Determinacion de la brecha energetica en dos tipos de semiconductores

Uriel Allan Aceves Rodrıguez*

Departamento de FısicaFacultad de Ciencias, UNAM

(Colaboracion con Sergio Sotres)

(Fechado: 17 de octubre de 2015)

Los semiconductores estan presentes en la mayorıa de los dispositivos electronicos modernos quese usan cotidianamente. De hecho, este reporte fue escrito e impreso por medio de dispositivosque dependen fuertemente de semiconductores. Los materiales semiconductores son exactamente loque su nombre senala. Exhiben propiedades de conductor y aislante bajo ciertas condiciones. Elexperimento que aquı se detalla tiene como fin determinar la diferencia energetica entre la banda devalencia y la banda de conduccion en un semiconductor, utilizando teorıa de bandas y la ecuacionde Shockley. En el se obtienen valores para las brechas energeticas de dos diodos de materialesdiferentes y se determina el material del que estan compuestos cada uno de ellos. Ası, se obtieneuna brecha energetica de Eg = 1.3342± 19.125 % para el silicio y de Eg = 0.5963± 9.2515 % para elgermanio, mientras que los valores reportados son 1.12 eV y 0.66 eV respectivamente. Se muestraademas, como consecuencia de la manipulacion de la temperatura que el comportamiento del diododepende fuertemente de la temperatura de operacion del mismo.

Numeros de PACS: 01.40.E-

Contenidos

I. Introduccion 1A. Semiconductores 1B. Semiconductores extrınsecos 1C. Teorıa de bandas 2D. Diodos 3

II. Montaje experimental 3A. Regimen de temperaturas altas 3B. Regimen de temperaturas bajas 4

III. Resultados y analisis 4A. Diodo negro 4B. Diodo naranja 6C. Brechas 8

IV. Conclusiones 8

Referencias 8

I. Introduccion

A. Semiconductores

Un material semiconductor tiene un valor de con-ductividad electrica entre el de un conductor y unaislante. Los semiconductores son la base de la industriaelectronica contemporanea. Los materiales semicon-ductores existen en dos tipos, materiales elementaleso materiales compuestos. El entendimiento moderno

* uri.fisico@ciencias.unam.mx

de las propiedades de un semiconductor se basan enla mecanica cuantica para explicar el movimiento deelectrones y huecos en una red cristalina. El singulararreglo de la red cristalina hace al germanio y silicio losmateriales mas comunmente utilizados en la preparacionde materiales semiconductores. Un incremento en elconocimiento de materiales semiconductores y procesosde fabricacion han hecho posibles aumentos continuosen la complejidad y velocidad de los microprocesadoresy dispositivos de memoria.

La conductividad electrica de un material semicon-ductor aumenta con el aumento de temperatura, elcual es el comportamiento contrario al de un metal.Los dispositivos semiconductores pueden mostrar unrango amplio de propiedades utiles tales como pasar lacorriente mas facilmente en una direccion que en otra,mostrando resistencia variable, y sensibilidad a la luzo el calor. Dado que las propiedades electricas de unsemiconductor pueden ser modificadas por la adicioncontrolada de impurezas, o por la aplicacion de camposelectricos o luz, los dispositivos hechos a partir desemiconductores pueden ser usados para amplificacion,como interruptores, y conversion de energıa.

Algunas de las propiedades de los materiales semicon-ductores fueron observadas a traves del siglo XIX y lasprimeras decadas del siglo XX. El desarrollo de la mecani-ca cuantica en turno permitio el desarrollo del transistoren 1947. Aunque algunos elementos y muchos compues-tos presentan propiedades de semiconductor, el silicio,germanio, y compuestos de galio son los mas usados endispositivos electronicos. Elementos cerca de la ası lla-mada ”escalera metaloide“, donde los metaloides estancolocados en la tabla periodica, son usados usualmentecomo semiconductores.

