Calculo diferencial e integral 3

Gua 3

1. Calcular el vector velocidad para cada una de las siguientes trayectorias:

a) c(t) = (cos2 t, 3t t3, t).b) c(t) = (4et, 6t4, cos t).

c) c(t) = (t2, et).

d) c(t) = (t sen t, 4t).

2. Determinar la ecuacion parametrica de la recta tangente a la trayectoria dada para elvalor t especificado.

a) (sen 3t, cos 3t, 2t5/2), t = 1.

b) (cos2 t, 3t t3, t), t = 0.3. Supongamos que una partcula sigue una trayectoria c(t) y se sale por la tangente en el

instante t0. Calcular la posicion de la partcula en el instate t1 dado:

a) c(t) = (et, et, cos t), t0 = 1, t1 = 2.

b) E1. c(t) = (4et, 6t4, cos t), t0 = 0, t1 = 1.

4. Encontrar la longitud de arco de la curva dada en el intervalo especificado:

a) (2 cos t, 2 sen t, t) con t [0, 2pi].b) E1. (t, t sen t, t cos t) con t [0, pi].

5. Considera las funciones (t) = (cos(t), sen(t)), t [0, 2pi] y (u) = (1u21+u2

, 2u1+u2

), u [0, 1].

Demuestra que es una reparametrizacion de .

6. E1. Sea : I R Rn una curva derivable.a) Demuestra que (t) es constante si y solo si (t) (t) = 0 para todo t I.

Interpreta geometricamente.

b) Supongamos que t0 R es tal que

(t0) = mntR(t).

Demuestra que (t0) (t0) = 0.c) Demuestra que el resultado anterior sigue siendo cierto si (t0) es un maximo.

7. E1. Sea : [a, b] R2 una funcion continua en [a, b] y derivable en (a, b)

1

a) Si (t) 6= 0 para todo t (a, b), demuestra que existe c (a, b) y R tal que(a) (b) = (c).

b) Demuestra que existe x (a, b) tal que(b) (a)2 = (b a)(x) ((b) (a)).

8. Una escalera de longitud l se encuentra recargada sobre una pared. La base de la escalerase encuentra a m centmetros de la pared. Imagina que sobre la escalera hay un gatosentado. En el tiempo t = 0, la escalera se empieza a deslizar sobre la pared a unavelocidad constante v hasta caer completamente al suelo.

a) Encuentra la posicion g(t) del gato en el tiempo t. Tus referencias deben ser la pared(eje x) y el piso (eje y).

b) Demuestra que la traza de la trayectoria g(t) se encuentra sobre una elipse y en-cuentra la ecuacion de dicha elipse.

c) Demuestra que si el gato esta sentado exactamente a la mitad de la escalera, entoncesla traza de g(t) se encuentra sobre una circunferencia.

9. Un raton corre a una velocidad constante v a lo largo de una circunferencia de radio R.En el tiempo t = 0, un gato que se encuentra en el centro de la circunferencia comienza aperseguir al raton corriendo a una velocidad constante v y de manera que el centro de lacircunferencia, la posicion del gato y la posicion del raton, son siempre puntos colineales.Alcanza el gato al raton? en que tiempo?

10. Sea : [a, b] Rn una curva suave, y sea : [o, `()] [a, b] la reparametrizacion de respecto su longitud de arco. Demuestra que para todo t [0, `()] se cumple que

t =

t0

( )(s)ds.

Interpreta geometricamente.

11. Sea : I R Rn una parametrizacion por longitud de arco de una curva C Rn.Demuestra que si C esta contenida en una lnea recta si y solo si k(s) = 0 para todas I.

12. Sea : I R Rn una parametrizacion por longitud de arco de una curva C Rn. SiT (s) denota el vector tangente unitario y (s, h) representa el angulo formado por T (s)y T (s+ h), demuestra que

k(s) = lmh0|(s, h)

h|.

13. Calcula la curvatura en cualquier punto de la parabola y = x2 y de la elipse x2

a2+ y

2

b2= 1.

Para que valores de la parabola tiene curvatura 1 en (0, 0)?

2

14. Sea : R R3 dada por (t) = (cos(t), sen(t), t) Demuestra que no existe ningunintervalo (a, b) R tal que ((a, b)) este contenido en un plano.

15. E1. Considera la curva determinada por la ecuacion

(t) = (a cos(wt), bt, a sen(wt)) t R.a) Calcula la parametrizacion por longitud de arco.

b) Calcula los vectores unitarios T , N y B, as como la curvatura k, el radio de curva-tura y la torsion en cada punto de la curva.

16. Sea una curva suave. Demuestra las siguientes formulas:

k = 3

= 2

B =

N =( ) ( ) .

17. E1. Sea : I R R3 una parametrizacion por longitud de arco de una curva suaveC.

a) Si (s) = 0 para todo s I, demuestra que C esta contenida en un plano.b) Si (s) = 0 y la curvatura k(s) es constante y distinta de cero para todo s I,

demuestra que C es (o esta contenida en) una circunferencia.

c) Si C esta contenida en un plano y la curvatura k(s) es constante y distinta de ceropara todo s I, demuestra que C es (o esta contenida en) una circunferencia.

18. Calcular f/x y f/y para cada una de las siguientes funciones. Ademas calcular laecuacion del plano tangente en el punto indicado:

a) f(x, y) = xy, en (0, 0).

b) f(x, y) = exy, en (0, 1).

c) f(x, y) = x cosx cos y, en (0, pi).

d) f(x, y) = (x2 + y2) ln(x2 + y2), en (0, 1).

