BLOQUE I: SOLUCIÓN DE PROBLEMAS ARITMEÉTICOS Y … · 2018-08-26 · provenientes de situaciones...

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BLOQUE I: SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

ARITMEÉTICOS Y ALGEBRAICOS.

OBJETIVOS

Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos, aplicando las

propiedades de los números reales y expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando

magnitudes constantes y variables, y empleando las literales para la representación y

resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos concernientes a su vida

cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad.

Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagrama o textos,

provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico

1.1 DIFERENTES FORMAS DE REPRESENTAR NÚMEROS.

La necesidad de contar se originó en tiempos primitivos, el hombre requería contar en

aquellos tiempos sus pertenencias como: las piezas de caza, los utensilios, los miembros de

la tribu, entre otras más. Algunas investigaciones antropológicas han encontrado muescas

ordenadas talladas en paredes rocosas que son evidencia de numeración antigua.

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Existen vestigios de diferentes tipos de numeración, algunos de los cuales se presentan a

continuación.

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La complejidad con la que se escribían los números hizo necesaria una nueva escritura: los

números indoarábigos. Los números son necesarios en todo lo que nos rodea, los utilizamos en el

hogar, la industria, la agricultura, el comercio, etc., sobre todo en el comercio, dado que

definitivamente somos una sociedad de consumo en la que se requiere estar al tanto de ofertas,

rebajas, cambios monetarios y de cómo fluctúa la economía en nuestro país.

El porcentaje juega un papel muy importante en el manejo de cantidades, éste es una de las

expresiones matemáticas más utilizadas. En los medios de comunicación existe una diversidad de

formas de expresar porcentajes y constantemente los encontraremos en gráficas y tablas. Durante

los Censos Económicos se recopiló información de 864 plantas potabilizadoras de agua y 632

plantas tratadoras. De ahí se concluye que para cuidar este recurso se requiere de la capacitación

de hombres y mujeres en la captación, tratamiento y suministro de agua. Otro resultado indica que

de las 96,803 personas que laboran en el sector, 84.8% son hombres y 15.2%, mujeres.

Las funciones que realizan los trabajadores son de mantenimiento a las redes de

distribución de agua, control de calidad del agua potable, estudios de impacto en

medioambiente, emisión y cobro de recibos, así como diversos trabajos administrativos y

contables. Ejemplos como éste, existen muchos en los medios de comunicación. Es muy

90

necesario entender el uso de los porcentajes e interpretarlos y sobre todo saber calcularlos,

debido a que en cualquier momento podemos requerir de ellos.

Cuando una persona invierte el 10 % de su sueldo en pagar el plan de su telefonía celular,

se gasta $10 de cada $100 que gana. Se puede expresar el tanto por ciento como una

fracción que tiene denominador 100, en este caso sería

, que significa 10 de cada 100, y

como sabemos, cualquier fracción se puede expresar en forma decimal realizando la

operación de división.

Todo lo anterior se puede resumir en la siguiente tabla.

Para calcular el porcentaje de cantidades sólo es necesario multiplicar el porcentaje (en su

expresión decimal) por la cantidad, como por ejemplo: El 38% del alumnado de una

preparatoria de Ciudad Obregón son mujeres, si su población total es de 1230 ¿cuántas

mujeres hay?

El resultado a este problema se obtiene convirtiendo primero 38% a su expresión decimal y

esto se obtiene dividiendo 38 entre 100, para posteriormente multiplicarlo por 1230

obteniendo así la cantidad de mujeres que hay.

1230(.38)= 467.4

Por lo tanto hay 467 alumnas

91

EJERCICIOS

Encuentra la solución de cada uno de los siguientes problemas.

1.-En el colegio se llevarán a cabo los eventos deportivos y en uno de los planteles el 25 % del

alumnado practica algún deporte; si el plantel tiene 1620 alumnos. ¿Cuántos alumnos pueden

participar en algún evento deportivo?

2. El precio de una blusa es $320 y el impuesto al valor agregado es del 15 %. ¿Cuál es el valor

total de la blusa?

3. Gustavo fue a comprar un libro que costaba $420 y cuando pasó a la caja le dijeron que tenía

descuento y sólo pagó $352.80. ¿A qué porcentaje corresponde el descuento aplicado?

4. La caja de ahorros de la empresa donde trabaja Sandra le ofrece un 5% anual para los $ 8000

que tiene ahorrados. ¿Qué interés obtendrá Sandra por su capital en un año?

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1.2 FRACCIONES Y DECIMALES

Para transformar una fracción a decimal es muy sencillo, sólo es necesario llevar a cabo la

división.

EJEMPLOS

A continuación se ejemplificará la transformación de decimal a fracción.

Ejemplo: 5.25, 0.006, 3.575, 0.1, 4.94

Para convertir cada uno de ellos a fracción se requiere eliminar el punto, dividiendo entre

10 si termina en décimas, en 100 si termina en centésimas, entre 1000 si termina en

milésimas, y así sucesivamente; y posteriormente simplificar la fracción obtenida, si acaso

es simplificable.

Ejemplos

93

EJERCICIOS

Realiza las siguientes conversiones de fracción a decimal y de decimal a fracción

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

De decimales a fracciones

10. 0.52 =

11. 0.45 =

12. 1.50 =

13. 2.60 =

14. 0.0006 =

15. 0.00009 =

16. 0.5 =

17. 0.215 =

18. 2.102 =

94

1.3 JERARQUÍA DE OPERACIONES

1.3.1 SIMBOLOS DE AGRUPACIÓN

Ciertas expresiones incluyen símbolos de agrupación “( )”, “[ ]”, “{ }” que, dependiendo de

su ordenamiento, es necesario expresarlas correctamente o pueden llevar a resultados

diferentes. Los signos y símbolos usados en lenguaje matemático tienen una función

análoga a los signos de puntuación usados en el lenguaje común.

Para realizar operaciones entre varios números, es necesario llevar un orden. Si existen

paréntesis se efectúa primero la operación que esté contenida en éstos; si no, se requiere

darle prioridad a la potenciación, seguida de la multiplicación y la división, y por último, a

la suma y resta. Si existen paréntesis anidados, la operación se efectúa de adentro hacia

fuera. Si existen dos operaciones de la misma jerarquía, las operaciones se efectúan de

izquierda a derecha.

Ejemplos:

a) 5 + 3 • 8 − 2 = 27

b) (5 + 3) • 8 − 2 = 62

c) 5 + 3 • (8 − 2) = 23

d) (5 + 3) • (8 − 2) = 48

e) {6[7+3(2)]+

– 4}3= {6[7+6]+

– 4}3= {6[13]+

– 4}3= {78+6– 4}3= {80}3=

240

Realiza las siguientes operaciones siguiendo la jerarquía de las mismas.

1. 18 + 6 ÷ 3 − 5 =

2. {[(18 + 6)÷ 3]− 5}=

3. {[2(23 −10)]−12}=

4. 3{2[(12 − 4)÷ 4(10 ÷ 5)]− 6}=

5. 3[(2(12 − 4 ÷10 − 8)− 6)]=

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1.4 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica es una combinación de números y letras relacionados mediante

operaciones aritméticas; adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. La

expresión algebraica está conformada por TÉRMINOS.

Palabras Clave: Monomio, Binomio, Trinomio, Polinomio, Identidad, Ecuación.

Utilizar adecuadamente las expresiones algebraicas, sus propiedades básicas y operaciones

para resolver situaciones problema en distintos contextos. Saber interpretar la información

lingüística en su expresión numérica en un texto dado. Dominar el uso de la calculadora

como ayuda para la resolución de problemas matemáticos. Utilizar adecuadamente las

expresiones algebraicas, sus propiedades básicas y operaciones para resolver situaciones

problema en distintos contextos. Resuelve expresiones algebraicas utilizando las

propiedades y operaciones algebraicas. En una situación específica: Realiza operaciones

con polinomios

En ocasiones has visto expresiones como la siguiente: 2a + 3b – 14c + d

Las expresiones que resultan de combinar números y letras, relacionándolos con las

operaciones habituales se llaman expresiones algebraicas.

La parte de las Matemáticas que utiliza las expresiones algebraicas se llama Álgebra.

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La siguiente tabla contiene algunas expresiones comunes utilizadas en Álgebra.

LENGUAJE VERBAL LENGUAJE ALGEBRAICO

Un número aumentado en 4 x + 4

La diferencia de dos números a − b

El cociente de dos números aumentado en 2

Un número par 2n

El producto de dos números XY

La suma de tres números consecutivos n +(n +1)+(n + 2)

El triple de un número 3a

La edad del padre hace 5 años x − 5

La edad de María es el quíntuplo de la edad de Daniel m = 5d

El producto de los cuadrados de dos números X2Y

2

El cubo de la suma de dos números (X+Y)3

La raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de dos

números

√

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A continuación se mostrarán ejemplos más estructurados y relacionados con algunas

situaciones que has visto en algún momento de tu vida cotidiana; primero se manejarán

paso a paso para obtener como último resultado la expresión algebraica que los modela, y

posteriormente notarás que el planteamiento de los problemas es más directo, que a fin de

cuentas eso es lo que tendrás que lograr. En algunos casos deberás apoyarte en dibujos para

poder visualizar mejor el planteamiento.

Ejemplos.

1. La edad de Moisés el triple de la edad de Lucía y la suma de sus edades es 68. ¿Qué edad

tiene cada uno?


La edad de Lucía X

La edad de Moisés es el triple que la de Lucía 3X

La suma de sus edades X + 3X

La suma de sus edades es 68 X + 3X = 68

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2. ¿Cuál es el perímetro de un terreno rectangular, si su longitud es el triple que su anchura?


Anchura del terreno X

La longitud del terreno (triple de la anchura) 3X

El perímetro del terreno 2X + 2(3X)

3. Lourdes y Alfonso tienen un total de $ 342 en sus alcancías. Si Alfonso tiene $105 más

que Lourdes ¿cuánto dinero tiene cada uno?

LENGUAJE ALGEBRAICO LENGUAJE VERBAL

El dinero de Lourdes M

Alfonso tiene $105 más que Lourdes m + 105

El dinero de Lourdes más el dinero de Alfonso m + m + 105

El total de dinero de Lourdes y Alfonso es $342 m + m +105 = 342

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Completa la siguiente tabla, escribiendo el lenguaje verbal o algebraico, según sea el

caso


Un número disminuido en 12

√

La tercera parte de un número menos el Cuádruplo del

Mismo

El 45% de una mezcla

El producto de los cubos de dos números aumentado

en 9

La suma de dos números pares consecutivos

Susana es cuatro años menor que Manuel

Seis veces un número disminuido en 15 es – 18

X2 + Y

2

100

BLOQUE 2: MAGNITUDES Y NÚMEROS

REALES

Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos, aplicando las

propiedades de los números reales y expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando

magnitudes constantes y variables, y empleando las literales para la representación y

resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos concernientes a su vida

cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad.

Identifica las características presentes en tablas gráficas, mapas, diagrama o textos,

provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.

A continuación mostraremos como construir e interpretar modelos matemáticos mediante la

aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variaciones, para la

comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas y formales.

2.1 EXPRESIÓN ARITMÉTICA

Una expresión aritmética es una cadena de símbolos números y signos de agrupación, que

indican una cantidad finita de operaciones básicas entre dichos números. Las operaciones

básicas son la suma, resta, multiplicación y división.

Las siete operaciones elementales. Definiciones y restricciones

Se definen las siete operaciones elementales entre dos números a y b como números a y b

como:

Suma: a + b (Tanto a como b se llaman sumandos). Resta: a - b (a es el minuendo y b es el sustraendo).

Producto: a × b ≡ a . b ≡ a * b (a es el multiplicando y b es el multiplicador, pero

ambos son factores) (El símbolo ≡ significa idénticamente igual).

División: a / b ≡ a : b ≡ a ÷ b (a es el dividendo y b es el divisor). b debe ser

diferente de cero, porque la división por cero es una operación prohibida.

Potencia: ab ≡ a^b (a es la base y b es el exponente).

Raíz: √ (a es el radicando y b es el índice). b debe ser diferente de cero, porque no

tiene sentido la raíz cero de un número.

Logaritmo: logb a (a es el número del logaritmo y b es la base). b debe ser diferente de

cero y también diferente de 1. Caso contrario no tiene sentido el logaritmo.

101

2.2 EL NÚMERO NATURAL

Todos hemos dado los primeros pasos en el conocimiento de la aritmética a través de contar

con los números naturales. La historia de la humanidad también.

Los números naturales son aquellos que sirven para designar la cantidad de elementos que

posee un cierto conjunto1. Se representan como N.

Ellos forman el conjunto N:

N = {1, 2, 3,...}

Los números naturales son infinitos, pues para cada uno de ellos hay otro distinto que le

sucede y que no le precede. Se habla del orden en estos números a través de su propiedad

de tricotomía afirmando que dados n y m dos números naturales, entonces se tiene

exactamente una de las tres posibilidades:

n ˂ m

n = m

n ˃ m

La representación gráfica de los números naturales se hace como puntos sobre una recta

(fig.1.1) formando una sucesión.

