Bueno cuadernillo_033

GOBIERNO DEL ESTADO DE MXICO

TECNOLGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DEL ORIENTE DEL ESTADO DE MXICO

DIVISIN DE INGENIERA INDUSTRIAL

ELABORACIN DE CUADERNILLO DE APUNTES:

FISICA 2

ELABORADO POR: ING. ROSALO MARTN MARN FERNNDEZ

LOS REYES, LA PAZ, ESTADO DE MXICO

2009.

Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de Mxico

INDICE Pg. Unidad 1 Sistemas Coordenados y Clculo vectorial. 1.1 Coordenadas Cartesianas: Puntos, campos vectoriales y escalares. Operaciones con vectores. Gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano 1.2 Coordenadas Cilndricas: Puntos, campos vectoriales y escalares. Operaciones con vectores. Gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano 1.3 Coordenadas Esfricas: Puntos, campos vectoriales y escalares. Operaciones con vectores. Gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano 1.4 Transformacin de Coordenadas de un punto a otro. 1.4.1 Dado un punto o campo escalar en cualquier sistema coordenado, transformarlo a los otros dos sistemas coordenados 1.4.2 Dado un vector o campo vectorial en cualquier sistema coordenado transformarlo a los otros dos sistemas coordenados. 1.5 Diferenciales de longitud, rea y volumen en los diferentes sistemas de coordenadas. 1.6 Postulados fundamentales de campos electromagnticos. Unidad 2 Electrosttica 2.1 Campos electrostticos en vacio 2.1.1 Ley De Coulomb e intensidad de campo elctrico 2.1.2 Campos Elctricos debidos a distribuciones continas de carga 2.1.3 Densidad de flujo elctrico 2.1.4 Ley de Gauss (Ecuacin de Maxwell). Aplicaciones de esta ley 2.1.5 Potencial elctrico. Relacin entre E y V (Ecuacin de Maxwell). 2.1.6 El dipolo elctrico 46 48 52 53 56 59 60 2

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2.1.7 Lneas de flujo elctrico y superficies equipotenciales 2.1.8 Densidad de energa en los campos electrostticos 2.2 Campos electrostticos en el espacio material 2.2.1 Corriente de conduccin y corriente de conveccin 2.2.2 Polarizacin en dielctricos constante y resistencia dielctricas 2.2.3 Dielctricos lineales Isotrpicos y Homogneos 2.2.4 Ecuacin de continuidad y tiempo de relajacin 2.2.5 Condiciones de frontera 2.3 Problemas valores en frontera en electrosttica Unidad 3 Campos magnetostticos 3.1 Campos magnetostaticos 3.1.1 Ley de Biot-Savart 3.1.2 Ley de Ampere de los circuitos (Ecuacin de Maxwell) Aplicaciones Ley De Ampere 3.1.3 Densidad flujo magntico (Ecuacin de Maxwell) 3.1.4 Potenciales magnticos escalares y vectoriales 3.2 Fuerzas en materiales y aparatos magnticos 3.2.1 Fuerzas debidas a los campos magnticos 3.2.2 Par de torsin y momento magnticos 3.2.3 El Dipolo magntico, dipolo elctrico 3.2.4 Magnetizacin de materiales. Clasificacin de los materiales magnticos 3.2.5 Condiciones de frontera magntica 3.2.6 Inductores e Inductancia energa magntica 3.2.7 Circuitos magnticos

62 64 64 64 64 69 77 77 78

80 81 90 92 95 95 98 99 100 103 104 105 107


Unidad 4 Termodinmica 4.1 Ley Cero termodinmica temperatura 4.2 Escalas de temperatura 4.3 Expansin trmica slidos y lquidos 4.4 Primera ley de termodinmica 4.4.1 Sistemas cerrados y abiertos 4.4.2 Interacciones calor y trabajo 4.4.3 Capacidad calorfica y calor especifico 4.4.4 Energa interna y entalpia 4.5 Modelo Gas Ideal 4.5.1 Calculo trabajo y de propiedades en procesos 4.6 Segunda ley de termodinmica 4.6.1 Entropa 4.6.2 Maquinas trmicas. Ciclo de Carnot 4.6.3. Potenciales termodinmicos. Relaciones de Maxwell (aqu no lleva la palabra relacin es Ecuaciones de Maxwell) 4.6.4 Ecuaciones generales para cambio de Entropa 109 110 112 113 117 118 119 123 124 134 144 147 148 155 158

Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de Mxico FISICA 2

INDICE Pg. Unidad 1 Sistemas Coordenados y Clculo vectorial. 1.1 Coordenadas Cartesianas: Puntos, campos vectoriales y escalares. Operaciones con vectores. Gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano 1.2 Coordenadas Cilndricas: Puntos, campos vectoriales y escalares. Operaciones con vectores. Gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano 1.3 Coordenadas Esfricas: Puntos, campos vectoriales y escalares. Operaciones con vectores. Gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano 1.4 Transformacin de Coordenadas de un punto a otro. 1.4.1 Dado un punto o campo escalar en cualquier sistema coordenado, transformarlo a los otros dos sistemas coordenados 1.4.2 Dado un vector o campo vectorial en cualquier sistema coordenado transformarlo a los otros dos sistemas coordenados. 1.5 Diferenciales de longitud, rea y volumen en los diferentes sistemas de coordenadas. 1.6 Postulados fundamentales de campos electromagnticos. 02

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1.1 Coordenadas cartesianas.Historia Se de nominan plano car tesiano en ho nor a Ren D escartes (1596-1650), e l clebre filsofo y matemtico francs que q uiso f undamentar s u pens amiento filosfico en la necesidad de tomar un punto de p artida sobre el que edificar todo el co nocimiento. C omo cr eador d e l a g eometra anal tica, t ambin co mienza tomando un p unto de par tida: el si stema d e r eferencia c artesiano, par a p oder representar la geometra plana con referencia a dos rectas perpendiculares que se cortan e n or igen, i deando l as denominadas coordenadas cartesianas. Las coordenadas cartesianas de u n v ector son eq uivalentes a l a r esolucin de su s vrtices Sistema de coordenadas lineal. Un punto cualquiera de una recta puede asociarse y representarse con un nmero real, positivo si est situado a la derecha de O, y negativo si esta a la izquierda. El centro de coordenadas O (letra O) corresponde al valor 0 (cero). Corresponde a l a di mensin u no, q ue se r epresenta co n el ej e X , en el cu al definimos un centro de coordenadas, que se representa con la letra O (de Origen), y un vector unitario en el sentido positivo de las x: . Este sistema de co ordenadas es un espacio vectorial de dimensin uno, y puede aplicarse t odas l as oper aciones co rrespondientes espacios v ectoriales; e n ocasiones tambin se llama recta real (fig.1.1.)

Fig.1.1.1 Recta

Sistema de coordenadas plano. Con un si stema de r eferencia conformado por dos rectas perpendiculares que se cortan en el or igen, cada pun to del plano puede nombrarse mediante d os nmeros: ( x, y) l as coordenadas del pu nto, l lamadas abscisa y or denada, l as distancias ortogonales a los ejes cartesianos.

2


Las ecuaciones de los ejes x e y son respectivamente y=0 y x=0, rectas que se cortan en el origen 0 cuyas coordenadas son, obv iamente, (0,0). Se den omina tambin abscisa al eje x y ordenada al eje y. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en l os que l os signos de l as coordenadas alternan de positivo a negativo; as por ej emplo l as coordenadas del p unto A se rn a mbas posi tivas, mientras que las del punto B sern ambas negativas (fig. 1.2)

Fig. 1.1.2 Sistema de coordenadas cartesianas

Las coordenadas de un punto cualquiera vendrn dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes. Sobre ca da uno d e l os ejes se def inen vectores u nitarios (i y j) co mo aq uellos paralelos a l os ejes y de mdulo (longitud) l a uni dad. E n forma v ectorial, l a posicin del punto A se define respecto del origen con las componentes del vector OA.

La posicin del punto A ser:

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Ntese que la lista de coordenadas puede expresar tanto la posicin de u n punto como las componentes de un vector en notacin matricial. La distancia entre dos puntos cualesquiera vendr dada por la expresin:

Aplicacin del teorema de Pitgoras al tringulo rectngulo ABC.

Un vector cu alquiera AB se de finir r estando, coordenada a coordenada, l as del punto de origen de las del punto de destino:

Evidentemente, el mdulo del vector AB ser la distancia d AB entre los puntos A y B antes calculada.

Sistema de coordenadas espacial. Si tenemos un sistema de referencia formado por tres rectas perpendiculares entre s ( X, Y, Z ), q ue se c ortan en el or igen ( 0, 0, 0) , ca da p unto del espacio p uede nombrarse mediante tres nmeros: (x, y, z) denominados coordenadas del punto, que son las distancias ortogonales a los tres planos principales: los que contienen las parejas de ejes YZ, XZ e YX, respectivamente (fig. 1.3).

