Cal Culo Diff i Sica

8/18/2019 Cal Culo Diff i Sica

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G*ro 81 Veamos un ejemplo de estos hechos. Si f (x )= x entonces f (x )=

1 x y si x 0 =2, entonces la diferencialen x 0 es

d y

=

1

2 2d x .

Si porotro lado,queremosdarunaestimación de 4.1. Tomamos x 0 =4 y x =4.1 (un valor cercano a x 0),de modo que x −x 0 =.1, entonces usando la aproximación T (x ):

4.1≈ 4+1

2 4(.1)=2+0.0250=2.0250.

El valor correcto («exacto») con cuatro decimales es 2.0248.

Otra notación . En ocasiones en lugar de escribir

f (x )− f (x 0)≈ f (x 0)(x −x 0)se escribe

∆ f ≈ f (x 0)∆ x .

Como es sabido, la derivada f (x 0) de f en el punto x 0 da la variación (o razón de cambio) instantáneade f en ese punto; esta variación es equivalente a la pendiente de la recta tangente a f en dicho pun-

x 0

f (x 0)

f (x )

T (x )

Figura 3.1: Recta tangente a f en x 0.

to. De este manera, podemos decir que la pendiente de una funcióndiferenciable f en un punto x 0 es la pendiente de la recta tangente ala gráca en ese punto. Un valor pequeño de la pendiente de la rectatangente en un punto x 0 signica entonces que los valores de f en lospuntos x próximos a x 0 cambian poco; sin embargo, un valor grandede la pendiente de la recta tangente, signica que f están cambiandosus valores rápidamente. Si, por ejemplo, consideramos un punto x 1 ala derecha del punto x 0 señalado en la gurade la izquierda, claramen-te f se incrementan más rápidamente que en el punto actual x 0. Estoes, del punto x 1 a otro punto x cercano, la diferencia entre f (x ) y f (x 1),en general, es mayor, que la diferencia existenteentre f (x ) y f (x 0), paravalores x cercanos de x 0. Por otro lado, la gura muestra que cuando x

se aproxima a x 0, entonces la diferencia f (x )−T (x ) se hace cada vez más pequeña.

Si x es un punto cercano a x 0, el error E (x ) = f (x )−T (x ) es pequeño. Esto nos permite aproximar losvalores de una función dada, principalmente si es algo complicada, mediante los valores de la función


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82 Cálculo diferencial e integral I lineal, mucho más sencilla, en puntos x cercanos al punto x 0. De he-cho, hemos mencionado previamente que T (x ) es la función lineal quemejor aproxima a f en puntos cercanos al punto x 0 (en la gráca de la

derecha, se muestra el punto x a la derecha de x 0, obviamente esto esilustrativo, lo mismo es cierto cuando x se localiza a su izquierda, perocercano). De hecho, en el Ejemplo (3), se probó que ĺımx →x 0

E (x )x −x 0 =0.

Lo que indica que el error tiende. muy rápidamente, a cero —tiendea cero aún cuando está dividido por x −x 0 que, generalmente es unacantidad muy pequeña. Esto se ilustra bien en el caso anterior cuandobuscamos una aproximación al valor de 4.1, en donde, claramente,la función debía ser f (x ) = x y se tomó la recta tangente en el puntox 0 =4 (El punto x =4.1 está próximo a 4).

x 0

f (x 0)

f

T E (x )

x

f (x )

Figura 3.2: El error entre la recta tan-gente a f en x 0 y f (x ).

Si f es diferenciable en x 0 y x es un punto cercano a x 0, y si escribimos y = f (x ), y 0 = f (x 0), entonces,podemos expresar ∆ y = y − y 0 = f (x )− f (x 0) y, también, ∆ x =x −x 0. Entonces la derivada de f en x 0

x 0

f (x 0)

f

T

x

f (x )

Figura 3.3: Origen en (x 0, f (x 0).

es igual a ĺımx →x 0∆ y ∆ x y se acostumbra denotarla con

d y dx . Esta notación,

conocida como la notación de Leibniz, no permite especicar clara-mente que la derivada se está tomando en el punto x 0 (como sucedecon la notación f (x 0)), es importante tener en cuenta que d y dx es un só-lo símbolo; no tiene (hasta ahora) ningún signicado aparte de indicarque es la derivada de y con respecto a x ; así, una ventaja de esta nota-ción es que permite decir cuál es la variable con respecto a la que sederiva la otra variable. Consideremos un punto P en el plano con lascoordenadas (x , y ), si movemos el eje x hasta x 0, entonces las coorde-

nadas de P cambian a (x −x 0, y ), moviendo ahora el eje y hasta y 0, P tiene ahora coordenadas ( x ∗, y ∗) =(x −x 0, y − y 0). Así, trasladando losejes x y y hasta el punto el punto de tangencia ( x 0, y 0), la recta tengenteahora pasa por el nuevo origen de coordenadas x ∗ y ∗, y su ecuación es y ∗= f (x 0)x ∗. Si en lugar de y ∗ y x ∗ usamos como nombres de variables d x y d y , entonces la ecuación de la recta tangente a y = f (x ) enel punto x 0 es,d y = f (x 0)d x . Esta ecuación nos permite ahora, darle sentido a la expresión

d y dx como un

cociente de números reales.

Si x es un punto cercano a x 0, entonces ∆ y ≈d y . Esto es si nos movemos de x 0 a x , el valord y es el cam-biosobre la recta tangente y, como es sabido, ∆ y es el cambio en los valores de la función dada, deestose


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G*ro 83sigue que f (x )≈ f (x 0)+d y ; lo que nos permite usar diferenciales paraaproximar los valores de f , o bien, aproximar∆ y . La gura de la dere-cha muestra el valor d y sobre la recta tangente (y en las coordenadas

originales x y ), cuando nos movemos de x 0 a x

Por ejemplo, sabemos que A (r ) =π r 2 es el área de un círculo de radior >0. Si el radio crece de r =4 a 4.1 cm. Podemos usar d A para haceruna estimación delcrecimientodelárea delcírculo.El incremento esti-mado está dado por d A =2π r d r . Como r =5 y, el incremento del radioes d r =∆ r =0.1, tenemos entonces que la estimación en el crecimien-to del área A es, d A =2π (4)(0.1)=.8π cm2. Por lo tanto, ∆ A ≈d A =.8πcm2.

x 0

dx

d y

f

T

x

Figura 3.4: Variación sobre la tangen-te.


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84 Cálculo diferencial e integral I


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Capítulo 4

Aplicaciones de derivadas

En este capítulo estudiaremos algunas propiedades fundamentales de funciones continuas, así comoalgunos aspectos geométricos de sus grácas. Básicamente estudiaremos funcionescontinuas denidassobre intervalos [a ,b ] y no un dominio D de cualquier tipo. Si bien hemos ya establecido algunos con-ceptos que estudiaremos aquí como función acotada y sus valores extremos, lo repetiremos con nespedagógicos.

La continuidad de un función f sobre un intervalo cerrado y acotado1 signica que

f es continua en todo punto interior del intervalo. Esto es, si satisface

ĺımx →x 0

f = f (x 0),

para todo x 0 con a


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86 Cálculo diferencial e integral I si x 0∈(−1,1), entonces ĺım

x →x 0 f = f (x 0)=x

30 −x 0,

en a =−1, ĺımx →−1+

f =0= f (−1),

en b =1, ĺımx →1−

f =0= f (1).

La gráca de la función muestra esta situación:

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Propiedades de las funciones continuas

Si f es una función denida sobre el intervalo cerrado [ a ,b ]. Un número M ∈R es un valor máximo para f sobre el intervalo [a ,b ] si, para todo x

∈[a ,b ],

f (x )≤M y

M

= f (x 0)

para algún x 0∈[a ,b ].

Similarmente, un número m ∈

R esunvalor mínimo para f sobre el intervalo[a ,b ]si,paratodo x ∈

[a ,b ],

m ≤ f (x )


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G*ro 87 y

m = f (x 0)

para algún x 0∈[a ,b ].

Por ejemplo, la función f : [− 3, 3] −→ R denida por f (x ) = x 3 −3x , tiene tanto un valor mínimom =−2 en x =1,comoun valor máximo M =2,en x =−1; es decir,−2= f (1) y 2= f (−1).Esto lo muestrasu gráca:

-2 -1 0 1 2

-2

-1

1

2

A continuación estudiamos dos propiedades fundamentales de las funciones continuas.

1. Se dice que una función f : [a ,b ]−→R tiene la propiedad del valor extremo en [a ,b ] si f tiene unvalor máximo y un valor mínimo en [a ,b ].

2. Se dice que una función f : [a ,b ] −→R tiene la propiedad del valor intermedio en [a ,b ] si, paracualquier y ∈R entre f (a ) y f (b ), existe (al menos) un x en [a ,b ] para el cual f (x )= y .

La siguientegura ilustra la propiedaddelvalor intermedio,obsérvesequepara algunos valores de y hay más de un x tal que f (x )= y .


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a b x

y

f (a )

f (b )

Las guras previas sugieren que si una función dada es continua, entonces tendrá las dos propiedadesfundamentales anteriores. Los dos teoremas siguientes establecen precisamente esto. Su demostraciónqueda fuera delalcance de estas notas, sinembargo,básicamente podemos decir que lo másimportantees que la imagen f ([a ,b ]), siendo f una función continua, es un intervalo. Una advertencia, si la grácaoscila no es intuitivamente claro lo que sucede y requiere más trabajo probar estos hechos.

Teorema 14 (Valores extremos) Si f : [a ,b ]−→R es continua en [a ,b ], entonces f tiene la propiedad del valor extremo en [a ,b ].

Teorema 15 (Valor intermedio) Si f : [a ,b ]−→R es continua en [a ,b ], entonces f tiene la propiedad del valor intermedio en [a ,b ].

Nótese que ambos teoremas arman que existe un número x 0 en [a ,b ] con una cierta propiedad: en elprimer teorema, que f (x 0) es un valor extremo de la función y en el segundo que f (x 0) es un número y entre f (a ) y f (b ).