Una operación en N es una manera de asociar a cada par de números naturales, otro número

natural bien determinado. Las operaciones que se definen en este conjunto son la suma y la

multiplicación.

Sean a, b y c tres números naturales cualesquiera. Las propiedades básicas de las

operaciones definidas en N son:

1. Cerradura:

a b N

a b N

102

2. Asociatividad:

a + (b + c) = (a + b)+ c

a ×(b×c)= (a ×b)×c

3. Conmutatividad:

a b b a

a b b a

4. Elementos neutros

Para la suma es el cero ya que: a 0 a

Para el producto es el uno ya que: a 1 a

5. Distributividad

La propiedad distributiva del producto sobre la suma es: a b ca b a c

Ejemplo.

Dados los números 2 , 3 y 5, comprobar las propiedades de la suma y del producto.

Solución.

Cerradura:

2 3 5 N

2 5 10 N

103

Asociatividad:

2 352 35 10

235235 30

Conmutatividad:

2 + 3 = 3 + 2 = 5

2 ×3 = 3× 2 = 6

Los elementos neutros:

Para la suma es el cero ya que: 2 0 2

Para el producto es el uno ya que: 212

Distributividad

+ del producto sobre la suma es: 2352325 16

Un número es múltiplo de otro si se obtiene multiplicando este último por un número

natural. Por Ejemplo el número 10 es múltiplo del 5 ya que 10 25.

Las propiedades de los múltiplos son:

El cero es múltiplo de cualquier número

Un número siempre es múltiplo de sí mismo

La suma de múltiplos de un número también es un múltiplo de este número.

El producto de múltiplos de un número también es múltiplo de este número.

Si un número es múltiplo de otro y este lo es de un tercero, el primero es múltiplo del

tercero.

Ejemplos.

El número 0 es múltiplo del 6 ya que 0 06

El número 7 es múltiplo del 7 ya que 7 17

104

El número 18 es múltiplo del 3 ya que 18 = (3)(6) y el número 12 también es múltiplo del 3

ya que 12 = (3)(4), por lo tanto, el número 30 = 18 +12 es múltiplo del 3 ya que 30 =

(3)(10)

El número 6 es múltiplo del 2 ya que 6 = (2)(3) y el número 8 también es múltiplo del 2 ya

que 8 = (2)(4) , por lo tanto, el número 48 = (6)(8) es múltiplo del 2 ya que 48 = (2)(24).

Un número natural es divisor de otro si cuando se divide el primero entre el segundo el

residuo es cero, es decir, si la división es exacta. Por ejemplo el número 2 es divisor del 6

ya que

= 3

Las propiedades de los divisores son:

El número uno es divisor de cualquier número

Un número siempre es divisor de sí mismo

Si un número es divisor de otro, y éste lo es de un tercero, el primero es divisor del

tercero.

Ejemplos.

El número 1 es divisor del 5 ya que

= 5


= 1


= 2y el número 3 es divisor del 6 ya que

= 2,

por lo tanto, el número 3 es divisor del 12 ya que

= 3

2.3 NÚMEROS ENTEROS

La primera extensión son los números enteros, que forma el conjunto N, y que resulta de

agregar los números negativos y el cero a los naturales.

N = { ...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

La representación gráfica de los números enteros se hace como puntos sobre una recta,

ahora desde menos infinito a más infinito.

105

Una consecuencia de los enteros es que existen números que son menores que cero: todos

los negativos.

Esto llevó a que por mucho tiempo las soluciones negativas, por ejemplo 12 - 17, fueron

consideradas “falsas” porque no las podían pensar como parte del mundo real. Era difícil

imaginar un número negativo de ovejas, ya que era algo menor que cero.

Estos son conocidos como números deudos, dado que nacen como una necesidad de

representar deudas. Estos son usados para ubicar posiciones de objetos con respecto a un

punto de referencia, como por ejemplo, cuando se quiere ubicar un objeto por encima o

debajo del nivel del mar para operaciones prácticas, los que están por encima del nivel del

mar serían los números positivos y los que están por debajo del nivel del mar son los

números negativos.

Estos números tienen las siguientes características: son infinitos, numerables y sirven para

contar unidades completas, es decir, podemos tomar dos números consecutivos y no existe

un número intermedio. Al igual que los números naturales, estos no tienen fin, tanto hacia

la derecha como a la izquierda.

El conjunto se describe de la siguiente forma: Z ....,, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,....

106

2.4 NÚMEROS RACIONALES

Número racional es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros con

divisor diferente de cero, es decir, en forma de fracción. Se representan por Q.

Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios en donde a es el numerador y b

el denominador. Nótese como en esta definición, el denominador nunca puede ser cero

porque la división por cero no está definida.

En el conjunto de los números enteros cada número tiene un siguiente (el siguiente al 3 es

el 4, el siguiente al 6 es el 5 , etc.), no pasa lo mismo con los racionales, pues entre cada

dos números racionales existe al menos otro número racional (propiedad de densidad).

Los números racionales pueden ser ubicados también en la recta numérica mediante puntos,

independientemente de que no presentan una secuencia determinada, por ejemplo:

107

Al expresar un número racional, no entero, puede tener alguna de las siguientes

representaciones.

Si la fracción es irreducible y en la descomposición factorial del denominador sólo se

encuentran los factores 2 y 5, entonces la fracción es igual a un número decimal exacto,

pero si en el denominador hay algún factor distinto de 2 o 5 la expresión decimal es

periódica, por ejemplo:

= 4.5 se obtiene un decimal exacto

= 2.4 se obtiene un decimal exacto

= 1.571428 571428 571428 ….., se optiene una expresión decimal periódica.

108

2.5 LOS NÚMEROS IRRACIONALES

Con los números racionales se pueden representar casi todas las cantidades que se

encuentran en la vida cotidiana. Sin embargo, hay otra clase de números, que se escriben

con una infinidad de decimales pero que no tienen un período, es decir, no t

ienen cifras que se repitan en el mismo orden. Los números de esta clase reciben el nombre

de irracionales y, a diferencia de los racionales, no pueden expresarse en forma de

fracción, sino sólo en forma decimal. Se denotan por Q’.

En general, cualquier raíz inexacta de un número racional o alguna combinación algebraica

que la involucre (y que exista) es un número irracional. Esto significa que este conjunto

también es infinito.

Ejemplos de números irracionales.

El número es un irracional que representa las veces que cabe el diámetro de una

circunferencia en su perímetro P . Es decir, si se tuvieran las medidas exactas del perímetro

P de una circunferencia y de su diámetro, D , viene dado por D/P

Si se quisiera efectuar la división nunca se terminaría ya que se podrían obtener tantas cifras

decimales como se quisiera, pero nunca se llegaría a un residuo igual a cero, ni se encontrarían

cifras que formen un período. Por lo tanto, no se puede escribir exactamente en cifras decimales:

3.1415926535 897932

Los puntos suspensivos indican que las cifras son infinitas. En la práctica, sin embargo,

cuando se requiere calcular perímetros o áreas de circunferencias, volúmenes de esferas o

para hacer cualquier otro cálculo, en el que aparezca , se usa la aproximación 3.1416

√2 es otro número irracional, ya que es la medida de la hipotenusa de un triángulo

rectángulo cuyos catetos miden una unidad de longitud. Normalmente se aproxima a 1.4142

, aunque su valor es de:

√21.4142135623

109

Un número irracional tiene un número ilimitado de cifras, por tanto, es imposible escribir

su valor exacto. Para manejar estos números se utilizan aproximaciones de los mismos.

Aumentando el número de cifras, el error va disminuyendo, de modo que puede ser tan

pequeño como se quiera.

2.6 VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número real representa la magnitud de dicho número. Esta

magnitud es la distancia que existe, sobre la recta numérica, del número dado al cero. El

valor absoluto se indica escribiendo el número entre barras verticales.

La definición formal del valor absoluto es:

Por ejemplo, la magnitud de 5 es 5 ⇒ 5 y la magnitud de 5 es 5⇒ 5 5. Esto se

aprecia en la siguiente figura:

EJEMPLOS

La magnitud de 3 es 3 3 = 3

La magnitud de -4 es 4 -4 = 4

110

2.7 OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS .

Lee con cuidado cada una de las situaciones que se te plantean y realiza las

operaciones correspondientes para conocer la respuesta correcta.

Santiago estaba haciendo un recuento de sus gastos, recordó que tenía en un principio $5689,

posteriormente le pagaron $1453 que le debían, tuvo que pagar $2561 en deudas, compró un

regalo a su novia, el cual le costó $562 y pagó $2500 en asistencia debido a que estudia en

Tijuana. ¿Cuánto le quedó para sus gastos personales?

Sandra se casó teniendo 24 años en 1994. ¿En qué año cumplirá 85 años? ¿Qué edad tiene

ahora mismo?

Uno de los operadores de transporte de la línea “La Costa”, realiza su recorrido a Bahía Kino 4

veces en viaje redondo, transportando en promedio 35 personas, de las cuales 12 son de medio

boleto y el resto de boleto entero, cada boleto cuesta $ 100. ¿Cuánto tendrá que entregar el

conductor al cabo de su jornada?

En un edificio, los pisos se enumeran como sigue: planta baja, 1er. piso, 2do. piso, etc. Luis

está buscando a un amigo, pero no sabe exactamente en qué piso está trabajando, así que

decide buscarlo según su intuición, siguió esta secuencia: primero decide ir de la planta

baja al tercer piso, luego baja dos, sube 5 y finalmente baja 4 y ahí lo encontró, ¿en qué

piso se encuentra trabajando su amigo?

Un día de invierno la temperatura en la madrugada era de 7º C. Durante la mañana subió

13º C, en la tarde descendió 6º C y en la noche bajó 4º C. ¿Qué temperatura había en la

noche?

111

Si se te dificultaron algunos problemas de la actividad anterior, puede ser debido a que no

leíste con detenimiento, o bien por tener dificultades en las operaciones fundamentales;

para superarlas se repasarán algunas operaciones de suma y resta, sobre todo para observar

el signo del resultado de cada una de ellas.

Suma: La suma de dos números positivos es positivo y la suma de dos números negativos

resulta negativo.

Ejemplos:

1) 7 5 12

2) −7(5)12 recordando lo visto en la secundaria, lo podemos visualizar como

-7 -5 = −12

Resta: Esta se lleva a cabo entre dos números de signos diferentes.

Ejemplos:

1) 7 5 2

2) −7 5 −2

112

EFECTÚA LAS OPERACIONES INDICADAS.

1) 85 45 3 63 10

2) 4 7 18 54

3) 43 −6 12 39 26

4) 25 15 3 14 12

5) La dueña de una pequeña empresa de comida registra las entradas y salidas de efectivo

durante la última semana del mes.

DIA LUNES MARTES MIERCOLES JUEVES VIERNES SABADO DOMINGO

ENTRADA $ 1256 $ 156 $ 2210 $ 0 $ 2158 $ 1116 $ 1325

SALIDA $324 $ 316 $ 536 $ 123 $ 538 $ 560 $ 478

¿Cuánto quedó en efectivo en caja para inicio de la siguiente semana?

6) Un submarino está sumergido a 257 m bajo el nivel del mar, disparó un cohete en forma

vertical subió 650 m. ¿A qué altura sobre el nivel del mar llegó el cohete?

113

Calcula el valor de cada una de las siguientes expresiones.

1) 2

2) 19

3) 10 19

4) 143

5) 8 18

6) 4 23

7) 20 4

8) 19 34

9) 2156

10) 32 13

2.8 ADICIÓN O SUMA DE RACIONALES.

Recordando la estructura que tienen lo racionales,

donde a y b son números enteros y b

no puede ser cero. A continuación se ejemplificarán cada uno de los casos de suma de

fracciones.

Igual denominador.

Ejemplos

114

Diferente denominador.

Ejemplos

( ( ( (

( (

( ( ( (

( (

Como te darás cuenta, en los dos casos anteriores, los denominadores no son términos que

tengan algún divisor en común (a excepción del 1), y aplicar la técnica de multiplicar

cruzado los números para encontrar la respuesta es muy sencillo. En el caso de que sus

denominadores tengan factores en común se obtiene el Mínimo Común Múltiplo (MCM)

de ellos.

115

Ejemplos

( ( ( (

( ( ( (

En cuanto a la multiplicación y división de fracciones el procedimiento a seguir es el

siguiente:

Multiplicación.

Se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador, para obtener el

numerador y el denominador respectivamente. Se puede multiplicar directo y simplificar la

operación después, si es posible, o bien, si tienen factores que se puedan simplificar con

anterioridad antes de llevar a cabo la operación, en este caso, primero se eliminan y después

se multiplica.

Ejemplos

( (

( (

(

) (

)

( (

( (

116

División.

En el caso de la división de dos fracciones, se cruzan las multiplicaciones. Al igual que la

multiplicación una vez hecho el cruce, se puede simplificar primero antes de llevar a cabo

la multiplicación.

Ejemplos:

( (

( (

( (

( (

Se multiplican medios con medios y extremos con extremos

Realice los siguientes ejercicios

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

117

13) Sonia tenía 8 tazas de harina para hornear pastel, si tiene que poner 3

tazas en un

recipiente y 2

en otro. ¿Cuántas tazas de harina le quedan?