Fig. 1.1.3 Coordenadas cartesianas espaciales4


Los planos de referencia XY (z = 0); XZ (y = 0); e YZ (x = 0) dividen el espacio en ocho octantes en los que como en el caso anterior los signos de las coordenadas pueden ser positivos o negativos. La g eneralizacin de l as relaciones anteriores al ca so es pacial es inmediata considerando q ue ahora es necesaria u na tercera co ordenada ( z) par a de finir l a posicin del punto.

Las coordenadas del punto A sern:

La distancia entre los puntos A y B ser:

El segmento AB ser:

Operacin con Vectores Para r ealizar ci ertas operaciones con l os vectores se t iene q ue co nocer l as propiedades de estos. Igualdad d e dos vectores: Dos vectores A y B pued en d efinirse c omo i guales si tienen la misma magnitud y apuntan en la misma direccin. Es decir, A = B, slo si A = B y, los dos actan a lo largo de direcciones paralelas.(fig. 1.4)

Fig. 1.1.4 Como lo podemos observar en esta imagen.5


Adicin: Cuando d os o m s vectores se su man todos deben t ener l as mismas unidades. Existen diferentes mtodos para calcular la suma de vectores, entre los cuales se tienen los siguientes: El mtodo de adicin del tringulo se realiza cuando el vector A se suma al vector B la resultante R es el vector que va desde el origen de A hasta la punta de B (fig 1.5).

Fig. 1.1.5 Adicin del triangulo.

El vector que completa el polgono: Cuando se suman ms de dos vectores, por ejemplo R = A + B + C + D la resultante R, es el vector que va desde el origen del primer vector hasta la punta del ltimo vector, en este caso de A hasta la punta de D (fig. 1.6).

Fig. 1.1.6 Vector que completa el polgono

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La regla de adicin de paralelogramo: En este la construccin en los orgenes de los dos vectores A y B estn juntos y el vector resultante R es la diagonal de un paralelogramo con lados A y B (fig. 1.7)

Fig. 1.1.7 Adicin del paralelogramo.

Algunas de las leyes que se utilizan en la suma de vectores son las siguientes: La ley conmutativa y la asociativa. Cuando la suma de vectores A y B es independiente del orden, lo cual le da origen a la ley conmutativa de la suma, esta se puede observar a continuacin: A+B=B+A

Fig. 1.1.8 Ley conmutativa.7


Cuando tres o ms vectores se suman, y su total es independiente de la forma en la q ue se agruparon los vectores individuales. Lo an tes mencionado r ecibe el nombre de la ley asociativa de la suma (fig. 1.9). A + (B + C) = (A + B) + C

Fig. 1.1.9 Ley asociativa de la suma.

Negativo de un v ector: Es cuando se suma dos vectores con la misma magnitud pero con diferente sentido, lo cual ocasiona que el resultado de la operacin sea cero, como un ejemplo tenemos A + (-A) = 0. Sustraccin: Es la sustraccin de vectores se usa la definicin del negativo de u n vector. Esta operacin se da de l a siguiente manera: A - B en donde el vector - B sumado al vector A.( A - B = A + (-B) ) (fig. 1.10).

Fig. 1.1.10 Sustraccin de vectores8


Multiplicacin d e u n v ector p or un escalar: Si el v ector A se multiplica por u na cantidad esca lar posi tiva m, el pr oducto mA es un v ector q ue t iene l a misma direccin pero la magnitud es mA. Si es m una cantidad escalar negativa, el vector mA est dirigido opuesto a A.

1.2 Coordenadas CilndricasLas coordenadas ci lndricas son un sistema de co ordenadas para de finir la posicin de un punto del espacio mediante un ngulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la direccin del eje. El si stema de coordenadas cilndricas es muy co nveniente en aquellos casos e n que se tratan problemas que tienen simetra de tipo cilndrico o acimutal. Se trata de una versin en t res dimensiones de las coordenadas polares de la geometra analtica plana. Un punto P en coordenadas cilndricas se representa por (,,z), donde: : Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien la longitud de la proyeccin del radiovector sobre el plano XY : Coordenada acimutal, definida como el ngulo que forma con el eje X la proyeccin del radiovector sobre el plano XY. z: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano XY.

Fig. 1.2.1 Coordenadas cilndricas9


Los rangos de variacin de las tres coordenadas son

La coordenada acimutal se hace variar en ocasiones desde - a +. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de llega a alcanzarse el v alor 0, a partir d e ah, vuelve a aumentar, pero aumenta o disminuye en radianes.

Analicemos el punto el punto (x,y,z)

Ahora construyamos un cilindro circular imaginario con eje del cilindro sobre uno de los ejes, que sin prdida de generalidad podra ser el eje z

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Sea

la distancia del origen al punto (x,y,z) y

el ngulo formado entre el eje X

y la proyeccin, P, del punto P

Por lo que podemos definir:

La coordenada z al estar asociada con la altura del cilindro no cambia.11


Analizando esta figura el plano X-Y en l a figura, podemos determinar cules son los valores de :

Observemos que se forma el tringulo rectngulo entre los puntos A, P y el origen por lo que observamos es la hipotenusa del tringulo12


Tambin pod emos observar q ue l a hi potenusa del t ringulo r ectngulo es que del teorema de Pitgoras tenemos:

y

y el ngulo puede quedar determinado, si conocemos x y y, de esa forma:

Relacin con otros sistemas de coordenadas Relacin con las coordenadas cartesianas

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Coordenadas cilndricas y ejes cartesianos relacionados.

Lneas y superficies coordenadas Las lneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas cilndricas, estas son: Lneas coordenadas : Semirrectas horizontales partiendo del eje Z. Lneas coordenadas : Circunferencias horizontales. Lneas coordenadas z: Rectas verticales

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Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son: Superficies =cte.: Cilindros rectos verticales. Superficies =cte.: Semiplanos verticales. Superficies z=cte.: Planos horizontales. Las lneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, ste es un sistema ortogonal.

Base coordenada A partir del sistema de coordenadas cilndricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las lneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones

e inversamente

En el clculo de esta base se obtienen los factores de escala

Disponiendo de la base de coordenadas cilndricas se obtiene que la expresin del vector de posicin en estas coordenadas es

Ntese que no aparece un trmino oculta en los vectores de la base.

. La dependencia en esta coordenada est

Operadores diferenciales en coordenadas cilndricas15


Diferenciales de lnea, superficie y volumen Diferencial de lnea Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilndricas, viene dado por Diferenciales de superficie La expresin general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilneas es complicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, q 3 = cte. el resultado es

y expresiones anlogas para las otras dos superficies coordenadas. En el caso particular de las coordenadas cilndricas, los diferenciales de superficie son =cte: =cte:

z=cte: Diferencial de volumen El volumen de un elemento en coordenadas curvilneas equivale al producto del jacobiano de la transformacin, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que

que para coordenadas cilndricas da

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Operadores diferenciales en coordenadas cilndricas El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas cilndricas. Estas son:

Gradiente

Divergencia

Rotacional

Laplaciano

El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas cilndricas. Estas son:

Gradiente

Divergencia

Rotacional17


Laplaciano

1.3 Coordenadas EsfricasEl si stema de co ordenadas esfricas se basa en l a m isma i dea q ue l as coordenadas polares y se utiliza para determinar la posicin espacial de un punto mediante una di stancia y dos ngulos. E n co nsecuencia, un punto P q ueda representado p or u n conjunto de tres magnitudes: el r adio r , el ng ulo polar o colatitud y el azimuth . Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de 90 a 90 (de -/2 a /2 radianes), siendo el cero el plano XY. Tambin puede variar la medida del acimut, segn se mida el ngulo en sentido reloj o c ontrarreloj, y de 0 a 360 (0 a en radianes) o de180 a 2 +180 ( - a ). Se debe tener en cuenta qu co nvencin utiliza un aut or determinado

