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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO

FACULTAD DE AGRONOMIA Y AGROINDUSTRIAS

INGENIERIA EN ALIMENTOS

C A T E D R A

SISTEMAS DE REPRESENTACION GRAFICA

FASCICULO N° 3

TEMA: Nociones de perspectiva. Proyecciones axonométricas. Dimétricas. Ejes

dimétricos. Procedimiento para la construcción de una proyección dimétrica. Aplicaciones.

Proyecciones isométricas. Coeficiente de reducción. Norma IRAM 4540. Características.

Aplicaciones

Mg. Ing. Guido Alfredo Larcher

Año 2012

Los distintos fascículos que componen esta obra, corresponden

a los temas que se abordan a lo largo del curso de Sistemas de

Representación Grafica de la carrera de Ingeniería en Alimentos,

y que surgieron del análisis de las necesidades que los

estudiantes tienen en el aprendizaje de este idioma de la

Ingeniería.

Los apuntes fueron realizados por el personal docente de la

cátedra con la colaboración de docentes de las cátedras de

Servicios Auxiliares y de Formulación de Proyectos, integrantes

del proyecto “Proceso de enseñanza aprendizaje de Sistemas

de Representación Grafica en Ingeniería de Alimentos.

Determinación de un procedimiento efectivo para la transmisión

del conocimiento y aplicación en asignaturas del ciclo superior

de la carrera”, todos ellos bajo la dirección y coordinación del

Ing. Guido Alfredo Larcher

Año 2012

SISTEMAS DE REPRESENTACION GRAFICA Mg. Ing. Guido Alfredo Larcher

PRÓLOGO

El profesor Guido Alfredo Larcher, tuvo la enorme deferencia de recabar nuestra opinión sobre su trabajo de fascículos como guía-apoyo a la materia Sistemas de Representación Grafica, con destino al alumnado de la carrera de Ingeniería en Alimentos de la Universidad Nacional de Santiago del Estero.

Los que interactuamos en el área entendemos que siempre hay algo que decir sobre el espacio tecnológico y el presente trabajo se inscribe en esta temática. Vemos con enorme interés como la geometría y su aplicación directa en el Dibujo Técnico sigue requiriendo opiniones, reinterpretaciones y decodificaciones, que con la adecuada actualización y referenciada en el normado que le compete, ya sea este Nacional o Internacional, completa el pensamiento del espacio tecnológico actual.

La idea de generar instructivos por áreas temáticas, simplifica la tarea docente y permite que el alumnado tenga un horizonte previsible en su trayecto por el espacio curricular. Cada fascículo tiene un proceso-objetivo bien definido y se puede afirmar que cuenta con un principio y un final autocontenido, que permite que el estudiante aplique con precisión las distintas normas y sus personales soluciones ante los problemas concretos.

Como obra de guía y consulta para estudiantes de ingeniería, se suma al acervo de material necesario para poder realizar sus representaciones gráficas durante su paso universitario y un apoyo en el posterior desempeño como profesional ingeniero.

Arq. Carlos L. de VEDIA

SISTEMAS DE REPRESENTACION GRAFICA Mg. Ing. Guido Alfredo Larcher 1

PERSPECTIVAS

La norma IRAM 4540 plantea la representación

complementaria a la representación de vistas, de las

piezas o cuerpos que se encuentra en el espacio y

permite una mejor visualización general. A este tipo de

representación espacial se la conoce como

Perspectiva, que significa en términos de

representación grafica, mirar u observar desde un

punto de vista particular.

La representación en perspectiva mejora notablemente

la posibilidad de comprender o entender elementos

construidos con cierta complejidad o bien de difícil

interpretación, ya que desde determinadas posiciones

se pueden observar las partes más importantes de un

cuerpo.

Desde el punto de vista de Geometría Descriptiva podemos decir que es un sistema que estudia la representación de figuras espaciales en un plano por medio de proyecciones obtenidas según tres ejes y cuya característica principal es la de conservar el paralelismo entre las rectas. Este sistema es conocido como Sistema Axonométrico y se clasifica en oblicuo y ortogonal.

EL SISTEMA AXONOMÉTRICO

El sistema axonométrico tiene como base de referencia

un triedro trirrectángulo. Este triedro está formado por

tres planos que son perpendiculares entre sí.

El origen de la palabra axonometría es el idioma griego,

en el que se compone por dos vocablos Axon que

significa ejes y Metron que significa medida, es decir

medida en los ejes.