14) Diego prometió estudiar 8 horas en la semana de exámenes, si hasta ahora ha estudiado

. ¿Cuántas horas más tiene que estudiar?

2.8 RAZONES Y PROPORCIONES

2.8.1 RAZONES

Razón. Es una comparación de dos cantidades semejantes. Por lo general se expresa como

cociente de las cantidades.

Ejemplo. Diego puede leer 350 palabras por minuto y un lector promedio lee 250 palabras

por minuto. ¿Cuánto más rápido lee Diego? Para poder encontrar la relación, se divide:

Esto es, por cada 5 palabras que lector promedio Diego lee 7.

Las comparaciones pueden ser denotadas de diferentes formas.

1) 7: 5

2) 7 5

4) 7 a 5

118

Las comparaciones por medio de una razón están limitadas a cantidades del mismo tipo.

Por ejemplo, para expresar la relación entre 9 m y 35 cm ambas cantidades deben escribirse

en términos de la misma unidad. Entonces, la forma que deben ser relacionadas es

9m:0.35m, por convencionalismo y además como están expresadas en la misma unidad, se

eliminan las unidades y se expresa 9:0.35 .

Cambios de velocidad El entender la relación de engranaje te puede ayudar a usar tu

bicicleta de manera más eficazmente. La cadena de la bicicleta gira alrededor del plato de

la rueda dentada delantera conectada a los pedales) y el piñón de la cadena trasera (que

hace girar la rueda trasera). Al cambiar velocidades, la cadena se mueve a un plato o a un

piñón diferente.

La relación de engranaje de una velocidad dada indica el número de veces que rota la llanta

por cada vuelta que rotan los pedales. Para calcular la relación de engranaje se cuentan los

dientes.

Por ejemplo, si la cadena corre sobre un plato con 54 dientes y un piñón con 27 dientes,

entonces la relación de engranaje es

. Esto significa que la rueda trasera da dos

vueltas por cada vuelta que dan los pedales. Si esta cadena se mueve a un piñón con 11

dientes, la relación de engranaje cambia a aproximadamente

Ahora la rueda trasera da 5 vueltas por cada vuelta de los pedales.

119

EJERCICIOS

1) Entre Socorro y Nidia juntaron $3500 para hacerle un presente a su amiga que se

casará próximamente. Si Nidia aportó $1500. ¿Cuál es la razón entre lo aportado

por Socorro y lo aportado por Nidia para el regalo?

2) En una carrera de relevos, Abel corre un tramo de 120 m y Héctor corre un segundo

tramo de 140m. ¿Cuál es la razón entre la distancia recorrida por Abel y la recorrida

por Héctor?

3) Para pintar una casa se mezcló pintura blanca con pintura verde. Si se utilizaron 3

galones de pintura blanca y 2 galones de pintura verde. ¿Cuál es la razón entre la

cantidad de pinturas usadas?

120

2.8.2 PROPORCIONES

Proporción. Es la igualdad de dos razones. Proporcional significa que a medida que una

variable se duplica, la otra también se duplica y que a medida que una variable se triplica,

la otra también se triplica, y así sucesivamente.

Proporción directa. Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera

corresponde doble, triple... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son

directamente proporcionales.

Cuando se tiene una relación dos elementos entre cuyas cantidades prevalece una razón,

utilizando proporciones se pueden calcular cantidades que no estén contempladas.

Ejemplo 1.

En un laboratorio de Fisiología, al medir durante cierto tiempo los litros de sangre que

bombea el corazón de una persona cuyo peso es de 70 kg, se obtuvieron los siguientes

datos.

Litros de sangre que bombea el corazón 20 35 50 60

Tiempo en minutos 4 7 10 12

Se observa en la tabla que a medida que aumenta el tiempo, aumentan los litros de sangre

que bombea el corazón. Y viceversa, a medida que disminuye el tiempo, disminuye el

bombeo de sangre.

Al tomar las comparaciones se tienen las siguientes razones.

Como las razones son constantes, podemos igualar los cocientes, así se construyen las

proporciones

Dos o más cantidades son directamente proporcionales

cuando su cociente es constante o igual.

121

Para comprobar una proporción es necesario reordenarla utilizando la regla de 3 simple

directa que dice, el producto de los medios es igual al producto de los extremos. Ésta se

obtiene a partir de las propiedades de los números reales (multiplicativa e inverso

multiplicativo), que posteriormente se abordará con detenimiento en el tema de despejes de

ecuaciones.

a b

b c

Cuando se desea obtener información a partir de una proporción se requiere de la conocida

regla de 3 simple.

Ejemplo 2.

Un saco de papas pesa 40 kg, entonces dos sacos de papas pesan 80 kg. De un cargamento

de papas con 1040 kg

¿Cuántos sacos se podrán hacer?

En este caso se establecen las proporciones

Cualquier relación que se tome cumple con la misma razón, así que se elige en este caso:

En este momento aplicamos la regla de 3 simple

( (

122

Proporción inversa. Si dos magnitudes son tales que a doble, triple...cantidad de la primera

corresponde la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes

son inversamente proporcionales.

En este caso si se tiene:

a b

b c

La regla a utilizar es la regla de 3 simple inversa.

Ejemplo 1.

Si 3 hombres necesitan 24 días para enyesar una casa, ¿cuántos días emplearán 18 hombres

para realizar el mismo trabajo?

Se utiliza la regla de 3 simple inversa para comprobar los datos obtenidos en la tabla y de la

misma forma obtener el dato faltante.

Utilizando el mismo procedimiento para resolver el problema, se tiene:

La proporcionalidad inversa se visualiza mejor de la siguiente forma.

124

Resuelva los siguientes problemas

1) Si 4 kilos de plátanos cuestan $50, completa la siguiente tabla:

Kilos 2 4.5 8 9.5 12

Precio $ 75 $ 140.60

2) Considerando que 8 operarios efectúan un trabajo en 24 días, completa la siguiente

tabla:

Operarios 4 6 12

Días 64 8

3) Una cuatrimoto en Puerto Peñasco recorre 120 metros en 4 minutos. ¿Qué distancia

recorre en 2 minutos si mantiene su velocidad constante?

4) 14 albañiles efectúan un trabajo en 10 días. ¿Cuánto demorarían 42 albañiles

trabajando la misma cantidad de horas diarias, con el mismo ritmo de trabajo?

5) Una llave que arroja 12 litros por segundo de agua, demora 10 horas en llenar una

piscina. ¿Cuánto demora una llave que da 20 litros por segundo?

6) A María le heredaron un terreno rectangular y le ofrecen elegir uno de 30 m de

frente y 18 metros de fondo. Si puede cambiar las dimensiones del terreno, pero no

el área, ¿cuál deberá ser el fondo si ella pide que el frente sea de 40 m?

7) En un plano, cuya escala es 1: 100, una puerta mide 2 mm. de ancho por 3.2 mm

¿Cuáles son las medidas verdaderas de la puerta?

8) Calcula el valor de 4 huevos si una docena cuesta $54.

125

BLOQUE 3: SUCESIONES Y SERIES

Encuentra el siguiente término de cada una de las secuencias de números y escríbelo

en el cuadro correspondiente

a) 1 , 2 , 3 , 4 , , . . . . .

b) 1 , 4 , 9 , 16 , , . . . .

c) 3 , 7 , 11 , 15 , , . . . . .

d) 7 , 14 , 21 , 28 , , . . . .

e) 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , , . . . .

3.1 SUCESIONES.

Una sucesión es un conjunto de números ordenados u otras cantidades que son llamados

términos, y éstos se obtienen mediante la aplicación de una regla.

1, 2, 3, 4,5…….

3, 5, 7, 9,11…….

15, 20, 25, 30,35……

5, 4, 3, 2,1…….

14, 19, 24, 29,34….

126

Como se muestra en los ejemplos, existen sucesiones finitas e infinitas. Se dice que una

sucesión es finita, cuando posee un número fijo de términos, e infinita, cuando no tiene un

número fijo de términos, es decir no tiene fin.

Los incisos a), b), c) y f) son sucesiones infinitas, y los puntos suspensivos que acompañan

a la serie, además de indicar que sigue hasta el infinito la sucesión, llevan el mismo patrón

de comportamiento.

Los incisos d) y e) son sucesiones finitas. La forma de distinguir a cada término de una

sucesión es con la letra “a”, de tal manera que al primer término se le denomina a1 , al

segundo término 2 a , el tercer término 3 a , y así sucesivamente, al término en general se le

nombra el n-ésimo término y es n a , por lo que la sucesión de términos ordenada quedaría:

a1, a2, a3,..., a,... an

Si se conoce la expresión que proporciona el n-ésimo término, se pueden encontrar todos

los demás sustituyendo el número de término en la expresión, como se muestra a

continuación.

Ejemplo 1.

Encontrar los cinco primeros términos de la sucesión cuyo n-ésimo término se an= 8n – 3

La sucesión ordenada es: 5, 13, 21, 29, 37, …

127

Ejemplo 2.

Encontrar el vigésimo quinto término de la sucesión anterior.

Ejemplo 3.

Encuentra los primeros cuatro términos de la sucesión definida por a1= 5 y an+1= an+n+ 3

Los primeros cuatro términos de la sucesión son: 5, 9, 14, 20

Encuentra los primeros cinco términos de la sucesión.

1) an = (

n

2) an = ( n

3) an =

4) an =

128

3.1.1 DEDUCCIÓN DEL TÉRMINO GENERAL.

También se puede dar el caso de no tener información del n-ésimo término de una sucesión,

de tal manera, que observando el comportamiento de cada uno de los términos puede

encontrarse la regla a la cual se sujetan.

Ejemplo 1.

Dada la siguiente sucesión infinita de números pares, encontrar el término n-ésimo.

Como se observa en la tabla, n es la ubicación que le corresponde a cada término de la

sucesión y cada uno de los términos de la sucesión son el doble de su ubicación, por lo que

el término en general es:

an = 2n

Ejemplo 2.

En el caso de la sucesión infinita de números impares, el n-ésimo término se construiría de la

siguiente forma.

En esta sucesión, sus términos son una unidad menos que el doble de su ubicación, por lo

que el n-ésimo término está dado por la fórmula:

an = 2n -1

Ejemplo 3.

Ahora se encontrará el n-ésimo término de una sucesión que no es tan conocida como las

anteriores.

129

En esta sucesión no es tan fácil encontrar el comportamiento ni la relación de la ubicación

con cada término. Aunque los términos de la sucesión van creciendo de cuatro en cuatro, la

fórmula del n-ésimo término debe depender de la ubicación, así es que se tienen que

relacionar. Para ello debes utilizar tus habilidades de Aritmética para poder hallarla

En este caso la relación está dada por:

an = 4n – 3

Ejemplo 4.

También se pueden establecer sucesiones más elaboradas, como:

El crecimiento que tienen los términos de la sucesión no son constantes, es decir, del primer

término al segundo hubo un aumento de 3, del segundo al tercero hubo un aumento de 5,

del tercero al cuarto subió 7, del cuarto al quinto subió 9, por ello, se puede pensar que

están involucradas las potencias, así que si se piensa en términos de potencias, cada término

es igual a la ubicación elevada al cuadrado disminuida en una unidad.

an = n2 – 1

130

Encuentra el término general de cada una de las siguientes sucesiones.

1) 2, 6, 10, 14 . . . .

2) 4, 7, 12, 19, . . . .

3) 1, 4, 7, 10, . . . .

4) 3, 6, 9, 12, …..

5) 3, 7, 11, 15, . . . .

6) 1, 4, 9, 16, . . . . .

7) 1, 8, 27, . . . . .

8) 7, 13, 19, 25, . . . . .

131

3.2 SUCESIÓN O PROGRESIÓN ARITMÉTICA.

Es la sucesión cuyos términos, después del primero, se forman sumando un número fijo, de

tal forma que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera es una constante y a ésta

se le llama diferencia de la progresión y se denota con la letra “d”.

A continuación se ejemplificarán algunas sucesiones aritméticas.

Ejemplo 1.

Se establecerá el comportamiento de la sucesión 5, 11, 17, 23, 29,..., para comprender la

definición de sucesión aritmética. La diferencia entre dos términos consecutivos

cualesquiera es d6

La fórmula de la sucesión aritmética es:

132

EJERCICIOS

Encuentra el término que se pide en cada una de las siguientes sucesiones.

1) Encuentra el 12vo. término de la sucesión aritmética 5, 13, 21,…

2) Encuentra el 18vo. término de la sucesión aritmética, 9, 7, 5,…

3) Encuentra el término 24 de la sucesión aritmética 3, 8, 13,…

4) Encuentra el término 16 de la sucesión 11, 9, 7,…

5) Encuentra el término 14 de la progresión aritmética

Resuelve los siguientes problemas.

1) Un teatro tiene 30 filas, 15 asientos en la primera fila, 17 asientos en la segunda fila,

19 en la tercera, y así sucesivamente, ¿cuántos asientos hay en la fila 30?

2) El piso del patio de una casa tiene forma de trapecio y se construyó con 20 hileras

de ladrillos. Si en la primera hilera tiene 14 ladrillos y la veinteava tiene 33

ladrillos, ¿cuántos ladrillos tendrá la 15va. hilera?

