PRESENTACIÓN

El proyecto CLAVEMAT (Clase virtual de

Matemática y Tutoría) tiene el gusto de

invitarlo a la lectura de su cuarto bole-

tín. En esta oportunidad, el tema cen-

tral y las demás secciones girarán en

torno a la geometría.

La geometría es una parte importan-

te de la cultura del hombre, no es fácil

encontrar contextos en que la geome-

tría no aparezca de forma directa o in-

directa. Actividades tan variadas como

el deporte, la jardinería o la arquitec-

tura, por citar algunas, se sirven de la

utilización, consciente o no, de proce-

dimientos geométricos.

Se admite de forma universal la impor-

tancia de la geometría como formado-

ra del razonamiento lógico. Pocos son

quienes discuten su trascendencia tan-

to en estudios posteriores de cualquier

ciencia como en el desarrollo de ha-

bilidades cotidianas. No es casual que

la geometría fuese ya en la Antigua

Grecia una rama importante del saber,

aunque su origen es anterior.

La geometría ha sido durante siglos

uno de los pilares de la formación aca-

démica desde edades tempranas. Du-

rante el siglo pasado, perdió paulatina-

mente presencia en los planes de estu-

dio. Afortunadamente, los actuales cu-

rrículos de matemáticas de todos los

niveles educativos confieren a la geo-

metría la importancia que nunca debió

perder.

Es importante señalar que algunos

de los socios del proyecto ALFA III-

CLAVEMAT (en Chile, Colombia, Cuba y

Ecuador) ofrecen tutorías en esta área

a nivel de bachillerato y primer año uni-

versitario.

En esta edición del boletín presen-

tamos curiosidades, acertijos, humor

y otras secciones relacionados con la

geometría que esperemos motiven a

nuestros lectores a profundizar en este

interesante tema, a consultar la página

del proyecto y a usar todos sus servi-

cios. Nuestro objetivo es que a través

de la comunidad virtual podamos in-

teractuar entre docentes, estudiantes,

instituciones educativas y países de La-

tinoamérica para mejorar la educación

en Matemáticas.

¡Disfruten la lectura!

Noticiascomodín

Matemática entodas partes

Curiosidadesmatemáticas

Acertijocomodín

Mayor información del Proyecto:contacto@clavemat.org

593 2 2507144 Ext. 2233

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CLAVEMAT

Julio 2013 Año 2 / Nº 4

CLAVEMAT

Julio 2013 Año 2, Número 4

Noticias

Talleres de presentación de #cmat13

Con la finalidad de presentar el curso virtual de enseñan-za aprendizaje, #cmat13, que se desarrolló del 3 al 21de junio a través de la plataforma de Clavemat, y expli-car su dinámica de funcionamiento a los y las docentesde los cinco países socios del proyecto, se llevaron a ca-bo varios talleres que contaron con la participación de unimportante número de asistentes, entre fines de mayo ylos primeros días de junio.

En la ciudad de Bogotá, Colombia, el evento contó conla presencia de más de 30 profesores procedentes de di-cha ciudad y de municipios cercanos. Aquí se desarrolla-ron dos actividades: 1) Una presentación del proyecto; y,2) una “carrera de observación” que tuvo como objeti-vo brindar los conocimientos, herramientas y habilidadesrelacionadas con el funcionamiento e interfaz de la plata-forma de Clavemat, además de información general so-bre las temáticas a abordar en el #cmat13. Para esto serealizaron dos videos titulados Conociendo el #Cmat13(1) y Conociendo el #Cmat13 (2) (los dos videos puedenencontrarse en la plataforma).

Por otra parte, entre las estrategias que la Universidaddel Cauca adoptó para apoyar la consolidación de la co-munidad virtual, está la realización de varios talleres eninstituciones educativas con población vulnerable de laregión. Estos talleres se realizaron en jornadas de entre 2y 8 horas, y asistieron directivos, docentes de matemáti-cas y estudiantes de los tres últimos grados de bachille-rato. Durante las sesiones se presentó una socializacióndel proyecto Clavemat y se realizaron capacitaciones so-bre la página web del proyecto, y el uso y manejo de lasplataformas: Aula Virtual y CmatPuente.

