UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE

FACULTAD DE INGENIERACARRERA PROFESIONAL: INGENIERA CIVILMODELAMIENTO DE UN RESERVORIO

CURSO: CALCULO 3

TEMA: PROYECTO T3

PROFESOR: CARUAJULCA MUOZ ERNALDO

ALUMNOS: CALIXTO FAJARDO ANTONY CARRANZA CHALAN ANGELO AYALA ZARATE CRISTHIAN GEOGE

FECHA: 28/05/14

1. RESUMENEl siguiente proyecto a presentar trata de dar a conocer lo aprendido en calculo III mediante la aplicacin de mtodos como multiplicadores de Lagrange, aplicaciones de caudal y optimizacin e integrales.Este proyecto tiene un fin de dar mejoras a la poblacin contribuyendo con las necesidades de nuestra poblacin con el fin de que podamos utilizar mejor los recursos hdricos de nuestro pas, y reducir problemas sociales que hoy en da nos afecta por los escases de agua que cada da va con ms necesidades de obtenerla.Los resultados a conocer en esta investigacin fueron de una optimizacin en el costo y diseo, es lo que toda obra civil busca reducir el costo y mayores beneficios a la poblacin, mejorando la calidad de vida.La finalidad de nuestro proyecto no solo se basa en tratar de optimizar los cost ni las dimensiones, sino darle una importancia a problemas sociales como la escasez de agua. Colaborando con la poblacin y con el medio ambiente. Por ello es necesario aplicar los conocimientos aprendidos en clase para demostrar que son fundamentales para el bienestar humano.

2. FORMULACIN DEL PROBLEMA Cmo podemos aprovechar el agua del rio en pocas sequias y lluvias? Podemos disear un reservorio en un rea lmite optimizando los recursos de materia prima?

3. OBJETIVOS

3.1. Objetivo General Calcular las dimensiones de nuestro reservorio utilizando LaGrange. Optimizacin de costos de material de construccin.

3.2. Objetivos especficos

Calcular la velocidad con la que el agua ingresa al reservorio. Calcular el volumen del agua a captar. Disear la bocatoma.

4. MARCO TERICO

4.1. OPTIMIZACIN CON FUNCIONES La optimizacin es una aplicacin directa del clculo diferencial y sirve para calcular mximos y mnimos de funciones sujetas a determinadas condiciones. La aplicacin prctica de los problemas de optimizacin es bien clara: calcular superficies o volmenes mximos, costes mnimos, forma ptima de determinadas figuras.Es importante en este tipo de problemas identificar claramente la funcin a optimizar que suele depender de dos variables. El ejercicio nos dar una condicin que liga a ambas y lo que debemos hacer es despejar una de ellas y sustituirla en la funcin a optimizar, de forma que tengamos una sola variable. A partir de aqu aplicaremos la teora del clculo diferencial para identificar mximos o mnimos.

4.2. MTODO DE LAGRANGEEn los problemas deoptimizacin, el mtodo de losmultiplicadores de Lagrange, llamados as en honor aJoseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los mximos y mnimos de funciones de varias variables sujetas a restricciones. Este mtodo reduce el problema restringido connvariables a uno sin restricciones den+k variables, donde k es igual al nmero de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas ms fcilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restriccin, son llamadas multiplicadores de Lagrange. El mtodo dice que los puntos donde la funcin tiene un extremo condicionado con k restricciones, estn entre lospuntos estacionariosde una nueva funcin sin restricciones construida como unacombinacin linealde la funcin y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.La demostracin usaderivadas parcialesy laregla de la cadenapara funciones de varias variables. Se trata de extraer una funcin implcita de las restricciones, y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a lasvariables independientesde la funcin sean iguales a cero.

5. MARCO CONCEPTUAL5.1. Caudal (Fluido)En dinmica de fluidos, caudal es la cantidad de fluido que pasa en una unidad de tiempo. Normalmente se identifica con el flujo volumtrico o volumen que pasa por un rea dada en la unidad de tiempo. Menos frecuentemente, se identifica con el flujo msico o masa que pasa por un rea dada en la unidad de tiempo.El caudal de un ro puede calcularse a travs de la siguiente frmula:

Donde: Q, Caudal ([L3T1]; m3/s) A, Es el rea ([L2]; m2) V, Es la velocidad lineal promedio. ([LT1]; m/s)

5.2. BOCATOMA SUMERGIDA

Son estructuras empleadas para captaciones de pequeas cantidades de agua en ros, en las cuales la lmina de agua se reduce considerablemente. El objetivo de este tipo de estructuras es que se puedan proyectar de tal forma que se acomode al lecho del ro, procurando que en pocas de caudal mnimo el agua pase por la rejilla. El agua captada mediante la rejilla localizada en el fondo del ro, se conduce a una caja de donde la tubera sale al desarenador.

