IE-04cab - DIMENSIONAMIENTO DE CABLES

CALCULO DE CABLES DE LAS INSTALACIONES ELECTRICAS

Alfredo Rifaldi - Norberto I. Sirabonian

1 - FUNCION DE LOS CABLES EN LA INSTALACION

La instalación eléctrica se realiza para unir los puntos fuentes, de generación o disponibilidad de energía con los consumos, cargas, y cuando estos puntos se deben encontrar a la misma tensión se unen con cables.

Los cables, o líneas de transmisión en general, se instalan o construyen con la función de llevar energía de un punto a otro.

Cuando las distancias son pequeñas se utilizan con la misma finalidad los conductos de barras, aislados en aire o hexafluoruro de azufre o simplemente barras al aire.

Como la distribución de energía se hace (normalmente) conectando las cargas en derivación, los cables deben transmitir la correspondiente corriente, que varía y consecuentemente se presenta una variación de tensión que debe ser modesta, además los cables deben soportar las situaciones que se presentan cuando hay fallas en la red.

Por otra parte los cables representan una cierta inversión en la red eléctrica, que es relativamente importante, y en ellos se producen perdidas de energía (efecto Joule) que asumen importancia económica y deben tenerse en cuenta en la selección del cable apropiado.

Las líneas eléctricas, líneas aéreas, cables aislados, barras, conductos de barras, se consideran ramas de la red eléctrica, que unen los nodos, o unen un nodo con una carga (utilizadora).

Las ramas están unidas a los nodos mediante aparatos de maniobra, el análisis de la conexión de las ramas en el nodo no es tema de este cuadernillo.

En la instalación eléctrica hay también cables de comando, cables de comunicaciones y de transmisión de datos. Para estas ultimas funciónes también hay cables de fibra óptica.

2 - CARACTERISTICAS FUNCIONALES DE CABLES Y LINEAS

Línea, cable o conducto de barras deben ser capaces de transportar la corriente normal de funcionamiento, y la que se presenta en situaciones de emergencia, si el cable es relativamente corto deberá soportar desde el punto de vista térmico esta corriente.

Por ejemplo imaginemos una instalación alimentada por dos cables, normalmente cada uno transporta el 50% de la carga, en situación de emergencia, un cable fuera de servicio el otro debe ser capaz de transportar el 100%.

Quizás en emergencia sea admisible sobrecargar el cable, el limite de carga del cable esta dado por la temperatura que alcanza el material conductor, que puede degradar sus características mecánicas, y en los cables con aislacion afecta la duración de esta, reduciendo su vida útil.

La temperatura del cable depende del ambiente, por lo que su capacidad de sobrecarga esta ligada a estas condiciones (temperatura, velocidad del aire, etc.).

Si el cable es relativamente largo, la caída de tensión (diferencia entre las tensiones en sus extremos) asume importancia y puede ser necesario verificar estas condiciones, no olvidemos que la distribución de energía eléctrica se hace a tensión constante.

3 - CORRIENTE TRANSMISIBLE

El efecto Joule que produce en los cables que transmiten cierta corriente. Sin querer reducir la importancia desde el punto de vista de las perdidas, debemos destacar que el calor que se produce en el cable que transporta cierta corriente debe ser disipado al ambiente que lo rodea, de otra manera el conductor, y el aislante que lo rodea pueden alcanzar valores de temperatura intolerables para la buena conservación de sus características.

La temperatura máxima que el conductor puede alcanzar esta condicionada por su estado de tensión mecánica, que puede ser elevado y entonces obliga a no pasar de ciertas temperaturas para que no se produzcan efectos de perdidas de las características mecánicas.

Para los cables aislados, la alta temperatura del conductor esta condicionada por la que soportan los materiales aislantes que lo rodean, las altas temperaturas abrevian la vida útil de los mismos.

A su vez, el material aislante que rodea al conductor se comporta como una barrera térmica, dificultando la disipación del calor al ambiente.

También los detalles de instalación de los cables influyen en la transmisión y disipación del calor, cuando el cable esta contenido en un caño por ejemplo.

Los cables en haz, se calientan unos a otros, dificultando el enfriamiento del haz, es mas, en algunos puntos existe mas dificultad para disipar el calor, por ejemplo los cables internos del haz están en peores condiciones que los de la periferia, y esto debe tenerse en cuenta cuando se proyecta el tendido.

Fijadas las temperaturas máximas admisibles para los materiales aislantes, a fin de que la duración de los componentes sea suficiente, y dadas las características físicas de materiales aislantes y conductor, determinadas las dimensiones del conductor, y el espesor del aislante, es posible realizar el balance térmico que corresponde.

Cuando se llega al estado permanente todo el calor producido debe ser disipado a través de las barreras térmicas, que dependen de la instalación particular, si se fija un modo de instalación que se define como referencia se puede determinar la corriente limite que corresponde a cada sección, y a cada espesor de aislante (y vaina protectora).

El calor producido es:

Q = R * I^2 = (rho / S) * I^2

debe recordarse que la resistividad del conductor varía con la temperatura por lo que resulta:

Q = rho * (1 + (tetamax - tetaref) * alfa) * (1/S) * I^2

Siendo tetamax y tetaref las temperaturas respectivamente máxima del conductor (70 a 100 grados según el aislante), y la de referencia a la que se conoce el valor de la resistividad rho.

Este calor debe transmitirse al ambiente, que se considera a una temperatura representativa del lugar de instalación, a través del material que forma la cubierta aislante del conductor, y que ofrece cierta resistencia térmica.

Q = (tetamax - tetaamb) * R

La resistencia térmica del cilindro hueco que representa la cubierta aislante es:

R = k1 * log(rext / rint) = k2 * esp / (2 PI rmed)

Se puede de esta manera determinar para cada sección conductora la corriente transmisible, en una condición dada de instalación.

Normalmente el fabricante de cables, en su catalogo incluye una tabla donde indica para cada sección la capacidad de transporte del cable tendido en aire o enterrado, en ambos casos en una situación que se considera normal, y que esta definida en el mismo catalogo.

Debe tenerse cuidado cuando se comparan catálogos de distintos fabricantes, o fabricaciones hechas bajo distintas normas, ya que no siempre las condiciones de referencia son iguales, y quien hace la comparación debe tener esto en cuenta para lograr una adecuada homologación.

Las normas en su estado actual fijan valores y formulas a emplear para estos cálculos.

rho * I^2 / S = h * deltateta * 2 PI * r

siendo S = PI * r^2

resulta I = a * S^0.75

y utilizando hipótesis de calculo mas correctas las normas proponen

I = a * S^0.625

Formula en general aceptada y finalmente utilizada en la confección de las tablas.

4 - CONSIDERACION DE CONDICIONES DE TENDIDO

Las condiciones de tendido, y los apartamientos de las condiciones ambientes definidas como normales afectan la capacidad de transporte del cable.

La corrección se hace con factores que también se incluyen normalmente en los catálogos, y corresponden a estudios realizados y frecuentemente incorporados a las normas de instalación de distintos países.

La corriente que un cable puede llevar en una condición de tendido determinada, a la que corresponden factores F1, F2, F3 es:

Iadm = Itabla * F1 * F2 ...

Cuando se conoce la corriente que el cable debe transportar y los factores, se selecciona en la tabla la sección cuya corriente correspondiente cumple la condición

Itabla >= Itransp / (F1 * F2 ... )

La selección de los factores es delicada, estos reducen la capacidad de transporte del cable, o la aumentan en rangos muy importantes (dos veces...) y si mal evaluados afectan la vida útil de la instalación, o significan desperdicio de dinero... siendo en ambos casos el daño desmedido.

Algunos factores pueden ser fácilmente evaluados por simples razonamientos físicos hechos sobre el modelo de disipación de calor del cable, y es bueno realizar este ejercicio.

La variación de temperatura ambiente afecta la capacidad de transporte del cable ya que

I^2 * R = resist * (tetamax - tetaamb)

Relacionando dos ecuaciones que corresponden a un mismo cable con distinta temperatura ambiente se tiene

I2 / I1 = raíz((tetamax - tetaamb2) / (tetamax - tetaamb1))

De esta relación observamos que el factor por distinta temperatura ambiente no es el mismo si la temperatura máxima es distinta.