Durante el transcurso del año 2013, se han beneficiadomás de 550 personas con estos talleres, los cuales, ade-más del objetivo ya indicado, buscan que los docentes ylos estudiantes utilicen las plataformas virtuales del pro-yecto Clavemat como medio de apoyo en la enseñanzay el aprendizaje de la matemática, tanto en la prácticadocente como en la formación de las personas.

Finalmente en las ciudades de Chota, Riobamba y Tena,en Ecuador, se realizaron encuentros simultáneos los cua-les contaron con la participación de docentes de escuelaspúblicas de cantones rurales de las provincias antes indi-

cadas.

En la ciudad de Riobamba, sede del taller dirigido a loscolegios de las provincias de Chimborazo, Bolívar, Cañary Tungurahua, asistieron un total de 58 profesores y pro-fesoras. En el acto inaugural del evento, estuvieron pre-sentes la Vicerrectora Académica y el Vicerrector Admi-nistrativo de la Universidad Nacional de Chimborazo, ins-titución que apoyó con las instalaciones para el desarrollodel taller, quienes además expresaron su satisfacción depoder colaborar con el proyecto.

Por otra parte, en la ciudad del Chota, una de las regionesdel Ecuador reconocida por la inmensa riqueza cultural dela población afrodescendiente, pero con altos niveles depobreza, se reunió un total de 53 profesores en el ColegioTécnico Valle del Chota; y, finalmente, la ciudad del Tenarecibió a un total de 43 participantes provenientes de lasprovincias de Tena, Orellana y Pastaza.

Coincidencialmente en los talleres organizados por lastres universidades socias de Clavemat, los y las docentesexpresaron su interés y necesidad de conocer no solo eluso y manejo de las nuevas tecnologías de la comunica-ción, sino cómo utilizarlas en los procesos de enseñanzaaprendizaje con sus estudiantes. Varios de ellos partici-paron posteriormente en el curso virtual #cmat13.

De estas experiencias se asumirán una serie de retos yacciones nuevas con miras a cumplir con los objetivos delproyecto. Al final de la jornada, los docentes manifestaronlo gratificante de la actividad, no solo porque cumplía conel objetivo de darles a conocer la plataforma, sino porquese les había brindado un claro ejemplo de una actividadde aprendizaje autónomo que podían utilizar en su laborde enseñanza. En conclusión, los participantes quedaronlistos, inscritos, expectantes y muy entusiasmados con elcurso #cmat13.

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Noticias

Segunda edición de #cmat13 en CubaEn el marco de la convocatoria para los exámenes de in-greso a la Educación Superior, cinco profesores miembrosdel proyecto Clavemat, pertenecientes a la Universidadde Granma, participaron en los tribunales provinciales decalificación en el área de matemática, duodécimo gradode preuniversitario, los cuales son requisito para que losy las estudiantes accedan a la Educación Superior en Cu-ba. En este espacio, el equipo de Clavemat tuvo la opor-tunidad de interactuar con profesores de la enseñanzapreuniversitaria, presentarles el proyecto y convidarlos aparticipar en el curso #cmat13.

En cuanto a los exámenes realizados, cualitativamente semostraron avances de los estudiantes en temas relacio-nados con geometría plana y del espacio, así como en laresolución de problemas; sin embargo las mayores difi-cultades se concentran en la resolución de ecuaciones y

el trabajo con funciones. Esta información resulta de granimportancia para el proyecto, ya que orienta el diseño delos contenidos de los cursos en línea como #cmat13 yCmatPuente, así como el programa de tutoría.

