Calcular las asntotas de una funcinIntroduccinUno de los temas ms interesantes del estudio del anlisis de funciones de los ltimos cursos de bachillerato (y primero de carrera) es la representacin de funciones de una variable. Y entre los clculos que se entienden necesario para recopilar datos suficientes para la representacin se encuentra elclculo de las asntotasde la funcin. En este artculo, muy adecuado teniendo en cuenta las fechas en las que estamos (cerca de los exmenes de septiembre), vamos a ver cmo realizar dicho clculo.Definicin y tiposPodemos definir el concepto deasntotade la siguiente forma:Dada una funcincuya grfica es la curvase dice que la rectaes unaasntotadesi la curvase acerca aindefinidamente sin llegar a coincidir con la propia.Teniendo en cuenta que una asntota es, en particular, una recta, vamos a distinguir tres tipos de asntotas: Asntotas horizontales Asntotas verticales Asntotas oblicuasAsntotas horizontalesLasasntotas horizontalesde una funcin son rectas horizontales de la forma. Una funcin puede tener a lo sumo dos asntotas horizontales: una por la izquierda (cuando) y otra por la derecha (cuando). Se calculan de la siguiente forma:Si, entonceses una asntota horizontal para(por la izquierda).Si, entonceses una asntota horizontal para(por la derecha).Por tanto podemos encontrarnos los siguientes casos:1. Funciones que no tienen asntotas horizontalesPor ejemplo,cumple que los dos lmites expuestos anteriormente dan como resultadoyrespectivamente. Vemos su grfica:

2. Funciones que tienen una asntota horizontal que lo es slo por un ladoComo ejemplo tenemos la funcin. En este caso, por lo quees una asntota horizontal depor la izquierda, y, por lo que por la derecha no tenemos asntota horizontal. Vemos su grfica junto a su asntota (en azul):

3. Funciones que tienen una asntota horizontal que lo es por los dos ladosPor ejemplo,. En este caso,, por lo que la rectaes asntota horizontal detanto por la izquierda como por la derecha. Vemos su grfica junto a su asntota (en azul):

4. Funciones que tienen dos asntotas horizontales distintasPor ejemplocumple que, por lo quees asntota horizontal depor la izquierda y, por lo quees asntota horizontal depor la derecha. Podis ver su grfica junto a sus dos asntotas (en azul) en la siguiente imagen:

Asntotas verticalesLasasntotas verticalesde una funcin son rectas verticales de la forma. No hay restricciones en cuanto al nmero de asntotas verticales que puede tener una funcin: hay funciones que no tienen asntotas verticales, funciones que tienen slo una, funciones que tienen dos y hasta funciones que tienen infinitas. Se calculan de la siguiente forma:Si, entonceses asntota vertical para(por la izquierda de la misma si el lmite ha dadoy por la derecha si el lmite ha dado).Si, entonceses asntota vertical para(por la izquierda de la misma si el lmite ha dadoy por la derecha si el lmite ha dado).Una de las conclusiones que se pueden sacar a partir de esto es la siguiente: en las asntotas horizontales planteamos siempre los mismos lmites y el resultado es el que nos dice sin existen o no; sin embargo en las verticalesnosotros tenemos que aportar los valores depara los cuales calcular los lmites. Evidentemente debemos aportar puntos para los cuales seafactiblela existencia de asntota vertical (no es demasiado aconsejable probar con valores al azar).Los valorescandidatosa existencia de asntota vertical son los siguientes:1. Valores que anulan algn denominador de la funcinPor ejemplo, paratenemos un candidato a asntota vertical en el punto.2. Extremos de intervalos del dominio que no pertenezcan al propio dominioPor ejemplo, el dominio dees el intervalo. Por tanto,es un candidato a asntota vertical para esta funcin.En consecuencia, lo primero que debemos hacer cuando tengamos que calcular las asntotas de una funcin es calcular su dominio (fundamental para cualquier clculo relacionado con la grfica de una funcin) e igualar a cero todos los denominadores que aparezcan en la misma para recopilar todos los candidatos.Vamos a ver algunos casos interesantes que pueden darse:1. Funciones que no tienen asntotas verticalesPor ejemplo,no tiene asntotas verticales (su dominio esy no hay denominadores):

2. Funciones que tienen una asntota vertical por los dos ladosPor ejemplo,tiene un candidato a asntota vertical en(anula el denominador). Si calculamos los lmites que hemos comentado anteriormente obtenemos los siguientes resultados:

Por lo tanto la rectaes una asntota vertical parapor los dos lados. Lo vemos en su grfica (la asntota es la recta de color azul):

3. Funciones que tienen una asntota vertical slo por un ladoPor ejemplo,tiene un candidato a asntota vertical en(anula los dos denominadores que tiene la funcin). Calculamos los lmites:

