BONOS

DEFINICION:

UN BONO ES

UNA PROMESA DE PAGAR MONTOS ESPECIFICOS DE DINERO

EN FECHAS PREDETERMINADAS EN EL FUTURO

A LO LARGO DE UN PRIODO FIJO DE TIEMPO.

Los parámetros de los bonos

P = El precio de mercado del bono

Ct = El monto que el bono promete pagar en fin del período t.

M = El período del vencimiento del bono.t = 1,2,……, M. ( Maturity)

VF = El valor nominal del bono (Face Value o, Valor Futuro)

Usualmente, los montos de los pagos son iguales:

Ct = C t = 1, …., M - 1

y el último pago: CM = C + FV

C se llama también el cupón del bono

CR = La tasa del cupón. Es un % del VF:

C = (CR)(VF).

EJEMPLO:

UN BONO PARA 30 AÑOS CON VALOR NOMINAL DE $1.000 Y CUPON RATE DEL 8% PAGADOS ANUALMENTE.

CR = 8%;

FV = $1.000;

M = 30

C = (0,08)($1.000) = $80

El tenedor del bono recibirá $80 todos los años a lo largo de los siguientes 29 años.

El último pago será:

$80 + $1.000 = 1.080 = C + FV.

Muchos de los bonos existentes pagan su cupón más que una vez al año.

En terminos generales:

N = el número de los pagos al año, así que hay NM pagos en total.

C/N = el monto de los pagos

VF + C/N = el último pago.

En el ejemplo arriba, si los pagos fueran EMESTRALES,

N = 2,

Los pagos serían = C/2

DEFINICIÓN:

Bonos que pagan el VF al vencimiento y no pagan nada, C = 0, durante los períodos

interinos se llaman

BONOS CUPON CERO

DEFINICIÓN:

Un bono con cupón C

que nunca se vence se llaqma

CONSUL

FORMULAS DE PRECIOS DE BONOS

r)(1r)(1

r)(1r)(1C

r)(1C

M

M

M

M

1tt

t

t

2

1

M

1ttM

1t

t

FV1

r

CP

FVP

:M1,2,....,t rr

)r)(1r)(1r(1

C

)r)(1r(1

C

r1CP

P

321

3

21

1

En las fórmulas en la pagina anterior la r significa el rendimiento al vincimiento (YIELD TO MATURITY).

La fórmula para el bono con pagos semestraleses:

Mr)(1

FVP

2M

2M

1t t )2r

(1

FV

)2r

(1

2C

P

La fórmula para el bono cupón cero:

La fórmula para el precio de un Consul es:

P = C/r

EJEMPLOS:

M = 30 FV = $1.000 CR= 8% Pagos semestrales:

C = (0,08)1.000/2 = $40. r = 10%

70,810$05,1

000.105,11

05,0

40P

05,1

040.1

)05,01(

40

6060

60

60

1

t

t

46,811$1,1

000.11,11

1,1

8030

30

Se vende este bono a un descuento porque CR =0,8 < r = 10%. Si la r fuera del 5% (en vez del 10%), el precio del mismo sería:

$1.463,631,025

1.0001,0251

0,025

40P

6060

El mismo bono con pagos anuales:

M = 30; FV = $1.000; CR= 8%; C = (0,06)1.000 = $80; r = 10%.

Y el bono se vendría con una prima.

Resultado:

CR = r el bono se vende a su par P = VF

CR > r el bono lleva una prima P > VF

CR < r el bono lleva un descuento P < VF

Si dicho bono fuera un bono de cupon cero el bono se vendría a:

31,57$1,1

000.130

Si el bono fuera un consul su precio sería:

$8000,1

$80P

Es decir, invertiendo $800, el bono promete al inversionista un flujo de caja indefinido de $80.

En los EEUU las cuotas de los precios de bonos son en términos de un rendiniento de descuento: d

FV

PFV

t

360

VF

DESCUENTO

t

360d

Sin embargo, lo que se interesa al inversionista se llama el rendimiento equivalente del bono (REB)

(BOND EQUIVALENT YIELD(BEY)

dt360

365d

360

dt1

360

365di

P

PFV

t

365i

1

0,11468360

(0,11)901

360

365(0,11)i

0,11468972.500

972.5001.000.000

90

365iREB

0,1190

360

1.000.000

972.5001.000.000d

$27.5000.DESCUENTO

1.000.000

DESCUENTO

90

3600,11

1

EJEMPLO: t = 90 days

FV = $1.000.000 d = 11%

DURATION de MACAULY

P

r1

tC

D

M

1tt

t

M

1tt

M

1tt

tt

t

M

1t

tt

tWD

1.W ;P

r)(1C

W

Pr)(1

C

tD

INTERPRETACION DE LA

DURACION

La DURACION es un promedio ponderado del número de los períodos, es decir, de los tiempos de los pagos de los cupones.

Las ponderaciones son las proporciones de los valores actuales de los montos pagados

del precio actual del bono.

DURACION interpretada como una medida de sensibilidad.

