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BUSCADORES VIRTUALES: GOOGLE CÓMO LOHACE?
Dr. Gabriel Soto
Departamento de Matemática, Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco
Comodoro Rivadavia, Chubut Argentina
Junio 19, 2010
Buscadores virtuales
Algoritmos de búsqueda
Encontrar información requerida en una base de datos
Consideraciones...
existen buenos algoritmos para búsquedas en bases de datos conelementos comparables (burbuja, fuerza bruta, etc.)
Difucultades...
cómo encontrar datos en estructuras donde los elementos no soncomparables: INTERNET
cómo almacenar los datos (En Internet hay más de 109 páginas )
cómo ordenar la información (no todos los resultados de la búsquedason relevantes)
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 2 / 23
Buscadores virtuales
Algoritmos de búsqueda
Encontrar información requerida en una base de datos
Consideraciones...
existen buenos algoritmos para búsquedas en bases de datos conelementos comparables (burbuja, fuerza bruta, etc.)
Difucultades...
cómo encontrar datos en estructuras donde los elementos no soncomparables: INTERNET
cómo almacenar los datos (En Internet hay más de 109 páginas )
cómo ordenar la información (no todos los resultados de la búsquedason relevantes)
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 2 / 23
Buscadores virtuales
Algoritmos de búsqueda
Encontrar información requerida en una base de datos
Consideraciones...
existen buenos algoritmos para búsquedas en bases de datos conelementos comparables (burbuja, fuerza bruta, etc.)
Difucultades...
cómo encontrar datos en estructuras donde los elementos no soncomparables: INTERNET
cómo almacenar los datos (En Internet hay más de 109 páginas )
cómo ordenar la información (no todos los resultados de la búsquedason relevantes)
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 2 / 23
Buscadores virtuales
Algoritmos de búsqueda
Encontrar información requerida en una base de datos
Consideraciones...
existen buenos algoritmos para búsquedas en bases de datos conelementos comparables (burbuja, fuerza bruta, etc.)
Difucultades...
cómo encontrar datos en estructuras donde los elementos no soncomparables: INTERNET
cómo almacenar los datos (En Internet hay más de 109 páginas )
cómo ordenar la información (no todos los resultados de la búsquedason relevantes)
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 2 / 23
Buscadores virtuales
Algoritmos de búsqueda
Encontrar información requerida en una base de datos
Consideraciones...
existen buenos algoritmos para búsquedas en bases de datos conelementos comparables (burbuja, fuerza bruta, etc.)
Difucultades...
cómo encontrar datos en estructuras donde los elementos no soncomparables: INTERNET
cómo almacenar los datos (En Internet hay más de 109 páginas )
cómo ordenar la información (no todos los resultados de la búsquedason relevantes)
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Buscadores virtuales
Algoritmos de búsqueda
Encontrar información requerida en una base de datos
Consideraciones...
existen buenos algoritmos para búsquedas en bases de datos conelementos comparables (burbuja, fuerza bruta, etc.)
Difucultades...
cómo encontrar datos en estructuras donde los elementos no soncomparables: INTERNET
cómo almacenar los datos (En Internet hay más de 109 páginas )
cómo ordenar la información (no todos los resultados de la búsquedason relevantes)
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Buscadores virtuales
Algoritmos de búsqueda
Encontrar información requerida en una base de datos
Consideraciones...
existen buenos algoritmos para búsquedas en bases de datos conelementos comparables (burbuja, fuerza bruta, etc.)
Difucultades...
cómo encontrar datos en estructuras donde los elementos no soncomparables: INTERNET
cómo almacenar los datos (En Internet hay más de 109 páginas )
cómo ordenar la información (no todos los resultados de la búsquedason relevantes)
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Buscadores virtuales
Algoritmos de búsqueda
Encontrar información requerida en una base de datos
Consideraciones...
existen buenos algoritmos para búsquedas en bases de datos conelementos comparables (burbuja, fuerza bruta, etc.)
Difucultades...
cómo encontrar datos en estructuras donde los elementos no soncomparables: INTERNET
cómo almacenar los datos (En Internet hay más de 109 páginas )
cómo ordenar la información (no todos los resultados de la búsquedason relevantes)
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CÓMO LO HACE
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 3 / 23
CÓMO LO HACE
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 3 / 23
Ordenación de los resultados de una búsqueda
Cómo ordenar los resultados de la búsqueda
... de manera que la probabilidad de encontrar la respuesta correcta en losprimeros diez resultados sea muy alta.
Necesitamos de�nir...
un criterio de ordenación y
una asignación de importancia a cada sitio de internet
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 4 / 23
Ordenación de los resultados de una búsqueda
Cómo ordenar los resultados de la búsqueda
... de manera que la probabilidad de encontrar la respuesta correcta en losprimeros diez resultados sea muy alta.
Necesitamos de�nir...
un criterio de ordenación y
una asignación de importancia a cada sitio de internet
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 4 / 23
Ordenación de los resultados de una búsqueda
Cómo ordenar los resultados de la búsqueda
... de manera que la probabilidad de encontrar la respuesta correcta en losprimeros diez resultados sea muy alta.