Forma escalar de la ecuacin del momento lineal A e fectos de an lisis tericos y par a l a prediccin n umrica del t iempo, e s necesario desa rrollar l a ecu acin v ectorial del m omento l ineal en s us componentes escalares. D ebido a q ue l a desv iacin de l a f orma de l a T ierra respecto a una esfera puede despreciarse para los propsitos meteorolgicos, es conveniente t ambin desa rrollar l as ecuaciones en coordenadas esfricas de manera q ue l a su perficie ( nivel) de l a T ierra co rresponda a una su perficie coordenada. L os ejes de co ordenadas sern en tonces , y , don de es la longitud, es la l atitud y es la di stancia v ertical por enci ma de l a su perficie terrestre. Los vectores unitarios se dirigirn respectivamente hacia el este, norte y18


verticalmente hacia arriba. El sistema de coordenadas definido de esta manera no es un sistema de coordenadas cartesianas, ya que las direcciones de los vectores unitarios no so n co nstantes, si no q ue so n funcin d e l a posi cin sobre l a es fera terrestre. E sta dependencia posi cional de l os vectores unitarios debe t enerse e n cuenta al des arrollar el v ector ace leracin en su s co mponentes sobre l a es fera. Como resultado se obtienen las componentes de la ecuacin del momento lineal en las direcciones este, norte y vertical respectivamente: Los trminos proporcionales a 1/a (siendo a la distancia al centro de la Tierra) se denominan t rminos de curvatura, p ues estos t rminos su rgen co mo consecuencia de la curvatura terrestre. Para los movimientos a escala sinptica en latitudes medias los trminos de cu rvatura pue den d espreciarse (ver el m dulo sobre Anlisis de escala de las Ecuaciones). Las ecuaciones del movimiento son no lineales porque contienen productos de las componentes de l a v elocidad y /o d e l as derivadas de l as componentes de la velocidad, l o c ual hace m uy di fcil r esolver l as ecuaciones. L os trminos advectivos de l a ace leracin so n de m agnitud co mparable a l a aceleracin local. La presencia de procesos de adveccin no lineales complica y dificulta la Meteorologa Dinmica, pero tambin la convierte en apasionante y de enorme inters Analicemos el punto el punto (x,y,z)

Fig.1.3.1 ahora co nstruyamos una es fera con c entro l a co ordenada ( 0,0,0) y de

radio, la distancia del origen al punto. Sea tambin el eje z y el radio.

el ngulo formado por

19


Fig. 1.3.2 Analizando su proyeccin podemos, vemos que se forma un triangulo rectngulo con v rtices el origen, el p unto d e pr oyeccin A y el pun to P, con hipotenusa el radio

Fig.1.3.3 Vemos que debido a que el tringulo descrito es un triangulo rectngulo entonces la proyeccin sobre el plano X-Y es:

20


Fig. 1.3.4 Llamemos proyectemos al ngulo e ntre el ej e Xy la pr oyeccin . A hora

sobre el eje X y sobre el eje Y, entonces, tendremos:

Fig. 1.3.5.

Fig. 1.3.621


Para encontrar cul es el valor de Z analicemos la proyeccin de Z, el cual, como vemos del tringulo rectngulo OPZ.

sobre el eje

Fig. 1.3.7 Luego entonces las transformaciones quedan expresadas como:

Podemos fcilmente ver que co mo l uego e ntonces las transformaciones quedan expresadas como el radio de la es fera s olo es l a di stancia del origen al p unto entonces:

De z podemos determinar

como:

Una v

ez

que hem de x o de y

os

determinado t22

anto

entonces

podemos

despejar


Coordenadas esfricas

Invencin norteamericanaHablando en trminos de coordenadas cartesianas, la convencin usada por los matemticos de Estados Unidos es: P (Radio): es la distancia entre el punto P y el origen. (colatitud o ngulo polar ) de 0 a 180 es el ngulo entre el eje z y la lnea que une el origen y el punto P, y (acimut o longitud) de 0 a 360 es el ngulo entre el eje X positivo y la lnea que une el origen con la proyeccin del punto P en el plano XY.

Convencin no-norteamericana23


Sin embargo, la mayora de los fsicos, ingenieros y matemticos no norteamericanos intercambian los smbolos y , siendo: la colatitud el acimut. Esta es la co nvencin que se si gue en est e ar tculo. E n el si stema internacional, los rangos de variacin de las tres coordenadas son: La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de r llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ah, r; vuelve a aumentar, pero pasa a valer - y aumenta o disminuye en radianes.Coordenadas geogrficas.

Coordenadas geogrficas

Este t ipo d e co ordenadas se us a p ara n ombrar pu ntos sobre una s uperficie esfrica. H ay v arios tipos de c oordenadas geogrficas. El si stema m s clsico y conocido es el q ue emplea l a latitud y l a longitud, q ue pueden mostrase en l os siguientes formatos:

DD Decimal Degree (Grados Polares): ej. 49.500-123.500 DM Degree:Minute (Grados:Minutos.Segundos): ej. 49:30.0-123:30.0 DMS D egree:Minute:Second ( Grados:Minutos:Segundos): ej . 49:30:00123:30:00

24


Otro sistema de coordenadas geogrficas habitual es el sistema de coordenadas UTM. Gradiente, divergente, rotacional y laplaciano Diferencial de lnea Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas esfricas, viene dado por Diferenciales de superficie La expresin general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilneas es complicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, q 3 = cte. el resultado es

y expresiones anlogas para las otras dos superficies coordenadas. En el caso particular de las coordenadas esfricas, los diferenciales de superficie son r=cte: =cte: =cte: Diferencial de volumen El volumen de un elemento en coordenadas curvilneas equivale al producto del jacobiano de la transformacin, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que

que para coordenadas esfricas da Operadores diferenciales en coordenadas esfricas25


El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas esfricas. Estas son: Gradiente

Divergencia

Rotacional

Laplaciano

1.4 Transformacin de Coordenadas de un punto a otro.Cambios de coordenadas. En l a r esolucin d e pr oblemas fsicos y m atemticos es comn l a est rategia d el cambio de coordenadas. En esencia un cambio de coordenadas supone cambiar las variables de las que depende el problema, a otras coordenadas diferentes en las que el pr oblema puede t ener una forma eq uivalente per o m s simple, q ue permite encontrar la solucin con mayor facilidad. Ms formalmente un ca mbio d e co ordenadas puede r epresentarse por un difeomorfismo o apl icacin bi yectiva y diferenciable (con i nversa t ambin diferenciable):

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Este ca mbio d e v ariable per mite por ej emplo r eescribir i ntegrales del si guiente modo:

Para transformar o reescribir ecuaciones diferenciales en trminos de las nuevas coordenadas se usan las leyes de transformacin tensorial:

Tanto en el ca so pl ano co mo en el c aso espacial pueden c onsiderarse d os transformaciones elementales: Traslacin (del origen) y Rotacin (alrededor de un eje). Traslacin del origen.

Fig. 1.4.1Traslacin del origen en coordenadas cartesianas Suponiendo un sistema de coordenadas inicial S1 con origen en O y ejes x e y

Y las coordenadas de un punto A dado, sean en el sistema S1:

Dado un segundo sistema de referencia S227


Siendo los centros de coordenadas de los sistemas 0 y 0, puntos distintos, y los ejes x, x; e y, y paralelos dos a dos, y las coordenadas de O, respecto a S1:

Se dice traslacin del origen, a calcular las coordenadas de A en S2, segn los datos anteriores. Que llamaremos:

Dados los puntos O, O y A, tenemos la suma de vectores:

Despejando

Lo que es lo mismo que:

Separando los vectores por coordenadas:

Y amplindolo a tres dimensiones:

Rotacin alrededor del origen.

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1.4.2 Rotacin alrededor del origen en coordenadas cartesianas Dado un sistema de coordenadas en el plano S1 con origen en O y ejes x e y:

y una base orto normal de este sistema:

Un punto A del plano, se representara en este sistema segn sus coordenadas:

Para un segundo sistema S2 de referencia girado un ngulo , respecto al primero:

Y con una basa orto normal:

Al c lculo de l as co ordenadas d el p unto A, r especto a este se gundo si stema d e referencia, girado respecto al primero, lo llamaremos rotacin alrededor del origen, siendo su representacin:

Hay que t ener en cu enta q ue el pun to y son el m ismo pu nto, ; empleamos un a denominacin u otra pa ra i ndicar el si stema de r eferencia29


empleado. El valor de l as coordenadas respecto a u no u ot ro sistema s que son diferentes, y es lo que se pretende calcular. La representacin de B1 en B2 es:

Dado que el punto A en B1 es:

Con la transformacin anterior tenemos:

Deshaciendo los parntesis:

Reordenando:

Como: ; Tenemos que:

Como sabamos:

Por identificacin de trminos:

30


Que son las coordenadas de A en B2, en funcin de las coordenadas de A en B1 y de . Clculo matricial. Siendo [ T ] l a matriz de t ransformacin y cu yas filas son precisamente l as componentes de los vectores unitarios i ' y j ' respecto de los originales i y j, o si se pr efiere, c uyas columnas son l as componentes de l os vectores unitarios originales en el sistema de referencia rotado.

Escribir l as formulas par a t ransformar l as coordenadas de r ectangulares a esfricas, de ci lndricas a esf ricas, es fricas a ci lndricas y de es fricas a rectangulares hacer un ejemplo de cada uno.

