Profesor de Matemática; Especialista en Planificación y Evaluación

LF 03220025103327ISBN 980-345-249-5

1

PROLOGO

El cuaderno de trabajo que utilizarán los alumnos del 3er Semestre de Ciencias,

refleja en forma sencilla y práctico los objetivos básicos del programa de

Matemática.

Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los estudiantes un

instrumento que, mediante lo práctico de sus ejercicios facilite el proceso de

aprendizaje dentro y fuera del aula.

Los Teques, Mayo del 2003

2

Agradecimientos:

Por su valiosa colaboración en revisar, corregir y anexar planteamientos y

ejercicios:

Prof. Miguel Carmona

Especialmente a:

A mi esposa: por su apoyo.

A mis hijos: por ser la inspiración de todo mi trabajo.

A mis alumnos: por ser la razón pura de mi profesión.

A mis Liceos apreciados: U.E.P.”Gran Aborigen

U.E.N.”Teresa de la Parra

U . N . E . O . P . E .M

3

CONTENIDO

.- Función Polinomio, tipos de polinomios................4

.- Elementos de un polinomio.......4

.- Grado de un polinomio.............5

.- Completar y ordenar polinomios, valor numérico..........5,6

.- Adición de polinomios..............6,7,8,9

.- Sustracción de polinomios...........9

.- Multiplicación de polinomios.............9,10,11,12

.- División de polinomios...........12

.- Regla de Ruffini................. 13,14

.- Teorema del Resto...............14,15

.- Teorema de Descartes................15

.- Cálculo de raíces enteras...............16

.- Factorización mediante Ruffini............17,18

.- Cálculo de raíces fraccionarias.............18,19

.- Inecuaciones lineales en R..............20,21,22,23,24

.- Variación ordinaria.............25

.- Ecuaciones de Variaciones...........26

.- Permutaciones ordinarias..........27

.- Combinación ordinaria............27,28

.- Números combinatorios...............29,30

.- Triángulo de Tartáglia..............31

.- Binomio de Newton.....................32

.- Bibliografía.................33

4

Polinomios:

Se denomina función o simplemente polinomio a toda función que se obtiene

combinando sumas y productos de funciones idénticas y constantes.

P(x) = A0 + A1x + A2x² A3x³......An

A0 = término independiente.

x = variable.

A0, A1, A2, A3... = coeficientes del polinomio

Tipos de Polinomios:

Polinomio nulo: es el que tiene todos los coeficientes nulos.

Polinomio constante: es el que tiene todos los coeficientes nulos, menos el término

independiente.

Monomio: es el polinomio que tiene todos los coeficientes nulos, menos uno de

ellos.

Binomio: polinomio que consta de dos términos.

Trinomio: polinomio que consta de tres términos.

5

Grado de un Polinomio: se denomina grado de un polinomio al mayor exponente

de la variable.

a.- p(x) = 2 + 3x + 5x² segundo grado

b.- q(x) = 3x³ - 4x + 9 tercer grado

Completar Polinomios: un polinomio es completo, cuando los exponentes de la

variable se suceden de unidad en unidad desde el término de mayor grado hasta el

término independiente.

Ordenar Polinomios: un polinomio está ordenado cuando se suceden de unidad

en unidad.

Decreciente: cuando los exponentes están ordenados de mayor a menor.

Creciente: cuando los exponentes de la variable están ordenados de menor a

mayor.

Valor Numérico de un Polinomio: es el número que se obtiene cuando se sustituye

en el polinomio, la variable por su valor y se efectúan las operaciones indicadas.

Ejemplo: Dado P(x)= 2x² + 3 dónde x = 3

P(3) = 2(3)² + 3 = p(3) = 2.9 + 3 = p(3) = 18 + 3 p(3) = 21

6

Ejercicios:

1.- p(x) = 2x –4 dónde x = 3

2.- q(x) = 4x + x² dónde x = 2

3.- t(x) = x³ -2 dónde x = 4

4.- p(x) = 3x² + 2x dónde x = 3

5.- q(x) = x³ + 4x – 2 dónde x = 3

6.- p(x) = 4x –x + 5 dónde x = 2

Adición de Polinomios:

Se denomina polinomio suma de otros dos, al polinomio que resulta de escribir

los polinomios sumandos uno a continuación del otro, enlazados por el signo (+).