Si relacionamos cables con distintas corrientes y distinta temperatura del conductor obtenemos una ecuación análoga que es utilizable para determinar la temperatura del aislante.

Si el cable esta enterrado resist depende en parte del aislante, y en parte de la resistividad térmica del suelo, si consideramos un valor único.

I2 / I1 = raíz(resist2 / resist1)

Cables puestos en tierra de resistividad térmica uniforme son muy fáciles de estudiar, se trata de un campo potencial que es estudiado aplicando superposición de los efectos.

Como primera hipótesis simplificativa aceptemos que la resistividad térmica del aislante es igual a la del terreno, el campo de flujo de calor, y las isotermas alrededor del conductor son análogas a las líneas de corriente y equipotenciales.

Como la superficie limite del suelo debe ser tenida en cuenta, y es una equipotencial (isoterma) para resolver la asimetría se aplica el método de las imágenes.

Es entonces posible determinar la temperatura en distintos puntos debidos a un cable dado, haciendo esto para cada uno de los cables y superponiendo los efectos se determina la temperatura de cada cable debido a su estado de carga y al efecto de calentamiento de los otros cables.

El modelo debe ser mejorado pero esencialmente lo indicado es correcto, las dificultades mayores se presentan porque el medio que rodea al cable no siempre es homogéneo, además el aislante, la vaina, el conducto deben ser tenidos en cuenta, etc.

El calentamiento mutuo de cables en haz en aire, es mas difícil de estudiar, ya que la disipación del calor se hace por radiación y convección del aire que rodea a los conductores.

Para determinar como se disipa el calor en los conductores tendidos en aire se utilizan algunos modelos propuestos por la bibliografía, en particular para conductores desnudos tendidos al aire libre se utiliza el método de Shurig y Frick para encontrar la capacidad de transporte.

El método puede usarse también para barras desnudas, considera que el calor se disipa por convección y radiación, y algunas propuestas de corrección permiten tener en cuenta la radiación solar.

Los conductores aislados frecuentemente están tendidos al aire, pero contenidos en tubos, rodeados entonces de aire estancado, cuyo efecto es dificultar la disipación y esto debe tenerse en cuenta.

También se instalan en bandejas, con distinto grado de ventilación, abiertas o cerradas, y con los cables separados o juntos.

A veces los cables están tendidos en el suelo, o engrapados contra la pared, también a esta forma de instalación corresponde un factor de corrección.

El trabajo del proyectista se resume en esquematizar la forma de instalación y determinar los coeficientes de corrección que corresponden.

Las indicaciones contenidas en los catálogos generalmente son una buena guía para aproximar adecuadamente estos coeficientes.

5 - CAIDA DE TENSION

El cable puede ser considerado como un elemento de parámetros concentrados de cierta resistencia y cierta reactancia, y cuando conduce cierta corriente la variación de tensión que por su causa se produce es:

deltav = (r * cosfi + x * senfi) * L * I / U

Siendo deltav en valor relativo, r y x parámetros por unidad de longitud, cosfi factor de potencia, L longitud del cable, U tensión.

Debemos observar que se trata de la diferencia entre los módulos de las tensiones en los extremos del cable, diferencia entre dos mediciones, y no la caída de tensión en el cable.

Destaquemos también que esta formula es una primera aproximación frecuentemente satisfactoria, mas adelante comentaremos la formula mas exacta.

Si el sistema es monofasico, entonces U es la tensión del sistema, pero la caída se produce en ambos conductores, de ida y vuelta, si L es la longitud del cable debe ser multiplicada por 2.

Para una fase de un sistema trifasico, si es legítimo despreciar la caída en el neutro entonces la formula es valida considerando que U es tensión de fase, la tensión simple, si se toma la tensión compuesta debe dividírsela por 1.73.

Cuando los cables son cortos, la caída de tensión es pequeña, y no tiene importancia, a medida que la longitud aumenta, la caída resulta mayor, y cuando esta alcanza algunos por ciento, según la función que el cable desempeñe resulta necesario dimensionarlo para limitar la caída.

La variación de tensión que se presenta en un punto del sistema debe quedar comprendida dentro de cierto rango para que el servicio sea considerado aceptable.

La limitación de la variación de tensión significa que la caída de tensión en los distintos componentes de la red debe ser limitada.

Suponiendo que la tensión en el punto de alimentación es la nominal, y que a partir de dicho punto inician cables, la caída de tensión que en estos se presenta cuando están cargados debe ser limitada, se acepta en general 2 - 3% para iluminación, 4 - 5% para fuerza motriz.

Si la red es de tipo arborescente, los valores indicados deben repartirse entre tronco y rama (o ramas) del árbol.

Cuando el sistema es complejo también deben considerarse los transformadores, y las variaciones de tensión que se presentan en el punto de alimentación del sistema en estudio.

Algunas condiciones de carga, el arranque de motores por ejemplo, son causa de una mayor caída de tensión (por la mayor corriente que se presenta), esta situación se acepta, ya que es transitoria y dura poco, pero no debe ser causa de otros inconvenientes (apagado de lamparas por ejemplo, o excesiva perdida de par del motor).

Cuando el cable se selecciona por la caída de tensión, su condición de carga térmica resulta reducida, la temperatura de trabajo es menor que el limite fijado por las normas.

k = r * cosfi + x * senfi = deltav * U / (L * I)

Fijado deltav, U, I, L, cosfi queda determinado un valor de k que permite seleccionar el cable.

El valor de k que algunos llaman rk puede ser interpretado como una resistencia aparente que permite calcular la variación de tensión como si fuera una caída en corriente continua en un cable de resistencia rk.

Para los cables considerados se calcula con distintos cosfi los valores de k para las distintas secciones, y con esta tabla preparada se resuelven los distintos problemas de dimensionamiento que se presentan.

En algunos casos las tablas de catalogo incluyen este valor para un cosfi generalmente 0.8.

Observando los parámetros r y x de cables se nota que para las secciones menores r es preponderante de tal manera que se puede aceptar que la caída esta definida por solo r * cosfi, a medida que la sección crece r se reduce (r = rho / S) mientras que x prácticamente permanece constante.

La resistividad varia con la temperatura, con la corriente máxima la temperatura se acerca a la máxima admisible, mientras que con corrientes menores la temperatura se acerca a la ambiente.

rho * (1 + (tetamax - tetaref) * alfa)

Otra forma de escribir la caída de tensión (frecuentemente usada en sistemas trifasicos), es en función de la potencia:

deltav = (r + x * tgfi) * L * I * cosfi * 1.73 / U

Como el sistema es trifasico, U es la tensión compuesta y P es la potencia activa se tiene

deltav = (r + x * tgfi) * L * P / U^2 = (rho / S + x * tgfi) *...

Esta expresión pone en evidencia para una determinada necesidad L y P, como influyen la tensión U y la sección S, no debiendo olvidar que la sección debe superar la mínima correspondiente a condición térmica.

Cuando los cables son relativamente largos, se pueden dimensionar en base a la caída de tensión, y luego se determina el coeficiente de tendido limite como relación entre la corriente que el cable efectivamente lleva, y la que podría llevar desde el punto de vista térmico si le correspondiera un coeficiente de tendido 1.

Mientras el coeficiente de tendido que corresponde al cable es superior al coeficiente de tendido limite el dimensionamiento por caída de tensión es el que corresponde.

Es útil a veces determinar la longitud limite que pueden tener los cables que transportan su corriente térmica, por debajo de esta longitud la caída de tensión es aceptable, por arriba se debe reducir la corriente para no superar la caída limite.

En el pasado se construían ábacos que mostraban esta variación relacionando las variables de interés.

La variación de tensión determinada con las formulas indicadas es una primera aproximación, la formula mas exacta que se utiliza surge de determinar la diferencia de los módulos de las tensiones en los extremos del cable:

deltau = i*deltar + (1/2)*(i*deltam)^2 + (1/8)*(i*deltam)^4 + ...

siendo: deltar = r1 * cosfi + x1 * senfi

deltam = - r1 * senfi + x1 * cosfi

r1 = r * L / U; x1 = x * L / U

Al calcular casos reales se observa que la corrección debida a deltam es despreciable en general, y asume alguna importancia en la medida que x sea elevado, y cosfi resulte reducido, combinación que se presenta durante el arranque directo de grandes motores.

