Cálculo de las Propiedades Termodinámicas Modelos Matemáticos

Clculo de las Propiedades Termodinmicas Modelos Matemticos.

Clculo de las Propiedades Termodinmicas. Con clculos Matemticos - 1 -

Prctica - 1

Introduccin al EES

Clculo de las Propiedades Termodinmicas. Con clculos Matemticos.

Modelo de gas ideal

INTRODUCCIN Cuando en una instalacin trmica se necesita utilizar una determinada sustancia pura, es preciso

conocer su comportamiento termodinmico. Ello supone saber cmo se relacionan las variables P, v, T como

primer paso imprescindible para el diseo de la instalacin (dimensiones, grosor de paredes, aislamiento,

etc.) y para ello hemos de utilizar la ECUACIN TRMICA DE ESTADO: f(P, v, T) = 0.

En general, el modelo de Gas Ideal (Pv = RT) no es vlido salvo en casos concretos (por ejemplo, en

el diseo de una conduccin para aire acondicionado). En otros casos hemos de recurrir a modelos ms

complicados que se ajusten mejor a la realidad, pero ello supone una complejidad de clculo elevada. En la

actualidad la potencia de los ordenadores permite resolver fcilmente el problema de clculo, as como

incorporar simulaciones de situaciones reales tambin complejas. Como ejemplo, podemos citar los

simuladores de vuelo.

Una buena simulacin debe diferir muy poco de la experiencia real. Tiene la ventaja de que en

mucho menos tiempo del que precisaramos en una instalacin real se puede investigar el conjunto de

fenmenos y comportamientos que nos ayudarn a comprender mejor los conceptos tericos, o cmo debemos

actuar frente a una instalacin para obtener informacin, o cmo tratar sta ltima para que las conclusiones

sean evidentes y puedan asumirse decisiones si se fuera el caso.

Est prctica consiste en la simulacin por ordenador del comportamiento de una sustancia mediante

diferentes modelos de comportamiento. Se comparan los valores de v de diversas sustancias correspondientes

a los pares de valores P y T de cada momento. Se supone, que tanto P como T se registran mediante los

correspondientes sensores y cuyo valor conocemos.

Adems se incluir un sistema de clculo de v (P, T) para diferentes modelos con el objeto de

contrastar los valores obtenidos experimentalmente con los calculados por cada modelo en las diferentes

zonas de trabajo a modo que con la comparacin podemos hacer un diagnstico sobre la validez de estos

mtodos segn las circunstancias.

OBJETIVOS 1. Obtener representaciones grficas de las superficies PVT de las sustancias puras, mediante la

representacin de un conjunto de ISOTERMAS en el diagrama P-v un conjunto de ISBARAS en el

diagrama T-v, identificando las zonas correspondientes a los distintos estados fsicos: lquido, vapor, mezcla.

2. Distinguir claramente entre el comportamiento real e ideal de las sustancias puras.



3. Comparar la validez de las distintas ecuaciones o procedimientos, en el clculo de propiedades de

una sustancia, mediante el anlisis de la dispersin de los resultados obtenidos con cada modelo con respecto

a los resultados experimentales.

4. Realizar de manera fluida cambio de unidades para las variables termodinmicas ms usuales.

5. Conocer el modelo de gas ideal, en especial su ecuacin trmica de estado (pv = RT). Saber

cuando se puede aplicar la hiptesis de gas ideal.

FUNDAMENTO TERICO Dejando aparte expresiones necesariamente complejas, que son vlidas para todas las zonas, vamos

a revisar ahora el comportamiento de expresiones que sean aceptables para cada zona: GAS, LQUIDO,

CURVA DE SATURACIN, intentando responder a la pregunta:

Qu expresiones se deben manejar en ingeniera?

Salvo en clculos de una gran precisin, en general se utilizan expresiones sencillas. Por ejemplo:

a) Para el volumen de lquido Subenfriado puede servir la aproximacin VLIQ.SUB. = VLIQ.SAT., es decir,

podemos aproximar al volumen de lquido saturado a la misma temperatura.

b) Para el estudio de los motores de combustin interna alternativos (M.C.I.A.) o instalaciones de aire

acondicionado puede servir el modelo de Gas Ideal.

