FILTRACION DE MEDIOS POROSOS

2016

ALUMNO:

Barboza Navarro Alexis

CURSO:

Calculo IV

1

FILTRACION DE MEDIOS POROSOS

FLTRACIÓN EN MEDIOS POROSOS

2016

2

FILTRACION DE MEDIOS POROSOS

ContenidoINTRODUCCIÓN.............................................................................................................................3

OBJETIVOS.....................................................................................................................................4

General.........................................................................................................................................4

Específicos.................................................................................................................................4

MARCO TEÓRICO..........................................................................................................................5

Permeabilidad:.................................................................................................................................5

Porosidad.........................................................................................................................................5

Flujo...................................................................................................................................................5

Medio poroso.............................................................................................................................6

CARACTERIZACIÓN DE UN MEDIO POROSO...................................................................7

DE ACUERDO A LA COMPRESIBILIDAD DE LOS FLUIDOS.......................................7

De acuerdo a la variación espacial de la composición y propiedades de la roca.9DE ACUERDO A LA VARIACIÓN DEL CAUDAL Q Y LA PRESIÓN P AL POZO CON RESPECTO AL TIEMPO...........................................................................................10

Ecuaciones de los medios porosos....................................................................................11

Ley de Darcy.........................................................................................................................11

Ecuación de Boussines.....................................................................................................13

CONDICIONES DE FRONTERA............................................................................................16

Condición de frontera de Dirichlet..................................................................................16

Condiciones de Neumann.................................................................................................18

Condiciones de frontera de Robin..................................................................................20

CONDICIÓN DE FRONTERA DE CAUCHY.....................................................................21

CONCLUSION...............................................................................................................................23

2016

3

FILTRACION DE MEDIOS POROSOS

INTRODUCCIÓN

El flujo de fluidos en medios porosos ha sido escrito principalmente flujo del

crudo, drenaje de aguas en el suelo, filtración, flujo de fluidos en reactores o

lechos empacados, fluidización, intercambio iónico para fundamentales del flujo en

medios porosos como base para un mejor análisis e interpretación de pruebas de

presión transitoria en pozos que producen crudo, gas y/o agua. Según la ley de

Darcy, la permeabilidad es una característica intrínseca del lecho, y la relación

entre el caudal y caída de presión es lineal, sin embargo la relación puede no ser

lineal y la ley de Darcy es aplicable en el Mismo intervalo en el cual se aplica la

ecuación de carman kozeny.

En la presente investigación se pretende conocer los flujos de fluidos en

medios porosos y su comportamiento de ellos en el yacimiento. Los flujos en

yacimientos existen “muchas personas que tienen la errónea idea de que el

petróleo se encuentra como un “rio” o una piscina bajo la superficie. El petróleo se

encuentra en el subsuelo en espacios porosos entre las rocas sedimentarias son

las de mayor importancia desde el punto de vista petrolero.

2016

4

FILTRACION DE MEDIOS POROSOS

OBJETIVOS

General Entender el concepto y las implicaciones matemáticas de la filtración en

medios porosos

Específicos Aplicar uno del software utilizados en clase para resolver ecuaciones de

medios de contorno.

2016

5

FILTRACION DE MEDIOS POROSOS

MARCO TEÓRICO

PERMEABILIDAD:

Es la capacidad que tiene un material de permitirle a un flujo que lo atraviese sin alterar su estructura interna. Se dice que un material es permeable si se deja pasar a través de una cantidad apreciable de fluido durante un tiempo dado.

Tipo de suelo

Grava Arena gruesa

Arena fina Limo Arcilla

K(m/dia) >1000 10-10000 1-10 10−3-1 <10−3

POROSIDAD

Se define como el porcentaje de poros que están conectados entre sí por tanto es una medida de espacio vacío en un material. Esta depende de la composición, textura y estructura del suelo. Por lo general varía entre 0.4 y 0.6 y puede ser mayor en suelo de alto contenido de materia orgánica

p= pm−papm∗100%

Donde:

pm = es la densidad real del material

pa = es la densidad aparente del material

FLUJO

Para determinar el flujo de un determinado material en un medio poroso, se debe aplicar la ecuación abajo relacionada que se resulta de imponer el principio de conservación de masa y suponer que el movimiento de agua obedece la ley de Darcy.

q=−k ( dhdl

)

Donde:

q = q / sección es decir caudal que circula por m2 de sección

k = conductivad hidráulica

dh /dl = gradiente hidráulico expresado en incremento infinitesimales.