La inductancia (en miliH/km) se puede determinar con la formula: ind = 0.1997755 * logn(dmg / rmg)

La reactancia (en Ohm / km) es: x = ind * omega / 1000 Siendo omega la pulsación (y PI = 3.141592654): omega = 2 * PI * fhz y la frecuencia en Hz

La distancia entre conductores dmg = s para disposición en trébol, y dmg = 1.26 * s para disposición plana, otra formula propone ind = 0.05 + 0.2 * logn(dmg / r) siendo r el radio del conductor.

6 - PERDIDAS

En un sistema trifasico las perdidas en un cable que transporta dada corriente son:

perd = 3 * r * I^2

Expresándolas en valor relativo a la potencia transportada se tiene

p1 = 3 * r * I^2 / (1.73 * U * I * cosfi)

La relación entre perdida y caída de tensión relativa es fácil de determinar, y es útil para evaluar las perdidas a partir de las caídas de tensión.

7 - CALCULO AL CORTOCIRCUITO

Supongamos un cable relativamente corto alimentado desde un nodo en el cual la corriente de cortocircuito alcanza determinado valor, un dispositivo de protección limita la duración del cortocircuito.

El cortocircuito se produce en el extremo del cable, circula la corriente de cortocircuito por el tiempo de actuación de la protección, el calor de efecto Joule en el cable no puede disiparse, el fenómeno se considera adiabatico.

La elevación de temperatura del conductor, y del aislante que se encuentra en contacto con el puede determinarse

I^2 * deltat * rho / S = S * c * (tetaf - tetai)

Recuérdese que rho y c varían con la temperatura, tetaf temperatura máxima admisible para el aislante depende del tipo de aislante del cable, y esta comprendido entre 150 grados C para el PVC y 200 - 250 para otros materiales (elastomeros).

La duración deltat, y la temperatura inicial tetai completan los datos para el calculo.

Si se tienen en cuenta las variaciones de resistividad la formula resulta:

I^2 * deltat = (S^2 * c / (alfa * rho0)) * ln((1 + alfa * teta)/(1 + alfa * teta0))

Siendo alfa el coeficiente de variación de la resistencia.

La ecuación puede ser escrita en otra forma, resultando la densidad de corriente independiente de la sección, solo depende de temperatura inicial, final, y material conductor.

(I / S)^2 = c * (tetaf - tetai) / (deltat * rho)

Escribiendo en otra forma esta ecuación obtenemos la que frecuentemente figura en los catálogos, siendo el factor k una constante característica del tipo de cable.

(I / S) * raíz(deltat) = k

Suponiendo que el cable es largo, se puede pensar que el cortocircuito se produce a distinta distancia de su extremo inicial, el valor de la corriente de falla es:

I = E / Z

siendo Z^2 = (r*L)^2 + (Xb + x*L)^2

Donde Xb es la reactancia que corresponde a la falla en las barras a las cuales esta conectado el cable.

A medida que la corriente de cortocircuito se incrementa (por disminución de la longitud), se reduce el tiempo durante el cual permanece la falla aumenta por lo que la solicitación térmica I^2 * deltat del cable varia en una forma que no es inmediata de prever (depende de las características de los aparatos de interrupción y de protección).

Este razonamiento nos muestra que no siempre la peor condición desde el punto de vista de la solicitación que produce el cortocircuito es causada por la máxima corriente, a veces la mínima permanece tiempos demasiado largos y puede ser fatal.

Es necesario entonces determinar para los distintos puntos de falla las corrientes de cortocircuito trifasica, bifásica, monofasica a tierra, y a veces también la falla fase neutro y determinar la solicitación que corresponde a caída una de ellas en base a las protecciones efectivamente instaladas.

Se puede afirmar que en general un cable demasiado largo no puede ser protegido eficientemente de un cortocircuito en el extremo final.

Una pregunta lógica es: pueden ocurrir cortocircuitos en un punto cualquiera del cable?, tiene sentido proteger contra estas fallas?, la respuesta depende de la instalación.

Si consideramos que el cable esta instalado de manera tal que no se lo puede dañar, por ejemplo esta protegido dentro de un tubo metálico, es aceptable pensar que no puede ocurrir una falla a lo largo de su recorrido, se puede pensar en protegerlo contra cortocircuito considerando la limitación de la corriente que el cable produce.

La objeción de que la falla podría ocurrir en los primeros metros de cable, cuando todavía no se ha enhebrado en el conducto es valida, pero este extremo con falla estará dañado, si no esta bien protegido el daño será simplemente mayor, es fundamental que esto no tenga otras consecuencias, por ejemplo generar otras fallas, o producir daño a elementos próximos (otros cables), y ser origen de incendio.

Para un cable enterrado, o en alguna forma expuesto a daños es necesario que la protección de cortocircuito se extienda a todo su desarrollo.

Si las protecciones actúan en un tiempo deltat el dimensionamiento de cables al cortocircuito puede ser entonces realizado definiendo una sección mínima, para los cables largos esta sección puede reducirse considerando la limitación de la corriente de falla, y verificando que a pesar de la reducción de la corriente las protecciones aun actúen.

También debemos citar que en ciertos casos es preferible el daño del cable a desconectarlo para que no se dañe, esto ocurre en los electroimanes, los circuitos de excitación de los motores, secundarios de transformadores de corriente etc.

8 - VIDA UTIL DEL CABLE

La duración del cable depende de como el aislante se conserve, este esta sometido a cierta temperatura que acelera procesos de envejecimiento que se reflejan en perdida de sus cualidades mecánicas.

El estudio de los aislantes ha conducido a definir que respetando cierta temperatura máxima en operación se espera alcanzar cierta vida útil, si la temperatura es mayor la vida útil se abrevia, cada sobretemperatura que se presenta quita al cable cierta vida útil.

Se considera aceptable que sobrecargas y cortocircuitos hagan perder al cable el 10% de su vida útil, este criterio define la temperatura máxima que puede presentarse en estas condiciones.

Las hipótesis simplificativas que se aceptan son muy drásticas, por ejemplo se estima que la temperatura máxima que se alcanza persiste durante toda la duración de la falla, esto no es cierto, la temperatura crece gradualmente a lo largo de la falla, pero una vez que ha actuado la protección también decrece gradualmente.

Cuando desea examinarse como un ciclo de carga afecta la vida del cable se debe conocer que temperatura se alcanza y durante cuanto tiempo, supóngase teta1, t1 por otra parte la curva de vida informa la duración D1 que corresponde a la temperatura teta1.

El desgaste de vida es la sumatoria de ti / Di para todos los intervalos que se estudien, estos razonamientos pueden ser útiles cuando la vida de la instalación sea limitada, o por alguna razón los cables no estén bien protegidos.

9 - PROTECCION DEL CABLE

La protección de los cables de la red eléctrica es evidentemente muy importante, teniendo en cuenta que gran parte de la inversión se encuentra en los cables, que su reposición no siempre es fácil, que su vida es afectada por condiciones normales, sobrecargas y fallas.

Definimos una corriente de utilización del cable, IB, corriente que es necesario que el cable transmita para cumplir su misión.

Definimos IZ corriente transportable (permanentemente) por el cable que lógicamente elegimos mayor que la anterior, teniendo en cuenta los factores de tendido.

La corriente nominal del dispositivo de protección la llamamos IN, es la que el dispositivo puede llevar permanentemente sin dificultad, en rigor se desea que cuando la corriente pasa de este valor el dispositivo intervenga, pero esto no es tan fácil.

Las normas de los dispositivos de protección han definido Inf, corriente convencional de no actuación (en un tiempo del orden de las horas), If corriente convencional de actuación (en el mismo tiempo), lógicamente la corriente If es mayor de la Inf, y esta mayor que IN.

Para que la protección sea correcta el valor de IN debe estar comprendido entre IB e IZ, además If debe ser muy próximo a IZ, se puede aceptar el compromiso de que If sea mayor que IZ, habiéndose fijado un valor convencional en las normas 1.45 IZ como máximo apartamiento admisible de If respecto de IZ.