Rectangulares a esfricas Cilndricas a esfricas Esfricas a cilndricas Esfricas a rectangulares

Ejemplo 1. (Rectangulares a esfricas) Una ecuacin cartesiana para el plano 3x + 2y + 6z = 0. Utilizando las formulas ya antes mencionadas esta ecuacin se hace directamente sustituyendo. 3x + 2y + 6z = 0 3 Sen Cos + 2 Sen Sen + 6 Cos = 0.

31


Ejemplo 2. (Esfricas a rectangulares) Obtenga una ecu acin en c oordenadas cartesianas de l a s uperficie si guiente, cuya ecu acin s e h a ex presado en co ordenadas esfricas, e i dentifique l a superficie: Cos = 4. z = 4. La grafica es un plano paralelo al plano xy ubicado 4 unidades por arriba de este.

Ejemplo 3. (Esfricas a cilndricas) Convertir las coordenadas esfricas del punto en coordenadas cilndricas.

Ejemplo 4. (Esfricas a rectangulares) Convertir las coordenadas esfricas del punto en coordenadas rectangulares. Ejemplo 1: Expresar en coordenadas rectangulares el punto (r, , z) = (4,5/6,3). Solucin: Con las formulas de conversin de cilndricas a rectangulares obtenemos. X = 4 cos 5 / 6 = 4 (-3 / 2) = -2 (3). Y = 4 sen 5 / 6 = 4 (1/2) = 2 Z=3 As pues, en coordenadas rectangulares ese punto es (x, y, z) = (-2)( 3, 2, 2). Ejemplo 2: Hallar ecu aciones en coordenadas cilndricas para l as superficies cuyas ecuaciones rectangulares se especifican a continuacin:32


a. x2 + y2 =4z2 b. y2 = x

Solucin a) Por l a se ccin pr ocedente s abemos que l a g rafica de x 2 +y2 =4z2 es un co no con su eje en el eje z. si sustituimos x2 + y 2 por r 2, obtenemos su ecuacin en cilndricas. x2 +y2 =4z2 r2 = 4z2 Solucin b) La superficie y2 = x es un cilindro parablico con generatrices paralelas al eje z. Sustituyendo y2 por r2 sen2 y x por r cos , obtenemos: y2 = x r2 sen2 = r cos r(r sen2 cos ) = 0 r sen2 cos = 0 r =cos / sen2 r cosec ctg ecuacin rectangular. sustituir y por sen , x por r cos . agrupar terminos y factorizar dividir los dos mienbros por r despejar r ecuacin en cilndricas. ecuacin en coordenadas rectangulares. ecuacin en coordenadas cilndricas.

Ntese que esta ecuacin incluye un punto con r = 0, as que no se ha perdido nada al dividir ambos miembros por el factor r.

Ejemplo 3: Hallar l a ecu acin en coordenadas rectangulares de l a g rafica de terminada por la ecuacin en cilndricas:33


r2 cos 2 + z2 + 1 = 0 Solucin: r2 cos 2 + z2 + 1 = 0 r2 (cos2 sen2 ) + z2 = 0 r2 cos2 r2 sen2 +z2 = -1 X2 y2 +z2 = -1 Y2 x2 z2 = 1 sustituir r cos por x y r sen por y ecuacin rectangular. ecuacin en cilndricas identidad trigonometrica.

Es un hiperboloide de dos hojas cuyo eje es el eje y.

Coordenadas esfricas. Es el si stema de coordenadas esfricas ca da uno s e r epresenta p or un t ro ordenado: l a pr imera coordenada es una di stancia, l a se gunda y l a t ercera so n ngulos. E s un si stema s imilar a l d e lo ngitud-latitud q ue se su ele ut ilizar par a localizar puntos sobre la superficie terrestre.

El sistema de coordenadas esfricas. Es en sistema de coordenadas de sistemas esfricas un punto p del espacio viene representado por un tro ordenado (p, , ). 1.- p es la distancia de P al origen, p >< 0. 2.- es el mismo Angulo utilizado en coordenadas cilndricas para r> 0. 3.- es el Angulo entre el semieje z positivo y el segmento recto OP, 0 > < . Ntese que las coordenadas primeras y terceras son siempre no negativas. La r elacin e ntre l as coordenadas rectangulares y l as esfricas. P ara separar uno a otro deben usarse las formas siguientes: Esfricas a rectangulares:34


X =p sen cos ,

y= p sen sen , z = p cos .

Rectangulares a esfricas: P2= x2 + y2 + z2, tg =y/x, = arcos (z/ x2 + y2 +z2).

Para cambiar de coordenadas esfricas a cilndricas, o viceversa, deben aplicarse las formulas siguientes: Esfricas a cilndricas (r > 0): r2 =p2 sen2 , = , z = p cos.

Cilndricas a esfricas (r> 0): P= r2 + z2, = , = arcos (z / r2 + z2).

Las coordenadas esfricas son es pecialmente a propiadas para est udiar superficies que tenga un centro de simetra.

Ejemplo 1: Hallar una ecu acin en coordenadas esfricas parar l as superficies cuyas ecuaciones en coordenadas rectangulares se indican. a).- cono: x2 + y2 = z2 b).- esfera: -4z = 0 Solucin: a).-haciendo l as sustituciones ad ecuadas p ara x , y , z en l a ecu acin dad a s e obtiene: x2 + y2 = z2 p2 sen2 cos2 + p2 sen2 sen2 =p2 cos2 p2 sen2 (cos2 + sen2) =p2 cos2 p2 sen2 = p2 cos2 35


sen2 / cos2 = 1 tg2 = 1

p> 0

= /4 o = 3/4

La ecuacin = /4 representa la mitad superior del cono y la ecuaci = n 3/4 su mitad inferior. b).-como p2 = x2 +y2 + z2 y z = p cos , la ecuacin dada adopta la siguiente forma en coordenadas esfricas. P2 4 p cos = 0 p (p -4 cos ) = 0 Descartando por el momento la posibilidad de que p = 0, obtenemos la ecuacin en esfricas. P -4 cos = 0 o p = 4cos

Dado un punto o campo escalar en cualquier sistema coordenado, transformarlo a los otros dos sistemas coordenados.

Coordenadas cilndricas y esfricas. Coordenadas cilndricas. Ya hemos tenido ocasin de comprobar que ciertas graficas bidimensionales son ms fciles de r epresentar en coordenadas polares que en coordenadas rectangulares. Lo mismo ocurre con las superficies. En esta seccin introducimos dos sistemas alternativos de coordenadas para el espacio. El primero, el sistema de coordenadas cilndricas, es una g eneralizacin de l as coordenadas polares en el espacio.

El sistema de coordenadas cilndricas. En un si stema d e coordenadas cilndricas, un pu nto p del espacio s e representa por un tro ordenado (r, , z). 1.- (r, ) son las coordenadas polares de la proyeccin de p sobre el plano x y. 2.- z es la distancia dirigida de p a (r, ).36


Para pasar de rectangulares a cilndricas, o viceversa, hay que usar las siguientes formulas de conversin.

Cilndricas a rectangulares. X = r cos , y = r sen , z=z

Rectangulares a cilindricas: R2 =x2 + y2, tg =y/x, z = z.

El punto (0, 0,0) se llama el polo. Adems, como la representacin de un punto en polares no es nica, tampoco lo es en cilndricas.

1.4.1 Dado un punto o campo escalar en cualquier sistema coordenado,transformarlo a los otros dos sistemas coordenados. Campos escalares Representa a un a m agnitud fsica q ue r equiere de s lo un nm ero par a s u identificacin. Se trata de u n concepto que data del siglo XIX. Su aplicacin est orientada a l a descripcin de fenmenos r elacionados con l a di stribucin d e temperaturas dentro de un cu erpo, con las presiones en el interior de fluidos, con el potencial electroesttico o con la energa potencial en un sistema gravitacional. Las funciones de es tos fenmenos no se puede n m odelar en un g rfico, p or requerirse cuatro dimensiones, y por eso mismo dan pie para estudiar el espacio curvo en el c ual co habitamos. S on t ambin l as herramientas optimizantes para aquellos casos donde intervienen distintas variables. Matemticamente, u n ca mpo esca lar es una funcin, cu yo v alor depen de d el punto del espacio en que se considere, y se expresa de la siguiente manera:37


En q ue es un v ector de co ordenadas (cartesianas) ( x, y, z), que r epresenta l a posicin del observador en el espacio. Un ejemplo recurrente e intuitivo, son las curvas de los mapas bidimensionales de los topgrafos que representan topogrficamente a una regin. El campo escalar que corresponde es el campo de altura H (x, y), de una regin de la superficie de la tierra, en funcin de la posicin de puntos sobre un plano proyectivo. Evidentemente, se trata de un campo escalar en el espacio bidimensional, en que la altura de un punto est dada por z = H (x, y).