2016

6

FILTRACION DE MEDIOS POROSOS

El signo negativo se debe a que el caudal es una magnitud vectorial, cuya dirección es hacia dh decrecientes. Es decir que el dh es negativo y por tanto el caudal será positivo

Medio poroso

El medio poroso se distribuye de forma continua y tortuosa y lo componen tres fases bien diferenciadas: sólida, líquida y gaseosa. La primera, denominada matriz, está formada por las partículas minerales y orgánicas del suelo unidas mediante agregados más o menos estables. Las otras dos, compuestas por agua y aire con vapor de agua, ocupan los espacios huecos, poros, entre las partículas sólidas del suelo.

Algunos ejemplos de medios porosos son:

El suelo La arena Rocas con grietas Espumas de caucho Los riñones Depósitos de gas y petróleo Filtros de arena

La capacidad de un suelo para retener y dejar pasar el agua y el aire se relaciona con su volumen de poros. La relación entre éste y el volumen aparente del suelo se denomina porosidad.

P=V p

V a

Donde:

V p=volumende los poros

V a=volumenaparente del suelo

La porosidad coincide con el contenido de agua del medio poroso saturado sin embargo, no es indicativa de la cantidad de agua que puede transmitir. La expresión anterior puede expresarse por:

P=1−ρa

ρm

Donde:

ρa=densidad aparente del suelo

ρm=densidad de las particulas minerales

2016

7

FILTRACION DE MEDIOS POROSOS

La porosidad depende de la composición, de la textura y de la estructura del suelo. Por lo general, P varía de 0,4 a 0,6 y su valor es superior a 0,9 en suelos con un contenido de materia orgánica (su forma irregular produce una escasa compactación). Un aumento en el contenido de arcilla favorece la formación de agregados del suelo e incrementa la porosidad.

Suelo Porosidad (%) Densidad aparente(g/m3 ¿Arenoso 36-56 1.16-1.70Franco 30-55 1.2-1.85

Arcilloso 35-70 0.88-1.72

CARACTERIZACIÓN DE UN MEDIO POROSO

Las hipótesis básicas en las que se sustenta el modelo de flujo en medios

porosos son:

El fluido es compresible, es decir puede haber variación de la densidad

como Función de la presión.

El sólido poroso conocido también como matriz es elástico, es decir en

general la porosidad depende de la presión.

No hay difusión del fluido, La velocidad del fluido está dada por la ley de

Darcy, que es una ecuación constitutiva que relaciona a la velocidad de las

partículas del fluido con la presión.

DE ACUERDO A LA COMPRESIBILIDAD DE LOS FLUIDOS.

La compresibilidad de los fluidos está definida por:

Donde c es el módulo bruto de elasticidad o compresibilidad a temperatura

constante y representa el cambio de volumen del material por unidad de volumen

por cada unidad de variación de la presión.

2016

8

FILTRACION DE MEDIOS POROSOS

A: Fluido incompresible

En este tipo de fluido tenemos que ( ∂V∂ p )= 0

Ej.: el agua

B: Fluido ligeramente compresible

En este tipo de fluido tenemos que ( ∂V∂ p )= pequeño (negativo)

Ej.: el petróleo

C: Fluido compresible

En este tipo de fluido tenemos que ( ∂V∂ p )= grande (negativo)

Ej.: el gas

2016

9

FILTRACION DE MEDIOS POROSOS

Rangos de compresibilidad de los principales componentes de los yacimientos

COMPONENTE RANGO DE COMPRESIBILIDAD COMPRESIBILIDADTIPICA

Cg 49 x10-6 – 211 x 10-6 psi-1 @ 4978 #

914 x10-6 – 1266 x 10-6 psi-1 @

1000#

200 x 10-6 psi-1

Co 4.9 x10-6 –100 x 10-6 psi-1 10 x 10-6 psi-1

Cw 2.1 x10-6 – 4.2 x 10-6 psi-1 3 x 10-6 psi-1

Cf 2.8 x10-6 – 10 x 10-6 psi-1 5 x 10-6 psi-1

Los subíndices g, o, w y f se refieren al gas, petróleo, agua y formación,

respectivamente.