Para otras condiciones convendr analizar los valores que se obtengan con los diferentes modelos y

su nivel de precisin, para optar en caso por el ms cmodo en cuestiones de clculo si cubre aceptablemente

sus necesidades. Como ya sabemos, los modelos a emplear podemos clasificarlos en:

1) Modelos tericos: Gas Ideal.

2) Modelos Semiempricos: Van der Waals, Redlich-Kwong, Benedict-Webb-Rubin, etc.

3) Modelos empricos: Grficas y tablas generalizadas.

Todos estos son los que manejaremos a lo largo de la prctica.

Debido a que los sistemas de inters en ingeniera incluyen sustancias en fase vapor es importante la

evaluacin de sus propiedades y la relacin entre P-v-T. Si se confina un gas en un cilindro se pueden

alcanzar una serie de estados de equilibrio a temperatura constante, para los cuales P yv (volumen molar)

cambian. Cuando esto se hace para varias temperaturas y se aproxima la presin a cero (vaco) se observa:

RT

vplim

0p

donde el valor de R es independiente de la temperatura elegida y de la sustancia de trabajo y su valor es

8,314 kJ/kmol K 0,08205 atm l/mol K, y se le llama Constante Universal de los Gases.

A la relacin pv/RT se le llama Factor de Compresibilidad, Z. Tambin se puede definir como

pv/RT donde v=Mv y R=MR con M el peso atmico, y la ecuacin anterior se expresa como: lim Z= 1.

Para muchos estados Z es aproximadamente 1, por lo que se cumple aproximadamente que pv/RT=1

pv=RT que se denomina Ecuacin de Estado de Gas Ideal. Adems de esta ecuacin el modelo de gas ideal



incluye que la energa interna especfica depende solamente de la temperatura y la entalpa especfica

tambin ya que h= u+pv= u(T)+RT. Para un cierto nmero de gases comunes, los cambios de energa interna

y entalpas especficas se simplifican con el uso de las tablas de gas ideal, las cuales, como se ver,

dependen solamente de la temperatura.

APNDICE.

INTRODUCCIN AL PROGRAMA EES EES, acrnimo de Engineering Equation Solver, es un potente programa que sirve para resolver ecuaciones.

Su gran ventaja es la sencillez de su manejo, puesto que las ecuaciones se introducen casi como si las

escribiramos a mano y con slo darle a un botn nos las resuelve. Adems, contiene casi todas las

propiedades termodinmicas y termofsicas para la mayora de sustancias de inters industrial. Este

programa ser la herramienta que utilizaremos para la mayora de las prcticas de Termodinmica.

Fig. 1. Programa EES

Para arrancar el programa, haced doble click en el icono del EES y seleccionad el comando New en el

men File. Aparecer la ventana Equations vaca (Fig. 1). Esta ventana es un simple fichero de texto, y se

utiliza para escribir las ecuaciones.

En el men File tambin se encuentran los comandos Save y Save as..., que se utilizan para guardar los

ficheros de EES (ficheros con la extensin .ees). Se recomienda guardar el fichero cuanto antes para no

perder ninguna informacin. A continuacin se muestra un ejemplo sencillo de manejo del programa.

Fig. 2. Ventana Equations



Las ecuaciones de la Fig. 2 se resuelven mediante el comando Solve del men Calculate (o pulsando la

tecla F2). Aparecer un dilogo que muestra el proceso de resolucin, y cuando haya terminado aparecer

el botn Continue. Si se pulsa aparece la ventana Solution con los valores solucin de las variables (fig.2).

Las ecuaciones introducidas son ecuaciones no-lineales y estn acopladas, lo que significa que no se

pueden resolver despejndolas a mano. Sin embargo, el EES las resuelve. Otra ventaja es que el orden en el

cual se introducen las ecuaciones no importa, ni se necesita despejar ninguna variable. Los nombres de las

variables pueden comenzar por cualquier carcter (a excepcin de ( ) * / + - ^ { } ; ), teniendo en cuenta

que no se distingue entre maysculas y minsculas.