1.4.2 Dado un vector o campo vectorial en cualquier sistema coordenado transformarlo a los otros dos sistemas coordenados. Campos vectoriales Un campo vectorial es una construccin del clculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio eucldeo. Los campos vectoriales se ut ilizan a m enudo e n l a fsica par a, por ej emplo, modelar la velocidad y la direccin de un l quido m vil a t ravs del espacio, o l a intensidad y l a direccin d e una ci erta fuerza, t al co mo l a fuerza m agntica o l a gravitatoria, pues cambian punto a punto. En el t ratamiento matemtico r iguroso, l os ca mpos v ectoriales se d efinen en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad. Rn Rn que Un c ampo v ectorial es en Rn es una a plicacin F : A asigna a cada punto x de su dominio A un vector F (x). Si n = 2, F se llama campo vectorial en el plano, y si n = 3, F es un campo vectoriales del espacio. Visualizar F adhiriendo una f lecha a ca da pu nto. En R n R que asigna un nmero a c ada punto es un contraste, una aplicacin f : A c ampo escalar. Un38


campo vectorial F (x, y, z) en R3 tiene tres campos escalares componentes F1, F2 y F3, as que F(x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)). De manera anloga, un campo vectorial Rn tiene n c omponentes F1, , Fn. Si cada co mponente es una funcin C k, deci mos que el ca mpo v ectorial F es de clase Ck. Se dar por hecho que los campos vectoriales son, al menos, de clase C1, a no ser que se diga lo contrario.

Fig. Visualizar F con una flecha. La si guiente de finicin pr esenta u no d e l os campos vectoriales ms importantes de la fsica.

39


1.5 Diferenciales de l ongitud, rea y volumen e n l os di ferentes sistemas de coordenadas.Diferenciales de lnea, superficie y volumen Diferencial de lnea Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilndricas, viene dado por Diferenciales de superficie La expresin general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilneas es complicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, q 3 = cte. el resultado es

y expresiones anlogas para las otras dos superficies coordenadas. En el caso particular de las coordenadas cilndricas, los diferenciales de superficie son =cte: =cte: z=cte: Diferencial de volumen El volumen de un elemento en coordenadas curvilneas equivale al producto del jacobiano de la transformacin, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que

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que para coordenadas cilndricas da

1.6 Postulados fundamentales de campos electromagnticos.Gradiente El gradiente de un campo escalar en un punto es un vector, definido como el nico que per mite hal lar l a derivada di reccional e n cu alquier di reccin como si endo u n vector uni tario y l a de rivada di reccional d e en l a di reccin d e, q ue i nforma de la tasa de variacin del campo escalar al desplazarnos segn esta direccin:

Una forma eq uivalente de definir el g radiente es como el ni co v ector q ue, multiplicado por cualquier desplazamiento infinitesimal, da el diferencial del campo escalar:

Con la definicin anterior, el gradiente est caracterizado de forma unvoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:

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En est a i magen, el c ampo esc alar se aprecia e n bl anco y ne gro, l os cuales representan valores bajos o altos respectivamente, y el gradiente correspondiente se aprecia por flechas azules.

Divergencia Divergencia de un ca mpo mide la tendencia de dicho campo vectorial a originarse en o a converger hacia ciertos puntos. La divergencia de un campo vectorial es un campo escalar, y se de fine c omo el flujo del c ampo v ectorial por unidad de volumen:

Donde S es una su perficie ce rrada q ue se r educe a un p unto en el l mite. E l smbolo representa el operador nabla.

Esta definicin est directamente relacionada con el concepto de flujo del campo. Como en el caso del flujo, si la divergencia en un punto es positiva, se dice que el campo p osee m anantiales. S i l a divergencia es negativa, se dice q ue t iene sumideros. El ejemplo ms caracterstico lo dan l as cargas elctricas, que dan l a

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divergencia del ca mpo el ctrico, si endo l as cargas positivas manantiales y l as negativas sumideros del campo elctrico. Magnitudes Escalares: Son aq uellas que q uedan perfectamente d efinidas mediante un v alor nu mrico, acompaado de la unidad de medida correspondiente. (Ver ejemplo). Magnitudes Vectoriales: Son aq uellas en l as q ue, ade ms de un v alor num rico, se necesitan ot ros detalles. D ireccin, sentido y m dulo s on l os requisitos necesarios para definirlas.(Ver ejemplo). Ejemplo de magnitud escalar: Masa, tiempo, temperatura. Ejemplo de magnitud vectorial: Velocidad, aceleracin, fuerza. Se llaman fuentes escalares del campo de la divergencia de al campo escalar que se obtiene a partir

La divergencia de un campo vectorial se relaciona con el flujo a travs del teorema de G auss o t eorema de l a di vergencia. C uando l a de finicin d e divergencia se aplica al caso de un campo expresado en coordenadas cartesianas.

El resultado es sencillo

Sin e mbargo, par a un ca so ms g eneral de co ordenadas cu rvilneas, co mo l as cilndricas o las esfricas, la expresin se complica debido a la dependencia de los

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vectores de la base con la posicin. La expresin para un sistema de coordenadas ortogonales es:

Donde los hi son los factores de escala del sistema. Esta frmula general, para el caso de c oordenadas ca rtesianas (hx = hy = hz = 1) se r educe a l a ex presin anterior. Para coordenadas cilndricas ( ) resulta

Para coordenadas esfricas (

) resulta

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Unidad 2 Electrosttica 2.1 Campos electrostticos en vacio 2.1.1 Ley De Coulomb e intensidad de campo elctrico 2.1.2 Campos Elctricos debidos a distribuciones continas de carga 2.1.3 Densidad de flujo elctrico 2.1.4 Ley de Gauss (Ecuacin de Maxwell). Aplicaciones de esta ley 46 48 52 53 56

2.1.5 Potencial elctrico. Relacin entre E y V (Ecuacin de Maxwell). 59 2.1.6 El dipolo elctrico 2.1.7 Lneas de flujo elctrico y superficies equipotenciales 2.1.8 Densidad de energa en los campos electrostticos 2.2 Campos electrostticos en el espacio material 2.2.1 Corriente de conduccin y corriente de conveccin 2.2.2 Polarizacin en dielctricos constante y resistencia dielctricas 2.2.3 Dielctricos lineales Isotrpicos y Homogneos 2.2.4 Ecuacin de continuidad y tiempo de relajacin 2.2.5 Condiciones de frontera 2.3 Problemas valores en frontera en electrosttica 60 62 64 64 64 64 69 77 77 78

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2.1 CAMPOS ELECTROSTATICOS EN EL VACIO.Campo electrosttico Las cargas elctricas no precisan de ningn medio material para influir entre ellas y por ello las fuerzas elctricas son consideradas fuerzas de accin a distancia. En virtud de ello se r ecurre al co ncepto de campo el ectrosttico para f acilitar la descripcin, en t rminos fsicos, de l a i nfluencia q ue una o ms cargas ejercen sobre el espacio que las rodea. El concepto de campo El concepto de campo surge ante la necesidad de explicar la forma de interaccin entre cuerpos en ausencia de contacto fsico y sin medios de sustentacin para las posibles interacciones. La acci n a di stancia se ex plica, ent onces, m ediante efectos provocados por l a e ntidad ca usante de l a i nteraccin, s obre el esp acio mismo q ue l a r odea, permitiendo asignar a di cho espacio pr opiedades medibles. As, se r posi ble ha cer co rresponder a c ada punto del es pacio v alores que dependern de la magnitud de la propiedad del cuerpo que provoca la interaccin y de la ubicacin del punto que se considera. El ca mpo el ctrico r epresenta, en ca da punto del espacio a fectado por l a ca rga, una propiedad local asociada al mismo. Una vez conocido el campo en un punto no es necesario saber qu lo origina para calcular la fuerza sobre una carga u otra propiedad relacionada con l. As, si se co loca una ca rga de pr ueba e n un pu nto cu alquiera del es pacio en donde est definido un campo elctrico, se observar la aparicin de atracciones o de repulsiones sobre ella. Una forma de describir las propiedades de est e campo sera i ndicar l a f uerza q ue se ej ercera so bre un a ca rga det erminada si se trasladara de un punto a otro del espacio. Al utilizar la misma carga de prueba es posible co mparar l a i ntensidad d e l as atracciones o r epulsiones en l os distintos puntos del campo. La carga de r eferencia ms simple, a e fectos de operaciones, es la ca rga uni dad p ositiva. La fuerza el ctrica q ue en u n pu nto cu alquiera de l campo se ejerce s obre l a ca rga uni dad positiva, t omada c omo el emento d e comparacin, recibe el nombre de i ntensidad del campo elctrico y se representa por la letra E. Por tratarse de una fuerza, la intensidad del campo elctrico es una magnitud vectorial que viene definida por su mdulo E y por su direccin y sentido.

