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Matemáticas para Economistas (1º GE)Universidad de Cantabria

BLOQUE TEMÁTICO III:

Programación Clásica, No Lineal y Lineal

Matemáticas para Economistas1º GE Universidad de Cantabria


Tema 5: Programación Clásica

Tema 6: Programación No Lineal

Tema 7: Programación Lineal



Tema 5: Programación Clásica

5.1 Planteamiento general

5.2 Programación clásica sin restricciones

5.3 Programación clásica con restricciones: El método de los

multiplicadores de Lagrange


5.1 Planteamiento general

La programación clásica abarca dos tipos de programas de optimización matemática:

Programación sin restricciones (o libre)

Programación con restricciones (o restringida/condicionada)

𝑺𝑺 = 𝑫𝑫⋂𝑿𝑿 = (𝒙𝒙𝟏𝟏, … ,𝒙𝒙𝒏𝒏) ⊂ 𝑫𝑫 𝒇𝒇 𝒈𝒈𝒊𝒊(𝒙𝒙𝟏𝟏, … ,𝒙𝒙𝒏𝒏 = 𝒃𝒃𝒊𝒊, 𝒊𝒊 = 𝟏𝟏, … ,𝒎𝒎


PASOS PARA SU RESOLUCIÓN:

1º OBTENCIÓN DE PUNTOS CRÍTICOS E IDENTIFICACIÓN DE AQUELLOS

QUE SON ÓPTIMOS LOCALES

A) Condición Necesaria (de Óptimo Local) de 1º Orden

B) Condición Suficiente (de Óptimo Local) de 2º Orden

C) Teorema Local-Global (Tema 4)

Puntos críticos

Puntos críticos que son óptimos

locales

2º IDENTIFICACIÓN DE ÓPTIMOS LOCALES QUE SON GLOBALES



A) Condición Necesaria de óptimo local de 1º Orden:

• El punto es un PUNTO CRÍTICO si:

Observaciones:

Que se anule el vector gradiente es una CONDICIÓN NECESARIA, que no suficiente,

de ÓPTIMO LOCAL: Pueden existir puntos para los cuales se anule el vector gradiente y

que no sean óptimos locales:

Aquellos puntos donde el vector gradiente no se anule no pueden ser óptimo locales.

- MÁXIMO LOCAL

- MÍNIMO LOCAL

- PUNTO DE SILLA

• Criterio basado en las derivadas parciales (de 1º orden) que permite identificar

los llamados PUNTOS CRÍTICOS.

Ejemplo:

La función toma valores mayores que cero en puntos

arbitrariamente cercanos al origen.

La función toma valores menores que cero en puntos

arbitrariamente cercanos al origen.

Conclusión: El punto (0,0) es un punto de silla, esto es, un punto crítico que no es

óptimo local.


PASOS PARA SU RESOLUCIÓN:

1º OBTENCIÓN DE PUNTOS CRÍTICOS E IDENTIFICACIÓN DE AQUELLOS

QUE SON ÓPTIMOS LOCALES

A) Condición Necesaria (de Óptimo Local) de 1º Orden

B) Condición Suficiente (de Óptimo Local) de 2º Orden

C) Teorema Local-Global (Tema 4)

Puntos críticos

Puntos críticos que son óptimos

locales

2º IDENTIFICACIÓN DE ÓPTIMOS LOCALES QUE SON GLOBALES



B) Condición Suficiente de óptimo local de 2º orden:

Criterio basado en derivadas parciales de 2º orden (Matriz Hessiana) que permite

clasificar los puntos críticos en máximos locales, mínimos locales o puntos de silla.



• En aquellos casos en que no tengamos certeza de si un punto x* es mín/máx. o un punto

de silla (H es la matriz nula, H es semidefinida +, H es semidefinida – ), analizaremos

el VALOR DE LA FUNCIÓN EN EL ENTORNO DE DICHO PUNTO.

• Si en dicho entorno la función toma:

Valores mayores que en x* en unos casos y menores en otros, dicho punto será

PUNTO DE SILLA.

Valores mayores que en x*, dicho punto será un MÍNIMO LOCAL.

Valores menores que en x*, dicho punto será un MÁXIMO LOCAL.

Ejemplo:


C) TEOREMA LOCAL-GLOBAL (Condición Suficiente de Óptimo Global)

f es ESTRICTAMENTE CONVEXA

S es CONVEXO

f es CONVEXA

S es CONVEXO

f es ESTRICTAMENTE CÓNCAVA

S es CONVEXO

f es CÓNCAVA

S es CONVEXO

MÍNIMO GLOBAL ESTRICTO

MÍNIMO GLOBAL

MÁXIMO GLOBAL ESTRICTO

MÁXIMO GLOBAL



5.3 Programación clásica con restricciones: El método de

los multiplicadores de Lagrange

En Economía, muchos problemas de optimización están sujetos a restricciones (Ej.

restricciones presupuestarias, recursos limitados, etc.).

