequência

são realmente desestabilizantes. Novamente, em altas frequências ND-GF não conseguiu

encontrar perturbações desestabilizantes.

FIG. 4.11: Análise de singularidade via menor valor singular (ND-GF): 2a aplicação(desempenho robusto).

68

FIG. 4.12: Análise de singularidade via recíproco do número de condicionamento(ND-GF): 2a aplicação (desempenho robusto).

4.3 SISTEMA MASSA-MOLA-AMORTECEDOR

Essa aplicação trata do sistema de controle do modelo massa-mola-amortecedor apre-

sentado originalmente em (ACKERMANN, 1990). A técnica para obtenção de limitantes

inferiores para µ via otimização não-diferenciável com abordagem por espaço de estados

(LI ND-EE), tratada nos Capítulos 2 e 3, é utilizada na análise de robustez em estabili-

dade. O modelo é composto por 2 massas como mostrado na FIG. 4.13.

FIG. 4.13: Sistema massa-mola-amortecedor.

69

As matrizes da representação em espaço de estados do modelo são mostradas a seguir.

A planta compreende 4 estados: posição de m1 (x1), velocidade de m1 (x1), posição de

m2 (x2) e velocidade de m2 (x2). É considerada como entrada a força aplicada à massa

m2 e como saída a posição da massa m1:

A =

0 1 0 0

−(c1+c12)m1

−d1m1

c12m1

0

0 0 0 1

c12m2

0 −(c2+c12)m2

−d2m2

, B =

0

0

0

1

, C =[1 0 0 0

], D = 0.

(4.12)

Os valores nominais das massas, das constantes elásticas das molas e dos coeficientes de

amortecimento dos amortecedores são conhecidos: m1 = 2 Kg, m2 = 3, 5 Kg, c1 = 1, 5

N/m, c2 = 3 N/m, c12 = 1 N/m, d1 = 1, 25 Ns/m e d2 = 1, 25 Ns/m. O modelo do sistema

em malha fechada envolve um controlador de terceira ordem. A função de transferência

do controlador é dada por:

K(s) =471250s3 + 801125s2 + 895375s+ 235625

s3 + 62s2 + 1450s+ 19000. (4.13)

Considere agora o seguinte problema de análise. Suponha que não exista incerteza na

constante elástica c12 da mola que liga as massas m1 e m2. Para qual faixa de valores das

contantes m1, m2, c1, c2, d1 e d2 o sistema permanece estável? Nesse caso, as técnicas

que utilizam grade de frequências na análise µ se mostram ineficientes, tal como indicado

a seguir.

A FIG. 4.14 mostra os limitantes de µ obtidos por diferentes técnicas: limitante su-

perior (LS) proposto em (FAN, 1991) (YOUNG, 1992), limitante inferior pelo algoritmo

gain-based (LI GB) (SEILER, 2010) e limitante inferior via otimização não-diferenciável

com abordagem por espaço de estados (LI ND-EE). LS e LI GB são calculados através

de rotinas disponíveis na toolbox de controle robusto do Matlab.

70

FIG. 4.14: Limitantes de µ: massa-mola-amortecedor.

A estruturaM∆ envolve um sistema nominalM(s) de ordem 7. Nos casos LS, LI GB,

o bloco de incertezas ∆ é composto por 4 escalares reais não-repetidos e 2 escalares reais

repetidos 3 vezes:

∆ =

δc1

δc2

δd1

δd2

δm1I3

δm2I3

. (4.14)

No caso LI ND-EE, ∆aum é composto por 1 escalar real repetido 7 vezes (frequência)

mais um bloco com 4 escalares reais não-repetidos e 2 escalares reais repetidos 3 vezes

(parâmetros):

71

∆aum =

δωI7

δc1

δc2

δd1

δd2

δm1I3

δm2I3

. (4.15)

A solução é obtida com a reformulação do problema com a técnica ν, conforme discutido

na Seção 2.6, com ∆c = ∆aum, ∆f = δωI7 e ∆v = ∆. Os fatores de ponderação utilizados

na representação das incertezas foram selecionados como 50%.

O algoritmo ND-EE detecta o valor de pico de 1, 7535 para o limitante inferior de µ na

frequência crítica de 16, 9124 rad/s. As FIGs. 4.15 e 4.16 indicam que as incertezas encon-

tradas são realmente desestabilizantes. São utilizados como indicadores de singularidade

o menor valor singular σ(I −∆cM1) e o recíproco do número de condicionamento,

rcond(I −∆cM1) =σ(I −∆cM1)

σ(I −∆cM1). (4.16)

O limitante superior e o limitante inferior obtidos pelo algoritmo gain-based são cal-

culados para uma grade de frequências com 1000 pontos logaritmicamente espaçados. LS

indica o valor de pico de 1,699 na frequência de 17,03 rad/s, enquanto que LI GB indica

o valor de pico de 1,659 na frequência de 17,03 rad/s. Para esse exemplo, a limitação

das técnicas que utilizam grade de frequência fica evidente. Mesmo com a utilização de

uma grade bastante densa, os valores de pico estimados por LS e LI GB são menores do

que o determinado por LI ND-EE. Em virtude disso, o uso do valor de pico dado por