Este tipo de bocatomas constan de lo siguiente:

Una presa para represar el agua, colocada de manera normal a la corriente. Muros laterales de contencin para proteger la presa y encauzar el ro. Una rejilla colocada sobre la presa cubriendo la canaleta de aduccin. Un canal de aduccin colocada dentro de la presa y debajo de la rejilla. Una cmara de recoleccin de agua situada al final de la canaleta. Un vertedero de excesos dentro de la cmara de recoleccin, para arrojar al ro los excesos de agua que no transporten por la tubera de conduccin.

5.3. RESEVORIOEstos reservorios sirven para el almacenaje de aguas servidas (o "aguas residuales") a largo plazo.

El propsito del almacenamiento es doble: 1. Poder descargar los efluentes en el perodo deseado del ao. 2. Obtener efluentes de alta calidad. Los proyectos de reso en irrigacin con aguas servidas deben resolver el desfasaje entre la produccin continua de aguas servidas de la ciudad y la demanda discontinua del agua para irrigacin en agricultura. Los reservorios de almacenamiento aguas residuales permiten una operacin flexible de estos sistemas y optimizan el uso del agua, aumentan el rea agrcola que puede ser irrigada, y liberan efluentes de calidad alta y confiable.6. DESARROLLO DEL PROBLEMA6.1. Calculando el rea del bocatoma y el caudal del ro en un da Diseo de la entrada de agua:Longitud: 25mRadio 3mTeniendo como rea: A= Hallando la velocidad con la que viaja el ro

El caudal por da ser: Si en 1segundo llena 20 m3 En un 1hora llena 72000 m3 En un da llena 1728000 m3

7. CALCULO DEL RESERVORIO POR EL METODO DEL LAGRANGE7.1. Calculo de las dimensiones del reservorio por el mtodo de LagrangeVolumen mximo: m3rea superficial: 7.2. Hallando la gradiente de la funcin restriccin

7.3. Gradiente de la funcin a disear

7.4. Aplicando la ecuacin de Lagrange

Igualando componentes 1 2 3

Despejamos landa = = Igualamos landa

Sustituimos en la ecuacin 1 m3 m3Despejando:

y el radio se halla reemplazando en:

Estas son las dimensiones que producen el volumen mximo de un tanque de forma cilndrica para un volumen de 1728000 m3 de agua.

Si diseamos la forma del reservorio con un espesor de: muro, tapa y base con una medida de 0.2 m obtendremos el volumen de concreto:

Volumen total: 1358224.68 m3

7.5. Calculamos el volumen del concreto y sus costos

La diferencia entre los dos ser el volumen de concreto:

Volumen total: 1728000 m3 - 1358224.68 m3 369775.68 m3

Volumen del espesor del material a utilizar 369775.68 m3 Sabemos que:

Entonces para:

Costos Totales Soles Soles Soles Total de la inversin es: S/.128480091.8 soles

8. CONCLUSIONES

A lo largo del trabajo hemos podido observar que el gran nmero de actividades estn relacionadas con las matemticas, para ser especficos, los multiplicadores de Lagrange las cuales nos ayudan en el clculo, sabiendo cuanto es lo mximo que puede almacenar en un da y a partir de ah optimizar el rea superficial del reservorio.

Para cerrar esta investigacin, concluiremos que el desarrollo de las integrales tiene un papel muy importante en nuestra carrera.

9. RECOMENDACIONESCuando se calculan derivadas parciales se debe tener cuidado al realizar cada proceso ya que un mal clculo puede malograr todo nuestro proyecto.

Realizar la toma de datos con mucho cuidado ya que de estos depender la elaboracin de un trabajo. Usar bien y tener en claro que son las integrales.

10. BIBLIOGRAFIA#CDIGOAUTOR TTULOEDICIN, AO DE PUBLICACIN, EDITORIAL

1515.15 LARSLarson-HostetlerClculo Octava edicin, Espaa 2006. Edit. Mac Graw Hill

3515 STEW/M 2002Stewart, James.Clculo multivariableCuarta edicin, Mxico 2001, Edit. Thomson