Calcular la masa de un planeta a partir del movimiento de ...

Caso Científico CESAR

La Masa de Júpiter

Calcular la masa de un planeta a partir del movimiento de sus lunas

Guía del Profesor

La Masa de Júpiter Caso Científico CESAR

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Tabla de contenidos

Ficha técnica ................................................................................................................................. 4

Resumen de las actividades ........................................................................................................ 5

Introducción .................................................................................................................................. 7 Leyes de Kepler ............................................................................................................................................ 8

Descripción de la actividad .......................................................................................................... 9 Actividad 1: Propiedades de las lunas Galileanas. Elige tu luna favorita ................................................... 10 Actividad 2: Calcula el período de tu luna favorita ...................................................................................... 10 Actividad 3: Calcula el radio de la órbita de tu luna favorita ....................................................................... 13 Actividad 4: Calcula la masa de Júpiter ...................................................................................................... 15 Actividad Adicional: Predice un tránsito ...................................................................................................... 16

Enlaces ........................................................................................................................................ 19


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Ficha técnica

Datos Didácticos

Edad Recomendada: 16-18

Tipo: Investigación guiada

Complejidad: Media

Tiempo de preparación: 20 minutos

Tiempo lectivo requerido: 1 hora 30 minutos

Ubicación: Interior

Incluye el uso de: Ordenador

Currículum

General

• Trabajo científico.

• Uso de tecnología

Física

• Leyes de Kepler

• Movimiento circular

• Eclipses

Espacio/Astronomía

• Exploración y estudio del Universo.

• El Sistema solar

• Órbitas

Necesitarás…

• Lápiz, papel y un ordenador con el software instalado (Cosmographia y Stallarium)

Para saber más…

• CESAR Booklets: – Planetas – Stellarium – Cosmographia

Descripción

En estas actividades los estudiantes aplicarán su conocimiento sobre órbitas a cuerpos celestes.

Los estudiantes medirán los principales parámetros orbitales para poder calcular otros parámetros también interesantes.

Los estudiantes deben saber…

1. Parámetros orbitales (velocidad, distancia…) 2. Leyes de Kepler 3. Matemáticas básicas 4. Conversion de unidades

Los estudiantes aprenderán…

1. Como aplicar teoría a situaciones astronómicas reales

2. Primeros pasos en software astronómico 3. Como hacer mediciones correctamente y de

manera científica 4. Como predecir eventos astronómicos

Los estudiantes mejorarán…

• Su comprensión del pensamiento científico.

• Sus estrategias para trabajar según el método científico.

• Sus competencias de trabajo en grupo y de comunicación.

• Sus competencias de evaluación.

• Su habilidad de aplicar conocimiento teórico a situaciones reales.

• Sus competencias en el uso de las TIC


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Resumen de las actividades

Título Actividad Resultados Requisitos Tiempo

1. Propiedades de las Lunas Galileanas. Elige tu luna

Utilizando Cosmographia los alumnos escogerán su luna galileana favorita, que utilizarán a lo largo del resto de actividades.

Los alumnos mejorarán:




Cosmographia instalado

Guía de instalación de Cosmographia en:

• Cosmographia Booklet

10 min

2. Calcula el periodo de tu luna favorita

Ahora utilizando Stellarium será posible realizar medidas científicas para obtener el período de rotación de la luna elegida.





• Actividad 1 completa.

• Stellarium instalado

Guía de instalación de Stellarium en:

• Stellarium Booklet

10 min

3. Calcula el radio de la órbita de tu una favorita

De nuevo utilizando Stellarium será posible realizar medidas científicas para obtener la el radio de la órbita y velocidad de lineal con la que se mueve la luna.

Los alumnos aprenderán:

• Como los astronomos hacen cálculos






• Actividades 1 y 2 completas.