De igual manera se han realizado encuentros con direc-tivos, metodólogos y funcionarios del Ministerio de Edu-cación (MINED) Provincial, en los cuales se puso de ma-nifiesto la importancia de ayudar a motivar a estudiantesy profesores a través del proyecto Clavemat. Con esta fi-nalidad actualmente se está preparando una edición del#cmat13, dirigido a profesores de enseñanza media su-perior en Cuba, y que por no contar con el servicio deInternet, les fue imposible participar en el curso original.Esta versión se desarrollará durante el mes de Septiem-bre del presente año.

TU Delft: Juegos en la educaciónEl programa de Clavemat del presente año, contempla elabordaje del concepto del juego en la educación. Estos osus elementos se pueden utilizar para aumentar la mo-tivación en el proceso de aprendizaje, mediante la inte-gración de una narrativa atractiva, ficticia, o mediante laintegración de papeles reales con tareas y desafíos per-tinentes. Mejor aún, si estudiantes y profesores, a travésdel juego, logran una experiencia de inmersión en su pro-ceso de aprendizaje. Las personas juegan porque quie-ren, no porque tengan que hacerlo. Al observar cuidado-samente los resultados de un juego, se conoce que estemedio es útil, porque nos enseña algunos de los elemen-tos básicos de la motivación que podemos utilizar tantoen el aula como fuera de ella.

Con el fin de apoyar a los docentes para integrar juegoso sus elementos en el aula, hemos desarrollado una es-tructura que se puede utilizar para crear un “miniJuego derealidad alternativa”. Éste alterna la ficción con la reali-dad, en línea y fuera de línea, y utiliza diferentes mediospara contar una historia. Además, su narrativa se enri-quece con las interacciones, historias y reflexiones de losparticipantes, y su objetivo es atraer a un grupo de perso-nas para que utilicen acertijos, información oculta, perso-najes e historias, estimular a los participantes a reunirsee interactuar y contribuir con el juego en sí.

La estructura del diseño se basa en experiencias previas,como el Juego de Mundo (WorldGame) y Mundo Sin Petró-

leo (WorldWithoutOil), e integra la teoría del aprendizaje,diseño de juego de realidad alternativa (RA) y la teoría dela motivación. Nos centramos en RA, porque no se requie-re de mucha tecnología o experiencia para aumentar laaccesibilidad, ni se necesita ser un experto en el tema; elo la docente sólo se tiene que aprovechar su creatividad,la de sus colegas y la de sus estudiantes.

Juegos en Clavemat

Durante la fase de preparación, Thieme Hennis, asisten-te de investigación del proyecto Clavemat por la Univer-sidad de Delft en Holanda, organizó un taller con otrosinvestigadores, algunos de los cuales son diseñadores dejuegos, con el fin de poner a prueba la estructura de dise-ño del primer miniJuego, de la cual se identificaron algu-nos de sus puntos débiles. Basándose en la información,durante y después del miniJuego, se adaptó una estructu-ra de una manera que requiere menos lazos fuertes entreminiJuegos (historias), y que se centre en el diseño fun-cional en sí mismo, independientemente de los otros. Lapropuesta inicial de Clavemat implicaba la creación deun juego de realidad alternativa bastante grande en elque todos los personajes estén conectados a través delas variables compartidas (como el clima). Durante el ta-ller, se cayó en cuenta que la interacción y la creaciónde variables compartidas era difícil cuando los grupos departicipantes de los diferentes miniJuegos estaban en unamisma habitación, más aún cuando estos se encuentranen diferentes espacios. Se observó, además, que hay máscreatividad si un grupo se enfoca en un solo juego, sin te-ner que pensar demasiado en cómo conectarse con otros.El enlace con otros miniJuegos, siempre es posible, peroes mejor hacerlo en una fase posterior, una vez que cadajuego individual se pueda jugar de forma independiente.

El lector/a interesado/a en desarrollar su propio miniJue-go, puede descargar gratuitamente la plantilla de diseñodesarrollada por el proyecto Clavemat aquí.

¡Comienza a crear tu miniJuego hoy!