Cuando se analizan las características de los interruptores y de los fusibles se observa que los primeros permiten una protección mas ajustada que los segundos, dicho en otras palabras los cables protegidos por fusibles deben ser ligeramente sobredimensionados desde el punto de vista térmico a fin de estar correctamente protegidos.

10 - SOBRECARGAS Y TRANSITORIOS

Al analizar el estado permanente hemos considerado que todo el calor de efecto Joule es disipado por el cable, al analizar el cortocircuito hemos considerado el fenómeno adiabatico, todo el calor es acumulado en el cable.

Veamos ahora mejor la física de estos fenómenos, durante estados transitorios parte del calor se acumula y parte se disipa, y la temperatura sigue con cierto retardo las variaciones de corriente.

(rho / (PI * r^2)) * I^2 = h * 2 PI * r * (teta - tetaamb) + PI * r^2 * c * dteta / dt

se trata de una ecuación diferencial de la forma:

i = g * v + c * dv / dt

donde i representa el efecto Joule, g la disipación de calor al ambiente, y c la acumulación de calor en el conductor, si se aplica un escalón de calor I.

v = A + B * exp(-t/TAU)

para t infinito v = A = I / g

para t = 0 resulta v = A + B = 0

y siendo TAU = c / g la constante de tiempo

TAU = r * c / (2 * h)

Si se conoce como varia la corriente I, se puede determinar como varia I^2 y con los parámetros físicos determinar g y c y resolver la ecuación diferencial obteniendo la temperatura teta.

Subdividiendo en intervalos el tiempo puede finalmente determinarse la perdida de vida que corresponde a un ciclo determinado de sobrecarga.

Cuando el ciclo de sobrecargas se repite la temperatura media que se presenta esta relacionada al valor eficaz de la corriente, y esta es representativa cuando las variaciones son muy breves respecto de la constante de tiempo.

Cuando en cambio las variaciones son lentas alrededor de un valor de corriente se observan análogas variaciones de temperatura, la temperatura media corresponde al valor eficaz de la corriente variable.

11 - DIMENSIONAMIENTO DE CABLES Y LINEAS

Hemos visto que el cable debe ser capaz de transportar cierta corriente, presentando cierta caída de tensión.

La corriente esta ligada a la temperatura del cable y a su vida útil, la caída de tensión esta ligada al buen desempeño de las cargas, a su buen funcionamiento.

Según sea el cable corto o largo su dimensionamiento iniciara partiendo de la corriente, o se hará por la caída de tensión.

El calor producido en el cable por efecto Joule, es en parte acumulado en las masas del conductor y aislacion, y es en parte transmitido al ambiente a través de fenómenos de conducción, convección, radiación; cuando se alcanza el estado de régimen ya no se acumula calor, todo el calor producido es cedido al ambiente.

Las normas han establecido temperaturas limites en régimen permanente para los distintos materiales aislantes, también establecen las secciones normalizadas de los cables, y sus formaciones y secciones reales.

Las características físicas de los materiales de grado de pureza adecuado para los procesos de producción están determinadas, por lo que es posible calcular, con cierto diseño de cable y ciertos materiales la corriente que hace se alcance el limite de temperatura.

En general los fabricantes en sus catálogos dan tablas en las que se indican para las distintas secciones, y formaciones, las corrientes admisibles, que en una condición normal de tendido, y de condiciones ambientes hacen se alcancen los limites de temperatura.

En dichas tablas para cada cable se indica la corriente admisible en aire (cable tendido en forma que sea enfriado eficientemente por el aire ambiente, lejos de otras fuentes de calor, otros cables, temperatura ambiente de 40 grados centígrados), o en tierra (de cierta característica térmica, a cierta profundidad y con cierta temperatura del terreno 20 o 25 grados centígrados).

Cuando las condiciones de tendido del cable no son las indicadas la corriente admisible debe ser corregida con adecuados coeficientes que se llaman factores de tendido.

La corriente que el cable puede transportar en condiciones ideales, definidas en las tablas que indican la capacidad de transporte se modifican por las condiciones de tendido afectándolas del coeficiente de tendido, esta relación corresponde al significado físico del coeficiente de tendido.

El factor de tendido puede utilizarse para convertir la corriente real que circula por el cable en las condiciones de tendido reales, en una corriente equivalente que corresponde a las condiciones de tendido de la tabla.

Con la corriente equivalente se busca en la tabla el cable capaz de soportarla, y se adopta la sección que corresponde; el cable en las condiciones de tendido fijadas es capaz de transportar la corriente:

El trabajo se hace observando como se va a tender el cable, encontrando los coeficientes de tendido para cada tramo, a veces los coeficientes surgen del producto de varios coeficientes, por temperatura ambiente, por acompañamiento, por forma de instalación, etc. fácilmente se alcanzan factores de 0.8 o 0.5 lo cual significa que en las primeras estimaciones de un proyecto es necesario imaginar como estarán tendidos los cables a fin de lograr una evaluación preliminar aceptable.

Esta forma de adoptar la sección del cable es útil cuando los cables son relativamente cortos, y la caída de tensión resulta despreciable.

De todos modos conviene controlar la caída de tensión, para un cable de dada sección, en las tablas figura la resistencia y reactancia (en los unipolares para una dada forma de tendido)

A veces es necesario corregir la reactancia que figura en las tablas para tener en cuenta la reducción por menor distancia entre conductores, con los valores de r y x y conocida la distancia L entre extremos del cable se determina la caída de tensión para dado estado de carga.

Generalmente se trata de no superar en los cables cierta caída de tensión, 3% o 5%, que a veces se debe repartir entre mas tramos de cables, y entonces en cada tramo se admite solo 1% o 2%.

Es posible determinar para cada sección de cable la longitud limite, con la cual transportando el cable su corriente limite térmica presenta la caída de tensión limite.

A partir de la longitud limite el producto longitud corriente debe mantenerse constante para una dada sección, es decir que si el cable debe tener longitud doble solo podrá transportar corriente mitad para mantener la caída de tensión.

Cuando en el cable se produce un cortocircuito, la corriente se incrementa en modo importante, en este caso el fenómeno térmico se considera adiabatico, todo el calor Joule producido se acumula en el conductor incrementando su temperatura, se aceptan limites mayores que para el estado permanente teniendo en cuenta que estas situaciones se dan pocas veces en la vida útil del cable.

El criterio es perder un 10% de la vida útil del cable por fallas que se pueden presentar durante la vida del mismo.

Apéndice 1 - Características de cables aislados

Conductores

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Aislantes

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Capacidad de carga

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Coeficientes de agrupamiento

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Cables preensamblados

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Calculos de lineas

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Lineas aereas protegidas

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Lineas de comunicacion

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Apéndice 2 - Características de cables de alta tensión

Cables aislados

El cable aislado esta formado por un conductor o mas y diversos otros materiales que lo rodean cumpliendo distintas funciones.

Frecuentemente el conductor es un conjunto de alambres cableados, en varias capas, solo las secciones menores (del orden de 10 mm2) pueden ser de un solo alambre, por encima de los 1000 mm2 el cable se forma con sectores, con el objeto de limitar el efecto pelicular.

El conductor puede ser de cobre o aluminio, y sobre el se realiza una capa semiconductora para hacerlo perfectamente cilíndrico (eso es necesario para tensiones elevadas, para uniformar el campo eléctrico en el aislante)

La siguiente capa es el aislante, que debe soportar la tensión de uso, las sobretensiones que se presentan en el funcionamiento, y otra capa semiconductora externa, sobre ella una pantalla metálica (que evita el campo eléctrico en el exterior)

En baja tensión las capas semiconductoras no se hacen, tampoco se pone la pantalla conductora, en las tensiones menores del rango de media tensión a veces la pantalla metálica se pone sobre el cable formado tripolar.

Otras funciones de la pantalla son, o pueden ser: conducir las corrientes capacitivas, las corrientes homopolares, realizar protección mecánica, estanqueidad (para la humedad).

La pantalla puede ser de alambres, pletinas, tubo corrugado, tubo liso, mezclas, el material cobre, aluminio, plomo, pudiendo hacerse soldaduras para cerrar el tubo.