De acuerdo a la variación espacial de la composición y propiedades de la roca.Según la composición de la roca, el medio puede ser:

Homogéneo

Heterogéneo

Según las propiedades de la roca, el medio puede ser:

Isotrópico: las propiedades no varían en el espacio, es decir:

kx = ky = kz

Anisotrópico: las propiedades varían en el espacio, es decir:

kx ≠ ky ≠ kz

Φx ≠ Φy ≠ Φz

donde:

Φ: porosidad

kx es la permeabilidad en la dirección x

ky es la permeabilidad en la dirección y

kz es la permeabilidad en la dirección z

2016

10

FILTRACION DE MEDIOS POROSOS

DE ACUERDO A LA VARIACIÓN DEL CAUDAL Q Y LA PRESIÓN P AL POZO CON RESPECTO AL TIEMPO.El flujo puede ser, entonces:

@ qw constante, pwf = f (t)

@ pwf constante, qw = f (t)

De acuerdo a la variación espacial de la composición y propiedades de las rocas

r : radio, distancia desde el pozo a un punto del yacimiento.

rw : radio del pozo

re : radio externo frontera del área de drenaje del pozo.

pwf: presión de flujo al pozo (well flowing pressure)

qw : tasa (caudal al pozo)

Entonces, de los tipos de flujo descritos anteriormente, podemos ver que el flujo

podría ser, por ejemplo: Flujo radial, de fluido ligeramente compresible, en medio

Homogéneo e isotrópico, a tasa constante al pozo.

2016

11

FILTRACION DE MEDIOS POROSOS

Ecuaciones de los medios porosos

Ley de Darcy

En 1856 en la ciudad de Dijon el ingeniero Darcy se encargó del estudio de la red de abastecimiento de la ciudad además de diseñar filtros de arena para purificar el agua, así que se interesó por los factores que influían en el flujo del agua a través de los materiales arenosos.

El experimento de Darcy se basa en un recipiente de sección constante por el que se hace circular agua conectando a uno de sus extremos un depósito elevado de nivel constante. En el otro extremo se regula el caudal de salida mediante un grifo que en cada experimento mantiene el caudal constante. Finalmente se mide la altura de la columna de agua en carios puntos.

De esta manera Darcy encontró que el caudal que atravesaba el permeámetro era linealmente proporcional a la sección y al gradiente hidráulico.

Es decir que variando el caudal con el grado o moviendo el depósito elevado los nieles del agua en los tubos varían. De esta manera siempre que se utilice la misma arena se tiene que

Q=K . seccion. ∆ h∆l

Donde k es una constante

Si se utiliza otra arena y jugando con las otras variables se cumple la ecuación anterior pero la constante cambia de esta manera Darcy concluyó que esa constante era propia de cada arena. Esta constante se llamó permeabilidad (K) aunque su denominación actual es conductividad hidráulica.

2016

12

FILTRACION DE MEDIOS POROSOS

De esta manera la ecuación de Darcy se expresa así:

q=−k dhdl

Donde

q= Q/sección

K = conductividad hidráulica

dhdl

=¿ Gradiente hidráulico

2016

13

FILTRACION DE MEDIOS POROSOS

Ecuación de Boussines

Determina el incremento de esfuerzos como resultado de la aplicación de una carga puntual sobre la superficie de un semi espacio infinitamente grande; considerando que el punto en el que se desea hallar los esfuerzos se encuentra en un medio homogéneo, elástico e isotrópico.

Semiespacio infinitamente grande: Significa que la masa de suelo está limitada en uno de sus lados mientras que se extiende infinitamente en las otras direcciones. Para el caso de suelos, la superficie horizontal es el lado limitante.