• Stellarium instalado

Guía de instalación de Stellarium en:

• Stellarium Booklet

15 min


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Título Actividad Resultados Requisitos Tiempo

4. Calcula la masa de Júpiter

Haciendo uso de la tercera ley de Kepler y los resultados previamente obtenidos será posible calcular la masa de Júpiter


• Como los astronomos hacen cálculos


• Los pasos finales del método científico.

• Actividades 1,2 y 3 completas

• Conocimiento básico sobre las leyes de Kepler

5 min

5. Actividad adicional: Predice un tránsito

Tras haber calculado el período orbital de una luna, como actividad extra, los alumnos podrán predecir cualquier futuro tránsito una vez hayan encontrado uno.


• Cómo planificar sesiones astronómicas para un evento determinado






• Actividades 1,2 y 3 completas

15 min


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Introducción

Para realizar este Caso Científico es necesario la instalación del siguiente software:

- Cosmographia: https://www.cosmos.esa.int/web/spice/cosmographia

- Stellarium: http://stellarium.org/ Puede encontrar Booklets con información sobre como instalar y configurar ambos programas. Link 1 Link2

Figura 1: Cosmographia

Figura 2: Stellarium

https://www.cosmos.esa.int/web/spice/cosmographia

http://stellarium.org/


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Leyes de Kepler

Las tres leyes de Kepler, publicadas entre 1609 y 1619, fueron una gran revolución para el siglo XVII. Con ellas los científicos fueron capaces, por primera vez, de hacer predicciones con una precisión inimaginable previamente, lo que permitió cambiar drásticamente la noción geocéntrica de Ptolomeo (que establecía que la Tierra era el centro del Universo); y del modelo heliocéntrico de Copérnico (que argumentaba que era el Sol el que se encontraba en el centro y los planetas se movían en torno a órbitas circulares). Estas leyes pueden resumirse:

1. Primera Ley: Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas. El Sol se encuentra en uno de los focos de la elipse.

2. Segunda Ley: El radio vector que une un planeta y el Sol recorre áreas iguales en tiempos iguales.

Figura 3: Segunda ley de Kepler. a y b son los semiejes (mayor y menor) y los puntos negros los focos de la elipse

(Créditos: Wikipedia)

3. Tercera Ley: Para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital es directamente proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor (a) de su órbita elíptica. Considerando que el planeta se mueve en una órbita circular sin rozamiento, la fuerza gravitacional se compensa con la fuerza centrífuga. Por tanto, la tercera ley de Kepler puede expresarse matemáticamente así:

Nótese que 𝑀 es la masa del objeto principal, y 𝑚 es la masa del objeto que orbita, 𝑣 es la

velocidad lineal de este cuerpo, 𝑅 es el radio de la órbita, 𝜔 es u velocidad angular, 𝑇 es su periodo y 𝐺 es la constante de gravitación universal, cuyo valor es

𝐺 = 6.674 ∙ 10−11 𝑚3 𝑘𝑔−1 𝑠−2

𝐹𝐺 = 𝐹𝐶 → 𝐺𝑀𝑚

𝑅2= 𝑚 𝑎𝑐 (1)

𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑎𝑐 =𝑣2

𝑅 →

𝐺𝑀𝑚

𝑅2= 𝑚

𝑣2

𝑅 (2)

𝑦 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑣 = 𝜔 ∙ 𝑅 =

2𝜋

𝑇 𝑅 (3)


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Descripción de la actividad

Durante estas actividades los estudiantes harán uso de dos de los programas más utilizados en astronomía práctica. Su objetivo será obtener la masa de Júpiter aplicando las leyes de Kepler y unas nociones básicas de matemáticas, a partir de mediciones hechas con Cosmographia y Stellarium.

La masa puede ser calculada a partir del radio y el período de sus lunas. Hasta el 2018, se han descubierto un total de 79 lunas orbitando al gigante gaseoso. Estas pueden ser divididas en 2 grupos:

- Lunas Irregulares: objetos pequeños con órbitas muy excéntricas.