LS para determinar a margem de estabilidade, que em alguns casos pode ser até mesmo

conservador, seria na verdade excessivamente otimista. Seria esperada a manutenção

da estabilidade do sistema caso a faixa de variação dos parâmetros incertos não exce-

desse 29, 42% (50%/1, 699), no entanto, LI ND-EE mostra que existe uma incerteza com

28, 51%(50%/1, 7535) de variação que leva o sistema à instabilidade. Outra vantagem do

algoritmo ND-EE, para essa aplicação, é o tempo computacional. Enquanto que o algo-

ritmo GB gastou cerca de 16 minutos no cálculo de um limitante inferior para µ, ND-EE

gastou 1,5 minutos, com 10 pontos iniciais para cada um dos 4 intervalos de frequência

72

FIG. 4.15: Análise de singularidade via menor valor singular (ND-EE):massa-mola-amortecedor.

FIG. 4.16: Análise de singularidade via recíproco do número de condicionamento(ND-EE): massa-mola-amortecedor.

73

considerados. Isso se deve, principalmente, ao fato da abordagem não-diferenciável não

sofrer grande impacto no tempo computacional em virtude da dimensão de incertezas

paramétricas repetidas no bloco estruturado das incertezas.

4.4 SISTEMA DE CONTROLE DE VOO LONGITUDINAL DE MÍSSIL

Essa aplicação trata do sistema de controle de voo longitudinal para o modelo de míssil

apresentado originalmente em (WISE, 1990). A aerodinâmica do míssil foi linearizada

para um ângulo de ataque de 16 graus, Mach 0,8 e uma altitude de 4000 pés. O modelo

de corpo rígido da estrutura do míssil compreende 4 estados: ângulo de ataque (α),

taxa de elevação (q), deflexão da barbatana (β), taxa de deflexão da barbatana (β). A

entrada da planta é o comando de deflexão da barbatana (βc)(rad) e as saídas são a

aceleração vertical (η)(ft/s2) e a taxa de elevação (q)(rad/s). Assume-se que os valores

da velocidade do míssil (V = 886, 78 ft/s), do amortecimento (ζ = 0, 6) e da frequência

natural (ωn = 113rad/s) do atuador sejam conhecidos precisamente. Os valores nominais

das derivadas aerodinâmicas de estabilidade são Zα = −1, 3046 1/s, Zβ = −0, 2142 1/s,

Mα = 47, 7109 1/s2 e Mβ = −104, 8346 1/s2. O modelo nominal é instável em malha

aberta, mas um controlador de segunda ordem estabiliza o sistema em malha fechada. As

entradas do controlador, como mostrado na FIG. 4.17, são o erro da aceleração vertical

(e = ηc − η)(ft/s2) e a taxa de elevação (−q)(rad/s), a saída é o comando de deflexão do

fin (βc)(rad).

FIG. 4.17: Diagrama de blocos do míssil.

74

As matrizes da representação em espaço de estados da planta do míssil são dadas por:

A =

Zα 1 Zβ 0

Mα 0 Mβ 0

0 0 0 1

0 0 −ω2n −2ζωn

, B =

0

0

0

ω2n

, C =

[V Zα 0 V Zβ 0

0 1 0 0

], D =

[0

0

].

(4.17)

As matrizes da representação em espaço de estados do controlador são dadas por:

Ac =

[0 0

Kqaq 0

], Bc =

[Kaaz 0

KaKqaq Kqaq

], Cc =

[Kq 1

], Dc =

[KaKq Kq

],

(4.18)

onde os parâmetro são conhecidos, Ka = −0, 0015, Kq = −0, 32, az = 2, 0 e aq = 6, 0.

Considere inicialmente o seguinte problema de análise. Suponha que não existam

incertezas nas derivadas de estabilidade Zα e Zβ. Para que faixa de valores das derivadas

de estabilidade Mα e Mβ o sistema em malha fechada mantém-se estável? Apesar de

sua aparente simplicidade, enfrentar este problema através da análise-µ é difícil, tal como

especificado abaixo.

FIG. 4.18: Limitantes de µ: míssil.

75

A FIG. 4.18 mostra os limitantes de µ obtidos por diferentes técnicas: limitante su-

perior (LS) proposto em (FAN, 1991) (YOUNG, 1992), limitante inferior pelo algoritmo

gain-based (LI GB) (SEILER, 2010), limitante inferior via otimização não-diferenciável

com grade de frequências (LI ND-GF) e limitante inferior via otimização não-diferenciável

com abordagem por espaço de estados (LI ND-EE). LS e LI GB são calculados através de

rotinas disponíveis na toolbox de controle robusto do Matlab. A estruturaM∆ envolve um

sistema nominal M(s) de ordem 6. O bloco de incertezas ∆ é composto por 2 escalares

reais não-repetidos nos casos LS, LI GB e LI ND-GF:

∆ =

[δMα

δMβ

]. (4.19)

No caso LI ND-EE, ∆aum é composto por por um escalar real repetido 6 vezes (frequência)

mais 2 escalares reais não-repetidos (derivadas de estabilidade):

∆aum =

δωI6

δMα

δMβ

. (4.20)



na representação das incertezas para Mα e Mβ são selecionados como 100%.