Más adelante observaremos que, de acuerdo a la

posición espacial con la que sea visualizado un cuerpo,

a cada eje le corresponderá una determinada medida.

La gran ventaja que presenta este sistema es que, en

una sola imagen puede determinarse la forma y las

medidas del objeto observado y representado y por

ello, como método es muy utilizado para el croquizado

y como forma de representación de elementos

mecánicos, despiece de maquinarias y representación

de procesos industriales.


PRINCIPIOS DE REPREPRESENTACION

Dentro de la clasificación de los sistemas de representación, el Sistema Axonometrico pertenece al sistema cilíndrico o paralelo, en el que comparte el lugar conjuntamente con el sistema acotado y el sistema de Monge.

La representación de este sistema, se basa en la

combinación de tres ejes que, reunidos en un punto de

intersección (O), siguen respectivamente la dirección

en que se consideran cada una de las dimensiones,

largo, ancho y alto, del cuerpo a representar.

Hacemos referencia a la siguiente posición del

observador que mira de manera perpendicular al plano

oblicuo, al que llamamos cuadro.

Si el punto O es también proyectado sobre el plano

oblicuo, arrastra en esta proyección a los ejes

coordenados, convirtiéndolos en lo que llamaremos de

aquí en adelante ejes axonométricos. Así:

X

Y

Z

R

P

Q

En donde:

X, Y y Z son los

Ejes Coordenados.

O es el centro de

coordenadas.

XY, YZ y ZX son los

planos coordenados

RPQ es un plano

oblicuo que se

encuentra en forma

perpendicular al ojo

de un observador.

O

O O1

Z

X

Y

Z1

Y1

X1


Aquí aparece entonces el triedro trirrectángulo

formado por tres planos que son perpendiculares

entre sí.

Ahora bien, para obtener la proyección de un cuerpo

ubicado en el espacio de ejes coordenados, en el

nuevo sistema de ejes axonometricos, se procede

como se describe a continuación.

Se parte de un cuerpo ubicado de la siguiente manera

en el sistema de ejes coordenados:

Se traza ahora un plano perpendicular al plano del

observador (cuadro) y se obtienen los ejes axonomé-

tricos por proyección.

O

O

Y

X

Z

X

Z

O

Y

O1 X1

Y1

Z1

X

Y

Z


Los ejes axonométricos son X1, Y1 y Z1, y el punto O1

es el nuevo centro de intersección. Obsérvese que, el

punto O1 se obtiene por proyección perpendicular, es

decir que su línea o rayo proyectante forma con el

plano un ángulo de 90°.

A continuación, tracemos cada uno de los vértices del

cuerpo que se encuentra en las intersección de los

planos coordenados de idéntica manera como lo

hicimos con el punto O1, es decir perpendicular al

plano que lo contiene o, lo que es lo mismo, en forma

paralela a la proyección de ese punto, y obtendremos

así la proyección del cuerpo que antes se encontraba

en el espacio, en el plano.

Esta nueva proyección del cuerpo en el sistema de

ejes axonometricos, es conocida entonces como

proyección axonométrica.

Ahora bien, los ángulos que forman los ejes

coordenados X, Y y Z con los ejes axonométricos X1,

Y1 y Z1, permiten obtener la proyección axonométrica,

ya que basta multiplicar la medida real por un

coeficiente de reducción igual al valor del coseno de

los ángulos formados entre el eje real o coordenado y

el eje axonométrico. La figura siguiente ilustra sobre el

particular.

O

O1

X

Y

Z

X1

Y1

Z1

α

β

∂

CATEDRA: SISTEMAS DE REPRESENTACION GRAFICA FASCICULO N° 4 5

Se denomina entonces Escala de Reducción, al

coeficiente que existe entre la magnitud real y la

proyectada. Así, para encontrar el valor que le

corresponde en los ejes axonometricos, a un valor real

de los ejes coordenados, basta multiplicar el valor de

los ejes coordenados (valor real) por el coseno del

ángulo que forma con los ejes proyectados.

Por ejemplo, si el valor de una medida en el eje Z es

de 4 cm y el ángulo que forma este eje con el eje

proyectado Z1, vale 46°, entonces la medida

proyectada valdrá 4 cm x cos 46°, igual a 2,78 cm, es

decir el 69,5% de su valor real.