Regla para sumar polinomios:

1.- Se ordenan en forma creciente o decreciente, y cuando sea incompleto, se

completa con ceros.

2.- Se coloca uno debajo del otro, quedando términos semejantes en columnas.

Ejemplo: En forma entera:

P(x) = 5x³ + 4x² - 6x + 8

Q(x) = 3x² - 4x + 3

5x ³ +7x²-10x +11

7

Ejemplo: En forma racional:

P(x) = 2/2x² - 3/5x + 4/3 operaciones:

Q(x) = 3/2x + 5/4 -3 + 3 = -6+15 = 9 2/2x+9/10x+31/12 5 2 10 10

4 + 5 = 16+15 = 31 3 4 12 12

Ejercicios: Dados los polinomios: p(x) = 2x3 + 6x2 – 5x +8 ; q(x) = 2x3 – 2x2 + 4x

t(x) = 5x3 + 6x2 – 2x + 1 ; r(x) = 2/5x2 – 3/2x + 6/3 ; s(x) = 3/6x2 + 5/4x – 7/2 ;

h(x) = 2/5x2 + 3/4x – 7/4

Hallar la suma de los polinomios:

1.- p(x) + q(x) 2.- p(x) + t(x) 3.- q(x) + t(x)

4.- r(x) + s(x) 5.- r(x) + h(x) 6.- s(x) + h(x)

Propiedades de la Adición de Polinomios:

a.- La adición de dos polinomios siempre resulta otro polinomio, por lo tanto es una

ley de composición interna.

b.- La adición de polinomios es conmutativa.

c.- Es asociativa.

d.- El elemento neutro para la adición es el polinomio nulo.

e.- El polinomio simétrico de p(x) es –p(x).

f.- Todos los polinomios son regulares para la adición.

8

Conmutativa: p(x) + q(x) = q(x) + p(x)

Ejercicios:

a.- p(x) = 2x2 – 3x + 8 ; q(x) = 5x2 + 6x – 5

b.- p(x) = 3x3 + 4x2 - 6x + 7 ; q(x) = 3x2 + 8x – 7

c.- p(x) = 6x2 + 6x – 10 ; q(x) = 5x2 + 4x – 6

d.- p(x) = 12x2 – 4x – 8 ; q(x) = 6x2 + 7x – 6

Asociativa: p(x) + q(x) + h(x) = p(x) + q(x) + h(x)

Ejercicios:

a.- p(x) = 2x2 + 3x – 6 ; q(x) = 3x2 + 4x – 8 ; h(x) = 2x –6

b.- p(x)= 7x2 – 5x + 8 ; q(x) = 6x – 9 ; h(x) = 3x + 6

c.- p(x) = 7x2 + 6x – 4 ; q(x) = 9x2 + 8x – 6 ; h(x) = 4x –9

d.- p(x) = 11x – 7 ; q(x) = 4x2 + 3x – 6 ; h(x) = 4x – 10

Elemento Neutro: p(x) + 0 = 0 + p(x)

Ejercicios:

a.- p(x) = 5x2 + 3x – 6 c.- p(x) = 8x2 – 3x + 22

b.- q(x) = 4x2 – 6x + 5 d.- q(x) = 7x2 + 6x – 12

Elemento Simétrico: p(x) + -p(x)

a.- p(x) = 5x2 – 3x + 8 c.- p(x) = 3x3 – 8x2 + 4x – 2

b.- q(x) = 2x2 - 7x + 9 d.- q(x) = -3x3 – 4x2 + 8x + 9

9

Sustracción de Polinomios:

Para restar un polinomio p(x) otro polinomio q(x), le sumamos a p(x) el simétrico,

es decir –q(x). P(x) – q(x) = p(x) + -q(x) p(x) = minuendo

q(x) = sustraendo

Ejercicios:

a.- p(x) = 3x + 8 ; q(x) = -5x –4 c.- p(x) = 3x2 –5x + 8 ; q(x) = 6x + 8

b.- p(x) = -5x2 – 5x + 6 ; q(x) = 4x – 8 d.- p(x) = 4x2 – 8x + 9 ; q(x) = 3x2 –7x +6

Multiplicación de Polinomios:

El producto de dos funciones polinomios, es otra función polinomio formada por la

suma algebraica de los productos parciales de cada término de uno de ellos por

todos los de la otra.