Fig. 3. Ventana Solution

En la fig. 4 se muestra la ventana de ecuaciones formateadas a la que se accede por el

comando Formatted Equations, men Windows. Como se puede ver, stas aparecen con un formato

ms elegante, ms fcil de leer. Sin embargo, desde esta ventana no se pueden modificar. Observa

que el texto entre llaves de la fig. 2 es un comentario que no aparece en la ventana Formatted

Equations (fig. 4). Sin embargo, el texto entre comillas s aparece. Es recomendable visualizar esta

ventana en el caso de que exista algn error en las ecuaciones introducidas. Asimismo, la impresin

de esta ventana resulta mucho ms legible y con mejor presentacin.



Fig. 4. Ventana Formatted Equations

FUNCIONES Y UNIDADES En este programa se encuentran implementadas, adems de las funciones matemticas usuales, funciones de

propiedades termodinmicas para muchas sustancias de la industria. Estas funciones tienen una nomenclatura

especial, y requieren la definicin previa del sistema de unidades que se va a emplear. Esto se efecta

accediendo al comando Unit System del men Options (fig. 5). El sistema de unidades especificado en este

dilogo es el que se utilizar en las funciones termodinmicas.

Fig. 5. Dilogo para especificar el sistema de unidades

Una manera fcil de introducir las funciones es con la ayuda del comando Function Information del men

Options (fig. 6). Las propiedades termodinmicas tienen un formato especial. El primer argumento indica la

sustancia (Steam vapor de agua en el ejemplo). El resto son variables independientes para especificar la

propiedad termodinmica, precedidas de un carcter identificador. Estos caracteres pueden ser T, P, H, U, S,

V y X, que corresponden a temperatura, presin, entalpa especfica, entropa, volumen especfico y ttulo,

respectivamente. A la derecha de cada funcin aparece entre corchetes las unidades en las que se devuelve

la funcin (en el ejemplo, la funcin volumen especfico est dada en [m3/kg]).

Fig. 6. Dilogo de informacin de funciones que permite insertar las funciones.



TABLAS PARAMTRICAS Mediante el programa EES se pueden parametrizar variables, es decir, se pueden dar distintos valores a una

de las variables y ver la evolucin de las restantes variables. Esto es de utilidad, por ejemplo, para

representar grficas.

Esto se efecta mediante la construccin de una tabla paramtrica. Todas las herramientas para construir y

operar con tablas se encuentran en el Men Tables. El formato es similar al de una hoja de clculo. La tabla

se genera con el comando New Parametric Table (fig. 7).

Fig. 7. Dilogo para crear una tabla paramtrica

Si se incluyen las variables x, y, z, y 10 filas de clculo (variable No. of Runs) la tabla paramtrica

aparece de la forma siguiente (fig. 8).



Fig. 8. Tabla paramtrica con 10 filas ejecuciones (Runs) y de columnas las variables x, y, z.

Fig. 9. Tabla paramtrica resuelta

Una vez creada, se puede acceder a la tabla paramtrica en el men Windows con el comando

Parametric Table. Como se puede comprobar, se pueden introducir valores numricos en cualquiera de las

celdas, bien por teclado, o bien con el comando Alter Values. Los valores que se introducen en la tabla se

consideran variables independientes y se muestran en negro. As, introducir un valor en la tabla paramtrica

genera el mismo efecto que asignarle un valor constante a la variable correspondiente mediante una

ecuacin en la ventana Equations. Por consiguiente, al resolver la tabla paramtrica, la diferencia entre el

nmero de ecuaciones y de incgnitas siempre ha de ser igual al nmero de variables de la tabla con un

valor dado. Si no es as, habr que eliminar o incluir alguna ecuacin en la ventana Equations. En todo caso,

la informacin sobre el nmero de variables y de incgnitas se puede conocer mediante el comando

Check/Format del men Calculate.

