V) METODOLOGIÁ

4.1.) Para determinar la velocidad instantánea:a) Nivele el tablero horizontal mediante los tres pernos de apoyo, utilizando el nivel

de burbuja.

b) Coloque las barras paralelas en forma inclinada, buscando un ángulo apropiado de tal manera que la volante ruede sin deslizar por la pendiente.

c) Dividida el tramo AB en dos partes, una de longitud L/3 y otra 2L/3 y ubique el punto C tal como se muestra en la guía. A continuación dividir los tramos AC y BC en cuatro partes iguales cada una.

d) Con la regla medir las distancias AC, A1C, A2C, A3C, en forma análoga las distancias CB, CB3, CB2, CB1, registrando sus valores en la tabla I.

e) Soltar la volante a partir del reposo en el punto A y con el cronometro medir el tiempo que demore la rueda en recorrer el tramo AC por tres veces consecutivas. Registrando sus lecturas en la tabla I.

f) Dejando libre la volante desde el mismo punto de partida que para el caso anterior, medir los tiempos correspondientes a los tramos A1C, A2C, A3C, por tres veces consecutivas para cada caso. Registre sus lecturas en la tabla I.

g) Siempre poniendo en movimiento la rueda desde el mismo punto de partida que en los pasos “c” y “d”, meda por tres veces los tiempos correspondientes a los tramos CB, CB3, CB2, CB1. Registrando sus valores en la tabla I.

(a)Fig. 6. Instalación de la pista para encontrar: (a) velocidad instantánea.

Tabla I. Datos y cálculos para determinar la velocidad instantánea.

Tramo Desplazamiento Δx (cm) ± 0.05

Tiempo t (s) ± 0.005 Δt (s) Vm = Δx/Δt (cm)1 2 3

AC 16 8,30 8,49 8,52 8,47 1,89A1C 12 4,52 4,54 4,51 4,53 2,65A2C 8 2,64 2.66 2,63 2,64 3,03A3C 4 1,28 1,27 1,27 1,27 3,14CB 32 6,67 6,65 6,65 6,66 4,80CB3 24 5,44 5,43 5,38 5,42 4,42CB2 16 3,81 3,82 3,80 3,81 4,19CB1 8 2,03 2,09 2,05 2,06 3,88

4.2.) Para determinar la aceleración instantánea:a) Instale el equipo tal como se muestra en la guía.

b) Divida el tramo a recorrer por la volante en puntos que estén situados a 10, 20, 30 Y 40 cm., respectivamente desde un origen común A. Registre las medidas en la tabla II.

c) Suelte la volante a partir del reposo en el punto A y con el cronometro mida el tiempo que demora en recorrer el tramo AA1, por tres veces consecutivas. Registre sus valores en la tabla II.

d) Dejando libre la volante en el mismo punto que el paso “c”, mida los tiempos correspondientes para los tramos AA2, AA3, AA4, etc. Registre sus valores en la tabla II.

Tabla II. Datos y cálculos para determinar a.

Tramo Desplazamiento Tiempo t (s) vi ti'(s) x (cm.) 1 2 3 t (cm/s)

AA1 10 6,90 6,84 7,16 6,96 1,43 3,48AA2 20 9,32 9,41 9,40 9,37 2,13 4,69AA3 30 12,32 12,40 12,55 12,42 2,41 6,21AA4 40 13,70 13,71 13,68 13,69 2,92 6,85

e) Con los datos de la tabla II y las ecuaciones 4.2 y 4.3, elabore la tabla III para determinar las velocidades instantáneas en los puntos medios de los tramos AA1, AA2, AA3, AA4.

Tabla III. Datos y cálculos para determinar a.

Tramo v i=d

t B +t At '=

tB+ tA2

AA1 1,43 3,48

AA2 2,13 4,69

AA3 2,41 6,21

AA4 2,92 6,85

V) CUESTIONARIO:5.1.) Para determinar la velocidad media E instantánea:

a) Con los datos de la tabla I, trace en papel milimetrado una gráfica velocidad media vm en función del intervalo de tiempo t, y a partir de ella determine la velocidad instantánea del móvil en el punto C.