Necesitamos de�nir...
un criterio de ordenación y
una asignación de importancia a cada sitio de internet
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 4 / 23
Ordenación de los resultados de una búsqueda
Cómo ordenar los resultados de la búsqueda
... de manera que la probabilidad de encontrar la respuesta correcta en losprimeros diez resultados sea muy alta.
Necesitamos de�nir...
un criterio de ordenación y
una asignación de importancia a cada sitio de internet
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 4 / 23
Ordenación de los resultados de una búsqueda
Cómo ordenar los resultados de la búsqueda
... de manera que la probabilidad de encontrar la respuesta correcta en losprimeros diez resultados sea muy alta.
Necesitamos de�nir...
un criterio de ordenación y
una asignación de importancia a cada sitio de internet
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Orden en los resultados de una búsqueda
Google usa álgebra lineal
La matemática SIEMPRE resuelve problemasconcretos
Suposiciones
cada página se representa con el símbolo Pj
la importancia de la página Pj es un número xj
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 5 / 23
Orden en los resultados de una búsqueda
Google usa álgebra lineal
La matemática SIEMPRE resuelve problemasconcretos
Suposiciones
cada página se representa con el símbolo Pj
la importancia de la página Pj es un número xj
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 5 / 23
Orden en los resultados de una búsqueda
Google usa álgebra lineal
La matemática SIEMPRE resuelve problemasconcretos
Suposiciones
cada página se representa con el símbolo Pj
la importancia de la página Pj es un número xj
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 5 / 23
Orden en los resultados de una búsqueda
Google usa álgebra lineal
La matemática SIEMPRE resuelve problemasconcretos
Suposiciones
cada página se representa con el símbolo Pj
la importancia de la página Pj es un número xj
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 5 / 23
Orden en los resultados de una búsqueda
Google usa álgebra lineal
La matemática SIEMPRE resuelve problemasconcretos
Suposiciones
cada página se representa con el símbolo Pj
la importancia de la página Pj es un número xj
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 5 / 23
Orden en los resultados de una búsqueda
Google usa álgebra lineal
La matemática SIEMPRE resuelve problemasconcretos
Suposiciones
cada página se representa con el símbolo Pj
la importancia de la página Pj es un número xj
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 5 / 23
Modelo matemático
Consideremos el siguiente grafo dirigido que representa una red con cincopáginas web. Las �echas indican qué páginas están enlazadas a través deun hiperlink (notar que los enlaces no son simétricos)
P1•
�����������������
xxqqqqqqqqqqqqqqq
&&MMMMMMMMMMMMMMM
P2• //
��<<<<<<<<
))SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS P5•
uukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
P3• // P4•
AA��������
VV---------------
Por ejemplo: la página P1 tiene enlaces a las páginas P2, P3 y P5.
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 6 / 23
Modelo matemático
Consideremos el siguiente grafo dirigido que representa una red con cincopáginas web. Las �echas indican qué páginas están enlazadas a través deun hiperlink (notar que los enlaces no son simétricos)
P1•
�����������������
xxqqqqqqqqqqqqqqq
&&MMMMMMMMMMMMMMM
P2• //
��<<<<<<<<
))SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS P5•
uukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
P3• // P4•
AA��������
VV---------------
Por ejemplo: la página P1 tiene enlaces a las páginas P2, P3 y P5.
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Primer criterio de ordenación de resultados de búsqueda
Número de enlaces determina el orden
P1•
�����������������
xxqqqqqqqqqqqqqqq
&&MMMMMMMMMMMMMMM
P2• //
��<<<<<<<<
))SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS P5•
uukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
P3• // P4•
AA��������
VV---------------
x1 = 1x2 = 1x3 = 3x4 = 2x5 = 3
P3,P5 −→ P4 −→ P1,P2
Falencia del modelo: Ignora la importancia del enlace en si
Existen páginas que todos quieren estar enlazados...
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Primer criterio de ordenación de resultados de búsqueda
Número de enlaces determina el orden
P1•
�����������������
xxqqqqqqqqqqqqqqq
&&MMMMMMMMMMMMMMM
P2• //
��<<<<<<<<
))SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS P5•
uukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
P3• // P4•
AA��������
VV---------------
x1 = 1x2 = 1x3 = 3x4 = 2x5 = 3
P3,P5 −→ P4 −→ P1,P2
Falencia del modelo: Ignora la importancia del enlace en si
Existen páginas que todos quieren estar enlazados...
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 7 / 23
Primer criterio de ordenación de resultados de búsqueda
Número de enlaces determina el orden
P1•
�����������������
xxqqqqqqqqqqqqqqq
&&MMMMMMMMMMMMMMM
P2• //
��<<<<<<<<
))SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS P5•
uukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
P3• // P4•
AA��������
VV---------------
x1 = 1x2 = 1x3 = 3x4 = 2x5 = 3
P3,P5 −→ P4 −→ P1,P2
Falencia del modelo: Ignora la importancia del enlace en si
Existen páginas que todos quieren estar enlazados...