3) Un objeto que cae libremente recorre 4.9 metros durante el primer segundo, 14.7

durante el siguiente, 24.5 durante el tercero, y así sucesivamente, ¿qué distancia

recorre durante el décimo segundo?

133

3.3 SUCESIÓN O PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.

Es la sucesión cuyos términos, después del primero, se forman multiplicando por un

número fijo, de tal forma que la división de dos términos sucesivos cualesquiera es una

constante que se denomina razón (r).

El término general se obtiene mediante la fórmula: an = a1rn - 1

Ejemplo 1.

Para encontrar el n-ésimo término de la sucesión geométrica 2, 4, 8, 16, …, primero se debe

encontrar la razón.

Al dividir dos términos consecutivos obtenemos siempre el mismo valor constante.

es decir, la razón es r 2

134

Ejercicios

Encuentra el término que se pide de las siguientes sucesiones.

1) Encuentra el 6to. término de la sucesión geométrica 4, 12, 36,…

2) Encuentra el 9no. término de la sucesión geométrica 5, 15, 45,…

3) Encuentra el término 14 de la sucesión geométrica 3, 9, 27, 81,…

4) Encuentra el término 8 de la sucesión 1, – 2, 4, –8,…

5) Encuentra el término 5 de la progresión geométrica 16, 8, 4,…

135

3.4 SERIES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

Series aritméticas. La suma (S) de los n términos de una sucesión aritmética finita está

dada por la expresión:

Ejemplo 1.

Encontrar la suma de los primeros 10 términos de la sucesión 7, 15, 23,…

Primero se obtiene el 10mo. término de la sucesión aritmética.

an = a1 + (n-1)d

(

(

Ahora se aplica la fórmula de la serie.

Ejemplo 2.

Dada la progresión aritmética 5, 12, 19, 26,…, encontrar la suma de los primeros 12

términos.

Se obtiene el 12vo. término de la sucesión aritmética

136


Ejemplo1.

Encontrar la suma de los primeros 10 términos de la sucesión 3, 6, 12,…

Primero se obtiene el 10mo. término de la sucesión geométrica.


Lo más importante de estas series es su aplicación en problemas reales, como los

siguientes.

1) Carolina compró una casa y pagará mensualmente $3000 durante el primer año, y

cada año se aumentará la mensualidad en $200. ¿Cuánto pagará en total al cabo de

los 10 años?

La sucesión aritmética de pago mensual es: $3000, $3200, $3400,…

Sólo que habrá que estructurar una nueva secuencia por año y ésta es: $36000, $38400,

40800,…El 10mo. término de la sucesión aritmética anual es:

137


Carolina pagará al cabo de 10 años $ 468000.

2) En un cultivo de bacterias, el número de ellas se triplica cada día en ciertas

condiciones de temperatura, nutrición y humedad. Si hay 1200 bacterias al final del

primer día, ¿Cuántas habrá al final del 6 días?

La razón de crecimiento r es 3, por lo que el 6to. día crecerían:

Ahora se aplica la fórmula de la serie para poder encontrar cuántas habrá en total al cabo de

los 6 días.

Al final del sexto día habrá 436800 bacterias.

138

EJERCICIOS

Resuelve los siguientes problemas.

Una de las secciones de un auditorio tiene 6 hileras de asientos. Si la primera tiene 15

asientos, la segunda 13, la tercera 11, y así sucesivamente, hallar la capacidad de la sección.

Si Abel empieza ahorrando $15 pesos y cada día ahorra $5 más, ¿cuánto habrá ahorrado al

terminar el 30vo. día?

Jaime gana un salario anual de $9000 en la empresa donde labora. Su jefe le ha prometido

un aumento de $1300 cada año, durante los siguientes 5 años. ¿Cuánto ganará en total

durante esos 5 años?

El valor de un automóvil se deprecia un 10% cada año, si el precio de un automóvil es de

$120,000. ¿Cuál sería su valor al cabo de 5 años?

En una ciudad de 354,470 habitantes, la población crece a razón de 1.2% cada año. Estima

la población dentro de 20 años.

Una persona invierte $80,500 al 5% de interés capitalizable. ¿Qué cantidad de dinero

recibirá el inversionista al final de 4 años?

139

BLOQUE 4: TRANSFORMACIONES

ALGEBRAICAS I

4.1TEORÍA DE EXPONENTES

1) Producto de bases iguales

2) Exponente negativo

3) Cocientes de bases iguales

4) Potencia de potencia

CONCEPTO: Estudia todas las clases de exponentes y las diferentes relaciones que

existen entre ellas, mediante leyes.

La operación que da origen al exponente es la potenciación.

Potenciación: Es la operación que consiste en repetir un número denominado base, tantas

veces como factor, como lo indica otro número que es el exponente, el resultado de esto se

le denomina potencia.

REPRESENTACIÓN:

An = (AxAxAxAx...xA) “n” veces

4.1.1 PRODUCTO DE BASES IGUALES

El producto de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y

exponente igual a la suma de los correspondientes exponentes. Se coloca la misma base y

se suman los exponentes.

A m

x A n = A

m + n

140

Ejemplo:

92 x 9

3 = 9

2+3 = 9

5

Exponente cero

Origen:

El exponente cero “0” proviene de dividir potencias iguales de la misma base.

Asi,

a2 ÷ a

2 = a

2-2 = a

0

x5 ÷ x

5 = x

5-5 = x

0

INTERPRETACION DEL EXPONENTE “0”

Toda cantidad elevada a cero “0” vale 1.

Decimos que:

a0 = 1

En efecto: Según las leyes de la división, [an ÷ a

n = a

n-n = a

0], y otra parte, como toda

cantidad dividida por sí misma es igual a 1, se tiene [an ÷ a

n = 1].

Entonces: dos cosas (a0 y 1). Iguales a una tercera (a

n ÷ a

n) son iguales entre sí.

Origen:

El exponente fraccionario proviene de extraer una raíz a una potencia cuando el exponente

de la cantidad sub-radical no es divisible por el índice de la raíz.

Sabemos que para extraer una raíz a una potencia se divide el exponente de la potencia por

el índice de la raíz. Si el exponente no es divisible por el índice, hay que dejar indicada la

división y se origina el exponente fraccionario.

141

Así:

INTERPRETACION DEL EXPONENTE FRACCIONARIO

Toda cantidad elevada a un exponente fraccionario equivale a una raíz cuyo índice es el

denominador del exponente y la cantidad sub-radical la misma cantidad elevada a la

potencia que indica el numerador del exponente.

Decimos que:

Exponente negativo

Origen:

El exponente negativo proviene de dividir dos potencias de la misma base cuando el

exponente del dividendo es menor que el exponente del divisor. Asi,

INTERPRETACION DEL EXPONENTE NEGATIVO

Toda cantidad elevada a, un exponente negativo equivale a una fracción cuyo numerador es

1, y su denominador, la misma cantidad con el exponente positivo.

142

Decimos que,

4.2 POLINOMIOS.

Polinomio. Es una expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos.

Grado de un polinomio. Es la suma mayor de los exponentes de cada término algebraico.

143

4.2.1OPERACIONES CON POLINOMIOS.

Suma de polinomios.

Para llevar a cabo la suma de polinomios es necesario identificar los términos

semejantes, es decir, los términos que tengan las mismas variables con iguales

exponentes, para así poder sumar dichos términos.

Ejemplo 1.

Marco Antonio es el supervisor en una compañía que distribuye carnes frías y debe realizar

el inventario del mes, para ello, tiene que contar los productos que hay en almacén y

compararlos con los productos que había en el inventario anterior y los que salieron a la

venta; los productos que tiene que contar son: paquetes de salchicha, jamón, quesos, entre

otros.

Si a cada producto se le asigna una variable, se tendría la siguiente expresión.

x + x + x + x = 4x

y + y + y + y + y + y = 6y

z + z + z + z + z + z + z + z = 8z

En otras palabras, los productos que hay en existencia en el almacén son:

4x 6y 8z

144

Existen varios métodos para sumar, pero realmente se basan en lo mismo, en identificar los

términos semejantes y reducirlos.

Uno de ellos es el método que todos aprenden en la primaria, en donde se acomodan las

unidades, decenas, centenas, etc.

De la misma forma se acomodan los términos de un polinomio, acomodando los términos

semejantes.

Ejemplo 2.

Para sumar los polinomios

7x3 + 3x2

+ 5x + 6 y 9x2 - x - 2

Se acomodan de la siguiente forma:

Otra forma, es hacerlo directo

El resultado 7x3 + 12 x

2 + 4x + 4 ya no se puede reducir porque no tiene términos de igual

variable con la igual potencia (semejantes).

145

EJERCICIOS

Realiza las siguientes operaciones

146

4.2.2 MULTIPLICACIÓN O PRODUCTO DE POLINOMIOS.

Al igual que la suma en la primaria, también aprendieron a multiplicar mediante un

algoritmo. Uno de los métodos para multiplicar polinomios, parecido al que aprendieron es:

La forma que es más usada en este nivel académico, es empleando la propiedad

distributiva, se dice que se multiplican término a término.

Posteriormente se reducen los términos semejantes, obteniéndose así el resultado final.

Para multiplicar monomios no es necesario que sean semejantes. Una vez que se aplican

las leyes de los exponentes que se requieran, se multiplican los coeficientes y se suman los

exponentes de cada literal.

Ejemplos

147

Efectúa los siguientes productos y simplifica términos semejantes.

1) - 3a41 – 4abc + 5a

2c

3

1) (3x2y3x

4y

2 + 2xy

3 - 4

2) (m+ 4)(m− 4) =

3) (− 2a + 6b)(6b + 2a) =

4) (- 4a - 7b)(- 7b + 4a) =

5) (a −7)(a + 4) =

6) (x + 5y)(x − 3y)=

7) (2a − 4b)(2a + 3b) =

148

4.3 PRODUCTOS NOTABLES.

Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos

pasos conducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a

una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Éstos productos reciben el

nombre de productos notables.

Se llama producto notable a un producto que puede ser obtenido sin efectuar la

multiplicación.

Algunos de ellos son los siguientes:

Cuadrado del Binomio

Recordemos que a la expresión algebraica que consta de dos términos se le llama binomio.

El producto de un binomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado del binomio. El

desarrollo de un cuadrado de binomio siempre tiene la misma estructura. Por ejemplo, al

elevar al cuadrado el binomio “a+b”, multiplicando término a término, se obtendría:

222222 bababbaababbabbaaabababa

pero si comparamos la expresión “ 2ba ” con el resultado de su expansión “

22 2 baba ” podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente:

Donde representa al primer término del binomio y al segundo.

Si tomamos como ejemplo al binomio “ab”, ocurre lo mismo que para a+b sólo que en la

reducción de términos semejantes se conserva el signo menos delante del doble producto, o

sea:

149

En ambos casos vemos que se tiene la misma estructura diferenciándose sólo en un signo.

A partir de este hecho podemos presentar la fórmula para desarrollar el producto notable

cuadrado del binomio:

“El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el

doble del producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo

término”

La estructura que representa esta fórmula es:

Ejemplos

22222442222 bpbpbbppbp

22222162494432343 nmnmnnmmnm

2222210255255 yxyxyyxxyx

150

¿Cómo calculamos el área de la cocina?

Resolvamos ahora la pregunta del área de la cocina, retomando los datos que obtuviste del

plano del departamento.

Con las respuestas 1 y 2 del croquis del departamento calculemos el área de la cocina.

A = lado (lado) Entonces A= (x + 6)(x + 6)

= lado2 Sustituyendo = (x + 6)

2

Resolviendo = x2 + 12x + 36

El resultado obtenido x2 + 12x + 36 es la expresión algebraica del área de la cocina que es

la respuesta a la segunda pregunta

¿Cómo resolvemos un binomio al cuadrado?

Observa los pasos para elevar un binomio al cuadrado en el siguiente diagrama:

(x + 6)2 = x2 + 12x + 36

x +

Cocina x +

3º Cuadrado del

segundo término 6

1º Cuadrado del

primer término x

2º Dos veces el primer término

por el segundo “x” por seis

151

Existen otro tipo de productos notables, algunos de ellos son, el producto de binomios con

término común y producto de binomios conjugados.

Ejemplo

Se desea realizar el producto de los factores x 7x 2.

Al observar los factores se identifica el tipo de producto notable al cual pertenece, éstos son

binomios con un término común, por lo tanto se usa: (a + b)(a + c) = a2 + (b + c)a + bc

( x + 7 )( x – 2 ) = x2 + ( 7 – 2 )x + (7)(-2)

= x2 + 5x – 14

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 2

Instrucción: Resuelve en tu cuaderno los binomios al cuadrado, en caso de

dudas consulta con tu asesor.