1. Para el tramo AC:

Tramo Desplazamiento Tiempo t (s) vm = x/ t Datos para la recta de ajustex (cm.) 1 2 3 t (cm/s) t² t.vm

AC 16,00 8,30 8,49 8,52 8,47 1,89 71,7409 16,00A1C 12,00 4,52 4,54 4,51 4,53 2,65 20,5209 12,00A2C 8,00 2,64 2.66 2,63 2,64 3,03 6,9696 8,00A3C 4,00 1,28 1,27 1,27 1,27 3,14 1,6129 4,00 16,91 10,71 100,84 40,0

a) Graficando por el método de mínimos cuadradosvm '=a+bΔt

a=∑ Δt2 .∑ vm−∑ Δt .∑ Δt .vm

n∑ Δt 2−(∑ Δt )2

Donde:n=4 (Número de medidas)

∑ Δt=16 ,91 s∑ vm=10 ,71cm / s

∑ Δt .vm=40 ,0cm

∑ Δt2=100 ,84 s2

(∑ Δt )2=285 ,948 s2

a=(100 .84 )(10 .71)−(16 .91)(40 )

4 (100 .84 )−285 .948 cm / s

a=3 .4374cm / s

b=n∑ Δt . vm−∑ Δt .∑ vm

n∑ Δt2−(∑ Δt )2

Donde:n=4 (Número de medidas)

∑ Δt=16 .91 s∑ vm=10 .71cm / s

∑ Δt .vm=40 .0cm

∑ Δt2=100 .84 s2

(∑ Δt )2=285 .948s2

b=4 (40 )−(16 .91)(10 .71)4 (100 .84 )−285 .948 cm / s

b=-0 .1797cm / s Reemplazando tenemos :

vm=3 .4374−0 .1797 Δt . .. ..cm/ s

b) Cálculo del error absoluto para el tramo AC

Tramo Datos de laboratorio Recta Ajustada (vm - vm ')²

Δt (s) Δt² (s2) vm (cm/s) Δt (s) vm' (cm/s) (cm2/s2)AP 11,494 132,1 1,392 11,494 1,3844 0,000058A1P 5,7 32,49 2,105 5,7 2,0836608 0,000467A2P 3,536 12,5 2,262 3,536 2,3448276 0,0068A3P 1,514 2,292 2,642 1,514 2,5888568 0,0028 22,244 179,40 0,01014

Cálculo del error absoluto de “a”

a '=±√ ∑ ( vm−vm ' )2 .∑ Δt2

(n−2)(n∑ Δt2− (∑ Δt )2 )Donde:n=4

∑ (vm−vm ' )2=0 .01014 cm / s

∑ Δt2=179 .40 s2

(∑ Δt )2=494 .796 s2

a '=±√ (0.01014 )(179 .40 )2(4×179 .40−494 .796)

cm / s

a '=±0,0639 cm / s

Cálculo del error absoluto de “b”

b '=±√ n∑ ( vm−vm ' )2

(n−2)(n∑ Δt2− (∑ Δt )2 )Donde:n=4

∑ (vm−vm ' )2=0 .01014 cm/s

∑ Δt2=179 .40 s2

(∑ Δt )2=494 .796 s2

b '=±√ 4 (0 .01014 )2 (4×179 .40−494 .796) cm/s

b '=±0,0095 cm/s

Entonces “a” y “b” son :Α=a±a 'Α=2.7716±0 .0639⇒ Α=[2 .7077 ;2 .8355 ]

Β=b±b 'Β=−0.1207±0 .0095⇒Β=[−0 .1302 ;−0.1112 ]

Por lo tanto las rectas ajustadas serán:vm=2.7077−0 .1302 . Δt (a)vm=2.8355−0 .1112 . Δt (b)

2. Para el tramo CB:

Tramo Desplazamiento Tiempo t (s) vm = Δx/ΔtDatos para la recta de

ajusteΔx (cm.) 1 2 3 Δt (s) (cm/s) Δt² (s2) Δt. vm (cm)

CB 32 6,67 6,65 6,65 6,66 4,80 44.3556 32CB3 24 5,44 5,43 5,38 5,42 4,42 29.3764 24CB2 16 3,81 3,82 3,80 3,81 4,19 14.5161 16CB1 8 2,03 2,09 2,05 2,06 3,88 4.2436 8 17.95 17.35 92.4917 80

a) Graficando por el método de mínimos cuadradosvm '=a+bΔt

a=∑ Δt2 .∑ vm−∑ Δt .∑ Δt .vm

n∑ Δt 2−(∑ Δt )2

Donde:n=4 (Número de medidas)

∑ Δt=17 .95 s∑ vm=17 .35cm / s

∑ Δt .vm=80 .0 cm

∑ Δt2=92.4917 s2

(∑ Δt )2=322 .2025 s2

a=(92 .4917 )(17 .35 )−(17 .95 )(80)

4(92 .4917 )−322 .2025 cm / s

a=3 .4611cm / s

b=n∑ Δt . vm−∑ Δt .∑ vm

n∑ Δt2−(∑ Δt )2

Donde:n=4 (Número de medidas)