Para uso sumergido la pantalla debe ser totalmente estanca, se la hace de plomo liso, o de aluminio corrugado.

La protección mecánica fuerte se realiza con una armadura, de flejes de acero amagnético, cobre duro, si los cables son unipolares, o acero simplemente en tripolares.

El cable se termina con una cubierta exterior de termoplástico que debe proteger de la corrosión el interior.

Actualmente la técnica de realizar aislamientos que perdura es por extrusion (PVC PoliVinilCloruro, PE PoliEtileno, XLPE PoliEtileno reticulado, EPR Goma Etilen Propilenica) o encintado (Papel-aceite, PPLP Poly Propilene Laminated Paper), en las instalaciones viejas se encuentran cables realizados con otras técnicas.

Dimensionamiento del cable

Los fabricantes de cables han adoptado normas e unificaciones de sus productos, el dimensionamiento en rigor consiste en seleccionar el cable mas adecuado encontrándolo dentro de las tablas de los productos disponibles.

Al circular corriente por el conductor se producen perdidas por efecto Joule(calor), en el material aislante sometido a tensión se producen perdidas dieléctricas, en la pantalla y armadura (según este puesta a tierra) también se pueden presentar perdidas Joule.

Todo el calor producido debe ser disipado al ambiente, para ello debe atravesar las distintas capas de materiales (aislantes y conductores), alcanzándose así el equilibrio térmico.

Deltateta = Pv * Ti

Deltateta incremento de temperatura del conductor sobre el ambiente (grados C); Pv perdidas (W/m); Ti resistencias térmicas (grado C m/W)

La formula es simplificada, hay varias fuentes de calor, hay varias capas que el calor debe atravesar, además hay limites de temperatura que respetar (que hacen a la vida del aislante), influye el modo de tendido y finalmente el ambiente.

El dimensionamiento del cable es básicamente un dimensionamiento térmico.

Pero además el cable debe soportar los efectos térmicos del cortocircuito (breve tiempo).

El dimensionamiento dieléctrico es cuidado por el fabricante, pero quien elige el cable debe tener en cuenta las exigencias dieléctricas que presentara la instalación en marcha.

Durante el cortocircuito se presentan también efectos electrodinamicos que deben ser considerados en el tendido.

El régimen de carga del cable puede ser variable.

También se pueden presentar sobrecargas, aunque en general los transformadores son mas sensibles a estos efectos, por lo que para los cables se olvidan.

Perdidas Joule

En el sistema trifasico se presentan las perdidas indicadas

Perd = 3 * I^2 * Rca [W/km]

Donde I es la corriente de fase [A]; Rca es la resistencia en corriente alterna [ohm/km]

La resistencia en corriente continua es:

Rcc = (rho / A) * (1 + Alfa * (teta - 20))

Siendo rho la resistividad, indicada en la tabla, A la sección [mm2]

Materiales Resistividad ohm*mm2/m

Alfa a 20 grados C

Conductores

Cobre 17.241e-3 3.93e-3

Aluminio 28.264e-3 4.03e-3

Pantallas

Plomo y aleaciones 214e-3 4.0e-3

Acero 138e-3 4.5e-3

Bronce 35e-3 3.0e-3

Acero inoxidable 700e-3 0

Aluminio 28.4e-3 4.03e-3

Cobre 17.3e-3 3.93e-3

La resistencia en corriente alterna se determina

Rca = Rcc * (1 + ys + yp)

Con los factores ys que tiene en cuenta el efecto skin (pelicular); yp efecto de proximidad

.ys = xs^4 / (192 + 0.8 * xs^4)

.xs^2 = 8 * PI * f * Ks * A 1E-7 / (rho * (1 + Alfa * (teta - 20)))

La figura 1 muestra el efecto skin (efecto pelicular), la corriente continua (frecuencia nula) se distribuye uniformemente en el conductor, mientras que con una dada frecuencia la corriente alterna se hace mas densa en la superficie y menos en el centro del conductor. Este efecto se nota a partir de la sección de 185 mm2, para 1000 mm2 asume una importancia tal que conviene segmentar el conductor.

.yp = (xp^4 / (192 + 0.8 * xp^4)) * (dc / s)^2 *

(0.312 * (dc / s)^2 + 1.18 / (0.27 + xp^4 / (192 + 0.8 * xp^4))

.xp^2 = 8 * PI * f * Kp * A 1E-7 / (rho * (1 + Alfa * (teta - 20)))

La figura 2 muestra el efecto de proximidad (entre conductores) la densidad de corriente es variable, según sea la distancia entre hilos de corriente, y el sentido relativo de las corrientes si las corrientes son opuestas las densidades se reducen a medida que nos alejamos del eje del grupo de conductores, si en cambio son de igual signo aumentan(como para el efecto pelicular)

Perdidas dieléctricas

Estas se presentan en el aislamiento,

Wp = omega * C * U0^2 * tg(delta) = omega * C * U^2 * tg(delta) / 3 [W/km]

Siendo U0 tensión simple, y U tensión compuesta, C la capacidad del conductor, si el esquema aplicable es de un capacitor cilíndrico se tiene:

C = Epsilon * 1E-6 / (18 * ln(Da / dc)) [F/km]

Donde dc es el diámetro medido sobre el semiconductor interno, y Da medido sobre la aislacion

Tipo de aislamiento Epsilon Tg delta

Papel impregnado con aceite fluido 3.6 - 3.3 0.004

Polietileno PE 2.3 0.001

Polietileno reticulado XLPE 2.5 - 2.3 0.001 - 0.0002

Caucho EPR 3.5 0.005

Perdidas Joule en pantallas y armaduras

En estos elementos aparecen perdidas debidas a corrientes inducidas, corrientes de Foulcault, y por histeresis.

En los cables unipolares se evitan los materiales magnéticos, lógicamente no se deben instalar cables unipolares dentro de tubos de acero, salvo las tres fases se encuentren en el mismo tubo.

La figura 3 muestra las corrientes de Foulcault que circulan en los conductores por efecto de los campos magnéticos, y que incrementan las perdidas0.

La figura 4 muestra como se presentan las perdidas por histeresis.

Pantallas de cables

Todo conductor por el que circula corriente alterna esta rodeado de un campo magnético, un conductor metálico en este campo sufrirá una tensión inducida, y si este forma un circuito cerrado circulara una corriente limitada por la impedancia del circuito.

Las pantallas de los cables se encuentran en esta situación.

La figura 8 muestra cables con puesta a tierra de pantalla en un punto, aparece una tensión inducida,

La figura 12 muestra los conductores dispuestos en tresbolillo, la tensión inducida en los conductores es:

Ui = j * omega * Ic * ln(2 * S / dm) * 1e-4 [V/km]

La figura 11 muestra los conductores dispuestos en napa, las tensiones inducidas son distintas en las fases externas y la central

UiR = j * omega * Ic * 2 * (- 0.5 * ln(S / dm) + j * 0.866 * ln(4 * S / dm)) * 1e-4 [V/km]

UiS = j * omega * Ic * 2 * ln(2 * S / dm) * 1e-4

UiT = j * omega * Ic * 2 * (- 0.5 * ln(S / dm) - j * 0.866 * ln(4 * S / dm)) * 1e-4

| UiR | = | UiT | = omega * Ic * raiz(( 0.5 * ln(S / dm)^2 + (0.866 * ln(4 * S / dm)^2) * 1e-4

| UiS | = omega * Ic * 2 * ln(2 * S / dm) * 1e-4

La figura 9 muestra cables con puesta a tierra de pantalla en dos puntos, el circuito se cierra y las pantallas son recorridas por corriente.

Las tensiones inducidas han sido arriba calculadas, la corriente es limitada por la impedancia de la pantalla (o la resistencia, ya que en general se puede despreciar la reactancia) si los conductores están en disposición trébol

Ip = Ui / Zp

Perd = 3 * Ip^2 * Zp = 3 * Ui^2 / Zp

Cuando los conductores están en disposición napa

Perd = (2 * UiR^2 + UiS^2) / Zp

Es de interés reducir las perdidas en las pantallas, y se presentan distintas posibilidades, algunas a primera vista parecen convenientes pero es necesario un buen examen:

Aumentando la resistencia de las pantallas, se reduce la corriente que causa las perdidas, pero en los sistemas aislados las pantallas deben aportar las corrientes capacitivas, y en los sistemas a tierra las corrientes de cortocircuito deben ser soportadas por las pantallas, esta solución no es buena.

