Bloque 3 - Siplandisiplandi.seducoahuila.gob.mx/SIPLANDI_NIVELES_2015/... · 2012-04-25 · •...
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Bloque 3 Versión de evaluación 23/04/12
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Bloque 3
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• Resolver problemas en los que se tengan que efectuar
multiplicaciones y/o divisiones con fracciones y números
decimales.
• Resolver problemas que impliquen el uso de ecuaciones
de las formas: x + a = b; ax = b y ax + b = c, donde
a, b y c son números naturales y/o decimales.
• Resolver problemas que impliquen el cálculo de
cualquiera de las variables de las fórmulas para encontrar
el perímetro y el área de triángulos, cuadriláteros y
polígonos regulares. Explicar la relación que existe entre
el perímetro y el área de las figuras.
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Secuencia 17Multiplicación con decimales
Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.
Sesión 69En esta sesión realizarás multiplicaciones de números decimales para resolver problemas de escalas.
¿Qué sabes tú?En una fotografía las medidas son proporcionales a las reales. La imagen de una persona en una foto está a escala 1 a 35, es decir que cada centímetro en la foto corresponde a 35 cm en la realidad.
Si en la foto la persona mide 5 cm, ¿cuánto mide en la realidad?
Manos a la obra1. En parejas, observen la siguiente imagen y reprodúzcanla a escala en su cuaderno, de ma-
nera que su dibujo sea 4 15
veces más grande que el original.
6 cm
4 cm
8.24 cm
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2. Completen la tabla.
Multiplicación Producto (resultado de la multiplicación)
4.2 × 4
4.2 × 6
4.2 × 8.24
3. Calculen las medidas de los lados que miden 4 cm y 8.24 cm con los factores de escala que aparecen en la tabla.
Factor de escala Medida del lado de 4 cm Medida del lado de 8.24 cm
0.15 0.6 cm 1.236 cm
0.7
1
2.2
3.4
8.3
Con base en la información de la tabla, contesten lo siguiente.
¿Qué tienen en común las escalas que amplifican el dibujo?
¿Qué tienen en común las escalas que reducen el dibujo?
4. Calcula mentalmente lo siguiente.
1.25 × 4 =
0.5 × 0.5 =
1.4 × 10 =
0.7 × 0.3 =
0.125 × 8 =
1.52 × 5 =
Comenten con otras parejas qué sucede cuando se multiplica un número natural por un factor menor que la unidad.
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Sesión 70En esta sesión multiplicarás números decimales en diferentes contextos.
Manos a la obra1. En parejas, contesten lo siguiente.
a) El papá de Pedro, que trabaja en California, manda 75 dólares semanalmente para el gasto familiar. Si el tipo de cambio es 1 dólar = 13.80 pesos…
¿Cuánto reciben a la semana en pesos?
¿Cuánto reciben al mes en pesos?
b) Una lámina de acero mide 6 × 20 pies. Si 1 pie = 30.48 cm, ¿cuáles son las medidas
de la lámina en centímetros?
¿Cuál es el área en metros cuadrados?
c) En un almacén están estibadas cajas A y B de 45.3 cm y 25.4 cm de altura respectiva-mente. Si en una primera estiba hay 4 cajas A y 8 cajas B, ¿qué altura alcanza esta
estiba?
Si en otra estiba se encuentran 6 cajas B y 7 cajas A, ¿qué altura alcanza esta otra estiba?
d) En la telesecundaria 11 se organiza un campamento que durará tres días, con un costo de $125.50 por día. ¿Cuánto pagará cada alumno por el campamento?
Si asistirán 79 alumnos, ¿cuánto dinero se recaudará?
e) A la semana, un automóvil consume 32.8 L de gasolina. Si el costo del litro de gasolina es de $10.48, ¿cuánto dinero se gasta cada quincena en gasolina?
Comparen sus resultados con los de otra pareja y corrijan de ser necesario. Ver
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Sesión 71En esta sesión pondrás en práctica los conocimientos aprendidos en las sesiones anteriores.
Manos a la obra1. Resuelve los problemas siguientes.
I. Adriana quiere cambiar el piso de la sala de su casa por duela. Si las dimensiones de la sala son 3.50 m por 4.80 m.
a) ¿Cuántos metros cuadrados de duela com-
prará?
b) Si el metro cuadrado de duela cuesta $435.50, ¿cuánto invertirá?
c) La mano de obra del carpintero le va a costar $160.00 por metro cuadrado, ¿cuánto le
pagará?
d) ¿Cuánto gastará en total Adriana?
AutoevaluaciónResponde lo siguiente.
• Leonardo debe comprar cuatro y medio manojos de espinacas; si el manojo cuesta $7.75,
¿cuánto pagará Leonardo en total?
Consulta en…
Entra al sitio <http://www.sectormatematica.cl/educbasica.htm> y da clic en “Multiplicando con decimales” y en “Multiplicando decimales menores que 1”.
II. En la clase de Tecnología se va a elaborar una con-serva de frutas de la región. Para ello se utilizan 0.450 kg de pulpa de fruta, 0.225 kg de azúcar y 0.125 L de agua. ¿Cuántos gramos de pulpa de fruta, azúcar y agua se requieren para elaborar tres y media veces la cantidad de conserva?
III. En el año 2011 México sufrió un fuerte problema de sequía en la mayoría de los estados, lo que afectó a un total de 974.92 mil hectáreas de cultivo. Del total de hectáreas afectadas, Coahuila, Chihuahua
y Zacatecas concentran 13
parte. ¿Cuántas hectá-
reas fueron afectadas en dichos estados?
Comenta con un compañero tus estrategias de solución y compara los procedimientos que sean diferentes.
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Secuencia 18División con decimales
Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.
Sesión 72En esta sesión resolverás problemas de contextos cotidianos utilizando la división de números decimales.
¿Qué sabes tú?Resuelve el problema siguiente.
Jugando futbol, los compañeros del grupo de primer grado rompieron un cristal de la ventana del salón. Si el costo del cristal es de $55.20 y deben pagarlo entre los 12 alumnos que esta-
ban jugando, ¿cuánto pagará cada uno?
Comenten con sus compañeros los procedimientos que siguieron.
Manos a la obra1. En parejas, lleven a cabo las actividades siguientes.
a) Para asistir a un paseo se alquiló un autobús en $1 820.00 y cada niño pagó $45.50,
¿cuántos niños asistieron?
Si el alquiler hubiera costado $2 755.00 y cada niño hubiese pagado $72.50, ¿cuántos
niños habrían asistido?
b) Un alumno dedica 12 12 horas a la semana para estudiar 8 asignaturas, dedicando el
mismo tiempo a cada una. ¿Cuántas horas a la semana dedica a cada asignatura?
¿Cuántos minutos?
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2. Resuelve mentalmente las divisiones siguientes.
3 ÷ 1.5 = 3 ÷ 0.25 =
6 ÷ 0.1 = 13.5 ÷ 0.5 =
2.5 ÷ 0.125 = 4 ÷ 0.1 =
16. 5 ÷ 0.3 = 6 ÷ 0.2 =
Comenta con tus compañeros qué sucede cuando se divide un número natural entre un número decimal menor que la unidad.
Algunas divisiones entre números con punto decimal pueden resolverse con una multiplica-
ción, convirtiendo el decimal a fracción. Por ejemplo, 5 ÷ 0.2 puede escribirse como 5 ÷ 15 que, como estudiaron en la división de fracciones, equivale a multiplicar 5 × 5 = 25.
3. Resuelve el problema siguiente.
Raúl va a leer un libro que tiene 184 páginas. Si al día lee 40 páginas, ¿en cuántos días
leerá el libro?
Si lee las 40 páginas en 2 horas, ¿en cuántos minutos lee una página?
Si el libro costó $335.60 y lo compraron entre 4 amigos, ¿con cuánto cooperó cada uno?