Ejercicio 11 Si [a ,b ]=[−3,3] y f está denida por

f (x )= |x

|, 0

≤|x

|<1

1−|x |, 1


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G*ro 89Las grácas anteriores sugieren que si una función tiene un valor extremo (máximo o mínimo) en unpunto interior del intervalo, entonces tiene una tangente horizontal en dicho punto; de esta manera,vemos que la derivada tiene una conexión directa con la determinación de dichos valores extremos. El

siguiente teorema establece dicha conexión.

x 0 x 1

Tangente horizontal: f (x 0)=0

Tangente horizontal: f (x 1)=0

Teorema 16 (Valor extremo interior) Si f : [a ,b ]−→R tiene un valor extremo en un punto interior x 0 de [a ,b ] y si f es diferenciable en x 0, entonces f (x 0)=0.

Antes de ir a la demostración del teorema hacemos la siguiente.

Observación. Si ĺımx →x 0 g (x ) = L, entonces en algún pequeño intervalo alrededor de x 0, la función g mantiene el signo de L .

Supongamos que f tiene un valor máximo2 en x 0. Para probar que f (x 0) =0, debe probarse que loscasos f (x 0)>0 y f (x 0)0, entonces existe un pequeño intervalo alrededor de x 0 tal

2La demostración en el caso de un valor mínimo m es similar.


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90 Cálculo diferencial e integral I que

f (x )− f (x 0)x −x 0 >

0, x =x 0

Si tomamos x >x 0, entonces f (x )− f (x 0)>0, de donde f (x )> f (x 0)

lo que contradice que f (x 0) es un valor máximo de f . Por tanto, no es posible que f (x 0)>0.

La prueba de que f (x 0)


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G*ro 91Los valores de f en los puntos extremos del intervalo son

f (−1)=0 y f (2)=6.

Por lo tanto, el punto mínimo es x 1 =1/ 3 y el punto máximo, es el extremo del intervalo x =2. Obvia-mente, el valor mínimo de f es−2/3 3 y el valor máximo es 6.

La gráca de esta función es

5 -2.5 0 2.5

5

10

x =−1 x =2

f (x )=

x 3

−x

Ejercicio 12 Determinar los extremos de la función f (x )=2−|1−x | en [0,2].

Teorema 17 (Rolle) Si f : [a ,b ] −→R es continua en [a ,b ] y diferenciable en (a ,b ) y si, además, f (a ) = f (b ), entonces existe un x 0∈(a ,b ), para el cual f (x 0)=0.

Si f : [a ,b ] −→R es una función constante, entonces f =0 y el teorema es cierto. Supongamos, ahoraque f no es constante en [a ,b ]. Como f es continua, por el teorema de valores extremos tiene un valormáximo y un valor mínimo en [a ,b ] y, al menos, uno de estos valores ocurre en el interior del intervalo;es decir, en algún punto x 0∈(a ,b ). Como f (x 0) existe, por el teorema anterior, se tiene que f (x 0) =0.

La gura siguiente ilustra el teorema de Rolle.


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x 0

Ilustración del teorema de Rolle

f (x )

Teorema 18 (Teorema del valor medio) Si f : [a ,b ] −→R es continua en [a ,b ] y diferenciable en (a ,b ) y si, además, f (a )= f (b ), entonces existe un x 0∈(a ,b ), para el cual

f (x 0)= f (b )− f (a )

b −a .

La idea de la demostración es poder aplicar el teorema de Rolle. Como f (a ) = f (b ), la pendiente de larecta que pasa por los puntos (a , f (a )) y (b , f (b )) es

m = f (b )− f (a )

b

−a

.

De esta manera, si l (x ) es la recta que pasa por dichos puntos y si g (x ) = f (x )−l (x ), resulta que g esuna función continua 3 en [a ,b ] y diferenciable en (a ,b ); además g (a )=g (b )=0. Por lo tanto, admite lascondiciones del teorema de Rolle, de manera que existe un punto x 0∈(a ,b ) para el cual g (x 0)=0. Perog (x )= f (x )−l (x )= f (x )−m ,

así,g (x 0)= f (x 0)−m = f (x 0)−

f (b )− f (a )b −a

.

Como g (x 0)=0, resulta que f (x 0)=

f (b )− f (a )b

−a

.

En ocasiones se dice que f (b )− f (a )

b −a 3g es la resta de dos funciones continuas en el intervalo cerrado y difernciables en el intervalo abierto.


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G*ro 93es el valor medio de f en [a ,b ].

La gura siguiente ilustra el teorema del valor medio.

x 0

Ilustración del teorema de Rolle

f (x )

(a , f (a ))

(b , f (b ))

Ejemplo 50 Si f (x )=3x 2−x +1, encontrar el punto en donde f toma su valor medioen el intervalo [2,4].

Como f (x )=6x −1 y f (b )− f (a )b

−a =

f (4)− f (2)4

−2 =

45−112 =17

entonces 6x −1=17 resolviendo para x , se tiene x =3.

Usaremos el teorema del valor medio para probar el siguiente.

Teorema 19 (Derivada nula) Si f (x )=0 para todo x ∈[a ,b ], entonces f es constante en [a ,b ].

Si a


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94 Cálculo diferencial e integral I Ejercicio 13 Determinar los puntos en los que f toma su valor medio, para f (x ) =x 2 +4x +1, en [1,3].Hacer lo mismo, para la función g (x )=x 3−x 2+x en [0,4].

Extremos locales o relativos

Si f es una función continua denida en un intervalo I con extremos a y b (I no necesita sercerrado), sedice que f tiene un

valor máximo local o valor máximo relativo en un punto interior x 0 del intervalo I , si existe unintervalo [a 0,b 0]⊂I de tal forma que a 0


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G*ro 95

−1 1

Evidentemente, no existe derivada en el punto x 0 = 0. Esta situación la describimos con el resultadosiguiente. Véase el teorema (16),

Si f : I −→R es continua en I y si f es un extremo relativo en un punto interior x 0∈I , entonces,o bien f (x 0)=0 o bien, f (x 0) no existe.

Nótese que si este es el caso, x 0 es un punto crítico de f . Aprovechamos este repaso por el teorema (16)para establecer una consecuencia útil.

Proposición 17 Si f ,g son funciones continuas en I =[a ,b ], diferenciables en I ◦=(a ,b ) y si f (x )=g (x ),para todo x

∈I ◦, entonces existe una constante C tal que f =g +C .

De hecho si hacemos que h = f −g , entonces h es continua en I y diferenciable en I ◦; además

h (x )

= f (x )

−g (x )

=0

por lo tanto h es una función constante; es decir, h (x ) =C , para cierto número real C y todo x ∈I . Dedonde se sigue que f (x )=g (x )+C , para todo x ∈I . Las funciones f (x )=x 3−x +1 y g (x )=x 3−x +3tienen la misma derivadaen todo x ∈

R y claramente g = f +2, en otras palabras, para cada x ∈R,setieneque g (x )= f (x )+2.


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g (0)= f (0)+2

g f

g (32 )= f (32 )+2

Intervalos de monotonía

El signo de la derivada en un intervalo, nos permite decidir el tipo de monotonía de una función (cre-

ciente o decreciente) en dicho intervalo, esto es útil para determinar la naturaleza de un valor extremode la función en un punto estacionario. El siguiente teorema establece el resultado fundamental.

Teorema 20 Si f : I −→R es diferenciable en I. Entonces

1. f es creciente en I si y solo si f (x )≥0, para todo x ∈I .2. f es decreciente en I si y solo si f (x )≤0, para todo x ∈I .

Como caso ilustrativo solo probaremos el primer inciso del enunciado del teorema. Esto es, suponemosprimero que f es no negativa en I y probamos que f es creciente en el intervalo y, luego probaremos elrecíproco. El segundo inciso es similar y se deja como un ejercicio de entrenamiento al estudiante.

Supongamos, pues que f (x ) ≥0, para x ∈ I . Si x 1,x 2 ∈ I y x 1


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G*ro 97intervalo abierto (x 1,x 2). Entonces existe un c ∈(x 1,x 2) para el cual

f (x 2)− f (x 1)= f (c )(x 2 −x 1).

Como f (c )≥0 y, también, x 2−x 1 >0, entonces

f (x 2)− f (x 1)≥0.

De donde, f (x 2)≥ f (x 1). Como x 1 y x 2 son puntos arbitrarios de I , se sigue que f es creciente en I .

(Recíproco) Supongamos ahora que f es creciente (y diferenciable) en I . Si x 0 es cualquier punto en I y si x >x 0, entonces f (x )≥ f (x 0) o, lo que es lo mismo, f (x )− f (x 0)≥0. De manera que

f (x )− f (x 0)x

−x

0≥0

Por lo tanto (el límite no cambiará de signo en las cercanías de x 0),

ĺımx →x 0

f (x )− f (x 0)x −x 0 ≥

0;

de donde, f (x 0)≥0; es decir, la derivada de f es no negativa en cualquier punto x 0 de I . Por otro lado, six


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f (x )=x 3

pero, f (0)=0 f estrictamente creciente

La discusión anterior da los criterios para encontrar los intervalos de crecimiento o de decrecimiento deunafunción así como un criterio para determinar la naturaleza de un punto crítico.De hecho tenemos elresultado siguiente, cuya demostracióndepende delteoremadelvalormedioy seomitirá.Enelenuciadoseconsideraque I =[a ,b ]yque I ◦=(a ,b )(paradecirqueunpunto x es interioral intervalo I , escribimosx ∈

I ◦).

Teorema 21 Supongamos que f es continua en I , x 0∈I ◦ y, que f es diferenciable en los intervalos (a ,x 0) y (x 0,b ). Si existe una vecindad (x 0−δ ,x 0+δ )⊆I tal que

1. f (x )≥0, para x 0−δ


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G*ro 99

f (x )>0 f (x )0; esto es,3(x −1)(x +1)>0.

Como en el caso anterior, es suciente resolver (x −1)(x +1)>0. Así

(x −1)0de donde,

x −1.Por tanto, f es creciente en los intervalos (−∞,−1) y (1,∞) .


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100 Cálculo diferencial e integral I 3. Para determinar los intervalos de decrecimiento resolvemos la desigualdad f (x )


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G*ro 101El criterio de la segunda derivada

Si la derivada f de una función diferenciable f , también es diferenciable, entonces su derivada ( f ) esla segunda derivada de f y se escribe simplemente como f o, en la notación de Leibniz, como d 2 f

dx 2 .El signo de la segunda deriva permite decidir si en un punto estacionario x 0, f tiene un mínimo o unmáximo relativo. Esto se muestra en el siguiente teorema (queda pendiente su demostración).