Al resolver la tabla (mediante el comando Solve Table o la tecla F3), los valores calculados se muestran en

distinto color y en cursiva. La tabla que se muestra en la fig. 9 es el resultado de la ejecucin de la tabla, a

la que previamente se han introducido valores a x de 1 a 10 desde el comando Alter Values. Adems,

debido a lo comentado anteriormente, se ha eliminado la ecuacin 2 (fig.2).

GRFICAS Otro aspecto muy til de la aplicacin EES es que permite realizar grficas. Todas las herramientas para

crear y modificar grficas se encuentran en el men Plot. Se puede crear una grfica de los resultados

obtenidos en la tabla paramtrica mediante el comando New Plot Window, en donde se muestra un dilogo

para elegir las variables del eje de abscisas y ordenadas de la grfica (adems de otras opciones, como la

escala, colores de los puntos...).



Fig. 10. Grfica y(x) obtenida con los datos de la tabla paramtrica.



DESARROLLO Y CUESTIONES Ecuaciones de Estado P,v,T)=0

Analticas: descripcin terica de la conducta de las molculas reales (a) Gas Ideal RTPv

Esta ecuacin se puede deducir por la mecnica estadstica bajo las hiptesis de que las molculas del

gas son esferas infinitesimales que no ocupan volumen y experimentan colisiones completamente elsticas.

Tambin se supone que no hay atracciones o repulsiones intermoleculares.

(b) Van der Waals RTbvv

aP

2

Esta ecuacin es una modificacin de la correspondiente a gas ideal. Se introduce un trmino b para

tener en cuenta el tamao finito de las molculas de gas, que ya no se consideran infinitesimales, y en

consecuencia, ocupan un volumen no susceptible de variaciones debidas a cambios en las condiciones PvT. Se

suele denominar volumen molecular. Su valor depende del tipo de molcula.

El trmino a/v2 se incluye para tener en cuenta las fuerzas de atraccin que existen entre molculas y

que tienden a modificar la presin externa efectiva sobre el gas.

Semiempricas: ajustadas para describir con cierta exactitud datos experimentales

(c) Redlich-Kwong bvvT

a

bv

RTP

Relacin entre las constantes de la ecuacin de estado a, b y las constantes crticas

a b

Van der Waals

c

2c

2

P

TR

64

27

c

c

P8

TR

Redlich-Kwong

c

5.2c

2

P

TR42748.0

c

c

P

TR08664.0

Constantes crticas y peso molecular de algunas sustancias

PM (kg/kmol) Tc (K) Pc (bar)

Agua (H2O) 18.02 647.3 220.9

Aire (-) 28.97 133 37.7

Oxgeno (O2) 32.00 154 50.5

Hidrgeno (H2) 2.018 33.2 13.0

Dixido de carbono (CO2) 44.01 304 73.9



SUSTANCIA: AGUA Introduce la ecuacin de estado P,v,T) para cada uno de los modelos termodinmicos siguientes: gas

ideal, van der Waals y Redlich-Kwong. Escribe cada ecuacin con un nombre distinto para el volumen

especfico (v_GI, v_VdW, v_RK). Introduce la funcin termodinmica que da el programa EES en funcin de la

temperatura y la presin v_EES=Volume(Steam, P=P, T=T), obtenida de datos experimentales. Define los

errores (en porcentaje) que comete cada modelo respecto al valor que da la aplicacin (considerado como

real), error_GI, error_VdW, error_RK.

Apellidos y Nombre:

P1 Calcula los volmenes especficos (en m3/kmol) segn los diferentes modelos para

(a) P= 1 bar T=99C

(b) P= 1 bar T=101C

Comenta las diferencias en volmenes especficos y los errores de los distintos modelos. A qu se debe tanta

diferencia? Cul es la temperatura de cambio de fase (temperatura de saturacin) del agua a 1 bar?

Fijando el valor de la temperatura en 300 K, construye una tabla paramtrica en donde vare la presin en

el rango 0.01-1 bar. En este rango incluirs los dos valores de presin en el cambio de fase (presin de

saturacin). Calcula el volumen especfico y el error cometido por los distintos modelos.

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