BOLETÍN TEORÍA ONDAS (TRABAJO)

Problema 1

Considere la siguiente ecuación de las ondas que se propagan en una cuerda: y(x,t)=A sen (Bt

±Cx) ¿Qué representan los coeficientes A, B y C? ¿Cuáles son sus unidades en el Sistema

Internacional? ¿Que indica el signo “ +- ” que aparece dentro del paréntesis?

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A: es la amplitud de la onda y se mide en unidades de distancia, para el sistema internacional,

metros.

B: Es la frecuencia angular (ω) (o velocidad angular) (o pulsación) de la onda y se mide en

radianes/segundos (recordar que algunos autores lo miden solo en 1/segundos). Su fórmula

es:

Con f la frecuencia de la onda y T su periodo.

C: Es el número de onda y se mide en radianes/metros. Su fórmula es:

Con λ la longitud de onda.

El signo más-menos que aparece en la onda sirve para identificar la dirección de

desplazamiento de la onda:

(Sentido positivo del eje OX) Signo -

(Sentido negativo del eje OX) Signo +

Problema 2

Escriba la ecuación de una onda armónica transversal que se propaga a lo largo del sentido

positivo del eje X e indique el significado de las magnitudes que aparecen en ella.

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( ) ( )

Donde todas las magnitudes han sido ya explicadas en la pregunta anterior, salvo theta, que

sería la fase inicial de la onda (expresada, obviamente, en radianes).

Problema 3

¿Qué se entiende por periodo y por longitud de onda? ¿Qué relación hay entre esas dos

magnitudes?

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Se entiende por periodo (T, medido en segundos) al tiempo que debe pasar para que la

partícula del medio que vibra como consecuencia del paso de la energía transportada por la

onda vuelva a alcanzar un mismo punto de la vibración.

La gráfica muestra la gráfica de la onda para un punto x0 fijado, es decir, muestra la vibración

de una partícula del espacio, en el punto x0, en el tiempo. Vemos que otra forma de

interpretar el período es como lo que tarda dicha gráfica en dar un giro completo.

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En el caso de la longitud de onda (λ, medida en metros), hablamos de lo que avanza la onda,

en la dirección de propagación, en una vuelta completa.

En la gráfica vemos la forma de la onda para un instante t0 determinado (como si “tomáramos

una foto” de la onda en un instante y viéramos cómo es). Vemos que la longitud de onda se

puede también interpretar como el espacio recorrido, en la dirección de propagación, para dar

una vuelta completa.

Problema 4

Explique la doble periodicidad de las ondas armónicas e indique las magnitudes que las

describen.

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Esta pregunta cayó en el examen parcial. Se remite al alumno a ella para buscar la respuesta.

Solo indicar aquí que la doble periodicidad es por un lado temporal y por otro espacial, que

cada una de ellas tiene una magnitud que la “gobierna”, a saber:

T: Periodo (s)

λ: Longitud de Onda (m)

Y que, si hiciéramos, en la ecuación de onda.

y(x+λ,t)

ó

y(x,t+T)

Al realizar los cálculos, veríamos como al argumento del seno o coseno se le sumarían 2·π

radianes, lo que es una vuelta completa, no modificando por tanto su valor.

Problema 5

Explique qué es un movimiento armónico simple y cuáles son sus características cinemáticas.

Comente la siguiente frase: “Si se aumenta la energía mecánica de una partícula que describe

un movimiento armónico simple, la amplitud y la frecuencia del movimiento también

aumentan”.

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Un movimiento armónico simple (o MAS) es un tipo de movimiento, denominado oscilatorio,

consistente en el movimiento periódico de un elemento alrededor de un centro o punto de

equilibrio.

Se modela matemáticamente mediante las funciones periódicas seno o coseno.

Para obtener la velocidad, basta con derivar la expresión de la elongación.

Para obtener la aceleración, basta con derivar la expresión de la velocidad o derivar dos veces

la expresión de la elongación.

Se puede observar cierta correlación entre las funciones de elongación, velocidad y aceleración

de un MAS, representada en la siguiente gráfica:

Para hablar sobre la energía de un MAS, tenemos una gráfica que nos ordena las ideas:

Vista la gráfica, parece claro admitir que dicha afirmación es cierta, ya que la energía mecánica

de la partícula está directamente relacionada con los valores de amplitud y frecuencia, por lo

que si el primero aumenta, es sin duda porque aumentan los dos últimos.

Problema 6

Dos partículas de igual masa, m, unidas a dos resortes de constantes k1 y k2 (k1>k2), describen

movimientos armónicos simples de igual amplitud. ¿Cuál de las dos partículas tiene mayor

energía cinética al pasar por su posición de equilibrio? ¿Cuál de las dos oscila con mayor

periodo? Razone las respuestas.

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Al pasar por el punto de equilibrio, la energía cinética es máxima e igual a la Energía Mecánica.

Por tanto, si una partícula tiene mayor constante elástica que la otra, será ella la que tenga

mayor energía cinética en ese punto. Por tanto, la que tendrá mayor energía cinética al pasar

por el punto de equilibrio será la partícula 1.

Por otra parte, dado que la constante y que

, entonces parece claro que a

menor constante elástica, mayor periodo, por lo que es la partícula 2 la que oscila con mayor

periodo que la partícula 1.

Problema 7

Enuncia el Principio de Huygens y utilízalo para explicar los fenómenos de Reflexión y

Refracción de una onda.