Teorema 22 (Criterio de la segunda derivada) Supongamos que f es diferenciable en en I ◦=(a ,b ) y que x 0∈I ◦ es un punto estacionario de f . Entonces

1. si f (x 0)>0, entonces f tiene un mínimo local en x 0,

2. si f (x 0)


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f (x )=x 4

Ejercicio 15 Utilizar el criterio de la segunda derivada para determinar los extremos locales de las fun-ciones de los ejercicios anteriores.

Concavidad de la gráca

La segunda derivada nos da más información cualitativa acerca de la gráca de una función. Por ejem-plo con la primera derivada determinamos cúando una función es creciente, pero no nos dice la formao apariencia del crecimiento, las siguientes guras muestran básicamente tenemos dos formas de creci-miento. El signo de la segunda derivada, nos permite distinguir con precisión estos dos tipos.

f creciente(Cóncava)

f creciente(Convexa)


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G*ro 103Si T (x ) es la recta tangente a la gráca de una función diferenciable f en un intervalo I ◦ =(a ,b ) y six 0∈I ◦, entonces

la gráca de f es cóncava hacia arriba (o cónvexa ) en x 0 si

f (x )>T (x ),

para todo x =x 0 en algún intervalo abierto J ⊂I ◦;

la gráca de f es cóncavahacia abajo (o simplemente, convcava ) en x 0 si

f (x )


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Un punto de inexión

Teorema 23 Si f es diferenciable en (a ,b ) y si x 0∈(a ,b ) es un punto en donde existe f (x 0). Entonces

1. si f (x 0)>0, la gráca de f es cóncava hacia arriba en x 02. si f (x 0)


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G*ro 105Teorema 24 (Teoremadel valor medio de Cauchy) Sea I =[a ,b ] y sean f ,g : I −→R funciones continuas en I y diferenciables en I ◦. Si g =0 en I ◦, entonces existe un punto x 0∈I ◦ para el cual

f (b )

− f (a )

g (b )−g (a ) = f (x 0)g (x 0).

Para la demostración, se dene la función

h (x )= f (b )− f (a )g (b )−g (a )

g (x )−g (a ) − f (x )− f (a )

y se verica que satisface las condiciones del teorema de Rolle para concluir el resultado.

En los teoremassobre límites consideramosel caso de límites de cocientes; es decir, si existen los límites

ĺımx →x 0

f

=L y ĺım

x →x 0g

=M

=0

entonces también existe el límite del cociente y

ĺımx →x 0

f g =

L M

.

Cuando L =M =0, se dice que el límite de f /g es indeterminado , lo que signica que tal límite puedeexistir o no. Esta situación se expresa simbólicamente , escribiendo 0/0. Por ejemplo,ĺımx →0

ax x =a ∈R (i.e. , ¡existe!)

La siguiente simbología representan otras formas indeterminadas , su signicado es obvio,

∞∞

, 0·∞, 00, 1∞, ∞

0 e ∞−∞. Analizaremos básicamente las formas indeterminadas 0/0 e∞/∞. Los restantes casos indeterminados,en general se reducen a una de éstos. El siguiente teorema muestra como las derivadas tienen un usonatural en el estudio de las formas indeterminadas.

Teorema 25 Sean f ,g : [a ,b ]−→R tales que f (a )=g (a )=0 y g =0 en I ◦. Si existen f (a ) y g (a ) y, además g (a )

=0, entonces existe

f (a )g (a ) = ĺımx →a

f g

.

De modo que

ĺımx →a +

f g =

f (a )g (a )


110/213

106 Cálculo diferencial e integral I Demostración . Si x

∈I ◦, entonces (porque, 0= f (a )=g (a ))

f (x )

g (x ) =

f (x )− f (a )g (x )−g (a ) =

f (x )− f (a )x −a g (x )

−g (a )

x −a .

Como f y g son diferenciables en I ◦ existen

ĺımx →a

f (x )− f (a )x −a =

f (a ) y ĺımx →a

g (x )−g (a )x −a =

g (a )=0.Por lo tanto, por la regla del cociente para límites,

ĺımx →a +

f (x )g (x ) =

ĺımx →a + f (x )− f (a )x −a

ĺımx →a +g (x )−g (a )x −a

= f (a )g (a )

.

Importante . Si f (x )=x +1 y g (x )=3x +10, entonces f (0)g (0) =

13

pero, como f (0)=1 y g(0) = 10, entonces

ĺımx →0

f (x )g (x ) =

110 =

13 =

f (0)g (0)

.

Esto se debe al hecho de que f (0)=g (0), como lo exigen las hipótesis del teorema. Esto signica que nose puede eliminar de las hipótesis que f (a ) debe ser igual a g (a ).

Ahora estudiamos la llamada regla de L’Hospital, en ella no supone que las funciones tengan derivadaen el punto a (requiere la versión del teorema del valor medio de Cauchy). En su enunciado I =[a ,b ].

Teorema 26 (Regla de L’Hospital (para la forma 0/0)) Sean f ,g : I −→R funciones continuas en I y dife-renciables en I ◦; en donde g =0 y g =0 en I ◦ y, si f (a )=g (a )=0 entonces se tiene que,

1.

si ĺımx →a +

f (x )g (x ) =L ∈R, entonces ĺımx →a +

f (x )g (x ) =L

2.

si ĺımx →a +

f (x )g (x ) =∞, entonces ĺımx →a +

f (x )g (x ) =∞

3.

si ĺımx →a +

f (x )g (x ) =−∞, entonces ĺımx →a +

f (x )g (x ) =−∞


111/213

G*ro 107La regla de L’Hopital también vale para los casos de límites por la izquierda:

1.si ĺım

x →b − f (x )g (x ) =L ∈R, entonces ĺımx →b −

f (x )g (x ) =L

2.si ĺım

x →b − f (x )g (x ) =∞, entonces ĺımx →b −

f (x )g (x ) =∞

3.si ĺım

x →b − f (x )g (x ) =−∞, entonces ĺımx →b −

f (x )g (x ) =−∞

así como, para límites bilaterales:

1.si ĺım

x →c f (x )g (x ) =L ∈R, entonces ĺımx →c

f (x )g (x ) =L

2.si ĺım

x →c f (x )g (x ) =∞, entonces ĺımx →c

f (x )g (x ) =∞

3.

si ĺımx →c f (x )g (x ) =−∞, entonces ĺımx →c f (x )g (x ) =−∞

Para límites en el innito el resultado es como sigue.

Teorema 27 Si f y g son continuas y diferenciables en el intervalo [b ,∞) y si ĺım

x →∞ f = ĺımx →∞g =0,

en donde g (x )=0 y g (x )=0, para x >b, entonces

ĺımx →∞

f (x )g (x ) = ĺımx →∞

f (x )g (x )

.

El caso cuando x →−∞es similar y el estudiante deberá enunciarlo.


112/213

108 Cálculo diferencial e integral I Teorema 28 (Regla de L’Hospital (para la forma ∞/∞)) Si f y g son funciones diferenciables en (a ,b ) y si

ĺımx

→a +

f (x )=∞ y ĺımx →

a +g (x )=∞,

en donde g =0 y g =0 en (a ,b ), entonces se tiene que

1.

si ĺımx →a +

f (x )g (x ) =L ∈R, entonces ĺımx →a +

f (x )g (x ) =L ,

2.

si ĺımx →a +

f (x )g (x ) =∞, entonces ĺımx →a +

f (x )g (x ) =∞

3.

si ĺımx →a +

f (x )g (x ) =−∞, entonces ĺımx →a +

f (x )g (x ) =−∞

Este teorema también vale para los casos cuando x → ∞ y x → −∞. Se recomienda que el estudianteformule estos casos.

Algunos ejemplos

Ejemplo 52 Encontrar

ĺımx →0

1+x −1−x /2x 2

.

Solución . Notemos primero que f (x )= 1+x −1−x /2 y g (x )=x 2,demodoque f (0)=0 y g (0)=0. Así,ĺımx →0

f (x )=0=ĺımx →0g (0).

Por otro lado, f (x )=

12 1+x −

12

, g (x )=2x ,

de dondeĺımx →0

f (x )=0 y ĺımx →0g (x )=0.

El cocienteĺımx →0

f (x )g (x )


113/213

G*ro 109nos produce de nuevo una forma indeterminada 0/0, de manera que podemos hacer uso una vez másde la regla de L’Hospital:

ĺımx →0

f (x )

g (x ) =

f (0)

g (0)Pero f (x )=−

14

(1+x )−32 =−

14 (1+x )3 y

g (x )=2.De este modo,

ĺımx →0

f (x )g (x ) =

18

Ejemplo 53 Encontrar ĺım

x →∞x −2x 23x 2+5x

.

Solución . Por la regla de L’Hospital,

ĺımx →∞

x −2x 23x 2+5x =

ĺımx →∞

1−4x 6x +5 =

ĺımx →∞

−46 =−

23

Ejercicio 17 Usar la regla de L’Hospital para evaluar los límites siguientes

ĺımx →2

x −2x 2 −4

a)

ĺımx →∞

5x 2−3x 7x 2+1

b)

ĺımx →1

x 3 −14x 3−x −3

c)

ĺımx →∞

2x 2+3x x 3+x +1

d)

ĺımx

→0

2x x

+7 x

e)

ĺımx

→1

2x 2−(3x +1) x +2x −1

f )

ĺımx →2

x 2+5−3x 2 −4

g)

ĺımx →0+

1x −

1 x

h)


114/213

110 Cálculo diferencial e integral I Polinomios de Taylor

Cuando nos interesa calcular valores de una función para valores dados de x , no encontramos que mu-chas de las funciones tienen una regla que no da una manera de calcular tales valores, esto ocurre hastacon funciones con apariencia sencilla como por ejemplo f (x ) = x . Los polinomios no presentan es-ta dicultad, la regla que dene al polinomio da la receta para calcularlos. De esta manera, es razona-ble indagar cómo una función general se puede representar mediante polinomios. Si f es una funciónque tiene derivadas hasta de orden n en algún punto a , es posible construir un polinomio p n tal quep n (a )= f (a ) y, también p n (a )= f (a ), p n (a )= f (a ), ... , p

(n )n (a )= f (n )(a ).

Consideremos un polinomio p (x ) de grado n =1, y escribiendo (en lugar de p (x )=a 0+a 1x )p (x )=c 0 +c 1(x −a )

entonces p (a ) =c 0 y como p (x ) =c 1 obtenemos que p (a ) =c 1; esto es, los coecientes del polinomioestán dados porc 0 =p (a ) y c 1 =p (a ).

