Bueno Rodolfo-Laplace

ndice general0.1. Presentacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1. Convolucin 1.0.1. Denicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0.2. Ejemplos Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Transformada de Fourier 2.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Demostracin de las Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Ejemplos Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Teorema de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Ejemplos Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 4 10 13 14 16 26 49 50 51 54

3. Funciones Generalizadas 3.0.1. Denicin del espacio bsico Km . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55 56 57 57 58 58 58

3.0.2. Denicin del espacio bsico K

3.0.3. Denicin del espacio Bsico S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Funcin generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Espacio Dual K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Producto de una funcin generalizada f por el nmero . . . . i

ii 3.2. Funcin (x) de Dirac

NDICE GENERAL . . . . . . . . . . 60 61 63 68 71 71 72

3.2.1. Propiedades de la Funcin (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Ejemplos Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Transformadas de Funciones Generalizadas 4.1. Transformada de Fourier en el Espacio K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Ejemplos Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5. Ecuacin del Calor 103

5.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.2. Transformada de Laplace. Propiedades 5.3. Transformada de Laplace. Tabla . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.4. Cronograma del Mtodo a Emplear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.5. Solucin de la Ecuacin del Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.6. Problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.7. Frmula de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.7.1. Ejemplos Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.8. Frmula de Poisson Multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.8.1. Ejemplos Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.9. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6. Ecuacin de Onda 157

6.1. Problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.2. Regla de Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.3. Cronograma del Mtodo a Emplear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.4. Frmula de DAlembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.4.1. Ejemplos Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.5. Frmula de Kirkho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

NDICE GENERAL

iii

6.5.1. Ejemplo Resuelto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 6.6. Frmula de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 6.6.1. Ejemplo Resuelto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 6.7. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

7. Ecuacin de Laplace

195

7.1. Frmula de DAlembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 7.1.1. Ejemplos Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 7.2. Ecuacin de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 7.2.1. Ejemplos Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 7.3. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 8. Ecuacin de Poisson 8.1. Solucin de la Ecuacin de Poisson 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

8.1.1. Ejemplos Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 8.2. Ecuacin de Poisson en el Espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 8.2.1. Ejemplos resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 8.3. Mtodo del Descenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

8.3.1. Ejemplos Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 8.4. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

iv

NDICE GENERAL

0.1. PRESENTACIN

1

0.1.

Presentacin

Muy estimados miembros de la comunidad politcnica, el presente texto es el resultado de largos aos de mi labor docente; fue escrito porque muchos estudiantes pedan que se lo hiciera ya que no encontraban libros para estudiar la materia de matemtica avanzada. Consejo Politcnico me concedi un semestre de permiso acadmico para redactarlo, por lo que hoy se entrega la primera parte de este trabajo en la que se resuelve el problema de Cauchy para las ecuaciones diferenciales de la fsica matemtica, que es lo que el autor se comprometi entregar. El tiempo que sobra hasta el n del semestre ser aprovechado para redactar la segunda parte de este texto, que consiste en la resolucin de las ecuaciones diferenciales de la fsica matemtica con condiciones de borde, lo que tambin forma parte del curso de matemtica avanzada. El trabajo que se entrega consta de ocho captulos originales, que no existen en la literatura cientca. El mtodo empleado es de por s novedoso porque, a pesar de que todos los temas que se abarcan son conocidos y existen separadamente, utiliza a todos ellos en conjunto, lo que permite resolver y encontrar la solucin de numerosas ecuaciones de la fsica matemtica, y de otras que no lo son, de una manera original y sencilla. El mrito del presente trabajo es que no hay otro semejante y, en cierta forma, abre paso para encontrar la solucin de muchas ecuaciones diferenciales, algo que ya se hace en el presente texto a manera de ejercicios propuestos. As, por ejemplo, el captulo 8 es totalmente nuevo y las frmulas obtenidas para encontrar la solucin de la ecuacin de Poisson en el plano y en espacios de tres y cuatro dimensiones no slo que son originales sino que permiten resolver de manera sencilla este difcil problema. El por qu no se public antes estos resultados es porque se intent resolver primero el problema general, esto es para el caso de n dimensiones; pero como se sabe, lo perfecto es enemigo de lo posible, por lo que ped permiso acadmico para publicar los resultados obtenidos por m hasta la presente fecha. A pesar de que no se trata de un libro de teora matemtica sino de ejercicios, en el mismo se ha desarrollado aquella parte terica que permite comprender cabalmente este delicado tema. Los cuatro primeros captulos estn dedicados a la explicacin del mtodo que se va a emplear, con sucientes ejemplos y ejercicios propuestos para que el lector conozca con relativa profundidad el tema a abordarse; en los cuatro ltimos captulos se aplica la metodologa propuesta para resolver el problema de Cauchy para la ecuacin del calor y sus semejantes, para la ecuacin de onda y sus semejantes, para la ecuacin de Laplace y sus semejantes y la para la ecuacin de Poisson en dos, tres y cuatro dimensiones. Se hace la entrega de la presente edicin a los miembros del Honorable Consejo Politcico, del Consejo Acadmico y del Consejo de Facultad de la Facultad de Ciencias de la EPN con la nalidad de que conozcan la bondad del mtodo planteado y que, de ser posible, permitan y faciliten su difusin entre los dems colegas y estudiantes de nuestra querida Institucin. Reitero una vez ms mi agradecimiento a todos los que con su apoyo han permitido el nacimiento de esta pequea pero importante obra y a partir de ahora dedicar el tiempo que resta del semestre para completar la redaccin del texto de matemtica avanzada. Rodolfo Bueno Ortiz

2

NDICE GENERAL

Captulo 1

ConvolucinEste captulo es un anexo al curso de matemtica avanzada que se desarrolla en el presente texto. Est escrito con la intencin de recordar una operacin muy importante del clculo integral, la convolucin, que aparece de manera natural al resolver las ecuaciones diferenciales parciales de la fsica matemtica. En ste se recalcan las propiedades ms importantes de la convolucin.

1.0.1.

Denicin

La convolucin es una operacin matemtica que transforma dos funciones f (x) y g(x) en una tercera funcin [f g] (x) que representa la cantidad en la que se superponen f (x) y g(xy), una versin trasladada e invertida de g(x), algo as como el promedio mvil de las dos; se supone que f (x) y g(x) son dos funciones integrables segn Riemman en R, entonces, la siguiente integral se llama funcin convolucin de estas dos funciones: Z [f g] (x) = f (y)g(xy)dy (1.1) Se sobreentiende que esta integral no es indenida sino que est tomada en todo R. De ahora en adelante, estas integrales se toman en todo el espacio, salvo que se seale lo contrario. En otras palabras, la misma idea se va a representar de la manera siguiente: Z Z + f (y)g(xy)dy f (y)g(xy)dy =

La operacin convolucin es muy til en la teora de las probabilidades, donde se demuestra que si X y Y son dos variables aleatorias independientes con funciones de densidad de probabilidad f (x) y g(x), respectivamente, entonces la densidad de probabilidad de la suma de las variables aleatorias Z = X + Y se encuentra mediante la convolucin de ambas distribuciones, esto es, [f g] (x). Se puede demostrar que esta operacin tiene la propiedad de conmutatividad: Z Z (f g) (x) = f (y)g(xy)dy = g(y)f (xy)dy = (gf )(x) (1.2) 3

4 Esta operacin es asociativa: [(f g) h] (x) = [f (g h)] (x) Es ditributiva: [(f + g) h] (x) = [(f h)] (x)+[(g h)] (x)

CAPTULO 1. CONVOLUCIN

(1.3)

(1.4)

Es asociativa con respecto a la multiplicacin por un escalar ; esto es, para todo nmero complejo o real se cumple: [f g] (x) = [f g] (x) = [f g] (x) Con respecto a la derivacin se cumple: [f g] 0 (x) = [f 0 g] (x) = [f g0] (x) (1.6) (1.5)

Estas propiedades no se van a demostrar por no formar parte del curso de Matemtica Avanzada.

1.0.2.

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: La convolucin de las funciones (x) f (x) y (x) g (x) se rige por la siguiente regla: Z x (f g)(x) = (x) f (y)g(x y)dy (1.7)0

Donde la funcin (x), llamada funcin de Heaviside, se dene como: 0 si x < 0 (x) = 1 si x > 0 Comprobacin: Por denicin de convolucin se sabe que: Z (f g)(x) = u(y)f (y)u(xy)g(xy)dy Se analiza: 0 si y < 0 (y)f (y) = f (y) si y > 0 Se analiza ahora: (xy)g(xy) = 0 si x y < 0 g(x y) si x y > 0

Luego se debe integrar bajo la recta y = x y sobre la recta y = 0. De donde se obtiene que: 0 R si x (, 0) (f g)(x) = x 0 f (y)g(x y)dy si x (0, )

5 Ambas respuestas pueden ser escritas en una sola: Z x (f g)(x) = (x) f (y)g(x y)dy (1.7)0

Si las funciones f y g estn denidas slo para x 0, entonces se cumple: Z x (f g)(x) = f (y)g(x y)dy (1.8)0

Ejemplo 2: Calcular que la convolucin de la funcin de Heaviside (a |x|) consigo misma es igual a: 0 si x < 2a 2a + x si 2a < x < 0 (a |x|) (a |x|) = 2a x si 0 < x < 2a 0 si x > 2a Solucin: Por la denicin de convolucin (1.1) se tiene que: Z (a|x|)(a|x|) = (a|y|)(a|x y|)dy 1 si |y| < a 0 si |y| > a

donde: (a |y|) = (a |x y|) = O tambin: u(a|x y|) = 1 si a < x y < a 0 si x y < a v x y > a

1 si a |x y| > 0 0 si a |x y| < 0

Si 2a < x < 0 se tiene que: R x+a (a |x|) (a |x|) = a dy = y|x+a a = (x + a) (a) = x + 2a En cambio si 0 < x < 2a: Ra (a |x|) (a |x|) = xa dy = y|a xa = a (x a) = x + 2a Si x < 2a: (a|x|)(a|x|) = 0

6 Lo mismo si x > 2a: (a|x|)(a|x|) = 0 Se unen estos resultados parciales y se obtiene nalmente: 0 si 2a + x si (a |x|) (a |x|) = 2a x si 0 si


x < 2a 2a < x < 0 0 < x < 2a x > 2a

Ejemplo 3:Calcular que la convolucin de la funcin e|x| consigo misma es igual a: e|x| e|x| = e|x| (1 + |x|)

Solucin: Por denicin de valor absoluto se obtiene: x si x < 0 |x| = x si x > 0 Por la denicin (1.1) de convolucin se tiene que: Z |x| |x| e = e|y| e|xy| dy si x < 0, o sea si x (, 0) se tiene que: e e|x| e|x| = Zx

Z ey ex+y dy+

0

x

Z ey exy dy+

ey exy dy

0

Se resuelven las integrales y se obtiene: e|x| e|x| = ex e2y x ex e2y + | +ex y |0 + | x 2 2 0 Z0

Si x > 0 o sea si x (0, ) entonces: e|x|

e

|x|

=

e e

y x+y

Z dy+

x

e

y x+y

e

0

Z dy+

ey exy dy

x

e|x| e|x| = ex

2y e2y 0 +ex y |x +ex e | 0 2 2 x Se evala en estos lmites y se obtiene:

e|x| e|x| = ex (1+x) si x > 0 Luego el resultado nal es: x e (1 x) si x < 0 |x| |x| e e = ex (1 + x) si x > 0 Lo que puede ser unido en una sola frmula: e|x| e|x| = e|x| (1 + |x|)

7 Ejemplo 3.1:Comprobar que la convolucin de las funciones xeax y eax es igual a: r h i a x2 ax2 ax2 xe 2 e xe (x) = 8a Solucin: Por la denicin (1.1) de convolucin se tiene que: Z i h 2 2 2 2 xeax eax (x) = yeay ea(xy) dy. O lo que es lo mismo: Z yeay 2 a(xy)22 2

e

Z Z 2 2 2 2 2 2 yeay eax e2axy eay dy = eax yeay e2axy eay dy.2

Z 2 2 2 dy = yeay eax e2axy eay dy. O tambin:

Se extrajo de la integral el factor eax por no depender de la variable y. Luego de factorar los exponentes se obtiene: Z i h 2 x 2 ax2 ax2 ax2 a x 2 ye2a(y 2 ) dy. e e (x) = e xe Esta integral se resuelve con ayuda del cambio devariable y 1 x = t con lo que se obtiene: 2

R 2 Pero la integral te2at dt es igual a 0 por imparidad de la funcin integrada, la segunda y integral se resuelve por sustitucin, haciendo el siguiente cambio de variable: t 2a = p. Se reemplaza y se tiene:x2 Z i h ea 2 2 ax2 ax2 (x) = x e xe ep dp, 2 2a R 2 puesto que por (2.38) ep dp = se obtiene:

2 Z h i a x x 2 2 ax2 ax2 (t + )e2at dt. O tambin, luego de separar en dos integrales: e xe (x) = e 2 x2 Z 2 Z h i a x ea 2 2 2 ax2 ax2 2at2 xe e2at dt. te (x) = e e dt + x 2

r h i a x2 ax2 ax2 xe 2 xe (x) = e 8a

Que es la solucin buscada. Ejemplo 4: Comprobar que la convolucin de las funciones (x) sin x y (x) cos x(x) es igual a: 1 (x) sin x (x) cos x = (x) (x sin x) 2

8


Solucin: Por la denicin (1.1) de convolucin se tiene que: Z x (x) sin x (x) cos x = (x) sin y cos(x y)dy Por trigonometra se tiene que: 0 Z x Z x 1 (x) (x) sin y cos(x y)dy = [sin x + sin(2y x)] dy 2 0 0 Se resuelve esta integral y se obtiene: cos x cos x 1 + (x) sin x (x) cos x = (x) x sin x 2 2 2 1 (x) sin x (x) cos x = (x) (x sin x) 2

De donde nalmente:

Que es la solucin buscada. Ejemplo 4.1: Comprobar que la convolucin de las funciones (x) sin x y (x) sin x(x) es igual a: 1 (x) sin x (x) sin x = (x) [sin x x cos x] 2 Solucin: Por la denicin (1.1) de convolucin se tiene que: Z x (x) sin x (x) sin x = (x) sin y sin(x y)dy. Por trigonometrra se tiene que: 0 Z x 1 (x) sin x (x) sin x = (x) [cos(2y x) cos x] dy 2 0 Luego de tomar esta integral se obtiene la solucin buscada: 1 1 (x) sin (x) (x) sin (x) = (x) [sin x x cos x] = [ (x) sin x x+ cos x] 2 2 Donde x+ = x (x) . De igual manera se comprueba que: (x) cos (x) (x) cos (x) = (x) sin (x) (x) cos (x) = (x) xn = + En general: (x) f (x) = f+ (x) = 0 si x < 0 f (x) si x > 0 1 [ (x) sin x + x+ cos x] 2 1 x+ sin x 2 (x) n+1 1 x xn+1 = n+1 n+1 +

Ejemplo 5: Encontrar que la convolucin de la funcin (x a) con la funcin (x b), donde la funcin (x) es la funcin de Heaviside denida como: 0 si x < 0 (x) = 1 si x > 0

9 es igual a: (x a) (x b) = (x a b)(x a b) Solucin: Se integra para x ( , a + b) y se obtiene: (xa)(xb) = 0 Despus se integra para x (a + b , ) y se obtiene: (x a) (x b) = (x a) (x b) = Zxb

a

1 1dy = x a b. Luego el resultado es: 0 si x a + b

Los dos resultados pueden ser unidos en uno solo: (x a) (x b) = (x a b)(x a b) Ejemplo 5.1: Encontrar la convolucin de la funcin de Heaviside (x) con cualquier funcin f (x) , esto es encontrar [ f ] (x) Solucin: Por denicin (1.1) de convolucin se debe calcular: Z [ f ] (x) = (y)f (x y)dy Esta integral es igual a: Z Z (y)f (x y)dy = f (x y)dy0

Porque para x < 0, (x) = 0 y para x > 0, (x) = 1. Se hace en esta integral la sustitucin q = x y, dy = dq y se obtiene: Z Z x Z f (xy)dy = f (q)(dq) = f (q)dq Luego:0 x

[ f ] (x) =

Z

x

f (q)dq (1.9)

Ejemplo 5.2: Encontrar la convolucin de la funcin sign (x) denida como: 1 si x < 0 sign(x) = con cualquier funcin f (x) es igual a: 1 si x > 0 Z Z x f (q)dq f (q)dq [sign (x) f (x)] (x) = x

Solucin: Por la denicin (1.1) la convolucin se debe calcular como: Z [sign (x) f (x)] (x) = sign(y)f (x y)dy Esta integral es igual a: Z Z Z 0 f (x y)dy + f (x y)dy sign(y)f (x y)dy = 0

10


Porque para y < 0, sign(y) = 1 y para y > 0, sign(y) = 1. Se hace en ambas integrales el siguiente cambio de variable x y = q de donde se obtiene: Z Z x Z Z 0 f (xy)dy+ f (xy)dy = f (q)dq f (q)dq Por lo tanto: 0 x

[sign (x) f (x)] (x) =

Z

x

f (q)dq

Z

f (q)dq (1.10)

x

1.1.

Ejercicios propuestos

Comprobar que se cumplen las siguientes igualdades: 1. (x)(x) = (x)x 2. (x)(x)x3 = (x) x3 3

x 3. (x)x2 (x) sin x = (x) x2 sin2 2 2 4. (x) cos x(x)x3 = (x) 3x 6 cos x 6 5. (x) sin x(x) sinh x = 6.(a|x|)(a|x|) = 2 (2a|x|) 7.eax f (x)eax g(x) = eax [f g] (x) x 8.(x)x2 (x) sin x = (x) x2 sin2 2 9.(x)xe2x (x) x2 2x x4 e = (x) e2x 2 24

(x) (sinh x sin x) 2

Ejercicios: Sean las funciones que se denen a continuacin: 1 si x [1, 0] 1. e = 0 si x [1, 0] / 1 si x [0, 1] 2.. f = 0 si x [0, 1] / 2x + 2 si x [1, 0] 3. g = 0 si x [1, 0] / 2x + 2 si x [0, 1] 4. h = 0 si x [0, 1] / 1. e f = f e 2. e g = g e

Comprobar que la operacin convolucin es conmutativa y calcular los resultados:

1.1. EJERCICIOS PROPUESTOS 3. f h = h f 4. g h = h g 5. (e f ) g = e ( f g) 6. (e f ) h = e (f h) 7. Sean las funciones: 0 si x < 1 o x > 3 f (x) = y 1 2 si x (1, 3) 0 si x < 2 o x > 6 g (x) = comprobar que: 1 si x (2, 6) 4 0 x3 si x < 3 8 si x (3, 5) 1 si x (5, 7) [f g] (x) = [g f ] (x) = 4 9x si x (7, 9) 8 0 si x > 9 8. Sean las funciones: 0 si x < 0 o x>1 f (x) = 1 si x (0, 1)

11

si x < 0 o x > 2 0 g (x) = x si x (0, 1) comprobar que: 2 x si x (1, 2) si x < 0 0 1 2 x si x (0, 1) 2 x2 + 3x 3 si x (1, 2) [f g] (x) = [g f ] (x) = 2 1 2 2 x 6x + 9 si x (2, 3) 0 si x > 3 Respuestas: 0 si x (, 1) x + 1 si x (1, 0) 1. (f e)(x) = (ef )(x) = 1 x si x (0, 1) 0 si x (1, ) 0 si x (, 2) 2 x + 4x + 4 si x (2, 1) 2. (ge)(x) = (eg)(x) = x2 2x si x (1, 0) 0 si x (0, ) 0 si x (, 0) 2x x2 si x (0, 1) 3. (hg)(x) = (f h)(x) = x2 4x + 4 si x (1, 2) 0 si x (2, )

12


Captulo 2

Transformada de FourierSe conoce con el nombre de tranformada de Fourier a la imagen del operador F, mediante el cual cada funcin f (x) es puesta en correspondencia con la funcin F (s), en general compleja, denida en toda la recta real con ayuda de la siguiente integral: Z F [f (x)] = eisx f (x)dx = F (s) (2.1) Se sobreentiende que la integral (2.1) est tomada en todo R. En otras palabras, de ahora en adelante signica lo mismo: Z eisx

f (x)dx =

Z

+

eisx f (x)dx (2.2)

Z Z isx e f (x)dx Z Z isx dx = e f (x)

Esto se cumple tambin para cualquier integral en la que no estn explcitamente escritos los lmites; lo que se hace por sencillez, puesto que a lo largo de todo este curso no habr integrales indenidas y cada vez que se tome una integral se lo har en todo el espacio, a menos que se indique lo contrario. La funcin f (x), llamada funcin original, en esta parte del texto es absolutamente integrable segn Riemman, aunque acepta otras formas de integracin; esto se ve a partir de la misma denicin de transformada de Fourier puesto que: Z isx f (x)dx luego: |F (s)| e isx e f (x) dx o tambin isx |f (x)| dx = e Z |f (x)| dx puesto que: (2.3)

Denicin: La funcin f (x) se llama absolutamente integrable en todo el eje 0x, si la integral R |f (x)| dx converge, esto es si: Z |f (x)| dx = A < 13

q isx e = |cos(sx) i sin(sx)| = cos2 (sx) + sin2 (sx) = 1

14

CAPTULO 2. TRANSFORMADA DE FOURIER

En otras palabras, la condicin necesaria para que exista la transformada de Fourier, en el sentido clsico de este trmino, es que la funcin original f (x) sea absolutamente integrable. Ms adelante, cuando se estudien las funciones generalizadas, se ver que muchas funciones que no cumplen con esta condicin tienen sin embargo transformada de Fourier, aunque en otro contexto de denicin de funcin. La funcin F (s), llamada funcin imagen, es acotada y puede ser real, imaginaria o compleja. Por otra parte, se representa con minscula la funcin original y con la correspondiente mayscula la funcin imagen. Si la funcin imagen F (s) es tambin integrable segn Riemman se puede restiuir la funcin original f (x) mediante la transformada inversa de Fourier, llamada tambin frmula de inversin, denida como: Z 1 1 eixs F (s)ds (2.4) f (x) = F [F (s)] = 2 Frmula que se demuestra en el ejemplo 32.2. Vale la pena recalcar que la diferencia fundamental entre la transformada de Fourier y su inversa estriba en el signo del exponente, lo que carece de importancia; es ms, en muchos textos esta denicin se hace al revs, esto es, la transformada de Fourier se escribe con signo ms en el exponente y la frmula de inversin, con signo menos. 1 El factor 2 se lo sita preferentemente en la frmula de inversin, pero muchos autores lo ponen en ambas transformadas como 1 . En n, hay toda una gama de estilos en este tema e, incluso, 2 hay matemticos que sitan el valor 2 en ambos exponentes a la vez. Pero, independientemente de la forma en que est denida la transformada de Fourier, sus propiedades y aplicaciones son las mismas. La transformada de Fourier, as denida, goza de las caractersticas de continuidad y acotamiento lo que garantiza que pueda extenderse a los espacios de mayor nmero de dimensiones y a los espacios de las funciones generalizadas, que sern estudiados ms adelante. Esta transformada tiene una gran variedad de aplicaciones en numerosas reas de la ingeniera, por ejemplo, en el procesamiento de seales (electrnica), en la fsica, en el clculo integral, en la teora de la probabilidad, en la ptica, en la propagacin de ondas y en otras reas. Por procesar seales, la transformada de Fourier es considerada como la decomposicin de una seal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, F (s) corresponde al espectro de las frecuencias de la seal f (x). Por ejemplo, el odo humano percibe una onda auditiva a lo largo del tiempo y la descmpone en distintas frecuencias (que es lo que realmente se escucha), en la transformada de Fourier estn contenidas todas las frecuencias escuchadas mientras dura la seal; en otras palabras, la transformada de Fourier es el espectro de las frecuencias de una funcin. El anlisis armnico es la rama de la matemtica que estudia la transformada de Fourier y sus aplicaciones. Resumiendo lo dicho hasta ahora, a la transformada de Fourier se la representa como: Z F [f (x)] = F (s) y se la obtiene mediante el clculo de la intergral eisx f (x)dx.

2.1.

