1

Escuela Preparatoria Oficial No. 54

Calculo Integral

“Exposición”

Unidad 3 INTEGRAL INDEFINIDA

Barajas Botello Brenda Selena

Barrera Misael

Cruz Bolaños Yadira Alejandra

Delgadillo Medrano Viridiana Lizeth

Hernández Hernández Araceli

Torres Santiago Cecilia

Grupo: 3º I Matutino

Profesor: José David Ferreyra Ledesma

1

2

INDICE.

Integral Indefinida……………………………………………………………….3

Teorema Fundamental del Calculo…………………………………………..4

Integral Indefinida Como Una Familia de Funciones en Forma Geométrica Y Algebraica………………………………………………………………………..5

Formulas Básicas De Integración Con Problemas Contextuales………11

La Regla De Sustitución………………………………………………………..13

Regla De Sustitución Para integrales Definidas……………………………14

Problemario……………………………………………………………………….15

INTEGRAL INDEFINIDA

2

3

La integral definida se representa por Donde:

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL

3

4

El teorema fundamental del cálculo consiste en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

Primer teorema fundamental del calculo

Sea f  integrable sobre [ a, b] y defínase F  sobre [ a, b] por

Si  f  es continua en c de [a, b], entonces F  es derivable en c, y

Una tal función F  (x) se llama primitiva de  f ( x).El teorema 1 es interesante en extremo cuando f es continua en todos los puntos de[a, b]. En este caso F es derivable en todos los puntos de [a, b] y F' = f.Si  f es continua,  f  es la derivada de alguna función, a saber, la función

INTEGRAL INDEFINIDA COMO UNA FAMILIA DE FUNCIONES EN FORMA GEOMÉTRICA Y ALGEBRAICA

4

5

La expresión

se lee "la integral indefinida de f(x) respecto a x," y representa el conjunto de todas las antiderivadas de f. Entonces, ∫ f(x) dx es una colección de funciones; no es una función sola, ni un número. La función f que se está integrando se llama el integrando, y la variable x se llama la variable de integración. (La expresión dx significa "respecto a x.")

Al calcular la integral de ∫2 xdx obtenemos la función f ( x )=x2+c que como vimos es la antiderivada de f ( x )=2x .Debemos tener diferentes valores para la constante d e integración c.Por lo tanto se realiza la grafica correspondiente para la función

cuadrática con diferentes valores para c.

Luego al hallar la antiderivada f ( x )+c esta representa una familia de la misma curva.

Metodos de sustitución.

El método de sustitución es una de las herramientas mas fuertes para allar la integral que no se pueden realizar en forma inmediata utilizando la formula general.

Ejemplo

Evaluar la siguiente integaral ∫ x ¿¿

5

f(x) dx

6

Solución: Para resolver con la formula general de la integración primero tendríamos que resolver el binomio ¿ Pero si usamos un cambio de variable podemos reducir la integarl esto es

u=1+ x2

Derivando

dudx

=2 x

Despejando dx tenemos du=du2x

Cambiando este resultado en la integral.

∫ x ¿¿

Simplificando la x nos queda 12∫ u

5du

Aplicando la formula general de la integral

12u6

6+c

Y nos queda

∫ x ¿¿

Integrales de La Funciones Trigonométricas Y Otras. Como la integración es el proceso inverso de la derivación entonces podemos definir las integrales de las funciones trigonométricas en forma inmediata funciones trigonométricas en forma inmediata.

6

7

Propósitos: Introducir el concepto de integral definida como una función-área para construir su significado. Relacionar los conceptos de derivada e integral en la formulación del teorema Fundamental del Cálculo.

Ejemplo 1. Luis le preguntó a su amigo Juan: ¿Si manejé a una velocidad constante de 80 kilómetros por hora durante 3 horas, qué distancia recorrí? Juan le contestó que 240 kilómetros. Claro, dijo Luis, pero quiero que lo resuelvas utilizando una gráfica. Juan trazó un dibujó como el que sigue y basándose en él le explicó a Luis la solución.

a) ¿Qué representa el segmento de recta horizontal que aparece en la gráfica?

b) ¿Cómo quedará representado en la gráfica el resultado correspondiente a la distancia recorrida?

7

8

c) Determina la representación gráfica y la distancia recorrida, si Manuel manejó durante: (i) 4 horas; (ii) 5 horas; (iii) 6 horas; (iv) x horas.

d) ¿Qué distancia recorrió de la segunda a la tercera hora y cuál es su representación gráfica?

e) Encuentra una representación gráfica y la distancia recorrida del tiempo t = a, al tiempo t = b.

f) Establece la función, s (t), que relaciona la distancia recorrida s y el tiempo transcurrido t.

Solución.

a) Representa a la gráfica de la función v (t) en el intervalo [0, 3].

b) Cómo el área comprendida por la gráfica de v (t), el eje x y el intervalo [0, 3].

8

9

c) A continuación se representan gráficamente las soluciones:

f) s (t) = 80t.

9

10

FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION CON PROBLEMAS CONTEXTUALES

Derivadas: Utilizamos las reglas de derivación para encontrar un valor de la

pendiente de la recta tangente de una función F(x).

Integrales: Utilizamos las reglas de las integración para calcular el valor del área

bajo la curva de una función F(x).