Otra posibilidad es reducir la tensión inducida acercando los cables, hasta la disposición trébol, pero esta es menos eficiente para disipar el calor, que la disposición en napa, solo en algunos casos esta solución es posible.

Con una impedancia adicional de tierra es posible limitar la corriente y reducir las perdidas, la figura 10 muestra la puesta a tierra en un extremo con limitación de corriente, el limite es impedancia infinita, se pone un descargador que no debe descargar a frecuencia industrial, particularmente cuando un cortocircuito induce la máxima tensión, ya que no soportaría la corriente subsiguiente excesiva, en cambio debe descargar cuando por acoplamiento capacitivo se induce una sobretension (atmosférica) en la pantalla.

Para los conductores en napa, la solución de reducir perdidas utilizada es el cross bonding mostrado en la figura 13, se trata de limitar la tensión inducida en los tramos, sumándole una tensión inducida en otro tramo (desfasada), los conductores están transpuestos, cambian cíclicamente su posición en el tendido con lo que se simetrizan sus parámetros (inductancia).

Otra posibilidad cuando no es necesario simetrizar, al hacer el cross bonding como indica la figura 13a los cables mantienen su posición relativa, las pantallas se cruzan, hay tensión inducida entre pantallas y tierra, pero no aparece corriente, la tensión máxima aparece en las cajas de conexiones, el método permite que el cable tenga la misma capacidad de transporte que si las pantallas estuvieran a tierra en solo un punto.

Observemos por ultimo nuevamente los casos de puesta a tierra de pantalla en dos puntos en los extremos del cable figura 9a, recordemos que implica corrientes y perdidas importantes en las pantallas, y estas reducen la capacidad de transporte del cable estas perdidas son menores cuando la disposición de los cables es en trébol, respecto de la disposición en napa, pero la capacidad de transporte en napa es mayor por la mejor condición de disipación del calor.

Puesta a tierra de pantalla en un punto figura 8a que implica tensiones presentes en el extremo de las pantallas que no esta a tierra, y que alcanza elevados valores cuando hay cortocircuitos, ya que la tensión inducida es proporcional a la corriente y a la longitud, esta solución es utilizable solo con longitudes de ruta modestas.

Calculo económico

La solución mas barata no es la de menor costo, esta es una regla que frecuentemente encuentra ejemplos, en el caso de los cables se observa que al costo de instalación se suma el costo de las perdidas anuales que son significativas.

P = K * W * L * n * C^2 * (1 + i)^v [$]

D = (3 * (365 - 7) + (366 - 7)) / 4

Días del año (promedio con bisiestos) considerando 7 días fuera de servicio por mantenimiento

K = D * 24 * costoKWh * 1E-3

Resulta K costo horario de perdidas

Los restantes valores W perdidas [W/m]; L longitud [m]; n circuitos en paralelo; C factor de carga; i factor de actualización del dinero i = (T - I) / (1 + I) siendo T la tasa de interés, I la tasa de inflación, v años de vida de la instalación.

Vale la pena destacar valores relativos con un ejemplo sencillo, planteado sobre tres circuitos de 2000 m, 220 kV, 150 MVA, factor de carga 50%, tasa 6.5%, inflación 2.5 % lo que da i = 0.039, v = 30, con lo que (1 + i)^v = 3.153

Se comparan cuatro posibles opciones

Notándose que mientras que los costos de los cables están comprendidos en un rango del 12 %, al comparar los costos totales el rango se reduce al 6 %, por otra parte la solución de 100 % es otra. El ejemplo ha sido extraído de una publicación de Alcatel, y muestra la importancia que tiene estudiar esto en cada caso.

Solución tipo A B C D

Sección conductor mm2 300 Cu 400 Cu 400 Al 500 Cu

Potencia máxima transportable MVA 173 207 163 234

Perdidas para 150 MVA [W/m] 102.6 81.6 159.5 64.2

Costo por metro % 26.575 27.920 25.980 29.140

Costo cable % 102.3 107.5 100 112.2

Costo perdidas % 8.92 7.09 12.13 5.58

Costo total % 111.2 114.6 112.1 117.7

Costo total referido a A % 100 103.0 100.8 105.9

Resistencias térmicas

Aislamiento entre conductor y pantalla

T1 = (rhot / (2 * PI)) * lg(D / d)

Material Resitividad Térmica Grado.C*cm/W

Papel impregnado 600

Aislamiento PE o XLPE 350

Caucho EPR 375

Para el aislamiento entre pantalla y exterior corresponde igual formula.

Si el cable esta entubado, la capa de aire entre tubo y cable ofrece cierta resistencia, luego la resistencia del tubo, la resistencia del eventual bloque de hormigón, y la resistencia del terreno circundante.

Si el cable esta tendido en aire, la resistencia a la propagación del calor se determina con otras formulas. En la tabla se muestra como se reparte la resistencia entre las distintas capas que dificultan la propagación del calor.

Modo de instalación Directamente Enterrado

Entubado Aire libre

Aislamiento T1 15.75 13 30

Cubiertas T2 + T3 3.8 3 7.5

Ambiente T4 80.5 28 aire 63.5

56 suelo

Corriente máxima y calentamiento

Los parámetros descriptos se relacionan en la formula que permite determinar la corriente:

I = raiz(aux1 /` aux2)

.aux1 = deltateta - WD * (0.5 * T1 + n * (T2 + T3 + T4))

.aux2 = Rca * (T1 + n * (1 + lamda1) * T2 + n * (1 + lamda1 + lamda2) * (T3 + T4))

El problema puede plantearse para determinar la temperatura del conductor:

.deltateta = (Rca * I^2 + 0.5 WD) * T1 + Rca * I^2 * (1 + lamda1) + WD) * n * T2 +

Rca * I^2 * (1 + lamda1 + lamda2) + WD) * n * (T3 + T4))

Se debe respetar el limite de temperatura del conductor que afecta la vida del aislante, y además es necesario respetar limites de temperatura en otros puntos.

Material Temperatura limite grados.C

Aislamiento PE 60

Aislamiento XLPE o EPR 90

Aislamiento Aceite o gas 80

En la vaina de plomo 65

En el terreno 50

Para el terreno se aplica una formula similar, los valores de resistividad dependen del tipo de terreno, y se detallan en la tabla siguiente.

Tipo de material Densidad [g/cm3]

Contenido de agua [%]

Rho húmedo [grado.C*m/W]

Rho seco [grado.C*m/W]

Arena 1.7

1.8

10

5

0.45

0.56

1.00

0.96

Arena arcillosa 1.94

1.76

1.83

8.5

7

8

0.31

0.50

0.52

0.72

1.05

1.04

Tierra arenisca 1.93

1.82

7

11

0.47

0.45

0.91

0.88

Relleno 1.90

1.77

2.02

4

9

7

0.52

0.60

0.50

0.92

1.33

0.87

Grava 2.6 - 5.7

Un contenido de agua de 5 a10% reduce la resistividad a casi la mitad,

En ciertos casos otros materiales rodean al cable, la siguiente tabla permite encontrar valores para evaluar la resistividad.

Material circundando el cable

Resistividad térmica en estado seco [grado C m/W]

Aire sin renovación 40

Agua embalsada 1.8

Canaleta 0.22 - 0.30

Hormigón H-100 0.70 - 0.85

Hormigón H-150 0.50 - 0.65

Hormigón H-200 0.40 - 0.62

Hormigón H-250 0.40 - 0.60

Granito 0.2

Sílice 0.11 - 0.22

Escorias secas 5.4

Verificación de cortocircuito

La duración del cortocircuito es siempre limitada, es admisible considerar que el fenómeno es adiabatico, y se establecen limites máximos de temperatura que se deben respetar.