DP

r)(1tC

r1r)d(1

PdP

r)(1

tC

r)P(1

r)(1

P

r)(1

r)d(1

dP

r)(1

tC

r)(1

1

r)d(1

dP

dr

dP

r1

CP

M

1tt

t

M

1tt

t

M

1tt

t

M

1tt

t

BONO DEL PRECIO DEL DELASTICIDA LAD

TO)(RENDIMIEN% EL

BONO) DEL PRECIO(% ELD

Según las dos interpretaciones arriba, se puede interpretar una duración de D = 7 de un bono con vencimiento de 15 añoa como:

1. La inversión en el bono se recupera en 7 años.

2. Cunado se cambia el rendimiento al vencimiento por 1%, el precio del bono se cambia en unos 7%.

RESULTADO:

D = - {La elasticidad del precio del bono}

CVF

r1mr

1r

m1N

f C

VFr

mN

r1mr

1 fr)(1

D2

N

2N

La fórmula (cerrada) para calcular la duración de un bono depende de los siguientes parámetros:

N = El número total de los pagos

m = El número de los pagos cada año

f = La fracción del año hasta el pago del próximo cupón

f 1 2 3 4…….……N años

11,09D

6100

(0,1)11,1(0,1)

306

100(0,1)(0,1)3011,11,1

D230

230

EJEMPLO:r = 10% = 0,1VF = $ 100C = $6 => CR = 6%N = 30f = 1m = 1P = $62,29

Ejemplo:r = 10% VF = $ 100C = $6 f = 1m = 2 => Pagos semestralesN = 60

14,23D

6100

0,111,05 0,1

2160

16

1000,1

260

0,111,05 1,1D

260

260

N\CR

0 2 4 6 8 10 12 14 16

5 5 4,76 4,57 4,41 4,28 4,17 4,07 3,99 3,92

10 10 8,73 7,95 7,42 7,04 6,76 6,54 6,36 6,21

15 15 11,61 10,12 9,28 8,74 8,37 8,09 7,88 7,71

20 20 13,33 11,20 10,32 9,75 9,36 9,09 8,89 8,74

25 25 14,03 11,81 11,86 10,32 9,98 9,75 9,58 9,45

30 30 14,03 11,92 11,09 10,65 10,37 10,18 10,04 9,94

35 35 13,64 11,84 11,17 10,82 10,61 10,46 10,36 10,28

40 40 13,13 11,70 11,18 10,92 10,76 10,65 10,57 10,51

50 50 12,19 11,40 11,40 10,99 10,91 10,85 10,81 10,78

100 100 11,02 11,01 11,00 11,00 11,00 11,00 11,00 11,00

Tabla de duración

r = 10%

Como aproximarse el cambio del precio del bono antes de un cambio de rendimiento al vencimiento

Usando la DURACION:

Obsérvase que de la fórmula:

r1

r)d(1DP P

:ónaproximaci la escribir puede ser1r)d(1

PdP

- D

$74,85P12,56 1,1

0,02) (-,29)(11,09)(62 - =P

8% = r 10% r

$56,01P6,28 1,1

0,0162,2911,09P

11% = r 10%= r

1

1

EJEMPLOS:

d Vd r

d Sd r

+ Nd Fd r

= d S

Sd y Sd y

d r + N

d F

Fd y . Fd y

d r

EL RATIO DE COBERTURA BASADO DE LA DURACION

El ratio de sensibilidad del precio:

Recuérdese que el valor de la posición de cobertura es: V = S + NF.

El activo subyacente es un bono y por lo tanto, los cambios del precio del bono ocurren cuando se cambie la tasa de interés y por ella se cambia el remdimiento al vencimiento. En términos matematicos:

dVdr

= 0 N = -

dS

Sdy . Sdydr

dF

Fdy . fdydr

=>

EL OBJETIVO DEL RATIO DE

LA SENSIBILIDAD DEL PRECIO

En este caso el objetivo de la cobertura es que no se cambia el valor de la posición, SPOT y FUTUROS cuando se cambie la tasa de interés. Otra vez, el cambio del valor de la posición es:

d Vd r

d Sd r

+ Nd Fd r

= d S

Sd y Sd y

d r + N

d F

Fd y . Fd y

d r

El problema es resolver esta ecuació para el número de los futuros, N, bajo la condición que el valor de la posición SPOT y FUTUROS ne se cambia:

SS

S S

SD = - dS

S 1 + y

dy dy1 + y

dS

S

FF

F F

FD = - dF

F 1 + y

dydFdy

1 + y

F

N = - SD

(1 + y ) (1 + y )

FD

dy

dy

dr

S

S

F

F

S

F

dr

N = - S D (1 + y )

F D (1 + y )S F

F S

Usando la definición de la duración:

Sustituimos por dS/dys y también por dF/dyF y resolvemos por N:

El óptimo número de los futuros es:

LOS FUTUROS SOBRE ACTIVOS SUBYACENTES QUE REDITUAN INTERES

Los contratos más exitosos son los dos futuros a corto plazo: 13-semanas T-bills y 3-months Eurudólar time deposit y el futuro a largo plazo: Treasury T-bonds.