Observa la división que se realizó para resolver el problema.
8 3 . 9 0
4 3 3 5 . 6 0
3 2
1 5
1 2
3 6
3 6
0 0
A cada uno le tocarán $83.90.
El algoritmo para dividir un decimal entre un natural es el mismo que cuando se dividen dos naturales, sólo debe conservarse la posición del punto decimal, es decir que se sube el punto al cociente.
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Sesión 73En esta sesión resolverás problemas de cambio de dinero utilizando la división de números decimales.
Manos a la obra1. En equipos, contesten lo siguiente.
Pedro pagó $67.50 por varias copias de una guía; si cada juego de copias le costó $7.50, ¿cuántos juegos de copias sacó?
Describan un procedimiento para poder realizar la división que resuelve el problema.
7.50 67.50
Expliquen a sus compañeros cómo resolvieron la división anterior y por qué lo hicieron así.
2. Resuelvan las siguientes divisiones:
5 6 50 60 500 600 5000 6000
a) ¿Cómo son los resultados que obtuvieron?
b) Observen que el dividendo (6) y el divisor (5) de la primera división se multiplicaron por 10 para obtener la segunda división (60 y 50).
c) ¿Por qué número se multiplicaron el dividendo y el divisor de la primera división para
obtener la cuarta división?
3. Consideren que se tiene la siguiente división:
3.4 17
Multipliquen dividendo y divisor por 10, ¿qué división obtienen? Anótenla y resuélvanla.
Esta división es más sencilla que 17 ÷ 3.4, y por la propiedad utilizada en el ejercicio anterior saben que el resultado de esta división es el mismo para ambas.
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AutoevaluaciónSelecciona la respuesta correcta al problema.
1. Daniela cuenta con $420.00 y desea comprar trompos para regalarlos a sus sobrinos. Si cada trompo cuesta $21.50, ¿cuántos trompos podrá comprar?
a) 21 b) 18 c) 19 d) 15
2. ¿Cuánto dinero le sobrará?
a) $13.00 b) $11.50 c) $12.50 d) $10.50
Consulta en…
Entra al sitio <http://www.sectormatematica.cl/educbasica.htm> y da clic en “Dividiendo con decimales”. Aprenderás sobre la división de números decimales.
Una división con punto decimal en el divisor se resuelve:
1º Se transforma la división en otra que no tenga punto decimal en el divisor, para ello se multiplican el dividendo y el divisor por 10, 100, 1 000,... según el divisor tenga 1, 2, 3,... cifras decimales.
2º Se resuelve la división equivalente una vez que el divisor está expresado como un número natural.
Por ejemplo, para resolver:
0.25 4.217
Se multiplican por 100 el dividendo y el divisor, porque el divisor tiene dos cifras decima-les, para obtener la división:
25 4.217
Y se resuelve.
El resultado de dividir 421.7 ÷ 25 es el mismo que el de dividir 42.17 ÷ 2.5 o 4.217 ÷ 0.25. Compruébenlo con una calculadora.
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Secuencia 19Ecuaciones de primer grado
Resolución de problemas que impliquen el planteamiento de ecuaciones de primer grado de las formas x + b = c; a x = b; a x + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios.
Sesión 74En esta sesión resolverás problemas mediante ecuaciones de primer grado de la forma x + b = c.
¿Qué sabes tú?En parejas, lleven a cabo las actividades siguientes.
Si tengo $80.00, ¿cuánto dinero debo ahorrar para reunir $225.00?
a) En este problema hay dos números que sí se conocen, ¿cuáles son?
b) ¿Cuál es el número que al sumarle 80 da como resultado 225?
Comenten con sus compañeros cómo resolvieron el problema.
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Manos a la obraEn parejas, lleven a cabo las actividades siguientes.
1. Pedro desea saber qué cantidad tenía inicialmente en su cuenta de ahorros si efectuó un depósito de $150.00 y al final le quedaron $750.00.
a) ¿Cuál es el valor desconocido en este problema? Subráyenlo.
La cantidad que depositó
La cantidad ahorrada que tenía
El saldo final de su cuenta
b) En el problema hay dos valores que sí se conocen, ¿cuáles son?
c) En la siguiente igualdad el valor desconocido del problema es el número que debe estar en el recuadro. Encuéntralo.
+ 150 = 750
d) ¿Qué operación hicieron con los valores conocidos para encontrar el número que va en
el recuadro?
e) ¿Qué cantidad tenía Pedro inicialmente en su cuenta de ahorros?
2. Representen con una igualdad el problema siguiente.
¿Cuál es el número que al sumarle 85 da como resultado 220?
a) ¿Cuál es la igualdad algebraica que representa el problema?
b) ¿Qué operación deben hacer para encontrar el resultado?
En Matemáticas se emplean letras para representar los valores desconocidos o incógnitas. Para representar estos valores comúnmente se usan las últimas letras del abecedario en minúsculas, siendo x la más utilizada.
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3. El problema anterior podemos representarlo como:
x + 85 = 220, donde x representa el valor desconocido.
a) ¿Cuánto vale x ? x =
b) Comprueben su resultado sustituyendo el valor obtenido en lugar de x en la igualdad anterior.
+ 85 = 220
La ecuación x + 85 = 220 se resuelve de la manera siguiente.
Se resta 85 a ambos lados de la igualdad:
x + 85 − 85 = 220 − 85
x + 0 = 135
x = 135
4. Ana realizó dos depósitos, uno de $300.00 y otro de $200.00. Ella desea saber cuánto tenía ahorrado antes de realizarlos, si su saldo actual es de $ 1 400.00.
a) ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones representan el problema?
x − 300 – 200 + 1 400 x − 300 + 200 = 1 400 x + 300 + 200 = 1 400 x + 500 = 1 400
b) Resuelvan la ecuación, es decir, encuentren el valor de x.
x =
c) ¿Qué cantidad tenía ahorrada al principio?
d) Hay dos ecuaciones que representan el problema, comprueben la solución sustituyendo la x en ambas.
+ 500 = 1400 + 300 + 200 = 1400
5. Luis reparte volantes de publicidad. Sale de su casa con una cantidad y recoge 1 200 vo-lantes antes de empezar su labor. Reparte 450 en la mañana, 680 en la tarde y al final le sobran 260 volantes.
a) En este problema hay cuatro valores conocidos, ¿cuáles son?
, , ,
b) La ecuación x + 1200 − 450 − 680 = 260 permite representar el problema. Resuélvanla.
c) ¿Cuántos volantes tenía al salir de casa?
Las igualdades en las que hay un valor desconocido o incógnita reciben el nombre de ecuaciones.
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Sesión 75En esta sesión resolverás problemas utilizando ecuaciones de primer grado de la forma ax = b.
Manos a la obraEn parejas, realicen lo que se les pide a continuación.
1. Una persona tiene un empleo y recibe un salario mensual. Al final de 9 meses ha ganado $40 500.00. ¿Cuál es su salario mensual?
a) ¿Cuál es el valor desconocido? Subráyenlo.
El número de meses trabajados
El salario de los 9 meses
El salario que cobró cada mes
b) Usando la letra z para representar la incógnita (valor desconocido) escriban una ecua-ción que represente el problema.
c) Encuentren el valor de z.
d) ¿Cuál es la ecuación que representa el problema anterior? Subráyenla.
40 500 z = 9 40 500 + z = 9 z + 9 = 40 500 9 z = 40 500
e) ¿Cuál de las siguientes operaciones permite encontrar el valor de z ? Subráyenla.
9 ÷ 40 500 40 500 ÷ 9 40 500 – 9 9 × 40 500
f) Usando la operación que señalaron, encuentren el valor de z .
z =
g) ¿Cuánto ganó cada mes?