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Matemática en todas partes

Un problema práctico: medir el área de un terreno*

Heródoto cuenta (Historias, II, CIX.) que bajo el gobiernodel faraón Sesostris se hizo una repartición de los camposcon los impuestos correspondientes. Pero como las inun-daciones del Nilo solían destruir varias partes de los cam-pos, tenían que medir cuánto les quedaba a los agriculto-res para calcular el impuesto correspondiente. De allí elorigen de la geometría —y de la palabra “geometría”—sería: el arte de medir la tierra. Entonces, con base enel texto de Heródoto, la Geometría permitiría medir úni-camente áreas; sin embargo, también permite medir dis-tancias, ángulos, proporciones. En este artículo, nos que-damos con la tarea de medir el área de un terreno, lo queera igualmente importante en Egipto como en todas lasculturas antiguas (Egipcia, Babilónica, Azteca, Inca), pa-ra calcular impuestos o para distribuir el terreno. Si loscampos tienen la forma rectangular,

bA

bB

bC

bD

el área se calculaba (en Egipto, Babilonia, en la culturaAzteca, etc.) como AB · BC. No es evidente si esa fórmulaera considerada solo como una herramienta para resolverla tarea práctica, como definición de la noción de área ocomo un teorema.

Una diagonal corta el rectángulo en dos triángulos rec-tángulos y congruentes.

bA

bB

bC

bD

¿Es evidente el principio siguiente, es parte de la defini-ción de área, o es un teorema?

(P) Figuras congruentes tienen la misma área.

Sea como sea, resulta con ese principio (y un método pa-ra verificar la congruencia), que el área de cada uno de

los dos triángulos es1

2AB · BC. La misma idea nos da un

“algoritmo” para calcular el área de un triángulo gene-ral. Con ayuda de una altura, se puede representar comounión de dos triángulos rectángulos o como diferencia dedos triángulos rectángulos (se quita un triángulo de otro).

b

C

bA

b B

b

D

α = 90◦

b C

b A

b B

b

D

b

α = 90◦

En ambos casos resulta —mediante el principio (P)— que

el área es1

2AB · BD.

De la misma manera se obtiene el área de un trapecio:

b D b

A

b BbC bE

b

bG

α = 90◦

como1

2

�

AD + BC�

· EG.

Si podemos determinar el área de cualquier triángulo, elprincipio (P) permite pasar a cualquier polígono:

bA

bB

bGb F

bD b E

b

bH

Miramos otra vez el principio (P): en el imperio de los In-cas no había propiedad privada del terreno. Se otorga-ba una unidad “tupu” de terreno a cada varón, pero esaunidad tomaba en cuenta la fertilidad, humedad, etcéte-ra. El “tupu” era una unidad relativa a la cosecha quepuede sostener una persona o una familia (Rostworows-ki, M. 1981.Mediciones y cómputos en el antiguo Perú enRunakunap Kawsayninkupaq Rurasqankunaqa, La tecno-

logía en el mundo andino México, Universidad Autónomade México.). Evidentemente, para esa medida, el princi-pio (P) no vale. Dos triángulos congruentes pueden re-presentar tierras y cosechas muy diferentes. No sabemoscomo determinaban el tamaño de un “tupu”.

*Esta sección ha sido preparada por Stefan Born, miembro del equipo de Clavemat, Universidad Técnica de Berlín.

4

Matemática en todas partes

¿Práctica sin teoría?

El problema de determinar el área parece resuelto enesos casos, pero ¿cómo se determina la altura? ¿Y cómose decide si un ángulo es un ángulo recto? La búsque-da de respuestas a esas preguntas requiere mas geome-tría. Por ejemplo, se puede obtener la altura de un trián-gulo con regla y compás —después de que inventaronambos— o se puede intentar calcular el área de las lon-gitudes de los lados. Eso se puede realizar, por ejemplo,con la ayuda de la relación 2 + b2 = c2 en un triángulorectángulo con catetos y b, que mucho más tarde seconoció con el nombre de Teorema de Pitágoras. En Babi-lonia, esa fórmula fue conocida como un algoritmo [tablaBM 85196, Vs. II, 7-20] para calcular la longitud de un ca-teto, del otro cateto y de la hipotenusa. No representabaun teorema y tampoco había una demostración. No sa-bemos cómo llegaron a tal algoritmo, pero si no teníandemostraciones, podían fácilmente equivocarse. De he-cho, en una situación un poco más compleja, las fuentesbabilónicas contienen fórmulas incorrectas. El área de uncuadrilátero no está determinada por las longitudes desus lados (¡lector/a, imagínese un ejemplo!).