Si las restricciones son de igualdad, se tiene un problema de optimización clásico con

restricciones:

Interpretación geométrica: Caso de dos variables y una restricción

de igualdad

• La solución del programa matemático sin restringir sería (0,0).

B

• Si restringimos el programa, el mínimo se situaría en el punto B (1/2,1/2).

Valor óptimo de la función objetivo si no hubiéramos impuesto restricciones:

Valor óptimo de la función objetivo con restricción:

Al imponer restricciones el valor óptimo de la función objetivo

empeora:



Método de resolución: Método de los Multiplicadores de Lagrange

1º Construir la FUNCIÓN DE LAGRANGE o FUNCIÓN LAGRANGIANA

donde son los llamados multiplicadores de Lagrange.

2º Aplicar CONDICIÓN NECESARIA DE ÓPTIMO LOCAL DE 1º ORDEN a la función

Lagrangiana

- MAX. LOCAL- MÍN. LOCAL- PUNTO SILLA

3º CONDICIÓN SUFICIENTE DE ÓPTIMO LOCAL DE 2º ORDEN:


Observación: Si las restricciones son lineales, entonces:

Calcular la llamada matriz Hessiana reducida de la Lagrangiana:

que contiene las derivadas parciales de segundo orden de la función de Lagrangesólo con respecto a las variables de decisión (no respecto a los multiplicadores). Su dimensión será, por tanto,

𝒙𝒙∗ 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴 𝑳𝑳𝑴𝑴𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳

4º Aplicar TEOREMA LOCAL-GLOBAL

En el caso de que la Hessiana reducida sea SEMIDEFINIDA +, SEMIDEFINIDA –

o INDEFINIDA la condición Suficiente de 2º orden será:

• En el resto de casos será PUNTO DE SILLA.

• Si (h≠0) en el subespacio de vectores

𝑯𝑯 = 𝒉𝒉 ∈ ℝ𝒏𝒏 𝛁𝛁𝒈𝒈𝒊𝒊(𝒙𝒙∗ � 𝒉𝒉 = 𝟎𝟎, 𝒊𝒊 = 𝟏𝟏, … ,𝒎𝒎

𝒉𝒉𝑻𝑻 � 𝑯𝑯𝑿𝑿𝑳𝑳 𝒙𝒙∗,𝝀𝝀∗ � 𝒉𝒉 > 𝟎𝟎

entonces

• Si (h≠0) en el subespacio de vectores

entonces

𝒙𝒙∗ 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝑴𝑴𝑴𝑿𝑿𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴 𝑳𝑳𝑴𝑴𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳

𝑯𝑯 = 𝒉𝒉 ∈ ℝ𝒏𝒏 𝛁𝛁𝒈𝒈𝒊𝒊(𝒙𝒙∗ � 𝒉𝒉 = 𝟎𝟎, 𝒊𝒊 = 𝟏𝟏, … ,𝒎𝒎

𝒉𝒉𝑻𝑻 � 𝑯𝑯𝑿𝑿𝑳𝑳 𝒙𝒙∗,𝝀𝝀∗ � 𝒉𝒉 < 𝟎𝟎

PRODUCTO ESCALAR!!

Interpretación económica de los multiplicadores de Lagrange

Consideremos el siguiente problema de optimización:

Al aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange, tanto la solución óptima

como el valor óptimo de la función dependen de :



Cuando en un problema de optimización se imponen restricciones nos exponemos a

que el valor óptimo de la función objetivo como consecuencia de S es un conjunto más

reducido. Este problema se ve agravado cuando las restricciones son de igualdad.

¿Cómo se podrían variar los términos independientes de las restricciones para

mejorar el valor de la función objetivo?

Supongamos un incremento muy pequeño en el término independiente , tal que:



Bajo ciertas condiciones de regularidad se cumple:

Los multiplicadores de Lagrange miden la variación que experimenta el valor óptimo

de la función objetivo ante cambios en la disponibilidad de ciertos recursos. En

un problema de maximización con multiplicador positivo la función objetivo mejorará si

aumentamos el término independiente, mientras que con multiplicador negativo dicho

valor disminuirá.

Los multiplicadores de Lagrange miden el coste de mejorar el valor óptimo de la

función, actuando, por tanto, como un sistema de precios. En Economía los

multiplicadores de Lagrange reciben el nombre de PRECIOS SOMBRA o VALOR MARGINAL

DE UNA UNIDAD DEL RECURSO k.

De acuerdo con la expresión anterior, el incremento que experimenta la función

objetivo con unidades adicionales de un determinado recurso es:


Tema 5:

Programación Clásica


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