“LOS INMEDIATOS Y ACCESIBLES ENCANTOS DE LAS MATEMÁTICAS” Y EL

EJERCICIO FORMAL EN BORGES1

I: Introducción:

En el presente trabajo, nos proponemos identificar en los cuentos “El Aleph” (1949) y “Las

ruinas circulares” (1941) el planteo de problemas lógico-matemáticos a partir de principios lógicos,

sus violaciones, y las soluciones presentadas a partir del concepto de Cuarta Dimensión que, con

distinto grado de profundidad, podemos inferir que Borges manejaba, no como filósofo o

matemático, sino en función de la creación literaria. El problema no es si se utilizan estas teorías, ya

que su presencia en el texto es bastante obvia, sino cómo se utilizan, y cuál es el fin de esta

utilización. Nuestra respuesta tentativa es que estos conceptos, ajenos normalmente a la creación

literaria, son utilizados como un contenido sin valor per se que le permitían al autor crear un

argumento / trama literaria como un ejercicio formal.

II: Problemas lógicos: violaciones al principio de identidad

Los principios lógicos constituyen las verdades primeras, “evidentes” por sí mismas y que,

por axiomáticas, no necesitan demostración, a partir de las cuales se construye toda la estructura

formal del pensamiento, según la Lógica tradicional, de base aristotélica. Cabe destacar que no sólo

dentro de la Lógica (órganon) se han utilizado estos axiomas o “nociones comunes”, sino que hay

una fuerte impronta euclideana (i.e., geométrica) en su formulación.

Dentro de una consideración más moderna de la Lógica Formal, los principios lógicos serán

los preceptos o reglas “operantes” que rigen toda forma correcta de pensamiento. Son los siguientes:

1° El principio de identidad: “Toda cosa es idéntica a sí misma”.

2° El principio de no contradicción: “Nada puede, a la vez, ser y no ser”.

1 Borges, Jorge Luis. “Edward Kasner and James Newman: Mathematics and the Imagination (Simon and Schuster)”. “Notas”, en Obras completas, Buenos Aires, Emecé Editores, 2005, Vol 1(p. 291)

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3° El principio de tercero excluido: “Todo debe bien ser o bien no ser”2.

Nosotros nos concentraremos en el primero. Veremos cómo es utilizado en los tres cuentos

de Borges sobre los que trabajaremos.

“El Aleph”

En este cuento, un personaje llamado “Borges” pudo observar un Aleph en el sótano de la

casa de una amiga, gracias a que un primo de ella, odioso, pésimo escritor, así se lo permite. La casa

sería demolida, y este primo no quiere por nada del mundo perder la oportunidad de usar ese Aleph

como “musa” inspiradora:

“[Daneri] dijo que para terminar el poema le era indispensable la casa, pues en un ángulo del sótano

había un Aleph. Aclaró que un Aleph es uno de los puntos del espacio que contiene todos los

puntos.” (pag. 664)

Borges describirá al Aleph como una “pequeña esfera tornasolada, de casi intolerable

fulgor, (…) sería de dos o tres centímetros, pero el espacio cósmico estaba ahí, sin disminución de

tamaño”, p. 666 (Los destacados son nuestros). Que el espacio cósmico, es decir el universo, quepa

en una esfera que a su vez está contenida dentro de una casa dentro del Universo implica una

violación flagrante del Principio de Identidad, pues el universo no puede contenerse a sí mismo sin

ser por esto diferente a sí mismo. Si el Universo es un conjunto, y la esfera también lo es, y el

Universo contiene la esfera, siendo que la esfera es el Universo, tenemos la siguiente forma lógica:

1. A = Universo

B = esfera

C = casa

B ⊂ C

C ⊂ A, ergo, por propiedad transitiva,

2 Moro Simpson, Thomas. Formas lógicas, realidad y significado, Buenos Aires, EUDEBA, 1975 2

B ⊂ A3

No obstante, Borges plantea que en la esfera está el “espacio cósmico”, lo que expresamos como

2. B ≡ A

Desde luego, un sistema que admita que entre dos cosas idénticas entre sí (es decir, la misma cosa)

hay una relación de subconjunto es un sistema inconsistente, que admite contradicciones y una

violación flagrante del Principio de Identidad. El mismo problema puede verse si en lugar de

principios lógicos utilizamos las Nociones Comunes de Euclides (Elementos): “El todo es mayor

que la parte” (Noción Común n° 8). En este caso, lo que se está afirmando es que entre dos cosas

idénticas hay una relación de parte-todo.