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 7 / 23
Primer criterio de ordenación de resultados de búsqueda
Número de enlaces determina el orden
P1•
�����������������
xxqqqqqqqqqqqqqqq
&&MMMMMMMMMMMMMMM
P2• //
��<<<<<<<<
))SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS P5•
uukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
P3• // P4•
AA��������
VV---------------
x1 = 1x2 = 1x3 = 3x4 = 2x5 = 3
P3,P5 −→ P4 −→ P1,P2
Falencia del modelo: Ignora la importancia del enlace en si
Existen páginas que todos quieren estar enlazados...
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 7 / 23
Primer criterio de ordenación de resultados de búsqueda
Número de enlaces determina el orden
P1•
�����������������
xxqqqqqqqqqqqqqqq
&&MMMMMMMMMMMMMMM
P2• //
��<<<<<<<<
))SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS P5•
uukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
P3• // P4•
AA��������
VV---------------
x1 = 1x2 = 1x3 = 3x4 = 2x5 = 3
P3,P5 −→ P4 −→ P1,P2
Falencia del modelo: Ignora la importancia del enlace en si
Existen páginas que todos quieren estar enlazados...
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Segundo criterio de ordenación de resultados de búsqueda
El orden es determinado por la calidad de los enlaces
El ranking de la página xj es la suma de los rankings de todas las páginasque se enlazan a la xj
P1•
�����������������
xxqqqqqqqqqqqqqqq
&&MMMMMMMMMMMMMMM
P2• //
��<<<<<<<<
))SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS P5•
uukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
P3• // P4•
AA��������
VV---------------
x1 = x4x2 = x1x3 = x1 + x2 + x5x4 = x2 + x3x5 = x1 + x2 + x4
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Segundo criterio de ordenación de resultados de búsqueda
El orden es determinado por la calidad de los enlaces
El ranking de la página xj es la suma de los rankings de todas las páginasque se enlazan a la xj
P1•
�����������������
xxqqqqqqqqqqqqqqq
&&MMMMMMMMMMMMMMM
P2• //
��<<<<<<<<
))SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS P5•
uukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
P3• // P4•
AA��������
VV---------------
x1 = x4x2 = x1x3 = x1 + x2 + x5x4 = x2 + x3x5 = x1 + x2 + x4
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 8 / 23
Segundo criterio de ordenación de resultados de búsqueda
El orden es determinado por la calidad de los enlaces
El ranking de la página xj es la suma de los rankings de todas las páginasque se enlazan a la xj
P1•
�����������������
xxqqqqqqqqqqqqqqq
&&MMMMMMMMMMMMMMM
P2• //
��<<<<<<<<
))SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS P5•
uukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
P3• // P4•
AA��������
VV---------------
x1 = x4x2 = x1x3 = x1 + x2 + x5x4 = x2 + x3x5 = x1 + x2 + x4
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Segundo criterio de ordenación de resultados de búsqueda
El orden es determinado por la calidad de los enlaces
El ranking de la página xj es la suma de los rankings de todas las páginasque se enlazan a la xj
P1•
�����������������
xxqqqqqqqqqqqqqqq
&&MMMMMMMMMMMMMMM
P2• //
��<<<<<<<<
))SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS P5•
uukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
P3• // P4•
AA��������
VV---------------
x1 = x4x2 = x1x3 = x1 + x2 + x5x4 = x2 + x3x5 = x1 + x2 + x4
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 8 / 23
Segundo criterio de ordenación de resultados de búsqueda
El problema de ordenamiento se puede modelar como un sistema deecuaciones lineales
P1•
�����������������
xxppppppppppppppp
&&NNNNNNNNNNNNNNN
P2• //
��========
))SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS P5•
uukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
P3• // P4•
@@��������
VV...............
x1x2x3x4x5
=
0 0 0 1 01 0 0 0 01 1 0 0 10 1 1 0 01 1 0 1 0
x1x2x3x4x5
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 9 / 23
Segundo criterio de ordenación de resultados de búsqueda
El problema de ordenamiento se puede modelar como un sistema deecuaciones lineales
P1•
�����������������
xxppppppppppppppp
&&NNNNNNNNNNNNNNN
P2• //
��========
))SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS P5•
uukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
P3• // P4•
@@��������
VV...............
x1x2x3x4x5
=
0 0 0 1 01 0 0 0 01 1 0 0 10 1 1 0 01 1 0 1 0
x1x2x3x4x5
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Segundo criterio de ordenación de resultados de búsqueda
El problema de ordenamiento se puede modelar como un sistema deecuaciones lineales
P1•
�����������������
xxppppppppppppppp
&&NNNNNNNNNNNNNNN
P2• //
��========
))SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS P5•
uukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
P3• // P4•
@@��������
VV...............
x1x2x3x4x5
=
0 0 0 1 01 0 0 0 01 1 0 0 10 1 1 0 01 1 0 1 0
x1x2x3x4x5
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Segundo criterio de ordenación de resultados de búsqueda
El grafo dirigido que representa la red de páginas interconectadas serepresenta como una matriz de adyacencia:
donde se asigna un 1 en el lugar ij si existe un enlace desde la página j a lapágina i .