Entonces no puede existir una fórmula para calcular elárea solo con esas longitudes. Sin embargo se encuen-tra un algoritmo incorrecto en las fuentes babilónicas,

que corresponde a la fórmulaAB+ CD

2×

AC + BC

2. A pe-

sar de contraejemplos evidentes, la fórmula fue utilizadatambién en Egipto y parece que hasta por los agrimenso-res romanos, aunque en su época la geometría griega yahabía producido soluciones correctas. A los romanos lesgustaba más “la práctica”, pero aquí se ve que la falta deteoría puede arrastrar errores en la práctica.

He leído en un libro: la única contribución de los ro-

manos a la historia de la Matemática fue que un sol-

dado Romano mató a Arquímedes. De hecho, con

los romanos no hay progreso en la matemática teó-

rica; se interesaban más por las aplicaciones prác-

ticas (Gericke, H. 1984. Mathematik in Antike und

Orient, Springer.).

Un romano podría objetar que no pasaba nada con loserrores de sus agrimensores: la única consecuencia esque algunos ciudadanos paguen un poco más y otros unpoco menos de impuestos. Una fórmula más complicadahabría sido un problemamás grave para los agrimensoresque la ligera injusticia que nuestros cálculos representanpara nuestros ciudadanos.

¿Teoría sin práctica?

Con la matemática griega, entramos en el dominio de lageometría como ciencia pura. Ya en las nociones más sim-ples hemos visto la dificultad de distinguir lo “evidente”de lo que hay que demostrar. Las fórmulas de área an-teriores fueron deducidas del área de un rectángulo, dealgunos criterios de congruencia y el principio (P). Seríaposible empezar con otros principios para demostrar am-bos y todo lo que sigue.

De todas maneras, si tenemos algunos principios que nodudamos, y si obtenemos nuevos resultados solo de esosprincipios, podemos aumentar nuestro saber paso por pa-so. A la vez quedamos con algo que es igualmente fiableque los principios. Esa nueva arquitectura de una teoríapermitía a los griegos descubrir (y demostrar) muchaspropiedades de figuras geométricas. Los Elementos deEuclides son el primer ejemplo de un sistema axiomático.Contiene como axiomas lógicos postulados geométricos.A pesar de algunas excepciones, donde sus demostracio-nes utilizan algo más que los axiomas y postulados, laobra de Euclides ha sido un manual de geometría duran-te mas de dos mil años. Y por su procedimiento axiomáti-co, un/a lector/a de hoy puede leer y entender la demos-tración euclidiana del teorema de Pitágoras de la mismamanera que un antiguo griego.

Los filósofos desde Platón a Spinoza quedaron impresio-nados por el modo geométrico de encontrar “verdadeseternas”. Resolver un problema de la geometría euclidia-na permite a un estudiante obtener una experiencia ma-temática fundamental: el problema se da con un dibujoy es accesible a la imaginación, pero la solución depen-de de la creatividad. Hay que añadir estructuras (otrospuntos, líneas, círculos) para ver las propiedades de losobjetos y encontrar una demostración. Eso es una expe-riencia que no se puede hacer con ningún algoritmo.

El progreso de la geometría griega era una consecuenciade su abstracción. La búsqueda de verdades geométricasfue una disciplina intelectual respetada sin necesidad deaplicaciones. Sin embargo la geometría debía aplicarse,y Arquímedes de Siracusa es igualmente famoso por susdescubrimientos en geometría que por sus invencionesmecánicas.