Por lo tanto,p (x )=p (a )+p (a )(x −a ).

Ahora bien, queremos que p (a )= f (a ) y p (a )= f (a ), entoncesp (x )= f (a )+ f (a )(x −a ).

Ahora bien, si n =2, escribimosp (x )=c 0+c 1(x −a )+c 2(x −a )

2.

Los coecientesc 0 y c 1, se obtienen como en el caso previo, para obtener c 2 derivamos dos veces y encon-tramos que p (a ) =2c 2, o c 2 =p (a )/2. Como queremos que p (a ) = f (a ), p (a ) = f (a ) y p (a ) = f (a ),entonces debemos tomar

c 0 = f (a ), c 1 = f (a ) y c 2 = f (a )con lo que obtenemos

p (x )= f (a )+ f (a )(x −a )+ f (a )

2 (x −a )

2.

Para el caso general de un polinomio de grado n , si

p (x )=c 0+c 1(x −a )+c 2(x −a )2+c 3(x −a )

3+···+c n (x −a )n

entonces el coeciente c k se obtiene con la derivada k-ésima:

p (k )(a )=k (k −1)(k −2)···2·1·c k Nota . El número k (k −1)(k −2)···2 ·1 se conoce como el factorial de k (k es un número natural) y seindica con k !. Se conviene en que 0!=1


115/213

G*ro 111Usando la notación del factorial,

p (k )(a )=k !c k o bien, c k =p (k )(a )

k ! .

Ahora bien, si pedimos que

p (a )= f (a ) y p (k )(a )= f

(k )(a ), para k =1,2,...,n entonces

c k = f (k )(a )

k !Nótese que esta fórmula también vale para k =0, en este caso, f (0)(a )= f (a ). El polinomio, que escribi-remos como T n f (x ),

T n f (x )= f (a )+ f (a )(x −a )+ f (a )2! (x −a )2+···+ f (n )

(a )n !

(x −a )n (4.3)

se conoce como polinomio de Taylor de orden n para f en el punto a o enésimo polinomio de Taylorde f en a . En ocasiones lo escribiremos simplemente como p n (x ).

Si a =0, entonces

T n f (x )= f (0)+ f (0)x + f (0)

2! x 2+···+

f (n )(0)n !

x n (4.4)

y, en este caso, T n f (x ) se conoce como polinomio de Maclaurin .

No hay necesidad de indicar el punto en el que se quiere el polinomio, dentro de la notación, pero si sepreere hacerlo así, podríamos escribir, algo como T n f (a )(x ).

Los teoremas siguientes muestran los hechos relacionados con los polinomios de Taylor.

Teorema 29 Si f es una función con derivadas hasta de orden n en a . Existe un polinomio único p (x ) de grado no mayor a n tal que

p (a )= f (a ),p (a )= f (a ),...,p (n )(a )= f

(n )(a )

y dado por

p n (x )= f (a )+ f (a )(x −a )+ f (a )

2! (x −a )

2+···+

f (n )(a )n !

(x −a )n


116/213

112 Cálculo diferencial e integral I Nótese que el polinomio p n (x ) descrito en el teorema anterior es el enésimo polinomio de Taylor de f en a ; esto es,

p n (x )=T n f (x ).

Cuando una función f tiene derivadas continuas hasta de orden n en un intervalo I , se dice que es declase C n en I y seescribe f ∈C n (I ).Deestamanera,unafuncióndeclase C n tieneun enésimo polinomiode Taylor en un punto a ∈I ◦

Teorema 30 (Linealidad) Sean T n f (x ) y T n g (x ) los enésimos polinomios de Taylor para f y g respectiva-mente, en el punto a =0. Si c 1 y c 2 son constantes, entonces

T n (c 1 f +c 2g )(x )=c 1T n f (x )+c 2T n g (x ).

En otras palabras c 1T n f (x )+c 2T n g (x ) es el polinomio de Taylor de ordenn de la función c 1 f +c 2g . Es lapropiedad de linealidad de los polinomios de Taylor.

Teorema 31 Si g (x ) = f (kx ), en donde k es una constante y T n f (x ) es el enésimo polinomio de Taylor de f , entonces

T n g (x )=T n f (kx )

Teorema 32 Si T n f (x )=c 0+c 1x +c 2x 2+···+c n x n y si para k =2,3,..., g (x )= f (x k ), entonces T kn g (x )=T n f (x k )=c 0 +c 1x k +c 2x

2k +···+c n x nk

Teorema 33 (Polinomio de Taylor de la derivada) Si T n f (x )=c 0+c 1x +c 2x 2+···+c n x n , entonces T n −1 f (x )=c 1x +2c 2x +···+nc n x n −

1

En otras palabras,T n −1 f (x )=(T n f (x )) .

Conviene de una vez establecer un resultado para el caso de la integral de un función f . Después de que

se estudie la integral este teorema queda de referencia cuando se trate de polinomios de Taylor.

Teorema 34 (Polinomio de Taylor de la integral) Si T n f (x )=c 0+c 1x +c 2x 2+···+c n x n , entonces x

0T n f (x )=c 0x +

c 12 x

2+

c 33 x

3+···+

c n n +1

x n +1


117/213

G*ro 113es el (n+1)-ésimo polinomio de Taylor para

F (x )=x

0 f (t )d t .

En otras palabras, el teorema establece que

T n +1x

0 f (t )d t (x )=

x

0T n f (x )dx .

Ejemplos de polinomios de Taylor

Recordemos que la forma general del n -ésimo polinomio de Taylor de una función dada f en un puntox =a está dada por

(T n f )(x )= f (a )+ f (a )(x −a )+ f (2)(a )

2! (x −a )

2+

f (3)(a )3!

(x −a )3+···

f (n )(a )n !

(x −a )n (4.5)

A continuacióncalcularemoslos primeros polinomiosde Taylor para la función f (x )= 1+x , alrededordel punto x =0.

Empezamos calculando las derivadas sucesivas de f (x )

=(1

+x )1/2 .

1. f (x )= 12(1+x )−1/2

2. f (2)(x )=− 122 (1+x )−3/2

3. f (3)(x )= 323 (1+x )−5/2

4. f (4)(x )=−5·324 (1+x )−7/2

5. f (5)(x )= 7·5·325 (1+x )−9/2

6. f (6)(x )

=−9·7·5·3

26 (1

+x )−11/2

7. f (7)(x )= 11·9·7·5·327 (1+x )−13/2

8. f (8)(x )=−13·11·9·7·5·328 (1+x )−15/2

9. . . .


118/213

114 Cálculo diferencial e integral I Ahora evaluamos cada una de estas derivadas en a =0 para obtener,

1. f (0)=

1

22. f (2)(0)=− 1223. f (3)(0)= 3234. f (4)(0)=−5·3245. f (5)(0)= 7·5·3256. f (6)(0)=−9·7·5·3267. f (7)(0)= 11·9·7·5·3278. f (8)(0)=−13·11·9·7·5·3289. . . .

10. f (n )(0)=(−1)n +1 (2n −3)·(2n −5)·(2n −7)...·32n

Ahora bien, los coecientes de Taylor son

1. c 0 = f (0)=1

2. c 1 = f (0)= 12

3. c 2 = 12! f (2)(0)=− 122·2!4. c 3 =

13! f

(3)(0)= 323·3!

5. c 4 = 14! f (4)(0)=− 5·324·4!6. c 5 = 15! f (5)(0)= 7·5·325·5!7. c 6 =

16! f

(6)(0)=−9·7·5·326·6!

8. c 7=

17! f

(7)(0)

= 11·9·7·5·3

27

·7!9. c 8 =

18! f

(8)(0)=−13·11·9·7·5·328·8!

10. ...

11. c n = 1n ! f

(n )(0)=(−1)n +1 (2n −3)·(2n −5)·(2n −7)...·32n ·n !


119/213

G*ro 115Por lo tanto de acuerdo a la fórmula (4.5), tenemos

1. T 0 f (x )

=1

2. T 1 f (x )=1+12x 3. T 2 f (x )=1+

12x −

122·2!

x 2

4. T 3 f (x )=1+12x −

122·2!

x 2 + 323·3!

x 3

5. T 4 f (x )=1+12x −

122·2!

x 2 + 323·3!

x 3− 5·324·4!

x 4

6. T 5 f (x )=1+12x −

122·2!

x 2 + 323·3!

x 3− 5·324·4!

x 4+7·5·325·5!

x 5

7. T 6 f (x )=

1+

1

2x

− 1

22

·2!x 2

+ 3

23

·3!x 3

− 5·32

4

·4!x 4

+7·5·32

5

·5!x 5

−9·7·5·32

6

·6! x 6

8. T 7 f (x )=1+12x − 122·2!x 2 + 323·3!x

3− 5·324·4!x 4+7·5·325·5!x

5−9·7·5·326·6! x 6+11·9·7·5·327·7! x

7

9. T 8 f (x )=1+12x − 122·2!x 2 + 323·3!x

3− 5·324·4!x 4+7·5·325·5!x

5−9·7·5·326·6! x 6+11·9·7·5·327·7! x

7−13·11·9·7·5·328·8! x 8

10. ...

11. T n f (x )=1+12x −

122·2!

x 2 + 323·3!

x 3− 5·324·4!

x 4+7·5·325·5!

x 5+···+(−1)n +1 (2n −3)(2n −5)···322·n !

x n

Nota . Los valores simplicados de los coecientes son

1. c 0 =12. c 1 =

12

3. c 2 =−184. c 3 =

116

5. c 4 =− 51286. c 5

= 7256

7. c 6 =− 211024

8. c 7 = 3320489. c 8 =−

42932768


120/213

116 Cálculo diferencial e integral I Calcularemos ahora algunos polinomios de Taylor para la función g (x )= 1+4x . Notemos primero queg (0)=0.

Empezamos calculando las derivadas sucesivas de g (x )=(1+4x )1/2

.

1. g (x )=4·12(1+4x )−1/2

2. g (2)(x )=−42 · 122 (1+4x )−3/2

3. g (3)(x )=43 ·32 · 122 (1+4x )−5/24. g (4)(x )=−44 ·5·324 (1+4x )−7/25. g (5)(x )=45 ·7·5·325 (1+4x )−9/26. g (6)(x )

=−46

·9·7·5·3

26 (1

+4x )−11/2

7. g (7)(x )=47 ·11·9·7·5·327 (1+4x )−13/28. g (8)(x )=−48 ·13·11·9·7·5·328 (1+4x )−15/29. . . .