Material homogéneo: Un material se considera homogéneo cuando presenta las mismas propiedades a lo largo de todos sus ejes o direcciones. Cuando se trabaja con suelos, esta hipótesis se refiere solamente a que el módulo de elasticidad, módulo cortante y el coeficiente de Poisson deben ser constantes; lo que implica la no existencia de lugares duros y lugares blandos que afecten considerablemente la distribución de esfuerzos. 

Material isotrópico: Significa que tanto el módulo de elasticidad, módulo cortante y el coeficiente de Poisson son los mismos en todas las direcciones. La mayoría de los suelos cumplen con este criterio, pero existen materiales, tales como los lechos rocosos sedimentarios que no lo cumplen.

Material con propiedades lineales elásticas de esfuerzo-deformación. Significa que a cada incremento de esfuerzos está asociado un incremento correspondiente de deformación. Esta hipótesis implica que la curva esfuerzo-deformación es una línea recta que no ha alcanzado el punto de fluencia.

La ecuación es la siguiente:

σ z=3P2 π

z3

(x2+ y2+z2)52

Donde:

P= carga puntual

X, Y, Z = coordenadas del punto en el que se calcula los esfuerzos

Z = profundidad a la que se sitúa el punto en donde se calcula el esfuerzo.

Condiciones de contorno:

En matemáticas, en el campo de las ecuaciones diferenciales, un problema de valor de frontera (también llamados como problemas de valor o condición, de

2016

14

FILTRACION DE MEDIOS POROSOS

borde o contorno) se lo denomina al conjunto de una ecuación diferencial y a las condiciones de frontera o contorno. 

Un problema de condiciones de frontera aparece en muchos aspectos de la física, como en las ecuaciones diferenciales que explican ciertos problemas físicos. Problemas que involucran la ecuación de onda son comúnmente problemas de condiciones de frontera.

Método de elementos finitos

Técnica general para hallar soluciones numéricas de sistemas de ecuaciones diferenciales e integrales. Origen: ingeniería estructural, años 50/60, para solución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en elasticidad. Su aplicación se generalizó, integrado a sistemas de CAD/CAE.

Aplicaciones del MEF:

• Ingeniería estructural • Resistencia de materiales • Mecánica de fluidos • Ingeniería nuclear • Electromagnetismo • Campos eléctricos • Propagación de ondas • Conducción del calor • Procesos de convección – difusión • Ingeniería de petróleo • Procesos de reacción – difusión

DISCRETIZACIÓN EN EL MEF

Reformulación de la ecuación diferencial en un problema variaciones equivalentes. Ejemplo: en ecuaciones elípticas, en casos simples, toma la forma de problema de minimización:

2016

15

FILTRACION DE MEDIOS POROSOS

(M) es una caracterización equivalente de la solución de la ecuación diferencial como aquella función en V que minimiza la energía total del sistema considerado.

DISCRETIZACIÓN EN EL MEF

En general, la dimensión de V es infinita (las funciones de V no pueden expresarse a través de un número finito de parámetros). Luego, (M) no puede resolverse en forma analítica.

Para hallar una solución, la idea del MEF es reemplazar V por un conjunto Vh de funciones simples que dependen de un número finito de parámetros:

Este problema es equivalente a un sistema de ecuaciones algebraicas. Se espera que Uh sea una aproximación suficientemente buena de U, la solución de (M).

Usualmente elegimos:

En este caso (Mh), corresponde al método clásico de Ritz-Galerkin

DISCRETIZACIÓN EN EL MEF

2016

16

FILTRACION DE MEDIOS POROSOS

Característica particular del MEF: funciones de Vh son funciones polinomiales por tramos

Pasos para resolver por MEF:

1. Formulación variacional del problema

2. Discretización por MEF: construcción del espacio dimensional finito

3. Solución del problema discreto

4. Implementación del método en computadora: programación Vh

CONDICIONES DE FRONTERA

Condición de frontera de Dirichlet En matemáticas, la condición de frontera de Dirichlet (o de primer tipo) es un tipo de condición de frontera o contorno, denominado así en honor a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) cuando en una ecuación diferencial ordinaria o una en derivadas parciales, se le especifican los valores de la solución que necesita la frontera del dominio.