∑ Δt=17 .95 s∑ vm=17 .35cm / s

∑ Δt .vm=80 .0 cm

∑ Δt2=92.4917 s2

(∑ Δt )2=322 .2025 s2

b=4 (80)−(17 .95)(17 .35)4(92 .4917 )−322 .2025 cm/s2

b=0,192 cm/s2

Reemplazando tenemos:vm=2.7057+0.1231 . Δt

b) Cálculo del error absoluto para el tramo CB

Tramo Datos de laboratorio Recta Ajustada (vm - vm ')²

(cm2/s2)Δt (s) Δt² (s2) vm (cm/s) Δt (s) vm ' (cm/s)PB 8,568 73,411 3,735 8,568 3,7603095 0,00065PB3 6,734 45,347 3,564 6,734 3,5345577 0,00087PB2 4,828 23,310 3,314 4,828 3,2999433 0,0002PB1 2,654 7,044 3,014 2,654 3,03234 0,0003 22,784 149,111 0,002

Cálculo del error absoluto de “a”

a '=±√ ∑ ( vm−vm ' )2 .∑ Δt2

(n−2)(n∑ Δt2− (∑ Δt )2 )Donde:n=4

∑ (vm−vm ' )2=0 .002cm/s

∑ Δt2=149 .111s2

(∑ Δt )2=519 .111 s2

a '=±√ (0 .002)(149 .11)2(4×149 .111−519 .111) cm/s

a '=±0,0443 cm/s

Cálculo del error absoluto de “b”

b '=±√ n∑ ( vm−vm ' )2

(n−2)(n∑ Δt2− (∑ Δt )2 )

Donde:n=4

∑ (vm−vm ' )2=0 .002cm/s

∑ Δt2=149 .111s2

(∑ Δt )2=519 .111 s2

b '=±√ 4(0 .002)2 (4×149 .111−519 .111) cm/s

b '=±0,0073 cm/s

Entonces “a” y “b” son :Α=a±a 'Α=2.7057±0 .0443⇒ Α=[2 .6614 ;2 .75 ]

Β=b±b 'Β=0 .1231±0 .0073⇒Β=[0.1158 ;0 .1304 ]

Por lo tanto las rectas ajustadas serán:vm=2.6614+0 .1158 .Δt (c)vm=2.75+0 .1304 . Δt (d)

3. P es la intersección del as restas, hallamos las coordenadas de P: Igualamos las ecuaciones (a) y (c) :

a = c2 .7077−0 .1302. Δt=2.6614+0.1158. Δt0 .246 .Δt=0 .0463Δt=0 .1882 s

Reemplazamos en (a) o en (c):vm=2.6396=v i (e)

Igualamos las ecuaciones (b) y (d) : b = d2 .8355−0 .1112. Δt=2 .75+0 .1304 . Δt. 0 .2416 . Δt=0.0855Δt=0 .3539 s

Reemplazamos en (b) o en (d):vm=2.7961=v i (f)

Las ecuaciones (e) y (f) nos indican las velocidades instantáneas en el punto P:

v i=2.6396+2 .7961

2=5 .4357

2v i=2 .71785 cm/s

b) ¿En que tramo se tiene mayor valor para la velocidad media y para cual el menor valor? ¿Por qué?

- El mayor número para la velocidad media se encuentra en el tramo PB ya que tiene velocidad y recorre una distancia mayor.- El menor número para la velocidad media se encuentra en el tramo AP ya que parte del reposo y recorre una distancia menor.

c) ¿Qué importancia tiene que las rectas se crucen antes o después del eje de coordenadas o sea cuando Δt→0 ?

5.2.) Para determinar la aceleración instantánea:a) Con los datos de la tabla II y utilizando la ecuación (8), trazar en papel milimetrado

una grafica de desplazamiento Δx, en función del intervalo de tiempo (Δt)² y a partir de ella determine la aceleración instantánea de la volante.