Propiedades

Puesto que saber manipular las propiedades de la Transformada de Fourier simplica la resolucin de importantes problemas matemticos sin necesidad de recurrir a complicadas operaciones del clculo integral, se puede armar que la adquisicin de este dominio es la parte ms importante del presente curso. Es ms, muchas integrales y resultados que son imposibles o muy

2.1. PROPIEDADES

15

difciles de obtener por mtodos convencionales, se vuelven relativamente fciles cuando se conocen las propiedades de esta transformada. En el transcurso del presente curso se va a trabajar en lo fundamental con dieciseis de ellas. 1. F(1 f1 + 2 f2 ) = a1 F(f1 ) + a2 F(f2 ) 2. F [f (ax)] =1 s |a| F ( a )

La transformada de Fourier es una aplicacin lineal

Propiedad de semejanza o de cambio de escala

3. F [f (x x0 )] = eix0 s F (s)

Traslado de la funcin original f del punto 0 al punto x0 4. F eis0 x f (x) = F (s s0 ) Traslado de la funcin imagen F del punto 0 al punto s0 5. F [f 0 (x)] = isF (s) Derivacin de la funcin original f (x). Esta propiedad se cumple cuando: l f (x) = 0 si x m Si se generaliza este resultado se obtiene: F f (n) (x) = (is)n F (s)

6. F [ixf (x)] = F 0 (s)

Derivacin de la imagen Si se generaliza este resultado se obtiene: F [(ix)n f (x)] = F (n) (s)

7. [l (x)] =

2 sin(ls) s

Es la imagen de la funcin caracterstica de un intervalo, denida como: 0 si |x| > l l (x) = 1 si |x| < l 8. Si f (x) es par entonces F (s) es real 9. Si f (x) es impar entonces F (s) es imaginaria 10. Si f (x) no es par ni impar entonces F (s) es compleja 11. F [F (x)] = F {F [f (x)]} = 2f (s)

La transformada de Fourier de la funcin imagen F

12. F [(f g) (x)] = F [f (x)] F [g(x)] = F (s)G(s)

La transformada de Fourier de la convolucin de las funciones f y g

16


13. F 1 [F (s)G(s)] = F 1 [F (s)] F 1 [G(s)] = (f g) (x)

La transformada inversa de Fourier del producto de dos imagenes F y G

14. F 1 [(F G) (s)] = 2F 1 [F (s)] F 1 [G(s)] = 2f (x)g(x) 15. F [f (x)g(x)] =1 2

La transformada inversa de la convolucin de dos imgenes F y G [F G] (s)

La transformada de Fourier del producto de dos originales f y g. R x 8. F f (q)dq =?

Qu pasa con la imagen F (s) cuando se integra el original f (x) en el intervalo variable (, x).

2.1.1.

Demostracin de las Propiedades

Propiedad 1: De linealidad. Esta propiedad es evidente y no se demuestra. Propiedad 2 : De semejanza o de cambio de escala de la variable x por la variable ax. 1 s F [f (ax)] = F |a| a Comprobacin: Por denicin de transformada de Fourier se tiene que: Z F [f (ax)] = eisx f (ax)dx Mediante el cambio de variable ax = q se obtiene: eisx f (ax)dx = Z ei a q f (q)s

Z

En el caso de que la constante a < 0 se tiene que: Z Z s 1 iq s dq i a q = e f (q) e a f (q)dq a a

dq (2.5) a En el caso de que la constante a > 0 se tiene que: Z s 1 s dq ei a q f (q) = F a a a

(2.6)

Luego de alterar los lmites de la integral (2.6) se obtiene: Z Z s 1 iq s 1 1 s iq a a f (q)dq = e F e f (q)dq = a a a a Ambos resultados (2.5) y (2.6) pueden ser escrito como uno solo: F [f (ax)] = Z eisx f (ax)dx = 1 s F |a| a

2.1. PROPIEDADES

17

Que es lo que se quera demostrar y que se basa en la denicin de |a| . Una consecuencia evidente de esta propiedad es que para el valor de a = 1 se cumple: F [f (x)] = F (s) (2.7) Propiedad 3: Trasladar paralelamente la funcin original f (x) desde el origen del sistema de coordenadas hasta el punto x0 es equivalente a multiplicar la funcin imagen F (s) por el factor exponencial imaginario eix0 s . En esta caso, se debe comprobar que: F [f (x x0 )] = eix0 s F (s) Comprobacin: Por denicin de transformada de Fourier se tiene que la transformacin de Fourier de la funcin f (x x0 ) es: Z F [f (x x0 )] = eisx f (xx0 )dx En esta integral se hace el cambio de variable y = x x0 , de donde x = y + x0 y dx = dy. Se sustituyen estos valores en la integral estudiada y se obtiene: Z Z isx f (xx0 )dx = ei(y+x0 )s f (y)dy. e En la funcin exponencial imaginaria se abre el parntesis, de manera que: Z Z i(y+x0 )s e f (y)dy = eiys eix0 s f (y)dy, como el factor eix0 s no depende de la variable y, se lo extrae de la integral. Z Z iys ix0 s ix0 s eiys f (y)dy, lo que es equivalente a tener que: e e f (y)dy = e F [f (x x0 )] = eix0 s F (s) Que es lo que se quera comprobar. Esta propiedad puede ser vista desde otra ptica equivalente: Multiplicar la imagen F (s) por el factor exponencial imaginario eix0 s es lo mismo que trasladar el original f (x) desde el origen de coordenadas hasta el punto x0 Propiedad 4: Esta propiedad establece que si la funcin original f (x) es multiplicada por la funcin exponencial imaginaria eis0 x , la funcin imagen F (s) se traslada desde el origen hasta el punto s0 . Esto es: F eis0 x f (x) = F (s s0 ) Comprobacin: Por denicin de transformada de Fourier de la funcin eis0 x f (x), se tiene: Z F eis0 x f (x) = eisx eis0 x f (x)dx

18


Pero como la base de la funcin exponencial es la misma, se suman los exponentes imaginarios y luego de factorar el exponente se obtiene: Z Z eisx eis0 x f (x)dx = ei(ss0 )x f (x)dx sto equivale a decir que la transformada de Fourier F de la funcin original f (x) no transforma a esta funcin a la variable s sino a la variable ss0 . Esto es que: F eis0 x f (x) = F (s s0 ). Que es lo que se quera comprobar. Esta propiedad puede ser vista desde otra ptica: Trasladar la funcin imagen F (s) desde el origen hasta el punto s0 es equivalante a multiplicar la funcin original f (x) por el factor exponencial imaginario eis0 x . Consecuencia: Si la funcin original se multiplica por la funcin trigonomtrica sin(s0 x), la funcin imagen se transforma en: F [sin(s0 x)f (x)] = i [F (s + s0 ) F (s s0 )] 2

Comprobacin: Se usa la forma exponencial de la funcin sin(s0 x) y se obtiene: is0 x eis0 x e F [sin(s0 x)f (x)] = F f (x) 2i Como la transformada de Fourier es lineal, se cumple que: is0 x 1 is0 x eis0 x e f (x) = F F e f (x) + F eis0 s f (x) 2i 2i Se aplica la propiedad 4 y se tiene que: 1 is0 x 1 F e f (x) + F eis0 s f (x) = [F (s s0 ) F (s + s0 )] 2i 2i Como1 i

= i se obtiene nalmente:

F [sin(s0 x)f (x)] =

i [F (s + s0 ) F (s s0 )] (2.8) 2 1 [F (s s0 ) F (s + s0 )] (2.9) 2

Que es lo que se quera comprobar. De igual manera se comprueba que: F [cos(s0 x)f (x)] =

Nota: En ambos casos se dice que las frecuencias estn moduladas. Propiedad 5: Esta propiedad establece que derivar la funcin original f (x) equivale a multiplicar la funcin imagen F (s) por el factor imaginario is, esto es: F f 0 (x) = isF (s)

2.1. PROPIEDADES Siempre y cuando f (x) = 0 si x

19

Comprobacin: Por denicin de transformacin de Fourier se tiene que la transformada de la funcin derivada f 0 (x) es: Z 0 F f (x) = eisx f 0 (x)dx se toma esta integral por partes y se obtiene: Z 0 isx f (x) | +is eisx f (x)dx F f (x) = e

pero como l x f (x) = 0 y por la identidad de Euler la funcin eisx = cos (sx) i sin (sx) m es acotada (2.3) y por ser igual a 0 el producto de una funcin acotada por otra que tiende a 0, como es el caso de eisx f (x), se obtiene nalmente: Z 0 F f (x) = is eisx f (x)dx, o lo que es lo mismo: Que es lo que se quera comprobar. Esta propiedad puede ser vista desde otra ptica: Multiplicar la funcin imagen F (s) por el factor imaginario is es equivalente a derivar una vez el original f (x). Si bajo las mismas condiciones se generaliza este resultado n veces, se obtiene: i h F f (n) (x) = (is)n F (s) De acuerdo a esta consecuencia, multiplicar la funcin imagen F (s) por el factor is elevado al esponente n implica derivar la funcin original f (x) ese mismo nmero de veces. Propiedad 6: Segn esta propiedad, derivar una vez la funcin imagen F (s) equivale a multiplicar la funcin original f (x) por el factor imaginario ix . Esto es: F 0 (s) = F [ixf (x)] Comprobacin: Para comprobar esta propiedad es suciente derivar la imagen F (s), que slo es funcin de la variable s. Esto es: Z F (s) = eisx f (x)dx, por la regla de Leibnitz (6.0) se tiene que: s s Z isx e f (x)dx, F 0 (s) = s lo que posible porque la funcin eisx = cos (sx) + i sin (sx) es uniformemente continua, por lo que: Z F 0 (s) = eisx (ix)f (x)dx, F f 0 (x) = isF (s)

20


lo que signica que el original f (x) est multiplicado por ix, o sea: F 0 (s) = F [ixf (x)] Que es lo que se quera comprobar. Esta propiedad puede ser vista desde otra ptica: Multiplicar la funcin original f (x) por el factor imaginario ix es equivalente a derivar una vez la funcin imagen F (s). Consecuencia: Repetir n veces esta propiedad da por resultado: F [(ix)n f (x)] = F(n)

(s)

Segn este resultado, es equivalente multiplicar la funcin original f (x) por el factor (ix)n que derivar la funcin imagen F (s) ese mismo nmero n de veces. Propiedad 7: Segn esta propiedad, la transformada de Fourier de la funcin original que vale 0 fuera del intervalo (l, l) y vale 1 dentro de este intervalo da por resultado 2 sin(ls) . La s funcin original, a la que se hace referencia, se representa con el smbolo l (x), se llama funcin caracterstica del intervalo y se dene como: 0 si |x| > l l (x) = 1 si |x| < l De lo anteriormente dicho, se debe demostrar que: F [l (x)] = 2 sin(ls) . s

Observacin: Realmente, no se trata de una propiedad sino de un ejemplo de transformada de Fourier. Lo que sucede es que se la trata como propiedad por su importancia para encontrar soluciones en cuadratura de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Comprobacin: Por denicin de transformada de Fourier, la imagen de la funcin l (x) se calcula como: Z F [l (x)] = l eisx dx.

El intervalo de integracin (, ) se divide en tres intervalos: (, l); (l, l) y (l, ) Z Z l isx Entonces, l e dx = 1eisx dx,l

puesto que la funcin l vale 0 fuera del intevalo (l, l), en cuyo interior vale 1. Z l eisx l | Pero, 1eisx dx = is l l es la integral de esta funcin exponencial, que al ser evaluada da por resultado: eisx l 2 eisl eisl | = . F [l (x)] = is l s 2i

2.1. PROPIEDADES

21

Lo que halla entre parntesis es la forma exponencial de la funcin sin(ls). Por lo tanto, se concluye que: 2 sin(ls) F [l (x)] = s Que es lo que se quera comprobar. Observacin: La funcin caracterstica de un intevalo l (x) se puede expresar con ayuda de la funcin (x) de Heaviside, puesto que l (x) = (x + l) (x l) = (l |x|), para todo x real. En otras palabras se cumple que: F [u(l |x|)] = 2 sin(ls) s

Observacin: Para comprobar las propiedades 8, 9 y 10 se debe tener en cuenta que la funcin imagen F (s) = F [f (x)] es en general compleja, en otras palabras, que: F (s) = R(s) + i Im(s) Donde R(s) es la parte real y Im(s) es la parte imaginaria de la funcin imagen F (s), respectivamente. Esto sucede porque al sustituir en la transformacin de Fourier la identidad de Euler, eisx = cos(sx) i sin(sx), se obtiene: Z Z F (s) = F [f (x)] = eisx f (x)dx = [cos(sx) i sin(sx)] f (x)dx Esta integral se separa en dos integrales: Z Z F (s) = F [f (x)] = f (x) cos(sx)dxi f (x) sin(sx)dx Ambas integrales son funciones de la variable s; la integral que se encuetra primera en esta expresin es real y la segunda, imaginaria. Se representa a estas integrales como: Z R(s) = f (x) cos(sx)dx y Z Im(s) = f (x) sin(sx)dx Y son la parte real y la parte imaginaria de la funcin F (s). Propiedad 8: Si la funcin original f (x) es par entonces la funcin imagen F (s) es real. Comprobacin: Se debe comprobar que si f (x) es par, entonces F (s) = R(s), es decir, Im(s) = 0. Esto se comprueba fcilmente porque sin(sx) es una funcin impar y del clculo integral se conoce que el producto de una funcin par por una funcin impar es una funcin impar y que la integral de una funcin impar es igual a cero, se obtiene entonces que: Z Im(s) = f (x) sin(sx)dx = 0 y que, por lo tanto: Z F (s) = f (x) cos(sx)dx = R(s)