Dirichlet EDO

En un caso de ecuación diferencial ordinaria:

d2 ydx2

+4 y=5

Sobre el intervalo 0 - 5 las condiciones de frontera toman la siguiente forma:

{y ( 0 )=∝1y (5 )=∝2

Donde ∝1 y∝2 son números dados.

2016

17

FILTRACION DE MEDIOS POROSOS

Para una ecuación diferencial en derivadas parciales sobre un dominio Ω⊂ℝⁿ tal como:

∇2 y+ y=0

Donde ∇2es laplaciano las condiciones de frontera de Dirichlet toman la forma

y ( x )=f ( x )∀ x∈∂Ω

Donde f es una función conocida definida sobre ∂Ω

2016

18

FILTRACION DE MEDIOS POROSOS

Condiciones de Neumann

En una condición de frontera de tipo Neumann, lo que se especifica en la frontera no es el valor de la función incógnita (como ocurría con las condiciones de frontera tipo Dirchlet) si no su “derivada normal”. La derivada normal no es otra cosa más que la derivada direccional en la dirección normal a la superficie frontera en el punto correspondiente. Resolvamos entonces la ecuación del calor con condición de Neumann:

Condiciones:

La condición (i) nos dará lo mismo que vimos anteriormente para condiciones de Dirichlet

2016

19

FILTRACION DE MEDIOS POROSOS

Enfoquémonos en la condición de Neumann

Entonces:

Entonces:

Por superposición entendemos que:

2016

20

FILTRACION DE MEDIOS POROSOS

Condiciones de frontera de Robin

Las condiciones de frontera de Robin son una combinación ponderada de las condiciones de Dirichlet y Neumann. Es el contraste de las condiciones de frontera mixtas, las cuales son condiciones de frontera de diferentes tipos especificadas en diferentes subconjuntos de la frontera. Las condiciones de frontera de Robin también se denominan condiciones de frontera de impedancia, por su aplicación en problemas electromagnéticos.

Si Ω es el dominio sobre el cual se resuelve la ecuación dada y ∂Ω es su frontera, la condición de Robin es:

Para algunas constantes distintas de cero a y b y una función dada g definida sobre ∂Ω. Aquí, u es la solución desconocida definida sobre Ω y ∂u/∂n es la derivada normal en la frontera. En general a y b pueden ser funciones dadas en lugar de constantes.

En una dimensión, si, por ejemplo, Ω = [0, 1], la condición de frontera de Robin es:

Donde se puede observar el cambio de signo en el frente que involucra la derivada: esto es porque la normal a [0, 1] en 0 apunta en la dirección negativa, mientras que en 1 apunta en dirección positiva.

2016

21

FILTRACION DE MEDIOS POROSOS

CONDICIÓN DE FRONTERA DE CAUCHY

En matemática, las condiciones de frontera de Cauchy en ecuaciones diferenciales ordinarias o en ecuaciones diferenciales parciales imponen valores específicos a la solución de una ecuación diferencial que se toma de la frontera del dominio y de la derivada normal a la frontera. Esto es igual a imponer dos tipos de condiciones: la condición de frontera de Dirichlet y la condición de frontera de Neumann. Su nombre hace honor al prolífero matemático francés del siglo XIX Augustin Louis Cauchy.

DESCRIPCION:

Las condiciones de frontera de Cauchy pueden ser entendidas desde la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden donde se tiene una solución particular que especifica el valor de la función y el valor de la derivada tomando valores iniciales o puntos de frontera, así por ejemplo:

Donde  α es la frontera o punto inicial. Las condiciones de frontera de Cauchy son una generalización de estos tipos de condiciones. Las derivadas parciales pueden ser escritas de una forma más simple de la siguiente:

Definamos una ecuación diferencial parcial de segundo orden:

Tenemos un dominio de dos dimensiones cuya frontera es una línea, que puede ser descrita por las siguientes ecuaciones paramétricas:

así, de manera similar que en las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, necesitamos ahora conocer el valor de la función en la frontera y su derivada normal a esta para hallar la solución de la ecuación diferencial parcial, es decir, que:

2016

22

FILTRACION DE MEDIOS POROSOS

sean especificados en cada punto de la frontera en el dominio dado por la ecuación diferencial parcial, donde ∇ψ (δ)  es el gradiente de la función. Se dice a veces que esas

condiciones de frontera de Cauchy son una media ponderada de la imposición de las condiciones de frontera de Dirichlet y las condiciones de frontera de Neumann. Esto no debe confundirse con la estadística de objetos tales como la media ponderada, la media geométrica ponderada o la media armónica ponderada, ya que ninguna de estas fórmulas se utiliza en la imposición de las condiciones de frontera de Cauchy. Por el contrario, el término media ponderada significa que durante el análisis de un determinado problema de valor de frontera, se debe tener en cuenta toda la información disponible para su buen planteado y posterior solución satisfactoria.

Dado que el parámetro δ  es por lo general el tiempo, las condiciones de Cauchy también pueden ser llamadas condiciones de valor inicial o valores iniciales o simplemente valores de Cauchy.

Observe que si bien las condiciones de frontera de Cauchy implican tener tanto las condiciones de frontera de Dirichlet como las de Neumann, que no es lo mismo del todo que tener una condición de frontera de Robin o de impedancia. Una mezcla entre las condiciones de frontera de Dirichlet y Neumann está dada por:

donde se entiende que α (s) ,β (s) ,f (s ) y  deben darse en la frontera (esto contrasta con el

término condiciones de frontera mixtas, que es generalmente usado para referirse a condiciones de frontera de tipos diferentes en subgrupos distintos de frontera). En este caso la función ysus derivadas deben cumplir una condición dentro de la misma ecuación de la condición de frontera.

2016

23

FILTRACION DE MEDIOS POROSOS

CONCLUSION

Los principios fundamentales que permiten representar el movimiento de los

fluidos en un yacimiento son la Conservación de la Masa, Momento y Energía.

Como el fenómeno es enfocado al flujo de fluidos a través de un medio poroso, el

principio de la Conservación del Momento es reemplazado por una ecuación más

experimental como lo es la Ley de Darcy. Adicionalmente a estas relaciones que

se han establecido hasta ahora,   hay que tener muy en cuenta las propiedades

físicas de los fluidos del sistema, pues deberían estar representados como

funciones de las variables independientes.

2016

24

FILTRACION DE MEDIOS POROSOS

Data:

Finalmente el código desarrollado presenta el siguiente aspecto: function tesinaLog() %Variables condición contorno close all

D=0.00031; L=0.05; v=0.003; n=50; Ax=L/n; At=0.9*Ax/v; porosidad=0.40; ro=1.3; ka=0.43/3600; kb=6.43/3600; TiempoFinal=40*At; q=20/3600; %Condiciones contorno iniciales condicionInicial=zeros(1,n*2); Ci=1*10^-5; C0=3/1000; valorCondicionInicialC=Ci; condicionInicial(1,1:n)=valorCondicionInicialC;

%Matrices sistema

AA=(1+(2*D*At)/(Ax.^2)); AB=(-D*At/(Ax.^2)+v*At/(2*Ax)); AC=(-D*At/(Ax.^2)-v*At/(2*Ax)); MatrizA=zeros(n,n); BD=ro/porosidad; MatrizB=zeros(n,n); CF=(porosidad*ka/ro)*At; MatrizC=zeros(n,n); DE=(1+At*kb); MatrizD=zeros(n,n);

%Condición de contorno de Neumann

M1=(-0.5*q/Ax)-(D/((Ax).^2)); M2=(0.5*q/Ax)+(D/((Ax).^2)); %Interior de matrices for i=1:1:n for j=1:1:n if i==j MatrizA(i,j)=AA;%AA MatrizB(i,j)=BD; MatrizC(i,j)=CF; MatrizD(i,j)=DE; elseif i==j-1 && j-1>0 MatrizA(i,j)=AB;%AB elseif i==j+1 MatrizA(i,j)=AC;%AC

2016

25

FILTRACION DE MEDIOS POROSOS

end end end

%Interior matriz sistema

MatrizSistema=zeros(2*n,2*n); MatrizSistema(1:n,1:n)=MatrizA(1:n,1:n); MatrizSistema(n+1:2*n,1:n)=MatrizC(1:n,1:n); MatrizSistema(1:n,n+1:2*n)=MatrizB(1:n,1:n); MatrizSistema(n+1:2*n,n+1:2*n)=MatrizD(1:n,1:n);