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B. Semiconductores extrınsecos

Un semiconductor extrınseco es un semiconductorque ha sido contaminado, es decir, al cual le han sidoinsertadas impurezas, dandole ası diferentes propiedadeselectricas a las de un semiconductor intrınseco (puro).Contaminar involucra agregar atomos de impurezas alsemiconductor intrınseco, lo cual cambia las concen-traciones de electrones y hoyos del semiconductor enequilibrio termico. La concentracion dominante de cargasen el semiconductor extrınseco los clasifica como semi-conductor tipo n o tipo p. Las propiedades electricas delos semiconductores extrınsecos los hacen componentesesenciales de cualquier dispositivo electronico.

Semiconductores tipo n: los semiconductores tipon tienen concentraciones mayores de electrones que dehoyos. La frase ”tipo n“ viene por la carga negativa delelectron. En los semiconductores tipo n, los electronesson los portadores de carga mayoritarios y los hoyos sonlos portadores de carga minoritarios. Los semiconducto-res tipo n son creados contaminando un semiconductorextrınseco con impurezas donantes [1]. Un contaminantecomun para los semiconductores tipo n de silicio es elFosforo. En un semiconductor tipo n el nivel del Fermies mayor que en el semiconductor extrınseco y yacemas cerca a la banda de conduccion que a la banda devalencia.

Semiconductores tipo p: al contrario de los semi-conductores tipo n, los tipo p tienen una concentracionmas grande de hoyos que de electrones. La frase ”tipop“ hace referencia a la carga positiva de los hoyos. Lossemiconductores tipo p son creados al contaminar un se-miconductor intrınseco con impurezas aceptantes [2]. Uncontaminante comun para los semiconductores de siliciotipo p es el Boro. Para estos semiconductores el nivel deFermi esta por debajo del nivel de Fermi de un semicon-ductor intrınseco y yace mas cerca a la banda de valenciaque a la banda de conduccion.

C. Teorıa de bandas

En la fısica del estado solido, la estructura electroni-ca de bandas (o simplemente la estructura de bandas)de un solido describe aquellos rangos de energıa que unelectron dentro del solido puede tener (llamados bandasde energıa, bandas permitidas, o simplemente bandas) yrangos de energıa que no puede tener (llamados brechasde banda o bandas prohibidas). La ecuacion de Schrodin-ger para el problema planteado es la siguiente

ψ(x, y, z) =1√V

exp(i~k · ~r

), (1)

con una energıa correspondiente

ε =h2k2

2m=

h2

2m

(2π

L

)2

(`2 +m2 + n2) (2)

De reojo puede ver uno que esta es la ecuacion de unaesfera, la conocida esfera de Fermi. En este caso tenemosque llenar con N electrones los estados de energıa masbaja del sistema. Recordando que los electrones estansujetos al principio de exclusion de Pauli y por lo tanto esimposible tener mas de un electron por estado, podemosobtener la densidad de estados

g(ε) =V

2π2h3(2m)

32 ε

12 . (3)

Para introducir el comportamiento termico del sisteman(ε, T ), asumimos que los electrones se comportan deacuerdo a la distribucion de Fermi-Dirac f(ε, T ). De estaforma la densidad de estados muestra un comportamien-to de acuerdo con el mostrado en la figura 1

Figura 1. Distribucion de Fermi-Dirac a diferentes tempera-turas.

Dicho esto, podemos utilizar estos conceptos paraexplicar el comportamiento de los electrones dentrosolido. Si hay N celdas unitarias ocupadas en el cristalen cada zona de Brillouin hay 2N estados electronicosdisponibles. Suponiendo que en un solido hay un numerode electrones que ocupa parcialmente una ”banda deenergıa“. Este es el caso, por ejemplo, de los metalesalcalinos con un electron de valencia por celda unitaria.Si hay N celdas ocupadas en la primera zona de Brillouinhay 2N estados electronicos. La mitad inferior de estosestados estara ocupada a T = 0. Por consiguientehay estados electronicos disponibles por encima delnivel de Fermi y no se necesita proporcionar muchaenergıa a los electrones de valencia para hacer que semuevan en el cristal. Obtenemos ası una explicacion alcomportamiento conductor de los metales dentro del

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esquema de la teorıa de bandas.