(x + 7)2 =

(x - 6)2 =

(2x + 3)2 =

(4x - y)2 =

(6xy - 9)2 =

152

4.3.1 BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN

Para calcular el resultado de este tipo de binomios veamos los siguientes diagramas

(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

Ejemplo

(x + 15) (x + 6) = x2 + 21x + 90

1º El término común x se

eleva al cuadrado

2º Se suman los términos

no comunes (a + b) y el

resultado se multiplica por

el término común “x”

3º Se multiplican los términos no

comunes a( b)

1º El término común

x se eleva al

cuadrado

2º Se suman los

términos no comunes

(15 +6) y el resultado se

multiplica por el término

3º Se multiplican los términos

no comunes 15(6)

153

(x - 23) (x + 9) = x2 -14x - 207

Los diagramas te muestran la forma en que se calculan los resultados de la multiplicación

de binomios con término común “x” y los casos de signos diferentes para los términos no

comunes, Ahora realiza la siguiente actividad.

1º El término común x

se eleva al cuadrado

2º Se suman los

términos no comunes (-

23+9) y el resultado se

multiplica por el término

3º Se multiplican los términos

no comunes -23(9)

154

4.3.2 BINOMIOS CONJUGADOS

Para obtener el resultado del producto de dos binomios conjugados se representa en el

diagrama siguiente:

(x + y) (x – y) = x2 - y2

Ejemplo

(x + 14) (x – 14) = x2 - 196

1º El primer término

de cada binomio se

eleva al cuadrado

2º Siempre se

escribe el signo

menos

3º El segundo término de

cada binomio se eleva al

cuadrado

1º El primer término de


cuadrado

2º Siempre se escribe el

signo menos

3º El segundo término de cada

binomio se eleva al cuadrado

155

Ejemplo 3.

Desarrollar el producto de los factores (3x - 2)3

El binomio anterior, pertenece a binomio al cubo, por lo tanto se utiliza para desarrollar el

producto la siguiente representación algebraica:

REALIZA TRANS

(2x - 9) (2x + 9) = 4x2 - 81

1º El primer término de


cuadrado

2º Siempre se escribe el

signo menos

3º El segundo término de cada

binomio se eleva al cuadrado

156

Efectúa los siguientes productos notables utilizando la regla que corresponda.

1) (x + 3) (x − 4) =

2) (− a − 5b) (− a + b) =

3) (7xy + 1) (7xy + 1) =

4) (2m+ 1) (2m+ 1) =

5) (2n − 3) (3n + 1) =

6) (x + a)(x − a) =

7) (a + 8b)(a − 7b) =

1) (a +11)(a + 4) =

2) (x + 5)(x − 5) =

3) (5x − 7)(5x + 7) =

4) (x + 5)(x − 2) =

5) (a + b)3 =

6) (x + 4)3 =

7) (y + 5)3 =

8) (2x – 4 )3 =

157

BLOQUE 5 TRANSFORMACIONES

ALGEBRAICAS II

5.1 FACTORIZACION DE POLINOMIOS.

5.1.1 CASO I: Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor

común.

Cuando se tiene una expresión de dos o más términos algebraicos y si se presenta algún

término común, entonces se puede sacar este término como factor común.

a) Factor Común Monomio: Para factorizar monomios se realizara el siguiente

procedimiento.

1) Factorizar los coeficientes por m.cd.

2) Factorizar la parte literal.

Ejemplos: Factorizar las siguientes expresiones.

1) 2a 2a

Factorización de los coeficientes: En este caso los coeficientes no tienen un término

común y el m.c.d (1,2) es 1

Factorización de la parte literal: En este caso el único factor común es a.

La solución entonces viene dada por:2a 2a a(a 2a)

158

2) 210b 30ab

Factorización de los coeficientes: En este caso se tiene que hallar el m.c.d (10,30),

descomponiendo en factores primos y tomando los factores comunes elevados a la menor

potencia se obtiene que m.c.d (10,30)=10

Factorización de la parte literal: En este caso el único factor común es b.

La solución entonces viene dada por: 210b 30ab 10b(1 3ab)

3) 2 2 2 32bx 2b x 3b x

Factorización de los coeficientes: En este caso los coeficientes no tienen un término

común y el m.c.d (3,2) es 1

Factorización de la parte literal: En este caso tenemos como factor común el término bx.

La solución entonces viene dada por: 2 2 2 3 22bx 2b x 3b x bx(2x 2b 3bx

4) 3 2 2 3 2 293a x y 62a x y 124a x

Factorización de los coeficientes: En este caso se tiene que hallar el m.c.d (93, 62, 124),

descomponiendo en factores primos y tomando los factores comunes elevados a la menor

potencia se obtiene que m.c.d (93, 62, 124)=31

Factorización de la parte literal: En este caso tenemos como factor común el término

2a x

La solución entonces viene dada por:

3 2 2 3 2 2 2 293a x y 62a x y 124a x 31a x(3axy 2axy 4)

159

5) 24 15 12 21 16 9a y a y a y

Factorización de los coeficientes: En este caso el factor común es 1

Factorización de la parte literal: Para obtener factor común de la parte literal primero se

debe hallar el m.c.d de los exponentes de cada término. Para el caso del término a se tiene

m.c.d (24, 12, 16) = 4 y para el término y m.c.d (15, 21, 9) = 3, por lo tanto el factor común

de la parte literal es 4 3a y

La solución entonces viene dada por:

24 15 12 21 16 9 4 3 20 12 8 18 12 6a y a y a y a y (a y a y a y )

b) Factor Común Polinomio: Para factorizar polinomios se deberá hallar el binomio o

polinomio de la expresión dada que es común para los demás términos.


1) a(x y) b(x y)

En esta expresión los términos a y b tienen como factor común el binomio (x y) , por lo

tanto la solución viene dada por: a(x y) b(x y) (x y)(a b)

2) a(x 2) x 2

Para poder factorizar la expresión dada primero debemos hacer una manipulación,

factorizando el signo menos que acompaña a x y a 2, nos queda entonces:

a(x 2) (x 2)

Expresión en la cual se ve de manera más clara que se tiene como factor común el binomio

(x 2) , por lo tanto la solución viene dada por:

a(x 2) (x 2) (x 2)(a 1)

160

3) 2 2(a b 1)(a 1) a 1

Para poder factorizar la expresión dada primero debemos hacer una manipulación,

factorizando el signo menos que acompaña 2a 1 , nos queda entonces

2 2(a b 1)(a 1) (a 1)

Expresión en la cual se ve de manera más clara que se tiene como factor común el

binomio 2(a 1) , por lo tanto la solución viene dada por:

2 2 2 2(a b 1)(a 1) (a 1) (a 1)(a b 1 1) (a 1)(a b 2)

5.1.2 CASO II: Factor común por agrupación de términos.

En una expresión de dos, cuatro, seis o un número par de términos es posible asociar por

medio de paréntesis de dos en dos o de tres en tres o de cuatro en cuatro de acuerdo al

número de términos de la expresión original. Se debe dar que cada uno de estos paréntesis

que contiene dos, o tres o más términos se le pueda sacar un factor común y se debe dar que

lo que queda en los paréntesis sea lo mismo para todos los paréntesis o el factor común de

todos los paréntesis sea el mismo y este será el factor común.


1) ax bx ay by

Al observar detalladamente la expresión dada se puede apreciar que los dos primeros

términos tienen a x como factor común y los dos últimos términos tienen a y como factor

común, por lo tanto podemos reescribir la expresión como: x(a b) y(a b) y en esta

expresión el binomio (a b) es factor común del término x y del término y por lo que

la solución viene dada por: ax bx ay by x(a b) y(a b) (a b)(x y)

La expresión dada también puede ser factorizada considerando el primer y tercer término

tienen como factor común a a y el segundo y cuarto término tienen como factor común a

161

b , podemos entonces reescribir la expresión dada como: a(x y) b(x y) y en esta

expresión el binomio (x y) es factor común del término a y del término b por lo que la

solución viene dada por: ax bx ay by a(x y) b(x y) (a b)(x y)

2) 22x 3xy 4x 6y

Observando la expresión dada podemos notar que el primer y el tercer término tienen como

factor común a 2x y el segundo y cuarto término tienen como factor común a 3y,

reescribiendo se tiene: 2x(x 2) 3y( x 2) , factorizando signo menos en la

( x 2) se tiene: (x 2) por lo tanto nos queda: 2x(x 2) 3y(x 2) , expresión

que tiene como factor común el binomio (x 2) , por lo tanto la solución es:

22x 3xy 4x 6y (2x 3y)(x 2)

3) 2 2 2 3 2a x ax 2a y 2axy x 2x y

En la expresión dada se pueden agrupar los términos de varias maneras en este caso

agruparemos de la siguiente manera: primer y tercer término, segundo y quinto termino y

finalmente cuarto y sexto termino, tenemos entonces:

Agrupación de primer y tercer término: Tienen como factor común el término 2a .

Agrupación de segundo y quinto término: Tienen como factor común el término 2x .

Agrupación de cuarto y sexto término: Tienen como factor común el término 2xy .

Reescribiendo se tiene:

2 2 2 3 2 2 2a x ax 2a y 2axy x 2x y a (x 2y) x (a x) 2xy(a x)

Si observamos detalladamente todavía podemos seguir factorizado, ya que el segundo y

tercer término tienen como factor común el binomio (a x) , por lo tanto:

2 2 2 2a (x 2y) x (a x) 2xy(a x) a (x 2y) (a x)( x 2xy)

162

En esta última expresión aun podemos factorizar un poco más ya que en 2( x 2xy) se

tiene a x como factor común, nos queda entonces:

2 2 2a (x 2y) x (a x) 2xy(a x) a (x 2y) (a x)x( x 2y) , y en esta

expresión resultante factorizando el signo menos se tiene al binomio (x 2y) como factor

común, por lo que tiene:

2 2 2a (x 2y) x (a x) 2xy(a x) (x 2y)(a (a x)x)

El resultado final es:

2 2 2 3 2 2 2a x ax 2a y 2axy x 2x y (x 2y)(a ax x )

Nota: La forma en que se agruparon los términos no es única, se le recomienda al

estudiante que agrupe los términos de manera diferente para verificar que se obtiene el

mismo resultado.

EJERCICIOS. Halla el factor común de los siguientes ejercicios, escribe los resultados a

la par.

1) 6x - 12 = 9) 4x - 8y =

2) 24a - 12ab = 10) 10x - 15x2 =

3) 14m2n + 7mn = 11) 4m2 -20 am =

4) 8a3 - 6a2 = 12) ax + bx + cx =

5) b4-b3 = 13) 4a3bx - 4bx =

6) 14a - 21b + 35 =

14) 3ab + 6ac - 9ad =

7) 20x - 12xy + 4xz = 15) 6x4 - 30x3 + 2x2 =

8) 10x2y - 15xy2 + 25xy =

163

5.1.3 CASO III: Trinomio Cuadrado Perfecto.

Antes de entrar en detalle sobre este caso es recomendable que el estudiante tenga claro

algunos conceptos básicos necesarios para poder reconocer y factorizar un trinomio

cuadrado perfecto. Entre esos conceptos básicos se tienen los siguientes:

Cuadrado Perfecto: Se dice que una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado

de otra cantidad, es decir, cuando es el producto de dos factores iguales.

Ejemplo: 29b Es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de 3b , es decir:

229b 3b

Raíz Cuadrada de un Monomio: Para extraer la rías cuadrada de un monomio se extrae la

raíz cuadrada de su coeficiente y el exponente de la parte literal se divide entre dos.

Ejemplo: Extraer la raíz cuadrada de 4 649a b

Solución:

4 6

4 6 2 32 249a b 7a b 7a b

Trinomio Cuadrado Perfecto: Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de

un binomio, o sea, el producto de dos binomio iguales.

Ejemplo: 2 2 2(x y) (x y)(x y) x 2xy y

5.1.3.1 Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.

Un trinomio es cuadrado perfecto cuando el primero y tercer términos son cuadrados

perfectos y positivos, y el segundo es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Ejemplo: Dado 2 225x 10xy y determine si es un Trinomio Cuadrado Perfecto.

Para determinar si es un trinomio cuadrado perfecto debemos aplicar la regla anterior, para

ello debemos determinar si el primer y tercer término son cuadrados perfectos y si el

segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas del primer y tercer monomio.

164

2

2

25x 5x

y y

2*5x * y 10xy

Se cumplen las condiciones por lo tanto 2 225x 10xy y es un trinomio cuadrado

perfecto.

5.1.3.2 Regla para factorizar un trinomio es cuadrado perfecto.

La regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto dice que se extrae la raíz cuadrada al

primer y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo

término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí

mismo o se eleva al cuadrado.


1) 2 2a 2ab b

Primero debemos verificar que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto.

Cálculo de las raíces cuadradas del primer y tercer término.

2 2a a b b

Doble producto de las raíces: 2*a *b 2ab

Si es un trinomio cuadrado perfecto por lo tanto aplicando la regla para factorizar, tenemos:

2 2 2a 2ab b (a b)

2) 2 216a 40ab 25b



165

2 216a 4a 25b 5b

Doble producto de las raíces: 2*4a *5b 40ab

Si estamos en presencia de un trinomio cuadrado perfecto por lo tanto aplicando la regla

para factorizar, tenemos:

2 2 216a 40ab 25b (4a 5b)

3) 8 4a 18a b 81



8

8 42a a =a 81 9

Doble producto de las raíces: 4 42*a *9 18a



8 4 4 2a 18a b 81 (a 9)

4)

46 3 2 y

16x 2x y16



46 44 22

6 32 yy y y16x 4x =4x

16 4 416

Doble producto de las raíces:

23 3 2y

2*4x * 2x y4

166



24 2

6 3 2 3y y16x 2x y 4x

16 4

EJERCICIOS

1) b2 - 12b + 36 = 2) 25x

2 + 70xy + 49y

2 =

3) m2 - 2m + 1 = 4) x

2 + 10x + 25 =

5) 16m2 - 40mn + 25n

2 = 6) 49x

2 - 14x + 1 =

7) 36x2 - 84xy + 49y

2 = 8) 4a

2 + 4a + 1 =

9) 1 + 6ª + 9a2 = 10) 25m

2 - 70 mn + 49n

2 =

11) 25a2c

2 + 20acd + 4d

2 = 12) 289a

2 + 68abc + 4b

2c

2 =

13) 16x6y

8 - 8 x

3y

4z

7 + z

14 =

167

5.1.4 CASO IV: Trinomio de la forma 2x bx c .

Para poder factorizar un trinomio de la forma 2x bx c se debe cumplir las siguientes

condiciones:

1) El coeficiente del primer término es 1.

2) El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.

3) El segundo término tiene la misma letra que el primero pero con exponente uno

y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

4) El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primer y

segundo término y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

Regla para factorizar un trinomio de la forma 2x bx c .

1) Se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es x, o sea la raíz

cuadrada del primer término del trinomio.

2) En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del

trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de

multiplicar el signo del segundo término por el signo del tercer término.

3) Si los dos factores binomios tienen en medios signos iguales, se buscan dos

números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo

producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio, mismos que serán los

segundos términos de los binomios.

4) Si los dos factores binomios tienen en medios signos distintos, se buscan dos

números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y

cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de

estos números es el segundo término del primer binomio, y el menor es el segundo

término del segundo binomio.

168


1) 2x 6x 9

Pasos:

2

1 2x 6x 9 (x )(x )

1 2 6

1 2* 9

En este ejercicio es fácil ver que los valores son:1 2 3 por lo tanto la solución es:

2x 6x 9 (x 3)(x 3)

2) 2x 3x 10

Pasos:

2

1 2x 3x 10 (x )(x )

1 2 3

1 2* 10

En este ejercicio es fácil ver que los valores son:1 25 y 2 por lo tanto la

solución es:

2x 3x 10 (x 5)(x 2)

3) 2x 6x 216

Pasos:

2

1 2x 6x 216 (x )(x )

1 2 6 (I)

1 2* 216 (II)

169

En este ejercicio no es tan fácil encontrar los valores de 1 2 y que cumplan con las

ecuaciones dadas anteriormente, una forma de hallarlos es descomponer en factores primos

el tercer término y variando los factores formar combinaciones al tanteo, hasta hallar los

números buscados. En nuestro caso aplicaremos la fórmula para hallar las raíces de una

ecuación de segundo grado, es decir:

2b b 4acx

2a

En nuestro ejercicio tenemos:

26 6 4( 216) 6 900 6 30

2 2 2

Obtenemos entonces dos valores para , dichos valores son -18 y 12, tomamos los valores

absolutos de estos números, es decir,1 218 y 12 por lo tanto la solución es:

2x 6x 216 (x 18)(x 12)

EJERCICIOS:

Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios:

1) x2 + 4x + 3 =

2) b2 + 8b + 15 =

3) r2 - 12r + 27 =

4) h2 - 27h + 50 =

5) x2 + 14xy + 24y

2 =

6) x2 + 5x + 4 =

170

5.1.5 CASO V: Trinomio de la forma 2ax bx c .

Para factorizar este tipo de trinomios realizaremos lo siguientes pasos.

1) Multiplicar el trinomio por el coeficiente del primer término, dejando indicado el

producto de a por bx

2 2 2a(ax bx c) (a x b(ax) ac)

2) Reescribimos la expresión como: 2(ax) b(ax) ac y aplicamos el

procedimiento empleado para factorizar trinomios de la forma2x bx c


1) 26x 7x 2

Pasos:

2 2 26(6x 7(6x) 2) (6 x 7(6x) 12)

2(6x) 7(6x) 12

A partir de este momento se trabaja con el procedimiento para factorizar trinomios de la

forma2x bx c , es decir,

2

1 2(6x) 7(6x) 12 (6x )(6x )

1 2 7 (I)

1 2* 12 (II)

En este ejercicio es fácil ver que los valores son:1 24 y 3 por lo tanto la

solución es: 2(6x) 7(6x) 12 (6x 4)(6x 3)

171

Pero como inicialmente multiplicamos por 6, se debe dividir por 6 para obtener la solución

final, tenemos entonces:

2 (6x 4)(6x 3)6x 7x 2

6

Como ninguno de los binomios es divisible por 6, se

descompone el 6 en 2 * 3, para tener:

(6x 4)(6x 3) (6x 4)(6x 3) (6x 4) (6x 3)(3x 2)(2x 1)

6 2*3 2 3

Finalmente el resultado buscado es:

26x 7x 2 (3x 2)(2x 1)

2) 220x 7x 6

Pasos:

2 2 220(20x 7x 6) (20 x 7(20x) 120)

2((20x) 7(20x) 120)

A partir de este momento se trabaja con el procedimiento para factorizar trinomios de la

forma2x bx c , es decir,

2

1 2((20x) 7(20x) 120) (20x )(20x )

1 2 7 (I)

1 2* 120 (II)

En este ejercicio no es tan fácil encontrar los valores de 1 2 y que cumplan con las

ecuaciones dadas anteriormente, una forma de hallarlos es descomponer en factores primos

el tercer término y variando los factores formar combinaciones al tanteo, hasta hallar los

números buscados. En nuestro caso aplicaremos la fórmula para hallar las raíces de una

ecuación de segundo grado, es decir:

172

2b b 4acx

2a

En nuestro ejercicio tenemos:

27 7 4( 120) 7 529 7 23

2 2 2

Obtenemos entonces dos valores para , dichos valores son -15 y 8, tomamos los valores

absolutos de estos números, es decir,1 215 y 8 por lo tanto la solución es:

2((20x) 7(20x) 120) (20x 15)(20x 8)

Pero como inicialmente multiplicamos por 20, se debe dividir por 20 para obtener la

solución final, tenemos entonces:

2 (20x 15)(20x 8)20x 7x 6

20

Como ninguno de los binomios es divisible por

20, se descompone el 20 en 4 * 5, para tener:

2 (20x 15)(20x 8) (20x 15) (20x 8)20x 7x 6 (4x 3)(5x 2)

4*5 5 4

Finalmente el resultado buscado es: 220x 7x 6 (5x 3)(4x 2)

EJERCICIOS:

3) b2 - 12b + 36 =

4) m2 - 2m + 1 =

5) 16m2 - 40mn + 25n

2 =

6) 36x2 - 84xy + 49y

2 =

7) 1 + 6ª + 9a2 =

8) 25a2c

2 + 20acd + 4d

2 =

9) 25x2 + 70xy + 49y

2 =

10) 16x6y

8 - 8 x

3y

4z

7 + z

14 =

173

5.1.6 CASO VI: Factorización Completando de cuadrados.

Se dice que en un trinomio cuadrado de la forma 2ax bx c con a 0 , se ha

completado cuadrados, si se han encontrado tres números reales , , y tal que se

cumpla:

22ax bx c x

Donde: 2 2 2 2x x 2 x por lo tanto:

2 2 2 2ax bx c x 2 x Igualando los coeficientes de los términos

semejantes se tiene;

2a a

bb 2 2 a

2 a

2 22 b b

c c4a2 a

Ejemplo: Completar cuadrados en el siguiente trinomio24x 8x 5

Si aplicamos las fórmulas anteriores se tiene:

4 2 8 8

22*2 4

28 64

5 5 5 4 94*4 16

Por lo tanto el resultado de completar cuadrados en la expresión dada es:

224x 8x 5 2x 2 9

174

Procedimiento para completar cuadrados en un trinomio de la forma 2ax bx c sin

hacer uso de las fórmulas anteriores:

1) Obtener factor común del coeficiente del término 2x

2 2 b cax bx c a x x

a a

2) Multiplicar y dividir por 2 el término b

xa

2 2 b cax bx c a x 2 x

2a a

3) Elevar al cuadrado al coeficiente b

2a y sumarlo y restarlo a la expresión

2 2

2 2 b c b bax bx c a x 2 x

2a a 2a 2a

4) Seleccionar de la expresión resultante los términos correspondiente a un producto

notable de la forma 2 2 2(a b) a 2ab b

2 2

2 2 b b b cax bx c a x 2 x

2a 2a 2a a

2 2

2 b b cax bx c a x

2a 2a a

Ejemplo: Completar cuadrados en el siguiente trinomio24x 8x 5

175

Siguiendo los pasos para completar cuadrado se tiene:

1) 2 2 28 5 5

4x 8x 5 4 x x 4 x 2x4 4 4

2) 2 2 22 5 5

4x 8x 5 4 x 2 x 4 x 2x2 4 4

3) 2 2 5

4x 8x 5 4 x 2x 1 14

4) 22 2 5 9

4x 8x 5 4 x 2x 1 1 4 x 14 4

Si queremos verificar que el resultado es el mismo que obtuvimos por fórmula realizamos

las operaciones algebraicas necesarias:

2 2 29 9

4 x 1 4 x 1 4 4 x 1 9 2 x 1 2 x 1 94 4

2 29

4 x 1 2 x 1 2 x 1 9 2x 2 2x 2 9 2x 2 94

Por lo tanto el resultado de completar cuadrados en la expresión dada es:

224x 8x 5 2x 2 9

176

BLOQUE 6: RESUELVE ECUACIONES

LINEALES

Una ecuación es una igualdad entre letras y números relacionados por operaciones

aritméticas.

x + 3x - 2 = 6, 3x - y = 5 son ecuaciones con una y dos incógnitas, respectivamente.

Resolver una ecuación es hallar el valor o valores de las incógnitas (si los hay) que hacen

cierta la igualdad.

x = 2 es solución de x + 3x - 2 = 6, pues 2 + 3 . 2 - 6 = 6

x = 0, y = 5 es solución de 3x - y = 5, pues 3 . 0 - 5 = 5

A las ecuaciones de primer grado se les conoce como ecuaciones lineales. Las siguientes

ecuaciones son ejemplos de ecuaciones lineales.

Las tres primeras son ejemplos de ecuaciones lineales con una incógnita y los últimos tres

son ejemplos de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

La representación general de una ecuación lineal es: AxB 0 con la condición de que

A0.

Por supuesto que ésta es la representación más simplificada que se puede tener en una

ecuación; como observaste en los ejemplos anteriores, la(s) incógnita(s) pueden estar en

ambos miembros de la ecuación y además, poseer paréntesis y denominadores.

177

Para resolver las ecuaciones lineales con una incógnita, es recomendable seguir los

siguientes pasos.

1. Quitar paréntesis.

2. Quitar denominadores.

3. Agrupar los términos que posean la incógnita en un miembro y los términos

independientes en el otro.

4. Reducir los términos semejantes.

5. Despejar la variable.

Para llevar a cabo estos pasos, se requiere de las propiedades de los números reales que

manejaste en el segundo bloque, a continuación se justificará paso a paso el despeje de una

ecuación utilizando las propiedades de los números reales y posteriormente se explicará la

técnica que se utiliza en el despeje sin necesidad de utilizar las propiedades.

Utilizaremos la ecuación que nos sirvió de modelo para explicar los elementos de una

ecuación.

178

El proceso anterior es extenso, pero es necesario que lo conozcas para que comprendas por

qué se despeja en forma reducida sólo utilizando algunos de los pasos del cuadro anterior,

de hecho, los pasos que se requieren para un despeje corto son los que están sombreados, y

aún así se pueden reducir más.

A continuación se muestra la forma de simplificación corta.

En los siguientes ejemplos visualizarás el planteamiento de problemas así como despejes de

ecuaciones lineales, éstos irán desde lo más sencillo hasta lo complejo.

179

Ejemplo 1.

Entre Said y Raymundo van a comprar una bolsa de canicas que cuesta $56, pero Said tiene

$12 menos que Raymundo. ¿Cuánto tiene cada uno?

Para resolver este problema es necesario asignar la variable.

x : Es el dinero que tiene Raymundo

x −12: Es el dinero que tiene Said

Entre los dos comprarán una bolsa de canicas que cuesta $56, entonces el planteamiento del

problema con la variable asignada se expresa de la siguiente forma:

x + x 12 56

Esta es una de las ecuaciones más sencillas, no posee paréntesis ni denominadores, por lo

que procederemos a despejarla

Además del resultado que tienes, debes de interpretarlo y solucionar el problema real.

Al sustituir el valor encontrado en la asignación de la variable, se obtiene que: Raymundo

tiene $34 y Said tiene $22.

Ejemplo 2.

La edad de Carolina es la mitad de la de Emily; la de Valeria es el triple que la de Carolina

y la edad de Angélica es el doble de la de Valeria. Si las cuatro edades suman 60, ¿qué edad

tiene cada una?

180

Cuando se tienen relaciones de multiplicación entre los elementos del problema, en este

caso las edades de las chicas, es recomendable asignarle la variable a la más pequeña, de

esta forma la ecuación que se obtiene es más sencilla.

y : Edad de Carolina

2y : Edad de Emily

3y : Edad de Valeria

2(3y) : Edad de Angélica

Dado que la suma de las edades es 60, entonces, el planteamiento del problema se expresa

así:

y 2y 3y 6y 60

Resolviendo la ecuación lineal.

Del resultado tenemos que:

Carolina tiene 5 años de edad, Emily tiene 10 años, Valeria tiene 15 años y Angélica tiene

30 años.

181

6.1 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

CON UNA INCÓGNITA

Para resolver ecuaciones de primer grado debemos despejar la incógnita, es decir, dejarla

sola en un miembro. Para ello se convierte en otra más sencilla con las mismas soluciones:

Resolver la ecuación 6x – 3 = 2x + 5

Se resta 2x (regla de la resta) a los dos miembros: 6x - 2x – 3 = 5; 4x – 3 = 5

Se suma 3x (regla de la suma) a los dos miembros: 4x = 5 + 3; 4x = 8

Se divide por 4 (regla del producto o división): 24

8x

Resolver la ecuación 6

14

15

3

2 xxx

Se reduce a común denominador: m.c.m.(3, 4, 6)=12 12

2

12

12

12

153

12

8 xxx

)(

Se eliminan denominadores. Multiplicamos por 12: 8x - 3(5x - 1) = 12 + 2x

Se quitan paréntesis: 8x - 15x + 3 = 12 + 2x

Se simplifica: -7x + 3 = 12 + 2x

Se suma 7x: 3 = 12 + 9x

Se resta 12: -9 = 9x

Se divide por 9:

EJERCICIOS

Resuelve las ecuaciones:

a) 3x - 6 = 4 c) -x + 3 + 6 = 5 - 3x

b) -1 + 2x = 9 - 3x d) 2x = 20 - 3x

182

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 62

3

x d)

5

142

3

6

xx

b) 23

64

x e)

23

4

5

6

12 xxx

c) 4(2x - 1) + 15 = 6 - 2(x - 5)

1. Agustín tiene 12 monedas menos que Enrique y entre ambos tienen 78 monedas

¿Cuántas monedas tiene cada uno?

2. El perímetro de un rectángulo es 108 cm, si el largo es el triple que el ancho, ¿cuáles son

las dimensiones del rectángulo?

3. El precio de venta de una mochila es de $448 luego de aplicar un 20% de descuento.

¿Cuál es el precio regular de la mochila?

183

4. Un agente de ventas visitó 20 clientes en tres días. Si el segundo día visitó uno más que

en el primero y en el tercer día a tres más que en el segundo. ¿Cuántas visitas efectuó cada

día?

6.2 RELACIÓN DE LA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON

LA FUNCIÓN LINEAL.

En la primera secuencia de este bloque se ejemplificó algunas ecuaciones de primer grado

con dos incógnitas, como la siguiente.

2x 3y 6 0

Aquí observamos la forma general:

AxByC 0

Con A0 y B0.

Estas ecuaciones se obtienen a partir de la relación entre las variables “ x ” y “ y ”, estas

relaciones se encuentran en múltiples problemas.

Ejemplo 1.

Don Agustín posee varias hectáreas y le dijo a su hijo, -mira Gustavo, te voy a dar un

terrenito aquí en mis tierras para que levantes tu casa; tengo 160 m de cerco para que elijas

las medidas que gustes, ¡eso sí!, respeta que sea rectangular y utilices todo el cerco que te

ofrezco; empieza a decidir para que cerques el lugar, luego lo verifico y le hablo al notario-

¿qué decisión tomará Gustavo?

Gustavo tiene varias alternativas, como el cerco mide 160 m, entonces debe considerar un

rectángulo de 160 m de perímetro.

X

Y

184

El perímetro de un rectángulo se obtiene al sumar todos sus lados, por lo que la expresión

algebraica que lo modela es:

Perímetro = x y x y 2x 2y

Como el perímetro es la longitud del cerco y éste es de 160 m, entonces la expresión

obtenida es: 2x 2y 160

La siguiente ecuación se puede simplificar en una ecuación que es equivalente, porque

ambos miembros se pueden dividir entre dos, así que se obtiene:

x y 80

De esta manera, es más sencillo encontrar los valores tanto de x como de y . Como una

variable depende de la otra, es decir, si x 20 entonces forzosamente “ y ” debe ser igual a

60 para que sumados den 80, y así ir probando con diferentes parejas de números. Una

opción es despejar una variable como se muestra a continuación.

y 80 −x

Y de esta forma es más sencillo darle valores a la “x”, sustituirlos y así encontrar sus

respectivos valores de “y”. De esta manera se puede encontrar una serie de parejas de

valores “x” y “y” para acomodarla en la siguiente tabla.

185

Como son muchos los resultados, Gustavo tendrá que pensar muy bien qué medidas deberá

de elegir. Utilizando este problema como guía, se puede trazar una gráfica que modele estos

puntos, como lo hacías en la secundaria, en el plano cartesiano2, en donde el eje horizontal

es el eje de las “x” y el eje vertical es el eje de la “y”.

A la variable “x” se le denomina Variable independiente, porque su valor es asignado por

la persona que está realizando la gráfica, y a la variable “y” se le conoce como variable

dependiente, porque su valor depende o está en función del valor asignado a x, como se

obtuvo en la tabla de datos anterior.

Como se observa en ella, el comportamiento de los puntos describe una línea recta, con ella

también se reafirma que proviene de una ecuación lineal de dos incógnitas.

Cuando se realiza el despeje de x + y = 80 , se visualiza mejor la dependencia de las

variables.

y 80 – x

186

6.2.1 CONSTRUCCIÓN DE LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LINEAL.

Anteriormente se ha hablado sobre función, ahora se explicará con detenimiento lo que es

una función. El concepto de función implica la relación que existe entre los elementos de

dos conjuntos; esta relación se establece mediante una regla de asociación que puede ser

verbal o matemática, como por ejemplo:

1. La temperatura en el ambiente a lo largo de un día depende de la hora; es decir, cada

instante de tiempo está asociada a una temperatura.

2. Cuando se desea llenar de agua un tanque, el nivel del agua depende del tiempo

transcurrido. Si el nivel del agua cambia uniformemente a razón de 10 cm/min , y el tanque

tiene una altura de 85 cm. entonces la relación que existe entre el nivel y el tiempo se da

con la siguiente expresión:

h 10t

187

3. El pago de un refrigerador está en función del plan de pago mensual que ofrece una

tienda departamental. Si se considera a la ecuación lineal de dos incógnitas AxByC 0 , y

se despeja “y”, se observa mejor la relación que tienen las variables.

AxByC 0

Ejemplo 1.

Si se tiene la ecuación 2x − 3y + 6 = 0, al despejarla se puede encontrar mejor la relación

que existe entre las variables.

Se puede decir que la variable “y” está en función de “x” porque existe una relación o

asociación entre ellas, si a cada valor de “x” que asignes, lo multiplicas por 2/3 y le sumas

2, vas a obtener un único valor de “y”.

De aquí se puede visualizar la definición de función, la cual es:

Función. Es la regla de asociación o correspondencia entre los conjuntos X y Y, de tal

forma que cada elemento de un conjunto X se asocia con exactamente un elemento del

conjunto Y.

Con esto decimos que los elementos “y” del conjunto Y, están en función de los elementos

“x” del conjunto X, esto queda más claro en esta notación.

y f(x)

Así que la función

se puede reescribir como: f(x) =

188

Ejemplo 2.

Se desea llenar de agua una piscina que tiene inicialmente un nivel de 1m, la llave con que

se llenará logrará subir el nivel uniformemente a razón de ½ metro por hora, si la piscina

tiene una altura de 5 m, entonces la relación que existe entre el nivel y el tiempo se da con

la siguiente expresión:

Uno de los métodos para graficar consiste en darle valores al tiempo y encontrar los

respectivos valores de la altura

La gráfica del problema es:

En la gráfica se observa cómo la línea empieza en 1, ya que contenía en un inicio 1 m de

agua y además, termina en 5, debido a que en 8 horas transcurridas la piscina se llenaría.

189

Ahora se descontextualiza la función, es decir, sin tomar en cuenta las limitantes del tiempo

y altura, la gráfica se tomaría de la función lineal sin restricciones, utilizando valores

negativos.

Analizando esta gráfica y observando los valores de la función se darán cuenta que:

a)

es la razón de crecimiento de la gráfica, ésta se relaciona con el grado de

inclinación de la recta, esto es, por una unidad que se avanza el eje vertical, en el eje

horizontal se avanzan dos.

b) 1 es donde se intersecta la gráfica con el eje vertical.

Debido a este análisis se puede generalizar la función lineal y graficar sin necesidad de

llevar a cabo una tabla.

La función lineal es de la forma:

Si se hace

190

Entonces se obtiene la forma:

y mx b

A “m” se le conoce con el nombre de pendiente y representa la inclinación de la línea

recta, y “b” se denomina la ordenada en el origen, la cual representa la intersección de la

línea recta con el eje vertical.

Ahora se tomará otro ejemplo para visualizar esta nueva forma de graficar, utilizando la

pendiente y la ordenada en el origen, esto es, usando “m” y “b”.

Ejemplo 3.

Graficar la función y −3x 6

m−3

b 6

Primero se ubica “b” en el eje vertical.

191

Para graficar una recta sólo se necesitan dos puntos para trazar la línea, por lo que el otro

punto se grafica a partir del punto encontrado utilizando la pendiente, o sea “m”.

m= - 3 = -3/1, esto significa que por cada 3 unidades que va hacia abajo en el eje vertical

avanza 1 unidad hacia la derecha en el eje horizontal.

Grafica las siguientes ecuaciones lineales utilizando la pendiente y la ordenada en el

origen.

1) 3x − 2y − 8 = 0

2) x y −3 0

3) −7x 4y 20 0

4) 4x −3y −18 0

192


LINEALES II

7.1 INTERPRETACIÓN GRÁFICA.

En el bloque anterior conociste las ecuaciones lineales, solución de problemas y su

representación gráfica. Existen problemas más estructurados que implican varias

situaciones y se requiere utilizar más de una ecuación. Con el siguiente problema se iniciará

el desarrollo de los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas (2 x 2).

Ejemplo 1.

Teresa invirtió parte de su dinero al 9% y el resto al 14% y le arrojó un ingreso total de

$2765. Si hubiera intercambiado sus inversiones, el ingreso habría totalizado $3215.

Para encontrar la cantidad de dinero que había en cada una de las inversiones, primero se

debe encontrar las ecuaciones que modelan las dos situaciones.

La asignación de variables es:

x : Primera cantidad de dinero invertida

y : Segunda cantidad de dinero invertida

193

A este sistema también se le conoce como ecuaciones simultáneas, porque la solución a

éste debe cumplirse para ambas.

También en la gráfica se refleja la simultaneidad debido a que se trazan las líneas en un

mismo Plano Cartesiano. Utilizando cualquiera de los métodos de graficación para

ecuaciones lineales que se abordaron en el bloque anterior (tabla, pendiente-ordenada en el

origen, intersección de ejes), se tiene la siguiente gráfica

194

Las líneas rectas se cortan en un punto el cual es parte de ambas, es decir, ese punto es el

que satisface las dos ecuaciones, por lo que sería la solución al problema.

El punto encontrado es una pareja de coordenadas (x, y) que se ubica en el plano

cartesiano.

En este caso no se pueden localizar los valores exactos. Sólo observando la gráfica, se

alcanzaría una aproximación de éstos. Para encontrar la solución se requieren métodos

algebraicos para obtener con exactitud la solución.

Posteriormente se abordarán estos métodos.

Resuelve los siguientes ejercicios.

Traza las gráficas de los siguientes sistemas.

2X -3Y + 7 = 0

X + 2Y = 0

7X + 2Y – 6 = 0

14X + 4Y + 13 = 0

3X – Y + 4 = 0

-6X + 2Y – 8 = 0

4X – Y – 12 = 0

X + 4Y + 4 = 0

195

7.2 ELIMINACIÓN POR IGUALACIÓN

P r o c e d i m i e n t o

1. Se ordenan (alfabéticamente) y nombran las ecuaciones

2. Se despeja una de las incógnitas en ambas ecuaciones.

3. Se igualan entre sí las expresiones de la incógnita despejada en el paso anterior

4. Se resuelve la ecuación resultante (ecuación de una incógnita).

5. El valor numérico obtenido para la incógnita que estamos resolviendo, se sustituye en

cualquiera de las ecuaciones originales, obteniendo así el valor numérico de la otra

incógnita.

Resolver por el método de igualación:

198

7.3 ELIMINACIÓN POR SUSTITUCIÓN



2. Se despeja una de las incógnitas en cualquiera de las dos ecuaciones.

3. El valor de la incógnita despejada se sustituye en la otra ecuación.

199

4. Se resuelve la ecuación resultante (ecuación de una incógnita).

5. El valor numérico obtenido para la incógnita que estamos resolviendo, se sustituye en

cualquiera de las ecuaciones originales, obteniendo así el valor numérico de la otra

incógnita.

Resolver por sustitución:

202

7.4 MÉTODO DE REDUCCIÓN



2. Se halla el M.C.M (mínimo común múltiplo) de los coeficientes de alguna de las

incógnitas

3. Dividimos el M.C.M por cada uno de los coeficientes de la letra escogida y el cociente lo

multiplicamos por dicho coeficiente

203

4. Se suman o restan las ecuaciones, dependiendo de si los coeficientes tienen diferente

signo o igual signo

5. Se despeja la incógnita de la ecuación resultante

6. Se sustituye el valor numérico de la incógnita, obtenido en el paso anterior, en

cualquiera de las dos ecuaciones originales

7. Se halla el valor de la segunda incógnita

Nota1: la simbología utilizada para denotar el mínimo común múltiplo, c, de los dos

números, a y b, es la siguiente: [a, b] = c.

Resolver por suma o resta:

207

7.5 DESARROLLO DE UNA DETERMINANTE DE SEGUNDO

ORDEN


1. Se multiplican los términos de la diagonal principal

2. Se multiplican los términos de la diagonal secundaria

3. Se halla la diferencia entre el producto de la diagonal principal y la diagonal secundaria

Desarrollar las determinantes:

208

Resolución por determinantes de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas


1. Se ordenan las ecuaciones y se escribe el sistema en la forma:

2. El valor de x es una fracción cuyo denominador es la determinante del sistema y cuyo

numerador es la determinante que se obtiene sustituyendo en la determinante del sistema la

209

columna de los coeficientes de x por la columna de los términos independientes de las

ecuaciones dadas; esto es:

3. El valor de y es una fracción cuyo denominador es la determinante del sistema y cuyo

numerador es la determinante que se obtiene sustituyendo en la determinante del sistema la

columna de los coeficientes de y por la columna de los términos independientes de las

ecuaciones dadas; esto es:

Resolver por determinantes:

211

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Por sustitución

1389

547

yx

yx

Por reducción

2774

535

yx

yx

1158

8910

yx

yx

Por igualación

26115

2987

yx

yx

1938

2452

yx

yx

Por determinantes

8910

1158

zy

zy

212

2452

1938

zy

zy

Método Grafico

1325

63

yx

yx

213

BLOQUE 8: ECUACIONES LINEALES III

Los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas describen tres situaciones en un mismo

problema, dichas situaciones tienen que ir encaminadas a describir las mismas variables,

como por ejemplo:

Encontrar tres números tales que la suma del primero y el segundo excede en 18 al tercer

número; la suma del primero y el tercero excede en 78 al segundo, y la suma del segundo y

el tercero excede en 102 al primero.

Asignación de variables.

x: Primer número.

y: Segundo número.

z: Tercero número.

El sistema se expresa como:

Los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas tienen forma similar al sistema de 2 x 2.

Al igual que en el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, también existen sistemas

que son consistentes (solución única), inconsistentes (solución nula) y dependientes

(solución múltiple), por ejemplo:

215

Interpretación gráfica.

Una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio como se muestra en la

figura.

A diferencia del plano cartesiano de dos dimensiones (eje horizontal y vertical), el plano

cartesiano ubica las tres dimensiones.

Lo mismo sucede en el cine, cuando se presenta una película en 3D (tres dimensiones), en

la que se percibe la profundidad y da la sensación de estar dentro de ella.

Para ubicar los puntos del plano que representa una ecuación, es necesario despejar una

variable (dependiente) y sustituir valores en las otras dos variables (independientes); esta

forma de graficarla es muy laboriosa. En niveles posteriores aprenderás formas más fáciles

para llevar a cabo la graficación manual. También puedes hacer uso de programas de

graficación como es el graficador Winplot para que visualices los planos.

A continuación se presenta la gráfica de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Ejemplo 1.

217

Desarrollo

Los métodos para resolver los sistemas 2 x 2 (Reducción y Determinantes), también se

aplican en los sistemas de 3 x 3, un poco más estructurados pero el principio es el mismo.

Los métodos de Reducción (suma o resta, sustitución e igualación) consisten en reducir el

sistema de 3x3 a un sistema de 2x2, y posteriormente, reducirlo a una ecuación lineal de

una incógnita, la cual es despejada para encontrar el primer valor y después se va

sustituyendo para encontrar el segundo y tercer valor.

El método de Determinantes es básicamente el mismo, a excepción de un aumento en las

filas de cada uno de los determinantes, éste se verá más adelante.

218

A continuación se desarrollarán los métodos para poder dar solución a los problemas que se

plantearon en la Actividad 1.

Métodos de Reducción.

8.1 SUMA O RESTA.

Se ejemplificará el método siguiendo el desarrollo de un ejemplo, en éste se mostrará cómo

se va reduciendo el sistema de 3 x 3 a un sistema de 2 x 2, para finalmente reducirlo a una

ecuación lineal de una incógnita.

3) Se elige la ecuación A y C para eliminar “y” realizando la suma o resta

correspondiente en cada uno de los términos.

4) Se elige la ecuación B y la ecuación C, ésta última se multiplica por dos para poder

eliminar “y”.

219

5) Se toman las dos ecuaciones para formar un nuevo sistema. Se etiquetan de igual

manera las ecuaciones del nuevo sistema.

6) Se elige la variable “x” para eliminar, multiplicando la ecuación D por 3 y la

ecuación E por – 5 y procediendo a sumar o restar en cada término.

7) Se despeja la variable z.

8) Obtenido el primer valor, se sustituye en cualquiera de las ecuaciones del sistema 2

x 2, en este caso elegiremos la ecuación D para llevar a cabo la sustitución para

encontrar el valor de x.

220

9) Se sustituyen los dos valores encontrados en cualquiera de las tres ecuaciones del

sistema 3 x 3, para encontrar el valor de la variable restante. En este caso se elegirá

la ecuación A.

221

A continuación se tomará el mismo sistema de suma o resta para desarrollar los métodos

posteriores y así puedas decidir el método que más se te facilita.

8.2 SUSTITUCIÓN.

Este método consiste en despejar una de las variables de una ecuación y sustituirla en las

otras dos para poder construir el sistema 2 x 2, posteriormente se seguirá con el método de

sustitución de 2 x 2 para encontrar el valor de la primer variable e ir sustituyendo

posteriormente en las demás y así encontrar los valores de las variables faltantes.

222

3.- Se sustituye el valor del despeje en la ecuación A y B, para conformar el sistema de 2 x

2

224

8.3 IGUALACIÓN.

226

8.4 MÉTODO NUMÉRICO DE DETERMINANTES.

Éste se aplica de igual forma que en los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, sólo hay un

ligero cambio en la forma de resolver los determinantes de cada una de las variables y el sistema,

pero prácticamente es la misma metodología.

Se tomará el mismo ejemplo que en el anterior para que realices la comparación de métodos

228

Ecuaciones de primer grado con tres incógnitas

Por reducción

523

1223

132

zyx

zyx

zyx

162

453

723

zyx

zyx

zyx

5274

1043

152

zyx

zyx

zyx

229

9584

9973

362

zyx

zyx

zyx

Por determinantes

223

9752

64

zyx

zyx

zyx

1210

723

424

zyx

zyx

zyx

184

5102

1223

zyx

zyx

zyx

230


CUADRÁTICAS

9.1 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA

INCÓGNITA.

231

9.2 MÉTODOS ALGEBRAICOS DE RESOLUCIÓN DE

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.

La solución de una ecuación cuadrática es el valor de la incógnita que al sustituirla en la ecuación la

satisface, es decir, se cumple la igualdad. Por lo general una ecuación cuadrática tiene dos

soluciones, y en ocasiones sólo una, como se muestra en los siguientes ejemplos.

A las soluciones también se les conoce como raíces de la ecuación. Para encontrar con

exactitud las soluciones de una ecuación cuadrática, primero se estudiarán las raíces o

soluciones de las ecuaciones incompletas por su simplicidad, y posteriormente las raíces de

las ecuaciones completas.

Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas.

Recordando, las ecuaciones incompletas se dividen en puras y mixtas.

Solución de ecuaciones puras.

Las ecuaciones puras carecen de término lineal, por lo que se puede llevar a cabo el despeje

de la ecuación, como se muestra en el siguiente ejemplo.

233

9.3 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES COMPLETAS

APLICANDO LA FÓRMULA GENERAL


1. Se lleva la ecuación a la forma

2. Se identifican los coeficientes a, b y c, con su respectivo signo

3. Se hallan las raíces de la ecuación aplicando la fórmula general

Resolver las siguientes ecuaciones por la fórmula general:

237

9.4 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES COMPLETAS DE

SEGUNDO GRADO SIN DENOMINADORES APLICANDO LA

FÓRMULA GENERAL

239

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas:

1) 2x 7x 10 0

2) 23x 17x 20 0

3) 23x 5x 4 0

4) x(2x – 3) – 3(5 – x) = 83

5) (2x + 5)(2x – 5) = 11

6) (7 + x)2 + (7 – x)

2 = 130

7) (2x – 3)(3x – 4) – (x – 13)(x – 4) = 40

8) (3x – 4)(4x – 3) – (2x – 7)(3x – 2) = 214

9) 8(2 – x)2 = 2(8 – x)

2

BLOQUE 10 RESUELVE ECUACIONES

CUADRATICAS

10.1 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

POR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES


Nota1: De la aritmética sabemos que cualquier cantidad multiplicada por 0 da 0 y, por

extensión, que si uno de los factores de un producto de una cantidad finita de factores es 0,

el producto final es 0. Teniendo esto presente, procedemos de la siguiente manera:

1. Transformamos la ecuación de tal modo que podamos factorizarla

2. En el miembro izquierdo de la ecuación escribimos todos los términos, ya prestos a

factorizar o ya factorizados; y, en el miembro derecho escribimos 0, esto es, igualamos la

ecuación a 0

3. Factorizamos

4. Igualamos cada uno de los factores a 0

5. Despejamos a x en cada factor

240

Resolver por descomposición en factores:

243

10.2ECUACIONES INCOMPLETAS


Para resolver ecuaciones incompletas en las que falta el término en x, esto es, cuando b = 0,

se procede de la siguiente manera:

1. Se escribe la ecuación en la forma

2. Se identifican los valores numéricos de los coeficientes a y c

3. Se sustituyen los valores numéricos de los coeficientes en la fórmula

Deducción de la fórmula (*):

246

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:

a) 2x 36 0

b) 24x 9 0

c) 2x 9 0

247

10.3 ECUACIONES INCOMPLETAS


Para resolver ecuaciones incompletas en las que falta el término c, esto es, cuando c = 0, se

procede de la siguiente manera:

1. Se escribe la ecuación en la forma

2. Se factoriza la ecuación anterior obteniendo la ecuación equivalente

3. Se iguala cada uno de los factores anteriores a cero

4. Como se puede deducir una de las soluciones siempre es cero; la otra solución se calcula

sustituyendo los valores numéricos de los coeficientes a y b en (*)

Resolver las ecuaciones:

249

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:

a) 2x 6x 0

b) 2x 27x 0

c) 23x 5x 0

250

10.4 REPRESENTACIÓN Y SOLUCIÓN GRÁFICA DE

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO


Nota: la forma general de la función cuadrática es

La gráfica de una función cuadrática (de segundo grado) es una parábola; para representar

gráficamente dicha función se procede así:

1. Se construye una tabla de valores ( seis pares de valores son suficientes)

2. Es indispensable hallar las coordenadas del vértice de la parábola. Para hallar la abscisa

del vértice se utiliza la fórmula:

La ordenada o valor de la función en el vértice se halla sustituyendo el valor de x, obtenido

mediante la fórmula anterior, en la ecuación y realizar las operaciones indicadas

3. También es muy útil hallar las coordenadas del punto donde la gráfica corta al eje y, lo

cual se consigue sustituyendo la x por 0 y operando. La conclusión final es que la gráfica

corta al eje y en c

4. Se ubican en el plano cartesiano los puntos cuyas coordenadas hemos hallado en los

pasos precedentes, y se unen mediante una curva

5. La solución gráfica de la ecuación de segundo grado (las raíces de la ecuación, esto es,

los valores de x para los cuales la ecuación da 0) son los puntos donde la gráfica corta al eje

x.

251

x -5 -4 -3/2 1 2

y 6 0 -25/4 0 6

252

Resolver gráficamente las ecuaciones:

Como se puede observar en la fig., la gráfica corta

al ejex en 1 y en 3; por lo tanto, la solución de la

ecuación es:

x -1 0 2 4 5

y 8 3 -1 3 8

253


al ejex en -1 y en 3; por lo tanto, la solución de la

ecuación es:

x -2 0 1 2 4

y 5 -3 -4 -3 5

254


al ejex en -3 y en -1; por lo tanto, la solución de la

ecuación es:

x -5 -4 -2 0 1

y 8 3 -1 3 8

255


al ejex en -3 y en 2; por lo tanto, la solución de la

ecuación es:

x -2 -1 -1/2 0 1

y -4 -6 -25/4 -6 -4

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