Recuerden que 9z es lo mismo que 9 × z, pues usualmente en las expresiones algebraicas no se utiliza el signo × para evitar confundirlo con otro número desconocido o incógnita representado con la letra x.
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2. El perímetro de un cuadrado es igual a 50 cm, ¿cuál es la longitud de cada lado?
a) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a este problema? Se usa la letra L para representar la longitud de cada lado. Subráyenla.
4 L = 50 L ÷ 4 = 50 L ÷ 50 = 4 4 + L = 50
b) ¿Cuánto mide cada lado?
c) Comprueben la solución en la ecuación que eligieron.
d) ¿Qué operación hicieron para encontrar la longitud?
3. Completen la tabla siguiente, que presenta algunos problemas. Escriban las ecuaciones correspondientes y las operaciones con las que se pueden resolver hasta obtener el valor de la incógnita.
Problema Ecuación Operación Valor de la incógnita
¿Cuál es el número que al multiplicarlo por 11 da 132?
¿Cuál es el número que al dividirlo entre 9 da 172?
Comparen con sus compañeros las respuestas de los problemas de esta sesión y comenten qué estrategias siguieron para resolverlos.
La ecuación 6 x = 36 se resuelve de la siguiente manera:
Como 6 multiplica a la incógnita x, multiplicamos ambos miembros de la ecuación por 16 ,
que es el recíproco del 6.
16 × 6 x = 1
6 × 36
16 × 6 × x = 1
6 × 36
66 × x = 36
6
1 × x = 6,
por lo que x = 6
Compruébenlo sustituyendo el valor de x en la ecuación.
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Sesión 76En esta sesión continuarás analizando diferentes tipos de ecuaciones y la forma de resolverlas. Ahora trabajarás con ecuaciones de la forma ax + b = c.
Manos a la obraEn parejas, resuelvan los problemas siguientes.
1. Cristina ha leído un libro más que el doble de los que ha leído Antonio. Si Cristina ha leído 19 libros, ¿cuántos ha leído Antonio?
a) ¿Cuál es la incógnita en este problema?
Subráyenla.
Libros que ha leído Cristina
Libros que ha leído Antonio
Total de libros leídos por los dos
b) Escriban una ecuación para representar el proble-ma. Usen la letra L para representar la incógnita.
c) Resuelvan la ecuación y escriban un enunciado con
su respuesta.
Comenten en grupo qué operaciones efectuaron para resolver la ecuación.
2. En parejas, completen el proceso para resolver la ecuación 2 x + 1 = 19.
Observen que hay expresadas dos operaciones: primero se multiplica 2 por x, y después al resultado se le suma 1.
2 x + 1 = 19
2 x + 1 − = 19 −
2 x + =
× 2 × x = × 18
1 × x =
Por lo que x =
Comparen sus procedimientos con los de otras parejas.
3. En parejas, contesten lo siguiente.
El papá de Julia le dio cierta cantidad de dinero para que la repartiera equitativamente entre ella y sus tres hermanos, después le dio $6.00 más. Cuando Julia hizo el reparto final, a cada uno le tocaron $11.00.
a) ¿Qué tuvo que hacer Julia para repartir el dinero?
b) Escribe una ecuación que repre-sente lo anterior.
c) ¿Qué cantidad de dinero recibió inicialmente Julia?
Comprueben la solución y compárenla con la de otras parejas.
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Sesión 77En esta sesión resolverás problemas que se pueden representar con las ecuaciones vistas anteriormente.
Manos a la obra1. En parejas, resuelvan los problemas siguientes.
En el rectángulo que se muestra en la figura, la medida de la base es igual al triple de la medida de la altura menos 1 cm.
a
9.5 cm
De las siguientes ecuaciones, subrayen las que sirven para encontrar la altura.
a × 3 + 9.5 = 1
3a − 1 = 9.5
(a ÷ 3 ) − 1 = 9.5
a ÷ 3 + 1 = 9.5
Con la ecuación seleccionada calculen el valor de la altura y comprueben su respuesta sustituyéndolo en la ecuación.
2. La tercera parte del número de alumnos que hay en el grupo A, más 15, es igual a 29.
a) Escriban una ecuación para resolver este problema.
b) ¿Cuántos alumnos hay en el grupo A?
3. Asombra a tus compañeros adivinando su edad por medio de las ecuaciones algebraicas que has aprendido.
Les dices: “Multiplica tu edad por 3, agrega 10 al resultado, réstale el doble de tu edad y a lo que te resulte quítale 6”. A continuación pregúntales qué número obtuvieron. Su edad será ese resultado menos 4.
Escriban una ecuación que les permita resolver este problema.
Comenten en grupo si obtuvieron la edad de sus compañeros.
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AutoevaluaciónResuelve el siguiente problema planteando una ecuación.
• De una caja de mangos, Luis vendió 6 en la mañana. A media tarde vendió el doble que en la mañana y por la tarde sólo vendió 8. Si en la noche sólo le quedaban 10 piezas,
¿cuántos mangos había en la caja?
Consulta en…
Entra al sitio <http://www.librosmaravillosos.com/hombrecalculaba/capitulo37.html>. Juega y aprende “Cómo se adivina un objeto” utilizando ecuaciones.
En las bibliotecas escolares y de aula busca los libros con las siguientes referencias para conocer más sobre este tema:
Carlos Bosch y Claudia Gómez, Una ventana a las incógnitas, México, sep-Santillana, 2003 (Libros del Rincón).
Malba Tahan, El hombre que calculaba, trad. Basilio Lozada, México, sep-Limusa, 2005 (Libros del Rincón).
Para la clase siguiente debes traer recortados 30 triángulos, 10 de cada uno de los modelos de la página 144.
4. Encuentra el valor de x en las siguientes ecuaciones. Resuélvelas en tu cuaderno y después comprueba tus resultados sustituyendo el valor obtenido en la ecuación.
a) 5x + 0.5 = 12
b) ( x ÷ 4 ) + 38 = 120
c) x + 32 − 21 = 45.7
d) 7 x − 14 = 28
En grupo, den a conocer sus resultados, y en caso de tener resultados diferentes analícenlos con su profesor.
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Secuencia 20
Construcción de polígonos regulares
Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, del ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella.
Sesión 78En esta sesión trabajarás con polígonos regulares.
¿Qué sabes tú?Describe con tus propias palabras qué es un polígono.
Comenten en grupo sus descripciones.
Con los triángulos que recortaste, de cada uno de los siguientes modelos,
trata de armar los polígonos siguientes:
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¿Qué polígono se puede formar con triángulos como el 1?
¿Cuántos triángulos utilizarías?
¿Qué polígono se puede formar con triángulos como el 2?
¿Qué polígono se puede formar utilizando triángulos como el 3?
Calca los triángulos y verifica tus respuestas.
¿Se pueden formar otros polígonos?
¿Qué relación encuentras entre el número de lados y el número de triángulos que forman cada
polígono?
¿Cómo es la medida de los ángulos de los triángulos cuyo vértice coincide con el centro del
polígono?
Un polígono es regular cuando sus lados son iguales y la medida de sus ángulos es la misma.
Manos a la obraFormen equipos, realicen la siguiente actividad y contesten las preguntas.
1. En hojas blancas o de color tracen tres diferentes polígonos regulares de 5 cm, 8 cm y 10 cm por lado respectivamente.
¿Cómo trazaron cada polígono para que todos sus lados fueran iguales?
¿Cuántos polígonos más se pueden trazar con las medidas que tienen?
¿Se puede trazar el mismo polígono de tres tamaños diferentes?
Comenten en grupo sus respuestas, y con apoyo de su profesor determinen cómo influye la medida de los lados de un polígono regular en su construcción.
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B3
Sesión 79En esta sesión estudiarás las propiedades del ángulo interior de un polígono regular.
Manos a la obraEn parejas, realicen la siguiente actividad.