Tipo de aislamiento T inicial T final Elevación

Aceite fluido 80 150 70

Polietileno PE 60 150 90

XLPE o EPR 90 250 160

La corriente de cortocircuito que es soportada por un cable es:

I = i * S / raíz(t) = Eps * K * (S / raíz(t)) * raíz(ln((beta +tetaf) / (beta = tetai))

Siendo i densidad de corriente durante 1 segundo [A/mm2]; S sección de conductor o pantalla [mm2]; t duración del cortocircuito [seg]; Eps = 1 para conductor y Eps = 1.2 para pantallas metálicas; tetaf temperatura final; tetai inicial

metal K Beta

Al 148 228

Cu 226 234

Pb 41 230

Fe 40 212

Aislamiento

La figura 7 muestra como varia el campo eléctrico dentro del aislante. El campo eléctrico en un conductor cilíndrico es radial, y se reduce desde el conductor a medida que nos alejamos de el con una función de tipo inverso. El campo eléctrico máximo se presenta en la superficie del conductor, y este se recubre de un material (semi conductor, tratando de hacerlo un cilindro perfecto) para lograr que el campo sea uniforme en la superficie del mismo

El dimensionamiento de la aislacion se hace con distintos criterios, respetar un valor de máximo campo eléctrico sobre el conductor, establecer un espesor dado de aislante, o respetar campos máximos sobre el conductor, y sobre la pantalla (donde se presenta el mínimo campo).

La tabla siguiente muestra ejemplos para distintos niveles de tensión y distintas secciones de conductores, los valores de espesor y campo que se tienen en dimensionamientos hechos con estos distintos criterios

Nivel de tensión 154 220 275 400 500 .kV

Criterio campo máximo

Gmax 10 12 14 .kV/mm

300 mm2 22.6 24.2 35.6 .mm

1000 mm2 17.3 18.3 24.9 .mm

2000 mm2 15.7 16.5 21.7 .mm

Criterio espesor constante

espesor 19 23 27 .mm

300 mm2 7.8 12.4 20.4 .kV/mm

1000 mm2 6.5 10.2 16.5 .kV/mm

2000 mm2 6.0 9.2 14.8 .kV/mm

Criterio campo máximo y mínimo

Ginterior 11 16 .kV/mm

Gexterior 5 7 .kV/mm

300 mm2 19.5 28 .mm

11 16 .kV/mm

4.2 4.8 .kV/mm

1000 mm2 18.8 23.5 .mm

9.6 14.6 .kV/mm

5 7 .kV/mm

2000 mm2 20 25 .mm

8.2 12.6 .kV/mm

5 7 .kV/mm

Esfuerzos electrodinamicos

Entre cables unipolares, cuando circulan corrientes elevadas se presentan fuerzas de repulsión entre fases

F = 2.04 * Is^2 / a [kg / m]

Is = 1.8 * raíz(2) * Icc = 2.5 * Icc [kA]

Donde a es la distancia entre centros de conductores [m], F fuerza [N/m]

Cuando las corrientes de cortocircuito alcanzan los 40 kA los esfuerzos dinámicos deben ser considerados, y los cables deben ser embridados, para evitar su movimiento.

Cargas variables

Las cargas que alimentan los cables de distribución varían de hora en hora, se define el factor de carga:

LD = (1 / (24 * Imax)) * integral 0 a 24 (I(t) * dt)

Las pedidas dependen del cuadrado de la corriente, el factor de perdidas:

LF = (1 / (18 * Imax^2)) * integral 0 a 24 (I(t)^2 * dt)

Sobrecargas

Cuando el cable no se encuentra en sus condiciones limites, presenta una cierta capacidad de sobrecarga:

.dT / dt = (1 / (p * q)) * ((d2T / dx2) + (1 / x) * (dT / dx))

resolviendo la ecuación diferencial se obtiene:

T = A * I0 * (ux) + B * k0 * (ux)

Esfuerzos de tendido

Los cables son sometidos a esfuerzos de tendido no debiendo superarse ciertos limites admisibles.

Esfuerzo de tracción.

Esfuerzo de compresión radial en curvas.

Esfuerzo de plegado.

La pena por no respetar estos limites, son distintos daños que se pueden presentar. Es entonces necesario estimar estos esfuerzos. Veamos cada uno.

Esfuerzo de tracción, sin desnivel.

P = G * L * mu

Siendo P tracción al final del cable [daN]; G peso del cable [kg/m]; L longitud [m]; mu coeficiente de rozamiento

Valores de mu Cables con cubierta externa en yute

Cables con cubierta externa termoplastica

Cables armados

Tendido sobre rodillos 0.25 - 0.35 0.2 - 0.3 0.15 - 0.25

Tendido en tubos de cemento 0.5 - 0.7 0.4 - 0.6 0.4 - 0.5

Tendido en tubos termoplásticos (en seco) 0.4 - 0.6 0.25 - 0.35

(con grasa especial) 0.15 - 0.25 0.15 - 0.25

(con agua) 0.15 - 0.25 0.20 - 0.30

(con grasa y agua) 0.10 - 0.20 0.10 - 0.20

Esfuerzo de tracción, con desnivel.

P = G * L * (mu * cos(Beta) + sen(Beta))

Donde Beta es el ángulo de inclinación positivo cuando el tendido es ascendente, y negativo si descendente. Si Beta es pequeño cos(Beta) = 1 y L * sen(Beta) = h desnivel.

P = G * (L * mu + h)

Cambio de dirección

Za es el esfuerzo de compresión radial que ejerce el cable por unidad de longitud

Fa = raíz(G^2 + Za^2)

Si P1 es la fuerza al inicio de la curva y P2 al final, a la longitud del recorrido del cable en curva, que cubre el ángulo alfa, y tiene radio r.

P2 = P1 + raíz((P1 / r)^2 + G^2) * (alfa * r * mu)

La formula no considera el esfuerzo para el doblado del cable. Para conocer el esfuerzo total de tracción se suman las sucesivas fuerzas. Que se comparan con el esfuerzo de tracción admisible del cable o de la armadura según corresponda.

Esfuerzo de traccion admisible

cable .daN/mm2

unipolar Conductor cobre 6

Conductor aluminio 3

Multipolar Conductor cobre 4

Conductor aluminio 2

Armadura

simple Diámetro hasta 35 mm 20

Diámetro desde 35 mm 20

doble 50

Esfuerzo de compresión radial en curvas se determina como:

Za = P * sen(alfa / 2) / (r * alfa / 2) aproximadamente = P / r

Esfuerzo de compresión radial admisible

Tendido en tubos sintéticos .daN/m

cable

No armado 1000

Armadura simple 1500

Armadura doble 1800

Tendido sobre rodillos

cable

No armado 150

Armadura simple 250

Armadura doble 300

Esfuerzo de plegado, se debe respetar un radio de curvatura mínimo, que depende de varias variables. El radio de curvatura se da en función del diámetro externo del cable y el factor indicado en la tabla.

Monopolar Tripolar Baja tension Multipolar

Papel 20 15 15 12

Termoplástico o XLPE 15 12 12 10

Caucho 12 10 10 8

Campo eléctrico en los empalmes

El campo eléctrico dentro del cable es controlable con su dimensionamiento, como ya visto en la figura 7, el material se exige hasta valores muy elevados, pero el control de la fabricación permite alcanzar estos limites.

Los empalmes en cambio, se realizan en campo, con muchas precauciones pero el material se exige menos, para hacer el empalme tan seguro como el cable, la figura 5 muestra el campo eléctrico de un empalme y la figura 6 muestra el campo eléctrico en la superficie del electrodo,

Apéndice 3 - Características de cables de una planta industrial

Aplicando los criterios de dimensionamiento explicados se seleccionan los cables de una dada instalación.

Cuando se dispone de la instalación realizada es interesante observar las características de los motores (cargas) y cables que los alimentan. A modo de ejemplo se desarrolla este análisis sobre la lista de cables que corresponde a una importante planta industrial.

La distribución de energía a las cargas esta realizada en dos niveles de tensión, 2.3 kV y 0.38 kV, se presentan entonces grupos de tablas dos para cada nivel de tensión, el total de motores es casi 900, por un total de 40 MW (potencia eléctrica absorbida por los motores, y manejada por los cables).