Suponiendo ahora que se tiene un numero de electro-nes suficiente para llenar completamente una banda deenergıa. En este caso los estados disponibles para unaexcitacion se encuentran separados por una ”brecha“ ydebido a esto no es tan facil excitar a los electrones y,por tanto no se moveran libremente por el cristal. Eseste el caso de un solido aislante, de nuevo explicado enterminos de la teorıa de bandas.

A la banda mas alta (con mayor energıa) ocupada porelectrones, se le conoce como banda de valencia, mientrasque a la de menor energıa se le conoce como banda deconduccion. En un conductor no hay separacion entre labanda de valencia y la de conduccion, haciendo ası muyfacil despegar los electrones de valencia y utilizarloscomo portadores de carga dentro del solido. Mientrasque en un aislante hay una separacion (tıpicamentegrande) entre dichas bandas.

Los semiconductores tambien pueden caer dentro dela teorıa de bandas, en este caso su brecha energetica esmenor que 4 eV a una temperatura de 0 K. El hechode que sus propiedades se modifiquen con el cambio detemperatura y que la brecha energetica no es muy gran-de, permite el dinamismo de los semiconductores, ya quepueden exhibir propiedades aislantes y de conduccion (sise les proporciona la energıa suficiente). Uno de los dis-positivos mas simples hechos con semiconductores es eldiodo.

D. Diodos

Un diodo es el tipo mas simple de dispositivo se-miconductor. Un diodo consiste de una seccion desemiconductor tipo n, unida a una seccion tipo p,con electrones en cada borde. Este arreglo conduceelectricidad solamente en una direccion. Cuando no seaplica voltaje al diodo, electrones del material tipo nllenar hoyos del material tipo p a lo largo de la unionentre capas, formando una zona de reduccion. En la zonade reduccion, el material se regresa a su estado originalde aislante dado que todos los hoyos estan llenos, porlo tanto no hay electrones libres o espacios libres paraelectrones, y no puede fluir carga.

Para deshacernos de la zona de reduccion, debemosconseguir electrones que se muevan de la zona n a lazona p y hoyos moviendose en la direccion contraria.Para hacer eso, conectamos el lado correspondiente alsemiconductor tipo n a la terminal negativa del circuitoy la zona p a la terminal positiva. Los electrones enla zona n son repelidos por el electrodo negativo yconducidos al electrodo positivo. Los hoyos en la zona pse mueven en sentido contrario. Cuando la diferencia depotencial entre los electrodos es suficientemente grande,

los electrones en la zona de reduccion son sacados de sushoyos y comienzan a moverse libremente de nuevo. Ha-ciendo desaparecer, de esta forma, a la zona de reduccion.

Si se intenta hacer fluir una corriente en el sentidocontrario, es decir, con la zona tipo p conectada a laterminar negativa y la zona n a la positiva, la corrienteno fluira. Los electrones en el material de tipo n sonatraıdos hacia el electrodo positivo. Los hoyos positivosen la zona p son atraıdos hacia el electrodo negativo. Nofluye corriente a traves de la union debido a que tantolos electrones como los hoyos se encuentran moviendo enla direccion incorrecta. En este caso la zona de reducciones mayor.

De esta forma fenomenologica podemos explicarlos resultados obtenidos en terminos de bandas en lasubseccion I B.