Ejemplo: En forma Entera:2

Dado p(x) = 2x2 – 5x + 6 ; q(x) = x2 – 3x + 5 . Hallar: p(x) . q(x)

q(x) = x2 - 3x + 5

p(x) =2x2 – 5x + 6

2x4 – 6x3 + 10x2

- 5x3 + 15x2 – 25x

6x2 – 18x + 30

2x4 – 11x3 + 31x2 – 43x + 30

10

Ejemplo: En forma Racional:

p(x) = 2/3x2 + 4/6x –3/2

q(x) = 2/5x +4/3 operaciones:

4 x3 + 8 x2 – 6 x 8 + 8 = 312 15 30 10 30 9 270

8 x2 + 16 x – 12 - 6 + 16 = 52 9 18 6 10 18 180

4 x3 + 312 x2 + 52 x -12 15 270 180 6

Ejercicios: Hallar la multiplicación de los siguientes polinomios:

1.- p(x) = 3x2 + 5x –5 ; q(x) = 4x – 8

2.- p(x) = 4x2 + 6x + 6 ; q(x) = 2x + 2

3.- p(x) = 2x3 + 5x2 – 7x + 3 ; q(x) = 3x – 7

4.- p(x) = 6x2 + 8x – 4 ; q(x) = 3x + 7

5.- p(x) = 4x3 + 6x2 – 9x + 9 ; q(x) = 3x – 6

6.- p(x) = 3/4x2 + 6/3x – 5/2 ; q(x) = 4/4x – 6/2

7.- p(x) = 4/6x2 + 7/3x + 2/5; q(x) = 3/6x – 7/2

8.- p(x) = 5/3x2 + 1/2x + 3/2 ; q(x) = 2/4x + 8/2

Propiedades de la Multiplicación de Polinomios:

a.- En la multiplicación de dos polinomios, siempre resulta otro polinomio, por lo

tanto; es una ley de composición interna.

b.- Es conmutativa.

c.- Es asociativa.

d.- El polinomio constante I, es el elemento neutro para la multiplicación.

e.- El elemento absorbente es el elemento nulo.

11

f.- Todos los polinomios excepto el nulo son regulares.

g.- Es distributiva respecto a la adición y sustracción de polinomios.

h.- El grado del polinomio producto, es igual a la suma de los grados de lospolinomios

factores.

Ejercicios: Calcular las siguientes propiedades:

1.- Conmutativa: p(x) . q(x) = q(x) . p(x)

a.- p(x) = 2x + 4 ; q(x) = 3x – 2

b.- p(x) =4x – 6 ; q(x) = 5x + 6

c.- p(x) = 4x2 – 6x + 8 ; q(x) = 3x – 7

d.- p(x) = 6x – 7x + 6 ; q(x) = 6x – 2

2.- Asociativa: p(x) . q(x) . h(x) = p(x) . q(x) . h(x)

a.- p(x) = 3x –5 ;, q(x) = 4x – 8 ; h(x) = 5x + 3

b.- p(x) = 4x – 6 ; q(x) = 2x + 7 ; h(x) = 5x – 1

c.- p(x) = 4x2 + 6x – 5 ; q(x) = 4x + 3 ; h(x) = 5x – 1

d.- p(x) = 7x + 8 ; q(x) = 4x2 – 7x + 2 ; h(x) = 3x – 4

3.- Distributiva: p(x) . q(x) ± h(x) = p(x) . q(x) ± p(x) . h(x)

a.- p(x) = 3x + 4 ; q(x) = 4x – 9 ; h(x) = 3x + 2

b.- p(x) = 4x + 5 ; q(x) = 6x – 9 ; h(x) = 5x + 12

c.- p(x) = 5x + 8 ; q(x) = 7x – 1 ; h(x) = 6x + 1

d.- p(x) = 6x – 8 ; q(x) = x + 5 ; h(x) = 5x – 2

12

4.- Elemento Neutro: p(x) . 1 = 1 . p(x)

a.- p(x) = 5x2 + 3x – 6 c.- p(x) = 4x2 – 6x + 5

b.- q(x) = 6x – 8 d.- h(x) = 4x3 – 5x2 + 7x – 2

División de Polinomios:

D(x) = d(x) . c(x) + r(x) D(x) = dividendo

d(x) = divisor

c(x) = cociente

r(x) = residuo

Ejercicios:

a.- Dividir (6x2 + 7x + 2) : (2x + 3) e.- Dividir (20x2 + 10x – 5) : (5x + 5)

b.- Dividir (4x3 + 4x2 – 29x + 21) : (2x – 3) f.- Dividir (10x2 + 13x – 2) : (5x – 1)

c.- Dividir (3x2 + 8x + 6) : (3x + 2) g.- Dividir (4x3 – 2x2 – x + 1) : (2x –3)

d.- Dividir (x4 – x2 – 2x – 1) : (x2 – x – 1) h.- Dividir (5/2x2 + 2/2x – 1/3):(1/2x+3)

13

Regla de Ruffini:

a) Se descompone el término independiente de la ecuación en sus divisores.

b) Tanteamos con dichos divisores hasta que el residuo de cero.

c) El número de raíces de un polinomio, es igual al mayor exponente de laincógnita.

Ejemplo: Resolver x3 + 2x2 – x – 2 = 0

divisores de 2 = (1 , 2) 1 2 -1 -21 1 3 2

1 3 2 0-1 -1 -2

1 2 0 x1=1-2 -2 x2=-1

1 0 x3=-2

Ejercicios:

a) Resolver x4-11x2-18x-8=0

b) Resolver x3-3x2-4x+12=0

c) Resolver x3+ 4x2+ 5x+ 2=0

d) Resolver x3+ x2-5x+3=0

e) Resolver x3-3x+2=0

f) Resolver 6x4+ x3+ 5x+ x-1=0

14

División de un polinomio p(x) entre un binomio (x a) :

Ejmplo: Hallar el cociente y residuo por Ruffini de (x4+2x3+x) : (x +1)

1 cambia a –1

1 2 0 1 0 cociente: x3+ x2- x + 2

-1 -1 -1 1 -2 residuo: -2

1 1 -1 2 -2

Ejercicios:

a) (2x3+ 3x2-4x+3) : (x + 2) b) (x2+ 4x-8) : (x-6)

c) (3x3+ 2x2-6x+2) : (x-7) d) (3x2+ 5x-9) : (x + 3)

e) (6x4-6x2-8) : (x + 4) f) (2x3-8x2+ 5x-7) : (x + 2)

Teorema del Resto:

El residuo de una división entre un polinomio ordenado en x, y un binomio de la

forma de x a, es igual al valor numérico del polinomio para x a.

Ejemplo: Calcular el resto de la división ( 4x2+ 5x-3) : (x + 1)

calculamos el valor numérico para x = -1

p(x) = 4x2+5x-3 p(-1) = 4(-1)2+5.1-3

p(-1) = 4-5-3 resto = -4

15

Ejercicios:

a) (3x2+ 4x-6) : (x + 3) b) (4x3-2x2-6x+1) : (x-6)

c) (2x3-5x2-4x+9) : (2x-3) d) (6x2-7x+2) : (x-4)

Teorema de Descartes:

La condición necesaria y suficiente para que un polinomio entero en x, p(x) sea

divisible por x a es que se anule para x = a.

Ejemplo: Averiguar sin hacer la división, si el polinomio p(x) = 2x2+ 6x-20 es

divisible por x – 2 .

p(x) = 2x2+6x-20 p(2) = 2 . 22+ 6 . 2 – 20

p(2) = 8 + 12 – 20

p(2) = 0 si es divisible

Ejercicios:

a) (5x2+ 2x-6) : ( x-2) b) (4x2-6x+5) : (x-3)

c) (3x2+ 5x+6) : (x-3) d) (5x2-7x+2) : (x-4)

e) (2x3-5x2+ 4x+5) : (x-1) f) (4x3-6x2+ 6x-8) : (x-5)

16

Cálculo de raíces enteras mediante Ruffini:

Regla:

Se descompone el término independiente en todos sus divisores y después

tanteamos con esos divisores positivos y negativos aplicando Ruffini. Cada vez que

el residuo valga cero es una raíz cuadrada.