Hecha esta demostración, corresponde ahora definir la

norma que rige para la visualización en proyección

axonométrica, de los cuerpos que se encuentran en el

espacio y son proyectados en un plano.

La Norma IRAM 4540 define tres tipos de

proyecciones axonométricas basándose en la

dimensión de los ángulos que forman entre ellos los

ejes axonometricos surgidos por proyección de los

ejes coordenados.

Las proyecciones pueden ser entonces, isométricas,

trimétricas o dimétricas, siempre que sus ángulos

sean todos iguales, todos diferentes o solo dos de

ellos iguales, respectivamente.

PROYECCION AXONOMETRICA ISOMETRICA

Se caracteriza por ser iguales los ángulos que los

ejes forman entre sí, lo cual genera que las escalas

de reducción de medidas en los ejes sean iguales.

Por eso su nombre simboliza tal concepto, iso = igual

y métrica = medida.

Como aclaración y para no confundirnos, no es que

todas las medidas usadas para su construcción sean

iguales, sino que son las mismas que le corresponde

tanto al ancho como al alto y a la profundidad.

Al ser iguales todos los ángulos formados entre los

ejes y las proyecciones de estos en el triángulo,

iguales, el coeficiente de reducción a utilizar es 0,816

que resulta de calcular el coseno de cualquiera de los

ángulos.

120° 120°

120°

α

β

∂

X

Y

Z


En el sistema isométrico: las medidas son iguales para las proyecciones en los tres ejes.

α = β = γ = 120º α + β + γ = 360º

Para entender en forma práctica, la isometría de un cuerpo cubico por ejemplo se forma haciendo girar 45° el cuerpo que se encuentra de frente a un observador y luego es inclinado hacia adelante un ángulo de 36° 16’, dando como resultado, el cuerpo que se observa en la figura y con sus medidas reducidas a un 81,6% del valor real.

OBTENCIÓN GRAFICA DE LA REDUCCIÓN EN LA

ISOMETRÍA

Para encontrar la cota reducida o medida reducida en

la construcción de una isométrica se parte de los tres

ejes separados entre sí 120°, o sea X, Y y Z.

Se traza ahora una línea horizontal AB que une los

ejes Z y X dejando siempre un margen suficiente

como para que la medida que se busca pueda ser

construida sin dificultad. Desde el centro O se traza

una línea perpendicular a AB. La intersección de

ambas líneas genera el punto N, que es exactamente

el centro de la línea AB.

Y

Z X

A B

O0

O

N

P

Q 30°

45°

90°

Cota reducida

Cota real


1:1 o escala natural.

Una de las grandes ventajas del dibujo isométrico es

que se puede realizar el dibujo de cualquier modelo

sin utilizar ninguna escala especial, ya que las líneas

paralelas a los ejes se toman en su verdadera

magnitud. Así por ejemplo, el cubo cuando lo

dibujamos en forma isométrica queda con todas sus

aristas de igual medida.

Veamos un ejemplo de representación isométrica:

Tomando como centro este punto N, se traza una

semicircunferencia que una ahora los puntos A con B.

Observamos que la línea perpendicular a AB corta a la

semicircunferencia en el punto O0, quedando así

conformado todo el conjunto de líneas necesarias

para determinar geométricamente el valor reducido.

Así pues, medimos una línea O0P y la proyectamos

sobre el eje OX, encontrando de esta manera la

medida reducida de la línea O0P. Si tomamos una

regla y medimos la línea OQ, veremos que

corresponde al 81,6 % del valor de la línea O0P. Esto

es, si esta última vale 5 cm, la reducida valdrá 5 cm X

0,816, o sea 4,08 cm.

Resumiendo, la perspectiva isométrica generalmente

utiliza un coeficiente de reducción de 0,816 (0,82) que

se aplica para calcular la medida de visualización

respecto a la original, lo que permite, como ventaja,

obtener una representación a escala y, como

desventaja, la de no reflejar la disminución aparente

de tamaño-proporcional a la distancia- que percibe el

ojo humano.

Es allí donde aparece entonces, el dibujo isométrico

que es el que nosotros utilizaremos para realizar todo

tipo de representaciones espaciales, puesto que este

no utiliza ninguna escala de reducción sino la relación


¿Cómo se logra esta representación?

Para desarrollar una representación isométrica, puede

utilizarse alguna de los siguientes métodos:

• CAJA DE CRISTAL

• SUPERPOSICION

• ESCALA, CORTE, ROTACION (Método S.S.R.)