P1•
��
P3•
��
P5•
]]<<<<<<<<
����������
P2•
OO
P4•
OOP1•
��
//
%%KKKKKKKKKKKKK P2•oo
P3•
99sssssssssssss // P4•
eeKKKKKKKKKKKKK
OO
Ejercicio: obtener la matriz de adyacencia para las redes anteriores
Falencia del modelo: Algunas páginas pueden ganar importancia...
creando páginas virtuales para tener más enlaces
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 10 / 23
Segundo criterio de ordenación de resultados de búsqueda
El grafo dirigido que representa la red de páginas interconectadas serepresenta como una matriz de adyacencia:
donde se asigna un 1 en el lugar ij si existe un enlace desde la página j a lapágina i .
P1•
��
P3•
��
P5•
]]<<<<<<<<
����������
P2•
OO
P4•
OOP1•
��
//
%%KKKKKKKKKKKKK P2•oo
P3•
99sssssssssssss // P4•
eeKKKKKKKKKKKKK
OO
Ejercicio: obtener la matriz de adyacencia para las redes anteriores
Falencia del modelo: Algunas páginas pueden ganar importancia...
creando páginas virtuales para tener más enlaces
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 10 / 23
Segundo criterio de ordenación de resultados de búsqueda
El grafo dirigido que representa la red de páginas interconectadas serepresenta como una matriz de adyacencia:
donde se asigna un 1 en el lugar ij si existe un enlace desde la página j a lapágina i .
P1•
��
P3•
��
P5•
]]<<<<<<<<
����������
P2•
OO
P4•
OOP1•
��
//
%%KKKKKKKKKKKKK P2•oo
P3•
99sssssssssssss // P4•
eeKKKKKKKKKKKKK
OO
Ejercicio: obtener la matriz de adyacencia para las redes anteriores
Falencia del modelo: Algunas páginas pueden ganar importancia...
creando páginas virtuales para tener más enlaces
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CRITERIO de ordenación de resultados de búsqueda
Modelo democrático
la importancia de la página xi se distribuye uniformemente entre laspáginas xj que tienen un enlace con ella
A =
0 0 0 12
0
13
0 0 0 0
13
13
0 0 1
0 13
1 0 0
13
13
0 12
0
Matrices estocásticas
La matriz de adyacencia modi�ca tiene lapropiedad que los elementos de cada una desus columnas suma 1
Ejercicio: determinar las matrices de incidencia modi�cada de las otrasredes presentadas.
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 11 / 23
CRITERIO de ordenación de resultados de búsqueda
Modelo democrático
la importancia de la página xi se distribuye uniformemente entre laspáginas xj que tienen un enlace con ella
A =
0 0 0 12
0
13
0 0 0 0
13
13
0 0 1
0 13
1 0 0
13
13
0 12
0
Matrices estocásticas
La matriz de adyacencia modi�ca tiene lapropiedad que los elementos de cada una desus columnas suma 1
Ejercicio: determinar las matrices de incidencia modi�cada de las otrasredes presentadas.
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CRITERIO de ordenación de resultados de búsqueda
Modelo democrático
la importancia de la página xi se distribuye uniformemente entre laspáginas xj que tienen un enlace con ella
A =
0 0 0 12
0
13
0 0 0 0
13
13
0 0 1
0 13
1 0 0
13
13
0 12
0
Matrices estocásticas
La matriz de adyacencia modi�ca tiene lapropiedad que los elementos de cada una desus columnas suma 1
Ejercicio: determinar las matrices de incidencia modi�cada de las otrasredes presentadas.
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CRITERIO de ordenación de resultados de búsqueda
Modelo democrático
la importancia de la página xi se distribuye uniformemente entre laspáginas xj que tienen un enlace con ella
A =
0 0 0 12
0
13
0 0 0 0
13
13
0 0 1
0 13
1 0 0
13
13
0 12
0
Matrices estocásticas
La matriz de adyacencia modi�ca tiene lapropiedad que los elementos de cada una desus columnas suma 1
Ejercicio: determinar las matrices de incidencia modi�cada de las otrasredes presentadas.