Este método se debe aplicar para ecuaciones de grado superior al segundo.

Ejemplo: Resolver la ecuación x3+ 6x2+ 11x+6 = 0

divisores de 6 = (1,2,3,6)

1 6 11 6

-1 -1 -5 -6 raíces: x1 = -1

1 5 6 0 x2 = -2

-2 -2 -6 x3 = -3

1 3 0

-3 - 3

1 0

Ejercicios:

a) Resolver x3 – 7x – 6 = 0 b) Resolver x4 –5x2 + 4 = 0

c) Resolver 10x4 – 20x2 + 10 = 0 d) Resolver x4 – x3 – 7x2 + x + 6 = 0

17

Factorización de polinomios mediante la regla de Ruffini:

Regla:

a) Aplicamos Ruffini hasta que se pueda.

b) El polinomio dado es igual al último cociente que da como residuo cero por

cada uno de los binomios de la forma x, menos cada una de las raíces

obtenidas.

Ejemplo: Factorizar el polinomio x4 4x3 + 3x2 – 4x – 4 = 0

divisores de 4 = (1,2,4)

1 4 3 -4 -4

-1 -1 -3 0 4

1 3 0 -4 0

1 1 4 4 x1 = -1

1 4 4 0 x2 = 1

-2 -2 -4 x3 = -2

1 2 0 x4 = -2

-2 -2

1 0 al factorizar cambiamos de signos las x, y el último

cociente va de primero.

(1). (x + 1).(x-1).(x + 2).(x + 2)

18

Ejercicios:

a) Factorizar -x4 + 8x2 – 16 b) Factorizar x3 + x2 – x – 1 = 0

c) Factorizar x3 – 8x2 + 17x – 10 = 0 d) Factorizar x4-4x3+ 3x2+ 4x-4 = 0

e) Factorizar x3+ 4x2+ 5x+2 = 0 f) Factorizar x3 +x2-5x+3 = 0

Raíces fraccionarias aplicando Ruffini:

Ejemplo: Calcular x3 – 3x – 2

x3+ 4x2+ 5x+ 2

factorizamos numerador: 1 0 -3 -2

-1 -1 1 2

1 -1 -2 0

-1 -1 2

1 -2 0

2 2

1 0

raíces: x1 = -1 (x + 1).(x + 1).(x - 2)

x2 = -1

x3 = 2

19

factorizamos denominador: 1 4 5 2

-1 -1 -3 -2

1 3 2 0

-1 -1 -2

1 2 0

-2 -2

1 0

raíces: x1 = -1 (x + 1).(x + 1).(x + 2)

x2 = -1

x3 = -2 simplificamos: (x + 1).(x +1).(x-2) = (x – 2)

(x +1).(x +1).(x +2) (x + 2)

Ejercicios:

a) x3+x2-5x+3 b) x5-21x3+16x2+108x-144

x3-3x+2 x3+x2-x-1

c) x4+5x3+8x2+7x+3 d) -x4 + 8x2 - 16

x3+2x2-x-2 x3-3x2-4x+12

20

Inecuaciones Lineales en R:

Propiedades de las desigualdades:

1) a 0 ; mínimo. Raíces reales distintas.

2) a 0 ; mínimo. Raíces dobles.

3) a 0; mínimo. Raíces imaginarias conjugadas.

21

4) a 0. máximo. Raíces reales y distintas.

5) a 0; máximo. Raíces dobles.

6) a 0; máximo. Raíces imaginarias

22

Inecuaciones en una Variable:

Es una desigualdad literal que solamente se cumple para determinar valores de

las variables.