22 Que es lo que se quera comprobar. Propiedad 9: imaginaria.


Si la funcin original f (x) es impar entonces la funcin imagen F (s) es

Comprobacin: De manera anloga al caso anterior, se tiene que comprobar que si la funcin original f (x) es impar, entonces la funcin imagen F (s) = i Im(s), porque se tiene que R(s) = 0. Lo que se obtiene fcilmente puesto que la funcin cos(sx) es una funcin par y del clculo integral se conoce que el producto de una funcin impar por una funcin par es impar y que la integral de una funcin impar es igual a cero, por lo tanto: Z R(s) = f (x) cos(sx)dx = 0 y: Z F (s) = i f (x) sin(sx)dx = i Im(s) Que es lo que se quera comprobar. Propiedad 10: Si la funcin original f (x) no es ni par ni impar, entonces la imagen F (s) es compleja R R Comprobacin: Como en este caso ni R(s) = f (x) cos(sx)dx ni Im(s) = f (x) sin(sx)dx valen 0, se tiene por lo tanto que la funcin imagen: Z Z F (s) = f (x) cos(sx)dx i f (x) sin(sx)dx, es compleja. Que es lo que se quera comprobar. Propiedad 11: Esta propiedad, una de las ms usadas en el anlisis armnico, puede ser llamada propiedad de la doble transformada de Fourier porque se toma nuevamente la transformada de Fourier a la imagen F (s) de la funcin original f (x), esto es: F [F (x)] = F {F [f (x)]} = 2f (s) Comprobacin: Se sabe que la transformada inversa de Fourier es igual a: Z 1 1 f (x) = F [F (s)] = eisx F (s)ds 2

En esta igualdad se sustituye la variable x por la variable s y la variable s por la variable x y se obtiene: Z 2f (s) = eisx F (x)dx, por lo tanto: F [F (x)] = F {F [f (x)]} = 2f (s)

se hace en esta igualdad la sustitucin x = x y se obtiene: Z 2f (x) = eisx F (s)ds

luego de multiplicar por 2 ambos lados de esta igualdad y de escribir la funcin exponencial eisx de una manera adecuada se obtiene: Z 2f (x) = eix(s) F (s)ds

2.1. PROPIEDADES Que es lo que se quera comprobar.

23

Propiedad 12: Segn esta propiedad, la transformada de Fourier de la convolucin de dos funciones originales f (x) y g(x) es igual al producto de las correspondientes imgenes F (s) y G(s), esto es: F [(f g) (x)] = F [f (x)] F [g (x)] = F (s) G (s) Comprobacin: Como se ve en (1.1), la convolucin de dos funciones f (x) y g(x) no es ms que la siguiente integral: Z [f g] (x) = f (z)g(xz)dz. Se toma la transformada de Fourier a ambos lados de esta igualdad: Z f (z)g(x z)dz , F [f g] (x) = F pero por denicin de transformada de Fourier, se tiene que: Z Z Z isx F f (z)g(x z)dz = e f (z)g(x z)dz dx, lo que es una integral doble. Por el teorema de Fubine se altera el orden de integracin en esta integral doble y se obtiene de inmediato: Z Z Z Z isx isx e f (z)g(x z)dz dx = e g(x z)dx f (z)dz. Se sabe por la propiedad 3 que: Z F [g(x z)] = eisx g(xz)dx = eisz G(s), luego se tiene que: Z Z Z g(x z)dx f (z)dz = eisz G(s)f (z)dz

e

isx

Como la funcin G(s) no depende de la variable z, se la puede extraer de esta integral, de donde se obtiene: Z Z

F [f g] (x) =

f (z)e

isz

G(s)dz =

e

isz

f (z)dz G(s)

Puesto que la expresin que se halla entre parntesis es F (s), se obtiene nalmente que: F [(f g) (x)] = F (s)G(s) Que es lo que se quera comprobar.

24


Propiedad 13: Tomar la transformada inversa de Fourier del producto de dos imgenes F (s) y G(s) es equivante a convolucionar los respectivos originales f (x) y g(x): F 1 [F (s)G(s)] = [(f g)] (s) Comprobacin: La propiedad 13 se obtiene directamente la propiedad 12, para lo cual se toma la transformada inversa de Fourier a la igualdad: F [(f g) (x)] = F (s)G(s) Esto es: F 1 {F [(f g) (x)]} = F 1 [F (s)G(s)] , de donde se obtiene: F 1 [F (s)G(s)] = [f g] (x) Que es lo que se quera comprobar. Propiedad 14: Segn esta propiedad, tomar la transformada inversa de Fourier a la convolucin de las funciones imgenes F (s) y G(s) es equivalente a multiplicar por 2 el valor del producto de dos funciones originales f (x) y g(x): F 1 [(F G) (s)] = 2F 1 [F (s)] F 1 [G(s)]

F 1 [(F G) (s)] = 2f (x)g(x)

Comprobacin: Se aplica la denicin de transformada inversa de Fourier a la convolucin, y puesto que la convolucin de la funcin F (s) con la funcin G(s) es: Z [F G] (s) = F (z)G(sz)dz, la transformada inversa de esta convolucin es: F F1

[F G] (s) = F Z

1

Z

F (z)G(s z)dz . O lo que es lo mismo: Z eisx

1

1 F (z)G(s z)dz = 2

Z

F (z)G(s z)dz ds.

La expresin obtenida es una integral doble. Por el teorema de Fubine se altera el orden de integracin en esta integral doble y se obtiene: Z Z Z Z

1 2

e

isx

1 F (z)G(s z)dz ds = 2

F (z)dz

e

isx

G(s z)ds

Se hace hora la sustitucin q = s z, s = q + z y ds = dq de donde se obtiene que: Z Z Z Z 1 1 isx i(q+z)x F (z)dz e G(s z)ds = F (z)dz e G(q)dq 2 2

2.1. PROPIEDADES

25

Se factora la expresin i(q + z)x que halla en el exponente de la funcin que se integra y se obtiene: Z Z Z Z 1 1 i(q+z)x iqx izx F (z)dz e F (z)dz e e G(q)dq G(q)dq = 2 2 Puesto que la funcin exponencial imaginaria eizx no depende de la variable q se la extrae de la segunda integral y se obtiene la igualdad: Z Z Z Z 1 1 1 F (z)dz eiqx eizx G(q)dq = eizx F (z)dz eiqx G(q)dq 2, 2 2 2 o lo que es lo mismo: Z Z 1 1 izx iqx e F (z)dz e G(q)dq 2 = F 1 [F (s)] F 1 [G(s)] 2 = 2f (x)g(x), 2 2 de donde se obtiene la propiedad 14. F 1 [(F G) (s)] = 2f (x)g(x) Que es lo que se quera comprobar. Propiedad 15: Segn esta propiedad, la transformada de Fourier del producto de dos originales f (x) y g(x) es equivalente a canvolucionar sus correspondientes imgenes F (s) y G(s) y luego dividir este resultado para 2, esto es: F [f (x)g(x)] = 1 [F G] (s) 2

Comprobacin: Esta propiedad se obtiene directamente de la propiedad 14 si se toma la transformada de Fourier a ambos lados de la igualdad: F 1 [(F G) (s)] = 2f (x)g(x) Efectivamente: F{F 1 [F G] (s)} = F[2f (x)g(x)] = 2F[f (x)g(x)] de donde: F [f (x)g(x)] = Que es lo que se quera comprobar. Consecuencia: De la propiedad 15 se concluye que Z Z 1 f (x)g(x)dx = F (x)G(x)dx. 2 Efectivamente, si en la frmula (2.10) se aplica la denicin de transformada de Fourier (2.1) y la denicin de convolucin (1.1), se obtiene: 1 [F G] (s) (2.10) 2

26


Z

e

isx

1 f (x)g(x)dx = 2

Z

F (z)G(sz)dz,

para el valor de s = 0 se obtiene: Z 1 f (x)g(x)dx = 2 Z

F (z)G(z)ds, o lo que es lo mismo: Z 1 f (x)g(x)dx = 2 Z F (x)G(x)dx (2.11)

Esta igualdad permite calcular integrales complicadas, como se ver en ejemplos posteriores. Propiedad 16: Qu le sucede a la imagen cuando se integra el original en el intervalo variable R x (, x), o sea si se calcula el valor de la integral F f (q)dq . Esta propiedad se va a demostrar cuando se estudie las funciones generalizadas. Denicin: En las ecuaciones de la fsica matemtica a menudo se debe resolver problemas en un mayor nmero de dimensiones que uno, por lo que se hace necesario trabajar con la transformada de Fourier de las funciones de varias variables. Se da ahora resultados sencillos relacionados con esta transformacin. Se dene la transformada de Fourier para la funcin f (x) de varias variables a: Z ei(x,s) f (x)dx = F (s) (2.12) F [f (x)] =Rn

Donde x = (x1 , x2 , ...., xn ) Rn , s = (s1 , s2 , ...., sn ) Rn y (x, s) = x1 s1 +x2 s2 +.....+xn sn R En este caso, la transformada inversa de Fourier para varias variables se dene como:1

F

1 [F (s)] = (2)n

Z

ei(x,s) F (s)ds = f (x) (2.13)Rn

Todas las propiedades de la transformada de Fourier comprobadas para una dimensin pueder ser de manera anloga comprobadas para n dimensiones.

2.1.2.

Ejemplos Resueltos

A continuacin se desarrolla una serie de ejemplos de aplicacin de la transformada de Fourier en una variable y sus propiedades: Ejemplo 6: Sea la funcin f (x) denida 0 1+ x 2 f (x) = 1 x 2 0 como: si si si si x (, 2) x (2, 0) (2.14) y (0, 2) x (2, )

2.1. PROPIEDADES Comprobar que la transformada Fourier de la funcin f (x) es: F [f (x)] = 2 sin2 s (2.14)* s2

27

Solucin: Con base en la denicin de transformada de Fourier se tiene: Z 2 Z 0 x x isx dx+ dx. 1+ e eisx 1 F[f (x)] = 2 2 2 0 Se separa esta igualdad en cuatro integrales: F[f (x)] = Z Z0

2

Z eisx dx+

Z 2 Z 2 x x eisx dx+ eisx dx eisx dx 2 2 2 0 00 2

Lo que es igual a: F[f (x)] = Z2

e

isx x

0

2

Z dx

e

isx x

0

2

Z dx

2

e

isx

0

Z dx+

2

eisx dx

0

En la primera y la tercera integral se hace el cambio de variable x por x y se obtiene:2

2

0

Z 2 isx Z 2 Z 2 eisx + eisx e + eisx dx dx = 2 x cos(sx)dx x cos(sx)dx 2 2 0 0 02

Se integran por partes estas integrales y se obtiene: 2 Z2

0

Z cos(sx)dx

x cos(sx)dx = 0 1+ F 1 0

0

1 cos(2s) 2 sin2 s = . Por lo tanto: s2 s2x 2 x 2

si si si si

x (, 2) 2 sin2 s x (2, 0) = y (0, 2) s2 x (2, ) (x)eax , a > 0, donde

Ejemplo 7: Encontrar que la transformada de Fourier de la funcin (x) es la funcin de Heaviside, es: F ((x) eax ) = a s +i 2 a2 + s2 a + s2

Solucin: Por denicin de transformacin de Fourier se tiene que: Z ax F [(x)e ] = eisx (x)eax dx Pero la funcin de Heaveside (x) vale 0 si x > 0 y vale 1 si x < 0, por lo tanto: Z eisx

(x)e dx =

ax

Z

0

eisx eax dx, luego de sumar los exponentes se obtiene:

28 Z0

CAPTULO 2. TRANSFORMADA DE FOURIER eisx ax

e dx =

F [(x)eax ] =

e(ais)x 0 | a is Este resultado por la identidad de Euler es igual a: e(ais)x 0 eax [cos(sx) i sin(sx)] 0 | = | a is a is

Z

0

e(ais)x dx, luego de tomar esta integrar se obtiene:

1 La fraccin obtenida vale ais en 0 y en vale 0 porque la funcin cos(sx) i sin(sx) es acotada, ver (2.3), y la funcin eax 0 cuando x , luego, por ser el producto de una funcin acotada por otra que tiende a cero, se tiene:

Por lo tanto, luego de evaluar esta fraccin en cero se obtiene: F [(x)eax ] = e(ais)x 0 1 | = a is a is

eax [cos(sx) i sin(sx)] 0 si x a is

Para separar de la fraccin obtenida la parte real de la imaginaria se multiplica numerador y denominador por el valor conjugado a + is y se obtiene: 1 a + is a + is 1 = = 2 a is a is a + is a + s2 F [(x)eax ] = a2

Por lo tanto:

a s +i 2 2 +s a + s2 Como se ve, la imagen es compleja porque la funcin original no es ni par ni impar, (propiedad 10 de la transformada de Fourier). Ejemplo 8: Comprobar que la transformada de Fourier de la funcin ea|x| , para a > 0, es igual a: 2a F(ea|x| ) = 2 a + s2 El resultado es real (propiedad 8), pues la funcin original es par. Solucin: Con base a la denicin de transformada de Fourier se tiene que: Z a|x| ) = ea|x| eisx dx. Como si x < 0, |x| = x y si x > 0, |x| = x F(e se divide esta integral en dos integrales: Z 0 Z Z a|x| isx isx ax e dx = e e dx+ eisx eax dx e 0