Interacciones entre dos cargas Q y q

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Interacciones entre Q y q. Fig.2.1.1 Considrese una carga Q fija en una determinada posicin (ver figura 2.1.1). Si se coloca otra carga q en un punto P 1 , a cierta distancia de Q, aparecer una fuerza elctrica actuando sobre q. Si l a ca rga q se ubi ca en ot ros puntos cualesquiera, t ales como P 2 , P 3 etc., evidentemente, e n ca da un o de el los, t ambin est ara act uando so bre q una fuerza el ctrica, pr oducida por Q. Para describir est e h echo, se di ce q ue e n cualquier punto del espacio en torno a Q existe un campo elctrico originado por esta carga. Obsrvese en l a figura que el campo elctrico es originado en los puntos P 1 , P 2 , P 3 etc., por Q, la cual, naturalmente, podr ser tanto positiva (la de la figura) como negativa. La carga q que es trasladada de un punto a otro, para verificar si en ellos existe, o no, un campo elctrico, se denomina carga de prueba. El campo elctrico puede representarse, en cada punto del espacio, por un vector, usualmente simbolizado por y que se denomina vector campo elctrico. El m dulo del v ector en u n p unto d ado se de nomina i ntensidad d el ca mpo elctrico en ese punto. P ara definir est e mdulo, co nsidrese l a ca rga Q de l a figura, generando un campo elctrico en el espacio que la rodea. Colocando una carga de pr ueba q en un pun to P 1 , se ve r q ue so bre el la act a un a f uerza elctrica. La intensidad del campo elctrico en P 1 estar dada, por definicin, por la expresin:

La ex presin anterior permite det erminar la intensidad del campo el ctrico e n cualquier otro punto, tales como P 2 , P 3 , etc. El valor de E ser diferente para cada uno de ellos.

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De obtenemos , lo cual significa que si se conoce la intensidad del campo elctrico en un punto, es posible calcular, usando la expresin anterior, el m dulo de l a fuerza q ue act a so bre un a ca rga cu alquiera ubi cada en aq ul punto.

2.1.1 ley de coulomb e intensidad del campoConforme a l a ley de Coulomb la fuerza de interaccin de dos cargas elctricas puntiformes es directamente pr oporcional al pr oducto de l a ca ntidad de electricidad en estas ca rgas, i nversamente pr oporcional al cu adrado d e l a distancia entre ellas y depende del medio en el cual se hallan las cargas, F = q1 . q2 4 a r2

siendo F la fuerza de interaccin de las cargas puntiformes, en N *; q 1 y q 2 , la cantidad de electricidad en las cargas, en C** r la distancia entre las cargas, en m; a la permitividad absoluta del medio, en F/m. La m agnitud a = 0 , siendo la pe rmitividad r elativa: una m adimensional. o una constante elctrica igual a la permisividad absoluta del vaco, o = 8,86. 10-12 F/m. La permitividad relativa = a 0 puede calcularse por la frmula = F vac F med

agnitud

Siendo Fvac la fuerza de interaccin de las cargas elctricas en el vaco, en N;48


Fmed N.

la fuerza de interaccin de las cargas elctricas en cualquier medio, en Permitividad relativa de los materiales

Aire ............................... 1 Aire ............................ 1 Mrmol ...................7,5-10 Parafina..................2, 1-2,2 Mica .......................... 6-7 Ebonita...................2,5-3 Papel parafinado... .... 2,2 Porcelana...............5,5-6.5 Poliestireno ............. 1,05

Micalex. . . . . . . . . . . . . 7 - 9 Baquelita. . . . . . . . . . . . 3,8 - 5 Micarta A y B ........... 7-8 C-irbolito.................. 3-5 Batista barnizada . . 3, 5 - 5 Vidrio orgnico ..... 3.2-3,6 Goma en hojas ...... 2,6-3,5 Vidrio ..................... 5,5-10

* 1 N= 102 gf ** 1 C=6,3 . 1018 cargas de electrn. La razn del trabajo consumido al transportar una carga elctrica de 1 C desde un punto dado del campo elctrico hasta el infinito, se llama potencial en este punto: =A q Siendo = el potencial, en V; A= el trabajo, en J: q = la cantidad de electricidad, en C. Al transportar una carga elctrica desde un punto de un campo con potencial V 1 hasta un punto de otro campo con potencial V 2 se realiza el trabajo A = q ( 1 - 2 ). Siendo = la diferencia de potenciales, en V - la intensidad de un campo elctrico se define como la razn de la fuerza con la q ue el ca mpo act a so bre l a ca rga el ctrica i nsertada en s us lmites, a la magnitud de esta carga: E=F q

Siendo E la Intensidad del campo elctrico, en V/m;49


F la fuerza con la que el campo acta sobre la carga en N q la cantidad de electricidad, en C. La r esistencia el ctrica q ue c aracteriza al po der del dielctrico de o poner resistencia a la perforacin, se determina de acuerdo con la frmula Eresist = U d Siendo Eresist = la resistencia elctrica, en V/m; d = el espesor del dielctrico, en m; U= la tensin, a la cual se perfora el dielctrico, en V. Resistencia elctrica de los dielctricos Dielctrico Aire. . . .. . . . . . . . . . . . . . .. ... Papel para cable...................... Mrmol................................... Parafina.................................. Mica....................................... Porcelana................................ Vidrio..................................... Resistencia elctrica del dielctrico, en kv/m 3000 6 0009 000 2 0003 000 15000- 50000 120 000-200 000 6 000- 10 000 10 000- 40 000

Intensidad de Campo Elctrico

La i ntensidad de c ampo el ctrico E, es la fuerza por u nidad de carga q ue v a a operar sobre un punto cargado positivamente.50


E = F/q (4) Despejando la fuerza de la (4), para una q 1 : F = q 1 .E (5) Si de (1) tenemos: F = k.q 1 .q 2 /d (1) Reemplazando (5) en (1): q 1 .E = k.q 1 .q 2 /d entonces E = k.q 2 /d (6)

Ejemplo: E B = k 0 .q/d ; E B = 9.109 N.m .1 C/(1 m) .C : E B = 9.109 N/C E C = k 0 .q/d ; E C = 9.109 N.m .1 C/(2 m) .C : E C = 9.109 N/4 C E C = E B /4 # Ley de variacin en funcin de la distancia, en un campo elctrico. Supongamos que A emite 9.109 lneas de campo elctrico, como B es esfera, la superficie es: 4..r = 4..m Entonces: En B sera: 9.109 lneas.4..m = 3,6.109..m lneas En C sera: 9.109 lneas.16..m = 1,44.1010..m lneas El nmero de lneas N que pasa por cualquier superficie esfrica es: N = 4..r /4.. 0 .r 51


N = 4..r .k 0 .q/r como k 0 = 1/4.. N = 4..r q/4.. 0 .r N = q/ 0 = 4..k0.q (Ley de Gauss)

0

El n mero de l neas no se pi erde, es siempre el mismo y v ale p ara cu alquier geometra cerrada.

Formas de campos elctricos Se visualizan a travs de lneas de fuerza.

2.1.2 campos elctricos debido a distribucin continua de cargas.

El concepto de campo electrosttico facilita la descripcin, en t rminos fsicos, de la i nfluencia q ue un a o m s cargas elctricas ejercen s obre el e spacio q ue l es rodea. Para una distribucin continua lineal de carga puede ser calculado cmo se indica. Si se dispone de una distribucin lineal continua de carga, el campo producido en un p unto cu alquiera pue de c alcularse dividiendo l a c arga en elementos infinitesimales dq. Entonces, se calcula el campo d E que produce cada elemento en el punto en cu estin, t ratndolos como si f ueran ca rgas. La m agnitud de d E est dada por:52


El ca mpo r esultante en el pun to se enc uentra, e ntonces, su mando; est o es , integrando; las contribuciones debidas a todos los elementos de carga, o sea,

Si la distribucin continua de carga que se considera tiene una densidad lineal de carga Por lo tanto, , entonces .