Ejemplo: Resolver 3x + 2 2 3

3.(3x + 2) 2 9x + 6 2 x 2 - 6 9

x -4 9

-1 0 1

-4 9

Ejercicios:

a) 5x – 4 3 – 2 c) 2x + 3x – 5 4 – x 4

b) 4 – 6x – x 4x + 6 d) 3x – 5 – 2 2x - 4 3 2 5

23

Inecuaciones de segundo grado en una variable:

Ejemplo: Representar gráficamente el trinomio y = x2 – 6x – 7

a = 1 aplica la ecuación de segundo gradob = -6c = -7

x = -b b2 – 4 . a . c 2 . a

x = 6 (-6)2 – 4 .(1).(-7) x = 6 36 + 28 2 . 1 2

x = 6 + 64 x1 = 6 + 8 x1= 7 2

2

x2 = 6 – 8 x2 = -1 2

factorizamos y = (x-7).(x +1) se calcula el mínimo: y = 4.a.c – b2

4.a

y = 4 . 1.(-7) – (-6)2 y = -28-36 y = -164.1 4

x = - b x = - 6 x = -3 2.a 2

raíces x1 = 7 vértices x = 3

x2 = -1 y = - 16

24

Representación gráfica: y

x

-1 0 -3 -7

-7

-16

Ejercicios:

a) Representar y = x2 – 6x + 9 b) Representar y = x2 +3x + 2

c) Representar y = x2 – 4x + 3 d) Representar y = x2 + 5x + 4

e) Representar y = x2 +6x + 5 f) Representar y = x2 – 8x + 7

25

Variación Ordinaria:

Las variaciones son agrupaciones ordenadas de objetos de un conjunto.

Fórmula: Vm,n = m . (m – 1) . (m – 2) . (m – 3) .......... (m – n + 1) donde n!

representa el producto de todos los enteros positivos de 1 a n, siendo 0! = 1 por

definición.

Ejemplo: Calcular V10,3 m = 10

n = 3

V 10,3 = 10 . (10-1). 10(10-2) V10,3 = 10 . 9 . 8

V10,3 = 720

Ejercicios:

a) Calcular V7,2 b) Calcular V8,5

c) Calcular V12,4 d) Calcular V11,4

e) Calcular V9,6 f) Calcular V8,2

26

Ecuaciones de Variaciones:

Ejemplo: Resolver la ecuación 5Vx,2 = 30

5x(x – 1) = 30 5x2 – 5x = 30 5x2 - 5x – 30 = 0

Ecuación de 2do grado x = 5 52 – 4 . 5 . (-30)

2 . 5

x = 5 25 + 600 x = 5 + 625

10 10

x = 5 + 25 x = 30 x1= 3

10 10

x2 = 5 – 25 x2 = -20 x2 = - 2 no es solución

10 10

Ejercicios:

a) Resolver 4Vx , 3 = 25 b) Resolver 6Vx , 4 = 12

c) Resolver 8V x , 2 = 10 d) Resolver 10V x , 6 = 20

e) Resolver 3V x , 3 + 2V x , 2 = 8x f) Resolver 4Vx , 2+ 3V x , 3-10Vx,1= 42x

27

Permutaciones Ordinarias:

Una permutación es una variación, cuando m = n, o sea una permutación es una

biyección del conjunto α en el conjunto A.

Fórmula : Pm = Vm , n = m . (m – 1) . (m – 2)..........(m – m + 1)

Ejemplo: Resolver P3,3

m = 3 P3,3 = 3.(3-1).(3-2)

n = 3 P3,3 = 3.2.1

P3,3 = 6

Ejercicios:

a) Resolver P4,2 b) Resolver P6,2 c) Resolver P8,5

d) Resolver P12,4 e) Resolver P9,3 f) Resolver P24,6

Combinación Ordinaria:

Dado un conjunto A = { a1 , a2 ......am } se denomina combinación ordinaria de”

n” elementos de A, con n ≤ m, a cualquier subconjunto de A con “n” elementos. Dos

combinaciones se consideran igual si y solo si, están formados por los mismos

elementos.