El intervalo (, ) ha sido dividido en dos intervalos (, 0) y (0, ) Z 0 Z Z 0 Z isx ax isx ax (a+is)x e e dx+ e e dx = e dx+ e(ais)x dx. 0 0

2.1. PROPIEDADES Se ha sumado los exponentes de igual base. Z Z 0 e(a+is)x 0 e=(ais)x (a+is)x | | e dx+ e(ais)x dx = a + is a is 0 0

29

Se ha integrado las funciones exponenciales. En ambas fracciones se sustituye la identidad de Euler: eisx = cos(sx) + i sin(sx) y se obtiene: e(a+is)x a + is | =0

e(ais)x | = a is 0 eax [cos(sx) + i sin(sx)] 0 eax [cos(sx) + i sin(sx)] | |0 (2.15) a + is a is

Puesto que a > 0 y la funcin cos(sx) i sin(sx) es acotada, ver (2.3), al tomar en el primer sumando de (2.15) el lmite de eax si x se obtiene 0, en cambio para x = 0 se obtiene: 1 eax [cos(sx) + i sin(sx)] |x=0 = a + is a + is Por la misma razn en el segundo sumando de (2.15) se obtiene que el lmite de eax si x vale 0; en cambio para x = 0 el resultado es: eax [cos(sx) i sin(sx)] 1 |x=0 = a is a is

En consecuencia, al tomar los lmites de (2.15) se obtiene: 1 eax [cos(sx) i sin(sx)] 0 eax [cos(sx) i sin(sx)] 1 | |0 = + a + is a is a + is a is La suma de estas fracciones da: 1 1 a is + a + is + = a + is a is a2 + s2 De donde, luego de eliminar la parte imaginaria, se obtiene nalmente: F(ea|x| ) = a2 2a (2.15)* + s2

Como se anticip, con base en la propiedad 8, la imagen es una funcin real. Ejemplo 8.1: Se aprovecha ahora del resultado (2.15)* del ejemplo 8 para obtener la transformada de Fourier de la funcin: a = ea|s| F (a2 + x2 ) Solucin: Esto se hace con base en la propiedad 11, o sea, tomando la doble transformada de Fourier al resultado del ejemplo 8: i h 2a a|x| =F 2 F F e . a + x2

30


La respuesta se obtiene de inmediato, precisamente: 2a = 2ea|s| = 2ea|s| , puesto que |s| = |s| . F 2 a + x2 Por lo tanto, luego de simplicar para 2 y de dividir para ambos lados de esta igualdad, pues el valor de , por linealidad de la transformada de Fourier, puede ser escrito en cualquier lado de la igualdad, se obtiene: a = ea|s| (2.16) F [f (x)] = F (a2 + x2 ) De donde: h i F 1 ea|s| = a (a2 + x2 ) (2.16)*

Conclusin: El resultado (2.16) implica, por denicin de transformada de Fourier, que: Z a dx = ea|s| eisx 2 + x2 ) (a Por la frmula de Euler eisx = cos(sx) i sin(sx) se obtiene que esta integral es: Z a dx = ea|s| [cos(sx) i sin(sx)] 2 + x2 ) (a Pero como la parte imaginaria de esta integral vale 0 (ya que el valor de la intragral es real), se obtiene nalmente que: Z a dx = ea|s| . Si s > 0 se obtiene: cos(sx) 2 + x2 ) (a Z a cos(sx) dx = eas (a2 + x2 ) Este resultado asombra por la sencillez con que ha sido obtenido, puesto que por otros mtodos es muy difcil de calcular. Ejemplo 8.2: Encontrar que la transformada de Fourier de la funcin f (x) = ea|x| cos (x) es: i 1 h a|x| cos(x) = + F e 2 (s + )2 + 2 (s )2 + 2

Solucin: Para resolver este problema se usa la propiedad de linealidad de la transformada de Fourier, la forma exponencial se la funcin cos(sx) y la propiedad 4 de la transformada de Fourier, esto es: cos(x) = eix + eix y 2 F eis0 x f (x) = F (ss0 ). Por lo que:

2.1. PROPIEDADES eix + eix . Entonces: f (x) = ea|x| cos(x) = ea|x| 2 h i i ix + eix 1 h a|x| ix a|x| a|x| e F e F e + F ea|x| eix cos(x) = F e e = 2 2 Se aplica la propiedad 4 y el resultado del ejemplo 8 y se obtiene: i 1 h a|x| cos(x) = + F e 2 (s + )2 + 2 (s )2 + 2

31

Que es la imagen buscada. Evidentemente, tambin es cierto que: i h i a|x| sin(x) = F e 2 (s + )2 + 2 (s )2 + 2 Ejemplo 9: A continuacin se ve un ejemplo interesante de la aplicacin de la propiedad 11 de la transformacin de Fourier. Comprobar que: sin(lx) = l (s) F x Donde l (s) es la funcin caracterstica del intervalo (l, l) . Solucin: Se conoce por la propiedad 7 que: F(l ) = 2 sin(ls) , luego por la propiedad 11 se tiene que: s 2 sin(lx) F [F(l )] = F = 2l (s) x

Como la funcin l (x) es par, se obtiene: 2 sin(lx) F = 2l (s) x Finalmente, luego de simplicar para 2 ambos lados de esta igualdad, se comprueba que: sin(lx) = l (s) (2.17) F x Consecuencia: La igualdad (2.17) signica, por denicin de transformacin de Fourier, que: Z sin(lx) dx = l (s) eisx x Se sustituye en esta igualdad la frmula de Euler eisx = cos(sx) i sin(sx) y se obtiene: Z sin(lx) dx = l (s) [cos(sx) i sin(sx)] x

32


Al igualar las partes imaginarias de esta igualdad se obtiene que: Z sin(sx) sin(lx) dx = 0 x Este resultado pudo tambin ser obtenido mediante el siguiente razonamiento: la expresin a integrarse es el producto de tres funciones impares, por lo tanto es impar, y del clculo integral se conoce que la integral de una fucin impar vale cero. Por coincidir las partes reales se tiene que: Z cos(sx) sin(lx) dx = l (s) x Como se ve, esta integral es prcticamente imposible de tomar por mtodos convencionales; sin embargo, el resultado ha sido obtenido de una manera relativamente fcil y signica que si s (l, l) como entonces: l (s) = 1, se cumple que: Z cos(sx) sin(lx) dx = si s > l o s < l x y si s (l, l) se tiene que l (s) = 0 y el valor de esta integral es igual a 0: / Z cos(sx) sin(lx) dx = 0 si s < l o s > l x Ejemplo 10: Comprobar que la transformada de Fourier de la distribucin normal o distribucin de Gauss f (x) =(x) 1 e 22 2 2

es:

)2 2 s2 + 2is 1 (x 2 2 2 e = e F 2

Este ejemplo es importante porque permite que se apliquen sucesivamente algunas propiedades de la transformada de Fourier. Solucin: Por lo antes dicho, se busca: (x)2 1 2 En la que: F [ f (x, , )] = F e 2 2(x)2 1 f (x, , ) = e 22 , 2

es la distribucin normal con media , varianza 2 y desvo standart . Se encuentra primero 2 la transformada de Fourier de la funcin f (x) = ex , lo que se hace con base en la denicin (2.1) de la transformada de Fourier: Z 2 2 eisx ex dx. F ex =

2.1. PROPIEDADES En esta integral se suman los exponentes y se obtiene: Z Z 2 isx x2 e e dx = e(isx + x ) dx Se aade y se quita en el exponente el valor de Z Z s2 s2 2 (isx+x2 ) e dx = e(x + isx 4 ) 4 dxs2 4 con

33

lo que:

El primer sumando de este exponente es igual a: Z Z is 2 s2 s2 s2 2 e(x + isx 4 ) 4 dx = e(x + 2 ) e 4 dx Se extrae el factor e 4 por no depender de la variable x, y se obtiene: Z 2 2 x s4 =e F e e(x +is 2 2 s2

) dx

Para calcular esta integral se hace el siguiente cambio de variable: x+ is = q; dx = dq Lo lmites de la integral permanecen sin alteracin. 2

Con el que, luego de hacer las sustituciones correspondientes, se obtiene que: Z Z 2 2 2 2 (x + is ) s4 s4 2 e dx = e e eq dq Como se conoce por ( 2. 38) que: Z 2 eq dq = se obtiene nalmente:

Se encuentra de inmediato la imagen F (s) de la ley normal para el caso cuando la media = 0, esto es, para la distribucin:x2 1 e 22 Su transformada de Fourier es: f (x, 0, ) = 2

Z 2 s2 s2 2 eq dq = e 4 Que es la imagen buscada. F ex = e 4

2 2 1 1 x x2 2 e 2 = F e F 2 2 Este paso se da por la propiedad de linealidad de la transformada de Fourier. Por la propiedad 2 s s2 1 2 F [f (ax)] = |a| F a , y porque: F ex = e 4 Por lo que se tiene que: 1 2 F ex 2 2

1 1 e = . 1 2 2

s 1 2 4

2

34


Se hacen las simplicaciones correspondientes y se obtiene: 2 2 s2 1 x2 2 e F = e 2 2 Finalmente, se encuentra la imagen F (s) de la ley normal para el caso general cuando 6= 0. En este caso se aplica la propiedad 3 de traslado paralelo de la funcin original, o sea: F [f (x x0 ] = eix0 s F (s). Lo que permite encontrar que: )2 2 s2 1 (x 2 2 e = e 2 eis , F 2 puesto que = x0 . Luego de sumar los exponentes se obtiene que: (x )2 2 s2 + 2is 1 2 2 e 2 F (2.18) = e 2 Que es lo que se quera calcular. En esta igualdad se toma la transformada inversa de Fourier y se deduce que: 2 2 + (x )2 1 1 s 2 2is F (2.19) e = e 2 2 Ejemplo 10.1: Comprobar el resultado de la siguiente integral: Z x2 cos xdx = e 4 e Solucin: Como se acaba de ver en el ejemplo 10: F(ex ) =2

s2 e 4

Lo que por denicin de transformada de Fourier signica que: Z 2 x2 F(e ) = eixs ex dx Se sustituye en esta integral la frmula de Euler y se obtiene: Z Z s2 2 2 eixs ex dx = (cos sx i sin sx) ex dx = e 4 Igualando las partes reales de esta expresin, se obtiene: Z s2 2 cos (sx) ex dx = e 4 si se hace s = 1 se obtiene nalmente: Z Que es lo que se quera comprobar. ex2

cos xdx = 4 e

2.1. PROPIEDADES Ejemplo 10.2: Encontrar que la Transformada de Fourier de la funcin f (x) = xex es: i s2 2 F xex = se 4 2 Solucin: En este caso se tiene que: 2 2 F xex = iF(ixex ) iF(ixex ) = iF 0 (ex ) s2 2 En el ejemplo 10 se obtuvo que F(ex ) = e 4 , por lo que: s2 2 iF 0 (ex ) = i( e 4 )0 Luego de derivar esta expresin, se obtiene: i s2 x2 F xe = se 4 2 Conclusin: Este resultado implica que: Z s2 i 2 eisx xex dx = se 4 22 2 2

35

por propiedad 6 de la Transformada de Fourier, se tiene que:

Se sustituye en esta integral la frmula de Euler, se obtiene: Z s2 i 2 se 4 [cos(sx) i sin(sx)] xex dx = 2 Se igualan las partes imaginarias de esta expresin: Z s2 1 2 se 4 [sin(sx)] xex dx = 2 Como la funcin que se integra es par, se obtiene nalmente: Z s2 2 x ex sin(sx)dx = se 40

Denicin: En la teora de las probabilidades se conoce que si la variable aleatoria X se distribuye con la ayuda de la ley de distribucin f (x) y la variable aleatoria Y se distribuye con ayuda de la ley de distribucin g(x), si adems estas variables aletorias son independientes, la variable aletoria Z = X + Y se distrubuye con ayuda de la convulucin de ambas distribuciones; esto es, la variable aleatoria Z se distribuye con ayuda de la ley de distribucin h(x) obtenida como: Z h(x) = [f g] (x) = f (y)g(x y)dy Ahora se va a ver algunos ejemplos de cmo la transformada de Fourier se aplica para resolver problemas de esta teora que por mtodos tradicionales son complicados y a veces imposibles de obtener:

36


Ejemplo 11: Sea el conjunto de leyes normales: 1 e fi (x, i , i ) = 2 i (xi )22 2 i