- Lunas Regular: objetos de mayor tamaño y con órbitas casi circulares.

o Internas: Estas lunas orbitan muy cerca de Júpiter. Varias de estas lunas internas son Amalthea, Thebes, Metis y Adraste, que son las de mayor tamaño. Pueden observarse en Cosmographia y en Stellarium.

Figura 4: Lunas Internas de Júpiter (Créditos: Misión Galileo, NASA)

o Principales: Son lunas de mayor tamaño que las internas. Las lunas principales son

Ío, Europa, Ganímedes y Calisto. También son conocidas como lunas Galileanas, ya que Galileo las descubrió por primera vez en 1610. Se encuentran en resonancia orbital (1:2:4). Calisto es la más alejada.

Figura 5: Las 4 lunas Galileanas (Créditos: NASA)

Para este Caso Científico, los estudiantes tendrán primero que elegir una de estas cuatro lunas, con la cual harán las mediciones más adelante. Otra actividad interesante será comparar el resultado final de la masa de Júpiter entre alumnos que hayan elegido diferentes lunas, ya que esta ha de ser la misma independientemente de la luna escogida.


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Actividad 1: Propiedades de las lunas Galileanas. Elige tu luna favorita

Se empleará Cosmographia para esta actividad. Tal y como aparece en el booklet de instalación Cosmographia los estudiantes tendrán que activar, haciendo click derecho en el ratón:

- La trayectoria de las 4 lunas (paso 5 de la guía del estudiante) - Las propiedades de cada luna (paso 6 de la guia del estudiante

La solución a la tabla pedida es:

Tabla 1: Tabla de propiedades de las lunas galileanas, con solución

Objetos Masa (kg) Radio (km) Densidad (g/cm3)

Júpiter 1.8982 ∙ 1027 69 911 1.326

Ío 8.9319 ∙ 1022 1 824 3.53

Europa 4.8000 ∙ 1022 1 563 3.01

Ganímedes 1.4819 ∙ 1023 2 632 1.94

Calisto 1.07594 ∙ 1023 2 409 1.84

Actividad 2: Calcula el período de tu luna favorita

Para esta actividad se empleará Stellarium. Los estudiantes tienen que calcular el periodo de su luna mientas aprenden los controles básicos del programa, cambiando la velocidad del paso del tiempo. Una vez abierto Stellarium los pasos a seguir son:

1. Abrir la consola, pulsando F12, y copiar el siguiente script

2. Su vista será desplazada hasta Júpiter (similar a la Figura 6)

core.setObserverLocation("Madrid, Spain");

LandscapeMgr.setFlagLandscape(false);

LandscapeMgr.setFlagAtmosphere(false);

LandscapeMgr.setFlagFog(false);

core.selectObjectByName("Jupiter", true);

core.setMountMode("equatorial");

core.setTimeRate(3000);

StelMovementMgr.setFlagTracking(true);

StelMovementMgr.zoomTo(0.167, 5);


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Figura 6: Vista de Júpiter y sus lunas en Stellarium, después de correr el script

3. Ahora tendrán que calcular el período orbital de su luna escogida. Es bastante simple, deben elegir una posición determinada de su luna y anotar la fecha y hora de este. Pasado un tiempo la luna volverá a pasar por el mismo sitio de referencia, entonces apuntarán esta segunda fecha y hora. La diferencia en tiempo será el período de la luna. Debemos recordar que aunque el movimiento de las lunas sea circular, desde la Tierra vemos que se mueven en una línea recta, como aparece ilustrado en la Figura 7.