Fórmula: Cm,n = Vm,n

Pn

28

Ejemplo: Hallar C8,3

C8,3 = V8,3 = C8,3 = 8.(8-1).(8-2) = C8,3 = 8.7.6

P3 3.(3-1).(3-2) 3.2.1

C8,3 = 336 = C8,3 = 56

6

Ejemplo: Hallar Cx,3 = 2x

Cx,3 = x.(x-1).(x-2) = 2x = Cx,3 = x2 – 2x – x + 2 = 2

3.(3-1).(3-2) 6

Cx,3 = x2 – 3x + 2 = 12 = Cx,3 = x2 – 3x – 10 = 0

a = 1 x = 3 ± 32 – 4 . 1 .(-10) = x = 3 ± 9 + 40

b = -3 2 . 1 2

c = -10

x1 = 3 + 7 = x1 = 10 = x1 = 5

2 2

x2 = 3 – 7 = x2 = -4 = x2 = -2

3 2

29

Ejercicios:

a) C3,2 b) C8,3 c) C12,5 d) C7,3

e) Cx+1,2 = 2x f) Cx,4 = 3x g) Cx+2,4 = 6 h) Cx-2,6 = 9

Número Combinatorio:

a) Dados dos números naturales m ( ≠ 0) y n, tales que m ≥ n ≥ 0, se denomina

número combinatorio de m base n y se denota por m

n

b) Son los números de la forma m , también se les llama coeficientes binómicos

n

“m” es el numerador o base “n” es el orden.

Propiedades de los Números Combinatorios:

a) Todo número combinatorio cuyo orden es el número cero es igual a la unidad.

m = 1 ; m = m ; m = 1

0 1 m

b) Se dice que dos números combinatorios son complementarios cuando tienen el

mismo numerador y los ordenes son tales, que sumados dan el numerador común.

m = m

n m – n

30

c) La suma de dos números combinatorios del mismo numerador y órdenes

consecutivos, es otro número combinatorio cuyo numerador es una unidad

mayor y el orden es igual al del sumando que lo tiene mayor.

m + m = m + 1

n n + 1 n + 1

m! + m! = m! + m!

n!(m-n)! (n + 1)! (m-(n + 1)! n!(m-n)! (n +1)! (m-n-1)!

Ejemplo: Resolver 20 = 20

3y+3 9y-7

(3y + 3) + (9y – 7) = 20

3y + 9y = 20 – 3 + 7 12y = 24

y = 24 = y = 2

12

Ejercicios:

a) Resolver 12 = 12 b) Resolver 7 = 7

x2 - 1 x2 + 5 4y + 2 2y – 1

c) Resolver 16 = 16 d) Resolver 20 = 20

5y – 1 2y + 3 -2y + 6 5y – 1

31

Triángulo de Tártaglia:

1 1

0 1

2 2 2

0 1 2

3 3 3 3

0 1 2 3

4 4 4 4 4

0 1 2 3 4

5 5 5 5 5 5

0 1 2 3 4 5

Ejemplo: Construir un triángulo con los lados, con números iguales a la unidad.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

32

Binomio de Newton:

(a + b) = n a0 b0 n an+1 b n an-2 b2 +…………..

0 1 2

De la formula se deduce lo siguiente:

a) Los coeficientes de los diferentes términos corresponden a los elementos de las

filas del triángulo de Pascal. Así, por ejemplo, los coeficientes de los términos de

(x + y)4 son los elementos de la cuarta fila del triángulo de Pascal.

b) El número de términos es una unidad mayor que el exponente del binomio.

c) Cuando nos movemos de un término al otro de izquierda a derecha, el exponente

de x disminuye en 1, mientras que el de y se incrementa en 1.

Ejemplo: Desarrollar el siguiente binomio (x + 1)5:

(x + 1)5 = 5 x510 + 5 x4 11 + 5 x3 12 + 5 x2 13 + 5 x1 14+ 5 x0 15

0 1 2 3 4 5

= 5! x5 + 5! x4 + 5! x3 + 5! x2 + 5! x + 5! x0

0!(5-0)! 1!(5-1)! 2!(5-2)! 3!(5-3)! 4!(5-4)! 5!(5-5)!

Ejercicios:

a) (x – y)3 b) (3x + y)4 c) (1 – x2)5

d) (2 + 2y)4 e) (4x – 2y)5 f) (2 + 3x)3

33

BIBLIOGRAFIA

NAVARRO, E.......................................................... Matemática para Quinto Año

Libro de Práctica. Caracas. Vene-

zuela.1973.Distribuidora Zacarias.

FIGUERA YIBIRIN; Júpiter.................................. Matemática 2do Ciencias. Cumaná

1996. Ediciones CO-BO.