El modelo matematico mas utilizado para explicar elcomportamiento del diodo es el modelo de Shockley. Den-tro de este esquema la ecuacion que relaciona la intensi-dad de corriente con la diferencia de potencial es

I = I0 [exp (qV/ηkBT )− 1] , (4)

con q la carga fundamental, η la constante de idealidadcaracterıstica del diodo y kB la constante de Boltzmann.Si hacemos la aproximacion qV � ηkBT (aproximacionvalida para temperaturas menores a 500 K), obtenemos

I = I0 exp (qV/ηkBT ). (5)

Por otro lado se tiene la dependencia de la corriente I0

I0 = BT 3 exp (Eg(T )/ηkBT ), (6)

en donde Eg(T ) es la brecha energetica en funcion de latemperatura y B una constante. De esta forma

ln (I0) = ln (B) + 3 ln (T )− Eg(T )

ηkBT. (7)

Finalmente nos es posible escribir a Eg(T ) de la siguientemanera

Eg(T ) = Eg(0)− αT, (8)

con α la constante de crecimiento de la energıa con res-pecto a la temperatura. Entonces, al combinar la ecua-cion 8 con la ecuacion 7, se obtiene la relacion para labrecha energetica que se desea medir, es decir, Eg(0)

ln (I0) = τ + 3 ln (T )− Eg(0)

ηkBT, (9)

en donde τ es una constante que proviene del termino αy ln (B) que no afectan a la medicion de la pendiente, endonde tenemos el termino Eg(0).

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II. Montaje experimental

A. Regimen de temperaturas altas

Para llevar a cabo este procedimiento, se tiene que me-dir la corriente y el voltaje que siente un semiconductorinmerso en un bano termico. Es por ello que se utiliza elcircuito mostrado en la figura 2 que permite medir dichascantidades:

Figura 2. Circuito empleado en el experimento.

Dicho circuito se utiliza para banos termicos superio-res e inferiores a la temperatura ambiente con algunasdiferencias en el acoplamiento del sistema de medicionsegun el caso.

Para el caso de temperaturas superiores a la del am-biente, el diodo semiconductor se sumerge en aceite ca-sero de manera que el recipiente que lo contiene este enun bano Marıa con agua conectado a una fuente de ca-lor. En este caso particular esta fuente de temperaturavariable, corresponde a una parrilla electrica que modelasu gradiente de temperatura por voltaje (figura 3).

Figura 3. Montaje de la fase de altas temperaturas.

Ahora, con el sistema de medicion ya armado, los quehay que hacer entonces es realizar medidas de corriente yvoltaje del diodo semiconductor a una temperatura fija.Para ello, se debe regular el voltaje de la parrilla quecaliente el agua que rodea al diodo inmerso en aceite. Loanterior se debe ya que se desea hacer un ajuste de datos

para la determinacion de los parametros en la ecuacionde Shockley.

Este procedimiento se debe repetir para ambos diodossemiconductores en varias temperaturas. Ya que conesto, se determina el factor de idealidad η del semicon-ductor correspondiente.

B. Regimen de temperaturas bajas

Para la medicion a temperaturas inferiores a la del am-biente, se mantiene la estructura del circuito antes descri-to, pero en vez de usar una parrilla se utiliza un recipien-te con nitrogeno lıquido, lo cual forza entonces a usar untermopar conectado al diodo para medir la temperatura.En este caso, el acoplamiento del diodo y el termopar,debe de estar aislado con cinta de aislar mas aparte, unrecubrimiento extra de papel aluminio que permita el in-tercambio termico de la fuente frıa con el diodo (figura4).

Figura 4. Montaje de la fase de bajas temperaturas.

De igual manera que el caso anterior, aquı tambiense miden corrientes y voltajes para ambos diodos enalguna temperatura fija. La cual, se logra fijando el siste-ma diodo-termopar a una distancia del nitrogeno lıquido.

Una vez realizado lo anterior, lo que sigue es determi-nar la brecha energetica de cada diodo semiconductor ypara ello se debe de hacer un analisis grafico de las medi-ciones a bajas temperaturas de Corriente vs Voltaje parauna temperatura dada. Es decir, se escoge una corrientefija del conjunto de graficas de I vs V y se ve entonces lainterseccion de los puntos de voltaje a las de las graficas(isotermas) a esa corriente. Con esto, uno puede obte-ner una relacion entre el Voltaje y la Temperatura en lacual, por medio del ajuste de recta, se puede determinarla brecha energetica del semiconductor por medio de laordenada al origen del ajuste lineal.