Note na FIG. 4.18 que µ apresenta um pico estreito seguido por uma descontinuidade

na frequência. Como enfatizado na Seção 2.6, abordagens baseadas em grade de frequên-

cias podem ser inapropriadas quando há ocorrência de picos. Na verdade, um ponto crítico

pode ser facilmente perdido se a grade não for suficientemente densa, podendo acarretar

imprecisões na estimação da margem de estabilidade. Para resultados mais precisos, a

grade pode ser adensada na região previamente identificada como crítica.

O algoritmo ND-EE detecta o valor de pico 1,5389 na frequência crítica de 5,5598

rad/s. As FIGs. 4.19 e 4.20 indicam que as incertezas encontradas são realmente deses-

tabilizantes.

Frequências logaritmicamente espaçadas são selecionadas para formar a grade de

frequências usada pelas técnicas LS, LI GB e LI ND-GF. Para um número crescente

de pontos da grade, o limitante superior e o limitante inferior obtido pelo algoritmo ND-

GF se aproximam do valor de pico encontrados pela técnica ND-EE na freqüência crítica

referida. Para cerca de 1000 ou mais pontos na grade, os três limitantes LS, LI ND-GF

76

FIG. 4.19: Análise de singularidade via menor valor singular (ND-EE): míssil (análise µ).

FIG. 4.20: Análise de singularidade via recíproco do número de condicionamento(ND-EE): míssil (análise µ).

77

e LI ND-EE praticamente coincidem para 5,5598 rad/s, sugerindo que 1,5389 representa

o valor de pico verdadeiro de µ. Note que a frequência crítica (5,5598 rad/s) obtida pela

técnica ND-EE foi incluída na grade de frequências usada na FIG. 4.18 a fim de ajudar a

verificação da consistência dos resultados.

Como conclusão, a análise-µ discutida indica que o sistema em malha fechada perma-

nece estável se as derivadas de estabilidade Mα e Mβ não apresentarem variação maior

que 64,98% (100%/1,5389) em relação aos seus valores nominais. A FIG. 4.21 mostra LS

e LI ND-EE de µ para uma nova configuração com ponderação de 64, 98%. Os valores

de pico encontrados pelas duas técnicas, na frequência crítica de 5,56 rad/s, praticamente

coincidem em 0,999, sugerindo que este seja o verdadeiro valor de pico de µ.

FIG. 4.21: Limitante de µ: míssil (Mα e Mβ reduzidos).

Outro fato que cabe ressaltar é que mesmo com o pequeno número de parâmetros

incertos, o limitante inferior obtido com a técnica GB é bastante insatisfatório. De fato,

para uma série de frequências, especialmente no intervalo crítico, a técnica GB não con-

segue nem mesmo achar uma incerteza desestabilizante, como indicado pelas FIGs. 4.22

e 4.23. O desempenho do algoritmo PI (power iteration) é ainda pior e, portanto, não foi

incluído na FIG. 4.18. O algoritmo GB gastou 69 segundos no calculo de um limitante

inferior de µ para uma grade com 1000 pontos. O algoritmo ND-EE com 10 pontos iniciais

78

e 3 intervalos de frequência gastou 62 segundos.

FIG. 4.22: Análise de singularidade via menor valor singular para (GB/ND-GF): míssil.

FIG. 4.23: Análise de singularidade via recíproco do número de condicionamento(GB/ND-GF): míssil.

Considere agora o seguinte problema de análise com maior grau de complexidade.

79

Suponha que há incerteza nas quatro derivadas de estabilidade. Em particular, assuma

que as derivadas de estabilidadeMα eMβ não tenham variação maior que 60% em relação

aos seus valores nominais. Assim, para qual intervalo de valores de Zα e Zβ o sistema

em malha fechada mantém-se estável? Este é um típico problema de análise-ν discutido

na Seção 2.4. Limitantes de ν obtidos por diferentes técnicas são mostrados na FIG.

4.24: limitante superior (LS) (FERRERES, 1997) e limitante inferior (LI PI) obtidos pelo

método das potências (FERRERES, 1999), implementados com as rotinas mixed_mu_ub

e mixed_mu_lb da toolbox SMT (FERRERES, 2004), limitante inferior via otimização

não-diferenciável com grade de frequências (LI ND-GF) e limitante inferior via otimização

não-diferenciável com abordagem por espaço de estados (LI ND-EE).

FIG. 4.24: Limitantes de ν: míssil.

Agora, o bloco de incertezas ∆c é composto por 4 escalares reais não-repetidos nos

casos LS, LI PI e LI ND-GF:

∆c =

δMα

δMβ

δZα

δZβ

, (4.21)

80

com

∆f =

[δMα

δMβ

], (4.22)

e

∆v =

[δZα

δZβ

]. (4.23)

No caso LI ND-EE, ∆aum é composto por um escalar real repetido 6 vezes (frequência) e

por 4 escalares reais não-repetidos (derivadas de estabilidade):

∆aum = ∆c =

δωI6

δMα

δMβ

δZα

δZβ

, (4.24)

com

∆f =

δωI6

δMα

δMβ

, (4.25)

e

∆v =

[δZα

δZβ

]. (4.26)

Os fatores de ponderação foram selecionados como 60% para Mα e Mβ e 100% para Zα e

Zβ.