1. En los siguientes polígonos regulares marquen con un color los ángulos interiores.
¿Cuántos ángulos tienen cada uno de los polígonos regulares?
Organizados en equipos:
2. Midan con ayuda del transportador y anoten la medida de los ángulos interiores de los siguientes polígonos regulares.
Como habrás observado, el ángulo interior de un polígono regular es la abertura que forman los lados consecutivos de la figura.
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3. Escriban en la tabla los datos que obtuvieron.
Nombre del polígono regular Medida de cada ángulo interior
4. Contesten lo siguiente.
a) ¿Cómo podemos construir un polígono regular a partir de la medida de su ángulo interior?
b) ¿Cuánto mide el ángulo interior de un decágono regular?
¿Y el de un dodecágono regular?
Analicen en grupo y con su profesor cómo se puede construir un polígono regular a partir de la medida de su ángulo interior.
5. Tracen en su cuaderno un polígono para cada ángulo interior proporcionado.
a) 90°
b) 108°
c) 120°
Comparen sus trazos con los de sus compañeros.V
ersi
ón d
e ev
alua
ción
23/
04/1
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B3
Sesión 80En esta sesión estudiarás las propiedades del ángulo central de un polígono regular.
Manos a la obraEn parejas, realicen la siguiente actividad.
1. En los siguientes polígonos regulares marquen con un color los ángulos centrales.
¿Cuántos ángulos marcaron en cada uno de los polígo-nos regulares?
Como habrán observado, los ángulos centrales de un polígono regular son los que tienen su vértice en el centro del polígono.
Organizados en equipos, lleven a cabo las actividades si-guientes.
2. Tracen en su cuaderno al menos dos polígonos regulares utilizando la medida de los ángu-los de las escuadras de su juego de geometría y contesten las siguientes preguntas.
¿Qué procedimiento siguieron para trazar sus polígonos?
¿Cómo son los ángulos centrales de los polígonos trazados en relación con el vértice de la
escuadra que usaron?
3. El número de ángulos centrales en un polígono regular es el mismo que el número de lados de la figura.
Con base en esta información, completen la siguiente tabla.
Nombre del polígono Número de lados Número de ángulos centrales
Medida de cada ángulo central
Suma de los ángulos centrales
Cuadrado
Pentágono
Hexágono
Octágono
Dodecágono
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Sesión 81
4. Contesten las preguntas siguientes.
a) ¿Cuál es el resultado de multiplicar el número de lados de un polígono regular por la
medida de su ángulo central?
b) Si el número de lados de un polígono regular es 10, ¿cuál es la medida de su ángulo
central?
c) La medida de cada ángulo central de un polígono regular es 40°, ¿cuántos lados tiene
ese polígono?
d) ¿Qué polígono regular tiene un ángulo central de 90°?
Comenten en grupo sus respuestas.
En esta sesión construirás polígonos regulares a partir de la medida de su ángulo interno, de su ángulo central o de la medida de uno de sus lados.
Manos a la obraEn el trazo de polígonos regulares inscritos en una circun-ferencia podemos identificar algunos elementos importan-tes de la misma.
1. En equipos, realicen lo siguiente.
Ordenen la secuencia de construcción de un pentágo-no regular y pongan dentro de los recuadros la instruc-ción que corresponde al trazo realizado.
Contesten lo siguiente.
¿Cuál es la relación entre el total de grados de la circunferencia y los ángulos centrales de un polígono regular?
¿Qué procedimiento deben seguir si quieren saber la medida del ángulo central de un polígono regular con n número de lados?
Utilicen su procedimiento para construir un eneágono.
Comenten sus respuestas con el grupo y con su profesor.
72 °
B
72 °
A
B
72 °
A
B
72 °
A
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AutoevaluaciónSelecciona la respuesta correcta al problema.
1. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular con un ángulo interior de 150º?
a) 15 b) 14 c) 13 d) 12
2. ¿Qué polígono regular tiene un ángulo central de 40º?
a) Pentágono b) Octágono c) Undecágono d) Eneágono
Consulta en…
En las bibliotecas escolares y de aula busca el libro con la siguiente referencia para conocer más sobre este tema: Carlos Bosch y Claudia Gómez, “Nombre de los polígonos”, “La miel de los hexágonos”, “Recubrimientos”, “Los reflejos del caleidoscopio” y “Construcción de un caleidoscopio”, en Una ventana a las formas, México, sep-Santillana, 2003 (Libros del Rincón).
2. En parejas, completen lo que se les pide.
A partir del siguiente triángulo isósceles, cuyo ángulo desigual es de 72º, formen el polígo-no regular.
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Secuencia 21Cálculo de área y perímetro
Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares.
Sesión 82En esta sesión resolverás problemas que implican calcular el perímetro y el área del triángulo y del cuadrado.
¿Qué sabes tú?En la siguiente imagen aparece el tablero de un juego de mesa llamado “damas chinas”.
El tablero está dividido en pequeños triángulos equiláteros, los cuales señalan los posibles movimientos de las piezas. Cada uno de estos triángulos tiene lados de 1 cm y una altura aproximada de 0.866 cm.
En parejas, contesten las siguientes preguntas.
¿Cuánto mide el perímetro del tablero?
¿Cuánto mide el área del tablero?
¿Cómo calcularon el perímetro y el área?
Comenten sus respuestas con el grupo y con su profesor.
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Manos a la obra1. Contesta lo que se te pide.
El ajedrez y las damas son otros juegos de mesa muy populares, los cuales emplean un tablero cuadrado dividido a su vez en 64 casillas cuadradas, como se muestra en la si-guiente imagen.
A B C D E F G H
8
7
6
5
4
3
2
1
8
7
6
5
4
3
2
1
A B C D E F G H
Si cada casilla del tablero de ajedrez mide 1 cm, ¿cuánto miden el área y el perímetro del
tablero?
2. Ahora, junto con otro compañero, construirán un tablero de damas que tenga un área de 256 cm2.
¿Cuánto medirán los lados del tablero y los lados de las casillas?
Investiguen las reglas para que puedan jugar con su tablero de damas.
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Sesión 83En esta sesión realizarás cálculos relacionados con el perímetro y el área de polígonos regulares de cinco y seis lados.
Manos a la obraResuelve los siguientes problemas.
1. Regresando al tablero de damas chinas, observa que puedes dividirlo en un hexágono y seis triángulos equiláteros, los cuales forman las puntas de la estrella de seis picos. Conside-rando las medidas del tablero de damas chinas, ¿cuánto mide el área de cada uno de los
triángulos que forman los picos de la estrella?
¿Cuánto miden el perímetro y el área del hexágono?
2. Si se quisiera un tablero de damas chinas cuyo perímetro fuera de 96 cm, ¿cuánto mediría
cada lado del hexágono?
¿Cuál sería el perímetro del hexágono?
3. Si en lugar de hexágono tuviéramos un pentágono con un área igual a 17.32 cm y lados de
4 cm, ¿cuánto mediría el apotema del pentágono?
Si sólo conocieras el área y el apotema del pentágono, ¿cómo calcularías su perímetro? Coméntalo con un compañero.
Un dato interesante…
Un lugar en la naturaleza donde puedes encontrar hexágonos es en una colmena de abejas. Sobre este hecho, Pappus de Alejandría dijo:
Las abejas…, en virtud de una cierta intuición geométrica…, saben que el hexágono posee una superficie mayor que el cuadrado y que el triángulo, y que podrá contener más miel con el mismo gasto de material.1
1 http://www.arrakis.es/~mcj/abejas.htm
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Sesión 84En esta sesión calcularás el área y el perímetro de polígonos regulares de siete o más lados.
Manos a la obra1. Considera los siguientes polígonos.
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Haz las mediciones necesarias y completa la siguiente tabla.