4. El valor real de los períodos de las lunas aparece en la Table 2

Figura 7: Jupiter Moons visualization (Créditos: CESAR)

Luna Período Orbital

Ío 1 𝑑í𝑎 18.45 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

Europa 3 𝑑í𝑎𝑠 12.26 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

Ganímedes 7 𝑑í𝑎𝑠 3.71 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

Callsto 16 𝑑í𝑎𝑠 16.53 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

Table 2: Período de las lunas


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A modo de ejemplo:

Tu luna Europa

Fecha inicial (YYYY-MM-DD hh:mm:ss) Fecha final (YYYY-MM-DD hh:mm:ss)

2018-09-01 03:05:00 2018-09-04 15:25:00

Calcula la diferencia de tiempo aquí

Mismo año y mismo mes

4to – 1ero = 3 días

15h – 3h = 12 h

25 min – 05 min = 20 min

Y 1h = 60 min ; → 20 min = 0.3 h

Período 3 días 12 . 3 horas

Esta actividad puede realizarse también con Cosmographia, modificando el ritmo del tiempo.


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Actividad 3: Calcula el radio de la órbita de tu luna favorita

Para esta actividad los estudiantes tienen que calcular el radio orbital de su luna, ya que la tercera ley de Kepler implica a este término, necesaria para hallar la masa de Júpiter. Tal y como explica en el Booklet de instalación de Stellarium, el plugin “Medición de ángulos” tiene que estar activado.

La relación entre la distancia angular (𝜃) y el radio de la órbita de cada luna (𝑅), puede ser calculada empleando trigonometría básica; y por último, la distancia de la Tierra a Júpiter (𝑑𝐽𝐸) la proporciona

Stellarium.

Como puedes ver en la Error! Reference source not found. utilizando la definición del seno de ángulo:

“el seno de un ángulo 𝜽 de un triángulo rectángulo, se define como la razón entre el cateto opuesto a dicho ángulo y la hipotenusa”.

Que puede ser expresada matemáticamente con la ecuación (4):

𝑅 = 𝑑𝐽𝐸 · 𝑠𝑖𝑛 𝜃 (4)

La distancia de la Tierra a Júpiter aparece en el lado izquierdo de nuestra pantalla:

Figura 9: Vista de Stellarium con información del objeto astronómico. La distancia a la tierra está en la imagen de la derecha rodeada

Figure 8: Diagrama para calcular la distancia de Júpiter a tu luna (Créditos: CESAR)


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Con esta información, pueden ser calculados la velocidad orbital y el radio.

De nuevo, a modo de ejemplo, y usando también los datos anteriores (2018-09-01):

Máxima distancia 𝜃 entre Júpiter y tu luna

0 ° 2 ‘ 40.31 ‘’ 0,0445 °

𝑑𝐽𝐸 = 5.718 𝐴𝑈 8.55 · 108 𝑘𝑚

𝑅 = 𝑑𝐽𝐸 𝑠𝑖𝑛 𝜃

R = 8.55 · 108 sin ( 0.445 º) = 664 761 km

Y lo pasamos a metros multiplicando por 103

𝑣 = 𝜔 ∙ 𝑅 =2𝜋

𝑇 𝑅

T = 3 d 12.3h = 3·24+12.3 h = 84.3 h = 84.3 h·3600 s

1 h = 303 480 s

v= 2π

303480 6.64·108 = 13.76·103 m/s = 13 763 m/s

Tabla 3: Tabla con la velocidad orbital y el radio de las lunas galileanas (Créditos: Wikipedia)

𝑅 = 664 761 𝑘𝑚 6.64 · 108 𝑚

𝑣 = 13 763 𝑚/𝑠

Luna Radio orbital (km)

(Semi-eje mayor)

Velocidad orbital (m/s)

Ío 421 700 17 334

Europa 670 900 13 740

Ganímedes 1 070 400 10 880

Calisto 1 882 700 8 204


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No se proporciona un valor de referencia para 𝜃 , ya que depende en gran medida de la distancia a la que se encuentra Júpiter de la Tierra, y esta oscila bastante. Será en el paso siguiente, cuando utilicen el valor de 𝜃 para calcular el radio de la órbita 𝑅, cuando se podrá comprobar si la medida de 𝜃 es válida o no. El profesor ha de comparar este resultado de 𝑅 con el tabulado en la Tabla 3

para cada luna.