O algoritmo PI gastou 11 segundos no cálculo de um limitante inferior de ν para uma

grade com 100 pontos, mas não conseguiu convergir para a maioria das frequências da

grade. A técnica ND-EE determinou um valor de pico de 1,5305 na frequência de 3,214

rad/s, levando 35 segundos com a utilização de 3 pontos iniciais para cada um dos 3

intervalos. As FIGs. 4.25 e 4.26 indicam que as incertezas encontradas são realmente

desestabilizantes.

Com uma grade de frequências com 100 pontos logaritmicamente espaçados, tanto o

limitante superior quanto o limitante inferior obtidos pela técnica ND-GF subestimam,

ligeiramente, o valor de pico fornecido pelo algoritmo ND-EE. Aumentando o número

de pontos da grade, ambos os valores, LS e LI ND-GF, convergem para o valor de pico

encontrado por ND-EE. Mais uma vez, o valor praticamente idêntico de LS, LI ND-GF

81

FIG. 4.25: Análise de singularidade via menor valor singular (ND-EE): míssil (análise ν).

FIG. 4.26: Análise de singularidade via recíproco do número de condicionamento(ND-EE): míssil (análise ν).

82

e LI ND-EE na frequência crítica (3,214 rad/s) sugere que o valor de pico determinado

pela abordagem ND-EE é realmente igual ao verdadeiro valor de pico de ν. Isso sig-

nifica dizer que se a variação das derivadas de estabilidade Zα e Zβ não for maior que

65, 33% (100%/1, 5305) em relação aos seus valores nominais, o sistema em malha fechada

mantém-se estável. A FIG. 4.27 mostra LS e LI ND-EE de µ para uma nova configura-

ção com ponderação de 65, 33%. Os valores de pico encontrados pelas duas técnicas, na

frequência crítica de 3,403 rad/s, praticamente coincidem em 0,997, sugerindo que este

seja o verdadeiro valor de pico de µ.

FIG. 4.27: Limitante para µ - míssil: Zα e Zβ reduzidos .

4.5 AVIÃO FLEXÍVEL

Nessa aplicação, a técnica para obtenção de limitantes inferiores de µ e ν via oti-

mização não-diferenciável com abordagem por espaço de estados é usada na análise de

robustez em estabilidade do controlador de voo lateral projetado para a aeronave flexível

de transporte apresentada em (FERRERES, 1999). Os dados numéricos para esse pro-

blema estão disponíveis na toolbox SMT (FERRERES, 2004). As limitações encontradas

pelas técnicas que utilizam grade de frequência para detectar valores de pico de µ e ν

83

tornam-se evidentes, nesse caso, devido à presença de modos flexíveis. Inicialmente, a

margem de estabilidade é estimada via análise-µ.

FIG. 4.28: Limitantes de µ - avião flexível.

A FIG. 4.28 mostra os diferentes limitantes obtidos para µ: limitante superior

(LS)(FAN, 1991) (YOUNG, 1992), limitante inferior dado pelo algoritmo gain-based (LI

GB)(SEILER, 2010) e limitante inferior via otimização não-diferenciável com abordagem

por espaço de estados (LI ND-EE). Nota-se que algoritmos em tempo exponencial como

o método de Dailey (DAILEY, 1990) são inoperantes para aplicações com grande número

de incertezas paramétricas, como o presente. O modelo flexível apresenta 20 parâmetros

incertos, compreendendo 14 coeficientes aerodinâmicos do modelo de corpo rígido e as

frequências naturais de 6 modos flexíveis. O sistema nominal em malha fechada M(s) da

estrutura M∆ tem ordem 46. O bloco de incertezas ∆ é composto por 20 escalares reais

não-repetidos nos casos LS e LI GB:

∆ =

δ1

. . .

δ20

. (4.27)

No caso LI ND-EE, ∆aum é composto por um escalar real repetido 46 vezes (frequência)

84

e por 20 escalares reais não-repetidos (coeficientes aerodinâmicos e frequências naturais):

∆aum =

δωI46

δ1

. . .

δ20

. (4.28)



na representação das incertezas foram selecionados como 10%.

O algoritmo ND-EE detecta o valor de pico de 4,475 para o limitante inferior de µ

na frequência crítica de 13,3587 rad/s. As FIGs. 4.29 e 4.30 indicam que as incertezas

encontradas são realmente desestabilizantes.

FIG. 4.29: Análise de singularidade via menor valor singular (ND-EE): avião flexível(análise µ).

85

FIG. 4.30: Análise de singularidade via recíproco do número de condicionamento(ND-EE): avião flexível (análise µ).

O limitante superior e o limitante inferior obtidos pelo algoritmo gain-based são cal-

culados para uma grade de frequências com 1000 pontos logaritmicamente espaçados e

indicam um valor de pico de 3,798 na frequência de 13,4 rad/s. A limitação das técnicas

que utilizam grade de frequências na manipulação de modos flexíveis fica evidente, tendo

em vista que, mesmo com a utilização de uma grade bastante densa, os valores de pico

estimados por LS e LI GB são consideravelmente menores do que o determinado pelo

algoritmo ND-EE. Assim como na aplicação massa-mola-amortecedor discutida na Seção

4.3, o uso do valor de pico dado por LS para determinar a margem de estabilidade seria

otimista: seria esperada a manutenção da estabilidade do sistema caso a faixa de varia-

ção dos parâmetros incertos não excedesse 2, 63% (10%/3, 798). No entanto, LI ND-EE

mostra que existe uma incerteza com 2, 23% (10%/4, 475) de variação que leva o sistema

à instabilidade. O algoritmo GB gastou cerca de 19 minutos no cálculo de um limitante

inferior de µ para uma grade com 1000 pontos, enquanto que o algoritmo ND-EE com 10

pontos iniciais e 10 intervalos de frequência gastou cerca de 70 minutos, entretanto, com

resultados mais precisos.