Cuando x =0 obtenemos

1. g (0)=4·12 =2

2. g (2)(0)=−42 · 122 =−223. g (3)(0)=43 · 323 =3·234. g (4)(0)=−44 ·5·324 =−5·3·245. g (5)(0)=45 ·7·5·325 =7·5·3·256. g (6)(0)=−46 ·9·7·5·326 =−9·7·5·3·267. g (7)(0)=47 ·11·9·7·5·327 =11·9·7·5·3·278. g (8)(0)=−48 ·13·11·9·7·5·328 =−13·11·9·7·5·3·28

9. . . .

10. g (0)(x )=(−1)n +14n ·(2n −3)·(2n −5)·(2n −7)...·32n =(−1)n +12n ·(2n −3)·(2n −5)·(2n −7)...·3

Los coecientes de Taylor son


121/213

G*ro 1171. c 0 =g (0)=12. c 1 =g (0)=2

3. c 2 = 12!g (2)(0)=−22

2! =−24. c 3 =

13!g

(3)(0)= 3·233! =4

5. c 4 = 14!g

(4)(0)=−5·3·244! =−10

6. c 5 = 15!g

(5)(0)= 7·5·3·255! =28

7. c 6 = 16!g

(6)(0)=−9·7·5·3·266! =−84

8. c 7 = 17!g (7)(0)= 11·9·7·5·3·27

7! =264

9. c 8 = 18!g

(8)

(0)=−13

·11

·9

·7

·5

·3

·28

8! =−85810. ...

11. c n = 1n !g (n )(0)=(−1)n +1 (2n −3)·(2n −5)·(2n −7)...·3·2n n !

Por lo tanto,

T n g (x )=1+2x −2x 2+4x

3−10x

4+28x

5−84x

6+···+(−1)n +

1 (2n −3)·(2n −5)·(2n −7)...·3·2n n !

x n

Por otro lado, de acuerdo con el teorema (), como g

(x

)= f (4

x ), entonces

T n

g (x

)=T

n f (4

x ) y, como

T n f (x )=1+12x −

18x

2+

116x

3−

5128x

4+

7256x

5−···

entonces

T n f (4x ) = 1+12

(4x )−18

(4x )2+116

(4x )3−5

128(4x )4+

7256

(4x )5 −···

= 1+2x −2x 2+4x

3−10x

4+28x

5−···

Así, como era de esperarse ambos cálculos coinciden.

A continuación comprobamos estos resultados en Maxima.

Ejercicio 18 Determinar los polinomios de Taylor para cada uno de los siguientes polinomios en los pun-tos que se especican.


122/213

118 Cálculo diferencial e integral I f (x )=x 3, en el punto a =1.a) f (x )=x 5, en el punto a =−1.b) f (x )=4x 3−2x +1, en el punto a =2.c)

Ejercicio 19 Determina los polinomios de Taylor de grado n (si es posible, si no, para algún n apropiado).

f (x )=(1−x )−1a) f (x )=(1−x )−1/2b) f (x )=(1−x )−3/2c) f (x )=(1+x )3/2d)

Ejercicio 20 Usar los teoremas de polinomios de Taylor para determinar el polinomio en 0 de

f (x )= 1+4x (de grado n) a) f (x )=(1−x 2)−1/2 (de grado 2n) b)

Teorema 35 (Taylor) Sea I =[a ,b ] y f : I −→R una función de clase C n en I y supongamos que f (n +1)existe en I ◦. Si x 0∈I, entonces para cualquier x ∈I existe un punto c entre x 0 y x para el cual

f (x )= f (x 0)+ f (x 0)(x −x 0)+ f (x 0)

2! (x −x 0)2

+···+ f (n )(x 0)

n ! (x −x 0)n

+ f (n +1)(c )(n +1)! (x −x 0)

n

+1

(4.6)

El último término del lado derecho de (35), que escribiremos como

R n (x )= f (n +1)(c )(n +1)!

(x −x 0)n +1

se conoce como la forma de Lagrange del residuo . Podemos entonces expresar dicha fórmula como

f (x )

=T n f (x )

+R n (x )

Si f (x )= 3 1+x , para x >−1. Entonces si x 0 =0 y n =2,

f (x )=1+x 3 −

x 2

9 +R 2(x )


123/213

G*ro 119en donde,

R 2(x )= f (3)(c )

3! x 3

y c es un punto entre 0 y x . Ahora bien, si x =0.3, entoncesP 2(0.3)=1+

0.33 −

(0.3)2

9 =1.09

es la segunda aproximación de Taylor para 3 1.3, con residuo

R 2(0.3)=581 ·

13 (1+c )8

(0.3)3

Como 0


124/213



125/213

Capítulo 5

La integral de Riemann

Sumas de Darboux y la integral de Riemann

En lo que sigue consideraremos un intervalo cerrado y acotado (i.e. , un intervalo compacto) I =[a ,b ]arbitrario y funciones acotadas denidas en I .

Para denir las sumas de Darboux, necesitamos establecer la idea de partición del intervalo I , que escomo sigue. Si x 1,x 2,x 3, . . . ,x n −1∈I , en donde

x 1


126/213

122 Cálculo diferencial e integral I para k =1,2,...,n . Entonces la suma inferiorde Darboux se dene como

S (P ; f )= n k =1m k (x k −x k −1) (5.1)

y la suma superior de Darboux como

S (P ; f )=n

k =1M k (x k −x k −1) (5.2)

En ocasiones se escribe L (P ; f ) y U (P ; f ) en lugar de S (P ; f ) y S (P ; f ), respectivamente.

Si f es una función positiva en el intervalo I , entonces geométricamente S (P ; f ) se puede considerar co-mo la suma de las áreas de los rectángulos inscritos (i.e. , por debajo) en la gráca de f , como lo muestrala gura siguiente.

m k

x k −

1 x k

Suma inferior de Darboux

De la misma manera, si f es positiva, S (P ; f ) se puede interpretar como la suma de las áreas de losrectángulos circunscritos (i.e. , por encima) a la gráca de f . Como se ve a continuación.


127/213

G*ro 123

M k

x k −1 x k Suma superior de Darboux

Claramente m k ≤M k , para k =1,2,...,n , por tanto, para cualquier partición P de I , se tiene la desigual-dad,

S (P ; f )≤S (P ; f ). (5.3)

Si usamos funciones positivas, la desiguladad anterior establece que la suma de las áreas de los rectán-gulos inscritos no excede a la suma de las áreas de los rectángulos circunscritos, lo que a simple vista esobvio.

Si se agregan puntos a una partición P , para obtener una partición P , entonces la suma inferior de lanueva partición, en general, se incrementa y la suma superior disminuye. Esto es,

S (P ; f )≤S (P ; f ) y S (P ; f )≤S (P ; f ). (5.4)

Una partición P obtenida de otra partición P al agregar más de un punto, se conoce como un rena-miento de P ; es decir, si P ⊂P , entonces P es un renamiento de P .


128/213

124 Cálculo diferencial e integral I Además, si P 1 y P 2 son dos particiones cualesquiera de I , entonces

S (P 1; f )≤S (P 2; f ). (5.5)

En otras palabras, ninguna suma inferior exceda a una suma superior, aún cuando las particiones seandistintas. Esto es importante ya que nos interesa considerar el ínmo de todas las sumas superioresposibles y el supremo de todas las sumas inferiores posibles. De hecho tenemos la siguiente deniciónen donde P es la familia de todas las particiones del intervalo.

Denición 30 Denimos la integral superior de Darboux de f sobre el intervalo I como

b

a f =ı́nf S (P ; f )|P ∈P . (5.6)

De manera similar la integral inferior de Darboux de f sobre I , se dene como

b

a f =sup S (P ; f )|P ∈P . (5.7)

Debe observarse quecomo f es unafunción acotada siempre existen las integrales anteriores y, además

b

a f ≤

b

a f (5.8)

Finalmente llegamos a la denición que nos interesa.

Denición 31 (Integral de Riemann) Se dice que una función f : I −→R es Riemann integrable en I si

b

a f =

b

a f (5.9)


129/213

G*ro 125En este caso el valor común se denota con

b

a f o

b

a f (x )d x (5.10)

y se dice que es la integral de Riemann de f en I .

Se denen además,

a

b f = −

b

a f y

a

a f =0 (5.11)

Como trabajaremos únicamente con integrales de Riemann, en lo sucesivo solo usaremos los términosintegral e integrable , para referirnos a la «integral de Riemann» y a «Riemann integrable».

El siguiente teorema es un criterio para establecer la existencia de la integral para una función acotadadenida sobre un intervalo compacto.

Teorema 37 (Criterio de integrabilidad de Riemann) Una función acotada f : I −→R es integrable en I si y solo si, para todo ε >0, existe una partición P (ε) de I para la cual

0≤S (P ; f )−S (P ; f )


130/213

126 Cálculo diferencial e integral I y

S (P ; f ) =n

k =0c (x k −x k +1)

= c n

k =0(x k −x k +1)

= c (b −a )por lo tanto, al tomar tanto el ínmo de las sumas superiores como el supremo de las sumas inferiores,se obtiene

b

a f =c (b −a )=

b

a f .

De donde se sigue queb

a f =c (b −a ).

Ejemplo 55 Si f :[0,1]−→R está dada por f (x )=x, entonces f es integrable.

En este ejemplo usamos la fórmula (que se prueba por inducción)

1+2+3+···+k =k (k +1)

2

Consideremos la partición

P n = 0, 1n

, 2n

, 3n

, ..., 1 .

Como f es creciente, en cada subintervalo el valor mínimo de f se localiza en el extremo izquierdo y elvalor máximo en el extremo derecho, de modo que si I j =[x j −1,x j ], entonces

m j = j −1

n y M j =

j n

y como x j −x j −1 =1/n , para j ∈{1,...,n },

S (P n ; f )=n

j =1 j −1n · 1n = 1n 2 (1+2+···+n −1)= 1n 2 n (n −1)2 =12 1−1n

y

S (P n ; f )=n

j =1 j n ·

1n =

1n 2

(1+2+···+n )=1

n 2n (n +1)

2 =12

1+1n

.