MÉTODO DE LA CAJA DE CRISTAL

Supongamos un sistema de proyecciones como el de

la figura

La secuencia de trabajo a desarrollar es como sigue:

1. Lectura e interpretación de las vistas de un

volumen.

2. Trazo de los ejes isométricos, dos a 30° con

relación a una línea horizontal, y uno vertical.

3. Determinación de la mejor posición del

observador.


9

4. Construcción del plano isométrico frontal

5. Construcción del plano isométrico superior.

6. Construcción del plano isométrico lateral.

7. Representación de las vistas del volumen.

8. Dibujar superficies paralelas al plano horizontal.

9. Dibujar superficies paralelas al plano frontal.

10. Dibujar superficies paralelas al plano lateral.

11. Dibujar trazos intensos definitivos, o sea remarcar líneas de aristas visibles.

METODO DE LA SUPERPOSICION

Consiste en:

1. Trazar ejes isométricos y un prisma que pueda

servir de referencia constructiva

2. Construir el objeto a través de la suma de

volúmenes regulares

Y por último:


10

5. Para obtener el lado izquierdo del cuerpo se

siguen los pasos 1 y 2 de idéntica forma,

mientras que en el paso 3, el desplazamiento se

realiza a -30°

6. Pivotando en el vértice superior izquierdo, se

desplaza -30° hasta colocar el lado izquierdo en

posición vertical.

Se construye así la cara lateral izquierda del

cuerpo.

7. Para construir la cara lateral derecha se procede

de idéntica manera, pero utilizando

desplazamientos de 30° positivos

La figura siguiente sintetiza el proceso de

construcción total:

METODO DE LA ESCALA, CORTE, ROTACION

O METODO SSR

1. Construir un cuadrado

2. Reducir la altura del cuadrado a 86,062 % de

la real.

3. Desplazar la base superior del cuadrado, 30°

respecto de la vertical.

4. Pivotando en el vértice inferior derecho,

desplazar el cuadrado 30° desde la horizontal.

Se crea así la cara superior del cuerpo.


PROYECCION AXONOMETRICA TRIMETRICA Y

DIMETRICA

Continuando con el planteo de las proyecciones

axonométricas, abordamos ahora la trimetrica, cuya

característica principal es que los ángulos que separan

los ejes axonometricos son distintos entre sí y, por lo

tanto las medidas de cada una de las caras son

diferentes puesto que se usa en su representación,

una escala diferente para cada eje, a saber:

Sobre el eje X, el coeficiente de reducción que se

utiliza es de 0,65, en el eje Y es de 0,86 y en el eje Z

de 0,92. Esto implica que para realizar una

representación en este sistema debe aplicarse cada

uno de los coeficientes para determinar las medidas

que le corresponden a una proyección trimétrica, lo

cual lo torna dificultoso en su aplicación porque para

cada caso debe calcularse una dimensión.

Izquierdo Superior Derecho

Cuadrado

Escalar

86,062%

verticalmente

Inclinar

Rotar

120°

135°

105°

X Y

Z


Situación parecida plantea la utilización de la

representación dimétrica, aunque con un poco menos

de dificultad puesto que aquí se trata de dos ángulos

iguales y uno distinto entre ejes.

La proyección dimétrica presenta dos tipos de

construcción. La primera conocida como dimétrica

usual porque es muy utilizada en la construcción de

cuerpos o piezas que tienen planos a los que se

considera de mayor importancia que otros.

Su representación utiliza los siguientes ejes:

131° 30´ 131° 30´

X Y

Z

Si se observa, la cara de un cuerpo de mayor

importancia, sin dudas la tendría aquella que se

ubique en el plano XY puesto que estaría más cercana

a la medida real, razón por la que el coeficiente de

reducción toma el valor de 0,94 para los ejes X y Y,

mientras que para el eje Z, el valor del coeficiente de

reducción es de 0,47, o sea la mitad.

La otra proyección dimétrica conocida es la dimétrica

vertical que es muy utilizada en la construcción de

cuerpos o piezas cuya configuración es más bien

alargada.