Considere agora o seguinte problema de análise com maior grau de complexidade.

86

Assumindo que os coeficientes aerodinâmicos não sofram variação maior do que 2% em

relação aos seus valores nominais, para qual faixa de valores das frequências naturais dos

modos flexíveis o sistema em malha fechada é estável? Esse é um genuíno problema de

análise ν.

FIG. 4.31: Limitantes de ν - avião flexível: restrição na faixa de variação dos coeficientesaerodinâmicos do modelo rígido.

A FIG. 4.31 mostra o limitante superior (LS) e o limitante inferior via algoritmo PI

(LI PI), obtidos através de rotinas existentes na toolbox SMT (FERRERES, 2004), e o

limitante inferior via otimização não-diferenciável com abordagem por espaço de estados

(LI ND-EE).

Para os casos LS e LI PI, ∆c = ∆ (∆c ∈ R20×20) com ∆f envolvendo os 14 coeficientes

aerodinâmicos (∆f ∈ R14×14) e ∆v envolvendo as 6 frequências naturais (∆v ∈ R6×6).

Para o caso LI ND-EE, ∆c = ∆aum (∆c ∈ R66×66) com ∆f envolvendo a frequência

como um parâmetro incerto mais os 14 coeficientes aerodinâmicos (∆f ∈ R60×60) e ∆v

envolvendo as 6 frequências naturais dos modos flexíveis (∆v ∈ R6×6). Da análise da

FIG. 4.31 é possível observar que mesmo com a dimensão elevada da matriz de incertezas,

a técnica via otimização não-diferenciável ainda funciona adequadamente e que mesmo

estabelecendo um grade de freqüências com 1000 pontos, os valores de pico encontrados

87

em LS e LI PI são inferiores ao encontrado em LI ND-EE. Novamente, o uso de LS

para determinar a margem de estabilidade seria excessivamente otimista. Além disso, o

algoritmo de PI mais uma vez não apresenta bom desempenho, não convergindo para um

grande número de freqüências. O algoritmo ND-EE determina o valor de pico de 4,4677

para o limitante inferior de ν na frequência crítica de 13,3580rad/s. As FIGs. 4.32 e 4.33

indicam que as incertezas encontradas são realmente desestabilizantes.

FIG. 4.32: Análise de singularidade via menor valor singular (ND-EE): avião flexível (1a

análise ν.

88

FIG. 4.33: Análise de singularidade via recíproco do número de condicionamento(ND-EE): avião flexível (1a análise ν).

Uma comparação cuidadosa entre as FIGs. 4.28 e 4.31 é muito instrutiva. Observe que

os dois gráficos são muito semelhantes em altas frequências. Por exemplo, os valores de

pico e as respectivas frequências críticas são praticamente iguais. Contudo, os conteúdos

de baixa frequência são bastantes diferentes. Isso pode ser explicado pelo fato de que,

neste exemplo, cada tipo de incerteza afeta de forma mais significativa regiões distintas de

frequência: coeficientes aerodinâmicos em baixas frequências e frequências naturais dos

modos flexíveis em frequências mais altas. De fato, enquanto o pico na frequência 0,9469

rad/s está intimamente relacionado aos coeficientes aerodinâmicos do modelo rígido, o

pico na frequência 13,3587 rad/s está essencialmente relacionado com a incerteza em

frequências naturais dos modos flexíveis. Por exemplo, o pico em 0,9469 rad/s na FIG.

4.28 é praticamente inexistente na FIG. 4.31, porque na análise-ν realizada a faixa de

variação dos coeficientes aerodinâmicos foi restringida (2% de desvio) de forma a mantê-

los longe da fronteira de estabilidade.

Para corroborar com a explicação acima, considere a situação oposta: assumindo que

as frequências naturais dos modos flexíveis não sofram variação maior do que 2%, para

qual faixa de valores dos coeficientes aerodinâmicos o sistema em malha fechada mantém-

89

se estável? Limitantes de ν obtidos para esse novo cenário são mostrados na FIG. 4.34.

FIG. 4.34: Limitantes de ν: avião flexível (restrição na faixa de variação das frequênciasnaturais dos modos flexíveis).

Agora, nos casos LS e LI PI, ∆c = ∆ (∆c ∈ R20×20), ∆v envolve os 14 coeficientes

aerodinâmicos (∆v ∈ R14×14) e ∆f envolve as 6 frequências naturais (∆f ∈ R6×6). Para

o caso LI ND-EE, ∆c = ∆aum (∆c ∈ R66×66), com ∆f envolvendo a frequência como um

parâmetro incerto mais as 6 frequências naturais dos modos flexíveis (∆f ∈ R52×52) e ∆v

envolvendo os 14 coeficientes aerodinâmicos (∆v ∈ R14×14). Mais uma vez, a técnica de

otimização não-diferenciável com abordagem por espaço de estados tem bom desempenho,

determinando um valor de pico de 2,8978 na frequência crítica de 0,9667 rad/s. As FIGs.