Calcular h(x) = [f1 (x, 1 , 1 ) f2 (x, 2 , 2 )] (x). Solucin: Se toma la transformada de Fourier de esta convolucin, para ello se aplica la propiedad 12 y se obtiene: F [(f1 f2 ) (x)] = F [f1 (x)] F [f2 (x)] = F [h(x)] = H(s) Como por (2.18): (x )2 2 s2 + 2is 1 2 2 = e Se tiene entonces que: F e 2 2 F [f1 (x)] F [f2 (x)] = e 2 s2 1 i1 s 2

e

2 s2 2 i2 s 2

= H(s)

Luego de sumar los exponentes de igual base, se obtiene:

H(s) = e

(2 + 2 )s2 i( 1 22

1 +2 )s

=e

(2 + 2 )s2 +2i (1 + 2 )s 1 22

= F [(f1 f2 ) (x)]

(2.20)

Como se busca h(x) = F 1 [H(s)] y adems se conoce por (2.19) que: 2 2 + (x )2 1 1 s 2 2is e 2 F e = 2 se toma la transformada inversa de Fourier a la imagen H(s) y se obtiene: " # (2 + 2 )s2 +2i (1 + 2 ) s 2 1 1 1 2 e = F [H(s)] = F 1 = p 2 e 2 1 + 2 2(x (1 + 2 ))2 2 2 + 2 1 2

(

)

= [(f1 f2 ) (x)] = h(x)

(2.21)

Como se ve, se ha obtenido la siguiente ley: q 2 + 2 h(x) = [f1 (x, 1 , 1 ) f2 (x, 2 , 2 )] (x) = f x, 1 + 2 , 1 2 (2.22)

Dicho lo mismo con otros smbolos: Z (y1 )2 (xy2 )2 1 1 2 e 2 e dy h(x) = [f1 f2 ] (x) = 2 1 2 2 = 1 e p 2 2 1 + 2 2(x(1 +2 ))2 2 2 + 2 1 2

(

)

(2.23)

Observacin: Este resultado es bastante complicado de obtener por mtodos convecionales, porque requiere de clculos engorrosos; sin embargo, mediante la transformada de Fourier se lo

2.1. PROPIEDADES

37

ha obtenido de una manera relativamente fcil. El mismo indica que si se suman dos variables aleatorias independientes, cada una de las cuales se distribuye con ayuda de la ley normal, la distribucin resultante tambin es una ley normal en la que la media es igual a la suma de las medias 1 y 2 , la varianza 2 es igual a la suma de las varianzas 2 + 2 y el desvo standar 1 2 p = 2 + 2 se obtiene a partir de las varianzas 2 y 2 extrayendo la raz cuadrada de la 1 2 1 2 suma de estas varianzas. Este resultado puede ser generalizado para n variables al repetir n veces la misma operacin, esto es, como: 1 e fi (x, i , i ) = 2 i (xi )22 2 i

Entonces:

q 2 + 2 + ... + 2 [f1 f2 ... fn ] (x) = fn x, 1 + 2 + ... + n , 1 n 2 = e p 2 2 1 + 2 + ... + 2 n 2 1(x(1 +2 +...+n ,))2 2 2 + 2 +...+ 2 n 1 2

(

)

(2.24)

Las concluciones se dejan para que las haga el propio lector. Ejemplo 12: Encontrar la convolucin h(x) de dos distribuciones de Cauchy [fa fb ] (x), con parmetros a > 0 y b > 0 Solucin: Para resolver este problema se aprovecha de la propiedad 12 de la transformada de Fourier, por la cual, la imagen de la convolucin de dos originales es el producto de las correspondientes imgenes. En este caso se tiene que: h(x) = [fa fb ] (x). Como se conoce por (2.16) el resultado del ejemplo 8.1. a a = ea|s| Donde la funcin fa (x) = , F 2 + x2 ) 2 + x2 ) (a (a es la distribucin de Cauchy con parmetro a > 0. Se tiene, luego de aplicar la propiedad 12: b a = H(s) F [h(x)] = F {[fa fb ] (x)} = F (a2 + x2 ) (b2 + x2 ) De donde se obtiene: b a F F {[fa fb ] (x)} = F (a2 + x2 ) (b2 + x2 ) Como se conoce la imagen de cada factor, se obtiene: F {[fa fb ] (x)} = ea|s| eb|s| Pero como la base es la misma se suman los exponentes y se obtiene: F {[fa fb ] (x)} = e(a+b)|s| = H(s).

38


Para obtener h(x) se toma la transformada inversa de Fourier a la imagen H(s). h i [fa fb ] (x) = h(x) = F 1 e(a+b)|s| h i F 1 e(a+b)|s| = Pero como: F 1 ea|s| = (a2 a , se obtiene entonces que: + x2 ) (2.25) a+b i h (a + b)2 + x2

De donde se concluye que la convolucin buscada es: [fa fb ] (x) = [fa fb ] (x) = b a (a2 + x2 ) (b2 + x2 ) a+b i (2.26) h (a + b)2 + x2

Observacin: Este resultado indica que si se suman dos variables aleatorias independientes, cada una de las cuales se distribuye con ayuda de la distribucin de Cauchy con parmetros a > 0 y b > 0, la distribucin resultante tambin es una distribucin de Cauchy cuyo parmetro es la suma a + b de estos parmetros; dicho de otra manera: Z b a b a h i dy = 2 + x2 ) 2 + x2 ) 2 + y2 ] (a (b [a b2 + (x y)2 a b (a2 + x2 ) (b2 + x2 ) = a+b i O tambin: h (a + b)2 + x2

[fa fb ] (x) = fa+b (x) (2.27)

La ley resultante es bastante complicada de obtener por mtodos convencionales; si la misma se generaliza, se obtiene:

[fa1 fa2 fan ] (x) = fa1 +a2 +...+an (x) a1 + a2 + ... + an i (2.27)* h [fa1 fa2 fan ] (x) = (a1 + a2 + ... + an )2 + x2 En la que: fai (x) = a 2i donde cada: ai > 0 ai + x2 fa (x) =(x) x a a e

Ejemplo 13: Sean las distribuciones exponenciales con parmetros a > 0 y b > 0 : y fb (x) =(x) x b b e

Hallar la convolucin de ambas distribuciones, esto es, encontrar: Z x [fa fb ] (x) = (x) fa (y)fb (x y)dy0

2.1. PROPIEDADES

39

Solucin: Esto es as porque ambas funciones a convolucionar contienen la funcin (x) de Heaviside (ver problema 1 del captulo 1 de este texto). Luego sustituir con las correspondientes funciones se obtiene la convolucin: Z x y xy e ae b (x) x (x) x e a e b = (x) dy a b a b 0 Luego de realizar calculos elementales en los exponentes, se obtiene: Z Z (x) x y xy (x) x x ba y ae b dy = b e e e ab dy ab 0 ab 0 Se han sumado los exponentes (porque tienen igual base) y como la funcin e b no depende de la variable y se la ha extrado de la integral. Luego de integrar, se obtiene nalmente: x (x) x (x) x (x) x e a e b = [fa fb ] (x) = e a e b (2.28) a b ab Que es la distribucin buscada. Ejemplo14: Resolver el ejemplo 13 cuando las constantes a y b son iguales, esto es, convolucionar las funciones de distribucin exponencial: fc (x) =(x) x c c ex

y fc (x) =

(x) x c c e

Solucin: En este caso, y por conveniencia posterior, se da al parmetro de la distribucin exponencial el valor de c > 0. Como no se puede sustituir en la respuesta del ejemplo 13 el valor de a = b = c, se realiza de nuevo el clculo de esta convolucin. (x) x (x) x e c e c c c e y xy c c

= (x) = ex c

Z

x

0

e c e c dy Puesto que: c c

y

xy

e

y luego de extraer de la integral la funcin e c ( por no depender de la variable de integracin y), se obtiene: Zy xy

x

x

(x)

0

e c e c (x) x dy = 2 e c c c c

Z

x

1dy

0

Se toma esta integral y se obtiene nalmente:x (x) x (x) x (x) e c e c = 2 xe c c c c

Ejemplo 14.1: Convolucionar tres veces la distribucin exponencial del ejemplo 14. Solucin: Para convolucionar por tercera vez esta distribucin, por la propiedad de asocitividad de esta operacin, se calcula la convolucin de: (x) x (x) x e c Esto es: xe c c2 c

40 (x) x (x) x (x) x e c e c e c = (x) c c c

CAPTULO 2. TRANSFORMADA DE FOURIER Zx

0

ye c e c dy c2 c

y

xy

Luego de efectuar en los exponentes de esta integral las mismas operaciones elementales que se x hicieron en en ejemplo 14 y de extraer de la integral la funcin e c , porque no depende de la variable de integracin y, se obtiene: Z Z (x) x y xy (x) x x ye c e c dy = 3 e c ydy Se toma esta integral y se obtiene: c3 0 c 0 (x) x (x) x (x) x (x) x x2 e c e c e c = 3 ec c c c c 2! Ejemplo 14.2: Convolucionar por cuarta vez la distribucin del ejemplo 14, o sea, calcular la convolucin de: (x) x x2 (x) x e c Esto es: ec c3 2! c Z x 2 y y 1 xy (x) x (x) x (x) x (x) x c c c c = (x) e e e e e c e c dy 3 c c c c c 0 c 2!

Solucin: En este caso, y luego de repetir las mismas operaciones de los ejercicios anteriores, se obtiene: Z (x)x3 x (x) x y2 y xy e c e c dy = 4 e c c4 0 2 c 3! Ejemplo 14.3: Convolucionar n veces la distribucin exponencial del ejemplo 14. Solucin: Para generalizar este resultado se debe recordar la funcin (), denida mediante la siguiente integral: Z ex x1 dx () =0

Esta funcin depende slo del parmetro y su propiedad fundamental es: ( + 1) = () Lo que se comprueba fcilmente cuando el argumento > 0, puesto que: Z ex x dx Esto por denicin de la funcin () . ( + 1) =0

Se integra por partes esta integral y se obtiene: Z Z x x e x dx = e x |0 + ex x1 dx0 0

El primer sumando vale 0 porque si > 0 la funcin ex x 0 si x y vale 0 en el lmite inferior porque ex x |x=0 = e0 0 = 0. Se obtiene entonces: Z Z ex x dx = ex x1 dx = () (2.29) ( + 1) =0 0

2.1. PROPIEDADES Que es lo que se quera comprobar.

41

La propiedad (2.29) ( + 1) = () permite calcular fcilmente el valor de esta funcin cuando el argumento es entero: () = ( 1 + 1) = ( 1) ( 1) = ( 1) ( 2 + 1) = ( 1)( 2) ( 2) As hasta: () = ( 1)( 2)( 3) 4 3 2 1 (1) Se calcula ahora el valor de (1) , el mismo que por denicin vale: Z Z ex x11 dx = ex dx = ex p = 1 Luego: (1) = 00 0

() = ( 1)( 2)( 3) 4 3 2 1 1 = ( 1)!

Con lo que se acaba de comprobar que la funcin () es la generalizacin del concepto del factorial numrico. Sus valores han sido denidos para cualquier entero y positivo, pero pueden ser encontrados para cualquier valor real e incluso complejo, y existen numerosas tablas con los valores de esta funcin. Continuando con el ejemplo 14.3 (que nos motivo hablar de la funcin ()), cuando se conx voluciona veces la distribucin exponencial fc (x) = (x) e c se obtiene: c (x) x (x) x (x) x (x) 1 x e c e c e c = x e c = f (x) c c c ()c Aqu, se ha generalizado un resultado evidente. Se conoce la distribucin obtenida con el nombre de distribucin gamma. Ejemplo 15: Encontrar la distribucin que se obtiene como la convolucin de dos distruciones gamma con parmetros > 0, > 0 y c > 0, esto es, encontrar: Z [f f ] (x) = f (y)f (x y)dy. Donde: e c y 1 y f (x) = (x) () c e c y 1 f (x) = (x) () c Solucin: Se sustituyen los valores de f y f y, con base en (1.7) del ejemplo 1, se obtiene: Zy xy y y

x

[f f ] (x) = (x)

0

e c y1 e c (x y)1 dy () c () c

Luego de realizar las mismas operaciones del ejemplo 14.1, se obtiene: (x) Zx

0

e c y 1 e c (x y)1 e c dy = (x) () c () c () c () c

y

xy

x

Z

x

y 1 (xy)1 dy

0

42


Se representa como: Z x I(, ) = (x) y 1 (xy)1 dy. De donde se obtiene que:0

e (x) () c () c

x c

Se observa de inmediato que: Zx

Z

x

y

1

(xy)

1

0

e c dy = I (, ) () () c+

x

I(, ) = (x)

0

y 1 (xy)1 dy = (x)x1 (x)x1

Se toma la transformada de Fourier al primero de estos factores. Por la denicin (2.1) se tiene que: Z F (x)x1 = eisx (x)x1 dx Como (x) = 0 si x < 0, se obtiene: Z Z isx 1 (x)x dx = eisx x1 dx e0