2.1.3Densidad de flujo elctricoEn electromagnetismo el desplazamiento el ctrico es un campo v ectorial = D(r,t), en funcin d e l a posicin e n el es pacio = r y d el t iempo t , o tambin = D(r,) en f uncin de l a posi cin e n el es pacio = r y l a frecuencia , que aparece en las ecuaciones de Maxwell. E s una generalizacin del campo elctrico en presencia de un dielctrico. A veces tambin se denomina como campo de desplazamiento elctrico o densidad de flujo elctrico. En la mayor parte de los materiales puede ser calculado como

donde es la permitividad elctrica del material, q ue en un medio l ineal, no isotrpico es un tensor de segundo orden (una matriz). Flujo del campo elctrico El f lujo del campo el ctrico es una medida del nmero de lneas de f uerza que atraviesan una superficie dada.53


Como y a sa bemos, t oda s uperficie puede representarse mediante un v ector S, perpendicular a el la y cu yo m dulo se a el r ea ( Interpretacin geomtrica d el producto vectorial).

El n de lneas que atraviesan una superficie depende de la orientacin relativa de la superficie respecto al campo. Si el campo es perpendicular a la superficie (y por tanto E paralelo a S el flujo es mximo y si son paralelos (E perpendicular a S) es nulo. Estos resultados coinciden con la definicin de producto escalar = E.S Nm/C. Esta explicacin es vlida si el campo E es uniforme. Si no es as, hay que dividir la superficie en elementos diferenciales dS con carcter infinitesimal de forma que E se pueda considerar constante. Por tanto d = E.dS. Se define el flujo como = S E.dS

Densidad de carga elctrica. A pesar de que las cargas elctricas son cuantizadas y, por ende, mltiplos de una carga el emental, en ocasiones las cargas elctricas en u n cu erpo es tn t an cercanas entre s , que se pu ede su poner q ue est n di stribuidas de manera uniforme por el cuerpo del cual forman parte. La caracterstica principal de estos cuerpos es que se los puede estudiar como si fueran continuos, lo que hace ms54


fcil, sin perder generalidad, su tratamiento. Se distinguen tres tipos de de nsidad de carga elctrica: lineal, superficial y volumtrico.8 Densidad de carga lineal. Se usa en cuerpos lineales como, por ejemplo hilos.

Donde Q es la carga del cuerpo y L es la longitud. En el Sistema Internacional de Unidades (SI) se mide en C/m (culombios por metro).

Densidad de carga superficial. Se e mplea par a superficies, p or ej emplo u na pl ancha m etlica delgada co mo el papel de aluminio.

Donde Q es l a c arga del cu erpo y S es la superficie. En el S I se m ide e n C /m2 (culombios por metro cuadrado).

Densidad de carga volumtrica. Se emplea para cuerpos que tienen volumen.

donde Q es la ca rga del cu erpo y V el vo lumen. E n el S I se mide e n C /m3 (culombios por metro cbico).

55


2.1.4 LEY DE GAUSS (ECUACION DE MAXELL) APLICASION DE ESTA LEY.En fsica y en anlisis matemtico, la ley d e G auss relaciona el flujo el ctrico a travs de una s uperficie cerrada y la carga elctrica encerrada en esta superficie. De esta misma forma, tambin relaciona la divergencia del campo elctrico con la densidad de carga. El flujo (smbolo ) es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a una superficie hipottica que puede ser cerrada o abierta. Para un ca mpo elctrico, el flujo ( ) se mide por el nmero de lneas de fuerza que atraviesan la superficie. Para definir a con precisin considrese la figura, que muestra una superficie cerrada arbitraria dentro de un campo elctrico. La superficie se encuentra dividida en cuadrados elementales , cada uno de los cuales es lo suficientemente pequeo como para que pueda ser considerado plano. E stos elementos de r ea pue den se r r epresentados como vectores , cuya magnitud es la propia rea, la direccin es normal a la superficie y el sentido hacia afuera. En ca da cu adrado el emental t ambin es posible t razar un v ector de ca mpo elctrico . Y a q ue l os cu adrados son t an p equeos como se quiera, puede considerarse constante en todos los puntos de un cuadrado dado. y caracterizan a ca da cu adrado y f orman u n ng ulo entre s y l a figura muestra una vista amplificada de dos cuadrados. El flujo, entonces, se define como sigue:

O sea:

56


La ley de G auss establece q ue el flujo el ctrico t otal a t ravs de una su perficie cerrada es proporcional a la carga elctrica total encerrada dentro de la superficie. La constante de proporcionalidad es la permitividad del vaco. Matemticamente, la ley de Gauss toma la forma de una ecuacin integral:

Alternativamente, en forma diferencial, la ecuacin es

La Ley de Gauss Esta ley fue establecida por Karl Friedrich Gauss (1777 1855), y establece que el flujo elctrico neto a travs de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta de la superficie dividida por la permitividad elctrica del medio (Figura 3): (11) Donde: E: vector campo elctrico, N/m dS: vector diferencial de superficie, m2 q: carga encerrada en la superficie Gaussiana, Coul : permitividad elctrica del medio, 8,85 x 10-12

Figura 3. Superficie Gaussiana en donde se percibe el vector diferencial de rea y el vector campo elctrico. Detalle como dentro de l a superficie se encuentra una carga elctrica.57


Potencial elctrico Se refiere a la energa potencial por unidad de carga. Potencial debido a una carga puntual (12) Donde: V: potencial elctrico, Voltio q: carga elctrica, Coulomb r: distancia entre la carga generadora del campo y el punto de estudio, m : constante de permitividad elctrica del medio, Potencial debido a una distribucin discreta (13) Donde: V: potencial elctrico, Voltio qi: carga elctrica del elemento i, Coulomb r: distancia entre la carga generadora del campo y el punto de estudio i, m : constante de permitividad elctrica del medio, Potencial elctrico debido a una distribucin continua (14) Donde: V: potencial elctrico, Voltio dq: elemento diferencial de carga, Coulomb r: distancia entre la carga generadora del campo y el diferencial de carga, m : constante de permitividad elctrica del medio, El potencial elctrico se relaciona con el campo elctrico por:58


(15) Donde: Vab: diferencia de potencial entre dos puntos a y b, Voltios E: vector campo elctrico, N/m dx: vector desplazamiento, m

2.1.5 POTENCIAL ELECTRICO. RELACION ENTRE E Y V.El potencial el ctrico en un pu nto es el t rabajo que debe realizar una f uerza elctrica ( ley de C oulomb) par a m over un a ca rga posi tiva " q" desde el i nfinito (donde el pot encial es ce ro) hast a ese punto. D icho de ot ra f orma, es el t rabajo que deb e r ealizar una f uerza ex terna par a t raer una c arga uni taria " q" des de el infinito h asta el p unto c onsiderado e n co ntra de l a fuerza el ctrica. Matemticamente se expresa por:

Considrese una carga de prueba positiva, la cual se puede utilizar para hacer el mapa de un campo el ctrico. P ara t al carga de prueba localizada a un a distancia r de una carga q, la energa potencial electrosttica mutua es:

De manera equivalente, el potencial elctrico es

=

Diferencia de potencial y potencial en el campo elctrico. V1 - V2 = ( Ep1 - Diferencia de po tencial es59

la variacin de l a ener ga


Ep2)/q2

potencial por unidad de carga positiva. La r eferencia par a t omar l os potenciales la t omamos en el , y por tanto el potencial en un punto V1 = q1/4..1 Trabajo que se realiza para llevar la unidad de carga ms al

W = q2.(V1 - V2) Podemos escribir Ep = - F.dr; F = - dEp/dr. Si dividimos por q2, F/q2 = -dEp/q2.dr; F/q2 = -dV/dr E = -dV/dr. En forma vectorial E = - (dV/dr)uF dV = -E.dr; V2 - V1 = - E.dr; V1 - V2 = E.dr Si el campo es uniforme d = r2 - r1 = W q2.(V1 V2) q2.(V1 - V2) = q 2Ed E = (F/q2) F = E.q2 W = Ed V1 - V2 = Ed = E.(r2 - r1) q2

2.1.6 EL DIPOLO ELCTRICODIPOLOS Y POLARIZACION Fenmeno superficial que se presenta en los aisladores o materia elctricamente neutra. Dipolo antes de aplicar un campo elctrico

Dipolo luego de aplicar un campo elctrico

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Hay di polos que al r etirar el c ampo el ctrico q uedan permanentemente y otros en cambio pierden la polarizacin. Los dipolos se utilizan entre las placas de los capacitores.

polarizados

Al colocar un dipolo entre dos placas de un capacitor, se requiere menos trabajo para transportar una carga y, por lo tanto aumenta la capacidad de este. Colocando mercurio entre las placas: E=0 V = C

Si colocamos aceite entre las placas: Habr distribucin superficial. E0 V = C

Constante dielctrica K = C/C0 K: constante dielctrica. C0: capacidad en el vaco. C: capacidad con dipolo.61


C = . 0.A/s Para a plicar l a ecuacin, el di polo, ante u n ca mpo elctrico, debe co mportarse igual en todas direcciones, tener en cuenta deformaciones de bordes.