Debido a errores en la medida (tanto al hecho de medir como en el de parar la animación) el resultado obtenido por los estudiantes no será exactamente el mismo, variará ligeramente. Un error (𝑬𝑹 ) menor o igual que el 5% será aceptable, en caso contrario se recomienda repetir las

mediciones.

Para hallar el error relativo de las medidas usaremos la ecuación (5), resuelto debajo además para el ejemplo anterior (2018-09-01):

𝑬𝑹 =| 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑴𝒆𝒅𝒊𝒅𝒐 − 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑹𝒆𝒂𝒍 |

𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑹𝒆𝒂𝒍· 𝟏𝟎𝟎 (𝟓)

→ ER=| 664 761-670 00 |

670 00 · 100 =

5 329

670 000· 100 = 0.78%

Nota: Un valor negativo en el error significa que no se ha aplicado el valor absoluto de la ecuación (5)

Actividad 4: Calcula la masa de Júpiter

El valor más preciso medido para la masa de Júpiter es:

Sustituye R y T en la tercera ley de Kepler, podemos obtener el valor de la masa de Júpiter es directo:

𝐺𝑀𝐽

4𝜋2=

𝑅3

𝑇2 → 𝑀𝐽 =

4𝜋2

𝐺

𝑅3

𝑇2

Y siguiendo con el ejemplo anterior:

MJ = 4π2

G

R3

T2 =

4π2

6.674 · 10-11 m3 kg-1 s-2·(6.64 · 108 m )3

(303 480 s)2 = 1.8867· · 1027 kg

𝑀𝐽 = 1.8982 · 1027 𝑘𝑔


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Actividad Adicional: Predice un tránsito

Para predecir un tránsito el software más adecuado es Stellarium. Si añadimos el siguiente código (para abrir la consola de nuevo pulsa F12) al script previo:

Figura 10: Tránsito de Ío y Europa, visto con Stellarium

Júpiter llenará toda la pantalla (Figura 10), y el script de arriba está configurado para ver directamente el tránsito de Ío y de Europa del 17 de Agosto de 2018. Para encontrar nuevos

tránsitos, primero hay que pulsar en , o al número 8 del teclado, así habremos llevado a Stellarium a la fecha y hora actuales.

Después, pulsando en el botón , podremos aumentar el ritmo al que pasa el tiempo. Cada vez que lo pulsemos estaremos aumentando x10 este ritmo, por lo que con pulsarlo 2 o 3 veces será suficiente.

Si pulsamos sobre pararemos la animación. La Figura 11 nos muestra el menu de Stellarium para modificar todos estos parámetros del tiempo, que se encuentra en la parte inferior de la pantalla.

Figura 11: Menú para configurar el tiempo en Stellarium


core.setDate("2018:08:17T00:20:50","utc");



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Para poder predecir tránsitos de una luna en particular se ha de tener en cuenta el período calculado en las actividades previas. Por lo que, una vez encontrado un tránsito, añadiendo el tiempo que tarda en dar una vuelta completa, el período, podrán predecir futuros tránsitos. Para esta actividad no se recomienda predecir un tránsito de Calisto. El motivo es que las lunas no orbitan de manera paralela al ecuador de Júpiter, sino que suelen tener un ángulo de inclinación. Y al ser Calisto la luna galileana más alejada del planeta, el tránsito que es una proyección sobre la superficie no es visible desde la Tierra siempre. Aunque dos satélites tengan la misma inclinación esto no garantiza que desde el lugar donde estemos observando podamos ver el tránsito. La Figura 12 nos ilustra un poco mejor esta explicación. Para los alumnos que lo hayan escogido han de cambiar a otra luna para el desarrollo de esta actividad. El profesor puede proporcionar los datos de los períodos de la segunda luna que escojan.