Polígono regular Medida de lado Apotema Perímetro Área
Heptágono
Octágono
Decágono
Dodecágono
Pentadecágono
Como se observa en la tabla, el perímetro de los polígonos depende del número de lados.
2. Resuelve los ejercicios siguientes.
a) Calcula el área de un octágono cuyo lado mide 6.2 cm y su apotema 7.48 cm.
¿Cuánto mide su perímetro?
b) José quiere saber si con un pliego de papel china de 40 cm de ancho y 60 cm de largo puede hacer una cometa con forma de decágono regular, con lados iguales a 4 cm
y apotema de 6.15 cm. ¿Logrará José realizar la cometa?
¿Qué cantidad de papel china utilizará? ¿Se puede hacer más
grande la cometa?
c) ¿Cuánto medirán los lados de un dodecágono con un área de 100 cm2, si su apotema
mide 5.5 cm?
El perímetro de un polígono regular se puede calcular con la fórmula P = n × L
donde P es el perímetro, n el número de lados y L lo que mide el lado de la figura con que se está trabajando.
La fórmula para encontrar el área es la misma para todos los polígonos regulares, es decir:
Área = P × a
donde a es el apotema de la figura a la que se le está calculando el área.
AutoevaluaciónSelecciona la respuesta correcta al problema.
1. ¿Cuánta malla se necesita para cercar un jardín en forma de hexágono, con un apotema de 2 m y un área de 13.85 m2?
a) 2.30 m b) 13.85 m c) 16 m d) 11.74 m
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Secuencia 22Factor de proporcionalidad
Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.
Sesión 85En esta sesión observarás qué sucede al aplicar sucesivamente un factor de proporcionalidad entero.
¿Qué sabes tú?1. En una clase de Artes Plásticas el profesor pidió a sus estudiantes organizarse en equipos
para dibujar la siguiente imagen, de acuerdo con estas indicaciones:
c
d
f
e
a
“Elaboren dos copias del dibujo original. • Las medidas de la copia 1 son dos veces
mayores que las medidas del dibujo original.• Las medidas de la copia 2 son tres veces
mayores que las medidas de la copia 1.”
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a) Dibuja las copias 1 y 2 en papel cuadriculado.
b) Anota en la tabla las medidas que faltan. Comprueba tus respuestas dibujando las copias.
Medida Original Copia 1 Copia 2a
b
c
d
e
f
c) ¿Cuántas veces son más grandes las medidas de la copia 2 con respecto a las medidas del original?
d) Completa el esquema. Escribe en cada recuadro el número por el que se deben multi-plicar las medidas de un dibujo para conocer las medidas de otro dibujo.
Medidas del dibujo
Medidas de la copia 1
Medidas de la copia 2
×3
2. Compara tus resultados con los de tus compañeros, y con ayuda de su profesor completen las siguientes afirmaciones.
• Aplicar el factor de escala ×3 a un dibujo, y después, a la copia resultante aplicarle el
factor ×2, equivale a aplicar al dibujo original el factor .
• Al aplicar un factor de escala ×p y después ×q es equivalente a aplicar un solo factor,
que es igual .
El número por el cual se multiplica cada medida de un dibujo para producir otro se llama factor de escala.
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Sesión 86En esta sesión determinarás el efecto que produce la aplicación sucesiva de un factor de proporcionalidad fraccionario.
Manos a la obra1. En la clase de Artes Plásticas continúan dibujando. Ahora el profesor ha dado las siguientes
indicaciones:
a) En tu cuaderno dibuja las copias 3 y 4.
b) Escribe en la tabla las medidas que faltan.
Medida Original Copia 3 Copia 4
a
b
c
d
e
f
c) Completa el esquema y anota el factor de escala que se aplica en cada di-bujo. Luego determina el factor que al aplicarlo en el dibujo original produce la copia 4.
Medidas del dibujo
Medidas de la copia 3
Medidas de la copia 4
2. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Comenten qué ocurre cuando cambian el orden en que se aplican los factores, ¿la nueva copia es igual o diferente a la copia 4?
Completen la siguiente tabla.
×2 × 13
Medida Original Copia 3 Copia 4
a
b
c
d
e
f
Recuerda que dividir entre un número, por ejemplo entre 2,
equivale a multiplicar por 12 .
• “Las medidas de la copia 3 son tres veces menores que las del dibujo original.
• Las medidas de la copia 4 son dos veces mayores que las de la copia 3.”
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3. Observa la copia 5, sus medidas son 23 de las del dibujo
original. Anótalas sobre la copia.
¿A las de qué copia son iguales esas medidas?
Por lo tanto, aplicar el factor de escala × 23 equivale a
primero obtener la reducción × 13 y después obtener la
ampliación ×2. También se cumple si primero se produce
la ampliación ×2 y luego se reduce × 13 .
c
d
b
f
e
a
Copia 5
Sesión 87En esta sesión resolverás problemas que implican aplicar un factor de proporcionalidad fraccionario.
Manos a la obra1. Andrés quiere preparar un postre. Observa los ingredientes que
necesita.
Si Andrés lo desea preparar para 6 porciones, ¿qué cantidades de cada ingrediente debe tener? Completa:
de azúcar
de leche
yemas de huevo
cucharadas de harina de maíz
cáscara de limón
palito de canela
Compara tus respuestas con las de otros compañeros y co-menten cómo determinaron cada cantidad.
NatillaIngredientes para 4 porciones:100 g de azúcar500 ml de leche3 yemas de huevo1 12 cucharadas rasas de harina de maíz1 cáscara de limón1 palito de canelacanela en polvo al gusto
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2. Observa la manera en que Andrés determinó la cantidad que requiere de cada ingrediente.
“Primero calculó los ingredientes para una porción y luego multiplicó por 6”.
Por ejemplo:
Ingredientes para 4 porciones
Ingredientes para una porción
Ingredientes para 6 porciones
100 g de azúcar100 g de azúcar
4 porciones = 25 g de azúcar por porción. 25 g de azúcar por porción × 6 porciones = 150 g de azúcar.
a) Utiliza el procedimiento anterior para calcular la cantidad que se requiere de los otros ingredientes.
Ingredientes para 4 porciones
Ingredientes para una porción
Ingredientes para 6 porciones
500 ml de leche
3 yemas de huevo
1 12 cucharadas de harina de maíz
b) Para calcular la cantidad de cada ingrediente por porción, ¿por cuál número se divide? Completa el siguiente esquema.
Ingredientes para 4 porciones
Ingredientes para 1 porción
Ingredientes para 6 porciones
×
c) Considerando la receta original, ¿cuál es el número por el que se multiplica o divide para calcular de manera directa la cantidad de cada ingrediente, es decir, de 4 a 6 porciones?
Ingredientes para 4 porciones
Ingredientes para 6 porciones
Compara tus respuestas y utiliza el número que encon-traste para verificar la cantidad que se requiere de cada ingrediente para preparar el postre.
El número que te permite calcular la cantidad requerida de cada ingrediente es la constante de proporcionalidad.
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Sesión 88En esta sesión determinarás qué factor de proporcionalidad se aplica.
Manos a la obra1. En parejas, contesten lo siguiente.
Con tres engranes de diferente tamaño se forma una maquinaria. Observen la imagen.
a) Si el engrane A da 2 vueltas, ¿cuántas vueltas da
el engrane B? y ¿cuántas
vueltas da el C?
b) Completen la tabla, deben calcular los valores que faltan.
Engrane A Engrane B Engrane C
12 1
1 2
3
2 4
2 12 5
6 15
4
30
c) Anoten los factores de proporcionalidad en el si-guiente esquema.