Motores de media tensión 2.3 kV

p eje kw rend pot. kw per kw per % q kvar q per q per % Cosfi

Promedio 253,4 271.32 2.09 155.5 1.02 Máximo 1347 1417.8 10.2 726.3 11.8 Suma 24577 26318 203 15085 98.9 Ponderado 0.934 0.771 0.656 0.86 Cantidad 97

La potencia promedio (consumida) de los 97 motores de 2.3 kV es 253.4 kW la perdida promedio en cables es 0.76 %, y la caída de tensión promedio es 0.69%, el volumen total de cables de media tensión es 3410 dm3, y la longitud total (de tendido trifasico) es 19.8 km, la cantidad de ternas es 103 porque algunos motores tienen dos ternas, el factor de relación entre la corriente permanente del cable, y la capacidad de transporte del mismo es en promedio 0.34.

caída % perd % per / dv a/mm2 dm3 s mm2 l m cant factor Promedio 0.69 0.76 1.12 2.12 35.2 47.05 204.60 1.06 0.34 Máximo 2.54 3.14 1.46 4.52 377 240.00 680.00 1.00 0.74 Suma 3410 19845 103 Ponderado 0.90 57.27 Cantidad 97

Cables de media tensión (2.3 kV)

s mm2 l m tot l medio cant l% vol% 240 560 280.00 2 2.82 11.83 185 1566 313.20 5 7.89 25.49 150 0 0.00 0 0.00 0.00 120 610 203.33 3 3.07 6.44 95 1571 224.43 7 7.92 13.13 70 1646 149.64 11 8.29 10.14 50 4085 226.94 18 20.58 17.97 35 1501 166.78 9 7.56 4.62 25 814 90.44 9 4.10 1.79 16 3789 180.43 21 19.09 5.33 10 3703 205.72 18 18.66 3.26 Total 19845 192.67 103.00 100.00 100.00

También puede observarse la distribución de material para las distintas secciones, nótese la distribución porcentual de la longitud total y del volumen total.

Los valores análogos para 0.38 kV son potencia (consumida) promedio de los 795 motores 23.24 kW, la perdida promedio en cables es 2.83 %, y la caída de tensión promedio es 2.16 %, el volumen total de cables de baja tensión es 9410 dm3, y la longitud total (de tendido trifasico) es 110 km, en 805 ternas, también puede observarse la distribución de material para las distintas secciones.

Motores de baja tensión 0.38 kV

p eje kw Rend pot. kw per kw per % q kvar q per q per % cosfi Promedio 20.78 23.24 0.70 14.19 0.19 Máximo 110.4 122.66 5.42 74.83 3.25 Suma 16527 18480 558 11284 150.0 Ponderado 0.894 3.02 1.33 0.85 Cantidad 795

caída % Perd % per / dv a/mm2 dm3 s mm2 l m cant factor Promedio 2.16 2.83 1.36 2.04 11.83 25.09 138.48 1.01 0.25 Máximo 5.70 7.87 2.29 10.3 120.75 185.00 805.00 2.00 0.74 Suma 9409 110093 805 Ponderado 2.81 28.49 Cantidad 795

Cables de baja tensión (0.38 kV)

s mm2 l m tot l medio cant l % vol % 240 0 0 0 0.00 0.00 185 570 142.50 4 0.52 3.36 150 519 173.00 3 0.47 2.48 120 1387 173.38 8 1.26 5.31 95 2729 143.63 19 2.48 8.27 70 5442 136.05 40 4.94 12.15 50 13082 266.98 49 11.88 20.86 35 15702 218.08 72 14.26 17.52 25 17872 155.41 115 16.23 14.25 16 15724 104.83 150 14.28 8.02 10 12365 103.04 120 11.23 3.94 6 10930 120.11 91 9.93 2.09 4 13771 102.77 134 12.51 1.76 Total 110093 136.76 805 100.00 100.00

Apéndice 4 - Datos para el calculo de los cables

Partiendo de la lista de cargas, y conociendo desde que centros de carga se las alimenta, se deben determinar los cables.

Frecuentemente la lista de motores del proyecto, simplemente informa su potencia, su velocidad, y el tipo de maquina impulsada.

La potencia que el motor entrega es en el eje, se debe determinar el rendimiento, y con el se determina la potencia eléctrica que el motor absorbe, luego se determina el coseno fi, y se obtiene la potencia aparente

absorbida, el producto de rendimiento y coseno fi permite calcular directamente la corriente. Otra figura muestra los tres gráficos superpuestos, haciendo practico el uso.

P = Pmec * 100 / rend

S = P / cosfi

Q = raiz(P^2 + Q^2)

Corriente = S / (1.73 * U) si el sistema de alimentación es trifasico U es la tensión compuesta

Corriente = S / U si el sistema de alimentación es monofasico, U es la tensión aplicada al motor.

Otras figuras muestran en función de distintas velocidades y para baja y media tensión el rendimiento, el coseno fi, y el producto rendimiento por cosenofi.

Las curvas que se han representado son:

Serie 1 - para 3000 vpm, y 380 V (violeta)

Serie 2 - para 3000 vpm, y 2300 V

Serie 3 - para 1500 vpm, y 380 V (azul)

Serie 4 - para 1500 vpm, y 2300 V

Serie 5- para 1000 vpm, y 380 V (verde)

Serie 6 - para 1000 vpm, y 2300 V

Serie 7 - para 750 vpm, y 380 V (rojo)

Serie 8 - para 750 vpm, y 2300 V

El rendimiento y el cosfi varían con el estado de carga del motor, que puede estar por arriba o por debajo del valor nominal, estos datos son útiles cuando se debe determinar la carga eléctrica de un conjunto de motores que no están cargados con el 100% de su carga nominal.

Quien selecciona un motor para una maquina impulsada, lo elige con cierta mayoracion para las condiciones normales, y que pueda soportar condiciones de carga excepcionales. Finalmente el motor comercial se elige dentro de las potencias disponibles, por lo que en condiciones normales un motor que acciona una maquina es fácil que este cargado solo al 70 - 80 %.

El rendimiento en función del estado de carga, el cosenofi en función del estado de carga, se determinan con los gráficos y sirven para realizar balances de cargas en situaciones de cargas reales.

Otros datos de los motores que son útiles cuando se trata de desarrollar algunos estudios son: la corriente de arranque, el par de arranque, el resbalamiento en condiciones de carga nominal.

Un dato interesante que permite evaluciones económicas es el peso especifico de los motores (kg / kW).

La corriente de arranque es útil para verificar la caída de tensión durante el arranque, que particularmente afecta la cupla de arranque, y en la medida que esta se reduce el tiempo de aceleración.

La corriente de arranque por otra parte se reduce por influencia de los cables (que aumentan la impedancia del circuito en condiciones de arranque).

La corriente de arranque también esta relacionada con el aporte de corriente de cortocircuito de los motores (en primera aproximación se los supone iguales) por lo que se puede observar la influencia de los cables también en este valor.

Motores de media tensión 2.3 kV

dv % iarr iarr cab cosfi a cosfi c iarrc /ia du arr dua/du minimo 0.038 5.3 5.05 0.3 0.3 0.94 0.2 2.3 Medio 0.687 6.1 5.96 0.3 0.33 0.98 3.06 3.5 Máximo 2.538 7.7 7.42 0.3 0.42 1 10.4 7.3

Motores de baja tensión 0.38 kV

dv % iarr iarr cab cosfi a cosfi c iarrc /ia du arr dua/du minimo 0.011 3.2 2.933 0.3 0.309 0.74 0.034 2.176 Medio 2.158 6.7 6.088 0.4 0.506 0.91 9.636 4.283 Máximo 5.694 8.5 8.397 0.5 0.671 1 29.19 7.072

En las sucesivas columnas de la tabla se observan, caída de tensión con carga normal, corriente de arranque relativa (referida a la corriente normal), corriente de arranque con la influencia del cable, coseno fi de arranque (adoptado 0.3 para los motores mas grandes, y 0.5 para los pequeños), y valor con la influencia del cable, relación entre corriente de arranque reducida por el cable, y valor de la misma sin cable, caída de tensión en arranque, y relación de caída de tensión en arranque a caída de tensión con corriente normal.

Se observa que el máximo de caída de tensión en arranque para los motores de baja tensión es casi 30%, esto se da en los motores mas distantes, y lógicamente estos motores no son con arranque directo.