“Las ruinas circulares”

En este texto, un mago oriental es capaz de crear con su pensamiento a otro ser humano, un

discípulo, un hijo suyo, ayudado por el dios de Fuego de un templo circular. Pero sus cavilaciones,

producto del tiempo que le tomó crear al otro mago y del desarrollo mismo, lo llevaron a considerar

que él también había sido creado por el pensamiento, el sueño de alguien anterior.

A partir de aquí, veremos algunos pasajes del texto que nos permitan considerar a este

argumento como un ejercicio formal (y literario) de lo que Borges leyó sobre el concepto de la

Cuarta Dimensión:

“En los crepúsculos de la tarde y del alba se prosternaba ante la figura de piedra, tal vez

imaginando que su hijo irreal ejecutaba idénticos ritos, en otras ruinas circulares, aguas

abajo…” (p. 486)

“Con alivio, con humillación, con terror, comprendió que él también era una apariencia,

que otro estaba soñándolo.” (p. 487)

El universo que contiene al mago y aquél que el mago imagina tienen, así lo interpretamos,

iguales propiedades. Se viola así el principio de Identidad, ya que no puede haber dos universos o

3 Estamos asumiendo que ∄(x), x∈A & x∉B, es decir, que las relaciones de subconjunto son totales.3

más que compartan los mismos rasgos pero que a la vez sean diferentes en una misma dimensión.

Esta cláusula ceteris paribus es la que nos permitirá encontrar una solución al problema lógico

presentado por este texto en una forma matemática, apelando al concepto de multidimensionalidad.

III: Soluciones a partir de la cuarta dimensión: hipercubos en Borges

Antes de proponer las soluciones a los problemas lógico-matemáticos de los cuentos,

explicaremos lo más concisa y claramente posible qué es la Cuarta Dimensión y qué es un

hipercubo.

Una dimensión (del latín di-, divergencia; metiri, medir) es cada una de las magnitudes que

conforman la existencia, como por ejemplo, largo, ancho, espesor en el mundo fenomenológico más

cercano a nuestra percepción.

Ahora bien, en una dimensión 0 tenemos un punto. Si situamos el punto en una recta

(dimensión 1) y éste se mueve una cierta distancia sobre ella, tenemos un segmento. Si este

segmento está en el plano coordenado, sobre el eje X, y lo desplazamos una unidad en la dirección

del eje Y (perpendicular al anterior), tenemos un cuadrado (dimensión 2). Si el cuadrado del plano

(X, Y) lo desplazamos una unidad hacia el eje Z (perpendicular a X, Y), tenemos un cubo

(dimensión 3). Si desplazamos el cubo en una dirección perpendicular (eje W) a los otros tres ejes,

se obtiene un hipercubo (dimensión 4). Y podemos así seguir desplazándonos hacia infinitos ejes,

hacia infinitas dimensiones, generando más hipercubos a partir de las dimensiones anteriores.

Entonces, el hipercubo es un cubo desplazado hacia una cuarta dimensión. En nuestro espacio

mental tridimensional nos resulta muy difícil imaginar una figura tal que posee 16 vértices, 32 lados

y 8 caras cúbicas, si bien Borges intenta describir algunas propiedades de la cuarta dimensión en el

cuento “La biblioteca de Babel”: “La Biblioteca es una esfera cuyo centro cabal es cualquier

hexágono, cuya circinferencia es inaccesible” (p. 500). Aquí vemos un cuerpo tridimensional cuyo

“centro” no es un punto, sino un plano (bidimensional), que lo divide en dos secciones,

hemiesféricas. A continuación reproduciremos una de las más comunes interpretaciones

tridimensionales de un hipercubo, con propósitos aclaratorios:

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Fig. 1 Hipercubo tetradimensional representado en la tercera dimensión

Respecto a “El Aleph”, una solución posible del problema que presenta, teniendo en cuenta las

nociones explicadas anteriormente, es que el universo de la casa que contiene al Aleph posee una

dimensión más que éste:

1. Universo de Aleph con propiedades (X-1) ⊂ Universo con propiedades (X)

No habría, entonces, una violación del Principio de Identidad pues entre los universos no existiría

una relación de igualdad sino de proyección dimensional: el “contenedor” tiene todas las

propiedades del “contenido” más una. No hay igualdad de identidades entre ellos.