Número de vueltas del engrane A
Número de vueltas del engrane B
Número de vueltas del engrane C
A
B
C
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Sesión 89
2. Otra maquinaria está formada de la siguiente manera: el engrane A da cuatro vueltas mien-tras el B completa una y el C da tres.
a) Completen la tabla, y en el esquema ano-ten los factores de proporcionalidad.
b) ¿Cuál de los engranes es el menor? ¿Por
qué?
c) ¿Cuántos dientes tendrá cada engrane? Hay más de una respuesta, anoten dos
Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y verifíquenlas con ayuda de su profesor.
En esta sesión resolverás problemas que implican la aplicación de factores de proporcionalidad.
Manos a la obra1. La siguiente tabla muestra las medidas reales de un automóvil deportivo y algunas de las
medidas que tendrían sus modelos a escala. Organizados en equipos, complétenla.
Medidas Medidas reales Modelo A Modelo B Modelo C
Largo 4.2 m 4.83 cm
Ancho 2.2 m 5.12 cm 9.17 cm
Altura 1.5 m 6.25 cm
a) ¿Cuál es el factor de escala de cada modelo?
b) ¿Qué factor de proporcionalidad produjo las longitudes más pequeñas?
c) Los tres factores de proporcionalidad son fraccionarios. Analizando las operaciones que
realizaron, contesten: ¿de qué manera influye el denominador del factor de proporciona-
lidad?
Número de vueltas del engrane A
Número de vueltas del engrane B
Número de vueltas del engrane C
4 1
2 6
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AutoevaluaciónLa mamá de Ernesto tiene una fotografía rectangular que mide 10 cm × 15 cm. Ernesto y sus hermanas quieren reproducirla en diferentes tamaños. En el estudio fotográfico, él pide
una reproducción a 4 ×. Rosaura pide que su copia sea a 12 × de la de su hermano, mientras
que Laura pide que su copia sea 3 × de la copia de su hermana.
a) ¿La fotografía de Ernesto es más grande o más pequeña que la original?
b) ¿Cuál de las tres fotografías es la de mayor tamaño?
c) ¿Cuáles son las dimensiones de la copia de Laura?
2. En la siguiente tabla se muestran las medidas que tiene un modelo de automóvil (A) con un
factor de escala de 164 . A partir de esas medidas y del factor de proporcionalidad comple-
ten la tabla.
Medidas Medidas reales Modelo A Modelo B
Largo 4.47 m 6.98 cm cm
Ancho m 2.66 cm cm
Altura m 2.42 cm cm
a) ¿Cuántas veces es más grande la medida real del largo del automóvil que la medida en
el modelo B?
b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que te permite pasar de una medida real del
automóvil a su medida en el modelo B?
Comparen sus respuestas y verifiquen que hayan aplicado correctamente los factores de proporcionalidad.
Cuando se refiere al factor de escala de una ampliación o reducción de una fotografía, la equis representa la cantidad de aumentos (o de reducciones) con respecto al original.
164 × 2
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Secuencia 23
Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias.
Registro de una experiencia aleatoria
Sesión 90En esta sesión estimarás el resultado de un juego de azar.
¿Qué sabes tú?En Matemáticas decimos que una situación es de azar o aleatoria si presenta varios resultados posibles y no se puede asegurar cuál de ellos se obtendrá.
a) Si lanzas una moneda al aire, ¿caerá al piso?
¿Es posible asegurar que siempre pasará lo mismo?
Menciona por qué.
Esta situación, ¿es de azar? ¿Por qué?
b) Si la moneda cae al piso, ¿qué cara quedará hacia arriba? ¿Por qué?
Esta situación, ¿es de azar? ¿Por qué?
Si lo que se quiere es observar la cara que queda hacia arriba al lanzar una moneda, ¿cuá-
les son los resultados posibles?
Si se lanza una moneda y se observa la cara que queda hacia arriba, ¿puedes afirmar qué
ocurrirá en un siguiente lanzamiento? ¿Por qué?
Si lanzas diez veces una moneda al aire, ¿caerán más águilas o más soles?
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En una situación de azar, la frecuencia es el número de veces que ocurre un resultado.
Manos a la obra1. Formen equipos y cada integrante, por turnos, lanzará una moneda al aire diez veces. Regis-
tren en la siguiente tabla los resultados de cada uno. Tachen A si cae águila y S si cae sol.
Primer juego
JugadorNúmero de volado Total por resultado
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º
1 A A A A A A A A A A
S S S S S S S S S S
2A A A A A A A A A A
S S S S S S S S S S
3A A A A A A A A A A
S S S S S S S S S S
(Si su equipo tiene más de tres integrantes, copien la tabla en su cuaderno, agregando tantos jugadores como sea necesarios.)
Contesten las siguientes preguntas.
a) ¿Cuántas águilas cayeron por jugador? b) ¿Cuántos soles por jugador?
c) Si vuelven a jugar, ¿obtendrán los mismos resultados?
Al número de veces que cae águila al lanzar diez veces una moneda al aire se le identifica como su frecuencia. Tam-bién se puede referir a la frecuencia con que cae sol en diez lanzamientos.
2. Consideren los resultados que obtuvieron y compárenlos con los de otros equipos. Descri-ban cuál es el comportamiento de los resultados. ¿La frecuencia es mayor que la que re-
gistraron en su equipo? ¿Es menor? ¿Es igual?
Si los equipos ganan cuando caen más águilas, ¿cuántos equipos ganaron?
En la siguiente tabla escriban los resultados obtenidos por todo el grupo.
Resultados de lanzar una moneda al aire en el grupo
Resultado Frecuencia
Caer águila
Caer sol
Total de lanzamientos
¿Cuál es la diferencia entre el número total de águilas y de soles?
¿Cuál de los siguientes resultados tiene más posibilidades de ocurrir en una serie de diez lanzamientos de moneda?
a) AAASSAAASS b) SSSSSSAAAA c) SASASASAAS d) Cualquiera de las series puede ocurrir
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Sesión 91En esta sesión registrarás los resultados de otro juego de azar. Analizarás dichos resultados para poder proponer alguna manera de ganar.
Manos a la obra1. En equipos de seis compañeros jueguen a las carreras. Cada jugador elige un carrito y co-
loca una ficha sobre él. Por turnos, cada quien lanza el dado, y avanza una casilla el jugador cuyo carrito corresponde al número que se muestra en la cara superior del dado. Gana el jugador que llegue primero a la meta.
Número de carrito META
1
2
3
4
5
6
(Si su equipo tiene menos integrantes pueden elegir más de un carrito.)
¿Quién ganó?
Si se realiza nuevamente el juego, ¿crees que tienes más posibilidades de ganar? ¿Por qué?
Realicen una vez más el juego.
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2. En la siguiente tabla anoten el número de carrito que ganó en cada equipo.
Número de equipo Número de carrito que ganó en la primera carrera
Número de carrito que ganó en la segunda carrera
Contesten las siguientes preguntas.
¿Cuál es el número de carrito que más veces aparece como ganador en la primera carrera?
¿Cuál es el número de carrito que más veces aparece como ganador en la segunda carrera?
¿Cuál es el número de carrito que más veces aparece como ganador al considerar ambas
carreras?
De acuerdo con los resultados obtenidos, si vuelven a jugar a las carreras, ¿existe algún
número que tenga ventaja sobre los demás?
Si así lo consideran, pruébenlo jugando una carrera más.
3. En un grupo, al analizar los resultados obtenidos, un equipo propuso que para ganar una carrera conviene apostar por los carritos que tienen un número par.
¿Creen que tienen razón? ¿Por qué?
Otro equipo propuso apostarle a los carritos con el número 3 o más.
Organicen una carrera más y observen los resultados.
Describan una estrategia en la cual tengan más posibilidades de ganar una carrera.
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Sesión 92En esta sesión anticiparás el resultado de una extracción y lo verificarás. Para ello deberás anotar los resultados en una tabla de frecuencias.
Manos a la obra1. Recorta cuatro cuadritos de papel iguales y escribe en cada uno de ellos una de las letras
de la palabra AZAR. Dóblalos, colócalos en una bolsa o en una caja y revuélvelos.