131/213

G*ro 127Entonces

sup S (P n ; f )|n ∈N =12

e ı́nf S (P n ; f )|n ∈N =12

y comosup S (P n ; f )|n ∈N ≤sup S (P ; f )|P ∈P

eı́nf S (P n ; f )|n ∈N ≥ı́nf S (P ; f )|P ∈P ,

resulta12 ≤

1

0 f ≤

1

0 f ≤

12

de esta manera,1

0 f =

1

0 f =

12

.

Por lo tanto, f es integrable en [0,1] y,

1

0 f =

1

0x d x =

12

.

Propiedades de la integral

Enseguida damos una lista de las propiedades de la integral de Riemann. La primera de ellas as la linea-lidad y se establece como un teorema. A menos que se diga lo contrario, continuamos asumiendo que I es el intervalo compacto [a ,b ]

Teorema 38 (Linealidad de la integral) Si f y g son funciones integrables en I y si k ∈R, entonces k f y f +g son integrables en I y,

b

a k f =k

b

a f y

b

a ( f +g )=

b

a f +

b

a g (5.13)

La integrabilidad de la suma se puede extender a un número nito de funciones integrables; esto es,

b

a

n

j =1 f j =

n

j =1

b

a f j


132/213

128 Cálculo diferencial e integral I Teorema 39 Si f es integrable en I y si f (x )≥0 para todo x ∈I , entonces

b

a f ≥0

Este teorema tiene las siguientes dos consecuencias.

Corolario 6 Si f y g son funciones integrables en I y f (x )≤g (x ), para x ∈I , entonces

b

a f ≤

b

a g (5.14)

Corolario 7 Si f es integrable en I y m ≤ f ≤M, entonces

m (b −a )≤b

a f ≤M (b −a ) (5.15)

Teorema 40 Si f es integrable en I y si c ∈ I ◦, entonces f es integrable tanto en [a ,c ] como en [c ,b ] y,además

b

a f =

c

a f +

b

c f (5.16)

De nuevo este resultado se puede extender a una división nita de subintervalos de I ; de hecho,b

a f =

n

j =1

x j

x j −1 f

en donde a =x 0


133/213

G*ro 129Si f es integrable en I , entonces es integrable en cualquier subintervalo [a ,x ], en donde x

∈I . Esto nos

permite denir una funciónF a : [a ,b ]−→R

relacionada con f de la siguiente manera

F a (x )=x

a f , x

∈I .

Se dice entonces que F a es la integral indenida de f en I .

Aun cuando una función integrable f no tiene que sercontinua, la función relacionada F a siempre lo es.De gran importancia es el siguiente.

Teorema 41 Si f es integrable en I y es continua en c ∈I, entonces F a es diferenciable en c y su derivada es, F

a (c )

= f (c ).

Si f es continua por la derecha en a , entonces F a (a +) = f (a ) y si f es continua por la izquierda en b ,entonces F a (b −)= f (b ).

Denición 32 Se dice que una función F es una antiderivada o primitiva de otra función f en I si

F (x )= f (x ), para todo x ∈I .

Observación. De acuerdo al teorema (41), si f es continua en I , entonces F a es diferenciable y de hecho,

F a (x )= f (x ) para todo x ∈I ; en otras palabras, F a es una antiderivada de f en I .Estamos ya en posición de mostrar uno de los resultados más importantes del Cálculo.

Teorema 42 (Teorema fundamental del cálculo) Si f : I −→R es una función continua. Entonces una función F : I −→R satisface

F (x )−F (a )=x

a f (5.17)

si y solo si F (x )= f (x ), para todo x ∈I .

Demostración . SiF (x )−F (a )=

x

a f ,


134/213

130 Cálculo diferencial e integral I entonces F (x )−F (a )=F a (x ) para x ∈I . Como f es continua, se sigue que F a es diferenciable y, así,

F (x )=F a (x )= f (x ), para x ∈I .

Para probar el recíproco, suponemos que F satisface F (x )= f (x ) en I . EntoncesF (x )=F a (x ), para x ∈I

por tanto, existe una constante C tal que

F (x )=F a (x )+C para x ∈I . Ahora bien, como

F (a )=a

a f =0

se sigue que F (a )=F a (a )+C =C . Por lo tanto,F (x )−C =F (x )−F (a )=F a (x )=

x

a f .

Corolario 8 Si f es continua en I y F (x )= f (x ) en I , entonces

F (b )−F (a )=b

a f . (5.18)

Demostración . Es suciente tomar x =b en el teorema anterior.

Evaluación de una integral

Si f es una función continua, la evaluación de la integral

b

a f

se puede dividir en dos pasos:

1. encontrar una antiderivada F para f ,


135/213

G*ro 1312. calcular F (b )−F (a ).

Para facilitar la evaluación de una integral es más conveniente utilizar la notaciónb

a f (x )dx ;

el símbolo d x se usa para especicar cuál es la variable independiente, entre las letras involucradas enuna expresión de una función. Por ejemplo, si f (x )=(x −t )2 y escribimos

1

0(x −t )

2 d x

el símbolo d x nos indica que x es un valor (variable) en el intervalo [0,1], mientras que t es jo. Por otrolado, si escribimos

1

0(x

−t )2 d t

entonces la variable independiente ahora es t y x esunvalor jo. En laevaluaciónde integralesescomúnutilizar la siguiente

Notación.F (b )−F (a )=F (x )

b

a , o bien, F (b )−F (a )=F (x )

x =b x =a

.

Por tanto, podemos resumir los pasos de la evaluación de una integral con la fórmula,b

a f (x )d x =F (x )

b

a =F (b )−F (a ).

Cuando f aparece en la integralb

a f

se le conoce como el integrando .

Ejemplo 56 Si 0


136/213

132 Cálculo diferencial e integral I En particular, si a =1, b =2 y n =3, tenemos

2

1x 3

=

x 4

4

2

1 =

24

4 −

14

4 =4.

Ejemplo 57 Calcular las integrales

2

0(3t 2+3x

2)dx e 2

0(3t 2+3x

2)d t .

Nótemos que para la primera integral la variable independiente es x . Una antiderivada para f (x )=3t 2+3x 2 es la función F (x )=

3t 2x +

x 3, de modo que

2

0(3t 2+3x

2)dx = 3t 2x +x

3 x =2x =0 =

3t 2 ·2+23−(3t

2·0+0)=6t

2+8.

Mientras que para la segunda integral la variable independiente es t y una antiderivada de f (t ) =3t 2 +3x 2 es la funciónG (t )=t 3+3x 2t . Por lo tanto,2

0(3t 2 +3x

2)d t = t 3+3x

2t t =2t =0 =

23 +3x 2·2−(0

3+3x

2·0)=8+6x

2.

Debemos observar que siC es cualquier número real, entonces F (x )+

C

=3t 2x

+x 3

+C , también es una

antiderivada de f (x ); como lo esG (t )+C para la función f (t ).

Hemos visto en el teorema (41) que si f es una función integrable y continua, entonces existe F y, ade-más, F (x )= f (x ). Por lo tanto, si a manera de ejemplo, consideramos la función

F (x )=x

1 1+t 2d t entonces observamos que f (x )= 1+x 2, donde x >1, es continua; por lo tanto F (x ) es diferenciable y su su derivada en x >1 es

F (x )

= f (x )

= 1

+x 2

y su valor en un punto particular x 0 es F (x 0)= f (x 0). Así, si x 0 =2, entonces F (2)= 5.

Ejercicio 21 Calcula cada una de las integrales siguientes, determinando una antiderivada por «inspec-ción».


137/213

G*ro 133

2

1(3x −1)dx

a) 5

4x 2 −4x d x

b)

3

14x 3+

1x 2

dx

c) 3

2

3x 2 +

4x 3

d x

d)

2

12x 3/2 +x

1/2 d x

e) 3

12t 3+at d t

f )

1

−1(x −t )

2 dx

g) 1

0(x −t )

2 d t

h)

Ejercicio 22 Calcule las derivadas que se piden a continuación.

1. F (x ) y F (2), si

F (x )=x

1 1+t 2d t 2.

d d x

x

1 1+t 33. F (1), si

F (x )=x

1 4−t 2d t Ejercicio 23 Encuentre un valor de x para el cual F (x )=−2, si

F (x )=x

1

1t

d t , x >0.


138/213


Área de una región entre grácas

Queremos determinar el área A de una región entre las grácas de dos funciones integrables f y g en I .Si f ≥g , podríamos denir A =

b

a f (x )−g (x ) d x

Sin embargo, las grácas se pueden cruzar, como se muestra en la siguiente gura.

g f

a c b

si c es el punto en donde se cruzan las grácas podríamos denir

A =c

a f −g +

b

c g − f ;

sin embargo, es más conveniente, denir el área de la región entre las grácas de f y g que se encuentraentre x =a y x =b ; como

A =b

a | f −g |, (5.19)

teniendo en cuenta que para determinar efectivamente esta área, debemos localizar los puntos en don-de la función f −g cambia de signo.


139/213

G*ro 135Ejemplo 58 Encontrar el área A de la región acotada por la gráca de la función f (x )=x (x −1)(x −2), el eje x y las rectas x =0 y x =2.

Solución . De acuerdo con la fórmula (5.19), el área de dicha región es

A =2

0 |x (x −1)(x −2)|d x . Ahora bien, si 0≤x ≤1 tenemos que x (x −1)(x −2)≥0, de modo que

|x (x −1)(x −2)|=x (x −1)(x −2)=x (x 2−3x +2)=x

3−3x

2+2x

y para 1≤x ≤2, se tiene x (x −1)(x −2)≤0 y, en consecuencia,|x (x −1)(x −2)|=−x (x −1)(x −2)=x (x

2−3x +2)=−(x

3−3x

2+2x ).

Por tanto,

A =1

0x 3 −3x 2+2x dx −

2

1x 3−3x 2+2x dx

=x 4

4 −x 3+x

21

0−x 4

4 −x 3+x

22

1

=14 − −

14

=12

La región en cosideración se puede visualizar en la siguiente gura.

-1 0 1 2 3

-1.6

-0.8

0.8

R

R


140/213

136 Cálculo diferencial e integral I Ejercicio 24 Plantear las integrales que calculan el área de las regiones y calcularlas. Gracar tales regio-nes.