%Resolución sistema

k=1; MatrizSolucion(1,2*n)=condicionInicial(1,2*n); for t=0:At:TiempoFinal %Iteramos para cada uno de los tiempos k=k+1; if k==2 %Iteración inicial, correspondiente al vector de condiciones iniciales vectorCondiciones(1,1:n)=condicionInicial(1,1:n); vectorCondiciones(1,1)=C0; vectorCondiciones(1,n+1:2*n)=condicionInicial(1,1:n)*ka*porosidad/(kb*ro); SolucionC(1,1:n)=condicionInicial(1,1:n); SolucionS(1,1:n)=vectorCondiciones(1,n+1:2*n); else %Las demás iteraciones vectorCondiciones(1,1:n)=MatrizSolucion(k-1,1:n)+MatrizSolucion(k-1,n+1:2*n)*ro/porosidad; %Procesos posibles examinados %%Entra en un primer momento y a la mitad del tiempo deja de entrar concentración if t<1/2*TiempoFinal vectorCondiciones(1,1)=C0; end vectorCondiciones(1,n+1:2*n)=MatrizSolucion(k-1,n+1:2*n); %%Entra al principio, para, y después vuelve a entrar concentración % if t<=TiempoFinal/2 && t>(1/4)*TiempoFinal % vectorCondiciones(1,1)=C0; % end end MatrizSistema(n,n-1)=M1*At; MatrizSistema(n,n)=1+M2*At; vectorCondiciones=vectorCondiciones'; vectorResultado=linsolve(MatrizSistema,vectorCondiciones); vectorResultado=vectorResultado'; MatrizSolucion(k,1:n*2)=vectorResultado; %Guardado de los resultados separados de C y S, pues en la matriz de %solución estos se modifican según Ck+(ro/porosidad)*Sk vectorCondiciones=0; SolucionC(k,1:n)=MatrizSolucion(k,1:n); SolucionS(k,1:n)=MatrizSolucion(k,n+1:2*n);

end

%Generación de gráficas

figure;

2016

26

FILTRACION DE MEDIOS POROSOS

yL=0:Ax:L-Ax; xL=0:At:TiempoFinal+At; surf(yL(:),xL(:),SolucionC); title('Concentración C'); xlabel('Longitud'); ylabel('Tiempo'); zlabel('Concentración C');

figure; yL=0:Ax:L-Ax; xL=0:At:TiempoFinal+At; surf(yL(:),xL(:),SolucionS); title('Concentracion S'); ylabel('Tiempo'); xlabel('Longitud'); zlabel('Concentración S'); tiempo=0:At:TiempoFinal+At; logT=log(tiempo(:)); logCI=log(SolucionC(:,1)); logCF=log(SolucionC(:,n)); logSI=log(SolucionS(:,1)); logSF=log(SolucionS(:,n));

figure; subplot(1,2,1); plot(tiempo(:),SolucionC(:,1)); title('Concentración C') xlabel('Tiempo'); ylabel('Concentración C'); hold on plot(tiempo(:),SolucionC(:,n),'r'); hold off; subplot(1,2,2); plot(tiempo(:),SolucionS(:,1)); title('Concentración S') xlabel('Tiempo'); ylabel('Concentración S'); hold on plot(tiempo(:),SolucionS(:,n),'r'); hold off;

figure subplot(1,2,1); plot(logT(:),logCI(:)); hold on; plot(logT(:),logCF(:),'r'); hold off; title('Concentración C log') xlabel('log(Tiempo)'); ylabel('log(Concentración C)'); subplot(1,2,2); plot(logT(:),logSI(:)); title('Concentración S log'); xlabel('log(Tiempo)'); ylabel('log(Concentración S)'); hold on; plot(logT(:),logSF(:),'r');

2016

27

FILTRACION DE MEDIOS POROSOS

hold off; title('Concentración S log') xlabel('log(Tiempo)'); ylabel('log(Concentración S)');

2016