Su representación utiliza los siguientes ejes:

Si se observa, las caras de un cuerpo que mas

alargadas podrían estar, sin dudas serían aquellas que

se ubiquen en los planos YZ y ZX y estarían más

cerca de la medida real, razón por la que el coeficiente

de reducción toma el valor de 0,73 para los ejes X y Y,

mientras que para el eje Z, el valor del coeficiente de

reducción es de 0,96, prácticamente 1.

A continuación veamos cómo se obtiene la reducción

de las cotas reales en sistemas de representación

trimétrico y dimétrico.

97°

150°

105° 105°

X Y

Z


Se parte de ejes cuyos ángulos desde luego no son de

120°, sino que representan cualquiera de las

configuraciones vistas anteriormente.

En el plano ZX trazamos una horizontal que corta a

cada uno de los ejes en los puntos B y A,

respectivamente. A continuación encontramos el punto

medio N de la horizontal. A partir de allí construimos

una semicircunferencia que une los puntos A y B.

Proyectamos O hacia O0, y a partir de O0 trazamos

líneas hacia A y hacia B. De idéntica manera trabaja-

en el plano XY y en el YZ.

De esta manera encontramos las cotas reducidas en cada uno de los ejes axonometricos, partiendo de cotas reales.

¿CÓMO SE CONSTRUYE UNA DIMETRICA Y UNA ISOMETRICA?

de 1 para los ejes X y Y y de ½ para el eje Z.

En primer lugar giramos el sistema de ejes de manera que Y tome la posición de Z, es decir quede en posición vertical

131° 30´ 131° 30´

X Y

Z

N X

Y

Z

N

O

O0

O0

B A

C

Cota real

Cotas

reducidas

Cota real Cota real

97°

La construcción de ejes

dimétricos como los que se

indican, nos permite

generar un proceso de

construcción utilizando

como valores de

representación coeficientes

97°

131° 30’

131° 30’ X

Y

Z


14

Si trazamos una línea horizontal que pase por el

centro de intersección de los tres ejes y elevamos el

eje vertical, obtenemos la forma práctica de construir

una dimetrica, puesto que el eje X esta 7° por arriba

de la horizontal y el eje Z se encuentra a 41° 30’ de la

horizontal, aproximadamente 42°.

Así, en la práctica, se traza en primer lugar una

vertical y una horizontal y, desde su intersección para

uno u otro lado un eje de 7° y otro de 42°.

Sobre la vertical se coloca la verdadera magnitud o

verdadero tamaño y representa la altura del cuerpo, en

el eje de 7° se coloca la verdadera magnitud y puede

representar el ancho o la profundidad del cuerpo y

sobre el eje de 42° se coloca la mitad de la verdadera

magnitud ya que el coeficiente de reducción es igual a

½ y puede representar la profundidad o el ancho del

cuerpo según se haya tomado en la línea de 7°.

En el caso de la isométrica, ya se explico que los

valores en los ejes se toman en verdadera magnitud y

representan el alto, el ancho y la profundidad de un

cuerpo, y los ejes se toman como sigue.

Se trazan una vertical y una horizontal y, a partir de la

intersección se trazan ejes a 30° y de -30° respecto de

la horizontal. La figura ilustra el procedimiento.

Para comparar, supongamos que, sobre la base de los

conceptos vertidos, queremos representar un cubo en

el sistema dimétrico y el mismo cubo en un sistema

isométrico.

Para el primer caso trazamos los ejes indicados con la

orientación que elijamos, es decir 7° a la derecha y

42° a la izquierda y mantenemos la regla de

construcción que establece que sobre la vertical y

sobre el eje de 7° se coloca la verdadera magnitud de

la arista del cubo a representar y, a 42°, la mitad de

ese valor. Así:

V

42°

7°

30° -30°


Para el segundo caso trazamos los ejes indicados con

la orientación de -30° a la derecha y 30° a la izquierda,

respecto de la horizontal y mantenemos la regla de

construcción que establece que sobre la vertical y

sobre ambos ejes de 30° se coloca la verdadera

magnitud de la arista del cubo a representar. Así:

BIBLIOGRAFIA

Apuntes sobre Axonometrías de la

Universidad de Castila – La Mancha – Año

1996

Fundamentos de la Representación Grafica –

Universidad de Sevilla – Año 2002.

Norma IRAM 4540 – DIBUJO TECNICO –

Representación de vistas en perspectivas –

Año 1981.

Apuntes de DIBUJO ISOMETRICO – Arq. Mgs.

Néstor E. FERIA – Año 2005

Dimétrica

Isométrica

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