1. La región entre y =3x −2, el eje x y las rectas x =−1 y x =4.2. La región entre y =2x −2, la parábola y =2x 2−x y las rectas x =−1 y x =2.3. La región arriba de la parábola y =2x 2 +1 y debajo de la parábola y =x 2 +54. La región entre la curva y =x 3 y la recta y =4x

Funciones monótonas (potencias racionales)

Se puede probarque lasfuncionesmonótonasacotadas sonintegrables, aunqueno lo haremos aquí. Sinembargo, esto nos permite considerar las potencias racionales de x , para x >0. Esto es, si x >0 y r ∈Q ,entonces

f (x )=x r es una función monótona. De hecho,

si r >0, f es creciente,si r

=0, f es constante y,

Si r


141/213

G*ro 137Observación importante . Si r = −1, la fórmula (5.21) no permite determinar una antiderivada, para

f (x )=1/x ; pero si 0


142/213

138 Cálculo diferencial e integral I De esta manera,

b

a f (x )d x = f (x ∗)(b −a ).

Por ejemplo, Si f (x )=x 2, para x ∈[0,2], entonces2

0x 2 d x =

13x

32

0 =83

,

por otro lado f (x ∗)(b −a )= x ∗

2 (2−0)=2 x ∗2 .

Igualando los resultados,2 x ∗2 =

83

de donde

x ∗

2

=43 o, x ∗=

2

3.


143/213

Capítulo 6

Funciones logarítmicas y exponenciales

Funciones logarítmicas

Estudiaremos ahora las funciones logarítmicas, en particular la función logaritmo a veces conocida co-mo logaritmo natural. En cursos elementales aprendimos que si x es un número positivo, el logaritmo decimal o logaritmo de base 10 de x , es un número y para el cual 10 y =x . De esta manera, tenemos queel logaritmo en base 10, de 100 es 2, dado que 102 =100; también, el logaritmo decimal de 1000 es 3, yaque 103 =1000. Para indicar el logaritmo decimal de un número positivo x , usamos la notación log10 x .Por lo tanto,

2=log10100 y 3=log101000.

De esta manera, la expresión y =log10x signica que 10 y =x . Sin embargo, debemos observar que sur-gen algunas dicultades, como por ejemplo, responder las preguntas ¿qué signica x =10

2? o ¿cómosaber si existe un y que satisfaga la ecuación x =10 y . Podemos recurrir a la propiedad de completez deR para dar una respuesta, pero en nuestro caso recurrimos a una propiedad fundamental de los logarit-mos, para denir una función f (x ) =log10 x que allane estas dicultades. Esta propiedad, que tambiénaprendimos en la escuela elemental, hace que los logaritmos decimales constituyen una herramientacomputacional muy poderosa; y es el hecho que: el logaritmo de un producto es la suma de los logarit-mos :

log10 x y =log10 x +log10 y .

En otras palabras, si x >0 y, asumimos que hay una función f (x ) =log10(x ), entonces tal función debe

139


144/213

140 Cálculo diferencial e integral I satisfacer la identidad logarítmica ,

f (x y )= f (x )+ f ( y ), para todos x , y >0. (6.1)

Nuestro propósito ahora es denir la función logaritmo o logaritmo natural , su base es un número reale llamado número de Euler, de la cual se puede determinar en particular la función logaritmo decimal ode base 10.

Observación 4 Para cualquier base (positiva), el logaritmo de un producto producto es igual a la suma de los logaritmos.

Para denir la función logaritmo, empezaremos con la identidad logarítmica anterior y buscaremos de-terminar una función diferenciable que satisfaga dicha identidad.

Si hay una función diferenciable f que satisfaga (6.1), entonces, derivando con respecto a x ,

f (x y )· y = f (x ). (6.2)Si x =1, entonces obtenemos

f ( y )· y = f (1), en donde y >0.Si f (1)

=c , para cierta constante c , entonces para todo y

>0,

f ( y )=c y

. (6.3)

Notemos que si c =0, entonces f =0; es decir, f (x )=0, para todo x .

Usaremos ahora el teorema fundamental del cálculo para determinar una función f que satisfaga (6.3).De hecho, primero denimos la siguiente función. Para x >0, por el teorema fundamental del cálculodenimos la función,

L (x )

=

x

1

d t

t

, (6.4)

de manera que su derivada es L (x )=1/x . Si ahora hacemos

f (x )=cL (x )=c x

1

d t t

,


145/213

G*ro 141entonces

f (x )=cL (x )=c x

.

Como dos funciones con la misma derivada dieren por una constante, entonces si f satisface (6.1) y esdiferenciable, existe una constante k tal que

f (x )=cL (x )+k De hecho, la constante k es igual a 0; porque como f satisface la identidad logarítmica (6.1) entonces

f (1)= f (1·1)= f (1)+ f (1)=2 f (1) y, en consecuencia, f (1)=0. Por lo tanto,

0= f (1)=cL (1)+k =k ;i.e. , k =0 y, así,

f (x )

=cL (x ).

A continuación probaremos que L (x ) satisface la identidad logarítmica. Fijando y , hacemos

G (x )=L (x y )−L (x )=xy

1

d t t −

x

1

d t t

Derivando G con respecto a x y usando la regla de la cadena,

G (x ) = L (x y )·t −L (x )

=1

x y · y −1x

= 0.

Así G (x ) =constante. Pero G (1)=L ( y )−L (1)=L ( y ), de modo que para todo x >0, G (x ) =G (1)=L ( y );esto es,L (x y )−L (x )=L ( y )

y se tiene que L satisface (6.1); es decir,

L (x y )=L (x )+L ( y ).Toda la discusión previa prueba el siguiente.

Teorema 44 Una función diferenciable f satisface

f (x y )= f (x )+ f ( y )para todos los x , y >0, si y solo si

f (x )=c x

1

d t t

,

para alguna constante c.


146/213

142 Cálculo diferencial e integral I La gráca de L (x )

Escribiremos la función L (x ) como log(x ), o sin el paréntesis como logx ; de esta manera,

log x =x

1

d t t

(6.5)

y la llamaremos función logaritmo; también se le conoce como logaritmo natural y, en este caso, sedenota como ln(x ).

La función logx tiene las siguientes propiedades.

1. Si f (x )

= 1x , x

>0, entonces, para x

>1, log x representa el área bajo la gráca de f entre 1 y x . Como

se muestra en la siguiente gura

f (x )=1x

El área de la región eslog(x )=

x 1 f (t )d t

1 x

Para 0


147/213

G*ro 1434. log x es continua : como f es continua, entonces log x es diferenciable y, por tanto, continua. Por lotanto, si x >0, entonces ĺım

h

→0log(x +h )=log(x ).

5. Comportamiento cuando x →0+ y cuando x →+∞. Usaremos aquí laspropiedades de los logaritmos,que se mencionan más adelante.

Por el teorema del valor medio para integrales, se tiene que

log(2)=2

1

d t t =

1t ∗

(2−1)para cierto 1≤t ∗≤2. Entonces

1≥1t ∗ ≥

12

;

es decir,12 ≤log(2)≤1.

Ahora bien, si x >22n , entonces (dado que log(x ) es creciente)log(x )>log(2

2n )=2n log(2)≥2n 12 =n

por tanto,

ĺımx

→∞

log(x )=+∞ (6.6)

Si, ahora, se hace u = 1x , entonces u →+∞, cuando x →0+, como

log(x )=−log1x

entoncesĺım

x →0+log(x )= ĺımx →0+ −

log 1x = ĺımu →+∞−log(u ) =− ĺımu →+∞log(u )=−∞

6. log x es cóncava hacia abajo, ya que la segunda derivada es negativa para todo x >0:log (x )=−

1x 2


148/213

144 Cálculo diferencial e integral I 8. Las spropiedades 1 y 5, nos permiten establecer el dominio y la imagen de la función logx ; a saber,

Dom(log x )=R+=(0,+∞), e Im(log x )=R =(−∞,+∞). (6.7)

Obviament, podemos escribir la imagen o rango como

log R+ =R.

Con las propiedades anteriores podemos obtener la gráca de log(x ). La gráca se muestra acontinua-ción.

La gráca de la función

log(x )=x

1 f (t )d t

1 e

Propiedades de los logaritmos naturales

Podemos obtener ahora las conocidas propiedades de los logaritmos (naturales) como sigue.

Si a ,b ∈

R+ y r ∈Q , entonces

1. logab =loga +logb 2. log1/b =−logb 3. loga / b =loga −logb


149/213

G*ro 1454. loga r =r loga

Para comprobar estas propiedades, consideramos la función

f (x )=logax en donde a es constante. Ahora bien, como

f (x )=1

ax ·a =1x

resulta que f (x ) y logx tienen la misma derivada, para x >0. Por tanto,logax =logx +K

para cierta constante K . Tomando x

=1, obtenemos

loga =log1+K =0+K Así,

logax =logx +loga Tomando ahora x =b , logab =loga +logb .

Ahora bien, como 0=log1,0=log1=log b ·

1b =logb +log

1b

de donde se obtiene quelog 1

b =−logb .

También tenemos quelog a

b =loga 1b =loga +log

1b =loga −logb .

Finalmente, tenemos quelogx r =

1x r ·x

r −1 =r x

y r logx =

r x

es decir, las dos funciones logx r y r logx son antiderivadas de la función x / r , por tanto dieren por unaconstante, así

logx r −r logx =K


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146 Cálculo diferencial e integral I y si tomamos x =1, encontramos que log1−r log1=K , en consecuencia K =0. Por tanto,

logx r =r logx

ahora tomamos x =a , para obtener el resultado:loga r =r loga .

Ejercicio 25 Encuentra un valor aproximado, digamos hasta cuatro cifras decimales, para log2 usando polinomios da Taylor. Ten cuidado al elegir el punto en el cual se expande el polinomio de Taylor. Una vez obtenido tal valor, encuentra las aproximaciones para log4, log8, log1/2 y log1/4.