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Principio de Huygens: Cada punto de un frente de ondas puede considerarse un foco de ondas

secundarias que se propagan en la misma dirección de la perturbación. La velocidad de

propagación y frecuencia de estas ondas secundarias es la misma que la de la onda original.

La superficie tangente (conocida como envolvente) a todas las ondas secundarias en un

determinado instante es el siguiente frente de ondas.

Este principio se usa para explicar los efectos de refracción y reflexión de una onda (repito, SE

USA, se puede usar para más cosas, pero entre ellas, está esta). La explicación se puede

apreciar en la imagen. Básicamente, el frente de ondas va llegando en distintos instantes a los

puntos de la interfaz entre los dos medios y por tanto, los nuevos focos se van generando

también en distintos instantes, comenzando a transmitir la onda nada más ser creados. Estas

diferencias de tiempo hacen o bien que el frente se refleje o se refracte, según la superficie

con la que choque.

Problema 8

Explique qué es una onda estacionaria e indique cómo puede producirse. Describa sus

características.

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Una onda estacionaria se produce por la superposición de dos ondas de igual frecuencia,

amplitud y longitud de onda pero distinta dirección de propagación, concretamente, ambas

ondas se propagan en distintos sentidos de una misma dirección.

A partir de ahí, dependiendo de las funciones que describan a ambas ondas, tendremos una

ecuación resultante u otra. Las relaciones trigonométricas que hay que aplicar son las

siguientes:

Para describir sus características, cogeremos uno de los posibles resultados, cuya ecuación

sería:

( ) ( ) ( )

Podemos ver cómo los términos del tiempo y el espacio están separados, cada uno en una

relación trigonométrica, y como la amplitud máxima será 2 veces la amplitud normal.

Sobre cómo podría producirse, el caso más lógico es al tocar la cuerda de una guitarra.

Problema 9

Calcule las posiciones de nodos y vientres para una onda estacionaria formada por dos ondas

armónicas expresada mediante la función seno. ¿Qué diferencias encuentras con los puntos

obtenidos al definir el movimiento de la onda mediante la función coseno? ¿Podríamos decir

que nodos y vientres son un concepto más que una formula y que los puntos donde se

generarán deberán ser calculados en cada caso, o por el contrario siempre es lo mismo y solo

hay que utilizar diligentemente la fórmula?

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La superposición de dos ondas expresadas a través de la función seno, suponiendo la fase

inicial igual a 0, es como sigue:

( ) ( ) ( )

Recordar que también la presentada es una fórmula válida para las ondas armónicas y que

refleja el sentido distinto del desplazamiento de ambas ondas.

Aplicando la relación trigonométrica:

Queda la expresión:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Los nodos son puntos para los cuales A(x) es mínima (e igual a 0), por tanto sen(kx)=0.

Por tanto kx = π·n con n=0,1,2,3,…

( ) ( )

Los vientres son puntos para los cuales A(x) es máxima (e igual a +-2A), por tanto, sen(kx)=+-1.

Por tanto kx= π /2 +π ·n con n=0,1,2,3,…

( )

( ) ( )

Como se puede comprobar, se dan lugares opuestos a los que aparecieron en la explicación de

clase, donde se usaron dos ondas armónicas expresadas a través de la función coseno.

Esto pone de manifiesto que, para cada superposición propuesta, se deberá hacer un estudio

individual del fenómeno y ver en qué puntos de la propagación caen vientres y nodos.

Problema 10

Estudie las interferencias producidas entre dos ondas armónicas expresadas mediante la

función seno. ¿Qué diferencias encuentras con los puntos obtenidos al definir el movimiento

de la onda mediante la función coseno? ¿Podríamos decir que “las interferencias producidas

entre dos ondas armónicas” son un concepto más que una formula y que los puntos donde se

generarán deberán ser calculados en cada caso por separado, o por el contrario siempre es lo

mismo y solo hay que utilizar diligentemente la fórmula?

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Las interferencias de dos ondas expresadas a través de la función seno, suponiendo la fase

inicial igual a 0, y para un punto que dista x1 del foco de la onda 1 y x2 del foco de la onda 2, es

como sigue:

( ) ( ) ( )

Recordar que también la presentada es una fórmula válida para las ondas armónicas.

Por lo que, aplicando la relación trigonométrica:

Queda una ecuación de superposición de ondas como la siguiente:

( ) (

) (

)

Para calcular las interferencias, nos fijamos en la parte no dependiente del tiempo.

Las interferencias destructivas se producirán cuando (

) , lo cual se

produce si:

(

)

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

Para las interferencias constructivas, estas se producirán cuando se maximice la amplitud, esto

es: (

) , lo cual se produce para:

(

)

( )

( )

( )

( )

Como podemos observar, se asemejan a las estudiadas en clase, sin embargo, como en la

pregunta anterior, podría darse el caso de que salieran distintas, dependiendo, a la hora de

aplicar la fórmula trigonométrica, de si es el seno el que acaba teniendo el argumento

diferencia de los argumentos originales.

Se hace por tanto necesario, realizar los cálculos matemáticos para llegar a los puntos

concretos para cada caso.

Por último, es importante recordar que, los puntos obtenidos, son aquellos para los cuales la

diferencia de las distancias al foco es un número par o impar de veces la mitad de la longitud

de onda de ambas ondas. Recordar que, para que exista superposición, las ondas deben ser

coherentes, es decir, deben tener la misma frecuencia y longitud de onda.