Derivada del producto: 

Regla de la cadena:

Integración por partes:

Cambio de variables 

La naturaleza inversa de la integración y la derivación puede verificarse

sustituyendo   por   en la definición de integral indefinida, con lo que se

obtiene:

Además, si , entonces

10

11

Estas dos ecuaciones permiten obtener teoremas de integración directamente de

los teoremas de derivación, como se muestra en la siguiente tabla.

LA REGLA DE SUSTITUCIÓN

La idea que aparece detrás de esta regla es reemplazar una integral relativamente complicada por una más sencilla. Esto se lleva a cabo pasando de la variable original x a una nueva variable u que es función de x. El reto principal en la aplicación de la regla de sustitución es pensar en una sustitución apropiada. Intente elegir u como alguna función en el integrando cuya diferencial también esté presente. Si no es posible esto escoja u como alguna parte complicada del integrando. Encontrar la sustitución correcta conlleva algo de arte. No es raro que la primera conjetura sea errónea, si la suposición no funciona se debe intentar con otra. En general este método se usa siempre que tenemos una integral de la forma

.

Si F' = f entonces   = F[g(x)] + c porque la regla de la cadena de la derivación

 F [g(x)] = F' [g(x)]. g' (x)

Si hacemos el "cambio de variable" o "la sustitución" u = g(x), entonces, tenemos

11

12

 = F [g(x)] + c = F (u) + c =   a bien si se escribe F' = f se obtiene

= 

Se probó la siguiente regla:

REGLA DE SUSTITUCIÓN: Si u = g(x) es una función diferenciable cuyo conjunto

de imágenes es un intervalo I y f es continua sobre I, entonces =

.

REGLA DE SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES DEFINIDAS

Cuando se evalúa una integral definida por sustitución, se pueden aplicar dos métodos. Uno es evaluar primero la integral indefinida y, enseguida la segunda parte del teorema fundamental. Otra, que suele ser más preferible, es cambiar los límites de integración cuando se cambia la variable.

Regla de sustitución para integrales definidas:

Si g´ es continua sobre [a, b] y f lo es sobre el conjunto de llegada de u = g(x)

entonces 

Demostración:

Sea F la primitiva de f. Entonces F [g(x)] es una antiderivadas de f [g(x)] g’ (x) con lo que

 F [g (b)] - F [g(a)].

12

13

Pero si aplicamos nuevamente la segunda parte del teorema

 =   = F [g (b)] - F [g(a)].

En esta regla se afirma que cuando se usa una sustitución en una integral definida, debemos poner todo en términos de la nueva variables u, no sólo x y dx sino también los límites de integración. Los nuevos límites de integración son los valores de u que corresponden a x = a y x = b.

13

14

1.- ∫ xcos xdxA) x senx+cosx+cB) - senx+cosx C) −x senx+cosx+c D) x senx+cosx

2.- ∫ 2x−7¿ dxx2−7 x−1

¿

A) lnl x2+7 x−1 I B)x2+7 x−1 C)lnl x2+7 x−1 I+c D) x2+7 x−1 I+c 3.- ∫ ex senxdx

A) ex(senx−cosx)

2+c

B) senx−cosx

C) ex(senx−cosx )

2

D) - ex(senx−cosx)

2+c

4.- ∫2 x¿¿

A) u5

5

B)- u5

5+c

C) u5+c

D)u5

5+c

5.- ∫ (x2+2 x )¿¿

A) ¿

B) 13

C) - ¿¿ D) ¿¿

6.- .∫ x

x2+4dx

A) B) C)

14

15

D)

7.- ∫ xdx

√5−x2A) √5−x2+c B) 5−x+c C) 5−x2+c D) −√5−x2+c 8.- ∫ sec x tan x dx8+sec x

A) ln|8+sec x| B) ln|8+sec x|+c C) −ln|8+sec x|+c D) 8+sec x 9.- ∫ tan3 x sec3 x dx

A) tan4 x

B) tan4 x4

C) −tan4 x

4+c

D) tan4 x4

+c

10.- ∫ cosx dxsen2

A) 1sen x

+c

B) −1sen x

+c

C) 1+senx+c D) −1+senx+c 11.- (x−5)2dx

A) (x+5)3

B) (x+5)3

3

C) +(x+5)3

3

D) (x+5)3

3+c

12.- ∫ e5 xdx

A) 15e5x+c

15

16

B) 15e5x

C) - 15e5x+c

D) 5 e5x

13.- ∫ sec x tan xsec5

A) u−5

−4

B) −5−4 C) 5+4 x

D) −u−5

−4

14.- ∫ (3 x−4 )2dx

A) 2 x3−6 x B) −2 x3−6 x+c C) 2 x3−6 x+c D) 2 x3−6 x 15.- ∫ (cot2 x+1 )csc2 xdx

A) 2 tagx+cotx B) 2 tagx+cotx+c C) +2 tagx+cotx+c D) 2 tagx

16.-∫ 3 x2dx

√ x3+8A) 3 x3arc senxB) 3 x3arcC) -3 x3arc senx+cD) 3 x3arc senx+c17.-∫ sen4 xdx

A)14cos 4 x+c

B) −14cos 4 x+c

C) D)18.-∫ se n4 xcosx dx

A) sen5 x5

+c

B)sen5x

16

17

C) −sen5 x5

+c

D) 5 x+c19.- ∫cos4 xsenxdx

A) 15

B)15¿

C) - 15

D) - 15¿

20.∫ dx

(x+4)4

A) 3(x+4)3

B) 1

3(x+4)3+c

C) 3 x+c

D) - 1

3(x+4)3+c

17