En este caso para analizar los datos hacemos un cuadro donde la ecuación de la recta sea:

Δx = a0 + a1Δt²

Tramo Desplazamiento t (s) t² (s²) (t²)² (s4) t².x (cm.s²)x (cm)

AA1 7 6,544 42,8239 1833,889 299,768AA2 14 8,652 74,857 5603,586 1047,999AA3 21 10,648 113,380 12855,003 2380,978AA4 28 12,160 147,866 21864,236 4140,237AA5 35 13,572 184,199 33929,339 6446,971AA6 42 15,120 228,614 52264,544 9601,805 147 66,696 791,74 128350,597 23917,758

Hallando el valor de a0:

a0=∑ Δt4 .∑ Δx−∑ Δt2∑ Δx . Δt

2

n∑ Δt4−(∑ Δt2 )2 Donde:n=6

∑ Δx=147 cm

∑ Δt2=791 .74 s2

∑ Δt4=128350 .597s4

∑ ΔxΔt2=23917 .758cm.s2

(∑ Δt2)2=626852,4303s2

a0=(128350 .597 )(147)−(791 .74 )(23917 .758)

6(128350 .597)−626852.4303a0=-0,4824 cm

Hallando el valor de a1:

Donde:n=6

∑ Δx=147 cm

∑ Δt2=791 .74 s2

∑ Δt4=128350 .597s4

∑ ΔxΔt2=23917 .758cm.s2

(∑ Δt2)2=626852,4303s2

a1=6(23917 .758 )−(791 .74 )(147 )6(128350 .597 )−626852 .4303

a1=0,1893 cm/s²

Finalmente se obtiene la siguiente ecuación:Δx=−0 .4824+0 .1893 . Δt2

Calculo del error absoluto de “a0” y “a1”:

TramoDatos de laboratorio Recta ajustada (x - x')²

t² (s2) (t²)² (s4) x (cm) t² (s2) x (cm) (cm2)AA1 42,824 1833,889 7 42,824 7,6251 0,3908AA2 74,857 5603,586 14 74,857 13,69 0,0963AA3 113,380 12855,003 21 113,380 20,983 0,0003AA4 147,866 21864,236 28 147,866 27,512 0,2382AA5 184,199 33929,339 35 184,199 34,391 0,3712AA6 228,614 52264,544 42 228,614 42,8 0,6393

224

22

1

..

ttn

xttxna

791,740 128350,597 1,736Para “ao” se tiene:

a0=±√ ∑ (Δx−Δx ' )2. (∑ Δt4 )

( n−2 )(n∑ Δt 4−(∑ Δt2)2 )Donde.n=6

∑ (Δx−Δx ' )2=1 .736 cm2

∑ Δt2=791 .740s2

∑ (Δt4 )=128350 .597 s4

(∑ Δt2)2=626852.4303 s4

a0=±√ (1.736 )(128350 .597 )( 4 )(6×128350.597−626852.4303 )

a0=±0,6236 cm

Para “a1” se tiene:

a1=±√ n∑( Δx−Δx' )2

(n−2) (n∑ Δt4−(∑ Δ2)2)Donde.n=6

∑ (Δx−Δx ' )2=1 .736 cm2

∑ Δt2=791 .740s2

∑ (Δt4 )=128350 .597 s4

(∑ Δt2)2=626852.4303 s4

a1=±√ 6 (1 .736)( 4 )(6×128350 .597−626852 .4303 )

a1=±0,0043cm/s2

Entonces los errores de “a0”y “a1” son:a0=−0 .4824±0 .6236 a0= [−1 .106 ;0.142 ]a1=0 .1893±0.0043 a1=[0 .185; 0.193 ]

Por lo tanto las rectas ajustadas serán:Δx=−1 .106+0.185 . Δt2

Δx=0 .142+0.193 . Δt2

Sabemos que la aceleración es igual a la pendiente de la recta:a1=0 .185cm/s2 ()a1=0 .193cm/s2 ()

De la ecuación cinemática tenemos:

Δx=v o t±12at 2

(a)También sabemos que:Δx=a0+a1Δt

2(b)

De las ecuaciones (a) y (b) deducimos que:

a1=12a

a=2a1

Reemplazando en ( ) y ( ), tenemos a=0 .37cm/s2

a=0 .386cm/s2

b) Con los datos de la tabla II, y usando la ecuación (12)* y (14)* trace en papel milimetrado una grafica vi – t’i y a partir de ella determine el valor de la aceleración instantánea de la rueda:

En este caso para analizar los datos hacemos un cuadro donde la ecuación de la recta sea:

vi = a0 + a1ti’

Tramo t (s) vi (cm/s) ti' (s) ti' ² (s2) ti'.vi (cm)AA1 6,544 1,070 3,272 10,706 3,500AA2 8,652 6,641 7,598 57,730 50,461AA3 10,648 10,521 9,650 93,123 101,528AA4 12,160 18,519 11,404 130,051 211,185AA5 13,572 24,788 12,866 165,534 318,916AA6 15,120 27,132 14,346 205,808 389,233 66,696 88,670 59,136 662,951 1074,823

Hallando el valor de a0:

ao=∑ Δt i '