2.1.7 LINEAS DE FLUJO ELECTRICO Y SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES.Nagelschmidt verific cmo el flujo de estas corrientes en el interior del organismo escoge siempre el camino ms breve, ya que d e esta forma se vencen mejor las resistencias que los tejidos ejercen a su paso. Las lneas a travs de las cuales la corriente se dirige de una electroplaca a la otra han si do de nominadas por l os fsicos lneas de flujo el ctrico. En funcin del dimetro de las electroplacas, las lneas de flujo elctrico que se crean sern ms o menos compactas, as como el calor que se genera ser ms o menos intenso. Concretamente, s e g enerar m s temperatura en l a par te q ue co rresponde a la electroplaca p equea r especto a l a q ue l a q ue s e g enera e n l a el ectroplaca grande. Suponiendo q ue l os tejidos tratados sean homogneos, l as lneas del flujo s e reparten en funcin del posicionamiento de las placas. Una superficie equipotencial es el lugar geomtrico de los puntos de un campo escalar en l os cuales el potencial d e ca mpo es constante. L as superficies equipotenciales pueden calcularse empleando la ecuacin de Poisson. El ca so m s sencillo pue de se r el de u n ca mpo gravitatorio en el q ue hay un a masa puntual: las superficies eq uipotenciales son esferas concntricas alrededor de di cho pu nto. El t rabajo r ealizado p or esa m asa si endo el potencial co nstante, ser pues, por definicin, cero. En el caso del campo magntico generado por un conductor r ectilneo, l as superficies equipotenciales sern cilindros concntricos cuyo eje ser precisamente el del conductor. Las curvas de nivel de estos cilindros son las que generan las Lnea equipotenciales en el plano x-y.62


Superficies equipotenciales Son s uperficies que en t odos sus puntos t ienen el mismo potencial.

Si r = cte y = cte entonces V = cte. Todas las superficies equipotenciales son esfricas (Si solo hay una carga) Propiedades a) Dos superficies equiescalares no se pueden cortar. b) E l t rabajo para desplazar un a ca rga dq a l o l argo de una su perficie equipotencial es 0. dW = dq (V1-V2) V1=V2 dW = 0 c) El campo elctrico ( vector campo ) es perpendicular en todos su puntos a una superficie equipotencial. dW = F.dr = dq.E.dr.cos . Por propiedad b) el W = 0 0= dqEdr cos #0 =0 cos [Ey.dr] = 0 y por ta nto E perpendicular a dr

Campo, pot encial y c arga e n e l i nterior de un equilibrio elctrico y en su superficie.

conductor c argado en

Como ya vimos, el campo en el interior de un conductor en equilibrio debe se r 0, ya que si no f uera as sus cargas no estaran en r eposo, no estara en equilibrio. Toda la carga est en su superficie. E = 0. Potencial V1-V2= Ed = 0 V1 = V2 Esto es porque V1- V2 = Ed = 063


Todos los puntos del conductor cargado y en equilibrio estn siempre en el mismo potencial. S i t odos los puntos estn al m ismo potencial, l a su perficie es equipotencial.

2.1.8 DENSIDAD DE ENERGIA EN LOS CAMPOS ELECTROSTTICOS.Si consideramos un sistema cerrado constituido por un campo electromagntico y un co njunto de p artculas inmerso e n el m ismo, se m antiene co nstante e n el tiempo l a energa t otal del si stema, su ma de l a energa de l as par tculas y la energa del pr opio c ampo. Cmo podemos calcular l a en erga del ca mpo electromagntico en dicho si stema ce rrado?. V eamos que, p artiendo d e l as ecuaciones de Maxwell, es posible la determinacin sencilla de dicha energa por unidad de volumen, es decir, la densidad de energa del campo.

2.2 Campos electrostticos en el espacio material2.2.1 Corriente de conduccin y corriente de conveccin

2.2.2 Polarizacin e n d ielctricos dielctricas

constante

y r esistencia

Existen dos tipos de molculas las molculas polares y las molculas no polares. Las molculas polares son aquellas en las que no coincide el centro de distribucin de cargas positivas y el de las negativas, el ejemplo ms significativo es el agua. Los iones hidrgeno no estn alineados y dispuestos simtricamente a uno y otro lado del in oxgeno, sino que tienen una disposicin triangular. Las molculas no polares son aquellas en las que coincide el centro de distribucin de las cargas positivas y negativas. Las molculas de oxgeno, nitrgeno, compuestas por dos tomos iguales pertenecen a esta categora. Las molculas polares bajo la accin de un campo elctrico experimentan un par de fuerzas que tienden a orientarlas en el sentido del campo. Las molculas no polares, se hacen polares en presencia de un campo elctrico, ya que las fuerzas sobre cada tipo de carga son iguales y de sentido contrario.64


Los dielctricos se emplean en los condensadores para separar fsicamente sus placas y para incrementar su capacidad al disminuir el campo elctrico y por tanto, la diferencia de potencial entre las mismas. La constante dielctrica es la propiedad que describe el comportamiento de un dielctrico en un campo elctrico y permite explicar, tanto el aumento de la capacidad de un condensador como el ndice de refraccin de un material transparente. Con el programa interactivo de esta pgina, experimentaremos con un modelo de sustancia dielctrica consistente en un nmero pequeo, pero suficiente de molculas. Distinguiremos entre el comportamiento individual de cada molcula, y el comportamiento de la muestra en su conjunto. Veremos como este comportamiento se ajusta a la denominada ley de Langevin, deducida para un nmero muy grande de molculas.

Descripcin Un dipolo elctrico es un sistema formado por dos cargas iguales q y de signo contrario, separadas una distancia d. Se define el momento dipolar p, como un vector cuyo mdulo es el producto de la carga q por la separacin entre cargas d, de direccin la recta que las une, y de sentido de la negativa a la positiva. Los momentos dipolares de algunas molculas se recogen en la siguiente tabla:Molculas Agua Nitrobenceno Fenol Clorhdrico Bromhdrico Iodhdrico Momento dipolar 10-30 Cm 6.2 13.2 5.2 3.5 2.6 1.3

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Sobre un dipolo situado en un campo elctrico acta un par fuerzas cuyo momento tiende a orientar al dipolo en la direccin del campo. Sin embargo, esta tendencia est contrarrestada por la agitacin trmica de las molculas. Para cada campo y cada temperatura, tendremos una orientacin media resultado del compromiso entre ambas tendencias contrapuestas.

La energa de un dipolo en un campo elctrico E es U= -pE= -pEcosq

La polarizacin de la sustancia es P=Np, donde N es el nmero de molculas y p es el valor medio de la componente del momento dipolar en la direccin del campo. De acuerdo con la frmula de la estadstica clsica

donde exp(-U/kT) es la probabilidad de que un dipolo est orientado segn un ngulo slido comprendido entre W y W+dW. El rea sombreada de la figura, es dW=2sind. La integracin conduce a la siguiente funcin conocida como ley de Langevin

Casos particulares:66


Cuando u1, es decir, para grandes valores del campo o bajas temperaturas,

P=Np P tiende hacia un valor constante que es su valor mximo. Los materiales dielctricos estn formados por dipolos elctricos. Un dipolo elctrico, vase la figura, es un sistema formado por dos cargas iguales y de signo contrario, separadas una distancia d. Se define el momento dipolar, como un vector cuyo mdulo es el producto de la carga por la separacin entre las mismas, cuya direccin es la recta que las une, y cuyo sentido es la flecha que va de la carga negativa a la positiva.

Si colocamos el dipolo en un campo elctrico E, actan sobre l un par de fuerzas, cuyo momento tiende a orientar al dipolo en la direccin del campo. Sin embargo, esta tendencia estar contrarrestada por la agitacin trmica de las molculas. Para cada campo y temperatura tendremos una orientacin media resultado del compromiso entre ambas tendencias contrapuestas. La energa del dipolo en el campo elctrico es

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Como el ngulo q puede tener cualquier valor entre 0 y p, las energas de los estados disponibles no son discretas sino que varan de forma continua. La probabilidad P(q) de que el vector momento dipolar p apunte segn un ngulo comprendido entre q y q +dq es proporcional a

La constante de proporcionalidad se determina a partir de la condicin de que los dipolos con dicha energa apuntan con sus vectores momento dipolar en todas las direcciones del espacio cuyos ngulos estn comprendidos entre q y q +dq. En la ltima figura, se representa el ngulo slido dW correspondiente a dicha apertura angular.

La polarizacin de la sustancia dielctrica ser

Siendo N el nmero de molculas y el resto de la frmula, la componente media del momento dipolar en la direccin del campo. La integracin conduce a la conocida ecuacin de Langevin

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En el caso lmite u

Bueno cuadernillo_033

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