Se calcula ahora el valor de I(, ). Para ello se toma la transformada de Fourier a esta funcin y por la propiedad 12 de la transformada de Fourier se obtiene que: i h F [I (, )] = F (x)x1 (x)x1 i h F [I (, )] = F (x)x1 F (x)x1

Se hace el cambio de variable isx = q con lo que se obtiene: Z Z q 1 dq isx 1 e x dx = eq is is 0 0

() . Con el mismo procedimiento se calcula: F (x)x1 = (is) i () h Por lo tanto: F (x)x1 = (is) i () () h () () = F (x)x1 F (x)x1 = (is) (is) (is)+

Se extrae de esta integral el factor (is) , por no depender de la variable q, y se obtiene: Z 1 () eq q 1 dq = , puesto que (is) 0 (is) Z eq q 1 dq, se tiene entonces que: () =0

2.1. PROPIEDADES Se han sumado los exponentes de igual base. Como se conoce que: 1 () F = (x)x1 , se puede fcilmente calcular: (is) " # " # () () 1 ( + ) 1 () () F F = ( + ) (is)+ (is)+

43

Se ha aplicado la propiedad de linealidad de F 1 y se ha multiplicado numerador y denominador por el factor ( + ) . Donde se obtiene que: " # () () 1 ( + ) () () F (x)x+1 Por lo tanto: = + ( + ) ( + ) (is) I(, ) = (x)x1 (x)x1 = (x) Zx

0

y1 (x y)1 dy =

()() + 1 x De donde: = (x) ( + ) e c ()() + 1 e c x I (, ) = (x) + + ( + ) () () c () () c Luego de simplicar para () () se obtiene: e c y 1 e c (x y)1 dy = [f f ] (x) = (x) () c 0 () c x (x) x + 1 e c = f+ (x) = + ( + ) c Por lo tanto: [f f ] (x) = f+ (x), (2.30) es la ley de convolucin de dos funciones de distribucin gama con parmetros > 0 y > 0. Al resultado obtenido se le da la siguiente interpretacin: La suma de las variables aleatorias X + Y = Z, cada una de las cuales se ditribuye con ayuda de la distribucin gamma con parmetros > 0 y > 0 respectivamente, la distribucin obtenida como resultado de convolucionar estas dos distribuciones es tambin una distribucin gamma con parmetro + . Otro resultado importante, que vale recalcar, es que se ha calculado de manera elemental el valor de la siguiente integral: Z x ()() + 1 x y 1 (xy)1 dy = (x) (x) ( + ) 0 En la que si adems la variable x > 0, se obtiene que: Z x ()() + 1 x y 1 (x y)1 dy = (2.31) ( + ) 0 Zxy x y x x

(2.30)

44


Resultado vlido para cualquier x > 0, > 0 y > 0. Esta integral es bastante complicada de tomar por mtodos convecionales; basta sealar que incluso para valores enteros de y el clculo no es fcil, no se diga para valores racionales o irracionales de estas variables. La frmula (2.30) [f f ] (x) = f+ (x) se generaliza para n distribuciones de tipo gamma con parmetros: 1 2 ...n Esto es: [f1 f2 ..... fn ] (x) = f1 +2 +....+n (x) O lo que es lo mismo: f1 +2 +....+n (x) =(x)e c x(1 +2 +...+n )1 (1 +2 +...+n )c(1 +2 +...+n )x

(2.32)

Si en esta igualdad se da los valores c = 2 y 1 = 2 = .... = n = 1 . Se obtiene: 2x n h i (x)e 2 x 2 1 f 1 f 1 ..... f 1 (x) = n n 2 2 2 2 22

Funcin que se representa como 2 (x) De manera que: n 2 (x) n (x)e 2 x 2 1 = (2.33) n n 22 2x n

La funcin 2 (x) se llama distribucin ji cuadrado y al valor n se llama nmero de grados de n libertad de la distribucin ji cuadrado, que es, tal vez, la distribucin ms importante de la estadstica. Ejemplo 16: Obtener la funcin: B(, ) = ()() ( + )

Solucin: En el ejemplo 15 se obtuvo que: Zx

y 1 (xy)1 dy =

0

()() + 1 x ( + )

(2.34)

Si en esta igualdad se da el valor particular de x = 1 se obtiene: Z1

0

y 1 (1 y)1 dy =

()() = B(, ) (2.35) ( + )

La funcin as obtenida se conoce con el nombre de funcin B(, ), (se lee, funcin beta de alfa, beta). Ejemplo 16.1 Obtener la frmula de integracin: Z 2

sin21 x cos21 xdx =

0

1 ()() (2.36) 2 ( + )

2.1. PROPIEDADES

45

2 Solucin: Si en la funcin B(, ) se hace el cambio de variable y = sin x, puesto que si y [0, 1] x 0, 2 , se obtiene: Z 1 Z 1 2 y 1 (1 y)1 dy = (1 sin2 x)1 d sin2 x sin2 x

Z

0

1

y y

1

Z

0 1 1

(1 y) (1 y)

1

dy = dy =

Z Z

0

2

sin22 x cos22 2 sin x cos xdx sin21 x cos21 xdx =

0 2

1

0

0

1 ()() 2 ( + )

Frmula que permite calcular fcilmente integrales de tipo: Z Z 2 2 1 ()() sinn x cosm xdx = sin21 x cos21 xdx = 2 ( + ) 0 0 En las que n = 2 1 y m = 2 1. Ahora se va a ver algunas apliaciones de esta frmula para diferentes valores de n y m. Primero se ver (2.36) cuando ambos valores de m y n son impares, por ejemplo, 5 y 7 respectivamente, de donde: = 3 y = 4 Z 2 1 (3)(4) sin5 x cos7 xdx = 2 (7) 0 Como para valores enteros de se tiene que: () = ( 1)! Z 2 1 1 2! 3! = sin5 x cos7 xdx = 2 6! 125 0 Como se ve, el clculo es bastante simple. Se calcula ahora la integral (2.36) cuando uno de los exponentes es par y el otro es impar, por ejemplo: n = 5 y m = 6, por lo tanto = 3 y = 7 . 2 O sea, se calcula la integral: Z 2

sin x cos xdx =

5

6

0

Z

2

sin231 x cos2 2 1 xdx =

7

0

1 (3)( 7 ) 2 2 (3 + 7 ) 2

En este caso, como por (2.29) (3) = 2 y ( + 1) = () , se obtiene que: 13 11 11 11 7 (3 + ) = ( ) = ( + 1) = ( ) 2 2 2 2 2 11 9 11 9 7 11 9 7 7 7 ( + 1) = ( + 1) = ( ) (3 + ) = 2 2 2 2 2 2 2 22 2 Entonces se tiene que: Z Z 2 5 6 sin x cos xdx =0 2

2

sin231 x cos2 2 1 xdx

7

Z

0

sin5 x cos6 xdx =

0

1 2

2( 7 ) 8 2 11 9 7 7 = 693 2 2 2 ( 2 )

46


Se calcula la integral (2.36) cuando ambos valores de n y m son pares, por ejemplo: n = 4 y m = 6, de donde: = 5 y = 7 2 2 O sea, se debe calcular la integral: Z Z 2 2 5 7 1 ( 5 )( 7 ) 4 6 2 2 sin x cos xdx = sin2 2 1 x cos2 2 1 xdx = 2 ( 5 + 7 ) 0 0 2 2 En este caso se tiene por (2.29) que: 5 ( ) 2 7 ( ) 2 7 ( ) 2 5 7 ( + ) 2 2 Z 3 3 3 3 1 31 1 = ( + 1) = ( ) = ( + 1) = ( ); 2 2 2 2 2 22 2 5 5 5 5 3 = ( + 1) = ( ) = ( + 1) 2 2 2 2 2 53 3 53 1 531 1 = ( ) = ( + 1) = ( ) y 22 2 22 2 222 2 = (6) = 5! = 120 Con lo que:

2

sin x cos xdx = sin4 x cos6 xdx =

4

6

Z

0 2

Z

2

sin2 2 1 x cos2 2 1 xdx = 452 ( 1 ) 2 64 120

5

7

0

1 2

0 31 1 531 1 2 2 ( 2 ) 2 2 2 ( 2 )

120

Para calcular el valor de 2 ( 1 ) se aprovecha de que: 2 Z 2

sin21 x cos21 xdx = sin2 2 1 x cos2 2 1 xdx = sin x cos xdx = =0 01 1

0 2

1 1 ()() En la que se hace = = , se obtiene: 2 ( + ) 2 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 1 ( 1 )( 1 ) 2 2 2 2 = . Por otra parte = 2 ( 1 + 1 ) 2(1) 2 2 2 Se igualan ambas respuestas y se obtiene: 2

Z

Z

0 2

0

2 ( 1 ) 2 2

Z

2

dx =

0

Con lo que se han visto los tres casos posibles. Por lo visto, si ambos exponentes son pares el resultado termina en . Ejemplo 16.2: Encontrar el signicado de la igualdad: ( 1 ) = 2 R Solucin: Para ello se sabe que () = 0 ex x1 dx. Se da en esta integral el valor de = 1 2 y se obtiene: Z Z x 1 e x 1 1 dx = e x2 dx = 2 x 0 0

1 de donde: 2 ( ) = (2.37) 2 2 Z 2 45 sin4 x cos6 xdx = Por lo tanto: 7680 0

2.1. PROPIEDADES Se hace en esta integral el cambio de variable x = q 2 y se obtiene: Z q2 Z x Z e e 2 dx = p 2qdq = 2 eq dq = 2 x q 0 0 0 Z 2 q 2 Como la funcin e=q es par, De donde: e dq = 2 0

47

se obtiene que tambin: Z 0 q 2 Luego, al sumar ambos resultados se obtiene: e dq = 2 Z Z 0 2 2 eq dq+ eq dq = O lo que es lo mismo:0

Resultado muy importante por cierto.

Z

eq dq =

2

(2.38)

Ejemplo 16.3 Generalizar el resultado (2.35): Z x ()() + 1 x y 1 (x y)1 dy = ( + ) 0 Solucin: En general, para cualquier valor de y tales que: + = 1;o sea: = 1 . Se obtiene que: Z x 1 y 1 (x y) dy = ()(1 ) Por ejemplo si = se obtiene que: 3 0 Z x 2 1 dy p Asimismo que: = 3 2 y3 3 3 xy 0 Z x dy = () () , etc. 1 0 xy y Integrales muy dciles de calcular por mtodos clsicos. Ejemplo 17: Comprobar la propiedad de simetra de la funcin B (, ) . Esto es, que se cumple: B (, ) = B (, ) . Solucin: En el ejemplo 16 se vio (2.35) que: Z 1 ()() = B (, ) y 1 (1y)1 dy = ( + ) 0 Se hace el cambio de variable x = 1 y y se obtiene que: Z 1 Z 0 y 1 (1y)1 dy = (1x)1 x1 (dx)0 1

48


El signo menos permite intercambiar los lmites de la integral, entonces: Z0

(1x)1

1 1

x

(dx) =

1

Z

Z

1

x1 (1x)1 dx Esto es lo mismo que:

0

x1 (1x)1 dx = B(, )

0

Que es lo que se quera demostrar. Ejemplo 18: Sea la distribucin uniforme f (x) denida como: f (x) = Calcular la convolucin [f (x) f (x)] (x) Solucin: Por denicin de convolucin, se debe calcular: [f (x) f (x)] (x) = Se puede ver que f (y) es: f (y) = 0 si y (0, 1) / 1 si y (0, 1) 0 si x (0, 1) / 1 si x (0, 1) R f (y)f (x y)dy

y tambin que la funcin f (x y) es: f (xy) = 0 si x y (0, 1) / 1 si x y (0, 1) Rx0

de donde, si x (0, 1) [f (x) f (x)] (x)

Rx f (y)f (x y)dy = 0 1,1dy = y |x 0 = x

Para el intervalo x (1, 2) la convolucin es igual a:

R1 R1 [f (x) f (x)] (x) = x1 f (y)f (x y)dy = x1 1,1dy = y |1 x1 = 1x+1 = 2x

Si x (2, ),se obtiene que: [f (x) f (x)] (x) = 0, lo mismo si x < 0. Por lo tanto: 0 x [f (x) f (x)] (x) = 2x 0 si si si si x (, 0) x (0, 1) y (1, 2) x (2, ) (2.39)

La distribucin as obtenida se llama distribucin de Simpson.