Derivadas e integrales

Tenemos ya la primera fórmula para derivadas; a saber, si x >0,

log (x )=1x

(6.8)

Si tenemos una función positiva y diferenciable f , entonces podemos formar la composición h (x ) =log f (x ) y usar la regla de la cadena para encontrarh (x )= log f (x ) =

1 f (x ) · f (x )=

f (x ) f (x )

Así, nuestra segunda fórmula es

log f (x ) = f (x ) f (x )

(6.9)

Esta fórmula establece entonces que, log f (x ) es unaantiderivadadelcociente f / f . Ahora bien, si f


151/213

G*ro 147En particular, si x =0

log |x |=1x (6.11)

Las fórmulas anteriores de derivadas traducidas en fórmulas para integrales indenidas son

d x x =log|x |+C (6.12)

y

f (x ) f (x )

d x =log f (x ) +C (6.13)

Ejemplo 59 Si f (x )=log(x 2+logx ), encontrar f (x )

Solución . Usamos la regla de la cadena o la fórmula (6.13), para encontrar

f (x )=1

x 2+logx x 2+logx =

1x 2 +logx

2x +1x =

1x 2+logx

2x 2+1x

o bien,

f (x )=2x 2+1

x 3+x logx .

Ejemplo 60 Calcular 2x x 2

+1 d x

Si tomamos f (x )=x 2 +1, entonces f (x )=2x y, de esta manera, 2x x 2+1

d x = f (x ) f (x )

d x =log f (x )+C =log(x 2+1)+C


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148 Cálculo diferencial e integral I Se omite el valor absoluto ya que f es una función positiva.

Observación. Normalmente en la literatura del Cálculo, se usa una «sustitución u » para determinar in-

tegrales indenidas, entonces se escribe u = f (x ) y, en este caso se usa d u = f (x )dx , para completarel juego de la composición. En el ejemplo anterior, simplemente u = x 2 +1 y d u =2xd x . Entonces laintegral original se convierte en la integral du

u =log|u |+C

y nalmente se regresa a la variable original, x en este ejemplo.

En ocasiones se requiere usar la propiedad

c f (x )d x =c f (x )d x

para ajustar las integrales mediante una constante.

Ejemplo 61 Calcular x

4−x 2 d x

Solución . Si f (x )=4−x 2 (o u =4−x 2), entonces f (x )=−2x (du =−2xd x ). Por tanto,

−2x 4−

x 2dx =

f (x ) f (x )

d x =log f (x ) +C =log 4−x 2

+C

así, para la integral original tenemos

x 4−x 2

d x =−−2x

4−x 2 d x =−

12 log 4−x

2+C .

Ejercicio 26 Calcule las derivadas de

f (x )=

x logx a) f (x )=

(x +

1) logx 2b)

f (x )=log 1+x 2c) f (x )= log(x 2+4)4

d)

f (x )=loglogx e)


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G*ro 149Ejercicio 27 Calcule las derivadas de

f (x )=logx

1 1+t 2 d t a)

f (x )=x log x 2 logx b)

f (x )=log2

x 1+t 3 d t c)

f (x )=logx 2−1x 2+1

d)

Ejercicio 28 Calcule las siguientes integrales

dx x +4

a) 2xd x x 2−4

b)

x x 2 +1

dx

c) d x x logx

d)

Ejercicio 29 Calcule las integrales

x 1−x 2

d x

a) d x 2x +4

b)

x 4x 2+1

d x

c) x 3

x 4+1 d x

d)

dx (2x

+1)log(2x

+1)

e) x −1x

+1

f )

x (x 2+1)log(x 2 +1)

g)


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150 Cálculo diferencial e integral I Derivación logarítmica

Si una función f tiene un varios factores, se puede usar el logaritmo para la evaluación de f , esto seconoce como derivación logarítmica .

Ejemplo 62 Si

f (x )=(x −1)2 2x +3(x +4)3(2x −1)4

encontrar f (x ).

Solución . Primero podemos usar las propiedades de logaritmos, para calcular log| f |, como sigue.

log f (x ) = log (x −1)2

2x +3 −log (x +4)3

(2x −1)4

= log(x −1)2+log 2x +3−log(x +4)

3−log(2x −1)

4

= 2log|x −1|+12 log|2x +3|−3log|x +4|−4log|2x +1|

derivando tenemos, f (x ) f (x ) =

2x −1 +

12x +3 −

3x +4 −

82x +1

por tanto

f (x )= 2x −1 +

12x +3 −

3x +4 −

82x +1

(x −1)2 2x +3(x +4)3(2x −1)4

Ejercicio 30 Calcule f mediante la derivación logarítmica.

1.

f (x )=(x −1)2(2x +3)3

x −42.

f (x )= 2x −3

(x +4)33.

f (x )=(2x −1)3 4x −3

(7x +3)2(x −1)

23

4. f (x )= (x −a 1)(x −a 2)···(x −a n )


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G*ro 151La función exponencial e x

Al estudiar la función logaritmo, L (x ) o logx ,logx :R+−→R

hemos visto (recordemos que logx es inyectiva) que a cada y ∈R corresponde un único x ∈R+ tal que y =logx . Esto dene una función función inversa,

E =L −1 : R −→R+;

en donde, obviamente x =E ( y ) si y solo si y =L (x ), de modo queE (L (x ))=x , para todo x ∈Rx y L (E ( y ))= y , para todo y ∈R.

Como L es una función creciente, continua y diferenciable, entonces E también es creciente, continua y diferenciable.

Además, como L (1)=0, entonces E (0)=1; dado que E (0)=E (L (1))=1.

Nótese que si x =E (a ), para a ∈R, entonces L (x ) =L (E (a )) =a ; en otras palabras, x es el número realpara el cual logx =a . Por ejemplo, si x =E (1), entonces E (1) es el número real para el cual logx =1; i.e.,logE (1)=1 y, como ya sabemos, entonces E (1)=e (el número de Euler). En resumen:si x =E ( y ), entonces E ( y ) es el número x tal que logx = y .

Proposición 18 La función E satisface la ley de los exponentes ,

E (x + y )=E (x )·E ( y ).

Bast vericar que E (x + y ) y E (x )E ( y ) tienen el mismo logaritmo; esto es, satisfacenlogE (x + y )=logE (x )E ( y ).

Así, por denición,L (E (x + y ))=x + y

y por la identidad logarítmicaL (E (x )E ( y ))=L (E (x ))+L (E ( y ))=x + y .

Por lo tanto,E (x + y )=E (x )E ( y ).


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152 Cálculo diferencial e integral I La derivada de E

Usamos el teorema de la función inversa para establecer que E

= l −1 es una función diferenciable (y

creciente), porque la función L lo es; el mismo teorema nos permite encontrar la derivada de E . Dehecho, como L (x ) =

1x = 0, entonces, de acuerdo al teorema de la función inversa, con f (x ) = L (x ) y

g ( y )=E ( y ), tenemos queE ( y )=

1L ◦E ( y ) =

11

E ( y )=E ( y ), para todo y ∈R;

i.e. ,E ( y )=E ( y ), y ∈R.

Nota . Si escribimos en la forma usual, x para la variable independiente, entonces la fórmula de la deri-vada es

E (x )=E (x ),x ∈R (6.14)

Forma clásica de determinar la derivada de E (x )

La manera usual de probar que E es una función diferenciable, es mostrando que existe el límite,

ĺımh →0E (x

+h )

−E (x )

h .En este caso, estamos usando x como el nombre de la variable independiente. Para probar la existenciade este límite, jamos x y hacemos y =E (x ) y y +k =E (x +h ), entonces

x =L ( y ) y x +h =L ( y +k ).Por lo tanto, el cociente diferencial (cociente de Newton) es

E (x +h )−E (x )h =

y +k − y h =

k h =

k x +h −x =

k L ( y +k )−L ( y )

lo que escribimos comoE (x

+h )

−E (x )

h =1

L ( y +k )−L ( y )k .

Ahora bien, como E es una función continua, si h →0, entonces k →0 (i.e. , ĺımh →0 E (x +h )=E (x )) y ĺımh →0

E (x +h )−E (x )h =ĺımk →0

1L ( y +k )−L ( y )k =

11 y

= y =E (x ).


157/213

G*ro 153Esto muestra que E es diferenciable y E (x )=E (x ) como era de esperarse.

Notación. Es común escribir e x en lugar de E (x ). En otras ocasiones, por cuestiones tipográcas se usa

exp(x ).

Usando esta notación escribimos la fórmula para la derivada de la función exponencial como

e x =e x o bien, d

dx e x =e x , x ∈R. (6.15)

La fórmula correspondiente para la composición; esto es, la regla de la cadena, es como sigue.

Si h (x )=e f (x ), entonces h (x )=e f (x ) · f (x ) (6.16)

Nota . Normalmente en la literatura de Cálculo, se utiliza u = f (x ) y su derivada du / dx = f (x ).

Escribiendo logx y e y , en lugar de L (x ) y E ( y ), la relación de inversión

x =e y si y solo si logx = y signica

1. Para todo y ∈

R, y =loge y .

2. Para todo x ∈

R+,x =e

logx .

Daremos algunos ejemplos de cómo encontrar la derivada de una composición. Recordemos que la fór-mula es

e f (x )

=e f (x )

· f (x ) o bien, d

dx e f (x )

=e f (x )

d

dx f (x ).

1. Si h (x )=exp( x 2+1) entonces

h (x )=e x 2+1 x 2+1 =e x 2+1 12 12 x 2+1 x 2+1


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154 Cálculo diferencial e integral I la derivada del último factor es 2x , así obtenemos

h (x )=x

2 x 2+

1e

x 2+1.

Ejemplo 63 Usar la fórmula anterior para encontrar la derivada de f (x )=e 6x .

Soluicón . En este ejemplo, tomamos f (x )=6x , así f (x )=6. Por la fórmula anterior,d

dx e 6x =e

6x d dx

(6x )=e 6x ·6=6e

6x .

Ejercicio 31 Encuentre las derivadas de las funciones h (x )=e 1/x y h (x )=e −4x 2.

En ocasiones tenemos funciones que involucran exponenciales pero no composiciones, en esta casorequerimos de las reglas de derivación «normales».

Ejemplo 64 Encontremos la derivada de

f (x )

=

e x −e −x e

x

+e −x .

Solución . En este caso tenemos un cociente con exponenciales, de manera que usamos la regla paraderivar cocientes. Tenemos entonces que

f (x ) =1

(e x +e −x )2(e x −e −x ) (e x +e −x )−(e x −e −x )(e x +e −x )

=1

(e x +e −x )2(e x +e −x )(e x +e −x )−(e x −e −x )(e x −e −x )

=4

(e x +e −x )2

Ejercicio 32 Derive la función f (x )=x 3e x .


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G*ro 155Integrales

Lafórmula(6.15) muestra que e x es unaantiderivadadesí misma; entonces, porel teorema fundamen

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