En esta asignatura vamos a tocar sólo los primeros.

LAS ESPECIFICACIONS DE LOS CONTRATOS

Specifications 13-week Three-month EurodollarU.S Treasury bill time deposit

Size $1,000,000 $1,000,000

Contract grade New or Dated treasury bills Cash settlementwith 13 weeks to maturity

Yields Discount Add-on

Hours 7:20AM to 2:00 7:20 AM to 2:00 PM(Chicago time)Delivery Months Mar. Jun. Sep. Dec. Mar. Jun. Sep. Dec.

Ticker Symbol TB ED

Minimum Price .01(1 basis point) .01(1 basis point)Fluctuations ($25/pt) ($25/pt)

Last day of The day before the first 2nd London business daytrading delivery day before 3rd Wednesday

Delivery Date 1st day of spot month on Last day of tradingwhich 13-week Treasury bill is issued and a 1-yearT-bill has 13 weeks to maturity

Sy = (

36591100

97.927222 - 1) = .0876

Fy = (

36591100

97.83 - 1) = .0981

FN = .25

.25.979,272

978,300.1.0876

1.0981 = 1

COBERTURA LARGA CON

FUTUROS DE T-BILLS

FECHA SPOT FUTUROS

15.2 P = $979.272,22 F = $978.300

Comprar 1 futuro de T-bill para junio.

17.5 P = $980.561 Vender 1 futuro de T-bill para junio. F = $981.350

Comprar $1M por $980.561

Ganacia de futuros: ($981.350 – 978.300)(1) = $3.050

El precio pagado $977.511

COBERTURA CON FUTUROS

DE EURODOLARES

FECHA SPOT FUTUROS

23.5 90-días L = 9,25% F = 906.500

Vas a tomar un préstamo de Vender 10 futuros de

$10M el 19 de junio por L eurodólares para junio

19.6 Tomar $10M para 90 Comprar 10 futuros de

Días r = L eurodólares F = $930.000

1. L = 7% Pérdida de los futuros: $235.000/4 = $58.750

Interés ($10M)(0,07)(0,25) = $175.000

Pago total $233.750

2. L = 10,5% F = 895.000

Ganacia de los futuros: $115.000/4 = $28.750

Interés ($10M)(0,105)(0,25) = $262.500

Pago total $233.750

r pagado: [233.750/10M](4) = 9.35%

Una firma toma un préstamo de $10M

con tasa flotante L+1%

FECHA SPOT FUTUROS

15.Sep Recibir $10M Vender 10 futuros de T-bills

L = 8% =>r = 9%=>I = $225.000 F(diciembre) = 91,75

F(marzo) = 91,60

F(junio) = 91,45

I pagado $225.000 (9%)

15.Dic

L = 9,15%=>r=10,15%=>I=$235.750 Comprar 10 futuros de T-bills F(diciembre)=90,85

ganancia = 10[91,75-90,85]10.000(0,25) = $22.500

I pagado $231.250 (9,25%)

15.Marzo

L =9,50%=>r=10,50%=>I =$262.500 Comprar 10 futuros

de T-bills F(Marzo) = 90,50

ganacia = 10[91,60-90,50]10.000(0,25)= $27.500

I pagado &235.000(9,40%)

FECHA SPOT FUTUROS

15.June

L = 10,05%=>r=101,05%=>I=$276.250 Comprar 10 futuros de T-bills F(junio)=89,95

ganancia = 10[91,45-89,95]10.000(0,25) = $37.500

I pagado $238.750 (9,55%)

15.Sep Repagar $10M

En todos los períodos el interés, I, y la tasa r se determinan según las fórmulas:

I = 10[(L + 100)/100]10.000(0,25)

r = {[I pagado]/10M}(0,25)

El banco da un préstamo de $10M con tasas fijas

De: 9,00%; 9,25%; 9,40%; 9,55%

FECHA TASA SPOT FUTUROS

15.Sep 9,00% L = 8,00% Vender 10 futuros de T-bills

F(diciembre) = 91,75

Margen de ganacia = 1% F(marzo) = 91,60

F(junio) = 91,45

I pagado $225.000 (9%)

15.Dic 9,25% L = 9,15% Comprar 10 futuros deT-bills (0,001)10M(0,25) = $2.500 F(diciembre) = 90,85

ganancia = 10[91,75-90,85]10.000(0,25) = $22.500

Margen de ganancia = 1%

15.Marzo 9,40% L = 9,50% Comprar 10 futuros deT-bills (-0,001)10M(0,25) = -$2.500 F(Marzo) = 90,50

ganacia = 10[91,60-90,50]10.000(0,25) = $27.500

Margen de ganancia = 1%

FECHA TASA SPOT FUTUROS

15.June 9,55% L = 10,05% Comprar 10 futuros deT-bills (-0,005)10M(0,25) = - $12.500 F(junio) = 89,95

ganancia = 10[91,45-89,95]10.000(0,25) = $37.500

Margen de ganacia = 1%

15.Sep Recibir $10M