04/12/23 Yuri Milachay, Eduardo Castillo 1

Significado geométrico de la derivadaLa derivada de la función en un punto se interpreta como la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

Conocimientos previos

Calcule las siguientes antiderivadas:

at dt

28 t dt

25 3 2 t t dt

f́ (x )

x

1f´ 2f ´

1f´ 0

2f ´ 0

Semana 2

Movimiento con aceleración constante

Defines velocidad instantánea. Aceleración media. Aceleración instantánea. MRUV. Caída libre.

La velocidad instantánea permite calcular la velocidad que posee el móvil en un instante determinado, por lo que se define como el límite de la velocidad media.

Que a su vez, matemáticamente, es la derivada de la posición respecto del tiempo.

Ejercicio. Si la posición del móvil se expresa en función del tiempo de la siguiente manera:

Determine la expresión de la velocidad instantánea.

Velocidad instantáneaEjercicio. A partir del gráfico x-t (a) determine la velocidad media entre t = 0 s y t = 2,0 s. (b) Determine la velocidad instantánea en el t = 0,75 s. (c) ¿En qué instante la velocidad es cero?

Solución(a)

(b)

(c) t = 1,50 s

t 0

xv lim

t

dx

vdt

235x tismvmˆ)/25,2(

000,2

050,4

ismv ˆ)/60,0(00,500,3

Ejercicio. Considere el grafico de la figura. Suponiendo que x = 0 cuando t = 0, escriba las ecuaciones algebraicas correctas para x(t), v(t) y a (t) con los valores apropiados de todas las constantes.

Solución Del gráfico v vs t se determina la aceleración

La velocidad y posición

Ejercicio 115 y 118 Pág. 47Ejercicio. La velocidad de una partícula viene por:

(a) Hacer una gráfica de v en función del t y hallar el área limitada por la curva en el intervalo de t = 0 s a t = 5,00 s. (b) Hallar la función de posición x(t), Utilizarla para calcular el desplazamiento durante el intervalo de tiempo t = 0 s a t = 5,00 sSolución(a)

(b)

(c)

)/00,3()/00,6()( 2 smtsmtv

tsmtsmtx )/00,3()/00,3()( 22

mxxx 0,90)0()5(

t(s)

v(m/s)

mA 0,90)05(2

)333(

2/0,100105050

sma

tsmsmtv )/10()/0,50()( 2

22 )/5()/50()( tsmtsmtx

Aceleración mediaLa aceleración media es la tasa media de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo t.

vf– velocidad final vi – velocidad inicial t – intervalo de tiempo

f i

media

v va

t

Se puede calcular su valor mediante la determinación de la pendiente de la gráfica velocidad-tiempo del móvil.

Solución(a)

(b)

Ejercicio 65 Pag. 45Ejercicio. En el instante t = 5 s, un objeto en x = 3 m se mueve a +5 m/s. Para t = 8 s, se encuentra en x = 9 m y su velocidad es de -1 m/s. Determinar la aceleración media para este intervalo :

Solución

Ejercicio. Determine la aceleración media del móvil cuya gráfica v-t es la que se muestra en la figura en los siguientes intervalos de tiempo:a)b)

0 t 2s 0 t 4s

2/258

)/5()/1(sm

sssmsm

am

2/102

)/0()/2(sm

sssmsm

am

2/202

)/0()/8(sm

sssmsm

am

Gráficamente, la aceleración instantánea es la pendiente de la tangente en el punto P1.

Aceleración instantáneaLa aceleración instantánea se obtiene tomando el límite de la aceleración media.

Ejercicio. La velocidad de un cuerpo está dada por vx(t) = + t2, donde = 3,0 m/s y = 0,10 m/s3 . Calcule la aceleración instantánea en t = 6,0 s .Solución

2 1

0lim

t

v va

tdv

adt

2/2,1)0,6(

20,02

sma

ttdtdv

a

x

x

Ejercicios 36Ejercicio. De los gráficos v en función de t representados en la figura ¿Cuál describe mejor el movimiento de una partícula con velocidad positiva y aceleración negativa?.