4.35 e 4.36 indicam que as incertezas encontradas são realmente desestabilizantes. Dessa

vez, com uma grade de frequências com 1000 pontos logaritmicamente espaçados, LS

parece coincidir com LI ND-EE, mas o algoritmo PI novamente se mostra ineficiente.

Como previsto, as FIGs. 4.28 e 4.34 são muito semelhantes na região de baixas frequências.

Por outro lado, os picos de alta frequência praticamente desaparecem na FIG. 4.34, já

que dessa vez foi a faixa de variação das frequências naturais dos modos flexíveis que foi

restringida.

90

FIG. 4.35: Análise de singularidade via recíproco do número de condicionamento(ND-EE): avião flexível (2a análise ν).

FIG. 4.36: Análise de singularidade via menor valor singular (ND-EE): avião flexível (2a

análise ν).

91

5 CONCLUSÃO

5.1 VISÃO GERAL DO TRABALHO

Nesse trabalho, foi proposta uma nova técnica baseada em otimização não-diferenciável

para obtenção de limitantes inferiores para o valor singular estruturado µ e para o valor

singular estruturado oblíquo ν, duas valiosas ferramentas utilizadas na análise de robustez

de sistemas incertos. Foram apresentadas duas abordagens distintas, uma que utiliza

grade de frequências (LI ND-GF) e outra que considera a frequência como um parâmetro

incerto variando dentro de um intervalo pré-determinado (LI ND-EE). O cálculo dos

limitantes foi realizado através de eficiente algoritmo dotado de certificado de convergência

global e otimalidade local.

No âmbito deste trabalho, foi aceito para apresentação oral na 10a Conferência Bra-

sileira de Dinâmica, Controle e Aplicações (DINCON), realizada entre 28 de agosto e 2

de setembro de 2011 em Águas de Lindóia-SP, o artigo intitulado: Análise µ via otimiza-

ção não-diferenciável. Também foi submetido para o International Journal of Robust and

Nonlinear Control o artigo intitulado: A non-smooth lower bound on ν.

5.2 ESTUDOS DE CASO

Na primeira aplicação discutida (Seção 4.1), foi enfatizado como a escolha do ponto

inicial pode impactar os resultados obtidos pela técnica não-diferenciável e também como

essa limitação pode ser aproximadamente contornada adotando-se uma estratégia de múl-

tiplos começos.

A segunda aplicação (Seção 4.2) envolveu incertezas complexas. Na análise µ reali-

zada, observou-se que o limitante superior (LS), o limitante inferior dado pelo algoritmo

gain based (LI GB) e o limitante inferior via otimização não-diferenciável com grade de

frequências (LI ND-GF) foram praticamente coincidentes, sugerindo que a presença de

incertezas complexas tende a convexificar o problema, facilitando a obtenção do mínimo

global. Também foi apresentado um teste de desempenho robusto via análise ν e nova-

mente os limitantes encontrados foram praticamente coincidentes. A eficácia da técnica

não-diferenciável ficou ilustrada. Porém, nesses casos não há margem para melhoria na

92

exatidão dos resultados. Em virtude disso, o foco de aplicação da técnica proposta parece

ser os sistemas que possuam somente incertezas paramétricas.

A terceira aplicação (Seção 4.3) envolveu incertezas reais repetidas. Nesse caso, a

limitação das técnicas que utilizam grade de frequências na obtenção de limitantes para µ

ficou evidenciada. Mesmo com a utilização de uma grade bastante densa (1000 pontos),

os valores de pico dados por LS e LI GB subestimaram o valor de pico dado por LI

ND-EE. Outra vantagem apresentada pelo algoritmo ND-EE foi o tempo computacional,

razoavelmente menor quando comparado com LS e LI GB.

Na quarta aplicação (Seção 4.4), as técnicas LI ND-GF e LI ND-EE foram utilizadas

nas análises µ e ν do sistema de controle de voo longitudinal de um míssil. Em ambas as

análises, o valores de pico dados por LI ND-GF e por LI ND-EE praticamente coincidiram

com os valores dados por LS, sugerindo que estes representavam os verdadeiros valores de

pico de µ e de ν, o que permitiu a determinação das margens de estabilidade.

Finalmente, na quinta aplicação (Seção 4.5), a técnica LI ND-EE foi utilizada na

obtenção de limitantes inferiores para µ e ν. O modelo do avião flexível envolveu 20

parâmetros incertos. A limitação das técnicas que utilizam grade de frequências ficou

evidente nesse caso, devido à presença de modos flexíveis. Foi observado, também, que a

técnica LI ND-EE apresenta bons resultados mesmo com a elevada dimensão da matriz

de incertezas.

Os testes numéricos realizados mostraram que em alguns casos a utilização da técnica

não-diferenciável fornece limitantes inferiores mais justos em relação às técnicas mais

populares atualmente disponíveis, como por exemplo, LI PI (FERRERES, 1999) e LI GB

(SEILER, 2010).