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Asignación de importancia
La idea principal
El problema de asignación de importancia de páginas en internet, se escribeen lenguaje matricial
Ecuación matricial
Ax = x (1)
donde x es el vector de importancias, y A es la matriz de adyacencia
Pagerank (Page, Brin 1999) usado por Google
Perron-Frobenius nos dice que (1) tiene solución única
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 12 / 23
Asignación de importancia
La idea principal
El problema de asignación de importancia de páginas en internet, se escribeen lenguaje matricial
Ecuación matricial
Ax = x (1)
donde x es el vector de importancias, y A es la matriz de adyacencia
Pagerank (Page, Brin 1999) usado por Google
Perron-Frobenius nos dice que (1) tiene solución única
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 12 / 23
Asignación de importancia
La idea principal
El problema de asignación de importancia de páginas en internet, se escribeen lenguaje matricial
Ecuación matricial
Ax = x (1)
donde x es el vector de importancias, y A es la matriz de adyacencia
Pagerank (Page, Brin 1999) usado por Google
Perron-Frobenius nos dice que (1) tiene solución única
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 12 / 23
Asignación de importancia
Ejemplo
Para el ejemplo de la red de cinco páginas, se resuelve Ax = x
P1•
�����������������
xxqqqqqqqqqqqqqqq
&&MMMMMMMMMMMMMMM
P2• //
��<<<<<<<<
))SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS P5•
uukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
P3• // P4•
AA��������
VV---------------
P4 −→ P3 −→ P5 −→ P1 −→ P2
Scilab
Software libre disponible en http://www.scilab.org/Un sitio para mirar ejemplos de cómo se usahttp://www.cs.montana.edu/∼harkin/courses/cs530/scilab/
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 13 / 23
Asignación de importancia
Ejemplo
Para el ejemplo de la red de cinco páginas, se resuelve Ax = x
P1•
�����������������
xxqqqqqqqqqqqqqqq
&&MMMMMMMMMMMMMMM
P2• //
��<<<<<<<<
))SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS P5•
uukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
P3• // P4•
AA��������
VV---------------
P4 −→ P3 −→ P5 −→ P1 −→ P2
Scilab
Software libre disponible en http://www.scilab.org/Un sitio para mirar ejemplos de cómo se usahttp://www.cs.montana.edu/∼harkin/courses/cs530/scilab/
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 13 / 23
Asignación de importancia
Ejemplo
Para el ejemplo de la red de cinco páginas, se resuelve Ax = x
P1•
�����������������
xxqqqqqqqqqqqqqqq
&&MMMMMMMMMMMMMMM
P2• //
��<<<<<<<<
))SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS P5•
uukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
P3• // P4•
AA��������
VV---------------
P4 −→ P3 −→ P5 −→ P1 −→ P2
Scilab
Software libre disponible en http://www.scilab.org/Un sitio para mirar ejemplos de cómo se usahttp://www.cs.montana.edu/∼harkin/courses/cs530/scilab/
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 13 / 23
Espectro de una matriz
De�nición
Sea A una matriz cuadrada n × n. Decimos que λ ∈ R es un autovalor
(eigenvector, valor propio) de A si existe un vector no nulo x ∈ Rn tal que
Ax = λx (2)
Algunas preguntas
La ecuación (2) tiene solución para cualquier matriz A
Si (2) tiene solución, que características tiene
Cómo encontrar los posibles valores de λ
Y esto de qué me sirve?
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 14 / 23
Espectro de una matriz
De�nición
Sea A una matriz cuadrada n × n. Decimos que λ ∈ R es un autovalor
(eigenvector, valor propio) de A si existe un vector no nulo x ∈ Rn tal que
Ax = λx (2)
Algunas preguntas
La ecuación (2) tiene solución para cualquier matriz A
Si (2) tiene solución, que características tiene
Cómo encontrar los posibles valores de λ
Y esto de qué me sirve?
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 14 / 23
Espectro de una matriz
De�nición
Sea A una matriz cuadrada n × n. Decimos que λ ∈ R es un autovalor
(eigenvector, valor propio) de A si existe un vector no nulo x ∈ Rn tal que
Ax = λx (2)
Algunas preguntas
La ecuación (2) tiene solución para cualquier matriz A
Si (2) tiene solución, que características tiene
Cómo encontrar los posibles valores de λ
Y esto de qué me sirve?
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 14 / 23
Espectro de una matriz
De�nición
Sea A una matriz cuadrada n × n. Decimos que λ ∈ R es un autovalor
(eigenvector, valor propio) de A si existe un vector no nulo x ∈ Rn tal que
Ax = λx (2)
Algunas preguntas
La ecuación (2) tiene solución para cualquier matriz A
Si (2) tiene solución, que características tiene
Cómo encontrar los posibles valores de λ
Y esto de qué me sirve?
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 14 / 23
Espectro de una matriz
De�nición
Sea A una matriz cuadrada n × n. Decimos que λ ∈ R es un autovalor
(eigenvector, valor propio) de A si existe un vector no nulo x ∈ Rn tal que
Ax = λx (2)
Algunas preguntas
La ecuación (2) tiene solución para cualquier matriz A
Si (2) tiene solución, que características tiene
Cómo encontrar los posibles valores de λ
Y esto de qué me sirve?
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Espectro de una matriz
De�nición
Sea A una matriz cuadrada n × n. Decimos que λ ∈ R es un autovalor
(eigenvector, valor propio) de A si existe un vector no nulo x ∈ Rn tal que
Ax = λx (2)
Algunas preguntas
La ecuación (2) tiene solución para cualquier matriz A
Si (2) tiene solución, que características tiene
Cómo encontrar los posibles valores de λ
Y esto de qué me sirve?