Figura 12: Representación de la inclinación de una órbita (no a escala real). La línea azul apunta en dirección a la Tierra. La luna amarilla orbita cerca de Júpiter, por lo que este tránsito si sería visible. La luna verde a pesar de tener la misma inclinación, pero

estar más alejada, no sería visible.


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Y por último, a los estudiantes se les pregunta:

Profesores y alumnos pueden comprobar si su predicción es válida introduciendo la fecha obtenida en Stellarium, y ver si la sombra de la luna aparece por la superficie de Júpiter. Podremos hacerlo de dos maneras:

• Por consola: Abre la consola pulsando F12 y añade las siguientes líneas al codigo de la Actividad 2. Antes de correrlo tienes que cambiar en la segunda línea la fecha y poner la del tránsito predicho. Una vez hecho esto, corre el script.

• Usando la interfaz gráfica: Usa los botones de la Figura 11 para desplazarte hasta tu fecha del futuro tránsito.

Respuesta a las preguntas de la guía del estudiante

¿Crees que podremos observar siempre estos tránsitos con un telescopio en la Tierra? ¿Y

con telescopios en satélites? Explica el porqué de tus respuestas

Con telescopios en órbita siempre será posible ver este tipo de tránsitos. Sin embargo, con

telescopios desde tierra no siempre será así:

• Los telescopios ópticos en la Tierra dependen de las condiciones de luz para hacer

astronomía. Por esto las observaciones en este rango del espectro se realizan tan

solo de noche. Es decir, tan solo podríamos ver los tránsitos en Júpiter que ocurran

por la noche.

• Su avistamiento también depende de la posición de la Tierra en ese momento. Hay

constelaciones que son visibles en verano pero no lo son en invierno, ya que la

Tierra se mueve alrededor del Sol y su eje de rotación está inclinado.

En resumen, la órbita de Júpiter y la de la Tierra son factores a tener en cuenta.


core.setDate("2018:08:17T00:20:50","utc");



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Y de manera alternativa, podemos utilizar la siguiente base de datos: https://www.skyandtelescope.com/wp-content/observing-tools/jupiter_moons/jupiter.html#

Figura 13: Base de datos para predecir tránsitos en Júpiter, de Sky&Telescope

Fijándonos en la Figura 13, para saber si se ha predicho el tránsito correctamente:

• Introduce la fecha del futuro tránsito en la casilla de texto con el nº 1.

• Haz clic en “Recalculate using entered date and time” , que es el recuadro nº 2 , para

poder visualizar la posición de las lunas en esa fecha

• Pulsa “Display satellite events on date above” en el recuadro nº 3 y toda la información

acerca de los tránsitos aparecerá en 4 to recuadro.

Enlaces

1

2

3

4

https://www.skyandtelescope.com/wp-content/observing-tools/jupiter_moons/jupiter.html


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Software

• Booklets CESAR: Cosmographia

• Booklets CESAR: Stellarium

• Guía Oficial de Usuario de Cosmographia https://cosmoguide.org/

• Guía Oficial de Usuario de Stellarium https://github.com/Stellarium/stellarium/releases/download/v0.18.1/stellarium_user_guide-0.18.1-2.pdf

Planetas

• Booklet CESAR: General Understanding of the solar System (solo version en inglés)

Leyes de Kepler

• Caso Científico CESAR Órbitas

• Animación de las Leyes de Kepler http://astro.unl.edu/classaction/animations/renaissance/kepler.html

https://cosmoguide.org/

https://github.com/Stellarium/stellarium/releases/download/v0.18.1/stellarium_user_guide-0.18.1-2.pdf

https://github.com/Stellarium/stellarium/releases/download/v0.18.1/stellarium_user_guide-0.18.1-2.pdf

http://astro.unl.edu/classaction/animations/renaissance/kepler.html

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