Personalmente pienso que ambos actitudes hacen daño,sobre todo en la enseñanza de la geometría: ignorar lasaplicaciones e insistir que todo sea aplicado. Cito el poe-ma ’Arquímedes y el aprendiz’ del poeta Friedrich Schiller:

Vino a Arquímedes un joven deseoso de saber;

iníciame, le dijo, en ese arte divina,

5

Matemática en todas partes

que tan magníficos frutos dio a nuestra patria,

y protegió los muros ciudadanos frente a las sam-

bucas**.

¡Divino dices que es el arte! Y lo es, replicó el sabio,

mas ya lo era, hijo mío, antes de servir al estado.

Si quieres frutos, puede dártelos también una mor-

tal;

el que aspira a la diosa, no busque en ella a la don-

cella.

Un poco más sobre axiomas

Miremos el Quinto Postulado de Euclides:

Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos in-

ternos menores a dos ángulos rectos, esas dos rec-

tas prolongadas indefinidamente se cortan del lado

en el que están los ángulos menores que dos rectos.

En un sistema modificado, el quinto postulado toma laforma siguiente:

Por un punto exterior a una recta, se puedetrazar una única paralela a la recta dada.

Durante dos milenios, muchos matemáticos intentarondeducir ese “postulado de las paralelas” de los otro cua-tro. Dedicaron a veces su vida a la solución de un proble-ma que por fin se mostró insoluble. El matemático FarkasBolyai, estudiante de Carl Friedrich Gauß, escribió en unacarta a su hijo Janos Bolyai:

No puedes tratar las paralelas sobre ese camino; co-

nozco ese camino hasta su fin, yo también pisaba

en esa noche sin fondo, que apagó toda la luz, to-

da la alegría de mi vida, yo te imploro, por Dios,

deja la teoría de las paralelas en paz, puede quitar-

te tu tranquilidad, tu salud, la felicidad de tu vida.

Si hubiera podido descubrir las paralelas, me habría

convertido en un ángel. . . No se entiende, como esa

oscuridad ineludible, ese eclipse permanente, esa

tacha de la geometría, esa nube permanente de la

virgen verdad, ha sido permitido. . .

Sin embargo, el hijo Janos Bolyai no tenía miedo y tra-bajaba sobre el problema, y por fin descubrió una geo-metría que obedece todos los postulados salvo el quin-to. Independientemente, Nikolái Lobachevski construyó

un tal ejemplo. Entonces, por fin se sabía que el quintopostulado es independiente de los otro cuatro. Hay geo-metrías “euclidianas” con este postulado y geometrías“no-euclidianas”. Las demostraciones que utilizan solo lospostulados I-IV son válidas en ambas geometrías.

Las debilidades del sistema axiomático de Euclides fue-ron resueltas solo en el año 1899 por David Hilbert, quelo reformuló en un sistema con 21 axiomas sobre puntos,rectas y planos. Demostró la independencia y coheren-cia del sistema que determina la estructura de un espa-cio real de tres dimensiones con producto escalar. En esaépoca, había cambiado la actitud frente a los axiomas.Estos ya no eran verdades que había que aceptar, sinopremisas formales. Hay objetos muy diferentes que pue-den satisfacer el mismo conjunto de axiomas. Entoncesaparece una nueva relación entre “matemática pura” ysus aplicaciones. Las verdades de un sistema axiomáti-co pueden ser aplicadas a cualquier objeto que satisfaceesos axiomas (mire usted el ejemplo de un plano proyec-tivo finito en la plataforma de Clavemat). Para explicarese punto de vista, Hilbert dijo:

Los elementos tales como el punto, la recta, el plano

y otros, se pueden sustituir con mesas, sillas, jarras

de cerveza y otros objetos.