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¾Y esto para qué me sirve?
Sea matriz A n × n
Supongamos que es posible encontrar n autovectores de A linealmenteindependientes en Rn
{u1,u2, . . . ,un} base de Rn : Aui = λiui para todo i (3)
Como A es la matriz asociada a la tansformación lineal T : Rn −→ Rn
T (x) = Ax con respecto a la base canónica de Rn, entonces larepresentación de A en la base de autovectores es
λ1 0 . . . 00 λ2 0 . . . 00 . . . 0...
...0 0 0 . . . λn
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¾Y esto para qué me sirve?
Sea matriz A n × n
Supongamos que es posible encontrar n autovectores de A linealmenteindependientes en Rn
{u1,u2, . . . ,un} base de Rn : Aui = λiui para todo i (3)
Como A es la matriz asociada a la tansformación lineal T : Rn −→ Rn
T (x) = Ax con respecto a la base canónica de Rn, entonces larepresentación de A en la base de autovectores es
λ1 0 . . . 00 λ2 0 . . . 00 . . . 0...
...0 0 0 . . . λn
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¾Y esto para qué me sirve?
Sea matriz A n × n
Supongamos que es posible encontrar n autovectores de A linealmenteindependientes en Rn
{u1,u2, . . . ,un} base de Rn : Aui = λiui para todo i (3)
Como A es la matriz asociada a la tansformación lineal T : Rn −→ Rn
T (x) = Ax con respecto a la base canónica de Rn, entonces larepresentación de A en la base de autovectores es
λ1 0 . . . 00 λ2 0 . . . 00 . . . 0...
...0 0 0 . . . λn
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¾Y esto para qué me sirve?
Sea matriz A n × n
Supongamos que es posible encontrar n autovectores de A linealmenteindependientes en Rn
{u1,u2, . . . ,un} base de Rn : Aui = λiui para todo i (3)
Como A es la matriz asociada a la tansformación lineal T : Rn −→ Rn
T (x) = Ax con respecto a la base canónica de Rn, entonces larepresentación de A en la base de autovectores es
λ1 0 . . . 00 λ2 0 . . . 00 . . . 0...
...0 0 0 . . . λn
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¾Y esto para qué me sirve?
Sea matriz A n × n
Supongamos que es posible encontrar n autovectores de A linealmenteindependientes en Rn
{u1,u2, . . . ,un} base de Rn : Aui = λiui para todo i (3)
Como A es la matriz asociada a la tansformación lineal T : Rn −→ Rn
T (x) = Ax con respecto a la base canónica de Rn, entonces larepresentación de A en la base de autovectores es
λ1 0 . . . 00 λ2 0 . . . 00 . . . 0...
...0 0 0 . . . λn
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Autovalores de A
Ax = λx
Queremos que este sistema
(A− λI )x = 0
tenga solución no trivial, o equivalentemente
det(A− λI ) = 0
Los autovalores de A resuelven la ecuación característica de A.
¾Cómo se resuelve la ecuación característica?
Teorema: Si A es una matriz n × n entonces det(A− λI ) es un polinomioen λ de grado n. p(λ) = det(A− λI ) se llama polinomio característico de
A. Las raíces de la ecuación característica son los autovalores de A.
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Autovalores de A
Ax = λx
Queremos que este sistema
(A− λI )x = 0
tenga solución no trivial, o equivalentemente
det(A− λI ) = 0
Los autovalores de A resuelven la ecuación característica de A.
¾Cómo se resuelve la ecuación característica?
Teorema: Si A es una matriz n × n entonces det(A− λI ) es un polinomioen λ de grado n. p(λ) = det(A− λI ) se llama polinomio característico de
A. Las raíces de la ecuación característica son los autovalores de A.
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Autovalores de A
Ax = λx
Queremos que este sistema
(A− λI )x = 0
tenga solución no trivial, o equivalentemente
det(A− λI ) = 0
Los autovalores de A resuelven la ecuación característica de A.
¾Cómo se resuelve la ecuación característica?
Teorema: Si A es una matriz n × n entonces det(A− λI ) es un polinomioen λ de grado n. p(λ) = det(A− λI ) se llama polinomio característico de
A. Las raíces de la ecuación característica son los autovalores de A.
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Autovalores de A
Ax = λx
Queremos que este sistema
(A− λI )x = 0
tenga solución no trivial, o equivalentemente
det(A− λI ) = 0
Los autovalores de A resuelven la ecuación característica de A.
¾Cómo se resuelve la ecuación característica?
Teorema: Si A es una matriz n × n entonces det(A− λI ) es un polinomioen λ de grado n. p(λ) = det(A− λI ) se llama polinomio característico de
A. Las raíces de la ecuación característica son los autovalores de A.
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Autovalores de A
Ax = λx
Queremos que este sistema
(A− λI )x = 0
tenga solución no trivial, o equivalentemente
det(A− λI ) = 0
Los autovalores de A resuelven la ecuación característica de A.
¾Cómo se resuelve la ecuación característica?