A partir de lo que se describe en “Las ruinas circulares” podríamos pensar que se suman

dimensiones en ese espacio ficcional: el mago crea con su pensamiento, con sus sueños un universo,

y ese universo está una dimensión debajo respecto de la anterior (no es casual que el mago hable de

templos en el Norte y en el Sur). La relación entre el personaje principal y el universo creado por él

es igual a la relación entre un cubo su hipercubo. Una solución posible es que este universo que se

contiene a sí mismo es un universo poseedor de una dimensión más. El universo 1, o cubo 1, o

dimensión 1que tiene los rasgos (X, Y, Z) es igual al universo/ hipercubo / dimensión B que tiene

las propiedades (X, Y, Z, W). Lo que es más, P.D. Ouspensky, un pensador ruso citado por Borges

como fuente de la idea de cuarta dimensión, postuló especialmente en su ensayo La Cuarta

Dimensión (1908) que, si existe la cuarta dimensión y nosotros sólo poseemos tres, significa que no

tenemos existencia real y que “sólo existimos en la imaginación de alguien”, y que “todos nuestros

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pensamientos, sentimientos y experiencias ocurren en la mente de algún ser de una dimensión

superior, que nos imagina”. Es evidente la lectura de Borges de La Cuarta Dimensión, puesto que

en “Las ruinas circulares” es desarrollada la idea de que somos pensados (imaginados) por otros

seres en otras dimensiones, y entonces, que hay otras dimensiones habitadas por otros seres vivos.

La figura 1 es iluminadora para ambos ejemplos. El “Aleph” sería el cubo “contenido” en el cubo

“contenedor”. En “Las ruinas circulares”, el universo del mago es el cubo “contenido”, el universo

de su creación (el “hijo”) es el cubo “contenedor” o “superior”; tendríamos que imaginar un cubo

anterior al del mago, que contenga el universo de la persona que ya lo había soñado.

IV: Conclusión:

Hemos analizado los cuentos “El Aleph y “Las ruinas circulares” como dos ejemplos de la

aplicación de conocimientos en lógica matemática y matemática de Borges, en función de la

creación literaria. Podemos observar mínimamente aquí una “inclinación de Borges a apreciar el

valor estético de las ideas abstractas”4. Es a partir de estas “ideas abstractas” y su tratamiento, que

Borges configura su propio “fantástico” alrededor del concepto de “forma”, tomándola de las

matemáticas de su tiempo, y proveyéndole una sustancia a veces metaliteraria (“El Aleph”), a veces

metafísica (“Las Ruinas Circulares”), pero que siempre en tanto permite el ejercicio formal.

V: Bibliografía

4 Corry, Leo. “Algunas Ideas Científicas en la Obra de Jorge Luis Borges…”6

Borges, Jorge Luis, (1934) «La cuarta dimensión» en Revista Multicolor de los Sábados,

suplemento del diario Crítica, Buenos Aires, nº 40, recogido en Irma Zangara (invest. y recop.)

(1995), Borges en Revista Multicolor, Atlántida, Buenos Aires, pp. 29-32.

Borges, Jorge Luis. (1974). Obras Completas. Buenos Aires: Emecé Editores.

Borges, Jorge Luis. (1983). Obras Completas en Colaboración, Vol. 2. Madrid:

Alianza Editorial.

Borges, Jorge Luis. (1986). Textos Cautivos. Ensayos y reseñas en "El Hogar"

(1936-1942). Edición de Enrique Sacerio-Gari y Emir Rodrigues Monegal. Barcelona:

Tusquets Editores.

Corry, Leo. (2003) "Algunas Ideas Científicas en la Obra de Jorge Luis Borges y su Contexto

Histórico", en Borges en Jerusalén, Myrna Solotorevsky y Ruth Fine (eds.). Frankfurt am Main,

Vervuert/Iberoamericana. pp 49-74.

Ibañez, Raúl (2010) “La Cuarta Dimensión”. RBA.

Mata, Rodolfo “Borges y la aventura de la cuarta dimensión”

http://cvc.cervantes.es/actcult/borges/lectores/05b.htm#1

P. D. Ouspensky (1973), Tertium organum, cap. X, Routledge and Kegan, Paul, London. pp. 99-

109.

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