5.3 SUGESTÃO PARA TRABALHOS FUTUROS

Como sugestão para trabalhos futuros fica a investigação de um método que possibilite

a escolha criteriosa dos pontos iniciais. A abordagem não-diferenciável proposta baseia-se

em uma técnica de otimização local. Portanto, a escolha do ponto inicial pode impac-

tar os resultados, eventualmente resultando em um limitante inferior mais conservador.

Nos exemplos discutidos neste trabalho os pontos iniciais foram escolhidos de maneira

aleatória. As limitações impostas por essa medida foram aproximadamente contornadas

adotando-se uma estratégia de múltiplos começos. No entanto, essa estratégia pode au-

93

mentar razoavelmente o tempo computacional, sobretudo quando se utiliza a técnica com

grade de frequências.

94

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRFICAS

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97

7 APÊNDICES

7.1 TRANSFORMAÇÕES FRACIONAIS LINEARES

As Transformações Fracionais Lineares (LFT, do inglês Linear Fractional Transforma-

tions) amplamente utilizadas na literatura de controle foram introduzidas em (DOYLE,

1984). Essas funções de matrizes são ferramentas muito poderosas na análise e projeto

de sistemas. Considere uma matriz P de dimensões (n1 + n2) × (m1 +m2) particionada

da seguinte forma:

P =

[P11 P12

P21 P22

]. (7.1)

Deixe as matrizes ∆ ∈ Cm1×n1 e K ∈ Cm2×n2 ter suas dimensões compatíveis, respec-

tivamente, com as partições superior e inferior de P . Adota-se a seguinte notação para

representar as LFT superior e inferior:

Fu(P,∆) = P22 + P21∆(I − P11∆)−1P12, (7.2)

Fl(P,K) = P11 + P12K(I − P22K)−1P21, (7.3)

onde o subescrito u significa superior (upper) e l inferior (lower).

A LFT inferior Fu(P,K) é a função de transferência de w para z, obtida com a

realimentação positiva K na partição inferior de P , conforme ilustrado na FIG. 7.1.

FIG. 7.1: LFT inferior em função de K

O diagrama em blocos mostrado na FIG. 7.1 pode ser reescrito como:

z = P11w + P12u, v = P21w + P22u, u = Kv. (7.4)

98

Eliminando u e v em (7.5), obtém-se:

z = Fl(P,K)w =[P11 + P12K(I − P22K)−1P21

]w. (7.5)

De maneira análoga, a LFT superior conforme ilustrado na FIG. 7.2, Fu(P,∆), é obtida

pela realimentação positiva ∆ na partição superior de P .

FIG. 7.2: LFT superior em função de ∆

7.1.1 INTERCONEXÃO DE LFT

Uma propriedade importante das LFT é que a interconexão de LFT também é uma

LFT. Considere a FIG. 7.3, onde R é escrito como a LFT inferior envolvendo Q e K ′, K ′

por sua vez é a LFT inferior envolvendo M e K.

FIG. 7.3: Interconexão de LFTs resulta em uma LFT

Deseja-se expressar R diretamente como uma LFT em termos de K. Uma vez que

R = Fl(Q,K ′), onde K ′ = Fl(M,K), (7.6)

99

o objetivo é obter P em termos de Q e M tal que:

R = Fl(P,K). (7.7)

Obtém-se:

P =

[P11 P12

P21 P22

]=

[Q11 +Q12M11(I −Q22M11)−1Q21 Q12(I −M11Q22)−1M12

M21(I −Q22M11)−1Q21 M22 +M21Q22(I −M11Q22)−1M12

].

(7.8)

Aplicam-se expressões similares quando são usadas LFT superiores. Para

R = Fu(M,∆′), onde ∆′ = Fu(Q,∆), (7.9)

escreve-se R = Fu(P,∆), com P obtido, em termos de Q e M , por (7.8).

7.2 AUTOVALORES E AUTOVETORES

Seja A uma matriz quadrada n × n. Os autovalores λi, i = 1, 2, . . . , n de A são as n

soluções da equação característica:

det(A− λI) = 0. (7.10)

O autovetor à direita, ti, correspondente ao autovalor λi é a solução não-trivial (ti 6= 0)

para:

(A− λiI)ti = 0⇔ Ati = λiti. (7.11)

O autovetor à esquerda correspondente, qi, satisfaz:

qHi (A− λiI) = 0⇔ qHi A = λiqHi . (7.12)

Os autovalores também são chamados de ganhos característicos. O conjunto de auto-

valores de A é chamado de espectro de A e o maior valor absoluto entre os autovalores é

o raio espectral, ρ(A):

ρ(A) , maxi

(|λi(A)|). (7.13)

Normalmente trabalha-se com autovetores normalizados, isto é, tHi ti = 1. Isso é

possível graças à propriedade de que se t é um autovetor então αt também é, para qualquer

α constante. Um resultado importante é que autovalores distintos geram autovetores

linearmente independentes.