No hay una geometría, sino muchas. Como vivimos en lasuperficie de la tierra, nos interesa la geometría esférica.Y como según la teoría de la relatividad el espacio mismoes curvo, necesitamos una geometría diferente para en-tender el cosmos. Pero lo que se aprende trabajando conla geometría euclidiana es igualmente útil para entenderesas otras geometrías. También es posible acercarse alespacio euclidiano como espacio vectorial con métodosde la “geometría analítica”. Eso suele ser un abordajemás algorítmico que el sistema axiomático. Creo que am-bos sirven para familiarse con el espacio.

¿Cómo enseñar la Geometría?

Este artículo no pretende proponer una didáctica de lageometría. Invito a todas las lectoras y lectores a parti-cipar en un grupo de nuestro aula virtual, cuyo objeti-vo será discutir y conocer propuestas para la enseñan-za de la geometría. ¿Qué y cómo se debería enseñaren geometría? ¿Qué papel tiene el método axiomático,

cuál es el papel de la geometría analítica? ¿Sería accesi-ble algo visual, sobre todo para alumnos que odian lasfórmulas? ¿Qué papel pueden tener las TICs en la en-señanza de geometría? ¡Únete y participa en el grupoEnseñanza de la Geometría!

**Sambuca: Máquinas de guerra que los romanos emplearon en el asedio de Siracusa, la ciudad de Arquímedes.

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Curiosidades matemáticas

Las abejas y la GeometríaEn esta sección hablaremos de un hecho curioso que seproduce en la naturaleza, el uso de geometría por partede las abejas.

¿Por qué las abejas usan celdas hexagonales en los pana-les?

Pues la respuesta es simple geometría. Para simplificarla explicación lo haremos en 2D en lugar de en 3D, elrazonamiento es el mismo añadiendo posteriormente laprofundidad.

Primero: Para maximizar el espacio usan una figura ca-paz de teselar el plano, esto es rellenarlo sin dejar hue-cos, en otras palabras “hacer un mosaico”.

Por ejemplo, si usáramos formas circulares quedaríanhuecos en medio y malgastaríamos espacio.

Ahora bien, alguno se preguntará por qué el hexágono yno un cuadrado o triángulo, por ejemplo. Eso se debe alsegundo punto.

Segundo: De entre las figuras que pueden teselar elplano, el hexágono es la que consigue una mayor áreaa un perímetro dado.

Hay que tener en cuenta que el tamaño del perímetroviene dado por la cantidad de cera de la que disponen,que no es infinita, por lo cual es importante aprovecharlobien.

Tercero: Finalmente para calcular el volumen (3D) sería“área profundidad”, si la profundidad es la misma tantosi es un hexágono como un cuadrado u otra figura, lo quedetermina el volumen es el área, por tanto, la figura conmás área tendrá más volumen. Por esto podíamos mirarel problema en 2D.

Calcular áreas con Gauß, Pick y un planímetro1. Se ha discutido arriba (ver “Un problema práctico:

medir el área de un terreno” en la página 4) cómose puede calcular el área de un campo en forma depolígono a través de la disección en triángulos. Perosi tienes un mapa del campo con coordenadas delas esquinas (1, y1), (2, y2), . . . , (n, yn)

entonces puedes cortar el polígono en trapecios. Deeso obtendrás la fórmula de Gauß:

A =1

2

�

�

�

�

�

1y2 + 2y3 + · · ·+ n−1yn + ny1

−2y1 − 3y2 − · · · − 1yn

�

�

�

�

�

.

2. Si, como en el dibujo, los vértices tienen coordena-das enteras, hay una fórmula (de Pick***) muy sim-ple: Si B es el número de puntos enteros en el bor-de, el número de puntos enteros en el interior del

polígono, entonces el área A del polígono es

+B

2− 1.

¿Cuál es el área del polígono en el dibujo?

3. Si no tratamos con un polígono sino con un área en-cerrada en una curva c(t) = ((t), y(t)), t ∈ [, b],tenemos, en vez de la fórmula de Gauß una integral(de Leibniz):∫ b

((t)y′(t) − ′(t)y(t))dt.