2.2. EJERCICIOS PROPUESTOS Ejemplo 18.1: Sea la variable aleatoria X distribuida con la ayuda de la ley de Simpson: x si x (0, 1) 2 x si x (1, 2) f (x) = 0 si x (0, 2) / y la variable aleatoria Y distribuida con la ayuda de la ley uniforme: 0 si x (0, 1) / g(x) = 1 si x (0, 1)

49

Encontrar la ley de distribucin h(x) = [f g] (x) de la variable aleatoria Z denida como Z = X + Y donde X y Y son variables aleatorias independientes. Respuesta: si x < 0 0 1 2 x si x (0, 1) 2 x2 + 3x 3 si x (1, 2) h(x) = 2 1 2 2 x 6x + 9 si x (2, 3) 0 si x > 3

2.2.

Ejercicios Propuestos

2 sin xdx = cos xdx = 2. 2 +1 0 0 2 Z a p 4 2 3 4 a a 2 = x2 a2 x2 dx = 3. 2 (3) 16 0 q B (p, q) 4. B (p, q + 1) = p+q p B (p, q) 5. B (p + 1, q) = p+q Z 2

Comprobar que: Z 2 1 1 1 , sin x cos xdx = B 1. 2 2 2 01

Z

2

1

6. B (p + 1, q + 1) = 7. B (p, q) = 8. 9. Z

(p + 1) (q + 1) (p + q + 2)

Z

0

0

xq 1 dx (1 + x)p + q 0 4 3 5 x 4 4 = 2 dx = (2) (1 + x) 2 1 dx 1 = = 3 1 + x 3 3 3

Z

2 2 2 3 3

50 10. 11. 12. Z1

CAPTULO 2. TRANSFORMADA DE FOURIER dx 1 = n n n 1 + x 1 1 1 = n n n sin n m m1 m x 1 = dx = 1 n 1 + x n n n n sin m n P ara : n > 1 P ara : 0 < m < n

(x a)m (b x)n (b a)m + n + 1 B (m + 1, n + 1) dx = P ara : 0 < a < b, c > 0 (x + c)m + n + 2 (b + c)m + 1 (a + c)n + 1 a Z 2 n + 1 n + 1 1 13. 1 = tann xdx = P ara |n| < 1 2 2 2 2 cos n2 0b

Z

Z

0

0

2.3.

Teorema de Parseval

Este teorema establece que la energa de una seal real, calculada en el dominio del tiempo, es igual a la energa calculada en el dominio de la frecuencia; en otras palabras, para la transformada de Fourier: F [f (x)] = F (s), se cumple el teorema o igualdad de Parseval: Z Z 1 2 |F (s)|2 ds (2.40) |f (x)| dx = 2 Este teorema es muy importante porque, como ya se ha indicado, en procesamiento de seales la transformada de Fourier suele considerarse como la decomposicin de una seal f (x) en componentes de frecuencias diferentes, es decir, F (s) corresponde al espectro de frecuencias de la seal f (x). Por otra parte, el cuadrado del valor absoluto de ambas funciones representa la energa que porta la correspondiente onda, por lo tanto, esta igualdad es la ley de conservacin de energa. Demostracin: Se vio en la consecuencia de la propiedad 15 que: Z Z 1 F (s)G(s)ds (2.11) f (x)g(x)dx = 2 Por otra parte, la transformada de Fourier de la funcin conjugada f de la funcin f es: Z F(f ) = eisx f (x)dx, pero por la identidad de Euler se tiene que: [cos(sx) i sin(sx)] f (x)dx, por otra parte esto es lo mismo que: Z Z [cos(sx) i sin(sx)] f (x)dx = [cos(sx) + i sin(sx)] f (x)dx, o tambin: Z Z isx e f (x) dx, adems, evidentemente: [cos(sx) + i sin(sx)] f (x)dx = isx e f (x) dx = Z eisx

Z

eisx f (x)dx =

Z

Z

f (x)dx , tambin es evidente que:

2.3. TEOREMA DE PARSEVAL Z Z i(s)x f (x)dx = e f (x)dx = F (s) , de donde se obtiene nalmente que: F(f ) = F (s)

51

e

isx

Ahora bien, si se hace al original g = f la imagen de g ser G = F , por lo que: Z Z Z 1 1 f (x)f (x)dx = F (s)F [(s)] ds = F (s)F (s)ds 2 2 Con lo que, el teorema de Parserval queda demostrado: Z Z 1 2 |F (s)|2 ds (2.40) |f (x)| dx = 2

2.3.1.

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 19: Comprobar la igualdad de Parseval para la funcin: f (x) = e|x| Solucin: Primero, en ejemplo 8 se vio que la transformada de Fourier de la funcin e|x| es: F(ea|x| ) = F(e|x| ) = Z 2a Por lo tanto, se da el valor de 1 al parmetro a y se obtiene: a2 + s2

2 = F (s) 1 + s2 Por lo que el lado derecho de la igualdad de parseval es igual a: 1 2 1 |F (s)| ds = 22

Z

2 1 + s2

2

ds =

1 4 2

Z

ds (1 + s2 )2

Puesto que la funcin que se integra es par, se obtiene: Z Z 2 ds ds 4 = Se hace el cambio de variable s = tan q con lo que: 2 )2 0 (1 + s2 )2 (1 + s 1 2 Z Z 2

4 |F (s)| ds = 2

Z Z Z

2

0

Luego de hacer las correspondientes simplicaciones, se obtiene: 1 2 4 |F (s)| ds = 2 2

dq cos2 q 1 +

sin2 q cos2 q

2

cos2 qdq

0

Por frmula muy conocida de la trigonometra, se tiene que: 4 Z 4 cos qdq = 2 2

0

0

1 + cos 2q dq Luego de integrar se tiene que: 2

52 1 2 Z |F (s)|2 ds = 2

CAPTULO 2. TRANSFORMADA DE FOURIER sin 2q 2 1+ |0 = 1 2

R Por otra parte, |f (x)|2 dx da como resultado: Z Z 2 |f (x)| dx = e2|x| dx, por el concepto de |x| se separa esta integral en dos integrales Z e2|x| dx = Z0

Z e2x dx+

e=2x dx,

0

integrales que son fciles de calcular y cuyos resultados son: Z Z 0 Z 1 1 2 2x |f (x)| dx = e dx+ e=2x dx = + = 1 2 2 0 Lo que comprueba el teorema de Parseval para este ejemplo. Ejemplo 20. Comprobar la igualdad de Parseval para la funcin f (x) = (x)ea|x| , donde (x) es la funcin de Heaviside y la constante a > 0 Solucin: Se busca la transformada de Fourier de la funcin (x)ea|x| , que por tratarse de una funcin que no es ni par ni impar debe ser compleja (propiedad 10 de la transformada de Fourier). La imagen de esta funcin, con base en la denicin de transformacin de Fourier (2.1), es igual a: i Z h a|x| = eixs (x)ea|x| dx F (x)e Puesto que la funcin de Heaviside (x) vale cero para los x < 0 y vale 1 para los x > 0, se tiene que: Z Z ixs a|x| (x)e dx = 1eisx eax dx e0

Esto es cierto puesto que |x| = x para los x > 0. Esta integral es igual a: Z Z isx ax e e dx = e(a+is)x dx, se ha sumado los exponentes.0 0

El valor de esta integral es igual a: Z

e(a+is)x dx =

0

e(a+is)x | (a + is) 0

Por la identidad de Euler sto es equivalente a: e(a+is)x eax [cos(sx) i sin(sx)] | = |0 (a + is) 0 (a + is)

2.3. TEOREMA DE PARSEVAL

53

Por cuanto a > 0 la funcin exponecial eax 0 cuando x y como cos(sx)i sin(sx) es una funcin acotada, (ver en (2.3)) se obtiene que todo el numerador eax [cos(sx) i sin(sx)] 0, por otra parte, para x = 0 el mismo numerador vale 1, por lo que toda la fraccin vale: 1 eax [cos(sx) i sin(sx)] |0 = (a + is) a + is1 Para separar de la fraccin a+is la parte real de la imaginaria, se multiplica el numerador y el denominador de la misma por el valor conjugado a is, luego de lo cual se obtiene:

Nota: Como se anticip, la imagen F (s) (de acuerdo a la propiedad 10) es compleja. R 1 Se procede de inmediato a calcular 2 |F (s)|2 ds. Se conoce que el cuadrado del valor absoluto de una expresin compleja es igual al cuadrado de la parte real ms el cuadrado de la parte imaginaria. Por lo tanto: Z Z a2 1 s2 1 |F (s)|2 ds = + 2 ds, 2 2 (a2 + s2 )2 (a + s2 )2 la suma de fracciones dentro de la integral da: Z Z a2 ds s2 1 1 + 2 , ds = 2 + s2 )2 2 )2 2 + s2 2 (a (a + s 2 a el resultado de esta integral es muy conocido: Z s 1 ds 1 arctag a | . Al evaluar esta expresin se obtiene: = 2 a2 + s2 2 a Z s 1 1 1 1 arctag a | = = = |F |2 ds 2 a 2a 2 2 2a 2

1 a is = a + is a is i h F (x)ea|x| =

a is . De donde: a2 + s2 a is a s = 2 i 2 = F (s). 2 + s2 2 a a +s a + s2

Por la denicin de funcin de Heaveside esta integral vale 0 para x < 0. Luego, ya que para x > 0 se tiene que |x| = x. Z h Z i2 a|x| (x)e dx = e2ax dx,0

Por otra parte, el lado izquierdo de la igualdad de Parseval es: Z h Z i2 (x)ea|x| dx. |f |2 dx =

Se calcula esta integral y se obtiene: Z Z e2ax 1 2ax | = = |f |2 dx, lo que comprueba el teorema de Parseval. e dx = 2a 0 2a 0

54


2.4.

Ejercicios propuestos

Comprobar la igualdad de Parseval 1. Para la distribucin normal:(x )2 1 e 22 f (x, , ) = 2

Para las funciones: 2. f (x) = (x)eax ; a > 0 donde (x) es la uncin de Heaviside. x si x (0, 1) 3. f (x) = 2 x si x (1, 2) 0 si x (0, 2) / si x (, 2) 0 1 + x si x (2, 0) 2 4. f (x) = 1 x si y (0, 2) 2 0 si x (2, ) 0 si x < 2a 2a + x si 2a < x < 0 5. f (x) = 2a x si 0 < x < 2a 0 si x > 2a

Captulo 3

Funciones GeneralizadasUna funcin generalizada es un objeto matemtico que generaliza el concepto de funcin. Su uso es indispensable en muchas ramas de la Matemtica, la Fsica y la Ingeniera, y fueron introducidas por la dicultad para encontrar la solucin de ciertos problemas de la fsica matemtica, de la mecnica , de la mecnica cuntica, del electro magnetismo, etc, en los que, adems de las funciones continuas, que describen el comportamiento de variables continuas (masa, fuentes de calor, impulsos de cualquier tipo, etc), se hace indispensable tambin el uso de funciones discontinuas, que concentran su accin en intervalos muy pequeos (masa puntual, fuente puntual de calor, impulso instantneo, etc). Una de estas funciones fue la de Heaviside, denida como 0 si x < 0 (x) = que fue introducida en 1898 por el ingeniero elctrico ingls Heaviside para 1 si x > 0 resolver ecuaciones diferenciales en la teora de los circuitos elctricos e indica que cuando el circuito est desconectado vale 0 y cuando est conectado vale 1. En 1926, el fsico ingls Dirac introdujo para la mecnica cuntica el smbolo funcional (x), llamado funcin delta, y cuyo desarrollo origin el nacimiento de las funciones generalizadas. Desde el punto de vista de Dirac, la funcin (x) representa la densidad de una carga unitaria situada en el origen de coordenadas; si la magnitud de esta carga es m su densidad es (x) = m(x). Por lo que al smbolo (x) tiene R 0 si x 6= 0 la propiedad de valer: (x) = y ser adems tal que su integral: (x)dx = 1 si x = 0 Se observa de inmediato que (x) no es una funcin en el sentido clsico de la denicin de funcin, pues no existe ninguna funcin que tenga estas propiedades, pues no es ningn valor numrico, tambin se nota que la denicin anterior es contradictoria con la idea bsica del clculo integral, por la cual si una funcin es identica a cero en todos sus puntos menos en uno, su integral debe valer cero, puesto que: Z Z Z 0 (x)dx + (x)dx = 0 + 0 6= 1 (x)dx = 0

Lo anterior signica que no es posible aplicar los resultados del clculo integral y diferencial a la funcin (x) de Dirac, pues no se trata de una funcin en el sentido ordinario del clculo. Tambin, como se ver un poco ms adelante, hay una relacin bastante estrecha y sencilla entre la funcin (x) de Heaviside y la funcin (x) de Dirac, exactamente: 0 (x) = (x) lo que no tiene el mnimo sentido matemtico desde el punto de vista del anlisis clsico. 55

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CAPTULO 3. FUNCIONES GENERALIZADAS

Las funciones generalizadas se usan para obtener soluciones de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, tambin juegan un rol preponderante en el procesamie

Bueno Rodolfo-Laplace

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