19. Considera la siguiente funcion f : R2 R:

f(x) =

{xy

(x,y) si (x, y) 6= (0, 0),0 si (x, y) = (0, 0).

Demuestra que f es continua en (0, 0) y calcula las derivadas parciales, f/x y f/y.Luego demuestra que f no es derivable en (0, 0).

3

20. E2. Considera la siguiente funcion f : R2 R:

f(x) =

{(x2 + y2) sen 1(x,y) si (x, y) 6= (0, 0),0 si (x, y) = (0, 0).

Probar que f es diferenciable en (0, 0) pero las derivadas parciales no son continuas en(0, 0).

21. Calcular la matriz Jacobiana de cada una de las siguientes funciones:

a) E2. f(x, y) = (ex, sen(xy)).

b) f(x, y, z) = (x y, x+ z).c) f(x, y) = (x+ y, x y, xy).d) E2. f(x, y, z) = (x+ z, y 5z, x y).

22. Porque deben llamarse tangentes en (0, 0) las graficas de las funciones f(x, y) = x2 + y2

y g(x, y) = x2 y2 + xy3?23. Calcular el gradiente de cada una de las siguientes funciones:

a) f(x, y, z) = xex2y2z2 .

b) f(x, y, z) = xyzx2+y2+z2

.

c) f(x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2).

24. Demostrar que las siguientes funciones son diferenciables y calcular su derivada en unpunto cualquiera:

a) f(x, y) = 2 + x+ y.

b) E2. f(x, y) = exy.

c) f : U R dada por f(x, y) = 1 x2 y2, donde U = {(x, y)|x2 + y2 < 1}.25. E2. Sea f : R2 R definida por f(x, y) = |xy|. Probar que f no es diferenciable en

(0, 0).

26. Sea f : Rn R una funcion tal que |f(x)| x2. Probar que f es diferenciable en 0.27. Sea f : Rn R y g : Rn R diferenciables. Demostrar que

(fg) = fg + gf.

28. Considera la siguiente funcion f : R2 R:

f(x) =

{xy2

x2+y2si (x, y) 6= (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0).

4

a) Demuestra que f/x y f/y existen en (0, 0).

b) Demuestra que si g(t) = (at, bt) para constantes a y b, entonces f g es diferenciabley (f g)(0) = ab2/(a2 + b2), pero f(0, 0) g(0) = 0.

c) Concluye que la regla de la cadena no aplica si f no es diferenciable.

29. Hallar f , si es que existe, para las siguientes funciones (donde g : R R es continua):a) E2. f(x, y) =

x+ya

g.

b) f(x, y) = xyag.

c) E2. f(x, y, z) = sen(x sen(y sen(z)))xy

g.

d) f(x, y) = ( yb g)a

g.

30. Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones en los puntos y direccionesindicados:

a) f(x, y) = x+ 2y 3y2, (x0, y0) = (1, 2), v = (3/5, 4/5).b) E2. f(x, y) = ex cos(piy), (x0, y0) = (0,1), v = (1/

5, 2/

5).

c) E2. f(x, y, z) = xy2 + y2z3 + z3x,, (x0, y0, z0) = (4,2,1), v = 1/

4(1, 3, 2).

d) f(x, y, z) = xyz, (x0, y0, z0) = (e, e, 0), v = 1/13(12, 3, 4).

31. Encontrar el vector normal unitario a la superficie cos(xy) = ez 2 en (1, pi, 0).32. Demostrar que el vector normal unitario a la superficie x3y3 + y z + 2 = 0 en (0, 0, 2)

es (0, 1/

2,12).33. Hallar los planos tangentes a las superficies siguientes en los puntos indicado:

a) E2. x2 + 2y2 + 3xz = 10, en el punto (1, 2, 1/3).

b) xyz = 1, en el punto (1, 1, 1).

34. Sea G : R2 R una funcion diferenciable. Sea y : R R la funcion definida implicita-mente por G(x, y(x)) = 0. Supongamos que y tambien es diferenciable. Demuestra quesi G/y 6= 0, entonces

dy

dx= G/x

G/y.

Usa el resultado anterior para calcular dy/dx en funcion de x e y, donde y esta definidaimplcitamente por

x2 + y2 + ey = 0.

35. Una funcion f : Rn Rm Rp es bilineal si para x1, x2, x Rn, y1, y2, y Rm y a Rse cumple que

f(ax, y) = af(x, y) = f(x, ay),

f(x1 + x2, y) = f(x1, y) + f(x2, y),

f(x, y1 + y2) = f(x, y1) + f(x, y2).

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a) Probar que si f es bilineal, entonces

lm(h,k)(0,0)

f(h, k)(h, k) = 0

b) Probar que Df(a, b)(x, y) = f(a, y) + f(x, b).

36. E2. Definamos la funcion p : Rn Rn R por p(x, y) = x y. Encuentra la diferencialde p y la matriz jacobiana en el punto (a, b) Rn Rn.

37. E2. Sea f : U Rn R y x0 U y u Rn tal que u = 1. Demuestra que la derivadadireccional Duf(x0) existe si y solo si la derivada direccional Duf(x0) existe. Ademasprueba que

Duf(x0) = Duf(x0).

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