SoluciónClave e

Ejercicio. En las gráficas mostradas, indique en qué casos la aceleración es positiva, en qué caso es negativa y en qué caso es nula.

Solucióna > 0 cuando la recta tangente a la curva se de pendiente positiva o forme un ángulo agudo a < 0 cuando la recta tangente a la curva se de pendiente negativa o forme un ángulo obtuso con la horizontala = 0 cuando la recta tangente es horizontal

Solución:a) A partir de la gráfica se tiene:

La figura muestra la velocidad de un auto solar en función del tiempo. El conductor acelera desde una señal de alto, viaja 20 s con una velocidad constante y frena para detenerse 40 s después de partir del letrero. a) Calcule la aceleración media para los siguientes intervalos: de t = 0 s a t = 10 s, de t = 30 s a t = 40 s, de t = 10 s a t = 30 s y de t = 0 s a t = 40 s. b) calcule la aceleración instantánea en los instantes t = 20 s y t = 35 s

2

50 / 3 01,7

10 0m x

ma

s

0 ;10s s

30 ;40s s

10 ;30s s

t (s) 0 10 30 40

v (km/h) 0 60 60 0

0 ;40s s

60km

v h

1000

1

m

km

1h

50

3600 3

m

s s

2

0 50 / 31,7

40 30m x

ma

s

2

50 / 3 50 / 30

30 10m x

ma

s

2

0 00

40 0m x

ma

s

20x

ma

s

21,7x

ma

s

Ejercicio

Movimiento con aceleración constanteEn el movimiento con aceleración constante se cumple que

Integrando la aceleración se obtiene la expresión de la velocidad.

Integrando la velocidad resultante en el paso anterior se obtiene la expresión de la posición instantánea del móvil.

Relación velocidad-aceleración

0v v at

f iv v

at

0

0

0

( )x t

x

dx v at dt

20 0

1

2x x v t at

v > 0

a > 0

v > 0

a < 0

velocidad disminuyerapidez disminuye

velocidad aumentarapidez aumenta

(A)

2º ecuación del mruv (alternativo)El área de la gráfica velocidad-tiempo tiene significado de desplazamiento. Por eso, si calculamos el área de la gráfica velocidad-tiempo del mruv, tendremos el desplazamiento del móvil. En nuestro caso, el desplazamiento es igual a:

Pero, si, reemplazamos la diferencia de velocidades por el producto de la aceleración por el tiempo (1º ecuación), tendremos finalmente:

1-

2 o f ox v t v v t

t (s)

v (m/s)

“área” = desplazamiento

0t

vo

vf

21

2 ox v t at

Ejercicio. Escriba una ecuación de movimiento para cada caso mostrado en la figura.

v > 0

a > 0

v > 0

a < 0

v < 0

a < 0 v < 0

a > 0

Ecuación velocidad-tiempo

(A)

(B)

(C)

(D)

3º ecuación del mruvSe obtiene despejando el tiempo de la primera ecuación del mruv y reemplazando lo que resulta en la segunda ecuación del mruv.

Es una ecuación escalar y se debe tener cuidado al utilizarla en el cálculo de las velocidades, por cuanto resultarán dos valores siempre que exista solución; por lo que deberá seleccionar el signo de acuerdo con el movimiento que se describe en el problema.

Nota:A partir de estas ecuaciones (y algunas veces con ayuda de los gráficos) se resuelven todos los ejercicios del MRUV.

f ov v a t

21

2f o ox x v t a t

2 2 2 ( )f o f iv v a x x

Ejercicio La figura es una gráfica de la aceleración de una locomotora de juguete que se mueve en el eje x. Dibuje la gráfica de su velocidad en función del tiempo si vx = 0 cuando t = 0 s.

Solución

EjerciciosEjercicio Un avión recorre 280 m en una pista antes de despegar; parte del reposo, se mueve con aceleración constante y está en el aire en 8,00 s . ¿Qué rapidez tiene cuando despega?Solución

vx

vo = 0

x = 0

x = 280 m

x oxo

v vx(t) x t

2

70,0x

mv

s

t (s)

vx (m/s2)

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Caída libreEn el caso de la caída libre

(caída de un cuerpo cerca de la superficie terrestre), se aplican

las mismas ecuaciones del MRUV, considerando que

g = 9,81 m/s2

Eso significa que TODOS los cuerpos, cerca de la superficie

terrestre, caen con la misma aceleración.