Teorema: Si A es una matriz n × n entonces det(A− λI ) es un polinomioen λ de grado n. p(λ) = det(A− λI ) se llama polinomio característico de
A. Las raíces de la ecuación característica son los autovalores de A.
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Existencia de autovalores y autovectores
Ejemplos de autovectores
Para la matriz A =
0 1
313
0 13
0 0 13
13
13
0 0 0 1 012
0 0 0 12
0 0 1 0 0
se tiene que
A
11111
=
11111
El polinomio característico de A es
p(λ) = −0,05− 0.2λ− 0,72λ2 + λ5
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Existencia de autovalores y autovectores
Ejemplos de autovectores
Para la matriz A =
0 1
313
0 13
0 0 13
13
13
0 0 0 1 012
0 0 0 12
0 0 1 0 0
se tiene que
A
11111
=
11111
El polinomio característico de A es
p(λ) = −0,05− 0.2λ− 0,72λ2 + λ5
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Existencia de autovalores y autovectores
Ejemplos de autovectores
Para la matriz A =
0 1
313
0 13
0 0 13
13
13
0 0 0 1 012
0 0 0 12
0 0 1 0 0
se tiene que
A
11111
=
11111
El polinomio característico de A es
p(λ) = −0,05− 0.2λ− 0,72λ2 + λ5
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Existencia de autovectores
Contraejemplo
Para la matriz
A =
(cos θ −senθsenθ cos θ
)no tiene autovectores
El polinomio característico de la matriz es
p(λ) = λ2 + 1
Ejercicios
Las matrices simétricas siempre tienen autovectores
Si n es impar, toda matriz A n × n tiene un autovector
A y AT tienen los mismos autovalores
Las matrices estocásticas tienen un autovalor igual a 1
Autovectores asociados a autovalores distintos son L.I.
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Existencia de autovectores
Contraejemplo
Para la matriz
A =
(cos θ −senθsenθ cos θ
)no tiene autovectores
El polinomio característico de la matriz es
p(λ) = λ2 + 1
Ejercicios
Las matrices simétricas siempre tienen autovectores
Si n es impar, toda matriz A n × n tiene un autovector
A y AT tienen los mismos autovalores
Las matrices estocásticas tienen un autovalor igual a 1
Autovectores asociados a autovalores distintos son L.I.
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Existencia de autovectores
Contraejemplo
Para la matriz
A =
(cos θ −senθsenθ cos θ
)no tiene autovectores
El polinomio característico de la matriz es
p(λ) = λ2 + 1
Ejercicios
Las matrices simétricas siempre tienen autovectores
Si n es impar, toda matriz A n × n tiene un autovector
A y AT tienen los mismos autovalores
Las matrices estocásticas tienen un autovalor igual a 1
Autovectores asociados a autovalores distintos son L.I.
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Autovectores de A
Autoespacios
Sea µ un autovalor de A. El conjunto Eµ = {v ∈ Rn : Av = µv} es unsubespacio de Rn. La dimesión de Eµ es la multiplicidad geométrica delautovalor µ.
Multiplicidad algebraica
Sea µ un autovalor de una matriz A de orden n × n. La multiplicidadalgebraica de µ es siempre mayor o igual que la geométrica.
Existencia de una base de autovectores de A
Si la multiplicidad algebraica de los autovalores de A coincide con lamultiplicidad geométrica de A, entonces existe una base de Rn compuestade autovectores de A.
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Autovectores de A
Autoespacios
Sea µ un autovalor de A. El conjunto Eµ = {v ∈ Rn : Av = µv} es unsubespacio de Rn. La dimesión de Eµ es la multiplicidad geométrica delautovalor µ.
Multiplicidad algebraica
Sea µ un autovalor de una matriz A de orden n × n. La multiplicidadalgebraica de µ es siempre mayor o igual que la geométrica.
Existencia de una base de autovectores de A
Si la multiplicidad algebraica de los autovalores de A coincide con lamultiplicidad geométrica de A, entonces existe una base de Rn compuestade autovectores de A.
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Autovectores de A
Autoespacios
Sea µ un autovalor de A. El conjunto Eµ = {v ∈ Rn : Av = µv} es unsubespacio de Rn. La dimesión de Eµ es la multiplicidad geométrica delautovalor µ.
Multiplicidad algebraica
Sea µ un autovalor de una matriz A de orden n × n. La multiplicidadalgebraica de µ es siempre mayor o igual que la geométrica.
Existencia de una base de autovectores de A
Si la multiplicidad algebraica de los autovalores de A coincide con lamultiplicidad geométrica de A, entonces existe una base de Rn compuestade autovectores de A.
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Autovectores de A
Autoespacios
Sea µ un autovalor de A. El conjunto Eµ = {v ∈ Rn : Av = µv} es unsubespacio de Rn. La dimesión de Eµ es la multiplicidad geométrica delautovalor µ.
Multiplicidad algebraica
Sea µ un autovalor de una matriz A de orden n × n. La multiplicidadalgebraica de µ es siempre mayor o igual que la geométrica.