100

Os autovetores podem ser organizados de maneira a representar as colunas de uma

matriz T e os autovalores λ1, λ2, . . . , λn os elementos da matriz diagonal Λ:

T = {t1, t2, . . . , tn} ; Λ = diag {λ1, λ2, . . . , λn} . (7.14)

Então, a equação (7.11) pode ser reescrita como:

AT = TΛ. (7.15)

T é a matriz de transformação utilizada para a diagonalização da matriz A quando esta

possui autovetores linearmente independentes tal que T−1 existe (isto sempre ocorre para

autovalores distintos, mas pode ocorrer também em outros casos, por exemplo A = I).

Da equação (7.15) obtém-se a fórmula para a diagonalização:

Λ = T−1AT. (7.16)

Serão enumeradas algumas propriedades dos autovalores:

• A soma dos autovalores de A é igual ao traço de A (soma dos elementos da diagonal):

trA =∑i

λi.

• O produto dos autovalores de A é igual ao determinante de A: det(A) =∏i

λi.

• Os autovalores de uma matriz triangular superior são iguais aos elementos da dia-

gonal.

• Para uma matriz real os autovalores ou são reais ou pares complexos conjugados.

• A e AT possuem os mesmos autovalores (mas autovetores diferentes).

• A inversa A−1 existe se e somente se todos os autovalores de A forem diferentes de

zero. Nesse caso, A−1 tem autovalores 1λ1, . . . , 1

λn.

• A matriz (cI + A) tem autovalores c+ λi.

• A matriz cAk, onde k é um inteiro tem os autovalores cλki .

101

7.3 VALORES SINGULARES

Os valores singulares de uma matriz complexa An×m, representados por σi(A), i =

1, · · · , k, são as k raízes quadradas não negativas dos autovalores de AHA (ou AAH),

onde k = min(n,m), ou seja:

σi(A) =√λi(AHA) i = 1, 2, . . . , k. (7.17)

Um modo de representar uma matriz de forma a expor sua estrutura interna é a

chamada Decomposição em Valores Singulares (DVS). Para uma matriz An×m a DVS é

dada por:

A = UΣV H =k∑i=1

σi(A)uivHi , (7.18)

onde Un×n e Vm×m são matrizes unitárias formadas por vetores colunas dados por:

U = (u1, u2, . . . , un),

V = (v1, v2, . . . , vm),

e Σn×m contém a matriz diagonal Σ1 com os valores singulares σi, reais e não negativos,

arranjados em ordem decrescente:

Σ =

[Σ1

0

]; n ≥ m (7.19)

ou

Σ =[Σ1 0

]; n ≤ m (7.20)

e

Σ1 = diag(σ1, σ2, . . . , σk); k = min(m,n), (7.21)

onde

σ = σ1 ≥ σ2 ≥ . . . ≥ σk = σ. (7.22)

Esta decomposição não é única, uma vez que as matrizes U e V não são únicas.

Contudo, os σi são únicos. Como U e V são unitárias, posto(A) = posto(Σ). Então se

posto(A) = k, somente os k primeiros valores singulares são positivos, os demais são iguais

a zero.

Pode ser mostrado que as colunas de U e V são os autovetores unitários de AAH e

de AHA respectivamente, conhecidos como vetores singulares à esquerda e à direita da

matriz A.

102

A partir dos valores singulares é possível definir o chamado número de condiciona-

mento, grandeza dependente da frequência que em análise numérica mede o quão próximo

da singularidade está uma matriz:

cond(A) =σ(A)

σ(A). (7.23)

σ também é utilizado como indicador de singularidade, quanto mais próximo de zero for

o valor de σ(A), mais próxima da singularidade está a matriz A.

Um resultado importante encontrado em (SKOGESTAD, 2005) é o maior valor sin-

gular de uma matriz bloco diagonal :

σ

([A 0

0 B

])= max {σ(A), σ(B)} . (7.24)

7.4 CRITÉRIO DE NYQUIST GENERALIZADO

Considere o sistema MIMO (Multiple-Imput Multiple-Output) em malha fechada com

realimentação negativa, mostrado na FIG. 7.4 e assuma que não ocorram cancelamentos

internos de pólos do semiplano da direita na matriz de transferência L(s), isto é, L(s) não

possui modos instáveis escondidos.

FIG. 7.4: Sistema com realimentação negativa

O Teorema de Nyquist Generalizado permite avaliar a estabilidade do sistema em

malha fechada a partir da resposta em frequência L(jω).

Teorema 7.1 (Teorema de Nyquist Generalizado (SKOGESTAD, 2005)). Deixe Pol de-

notar o número de pólos instáveis de malha aberta em L(s) . O sistema em malha fe-

chada com realimentação negativa é estável se, e somente se, o diagrama de Nyquist de

det(I + L(s)) realizar Pol envolvimentos da origem no sentido anti-horário e não passar

pela origem.

O estudo detalhado da análise de estabilidade no domínio da frequência e a prova do

Teorema 7.1 podem ser encontrados em (SKOGESTAD, 2005).

103

7.5 FÓRMULA DE SCHUR

O determinante da matriz A com a seguinte partição:

A =

[A11 A12

A21 A22

],

é dado por

det(A) = det(A11) det(A22 − A21A−111 A12), (7.25)

ou

det(A) = det(A22) det(A11 − A12A−122 A21), (7.26)

assumindo que A11 e/ou A22 são não-singulares.

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CÁLCULO DE LIMITANTE INFERIOR PARA O VALOR SINGULAR ...

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