Por tanto la rectaes una asntota vertical paraslo por el lado derecho de la recta(por el lado por el que el lmite correspondiente da). Vemos la grfica de la funcin a la izquierda y a la derecha de:

4. Funciones que tienen infinitas asntotas verticalesHemos comentado antes que una funcin puede tener cualquier nmero de asntotas verticales. El caso posiblemente ms curioso es el de una funcin que tenga infinitas asntotas de este tipo. El ejemplo ms conocido es el de la funcin. La razn es la siguiente:Comotenemos que los candidatos a asntota vertical de esta funcin son los valores que anulen el denominador.Por otra parte, la ecuacintiene infinitas soluciones, en concreto todos los nmeros de la formacon.Se puede comprobar de forma sencilla (con los lmites anteriores) quetiene una asntota vertical en cada uno de esos puntos, por lo quetiene infinitas asntotas verticales. Lo vemos en su grfica (las asntotas en azul):

Asntotas oblicuasLasasntotas oblicuasde una funcin son rectas oblicuas, es decir, rectas de la forma. Una funcin puede tener, como mximo, dos asntotas oblicuas distintas (una por la izquierda de su grfica y otra por la derecha de la misma). El clculo de las mismas se realiza as:Asntota oblicua por la izquierda

Sida un resultado distinto deyprodecemos con el clculo dede esta forma:

Sida como resultado un nmero real (es decir, ese lmite no vale nini), entonces la rectaes una asntota oblicua parapor la izquierda.Asntota oblicua por la derecha

Sida un resultado distinto deyprodecemos con el clculo dede esta forma:

Sida como resultado un nmero real (es decir, ese lmite no vale nini), entonces la rectaes una asntota oblicua parapor la derecha.Podemos encontrarnos entonces los siguientes casos:1. Funciones que no tienen asntotas oblicuasPor ejemplo, la funcinno tiene asntotas oblicuas ya que al calculartanto por la izquierda como por la derecha obtenemos. Su grfica es la parbola que nos solemos encontrar con ms frecuencia:

2. Funciones que tienen una asntota oblicua por los dos ladosPor ejemplo, la funcintiene una nica asntota oblicua, que adems lo es por los dos lados. Veamos cul es exactamente dicha asntota:

Por tanto la asntota oblicua por la izquierda es.Si realizamos los clculos cuandoel resultado es el mismo. Por tanto la rectaes asntota oblicua de la funcin por los dos lados. Lo vemos en la siguiente grfica (la asntota oblicua en azul):

3. Funciones que tienen una asntota oblicua slo por un ladoCurioso caso, complicado de encontrar por otra parte. Un ejemplo (sacado dela entrada sobre asntotas de la Wikipedia inglesa) puede ser la funcin. Su grfica es:

4. Funciones que tienen dos asntotas oblicuas distintasAunque tampoco es fcil encontrar una funcin de este tipo, aqu os traigo una. Concretamente es la funcin. Esta funcin tiene dos asntotas oblicuas, a saber, la rectay la recta. Las vemos en la siguiente grfica en color azul junto a la grfica de la propia funcin:

Dos grandes mentiras sobre las asntotasComo hemos comentado antes el clculo de las asntotas de una funcin real de variable real es parte del currculo de bachillerato. En l, por norma general (en realidad por experiencia personal y por comentarios de mis alumnos durante aos), podemos encontrar dos grandes mentiras sobre las asntotas de una funcin. Vamos a verlas y a darles una explicacin ms acorde con la realidad: Una funcin no puede cortar a una asntota suyaPrimera mentira sobre las asntotas: una funcins puede cortar a una asntota suya. Un claro ejemplo de ello es la funcin. Esta funcin tiene una asntota horizontal,, por los dos lados. Lo vemos en la siguiente grfica:

Vemos en la imagen que la funcin corta infinitas veces a su asntota tanto por un lado como por el otro. Una funcin no puede tener asntotas horizontales y oblicuas a la vezSegunda mentira sobre las asntotas: una funcins puede tener asntotas horizontales y oblicuas a la vez.Generalmente, en bachillerato se dice lo siguiente:Comenzad con el clculo de las asntotas horizontales. Si no aparece ninguna estamos obligados a calcular las oblicuas, pero si nos aparece alguna nos podemos evitar el clculo de stas ltimas ya que en este caso tenemos asegurado que no habr.Eso esfalso. Valga este ejemplo como explicacin:

S. es el mismo ejemplo mostrado antes sobre funcin con una asntota oblicua slo por un lado. En concreto esta funcin tiene los tres tipos de asntotas.Como podis ver hay funciones que presentan los dos tipos de asntotas. Lo que s es cierto es lo siguiente:Una funcin no puede tener una asntota horizontal y otra oblicuapor el mismo lado.Es decir, no podemos tener una asntota horizontal y otra oblicua por la izquierda de la grfica () ni por la derecha (). Pero una funcin s puede presentar una horizontal por un lado y una oblicua por otro.