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III. Resultados y analisis

A. Diodo negro

Como se menciono en la seccion anterior, para estecaso el diodo correspondiente esta inmerso en aceite quese calienta por medio de un bano Marıa. En este caso,se miden las corrientes y voltajes de cada diodo a ciertastemperaturas. Para observar las mediciones se muestrael siguiente conjunto de graficas:

Figura 5. Diodo negro a -129.

Figura 6. Diodo negro a -47.

Figura 7. Diodo negro a -3.

Figura 8. Diodo negro a 5.

Figura 9. Diodo negro a 18.

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Figura 10. Diodo negro a 50.

Figura 11. Diodo negro a 60.

Figura 12. Diodo negro a 71.

Figura 13. Diodo negro a 81.

Ajustando exponenciales a cada una de estas graficasy realizando un promedio se obtiene el valor

〈η〉 = 1.48423± 0.69300

B. Diodo naranja

El procedimiento anterior se repitio para el diodo colornaranja con el que se tienen las siguientes graficas:

Figura 14. Diodo naranja a -129.

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Figura 15. Diodo naranja a -58.

Figura 16. Diodo naranja a -20.

Figura 17. Diodo naranja a 18.

Figura 18. Diodo naranja a 54.

Figura 19. Diodo naranja a 60.

Figura 20. Diodo naranja a 70.

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Figura 21. Diodo naranja a 81.

Figura 22. Diodo naranja a 90.

Figura 23. Diodo naranja a 120.

Haciendo lo mismo que en el caso anterior se obtieneque

〈η〉 = 1.03999± 0.45123

C. Brechas

Una vez calculado el factor de idealidad, se debe cal-cular entonces el valor de la brecha de energıa. Para ellousamos la siguiente ecuacion

V =Eg

e− ηkbT

eln

(BT 3

I

), (10)

donde B es una constante y para un valor definido deI, el logaritmo natural de la expresion de la parte dearriba, puede considerarse constante ya que conocemospor ahora la temperatura. Sin embargo, la expresionrefleja manifiestamente una relacion entre el voltaje y latemperatura.

De esta manera, al medir corriente contra voltaje entemperaturas bajas se puede obtener una familia de grafi-cas I contra V en donde es posible hallar voltajes rela-cionados a una corriente para temperaturas diferentes. Yusar la ecuacion 10 para obtener el valor de la brechabuscada.

Haciendo esto obtenemos una brecha energetica de

Eg = 1.3342± 19.125 %eV

para el diodo negro, y

Eg = 0.5963± 9.2515 %eV

para el diodo naranja, lo que confirma nuestra sospechade que eran diodos de silicio y germanio respectivamente,dado que los valores que tienen oficialmente son 1.12 eVy 0.66 eV respectivamente.

IV. Conclusiones

Podemos ver que si bien no se obtuvieron los valoresreportados, se obtienen valores aceptables para la brechaenergetica de cada material, y dentro de un rangoligeramente burdo nos permite identificar el material desendos diodos.

Se observa tambien que el comportamiento del semi-conductor depende en gran medida de la temperatura ala cual funciona; hecho mencionado en la introduccion.Ademas se puede ver a partir de las graficas que el com-portamiento exponencial es mas facil de ver si el diodoesta trabajando a una temperatura alta.

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[1] Los atomos de impureza donantes tienen mas electrones devalencia que los atomos que remplazan en la red cristalinadel semiconductor intrınseco.

[2] Con menos electrones en la banda de valencia que los ato-

mos a los cuales reemplazan.[3] R. Enderlein and N. J. Horing, Fundamentals of Semicon-

ductor Physics and Devices (World Scientific, 1997).