Si sacas de la caja uno de los papelitos doblados, ¿qué letra es más posible que saques?
¿Por qué?
¿Qué letras tienen las mismas posibilidades de salir?
¿Por qué?
2. Repite el experimento cincuenta veces. En cada extracción, registra una rayita en la columna de conteo que corresponde a la letra que sale. Luego debes doblar de nuevo el papelito que sacaste y regresarlo a la caja. Anota los resultados en la siguiente tabla de frecuencias.
Letras Conteo Frecuencia
A
Z
R
Total de extracciones 50
¿Qué letra fue la más frecuente? ¿Era lo que esperabas?
¿Por qué?
A
ZA
R
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3. Compara tus resultados con los de tus compañeros, ¿cuál fue la letra que se extrajo con mayor frecuencia?
¿Para qué letras la frecuencia fue la misma?
¿Por qué consideras que los resultados no son siempre los mismos?
¿Qué esperas que ocurra si repiten el experimento otras cincuenta veces?
4. Ahora reúnete con un compañero o compañera para realizar el experimento con la palabra ALEATORIO.
Al sacar de la caja uno de los papelitos, ¿qué letra es más posible que saquen?
¿Por qué?
¿Qué letras consideran que tienen las mismas posibilidades de salir?
¿Por qué?
Elaboren en su cuaderno una tabla de frecuencias como la que utilizaron para registrar los resultados del experimento con la palabra AZAR, pero ahora para las letras de la palabra ALEATORIO.
5. Comparen sus resultados con los de sus compañeros y contesten las siguientes preguntas.
¿Qué letra fue la más frecuente? ¿Era lo que esperaban?
¿Por qué?
¿Alguna vez se han preguntado cuál es la letra que más se utiliza en nuestro idioma? ¿Cuál
letra suponen que es?
Propongan una manera de averiguarlo, llévenla a cabo y registren sus resultados en una tabla de frecuencias. Después muestren sus resultados al grupo. V
ersi
ón d
e ev
alua
ción
23/
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Sesión 93En esta sesión anticiparás y registrarás los resultados al extraer una canica de una bolsa.
Manos a la obra1. Lee y realiza lo siguiente.
Dos compañeros, María y Joel, colocan dos canicas en una urna; una de las canicas es azul y la otra es blanca. Después de remover las canicas extraen una, sin mirar, y resulta ser blanca. Regresan la canica a la bolsa, la remueven y hacen una extracción más. ¿De qué color piensas que será la canica en esta ocasión?
Haz el experimento varias veces y comprueba si aciertas. ¿Qué piensas que es más fácil,
sacar la canica blanca o la azul?
María y Joel hicieron el experimento diez veces. Para registrar sus resultados, anotan una A si sale azul, y una B si sale blanca. Observa sus resultados:
A B B A B A B B A B
¿Cuántas canicas azules sacaron?
¿Y cuántas canicas blancas?
2. Reúnete con un compañero y lleven a cabo el experimento descrito en el problema anterior, pero primero anoten sus estimaciones en la siguiente tabla.
Estimaciones
Canicas azules que salen en 20 extracciones Canicas blancas que salen en 20 extracciones
Registren en una tabla de frecuencias sus resultados. Pueden anotar una rayita o escribir una A si sale azul y una B si sale blanca.
Color Conteo Frecuencia
Azul
Blanco
Total
Comparen los resultados obtenidos en la estimación que hicieron previamente, ¿acertaron?
3. Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y comenten:
¿Qué color de canica es más frecuente de obtener?
¿Podrían adivinar el color de la canica que saldrá en la próxima extracción?
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4. Repitan el experimento, pero esta vez pongan en la bolsa tres canicas: dos azules y una blanca.
¿Consideran que ahora será más fácil obtener una canica blanca o una azul?
Cálculo
Canicas azules que salen en 30 extracciones de la bolsa 2
Canicas blancas que salen en 30 extracciones de la bolsa 2
Resultados de 30 extracciones
Canicas azules que salen en 30 extracciones de la bolsa 2
Canicas blancas que salen en 30 extracciones de la bolsa 2
¿Qué color de canica es más frecuente sacar en esta situación?
¿Podrían adivinar el color de la canica que saldrá en la próxima extracción?
AutoevaluaciónResponde lo siguiente.
Observa las cuatro bolsas que se muestran a continuación:
bolsa 1 bolsa 2 bolsa 3 bolsa 4
Contienen canicas de color azul (A) y blanco (B).
Marca con una palomita ( ) las frases que son verdaderas.
Es más fácil obtener una canica azul de la bolsa 1 que de la bolsa 2.
Es más fácil obtener una canica azul de la bolsa 2 que de la bolsa 4.
Es más fácil obtener una canica azul de la bolsa 1 que de la bolsa 3.
Es más fácil obtener una canica azul de la bolsa 3 que de la bolsa 4.
Consulta en…
Entra al sitio <http://www.acanomas.com/Biblioteca.php> y consulta la información sobre otros juegos de azar.
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Secuencia 24
Análisis de frecuencia absoluta y relativa
Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa.
Sesión 94En esta sesión utilizarás tablas de frecuencia absoluta para obtener la información resumida en ellas.
¿Qué sabes tú?El manejo y la interpretación de información dependen de la cantidad de datos que se tengan; por ejemplo, si se cuenta con un conjunto de diez datos, sólo bastaría enlistarlos y ordenarlos para poder describir su comportamiento. Sin embargo, para el análisis de un número mayor de datos se recomienda utilizar una tabla de frecuencia, la cual concentra y organiza la información.
A continuación se muestran las horas a la semana que cada alumno de tercer grado de la es-cuela A invierte en estudiar después de clase. El grupo se compone de 50 estudiantes.
4 9 1 10 4
6 3 6 3 1
1 2 2 6 10
5 2 10 10 6
6 2 0 4 6
7 0 8 5 7
8 7 0 10 9
6 0 9 6 0
7 0 4 10 7
1 4 6 2 8
a) ¿Cuál es el mayor número de horas de estudio invertidas por un alumno?
b) ¿Cuál es la diferencia entre el alumno que invierte menos horas de estudio con respecto al
que invierte más horas?
c) ¿Cuántas horas estudian la mayoría de los alumnos?
e) ¿Cómo organizaron los datos para responder las preguntas?
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Manos a la obra1. En parejas, completen la siguiente tabla de frecuencias y contesten las preguntas.
Número de horas invertidas Conteo Frecuencia
absoluta
0
4
6
3
a) ¿Cuántas horas diferentes se registraron?
b) ¿Cuáles fueron esas horas?
2. Usen la información que proporciona la tabla para contestar las preguntas siguientes.
a) ¿Cuántos alumnos invierten 4 horas de estudio?
c) ¿Cuántos alumnos invierten 10 horas de estudio?
d) ¿Cuántos alumnos no invierten tiempo en estudiar?
En este ejemplo, el total de datos es de 50 alumnos.
En una tabla de frecuencias, la columna de frecuencia absoluta se refiere a la cantidad de veces que aparece un dato en toda la información, por lo que al sumar dicha columna nos dará el total de datos u observaciones registrados.
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Sesión 95En esta sesión utilizarás tablas de frecuencia relativa para obtener información.
Manos a la obra1. Continuaremos trabajando con los datos de la tabla de la sesión anterior. Agregaremos a
nuestra tabla de frecuencias las columnas de frecuencia relativa y el porcentaje referente a cada dato.
En parejas, completen la siguiente tabla (realicen los cálculos que sean necesarios).
Número de horas invertidas Conteo Frecuencia
absolutaFrecuencia relativa Porcentaje
Cálculo Resultado Cálculo Resultado
0
4 450
0.08 0.08 × 100 8%
6
3 350 0.06 0.06 × 100 6%
Total 50 5050 1 1 × 100 100%
Al dividir la frecuencia absoluta de cada dato entre el número total de datos se obtiene la frecuencia relativa.