Como es un movimiento con aceleración constante, debe regirse por las mismas ecuaciones del MRUV.

0v v at

20

1x x vt at

2

0v v 9,81t

20

1y y vt (9,81)t

2

29,81

m

g js

EjerciciosEjercicioSe deja caer un tabique (rapidez inicial cero) desde la azotea de un edificio. El tabique choca con el piso 2,50 s después. Se puede despreciar la resistencia del aire, así que el tabique está en caída libre. a) ¿Qué altura tiene el edificio? b) ¿Qué magnitud tiene la velocidad del tabique justo antes de tocar el suelo? c) dibuje las gráficas ay-t, vy-t y y-t para el movimiento.Solución

2( 9,81)0 0(2,50) (2,50)

2

H

2( )2

yo oy

ay t y v t t

30,7H m

EjercicioUn rifle dispara una bala verticalmente hacia arriba con una velocidad en la boca del arma de 300 m/s. despreciando el rozamiento del aire, ¿cuál es la altura máxima alcanzada por la bola?Soluciónv0=+300 m/s

vf = 0 m/s2 2i fiv v 2 9,81 ( y y )

2 2i

fi

v 300( y y )

2 9,81 2 9,81

fi( y y ) 4587m

EjerciciosEjercicioCon una rapidez inicial de 15 m/s se lanza hacia arriba una pelota desde la azotea de un edificio de 30 m de altura. Determine: a) la velocidad y posición de la pelota 1,00 s y 4,00 s después de ser lanzada. b) El instante en que la pelota se encuentra 5,00 m por debajo de la azotea.Solucióna)

b)

EjercicioUna maceta cae del borde de una azotea y pasa frente a una ventana. Se puede despreciar la resistencia del aire. La maceta tarda 0,420 s en pasar por la ventana, cuya altura es 1,90 m. Desde qué altura sobre el marco superior de la ventana cayó la maceta.Solución

Datos

y(1,00 s) 40,1 m j

v(1,00 s) 5,19 m/ s j

y(4,00 s) 11,5 m j

v(4,00 s) 24,2 m/ s j

29,81y(t) 30,0 15t t 25

2t 3,36 s

h

1,90 m

t1

t2

2 1

2 1

1

2 y (v v ) t

v v 9,81 t

2 y (2v 9,81 t) t

2 2 2y 1 02a y v v 2( 9,81)( h) (2,46)

h 0,309 m

m/s ,46v1 2

m -1,90y , s 0,420Δt

EjerciciosUna grúa levanta una carga de ladrillos a velocidad constante de 5,30 m/s , cuando a 6,00 m del suelo se desprende un ladrillo de la carga. a) ¿Cuál es la altura máxima respecto al suelo que alcanza el ladrillo? b) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? c) ¿cuál es su velocidad justo antes de tocar el suelo? d) En un mismo sistema coordenado dibuje las gráficas y-t para el movimiento del ladrillo y para la carga.Altura máxima:

Tiempo en llegar al suelo

Velocidad antes de chocar al suelo

Un objeto cae de una altura de 120 m. Determinar la altura que recorre durante su último segundo en el aire.SoluciónTiempo en llegar al suelo

La altura que recorre en el último segundo es igual a la altura que tiene un segundo antes de llegar al suelo.

0 y

2

máxima

v(t) v a t : 0,00 5,30 9,81t t 0,540 s

9,81(0,540)y(0,540) 6,00 5,30(0,540)

2H 7,43 m

29,81ty(t) 6,00 5,30t 0,00

2t 1,77 s

v(1,77 s) 5,30 9,81(1,77 s) v(1,77 s) -12,1 m/ s j

29,81ty(t) 120 0,00

2t 4,95 s

29,81(3,95)y(3,95 s) 120

2y(3,95 s) 43,5 m