En el siglo xix se han construido ’planímetros’, quehacen esa integración de manera mecánica. Siguesla curva con un lápiz, y después el instrumento teda el área:

***George Alexander Pick fue un destacado matemático austriaco que estudió en la Universidad de Viena en el año 1875, y fuepupilo de destacados estudiosos de la matemática como Félix Klein. La fórmula o teorema de Pick (a la que se hace referencia eneste documento) apareció en su artículo de ocho páginas Geometrisches zur Zahlenlehre, publicado en Praga en 1899.

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Acertijo

Una pregunta clásicaCuenta una leyenda urbana que una estudiante brillanteante la pregunta ¿Cómo se puede determinar la altura de

un edificio con un barómetro?, planteada por su profesorde Física, ofreció una serie de respuestas, todas correc-tas, sin embargo, ninguna de ellas era la esperada porel profesor. Ante la insistencia de este, la estudiante ar-gumentó: “Yo he aprendido que hacer ciencia no quiere

decir repetir las ideas de los otros, sino encontrar otrasnuevas. Todas las respuestas que he dado son correctas:no hay una única solución para cada problema.”

¿De cuántas maneras (¡también las bobas!) po-drías utilizar un barómetro para medir la altura deun edificio?

Espiral de azulejos****

Para el piso del nuevo baño en la casa de la familia Rodrí-guez el arquitecto se inventó algo muy especial. Su planes el siguiente: el primer azulejo tiene la forma de cual-quier cuadrilátero Q. Para cada lado de Q, se obtiene elazulejo vecino adyacente aumentando o reduciendo ade-cuadamente el tamaño original de Q y luego moviéndoloy grirándolo, hasta que el nuevo azulejo Q′ se ajusta aun lado correspondiente de Q. Los cuadriláteros Q y Q′

tienen entonces los mismo ángulos, y todos los lados co-rrespondientes tienen la misma proporción de longitud. Sise sigue con esta construcción, se obtiene un patrón demosaico infinito.

Para empezar a construir este tipo de patrón, el ayudantedel arquitecto ya dibujó un sistema de coordenadas car-tesianas en el suelo. Además, el arquitecto y el casero sehan puesto de acuerdo sobre la forma. Quieren una espi-ral de azulejos, donde se obtiene un cuadrilátero vecino

Q′ de un cuadrilátero dado Q, estirando (o bien compri-miendo) céntricamente el cuadrilátero desde su origen ogirándolo alrededor de su origen y estirándolo (o compri-miéndolo) después. El cuadrilátero rojo (mira el dibujo):

tiene las cuatro coordenadas A, B, C y D. Lastimosamen-te el ayudante del arquitecto sólo anotó las coordenadas

de los puntos A(1,0) y B�

6427 ,0�

.

¿Cómo son las coordenadas de los demás puntos C y D?

¿Te gustan los acertijos? ¿Tienes la respuesta paraeste? ¡¡¡Anímate, envíanos la respuesta y gana unfabuloso premio!!!

Para participar ingresa a la plataformahttp://clasevirtual.clavemat.org y regístrate co-mo usuario. Una vez hecho esto, podrás ingresaral grupo “Enseñanza de la Geometría”.

¿Cómo lograr que cooperen?

Un padre tiene 2 hijas y 2 hijos. Antes de morir, esconde unamoneda a fin de que al menos tres de ellas/os cooperen en-tre sí para encontrarla. Los que la encuentren se llevarán la he-rencia del padre. Este desafío fue planteado a los participan-tes del curso #cmat13. Aún no se ha encontrado una solu-ción. Puedes seguir y unirte a la discusión sobre ese desafío en:Desafío No. 1: ¿Cómo lograr que cooperen?

¿Quieres descubrir las respuestas?¿Te interesan más artículos, juegos,

adivinanzas y acertijos para compartir contus amigos y amigas?

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y comienza a formar parte de la comunidadde CLAVEMAT

****Este acertijo ha sido propuesto por la doctora Ulrike Bücking para www.mathekalender.de

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