Existencia de una base de autovectores de A
Si la multiplicidad algebraica de los autovalores de A coincide con lamultiplicidad geométrica de A, entonces existe una base de Rn compuestade autovectores de A.
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Autovectores de A
Autoespacios
Sea µ un autovalor de A. El conjunto Eµ = {v ∈ Rn : Av = µv} es unsubespacio de Rn. La dimesión de Eµ es la multiplicidad geométrica delautovalor µ.
Multiplicidad algebraica
Sea µ un autovalor de una matriz A de orden n × n. La multiplicidadalgebraica de µ es siempre mayor o igual que la geométrica.
Existencia de una base de autovectores de A
Si la multiplicidad algebraica de los autovalores de A coincide con lamultiplicidad geométrica de A, entonces existe una base de Rn compuestade autovectores de A.
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Autovectores de A
Autoespacios
Sea µ un autovalor de A. El conjunto Eµ = {v ∈ Rn : Av = µv} es unsubespacio de Rn. La dimesión de Eµ es la multiplicidad geométrica delautovalor µ.
Multiplicidad algebraica
Sea µ un autovalor de una matriz A de orden n × n. La multiplicidadalgebraica de µ es siempre mayor o igual que la geométrica.
Existencia de una base de autovectores de A
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Ejemplos
Consideremos las siguientes matrices
A =
1 2 10 −1 0−1 −2 −1
B =
3 2 42 0 24 2 3
B =
2 1 00 2 10 0 3
Calcular la multiplicidad geométrica de los autovalores correspondientes
Un calculador virtual se puede encontrar en http://wims.unice.fr/wims/
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Ejemplos
Consideremos las siguientes matrices
A =
1 2 10 −1 0−1 −2 −1
B =
3 2 42 0 24 2 3
B =
2 1 00 2 10 0 3
Calcular la multiplicidad geométrica de los autovalores correspondientes
Un calculador virtual se puede encontrar en http://wims.unice.fr/wims/
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Conclusiones
Problema
Asignación de importancia a páginas en internet
Teorema de Perrón-Frobenius
El problema tiene única solución: (La demostración se puede leer enhttp://www.matrixanalysis.com/)
Una vez más...
La matemática resuelve problemas concretos
Más detalles...
THE 25, 000, 000, 000 EIGENVECTOR:THE LINEAR ALGEBRA BEHIND
GOOGLE, KURT BRYAN AND TANYA LEISE
GS (UNPSJB) Álgebra y Geometría 2010 Junio 2010 21 / 23
Conclusiones
Problema
Asignación de importancia a páginas en internet
Teorema de Perrón-Frobenius
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Una vez más...
La matemática resuelve problemas concretos
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Conclusiones
Problema
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El problema tiene única solución: (La demostración se puede leer enhttp://www.matrixanalysis.com/)
Una vez más...
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Conclusiones
Objetivos del resto del curso:
determinar condiciones en A para que existe una base de autovectoresde Rn
cómo calcular autovalores y autovectores (el problema de asignación deimportancias tiene tamaño 8,000,000,000× 8,000,000,000 )
qué sucede si la matriz no tiene su�cientes autovectores para formaruna base
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Conclusiones
Objetivos del resto del curso:
determinar condiciones en A para que existe una base de autovectoresde Rn
cómo calcular autovalores y autovectores (el problema de asignación deimportancias tiene tamaño 8,000,000,000× 8,000,000,000 )
qué sucede si la matriz no tiene su�cientes autovectores para formaruna base
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Conclusiones
Objetivos del resto del curso:
determinar condiciones en A para que existe una base de autovectoresde Rn
cómo calcular autovalores y autovectores (el problema de asignación deimportancias tiene tamaño 8,000,000,000× 8,000,000,000 )
qué sucede si la matriz no tiene su�cientes autovectores para formaruna base
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Conclusiones
Objetivos del resto del curso:
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cómo calcular autovalores y autovectores (el problema de asignación deimportancias tiene tamaño 8,000,000,000× 8,000,000,000 )
qué sucede si la matriz no tiene su�cientes autovectores para formaruna base
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cómo calcular autovalores y autovectores (el problema de asignación deimportancias tiene tamaño 8,000,000,000× 8,000,000,000 )
qué sucede si la matriz no tiene su�cientes autovectores para formaruna base
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Problemas sin respuesta en esta charla
cómo almacenar datos (internet es gigante): Descomposición envalores singulares (SVD)
cómo encontrar pedidos de búsqueda: Algoritmo QR(Proyeccionesortogonales)
Más detalles MATRICES, VECTOR SPACES, AND INFORMATION
RETRIEVAL MICHAEL W. BERRY, ZLATKO DRMAC, ELIZABETHR. JESSUP
Otras aplicaciones del Teorema de Perrón Frobenius: THEPERRON-FROBENIUS THEOREM AND THE RANKING OF
FOOTBALL TEAMS JAMES KEENER
MUCHAS GRACIAS
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cómo almacenar datos (internet es gigante):
Descomposición envalores singulares (SVD)
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