Al sumar los valores de la columna de frecuencia relativa el resultado debe ser igual a uno. Al multiplicar por 100 la frecuencia relativa de cada dato, obtendremos el porcentaje que representa ese dato con respecto al total.
2. Con base en los datos de la tabla, contesta las siguientes preguntas.
a) ¿Qué número de horas invertidas en estudiar tiene el mayor porcentaje?
b) ¿Cómo comprobarías que la columna de frecuencia relativa es correcta?
Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
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Sesión 96En esta sesión continuarás trabajando con tablas de frecuencia relativa.
Manos a la obra1. Se realizó un concurso entre 30 telese-
cundarias del país para ver cuál reunía la mayor cantidad de material reciclado en kilogramos, los resultados se muestran a continuación.
Con la información del cuadro anterior completa la tabla siguiente.
Cantidad de material reciclado (kg) Conteo Frecuencia
absolutaFrecuencia relativa Porcentaje
Cálculo Resultado Cálculo Resultado
1
34
40 3 330 0.10 0.1 × 100 10%
2
98
1
114
116
Total 30 1 × 100 100%
En equipos, comparen los resultados y contesten las preguntas siguientes.
a) La telesecundaria que ganó, ¿qué cantidad de material reciclado reunió?
b) ¿Qué cantidades de material reciclado reunieron las telesecundarias que quedaron
en segundo y tercer lugar?
c) ¿Cuál fue la menor cantidad de material reciclado que se recolectó?
34 34 115 52 106 72 52 40 89 116
114 110 89 67 115 80 96 89 40 89
89 62 40 98 80 46 111 111 29 25
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Sesión 97En esta sesión interpretarás la información que se presenta en distintas tablas.
Manos a la obra1. La siguiente tabla muestra el número de viviendas particulares habitadas, por entidad
federativa, con disponibilidad de computadora en los años 2000, 2005 y 2010.
Entidad federativa 2000 2005 2010Aguascalientes 25 927 61 954 99 579Baja California 84 377 188 340 374 234Baja California Sur 11 793 32 352 72 319Campeche 8 532 27 061 55 160Coahuila de Zaragoza 52 571 129 265 230 582Colima 11 813 29 665 58 737Chiapas 22 018 63 584 135 322Chihuahua 72 885 183 005 312 615Distrito Federal 451 553 825 157 1 171 631Durango 21 445 59 870 105 076Guanajuato 67 668 163 484 301 818Guerrero 19 619 59 908 129 170Hidalgo 23 971 72 311 134 561Jalisco 163 935 371 642 652 230Estado de México 289 186 697 749 1 162 156Michoacán de Ocampo 46 557 118 615 221 817Morelos 31 704 73 340 137 530Nayarit 11 795 36 568 78 882Nuevo León 127 178 261 981 468 025Oaxaca 20 482 65 558 134 557Puebla 64 339 166 162 287 815Querétaro 38 673 86 444 153 832Quintana Roo 18 557 47 916 115 058San Luis Potosí 32 387 87 448 151 052Sinaloa 37 781 104 451 220 665Sonora 53 505 135 318 267 201Tabasco 20 729 59 110 117 126Tamaulipas 54 062 136 969 256 467Tlaxcala 9 042 28 374 53 921Veracruz de Ignacio de la Llave 72 247 202 314 405 608Yucatán 28 494 69 669 129 964Zacatecas 16 610 49 343 84 909Estados Unidos Mexicanos 2 011 425 4 694 927 8 279 619
Nota: Cifras correspondientes a las siguientes fechas censales: 14 de febrero (2000), 17 de octubre (2005), y 12 de junio (2010).
Fuente: http://www.inegi.org.mx/sistemas/sisept/default.aspx?t=mviv41&s=est&c=26573
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AutoevaluaciónResponde lo siguiente.
• ¿Qué significaría que el total de la columna de frecuencia relativa fuera mayor a uno?
Consulta en…
Entra a la página del INEGI para conocer otros interesantes datos estadísticos sobre nuestro país.
En parejas, utilicen la información anterior y calculen el porcentaje por año para cada enti-dad con respecto al total nacional.
Contesten las siguientes preguntas.
a) Cada uno explique a su compañero, con sus propias palabras, qué información muestra
la tabla.
b) ¿A qué años corresponde la información que presenta la tabla?
c) ¿Qué entidad muestra el mayor porcentaje y en qué año?
d) Indiquen por cada año las entidades que tienen los tres primeros lugares en porcentaje.
1º año
2º año
3º año
e) ¿Qué entidades mantienen el mismo porcentaje durante los tres años de análisis?
f) En cada año aumentó el número de computadoras en las viviendas particulares. ¿En qué
año hubo un mayor aumento?
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Sesión 98Evaluación
Aplica lo aprendido y selecciona la respuesta correcta a cada problema.
1. Jacinto requiere comprar 150.45 dólares para pagar un artículo que se ofrece en una tienda en internet. ¿Cuántos pesos debe juntar para poder pagar, si el tipo de cambio está en $14.30?
a) $ 2 151.354
b) $ 2 151.4035
c) $ 2 151.435
d) $ 2 151.536
2. Considera la ecuación 9 x = 270.
¿Cuál de los siguientes problemas se puede resolver con la ecuación anterior?
a) El volumen de un eneágono regular mide 270 cm.
b) El área de un eneágono regular mide 270 cm.
c) El perímetro de un eneágono regular mide 270 cm.
d) El perímetro de un eneágono irregular mide 270 cm.
3. Un corredor tarda cierta cantidad de minutos para recorrer diferentes distancias, como se muestra en la tabla.
Tiempo (minutos) 21 min 42 min 55 min 84 min
Distancia 7 km 14 km 28 km
Si corre durante 55 minutos, ¿qué distancia recorrió?
a) 15.00 km
b) 18.33 km
c) 20 km
d) 22 km
4. Un rollo higiénico contiene 43.7 metros de papel. Si cada hoja mide 10.4 cm, ¿cuántas hojas higiénicas contiene el rollo?
a) 300.23
b) 400.51
c) 420.19
d) 499.10
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5. ¿En cuál de los siguientes polígonos regulares el área es de 20 m2?
2 cm
a = 4
2 cm
a = 1.37
2 cm
a = 2.61
2 cm
a = 5.00
6. En una caja se colocan 12 lápices del mismo tamaño y textura, 3 son azules, 3 rojos, 2 amarillos, 2 negros, 1 verde y 1 morado. ¿Cuál de las siguientes frases es verdadera?
a) Hay más posibilidades de sacar un lápiz color morado que uno verde.
b) Hay más posibilidades de sacar un lápiz color azul que uno rojo.
c) Hay más posibilidades de sacar un lápiz color rojo que uno amarillo.
d) Hay más posibilidades de sacar un lápiz color amarillo que uno negro.
La siguiente tabla ilustra el consumo de energía eléctrica en kilowatts (kW) de 4 casas durante 5 meses.
Mes Noviembre Diciembre Enero Febrero Marzo
Casa 1 86 95 105 88 102
Casa 2 78 89 110 80 97
Casa 3 76 98 89 78 114
Casa 4 89 100 65 117 76
7. ¿En qué mes se consumió la mayor cantidad de ener-gía eléctrica?
a) Enero
b) Febrero
c) Diciembre
d) Marzo
8. ¿Qué casa consumió menos energía durante los cinco meses?
a) Casa 1
b) Casa 2
c) Casa 3
d) Casa 4
9. ¿Qué polígono regular se puede generar a partir del ángulo mostrado?
a) Dodecágono
b) Undecágono
c) Pentadecágono
d) Icoságono
156°
a) b) c) d)
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