2 .∑ v i−∑ Δt i '∑ Δt i ' v i

n∑ Δt i '2−(∑ Δt i ' )

2

Donde:n=6∑ Δt i '=59 .136s

∑ Δt i '2=662.951 s2

∑ v i=88.670 cm/s

∑ Δt i ' .v i=1074 .823 cm.s2

(∑ Δt i '2 )2=3497,066 s2

a0=(662.951)(88 .670 )−(59 .136)(1074 .823 )

6(662 .670 )−3497 .066a0=0,330 cm

Hallando el valor de a1:

a1=n∑ Δt i ' .v i−∑ Δt i ' .∑ v i

n∑ Δt i '2−(∑ Δt i ' )

2

Donde:n=6∑ Δt i '=59 .136s

∑ Δt i '2=662.951 s2

∑ v i=88.670 cm/s

∑ Δt i ' .v i=1074 .823 cm.s2

(∑ Δt i '2 )2=3497,066 s2

a1=

6(1074 .823 )−(59 .136 )(88.670 )6(662 .951 )−3497 .066

a1=0 .339 cm/s²

Finalmente se obtiene la siguiente ecuación:v i=0 .33+0 .339 . Δt i '

Determinamos los errores absolutos de ao y a1:

Tramo Datos de laboratorio (vi - vi’)²

(cm²/s²)ti' (s) ti' ² (s²)AA1 3,272 10,706 7,85581462AA2 7,598 57,730 6,12219057AA3 9,650 93,123 13,9926046AA4 11,404 130,051 0,02013622AA5 12,866 165,534 6,05498

AA6 14,346 205,808 1,19545162 59.136 662,951 35,2411806

Para ao :

a0=±√ ∑ (vi−v i ' )2−∑ Δt i '

2

( n−2 )(n∑ Δt i '2−(∑ Δt i ' )

2)

Donde:

∑ (v i−v i ' )2=35.24412cm2/s2

∑ Δt i '=59136 s

∑ Δt i '2=662.951 s2

(∑ Δt i ' )2=3497,066s2

a0=±√35 .24412−662 .9514 (6×662 .951−3497 .066)ao=±0 . ,595

Para a1:

a1=±√ n∑ (v i−v i ' )2

(n−2)(n∑ Δt i '2−(∑ Δt i ' )

2)

Donde:

∑ (v i−v i ' )2=35.24412cm2/s2

∑ Δt i '=59136 s

∑ Δt i '2=662.951 s2

(∑ Δt i ' )2=3497,066s2

a1=±√ 6(35 .24412)4 (6×662.951−3497 .066 )

a1=±0,057

Entonces los valores son: a0=0.330±0 .0 .595 ao=[−0 .. 265 ;0 .925 ]a1=0 .925±0 .057 a1=[0 .282;0 .396 ]

Por lo tanto las rectas ajustadas serán:v i=−0 .265+0 .282. Δt i 'v i=0 .925+0 .396 . Δt i '

Los valores de a1 (pendiente de la recta) son las aceleraciones, entonces: a=0 .292cm / s2

a=0 .396cm /s2

d) Compare los datos de aceleración obtenida en “a”, “b”, “c” ¿Cuál cree usted que es mejor valor para la aceleración?Respuesta:

El mejor valor se obtuvo en “a”, ya que los valores de la aceleración son casi iguales.

e) ¿De que forma influye el ángulo de inclinación de los rieles en la determinación de la velocidad y la aceleración instantánea? ¿Cuál fue el ángulo que utilizo en su experimento?.Respuesta:

- Si el ángulo es demasiado grande la volante no rodaría, sino mas bien se deslizaría a través de los rieles.

- Si el ángulo es muy pequeño, la rueda no la volante no lograría moverse adecuadamente y se detendría en intervalos de tiempo.- Si el ángulo no es tan pequeño, ni tan grande la rueda podaría sin deslizarse y produciéndome un movimiento adecuado.

-El ángulo que utilizamos fue 27.53º.

f) ¿Cuáles cree que son las posibles fuentes de error de su experimento? Enuncie y explique.Respuesta:

- La pendiente: puesto que no permanecía constante debido al movimiento.- Las distancias: puesto que no es preciso calcular el punto exacto de medida,

puesto que el eje de la volante tiene cierto grosor.-Los tiempos: existe un intervalo de tiempo pequeño que se demora en presionar

el botón del cronometro.

VI) RECOMENDACIONES:6.1.) Cuide el ángulo de inclinación de los rieles sea el apropiado, para esto haga varias

pruebas antes de iniciar el experiencia.

6.2.) En todas las graficas use el ajuste de mínimos cuadrados.