DERIVADA DE ORDEN SUPERIORLa derivada de una funcin en un punto, como ya hemos visto, es una medida de la inclinacin de la recta tangente en el punto considerado. Ahora necesitamos medir cuan separado est el grafico de la funcin de su recta tangente. Por ejemplo, las tangencias de las curvas - o con la recta son muy diferentes. Lo que realmente queremos medir es como se curva el grafico de en una vecindad del punto de tangencia.Diremos que una funcin es dos veces derivable en un punto a si tiene derivada en a. A este nmero lo llamaremos segunda derivada de en a y lo denotaremos . Es decir:

Diremos que la funcin es dos veces diferenciable en , si es dos veces derivable en todo punto de . Otras notaciones usadas son:

Anlogamente podemos definir para n 2, la derivada de orden n en el punto a como la derivada de en el punto a. Las notaciones usadas para este caso son:

Ejemplo: Encuentre dondeSolucin: Se debe primero calcular la primera derivada, para luego derivarla: Aplicando la regla del producto se tiene: Luego, al volver a derivar obtenemos la segunda derivada Este proceso puede continuar para obtener la tercera, cuarta y ms derivadas.

Las definiciones y diferentes notaciones estn dadas en el siguiente recuadro:

Todas estas derivadas son llamadas derivadas de orden superior.Ejemplo 1: Encuentre todas las derivadas de orden superior de Solucin: Reescribimos la funcin como Se deriva usando la regla de la suma y del factor constante

Las siguientes notaciones se usan para indicar el valor de las derivadas de orden superior en un punto particular:

Ejemplo 2:Encuentre donde: Solucin: Primero reescribimos la funcin usando las propiedades de logaritmos. Hay que resaltar que es tedioso realizar este ejercicio si no procedemos de esta manera.

Podemos en este momento derivar de una manera rpida:

Ahora rpidamente obtenemos la segunda y tercera derivada:

DERIVADAS IMPLCITASTEOREMA DE LA FUNCION IMPLICITAEnanlisis matemtico, elteorema de la funcin implcitaestablece condiciones suficientes bajo las cuales una ecuacin o conjunto deecuacionesde varias variablespermite definir a una de ellas o varias de ellas comofuncinde las dems.Unafunciny(x) est dada de formaimplcitacuando est definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual. Dada la ecuacinF(x,y)=0(lo que se conoce como funcin implcita), bajo ciertas exigencias sobre la derivada deFpodramos, al menos localmente, despejary = f(x).Por ejemplo, puede probarse que la siguienteecuacindefine unafuncin implcitaen cierta regin deentre las variablesxey:

Es decir, el teorema establece que existe una funciny = f(x)que sustituida en la ecuacin anterior, la convierte en unaidentidad matemtica.NOTAAntes de enunciar el teorema, considere la funcin

Si consideramos la ecuacin, entonces la funcin admite como preimgenes todos los vectoresque resuelven esta ecuacin:. Por esto, no es posible despejar globalmente una variable en trminos de la otra y por lo mismo no es posible determinar cmo cambia una variable en funcin de la otra, al menos no globalmente pero s en un entorno de. (El nico vector factibleen la preimagen es).Otro ejemplo ms complejo sera el siguiente:

DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLCITASSe dice que una funcin est definida explcitamente cuando se da de la forma y = f (x); esto es cuando se da y despejada en trminos de x. En cambio, si en una ecuacin, como por ejemplo, 2yx = cos3y, existe una funcin tal que y = f (x), se dice que y es una funcin que est definida implcitamente por la ecuacin. Una ecuacin en x e y puede definir a ms de una funcin implcita.

EJERCICIOSObtener la derivada de:

El trminoSe puede considerar que son dos funciones,ypor lo que se derivara como un producto:

El trminose deriva como:

El trminose deriva de forma normal como:

El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.

Para el trminose puede considerar como un producto y se deriva como:

Al unir todos los trminos se obtiene:

Ordenando

Factorizando respecto a () los valores son:

Finalmente despejandose obtiene la derivada de la funcin implcita:

EJERCICIO PROPUESTO:1.) Encontrar la derivada de:

2.) Encontrar la derivada de: