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Secundaria 2dogrado
Matemtica
COMUNIDADGua didctica
2E
jemp
lardeob
seq
uio
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2
DIRECCIN DE CONTENIDOS
Y SERVI CIOS E DUCATI VOS
Elisa Bonilla Rius
GERENCIA DE PUBLICACIONES ESCOLARES
Felipe Ricardo Valdez Gonzlez
AUTORA
Ruben Garza, Jos Zahoul, Csar JimnezCOORDINACIN EDITORIAL
Ernesto Manuel Espinosa Asuar
EDICIN
Cristbal Bravo Marvn, Uriel Jimnez Herrera,
Macbeth Baruch Rangel Ordua
CORRECCIN
Mnica Tern Mndez. Juana Moreno Armendriz
DIRECCIN DE ARTE
Quetzatl Len Calixto
COORDINACIN DE DIAGRAMACIN
Csar Leyva Acosta
DISEO DE PORTADA
Jos Manuel Calvillo Trices
DIAGRAMACIN
Csar Jimnez
PRODUCCIN
Carlos Olvera, Vctor Canto
Comunidad Matemtica 2. Secundaria. Gua didctica.
Primera edicin, 2013
D.R. SM de Ediciones, S.A. de C.V., 2013
Magdalena 211, Colonia del Valle,
03100, Mxico, D. F.
Tel.: (55) 1087 8400
www.ediciones-sm.com.mx
Miembro de la Cmara Nacional de la Industria
Editorial Mexicana
Registro nmero 2830
No est permitida la reproduccin total o parcial
de este libro ni su tratamiento informtico ni la
transmisin de ninguna forma o por cualquier
medio, ya sea electrnico, mecnico, por fotocopia,
por registro u otros mtodos, sin el permiso previo
y por escrito de los titulares del copyright.
Las marcas Ediciones SM y Comunidad Matemtica son
propiedad de SM de Ediciones, S.A. de C.V.
Prohibida su reproduccin total o parcial.
Impreso en Mxico/Printed in Mexico
Comunidad Matemtica 2. Secundaria. Gua didctica.
se termin de imprimir en marzo de 2013, en Litogrfica
Ingramex, S. A. de C. V., Centeno nm.162-1, col. Granjas
Esmeralda, c. p. 09810, Mxico D. F.
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Los aprendizajes esperados y los estndares curriculares
La Nueva Articulacin de la Educacin Bsica est orientada, de manera prioritaria, al
desarrollo de las competencias para la vida, a la par del desarrollo de las habilidades,
conocimientos y actitudes propias del pensamiento matemtico. El programa de articu-
lacin tiene el objetivo de unificar los enfoques de enseanza y secuenciar la profundidadde los aprendizajes durante los cuatro periodos escolares (preescolar, primero a tercer
grado de primaria, cuarto a sexto grado de primaria, y secundaria). Los elementos que
articulan estos cuatro periodos son el perfil de egreso, los nuevos estndares curricu-
lares y el enfoque de enseanza de las matemticas en la educacin bsica.
Este programa de articulacin ha generado los estndares curriculares y los vincul
con los aprendizajes esperados. Estos componentes son enunciados o indicadores que
definen aquello que los estudiantes deben saber y saber hacer, as como las actitudes
que demostrarn durante el proceso de aprendizaje y de exposicin de lo aprendido. Los
aprendizajes esperados y los estndares son tiles para dar seguimiento al desarrollo de
las competencias. Los aprendizajes esperados se consiguen despus del estudio de unasecuencia de contenidos del programa, que estn vinculados entre s, y se demuestran a
travs de desempeos concretos de los alumnos en situaciones problemticas. Por otra
parte, los estndares curriculares enmarcan una secuencia de aprendizajes esperados
y se definen al trmino de cada periodo escolar.
Debido a su importancia, presentamos los aprendizajes esperados y los estndares
curriculares en el avance programtico de la gua didctica, y que estn relacionados
con los contenidos de estudio del programa. De esta forma, usted podr efectuar un se-
guimiento puntual sobre el avance que se espera tengan los estudiantes.
Actitudes y valoresUno de los propsitos del programa de matemticas es que los alumnos muestren
disposicin positiva hacia el estudio de la matemtica, as como al trabajo autnomo
y colaborativo. Los estndares curriculares cubren cada uno de los ejes de contenido
(Sentido numrico y pensamiento algebraico; Forma, espacio y medida; Manejo de la
informacin) y abarcan un cuarto rubro que es de reciente incorporacin: las actitudes
y valores hacia el estudio de las matemticas.
El enfoque didctico y las competencias matemticas
El enfoque didctico para el campo formativo Pensamiento Matemtico se fundamenta
en la resolucin de problemas, pues se busca despertar el inters de los estudiantes me-
diante secuencias que impliquen situaciones problemticas con las que reflexionen para
desarrollar sus propias estrategias y formulen argumentos que validen sus resultados.
Las competencias que se indican en el programa son: resolver problemas de manera
autnoma; comunicar informacin matemtica; validar procedimientos y resultados, y
manejar tcnicas eficientemente.
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5
El programa de estudio de matemticas ...................................... 3Cmo usar esta gua? ....................................................................... 4
Avance programtico ......................................................................... 6
Bloque 1 .......................................................................................................................6
Bloque 2 ....................................................................................................................25
Bloque 3 ....................................................................................................................38
Bloque 4 ....................................................................................................................52
Bloque 5 .................................................................................................................... 67
Libro del alumno con respuestas ..................................................81
ndice
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6
Avanceprogra
mtico
Juegos y retos. Los frijoles saltarines
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
Para hacer ms evidente el resultado de las combinaciones entre los dados ylos frijoles, proponga a los estudiantes que elaboren un cuadro de doble entrada
como el siguiente.
Dado 2
1 1 2 2 3 3
Frijol r 3
n2
r3
n2
r3
n2
r3
n2
r3
n2
r3
n2
Dado
1
Identifica
los nmeros
negativos.
Multiplica nmerosde distinto signo.
Contenidos Aprendizaje esperado Estndar
8.1.1 Resolucin de multiplicaciones
y divisiones con nmeros enteros
Resuelve
problemas que
implican efectuar
multiplicaciones
o divisiones con
expresionesalgebraicas.
Resuelve
problemas
multiplicativos
con expresiones
algebraicas a
excepcin de ladivisin entre
polinomios.
8.2.3 Identificacin y bsqueda de expresiones
algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos
geomtricos
8.3.1 Resolucin de clculos numricos que implican
usar la jerarqua de las operaciones y los parntesis, si
fuera necesario, en problemas y clculos con nmeros
enteros, decimales y fraccionarios
8.3.2 Resolucin de problemas multiplicativos que
impliquen el uso de expresiones algebraicas, a
excepcin de la divisin entre polinomios
Bloque 1
Eje.Sentido numrico y pensamiento algebraico
Tema.Problemas multiplicativos
8.1.1Resolucin de multiplicaciones y divisiones con nmeros enteros
Dado 1: , Dado 2: 1, frijol rojo.Resultado: avanza 3 a la derecha
Dado 1: , Dado 2: 2, frijol negro.Resultado: avanza 4 a la izquierda.
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Leccin 1 Multiplicacin de nmeros con signo I
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
El propsito de la leccin es que los alumnos relacionen los desplazamientos
del juego los frijoles saltarines con sumas de sumandos iguales y despus con
la multiplicacin.
Cada leccin empieza con la pregunta inicial; pida que la respondan para
que valore sus conocimientos previos. Al final de la leccin pueden revisar y
corregir sus respuestas, as usted podr evaluar lo que han aprendido.
Al finalizar la actividad 1, haga preguntas como las siguientes:
Con qu multiplicacin se indican seis saltos de dos hacia la derecha? Con
qu multiplicacin se indican dos saltos de cinco hacia la izquierda?.
En la actividad 2, auxlielos para que comprendan que una multiplicacin
como 3 2 representa la operacin 2 2 2 y no 2 2 2, ya que desde el
primer 2 se indica con un desplazamiento a la izquierda.
Las actividades 3 a 5 sirven para consolidar las reglas de la multiplicacin
de nmeros con signo. Sugiera que comparen sus respuestas e
intercambien opiniones.
Identifica los
nmeros negativos.
Multiplica nmeros
de distinto signo.
Leccin 2 Multiplicacin de nmeros con signo II
Estrategias de enseanza y aprendizaje Indicadores dedesempeo
En esta leccin se pretende que los estudiantes deduzcan las reglas de los
signos de la multiplicacin a partir de sucesiones aritmticas decrecientes.
Pida a algunos alumnos que hagan, en el pizarrn, dos tablas de multiplicar
cualesquiera y guelos para que observen que los productos de cada tabla
constituyen una sucesin aritmtica.
Aydelos, en las actividades 1 a 3, para que descubran que los trminos de
la sucesin a), actividad 1, disminuyen de 5 en 5; la sucesin del inciso b)disminuye de 4 en 4.
Solicite que justifiquen sus respuestas de la actividad 4 con series
descendentes. Tambin proponga que, usando el mismo recurso, expliquen
el resultado de multiplicar por 0 y por 1.
Proponga, despus de que completen la tabla de la actividad 6, que
expliquen con sus palabras las reglas para multiplicar nmeros con signo.
Aprende que el
producto de dos
nmeros con
signos iguales es
positivo, y que
el producto de
dos nmeros con
signos diferentes
es negativo. Substituye y opera
nmeros con
cualquier signo.
Aprende y utiliza
sin dificultad la
nueva notacin
abreviada para el
producto.
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Leccin 4 Problemas de multiplicacin y divisin de nmeros con signo
Estrategias de enseanza y aprendizaje Indicadores de desempeo
Organice una discusin grupal en torno a las relaciones implcitas
en la multiplicacin y la divisin de nmeros con signo en la que los
estudiantes argumenten sus ideas respecto a preguntas como las
siguientes:
En qu casos el cociente es igual a 1?
En qu casos el cociente es igual a 1?
En qu casos el producto es igual a uno de los factores?
En qu casos el producto es igual a uno de los factores, pero con
signo contrario?
En qu casos el cociente es igual a 0?
Qu ocurre al multiplicar un nmero entero por una fraccin? Qu signo tiene el resultado de la operacin (3)(3)(3)?
Qu signo tiene el resultado de la operacin (3)(3) (3)?.
Plantee la frmula para convertir grados Celsius en grados
Fahrenheit: F= 95
C32, para que comprueben las respuestas
de la actividad 2.
Aprende que el cociente de
dos nmeros con signos
iguales es positivo y que el
cociente de dos nmeros con
signos diferentes es negativo.
Resuelve divisiones de
nmeros combinadas con
otras operaciones como
suma, producto o sustraccin. Plantea expresiones en
lenguaje algebraico.
Otros recursos. En www.e-sm.com.mx/GDmatcom2-04 se encuentra un video referente a lamultiplicacin y divisin de nmeros con signo.
Leccin 3 Divisin de nmeros con signo
Estrategias de enseanza y aprendizaje Indicadores de desempeo
En la actividad 1 se desea que los alumnos encuentren
multiplicaciones en las que se conoce el producto y uno de losfactores. De esta forma, la divisin entre nmeros enteros se
introduce como la operacin inversa de la multiplicacin. Antes
de que ellos resuelvan esta actividad, es conveniente plantearles
preguntas como las siguientes:
Qu combinacin de dados debe salir para que el frijol negro
avance cuatro casillas a la izquierda?
A qu multiplicacin corresponde?
Qu combinacin de dados debe salir para que el frijol rojo
avance seis casillas a la derecha?
A qu multiplicacin corresponde?.
Antes de efectuar la actividad 4 puede pedirles que completenmultiplicaciones como las siguientes para reforzar ms la relacin
inversa entre la multiplicacin y la divisin.
4 __ = 20 4__ = 20 4 __ = 20 4__ = 20
7 __ = 28 7__ = 28 7 __ = 28 7__ = 28
Maneja con fluidez la
multiplicacin de nmeros
enteros (positivos o
negativos).
Efecta planteamientos de
expresiones en lenguaje
algebraico.
Infiere mentalmente los
resultados de operaciones con
nmeros enteros.
Aprende e identifica nmerosconsecutivos y nmeros
simtricos.
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Juegos y retos. La leyenda del ajedrez
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
Pida a los estudiantes que junten las siguientes
piezas para que formen un tablero de ajedrez completo.
El propsito de este problema es que
ellos formen su tablero descubriendo
las relaciones entre el clculo delos granos y su posicin.
Efecta
multiplicaciones
repetidas del
mismo nmero.
Identifica rectas
paralelas.
Identifica algunas
condiciones que
permiten trazar un
tringulo.
Contenidos Aprendizaje esperado Estndar
7.5.2 Uso de la notacin cientfica para realizar clculos
en los que intervienen cantidades muy grandes o muy
pequeas
Resuelve
problemas que
implican el uso de
las leyes de los
exponentes y de la
notacin cientfica.
Resuelve
problemas
multiplicativos
con expresiones
algebraicas a
excepcin de la
divisin entre
polinomios.
8.1.2 Clculo de productos y cocientes de potencias
enteras positivas de la misma base y potencias de una
potencia. Significado de elevar un nmero natural a una
potencia de exponente negativo
Eje.Sentido numrico y pensamiento algebraico
Tema.Problemas multiplicativos
8.1.2Clculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia.
Significado de elevar un nmero natural a una potencia de exponente negativo
227
23
256 222 224
247
25
20 23 25
29
220 222
224 227
236 238
247
256
238
236
29
20
240
220
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Leccin 6 Cociente de potencias
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
El propsito de las actividades 1 a 4 es que los alumnos descubran las leyes de los
exponentes de la divisin; para reforzar los conocimientos, pida que desarrollen
potencias tanto en el numerador y denominador y simplifiquen. Por ejemplo:
37
32=
3 3 3 3 3 3 3
3 3= 3 3 3 3 3 = 3 5
Para justificar que a0= 1, adems de las actividades 5 y 6, mencione ejemplos
como el siguiente.
1 = 54
54 = 54 4= 50
Proponga, de la misma forma, desarrollos como el siguiente para justificar los
exponentes negativos.
32
37=
3 3
3 3 3 3 3 3 3=
1
3 3 3 3 3= 1
35= 32 7= 35
Comprende
el significado
y la forma en
que opera la
potenciacin de un
nmero elevado
a un exponente
negativo. Aprende a usar
las leyes de los
exponentes.
Otros recursos. Los estudiantes pueden hallar informacin, ejemplos y ejercicios resueltos sobre las leyes
de los exponentes en www.e-sm.com.mx/GDmatcom2-06
Leccin 5 Producto de potencias
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
Solicite a los estudiantes que completen la siguiente tabla.
21 22 23 24 25 26 27 210
21 22 23 24 25 26 27 28
22 25
23 26
24 27
25 28
26 29
27 210
210 213
La finalidad es que descubran cul es la regularidad en el producto de
potencias de la misma base. Observe que analicen los datos en relacin con la
ltima fila y columna, y expresen de manera general el resultado de multiplicar
20210.
Comprende el
significado y la
forma en que opera
la potenciacin de
un nmero.
Aprende las leyes
de los exponentes
que funcionan en
la multiplicacin
y el cociente de
expresiones que
involucran un
nmero elevado a
cierta potencia.
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Eje.Forma, espacio y medidaTema.Figuras y cuerpos8.1.3 Identificacin de relaciones entre los ngulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por unatransversal. Justificacin de las relaciones entre las medidas de los ngulos interiores de los tringulos y paralelogramos
ContenidosAprendizaje
esperadoEstndar
8.1.3 Identificacin de relaciones entre los ngulos que
se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una
transversal. Justificacin de las relaciones entre las
medidas de los ngulos interiores de los tringulos y
paralelogramos Justifica la
suma de los
ngulos internos
de cualquiertringulo o
polgono y utiliza
esta propiedad en
la resolucin de
problemas.
Utiliza la regla y
el comps para
hacer diversos
trazos, como alturas
de tringulos,
mediatrices,
rotaciones,
simetras, etctera. Resuelve problemas
que implican
construir crculos y
polgonos regulares
con base en
informacin diversa
y usa las relaciones
entre sus puntos y
rectas notables.
8.3.3 Formulacin de una regla que permita calcular la
suma de los ngulos interiores de cualquier polgono
8.3.4 Anlisis y explicitacin de las caractersticas de
los polgonos que permiten cubrir el plano
Leccin 7 ngulos adyacentes y opuestos por el vrtice
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
Plantee situaciones, como la siguiente, para que los estudiantes retomen los
contenidos y apliquen sus conocimientos previos.
Calcula las medidas de los ngulos A,B,C yD.
Reconoce e
identifica los ngulos
correspondientes en
un sistema de rectas
paralelas cortadas por
una secante. Deduce el valor de
ngulos mediante
las propiedades del
sistema y con el
planteamiento de una
ecuacin.
Otros recursos. En www.e-sm.com.mx/GDmatcom2-07 los alumnos encontrarn informacin y actividadesrelacionadas con los ngulos.
45
A
BC
D
70
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Leccin 8 Paralelas cortadas por una transversal
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
Indique a los estudiantes que efecten losiguiente.
a) Dividan una hoja en tres partes con dos
dobleces paralelos.
b) Hagan un doblez que corte los dos
anteriores e identifiquen los ngulos que se
forman con las letras a, b, c, d, e, f, gy h.
c) Hagan un corte entre los dos primeros
dobleces y paralelo a ellos. Coloquen
los ngulos a, b, c, d sobre los ngulose, f, gy hpara que al verlos a contraluzcomprueben que son iguales.
Distingue ngulos
alternos externosy alternos internos
en un sistema de
rectas paralelas
cortadas por una
transversal.
Utiliza laspropiedades de
ngulos alternos
internos y externos
para calcular (sin
el empleo del
transportador) el
valor de ngulos no
conocidos.
Otros recursos. En www.e-sm.com.mx/GDmatcom2-08 hay una presentacin con informacin acerca deeste tema.
Leccin 9 ngulos interiores de tringulos
Estrategias de enseanza y aprendizaje
Indicadores de
desempeo
Otra manera de observar que la suma de las medidas de los ngulos interioresde un tringulo suman 180 es con la siguiente secuencia de doblado de papel.
a)
b)
c)
Comprende yusa la propiedad
en cualquier
tringulo la suma
de la medida de
sus ngulos es de
180.
Comprende cuandoun argumento
de un resultadoo propiedad se
deduce a partir de
otro (justificacin y
demostracin).
Otros recursos. En www.e-sm.com.mx/GDmatcom2-09 hay un applet en Java con el que los alumnospueden modificar un tringulo y observar que la suma de las medidas de los ngulos se
conserva.
a
e
b
fcg
d
h
180
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Leccin 10 ngulos interiores de cuadrilteros
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
Plantee algunas situaciones que involucren relaciones con los ngulos interiores
de tringulos y paralelogramos, como las siguientes, para apoyar el logro de losindicadores.
Reconocee identifica
propiedades
relativas a
los ngulos
en cualquier
paralelogramo: la
suma de la medida
de los ngulos de
un paralelogramo
es de 360.
Otros recursos. En www.e-sm.com.mx/GDmatcom2-10 hay informacin sobrelos cuadrilteros y sus ngulos.
Eje.Forma, espacio y medidaTema.Figuras y cuerpos8.1.4 Construccin de tringulos con base en ciertos datos. Anlisis de las condiciones de posibilidad y unicidad en lasconstrucciones
Contenidos Aprendizajeesperado
Estndar
8.1.4 Construccin de tringulos con base en ciertos
datos. Anlisis de las condiciones de posibilidad y
unicidad en las construcciones
Resuelve
problemas de
congruencia y
semejanza queimplican utilizar
estas propiedades
en tringulos o en
cualquier figura.
Resuelve problemas
que impliquen
aplicar las
propiedades dela congruencia y
la semejanza en
diversos polgonos.
9.1.2 Construccin de figuras congruentes o
semejantes (tringulos, cuadrados y rectngulos) y
anlisis de sus propiedades
9.1.3 Explicitacin de los criterios de congruencia y
semejanza de tringulos a partir de construcciones coninformacin determinada
9.3.2 Aplicacin de los criterios de congruencia y
semejanza de tringulos en la resolucin de problemas
9.3.3 Resolucin de problemas geomtricos mediante
el teorema de Tales
9.3.4 Aplicacin de la semejanza en la construccin de
figuras homotticas
a
bc
ed
f
a
115
55b
c
e
d f
-
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Leccin 11 Construccin de tringulos I
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
La finalidad de esta leccin es que, a partir de problemas, los estudiantesconcluyan que para formar un tringulo, es necesario que la suma de las
medidas de dos de sus lados sea mayor que la del tercero.
Es importante que en la actividad 1, en los incisos a) a c), fomente la discusin
acerca de las diferencias entre los tringulos construidos y los anime a que
justifiquen sus respuestas haciendo notar las relaciones entre los ngulos y los
lados.
Procure que todos observen que en el inciso d) deben obtener tringulos
iguales o congruentes, aunque se encuentren en distintas posiciones. Solicite
que indiquen qu caractersticas los hacen congruentes.
Despus de que resuelvan la actividad 3, plantee las siguientes preguntas: En
qu casos no pudiste construir el tringulo solicitado? A qu supones que sedeba? En qu casos s pudiste construir el tringulo solicitado? Por qu?.
Traza tringulos
con base en
algunos datos ya
determinados.
Determina
condiciones
necesarias y
suficientes para
que un tringulo se
pueda construir.
Otros recursos. Para determinar las condiciones de unicidad de los tringulos, desarrolle la fichaTringulos con palillos de las pginas 94 y 95 del Fichero de actividades didcticas.
Matemticas Educacin secundaria disponible en www.e-sm.com.mx/GDmatcom2-11.
Leccin 12 Construccin de tringulos II
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
En esta leccin se pretende que los alumnos deduzcan, a partir de trazos
geomtricos, qu condiciones son necesarias conocer para saber si dos
tringulos son congruentes.
Si trazan tringulos en diferentes posiciones, a simple vista, esto podra
hacerlos deducir que no son congruentes. Para evitarlo, proponga que
verifiquen si son congruentes superponindolos.
Una vez que hayan intercambiado ideas sobre la construccin de tringulos,
aydelos para que se den cuenta de que un tringulo determinado puede ser
construido si se proporciona uno de los siguientes conjuntos de datos.
Tres de sus lados (LLL)
Dos lados y el ngulo comprendido entre ellos (LAL)
Dos ngulos y el lado adyacente (ALA)
Traza tringulos
con base en
algunos datos ya
determinados.
Determina
condiciones
necesarias y
suficientes para
que un tringulo se
pueda construir.
Otros recursos. En www.e-sm.com.mx/GDmatcom2-12 hay actividades de congruencia de tringulos. Esnecesario que aclare el trmino congruencia referido a segmentos, ngulos y figuras, y la
notacin usual de congruencia ().
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Eje.Forma, espacio y medida
Tema.Medida
8.1.5 Resolucin de problemas que impliquen el clculo de reas de figuras compuestas, incluyendo reas laterales y
totales de prismas y pirmides
ContenidosAprendizaje
esperadoEstndar
6.4.5 Clculo de la longitud de una circunferencia
mediante diversos procedimientos
Resuelve
problemas
que impliquen
calcular el rea y
el permetro delcrculo.
Calcula cualquiera
de las variables
que intervienen
en las frmulas de
permetro, rea yvolumen.
7.4.3 Justificacin de la frmula para calcular la
longitud de la circunferencia y el rea del crculo
(grfica y algebraicamente). Explicitacin del nmero
(Pi) como la razn entre la longitud de la circunferencia
y el dimetro
7.5.5 Uso de las frmulas para calcular el permetro y el
rea del crculo en la resolucin de problemas
8.1.5 Resolucin de problemas que impliquen el clculo
de reas de figuras compuestas, incluyendo reas
laterales y totales de prismas y pirmides
Juegos y retos. Juego de dardos
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
En estas pginas se pretende, adems de la comparacin de reas, que los
alumnos construyan una diana, calculen porcentajes y los relacionen con la
probabilidad de acertar en cada rea.
La relacin entre la probabilidad frecuencial y la probabilidad terica se da de
manera implcita al pedirles que registren sus resultados y los comparen con
los porcentajes que calcularon. Por eso es importante que los ayude a registrar
sus resultados; as contarn con datos suficientes que se aproximen a la
probabilidad clsica. Tambin puede aprovecharse para reforzar la relacin entre los porcentajes y
las fracciones.
Identifica
los nmeros
negativos.
Multiplica nmeros
de distinto signo.
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Leccin 13 rea de figuras compuestas I
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
En esta leccin se pretende que los alumnos calculen el rea de figuras
compuestas utilizando diversos recursos; ya sea mediante el conteo de
unidades cuadradas o la descomposicin de figuras en otras ms simples.
En las actividades 2 y 3 deben hacer inferencias para obtener datos necesarios
a partir de medidas que se dan de manera indirecta.
Solicite, en la actividad 4, que comparen sus explicaciones y gue una discusin
para que deduzcan que si las medidas de la base y la altura de dos tringulos
son iguales, entonces tienen la misma rea. Tambin, plantee preguntas como
las siguientes: Los tringulos tienen el mismo permetro? Qu tringulo tiene
menor permetro? Qu tringulo tiene mayor permetro? Cmo se podra
trazar un tringulo con mayor permetro?
Resuelve
problemas que
impliquen el
clculo de reas
en diversas figuras
planas.
Otros recursos. En www.e-sm.com.mx/GDmatcom2-13 hay informacin acerca del clculo de reas portriangulacin.
Leccin 14 rea de figuras compuestas II
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
En esta leccin, los estudiantes deben calcular el rea de figuras compuestas
utilizando la frmula para el rea de un crculo.
Antes de iniciar la clase, trace un crculo en el pizarrn, indique el radio y
pregunte: Cmo se calcula el rea de esta figura?. Despus, divida la figura
en dos y en cuatro partes iguales y pregunte: Cmo se calcula el rea de cada
parte?. En la actividad 1, haga una discusin grupal para mostrar que las figuras estn
compuestas por partes de crculos, y cmo hallar las medidas de sus radios.
Al finalizar las actividades 2 y 3, solicite a algunos estudiantes que expongan
sus mtodos de solucin ante el grupo.
Resuelve
problemas
que impliquen
el clculo de
reas de figuras
compuestas,incluyendo reas
totales y laterales
de prismas y
pirmides.
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Leccin 15 rea total y lateral de prismas y pirmides I
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
En esta leccin los alumnos deben calcular el rea total de prismas y pirmides
a partir de sus desarrollos planos.
Pida que expresen, en grupo, sus estrategias para resolver la actividad 1. Si
algunos estudiantes usaron estrategias basadas en la estimacin, pdales que
las justifiquen. Lo ms probable es que calculen el rea total sumando las
reas de cada cara; aproveche esto para destacar que varias de sus caras son
congruentes.
Haga notarles que, en la actividad 2, el cuerpo est desarmado y se pueden
utilizar distintas estrategias para calcular el rea. Por ejemplo, dividirlo en un
rectngulo y dos cuadrados. Pida que identifiquen los cuerpos que se forman con cada desarrollo de la
actividad 3. Gue la discusin grupal para que se determinen los procedimientos
ms eficientes en cada caso.
Resuelve
problemas
de clculo de
permetros y
reas vinculados
con variacin
proporcional.
Comprende cundo
una relacin esproporcional o no
proporcional.
Leccin 16 rea total y lateral de prismas y pirmides II
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
En esta leccin los alumnos deben calcular el rea total de prismas y pirmides
a partir de su representacin grfica.
Se pueden plantear otras actividades similares con figuras como las siguientes
para que reafirmen sus conceptos.
Resuelve
problemas
de clculo de
permetros y
reas vinculados
con variacinproporcional.
Comprende cundo
una relacin es
proporcional o no
proporcional.
6 cm
6 cm
5.2 cm
12 cm
10.4 cm
5 cm
11 cm3.4 cm
8 cm
8.3 cm
20 cm
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Leccin 17 Porcentajes I
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
En esta leccin se pretende que los estudiantes utilicen descuentos y
aumentos expresados como porcentajes.
En la actividad 1 analizarn el significado de 30%. Refuerce los conceptos
planteando preguntas similares para otro porcentaje, por ejemplo, 45%. Es
importante que en la discusin grupal se establezca la existencia de una
relacin de proporcionalidad directa.
Los alumnos deben observar que aplicar elIVAantes o despus de un
descuento es equivalente. Para ello, pueden comprobarlos con variosejemplos.
Pida que comprueben, con situaciones concretas, que el IVAse puede
aplicar multiplicando por 1.16 o multiplicando el total por 0.16 y sumando
el resultado al precio.
Compara razones.
Calcula porcentajes
para expresar y
comparar razones.
Otros recursos. En www.e-sm.com.mx/GDmatcom2-17 los estudiantes encontrarn informacin acerca
de cmo calcular porcentajes.
Eje.Manejo de la informacin
Tema.Proporcionalidad y funciones
8.1.6 Resolucin de problemas diversos relacionados con el porcentaje, como aplicar un porcentaje a una cantidad;
determinar qu porcentaje representa una cantidad respecto a otra, y obtener una cantidad conociendo una parte de
ella y el porcentaje que representa
Contenidos Aprendizaje esperado Estndar
8.1.6 Resolucin de problemas diversos relacionados
con el porcentaje, como aplicar un porcentaje a una
cantidad; determinar qu porcentaje representa una
cantidad respecto a otra, y obtener una cantidad
conociendo una parte de ella y el porcentaje que
representa
Resuelve
problemas que
implican el clculo
de porcentajes
o de cualquier
trmino de la
relacin: Porcentaje= cantidad base
tasa. Inclusive
problemas que
requieren de
procedimientos
recursivos.
Resuelve
problemas
vinculados con la
proporcionalidad
directa, inversa
o mltiple, como
porcentajes,
escalas, inters
simple o
compuesto. 8.1.7 Resolucin de problemas que impliquen el clculo
de inters compuesto, crecimiento poblacional u otros
que requieran procedimientos recursivos
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Leccin 19 Problemas de porcentaje
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
El objetivo de esta leccin es que los alumnos, mediante problemas,
calculen qu porcentaje representa una cantidad de otra. Es importante que
comprendan, en este momento, que el porcentaje de una cantidad se puede
calcular multiplicando esta por la expresin decimal del porcentaje.
Despus de que hayan resuelto la actividad 1, plantee otros problemas como
los siguientes. Qu porcentaje representa 45 de 150?
Si 42 es 30% de una cantidad, cul es esa cantidad?
Si presentan dificultades para resolver estos problemas, puede plantearlos
como operaciones con nmero faltante, como el siguiente ejemplo.
Por cunto se debe multiplicar 150 para obtener 45?
Por qu nmero se debe multiplicar 0.3 para obtener 42?
Resuelve
problemas de
porcentajes con
procedimientosdiversos.
Utiliza 1% y 10%
para facilitar los
clculos.
Leccin 18 Porcentajes II
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
En esta leccin se pretende que los alumnos relacionen los porcentajes
con las fracciones y calculen el porcentaje de una cantidad mediante una
multiplicacin.
Aydelos, en la actividad 1, para que descubran y usen las teclas de la
calculadora que sirven para obtener porcentajes.
Organice, en las actividades 2 y 3, una discusin grupal para aclarar sus
justificaciones.
En la actividad 4, deben calcular porcentajes relacionndolos directamente
con la fraccin que representan de una cantidad. Haga que recuerden que la
fraccin de una cantidad se halla multiplicando dicha cantidad por la fraccin.Las actividades 5 y 6 sirven para relacionar las fracciones, los decimales y los
porcentajes. Efecte una discusin grupal para que infieran que el porcentaje
de una cantidad se obtiene multiplicando la cantidad por la expresin decimal
del porcentaje.
Resuelve
problemas diversos
con porcentajes.
Determina la
equivalencia
de porcentajes
con fracciones
sencillas. Representa
grficas de
porcentajes.
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Leccin 20 Crecimiento geomtrico I
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
El inters simple se caracteriza por el hecho de que los intereses producidos
por el capital en el periodo no se aaden a este para generar nuevos intereses;
una frmula es:
inters capital inicialtasa100
plazo en das365
El inters compuesto se caracteriza porque los intereses producidos se suman
al capital para generar intereses en el prximo periodo. La frmula es:
interscapital[(1i)n1]).
Donde ies la tasa de inters anual expresada en decimales y nes el nmero que
resulta de dividir la cantidad de das de la inversin entre 365.
Los estudiantes deben aplicar un procedimiento recursivo para calcular el
inters compuesto, que consiste en multiplicar la tasa de inters por el capital
del periodo anterior, que cambia en cada periodo.
Resuelve
problemas
vinculados con el
clculo del inters
compuesto.
Eje.Manejo de la informacin
Tema.Proporcionalidad y funciones
8.1.7 Resolucin de problemas que impliquen el clculo de inters compuesto, crecimiento poblacional u otros que
requieran procedimientos recursivos
Contenidos Aprendizaje esperado Estndar
8.1.6 Resolucin de problemas diversos relacionados
con el porcentaje, como aplicar un porcentaje a una
cantidad; determinar qu porcentaje representa una
cantidad respecto a otra, y obtener una cantidad
conociendo una parte de ella y el porcentaje que
representa
Resuelve
problemas que
implican el clculo
de porcentajes
o de cualquier
trmino de la
relacin: Porcentaje
cantidad base
tasa. Inclusive
problemas que
requieren de
procedimientos
recursivos.
Resuelve
problemas
vinculados a la
proporcionalidad
directa, inversa
o mltiple, como
porcentajes,
escalas, interssimple o
compuesto.
8.1.7 Resolucin de problemas que impliquen el clculode inters compuesto, crecimiento poblacional u otros
que requieran procedimientos recursivos
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Leccin 21 Crecimiento geomtrico II
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
En esta leccin se analiza el crecimiento geomtrico en otros contextos
distintos del monetario. Tambin se pone el nfasis en el procedimientorecursivo como herramienta de solucin.
Pida a los alumnos que grafiquen, en el plano cartesiano, algunas de las
situaciones que se presentan en la leccin para que observen grficamente la
rapidez de crecimiento.
En la actividad 3, desarrolle un caso de aproximacin ante el grupo, como el
siguiente ejemplo.
Hallar una aproximacin de 489 Una aproximacin es 20, ya que 202400. Entonces:
A 489400
40
889
40
22.225
Para hallar una aproximacin mejor:
A 489 22.2252
2(22.225) 489 493.950625
44.45 982.950625
44.4522.114
Una buena aproximacin es 22.114 ya que 22.1142= 489.028996
El proceso puede repetirse tanto como se desee.
Resuelve
problemas
vinculados con el
clculo del inters
compuesto.
Eje.Manejo de la informacin
Tema.Nociones de probabilidad
8.1.8 Comparacin de dos o ms eventos a partir de sus resultados posibles, usando relaciones como: es ms probableque, es menos probable que
Contenidos Aprendizaje esperado Estndar
7.1.9 Identificacin y prctica de juegos de azar sencillos
y registro de los resultados. Eleccin de estrategias en
funcin del anlisis de resultados posibles
Comparacualitativamente
la probabilidad de
eventos simples.
Calcula la
probabilidad
de eventos
complementarios,
mutuamente
excluyentes e
independientes.
7.3.7 Anticipacin de resultados de una experiencia
aleatoria, su verificacin al realizar el experimento y su
registro en una tabla de frecuencias
7.4.6 Resolucin de problemas de conteo mediante
diversos procedimientos. Bsqueda de recursos para
verificar los resultados
8.1.8 Comparacin de dos o ms eventos a partir de sus
resultados posibles, usando relaciones como: es ms
probable que, es menos probable que
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Leccin 23 Comparacin de la probabilidad II
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
El objetivo de esta leccin es que los alumnos comparen la probabilidad de
diversos eventos a partir de los resultados posibles, es decir, a partir de su
probabilidad terica.
Pida que completen una tabla como la siguiente y analicen las veces que se
obtiene cada resultado, para resolver la actividad 1.
Dado
1 2 3 4 5 6
Moneda A
S
En este caso, deben justificar los resultados del juego con argumentos como el
siguiente: En el tablero 3 hay nmeros que tienen ms posibilidades de salir.
Expresa el conjunto
de resultados
posibles de un
experimentoaleatorio o espacio
muestral del
experimento.
Leccin 22 Comparacin de la probabilidad I
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
La finalidad de la leccin es que los alumnos comparen la probabilidad de
diversos eventos a partir del registro de resultados, es decir, a partir de su
probabilidad frecuencial.
En la actividad 1, deben notar que algunos resultados aparecen con mayor
frecuencia que otros. Por eso es importante que fomente la comparacin de
resultados entre los equipos y la concentracin de esos resultados en una tabla.
Seguramente notarn que algunos tableros nunca ganan o que un tablero gana
ms veces que los otros; pregnteles por qu consideran que sucede esto. Por
el momento es suficiente con respuestas como: Dos tableros tienen nmeros
que nunca salen, El tablero 3 tiene nmeros que salen ms veces.
Despus de que jueguen las variantes de la lotera numrica planteadas en lasactividades 2 y 3, pida que comparen sus tablas y pregnteles qu cambios
notan en los resultados y a qu suponen que se deben.
Predice, a partir de
cierta informacin,
la posibilidad de
que un suceso o
evento ocurra.
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Leccin 24 Media y mediana I
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
En esta leccin se compara el uso de la media y la mediana como datos
representativos de un conjunto.
Recuerde a los alumnos que la media aritmtica es el promedio de un conjunto
de datos y pida que expliquen cmo se calcula antes de que inicien las
actividades. En la actividad 1 deben notar que, cuando un conjunto de datos tiene valores
muy grandes o muy pequeos, comparados con los dems, la media no es
representativa.
En la actividad 3 se introduce la mediana como un valor representativo de un
conjunto de datos. Auxlielos para que descubran que la mediana no resulta
afectada por los valores extremos.
Pida que calculen la mediana de las estaturas de los jugadores de la actividad 1.
Reconoce e
identifica lasmedidas de
tendencia central:
media, moda y
mediana.
Eje.Manejo de la informacin
Tema. Anlisis y representacin de datos
8.1.9 Anlisis de casos en los que la media aritmtica o mediana son tiles para comparar dos conjuntos de datos
Contenidos Aprendizaje esperado Estndar
8.1.9 Anlisis de casos en los que la media aritmtica
o mediana son tiles para comparar dos conjuntos de
datos
Resuelve
problemas que
implican calcular,
interpretar y
explicitar laspropiedades de
la media y la
mediana.
Lee y representa
informacin en
diferentes tipos
de grficas;
calcula y explicael significado
del rango y la
desviacin media.
8.3.8 Anlisis de propiedades de la media y mediana
8.4.6 Resolucin de situaciones de medias ponderadas
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Leccin 25 Media y mediana II
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
En esta leccin se presenta la media, la mediana y la moda como valores
representativos de un conjunto de datos y se comparan las limitaciones decada una.
Aproveche las situaciones planteadas para propiciar la interpretacin de las
medidas de tendencia central, resaltando su utilidad o representatividad con
preguntas como: Si quisiramos saber en qu materia los alumnos van mejor,
en qu medida de tendencia central deberamos fijarnos? Si Mario quiere
saber qu tipo de msica es ms comercial, cul de las medidas de tendencia
central es ms til? Por qu?.
Es importante que planteen situaciones en las que cada una de las medidas
de tendencia central sean representativas del conjunto de datos. Solicite queexpresen sus opiniones y argumentos.
Compara datos
a partir de sus
medidas de
tendencia central.
Notas
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Juegos y retos. Rompecabezas algebraico
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
Analice, junto con los estudiantes, la manera de relacionar las literales en
una adicin o en una multiplicacin. Por ejemplo cul es el resultado de las
siguientes operaciones?
2a2a2a
(2a)(2a)(2a)
Para fomentar la familiarizacin con el material, pida a los alumnos que
construyan varias figuras con una misma rea, y que calculen su permetro.
Por ejemplo, el rea de la siguiente figura es 4x4 y su permetro es 2x10.
Representa
expresiones
algebraicas con
bloques.
Interpreta y escribe
expresiones
algebraicas.
Contenidos Aprendizaje esperado Estndar
8.2.1 Resolucin de problemas que impliquen adicin y
sustraccin de monomios Resuelve
problemas aditivos
con monomios y
polinomios.
Resuelve
problemas
aditivos que
impliquen
efectuar clculos
con expresiones
algebraicas. 8.2.2 Resolucin de problemas que impliquen adicin y
sustraccin de polinomios
Bloque 2
Eje. Sentido numrico y pensamiento algebraico
Tema. Problemas aditivos
8.2.1 Resolucin de problemas que impliquen adicin y sustraccin de monomios
1 1 1 1
x x x x
-
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Leccin 26 Adicin y sustraccin de monomios
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
En esta leccin se pretende que los estudiantes identifiquen trminos
semejantes y hagan sumas y restas con ellos.
Antes de iniciar la leccin, pida a los alumnos que formen, con
su rompecabezas algebraico, figuras que cumplan las siguientes
caractersticas.
Un rectngulo de x2xde rea. Solicite que den a conocer su
permetro.
Un cuadrado de lado x2. Pida que indiquen el rea y el permetro.
Solicite el permetro de todas las figuras de la actividad 1.
Es conveniente que antes de que los estudiantes lean en el libro elconcepto trminos semejantesles pida que lo expresen con sus palabras
mediante esta pregunta: qu monomios, al sumarse o restarse, dan como
resultado otro monomio?
Las actividades 2 y 3 tienen la finalidad de consolidar los conocimientos
que adquirieron en la actividad anterior, pero omitiendo el apoyo de los
bloques.
Plantea e interpreta
expresiones
algebraicas.
Distingue los elementos
de una expresin
algebraica y comienzaa operar con ella.
Otros recursos. En www.e-sm.com.mx/GDmatcom2-26 los alumnos hallarn informacin y ejercicios desuma y resta de monomios.
Eje.Sentido numrico y pensamiento algebraico
Tema.Problemas aditivos
8.2.2 Resolucin de problemas que impliquen adicin y sustraccin de polinomios
Contenidos Aprendizaje esperado Estndar
8.2.1 Resolucin de problemas que impliquen adicin y
sustraccin de monomios
Resuelve
problemas aditivos
con monomios y
polinomios.
Resuelveproblemas
aditivos que
impliquen
efectuar clculos
con expresiones
algebraicas. 8.2.2 Resolucin de problemas que impliquen adicin y
sustraccin de polinomios
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Leccin 27 Problemas con polinomios I
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
En esta leccin se pretende que los alumnos consoliden los conocimientosde la leccin anterior sin la ayuda del rompecabezas.
En las actividades 1 a 3 los estudiantes deben trabajar con expresiones
algebraicas relacionadas con modelos geomtricos. Esto sirve para dar
significado a la suma y resta de polinomios.
En la actividad 4 deben resolver expresiones algebraicas en situaciones
menos concretas que en las actividades anteriores.
Los ejemplos planteados en la leccin pueden usarse para explorar
los diferentes tipos de expresiones algebraicas (monomios, binomios,
trinomios). Para ello, proponga elaborar una tabla como la siguiente.
Monomios Binomios Trinomios
18a 12x8 5y2z
7
18
Solicite que los estudiantes expliquen con sus palabras la definicin de
polinomio.
Plantea e interpreta
expresiones
algebraicas.
Hace sumas y restas
de expresiones
algebraicas.
Leccin 28 Problemas con polinomios II
Estrategias de enseanza y aprendizaje Indicadores dedesempeo
Proponga a los alumnos que encuentren la otra figura de la sucesin que
puede transformarse en un rectngulo; es decir, la figura 5.
Es probable que los estudiantes intenten resolver las situaciones de la
actividad 3 basndose en clculos y aproximaciones sucesivas. En este
caso, insista en que usen las expresiones algebraicas para modelar cada
situacin con ellas. Por ejemplo, en la actividad 3 a) deben plantear lo
siguiente.
x(x1)(x2)(x3)(x4)35
Despus deben llegar a la ecuacin 5x1035 y resolverla.
Calcula reas y
permetros con
operaciones de adicin
y sustraccin de
polinomios.
Plantea ecuaciones
para resolverproblemas.
Interpreta las variables
en una expresin
algebraica como
nmeros generales y
como incgnitas.
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Leccin 29 Adicin de polinomios
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
En esta leccin se pretende que los alumnos justifiquen el algoritmo usual
para la adicin de polinomios. Solicite que expliquen cmo resolvieron las sumas en la actividad 2 y que
comparen el uso de los signos con los de las sumas y restas con nmeros
negativos.
Otro recurso es el uso de cuadros mgicos basados en expresiones
algebraicas. Por ejemplo, plantee la siguiente actividad.
Cules de los siguientes cuadros son mgicos?
Efecta sumas de
polinomios.
10x5 3x2 8x3
5x 7x2 9x4
6x1 11x6 4x1
3x1 3x3 4x
5x1 3x1 4x1
x 2x1 2x
8x x 7 6x2
3x5 5x3 7x1
4x4 9x1 2x6
Leccin 30 Sustraccin de polinomios
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
En esta leccin se pretende que los alumnos justifiquen el algoritmo
usual para sustracciones de polinomios y transformen sustracciones en
adiciones empleando el inverso aditivo. Plantee situaciones como la siguiente: a una figura de rea 3x22x1
se le resta una figura de rea x21, qu rea tiene la figura resultante?
Otra manera de obtener el inverso aditivo es multiplicar un polinomio por
1, como en el siguiente ejemplo.
El inverso de 4x33x4 es4x33x4, ya que
(1)(4x33x4)4x33x4
Efecta restas de
polinomios.
Otros recursos. En www.e-sm.com.mx/GDmatcom2-30 los alumnos encontrarn una animacinrelacionada con la suma y resta de monomios.
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Eje.Sentido numrico y pensamiento algebraico
Tema.Problemas multiplicativos
8.2.3 Identificacin y bsqueda de expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geomtricos
Contenidos Aprendizaje esperado Estndar
8.1.1 Resolucin de multiplicaciones y divisiones con
nmeros enteros
Resuelve
problemas que
implican efectuar
multiplicaciones
o divisiones con
expresiones
algebraicas.
Resuelve
problemas
multiplicativos
con expresiones
algebraicas a
excepcin de ladivisin entre
polinomios.
8.2.3 Identificacin y bsqueda de expresiones
algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos
geomtricos
8.3.1 Resolucin de clculos numricos que implican
usar la jerarqua de las operaciones y los parntesis, si
fuera necesario, en problemas y clculos con nmerosenteros, decimales y fraccionarios
8.3.2 Resolucin de problemas multiplicativos que
impliquen el uso de expresiones algebraicas, a
excepcin de la divisin entre polinomios
Leccin 31 Expresiones algebraicas equivalentes I
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
La finalidad de esta leccin es que los alumnos identifiquen expresiones
algebraicas equivalentes; es decir, que valgan lo mismo dado cualquier valor de
sus variables.
Propicie la competencia comunicativa de los estudiantes con las siguientes
actividades.
Propongan modelos geomtricos que representen las siguientes expresiones
y encuentren un polinomio equivalente a cada una.
a) x(x3) b) (2x)(2x) c) 2x(x2)
Con sus rompecabezas algebraicos formen rectngulos o cuadrados con las
siguientes reas, y descubran las dimensiones de sus bases y alturas.
a) x23x b)x24x3 c)x22x1
Evalen las expresiones para diez valores distintos, determinen qu
expresiones son equivalentes y cules no.
a)x(x1)x22x1 b) 2x(x2)2x24x
Identifica
expresiones
algebraicas
equivalentes.
Simplificaexpresiones
algebraicas.
-
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Leccin 32 Expresiones algebraicas equivalentes II
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
Solicite a los alumnos que representen, con el rompecabezas, otrasequivalencias de expresiones algebraicas como las del ejemplo.
x23x2 (x22x) (x2) x2x2x2
Es importante que los estudiantes comprendan que siempre que se
evalen dos expresiones equivalentes asignando un valor a cada variable,
el resultado ser el mismo.
Representa expresiones
algebraicas.
Identifica expresiones
algebraicas
equivalentes.
Simplifica expresiones
algebraicas.
Eje.Forma, espacio y medida
Tema.Medida
8.2.4 Justificacin de las frmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirmides rectos
Contenidos Aprendizaje esperado Estndar
6.3.5 Comparacin del volumen de dos o ms
cuerpos, ya sea directamente o mediante una unidad
intermediaria Resuelve
problemas en los
que sea necesario
calcular cualquiera
de las variables de
las frmulas para
obtener el volumen
de cubos, prismas
y pirmides
rectos. Establece
relaciones de
variacin entre
dichos trminos.
Calcula
cualquiera de
las variables que
intervienen en
las frmulas de
permetro, rea y
volumen.
6.4.6 Clculo del volumen de prismas mediante el
conteo de unidades
8.2.4 Justificacin de las frmulas para calcular el
volumen de cubos, prismas y pirmides rectos
8.2.5 Estimacin y clculo del volumen de cubos,
prismas y pirmides rectos o de cualquier trmino
implicado en las frmulas. Anlisis de las relaciones
de variacin entre diferentes medidas de prismas y
pirmides
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Juegos y retos. Rompecabezas tridimensionales
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
La finalidad de esta seccin es que los alumnos descubran la relacin entre los
volmenes de prismas con diferentes bases pero con la misma altura.
En el caso de los prismas de los desarrollos 1, 2 y 3, los alumnos deben darse
cuenta de que la base del desarrollo 2 es el doble de las del desarrollo 3.
Y que la base del desarrollo 1 es igual a la suma de la base del desarrollo 2 y
dos de la del 3.
La base del desarrollo 4
puede triangularse de la
siguiente forma.
Identifica y
relaciona el
volumen de
diferentes cuerpos
geomtricos.
Leccin 33 Volumen de cubos y prismas rectangulares
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
Esta leccin trata acerca de las unidades de volumen y sus equivalencias, as
como la justificacin de la frmula del volumen de cubos y prismas.
Proponga que, usando la informacin de la pgina, los estudiantes estimenel volumen de diferentes cuerpos. Por ejemplo, pregunte cul es el volumen
del saln, de una caja de zapatos y de un dado. Verifique que expresen estos
volmenes con las unidades adecuadas.
Pida a los alumnos que justifiquen con sus palabras la frmula para obtener el
volumen de un cubo y de un prisma rectangular.
Desarrolla
estrategias decomparacin entre
volmenes de
distintos objetos.
Otros recursos. En www.e-sm.com.mx/GDmatcom2-33 los alumnos hallarn un video sobre la obtencin
del volumen de prismas rectos.
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5/24/2018 Bloque 0
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32
Leccin 34 Volumen de prismas
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
En esta leccin los alumnos deben justificar la frmula para obtener el
volumen de cualquier prisma recto.
Otra manera de estudiar la relacin entre los cuerpos geomtricos es
pedirles que elaboren un cubo con plastilina y lo corten en dos prismas
triangulares, como se muestra en el esquema.
Es recomendable plantear preguntas como las siguientes: cmo se
obtiene el volumen del cubo?, qu figura tiene la base de los cuerpos
que cort?, qu relacin tienen con el rea de la base del cubo?, cmo
calcularan el volumen de los nuevos cuerpos?
Los alumnos pueden justificar el clculo de un prisma cuya base es un
polgono cualquiera notando que pueden dividirlo en tringulos.
Calcula el volumen de
prismas.
Estima el volumen de
prismas.
Otros recursos. En www.e-sm.com.mx/GDmatcom2-34 los estudiantes encontrarn una presentacincon informacin y actividades sobre los prismas.
Leccin 35 Volumen de pirmides
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
En esta leccin los alumnos deben justificar la frmula para obtener el
volumen de cualquier pirmide recta.
Adems de las preguntas del texto, cuestione lo siguiente para que
descubran las relaciones implcitas entre las dimensiones del prisma y la
pirmide. Qu tienen en comn?
En qu son diferentes?
Cuntas pirmides tienen el mismo volumen que el prisma?
Cmo calcularan el volumen de la pirmide conociendo el del prisma?
Calcula el volumen de
pirmides. Estima el volumen de
pirmides.
Otros recursos. En www.e-sm.com.mx/GDmatcom2-35 se encuentra un video con informacin yactividades sobre las pirmides.
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33
Eje.Forma, espacio y medida
Tema.Medida
8.2.5 Estimacin y clculo del volumen de cubos, prismas y pirmides rectos o de cualquier trmino implicado en las
frmulas. Anlisis de las relaciones de variacin entre diferentes medidas de prismas y pirmides
Contenidos Aprendizaje esperado Estndar
6.3.5 Comparacin del volumen de dos o ms
cuerpos, ya sea directamente o mediante una unidad
intermediaria Resuelve
problemas en los
que sea necesario
calcular cualquiera
de las variables de
las frmulas para
obtener el volumen
de cubos, prismas
y pirmides
rectos. Establece
relaciones de
variacin entre
dichos trminos.
Calcula
cualquiera de
las variables que
intervienen en
las frmulas de
permetro, rea y
volumen.
6.4.6 Clculo del volumen de prismas mediante el
conteo de unidades
8.2.4 Justificacin de las frmulas para calcular el
volumen de cubos, prismas y pirmides rectos
8.2.5 Estimacin y clculo del volumen de cubos,
prismas y pirmides rectos o de cualquier trmino
implicado en las frmulas. Anlisis de las relaciones
de variacin entre diferentes medidas de prismas y
pirmides
Leccin 36 Problemas de volumen
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
En esta leccin los alumnos deben aplicar los conocimientos adquiridos
para resolver problemas que implican establecer relaciones entre distintas
dimensiones de los prismas.
Proponga situaciones en las que los estudiantes calculen diferentes datos de
una pirmide asociados con el volumen, como el siguiente ejemplo.
Pirmide Lado (m) Altura (m) Volumen (m3)
Keops 230.12 146.44 2 584 920.5
Kefrn 214.43 142.945
Seneferu 219.66 1 648 687.9
Huni 91.525 624 188.86
Senusret 104.6 77.0737
Estima y calcula
el volumen
de prismas y
pirmides. Relaciona la
variacin entre
las medidas
de prismas y
pirmides.
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34
Eje.Manejo de la informacin
Tema.Proporcionalidad y funciones
8.2.6 Identificacin y resolucin de situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos
Contenidos Aprendizaje esperado Estndar
8.2.6 Identificacin y resolucin de situaciones
de proporcionalidad inversa mediante diversos
procedimientos
Identifica,
interpreta y
expresa relaciones
de proporcionalidad
directa o inversa,
algebraicamente o
mediante tablas y
grficas.
Resuelve
problemas
vinculados a la
proporcionalidad
directa, inversa
o mltiple, como
porcentajes,
escalas, inters
simple o
compuesto.
8.3.6 Representacin algebraica y anlisis de una
relacin de proporcionalidad ykx, asociando los
significados de las variables con las cantidades que
intervienen en dicha relacin
8.4.4 Anlisis de las caractersticas de una grfica que
represente una relacin de proporcionalidad en el plano
cartesiano
Leccin 37 Proporcionalidad inversa I
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
En esta leccin se introduce el concepto deproporcionalidad inversa.
Pida a los alumnos que encuentren ejemplos de proporcionalidad inversa
en la vida cotidiana, tales como:
la relacin entre el nmero de pacientes que asiste a un consultorio
y el tiempo que el mdico le dedica a cada uno dentro de un horario
limitado,
la relacin entre el nmero de galletas de una caja que se van a repartir
a distintos grupos de nios, y el nmero de galletas que le toca a cada
uno,
la relacin entre el nmero de personas que pintan una barda y el
tiempo que tardan en hacerlo.
Pdales que de cada ejemplo expliquen por qu son situaciones de
proporcionalidad inversa y cul es la constante de proporcionalidad.
Resuelve problemas
de proporcionalidad
inversa.
Otros recursos. En www.e-sm.com.mx/GDmatcom2-37 encontrarn informacin y actividades de
proporcionalidad inversa.
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35
Juegos y retos. Dos dados
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
El propsito es que los alumnos registren los resultados para determinar, de
manera intuitiva, si el juego es justo.
Despus de que los alumnos efecten los juegos Dos dados y Carrera de
monedas, plantee preguntas como las siguientes para justificar si son justos
o no.
Creen que un jugador tiene ms probabilidad de ganar que los dems?,
por qu?
A qu se debe que un jugador tiene ms oportunidades de ganar? En el juego de las ruletas los alumnos pueden cuantificar de manera intuitiva
que un jugador tiene ms probabilidades de ganar, como se muestra en el
ejemplo.
En la ruleta 1, el jugador amarillo tiene tres veces ms probabilidades de
acertar que el jugador rojo.
En la ruleta 2, el jugador amarillo tiene dos veces ms probabilidades de
acertar que el jugador rojo.
En la ruleta 3, el jugador amarillo tiene dos de cinco oportunidades de
acertar, en cambio el jugador rojo tiene tres de cinco.
Efectuar
experimentos
aleatorios. Registrar los
resultados de
un experimento
aleatorio.
Leccin 38 Proporcionalidad inversa II
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
En esta leccin se consolida el concepto de proporcionalidad inversa y se
pretende que el alumno identifique las caractersticas de las situaciones de
proporcionalidad inversa.
Es importante hacer hincapi en la diferencia entre la proporcionalidad
directa e inversa.
Proporcionalidad directa. Si una cantidad aumenta, la otra tambin; si
una disminuye, la otra tambin lo hace. El cociente entre dos cantidades
correspondientes permanece constante.
Proporcionalidad inversa. Mientras una variable aumenta, la otra
disminuye. El producto entre las cantidades correspondientes es
constante.
Las condiciones anteriores deben ser verificadas por los alumnos paradistinguir entre situaciones de proporcionalidad directa (como la de los
engranes) e inversa (como el caso de los trozos de alambre) o en las que
no se presenta ninguna de estas dos (el caso del rea del cuadrado).
Puede recurrir al juego de las ruletas de la pgina 109 y hacer notar que
las puntuaciones de las ruletas, para que sean justas, deben guardar una
relacin de proporcionalidad inversa con el rea de cada regin.
Resuelve problemas
de proporcionalidad
inversa.
Identifica las
caractersticas de
una situacin de
proporcionalidadinversa.
Otros recursos. En www.e-sm.com.mx/GDmatcom2-38 hay informacin y actividades de
proporcionalidad inversa.
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36
Eje.Manejo de la informacin
Tema.Nociones de probabilidad
8.2.7 Realizacin de experimentos aleatorios y registro de resultados para un acercamiento a la probabilidad
frecuencial. Relacin de sta con la probabilidad terica
Contenidos Aprendizaje esperado Estndar
8.1.8 Comparacin de dos o ms eventos a partir de sus
resultados posibles, usando relaciones como: es ms
probable que, es menos probable que
Compara
cualitativamente
la probabilidad de
eventos simples.
Calcula la
probabilidad
de eventos
complementarios,mutuamente
excluyentes e
independientes.
8.2.7 Realizacin de experimentos aleatorios y registro
de resultados para un acercamiento a la probabilidadfrecuencial. Relacin de sta con la probabilidad terica Explica la relacin
que existe entre
la probabilidad
frecuencial y la
probabilidad terica. 8.5.7 Comparacin de las grficas de dos distribuciones
(frecuencial y terica) al realizar muchas veces un
experimento aleatorio
Leccin 39 Probabilidad clsica y frecuencial I
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
En esta leccin se pretende que los alumnos distingan entre la probabilidad
clsica y la terica.
En las actividades 1 y 2 deben comparar la probabilidad de eventos
basndose en situaciones en las que no se conoce el resultado, pero
se cuenta con un registro de las frecuencias. Haga notar que se puede
determinar la mayor o menor probabilidad de los eventos analizando estos
registros.
En la actividad 3, los alumnos deben calcular la probabilidad basndose
en una situacin en la que conocen los posibles resultados y la forma de
obtenerlos, pero no tienen un registro previo.
Pida que los estudiantes expresen con sus palabras las diferencias entre la
probabilidad frecuencial y la clsica.
Resuelve problemas
que involucran
la probabilidad
frecuencial.
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Leccin 40 Probabilidad clsica y frecuencial II
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
La finalidad de esta leccin es que los alumnos comprendan que la
probabilidad frecuencial se aproxima a la probabilidad clsica en la medida
que se aumenta el nmero de repeticiones.
En la actividad 1 deben comparar la probabilidad frecuencial y la clsica.
Pida que al calcular la probabilidad frecuencial se registren los resultados
de todo el grupo.
Pregunte a los estudiantes cmo se calcula la probabilidad de que, al hacer
100 lanzamientos de una moneda, se obtengan 60 guilas y 40 soles.
Resuelve problemas
que involucran
probabilidad frecuencial
y probabilidad terica, y
la relacin entre ellas.
Identifica las
caractersticas de la
probabilidad frecuencial
y la terica.
Otros recursos. En www.e-sm.com.mx/GDmatcom2-40 hay informacin para los alumnos sobre laprobabilidad clsica y frecuencial.
Notas
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Juegos y retos. Cuatro cuatros
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
Invite a los alumnos a jugar correteando al 100Material:tres dados (dos de un color y el tercero de otro color) y un tablero,
como el que se muestra.
Forma de jugar
1.Cada jugador lanza un dado para ver quin juega primero. Quien obtenga el
nmero ms alto empieza.
2.Por turno, cada jugador lanza los tres dados y anota en la casillacorrespondiente el resultado de la suma de los dos dados del mismo color por el
nmero del otro dado.
3.Se repite el procedimiento, pero en cada jugada se suma el resultado anterior.
4.Gana la partida el jugador que primero acumule 100 puntos o ms.
Retome las primeras dos tiradas para pedirles que anoten las operaciones que
efectuaron para obtener el resultado.
Es probable que hagan sus registros sin anotar parntesis, pero este hecho
puede retomarse ms adelante.
Expresa las
operaciones de
distintas formas
para obtener unmismo resultado.
Contenidos Aprendizaje esperado Estndar
8.1.1 Resolucin de multiplicaciones y divisiones con
nmeros enteros
Resuelve
problemas que
implican efectuar
multiplicaciones
o divisiones conexpresiones
algebraicas.
Resuelve
problemas
multiplicativos
con expresiones
algebraicas a
excepcin de ladivisin entre
polinomios.
8.2.3 Identificacin y bsqueda de expresiones
algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos
geomtricos
8.3.1 Resolucin de clculos numricos que implican
usar la jerarqua de las operaciones y los parntesis, si
fuera necesario, en problemas y clculos con nmeros
enteros, decimales y fraccionarios
8.3.2 Resolucin de problemas multiplicativos que
impliquen el uso de expresiones algebraicas, a
excepcin de la divisin entre polinomios
Bloque 3
Eje. Sentido numrico y pensamiento algebraico
Tema. Problemas multiplicativos
8.3.1 Resolucin de clculos numricos que implican usar la jerarqua de las operaciones y los parntesis, si fuera
necesario, en problemas y clculos con nmeros enteros, decimales y fraccionarios
TiradaJugador 1 2 3 4 5 6 7 8 9
12
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Leccin 41 Jerarqua de las operaciones I
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
En esta leccin los alumnos aprendern la jerarqua de las operacionesbsicas (adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin) y el uso de los
parntesis en las expresiones aritmticas.
Para resaltar la importancia de los signos de agrupacin, pida que
los coloquen en las expresiones que propuso Antonio para que sean
verdaderas.
24 4 4 4 2 4 4 (44)
34 4 4 4 3 (44 4) 4
44 4 4 4 4 (44) 4 4
Retome la tabla que hicieron en el juego correteando al 100 y pida quecoloquen parntesis donde sea necesario.
Comprende la
necesidad de que
haya una jerarqua de
operaciones.
Aprende la jerarqua de
las operaciones y el uso
de parntesis.
Leccin 42 Jerarqua de las operaciones II
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
Con la finalidad de que los estudiantes reafirmen la jerarqua de las
operaciones en la calculadora, solicite que obtengan una cantidad
mediante tres operaciones. Por ejemplo:
Operacin 1 Operacin 2 Operacin 3 Resultado
3003 2 800 1 000
1 225
325
1 111
Pida que resuelvan el siguiente problema usando la calculadora.
Guillermo, Ulises y Vernica, tres hermanos, compraron un collar para su
mam. Si Guillermina cooper con $840.00, Ulises con la tercera parte delo que puso Guillermina y Vernica con la mitad del cudruple de lo que
aport Ulises, cunto cost el collar?
Despus de que resuelvan el problema, pdales que anoten una expresin
aritmtica que sirva para resolverlo teniendo en cuenta la jerarqua de las
operaciones.
Aprende a plantear
operaciones aritmticas
como estrategia para
resolver un problema
matemtico.
Resuelve problemas
aritmticos en los que
intervienen parntesis
y operacionescombinadas.
Otros recursos. En www.e-sm.com.mx/GDmatcom2-42 hay un video sobre la jerarqua de lasoperaciones.
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Eje.Sentido numrico y pensamiento algebraico
Tema.Problemas multiplicativos
8.3.2 Resolucin de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepcin de la
divisin entre polinomios
Contenidos Aprendizaje esperado Estndar
8.1.1 Resolucin de multiplicaciones y divisiones con
nmeros enteros
Resuelve
problemas que
implican efectuar
multiplicacioneso divisiones con
expresiones
algebraicas.
Resuelve
problemas
multiplicativos
con expresionesalgebraicas a
excepcin de la
divisin entre
polinomios.
8.2.3 Identificacin y bsqueda de expresiones
algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos
geomtricos
8.3.1 Resolucin de clculos numricos que implican
usar la jerarqua de las operaciones y los parntesis, si
fuera necesario, en problemas y clculos con nmeros
enteros, decimales y fraccionarios
8.3.2 Resolucin de problemas multiplicativos que
impliquen el uso de expresiones algebraicas, a
excepcin de la divisin entre polinomios
Leccin 43 Problemas multiplicativos I
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
En esta leccin se pretende que los alumnos estudien la propiedad distributiva
a partir de modelos geomtricos; ellos ya han trabajado la multiplicacin y
divisin con nmeros enteros en el bloque 1 y el uso de modelos geomtricos
para encontrar expresiones algebraicas en el bloque 2.
En la actividad 1 deben descubrir que las expresiones son equivalentes porque
ambas representan el rea del mismo rectngulo.
Pida que representen una suma de dos multiplicaciones como 6a5acon un
modelo geomtrico y que tambin representen (65)apara que observen que
las reas son iguales.
Proceda de la misma forma con el caso de la multiplicacin de un nmero por
una sustraccin de dos nmeros, por ejemplo (11 8)b.
Representa
multiplicaciones
con modelos
geomtricos.
Usa la propiedad
distributiva en la
multiplicacin.
Otros recursos. En www.e-sm.com.mx/GDmatcom2-43 se encuentra un video con ejercicios sobre la
propiedad distributiva.
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Leccin 44 Problemas multiplicativos II
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
En esta leccin se presenta la propiedad distributiva en una multiplicacin
de binomios a partir de modelos geomtricos.
Retome las expresiones que anotaron los alumnos en la actividad 1 para
reflexionar lo que sucede en los siguientes casos.
Cuando se multiplica una constante por una literal (5)(x).
Cuando se multiplican dos literales diferentes (p)(q).
Cuando se multiplica una literal por s misma (x)(x).
Es muy importante que argumenten correctamente en la actividad 3.
Sugiera que utilicen el modelo geomtrico para ello.
Pida que argumenten, usando un modelo geomtrico, la informacin que
aparece en el recuadro despus de la actividad 6.
Multiplica expresiones
algebraicas usando
las leyes de los
exponentes.
Representa
multiplicaciones de
binomios con modelos
geomtricos.
Leccin 45 Binomios al cuadrado
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
En esta leccin los alumnos aprendern a elevar un binomio al cuadrado.
Recuerde el significado de trmino semejanteas como el de monomio,
binomio, trinomioypolinomio. Puede utilizar ejemplos como los siguientes.
6a2bes semejante a8a2b.
2xyes semejante a 5xy.
1x
no es semejante a 3x.
4xyzno es semejante a4xyz
.
Al finalizar la leccin, pida a algunos estudiantes que resuelvan, en
el pizarrn, ejemplos de binomios al cuadrado con las siguientes
caractersticas.
Ambos trminos con signos positivos.
El primer trmino con signo negativo y el segundo con positivo
El primer trmino con signo positivo y el segundo con negativo.
Ambos trminos con signos negativos.
Emplea las propiedades
de la multiplicacin de
binomios.
Usa modelos
geomtricos para
deducir la frmula del
binomio al cuadrado.
Otros recursos. En www.e-sm.com.mx/GDmatcom2-45 hay informacin y un video sobre el cuadrado de
un binomio.
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5/24/2018 Bloque 0
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Leccin 46 Producto de binomios con trmino comn
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
En esta leccin se estudia el producto de binomios con un trmino comn y
el producto de binomios conjugados como un caso particular de este.
Los productos notables, que estudiaron los alumnos en esta leccin y en la
anterior, pueden usarse para efectuar clculos rpidos, por ejemplo:
Binomios al cuadrado542(504)2502(2)(4)(50)422 500 400 162 916
292(301)2302(2)(30)(1)12900 60 1 841
Binomios con trmino comn4547(405)(407) 402(57)(40)(5)(7)
1 600 480 352 115
3229 (302)(301)302(21)(30)(2)(1)
900
30
2
928 Binomios conjugados5446(504)(504)502422 500 162 484
Antes de proponerles que resuelvan operaciones como las anteriores,
sugiera que escriban en una tabla los cuadrados de 10, 20, 30, 40, etc.
Usa las propiedades
de la multiplicacin de
binomios.
Desarrolla el producto
de binomios.
Otros recursos. En www.e-sm.com.mx/GDmatcom2-46 hay un video sobre el producto de binomios conun trmino comn.
Eje.Forma, espacio y medida
Tema.Figuras y cuerpos
8.3.3 Formulacin de una regla que permita calcular la suma de los ngulos interiores de cualquier polgono
Contenidos Aprendizaje esperado Estndar
8.1.3 Identificacin de relaciones entre los ngulos
que se forman entre dos rectas paralelas cortadas
por una transversal. Justificacin de las relaciones
entre las medidas de los ngulos interiores de los
tringulos y paralelogramos Justifica la suma
de los ngulos
internos de
cualquier tringuloo polgono y utiliza
esta propiedad en
la resolucin de
problemas.
Utiliza la regla y el
comps para hacer
diversos trazos, como
alturas de tringulos,
mediatrices,
rotaciones, simetras,
etctera. Resuelve problemas
que implican construir
crculos y polgonos
regulares con base en
informacin diversa y
usa las relaciones entre
sus puntos y rectas
notables.
8.3.3 Formulacin de una regla que permitacalcular la suma de los ngulos interiores de
cualquier polgono
8.3.4 Anlisis y explicitacin de las caractersticas
de los polgonos que permiten cubrir el plano
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Leccin 47 ngulos interiores de polgonos
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
La finalidad de esta leccin es que los alumnos justifiquen la frmula para
obtener la suma de las medidas de los ngulos interiores de un polgonomediante triangulaciones.
La frmula obtenida no solo es til para los
polgonos convexos, es decir, aquellos cuyos
ngulos interiores miden menos de 180; en
el caso de los polgonos cncavos esta frmula tambien es vlida. Por
ejemplo, la estrella de cinco picos es un polgono de diez lados y puede
dividirse en ocho tringulos. Como los ngulos de los tringulos coinciden
con los de los la estrella, las medidas de los ngulos de este polgono
suman (10 2)180(8)1801 440.
Calcula la suma de los
ngulos interiores de
polgonos irregulares
y regulares mediante
triangulaciones.
Otros recursos. Los alumnos pueden consultar un video sobre este tema en ww.e-sm.com.mx/GDmatcom2-47
Eje.Forma, espacio y medidaTema.Figuras y cuerpos8.3.4 Anlisis y explicitacin de las caractersticas de los polgonos que permiten cubrir el plano
Contenidos Aprendizaje esperado Estndar
8.1.3 Identificacin de relaciones entre los ngulosque se forman entre dos rectas paralelas cortadas
por una transversal. Justificacin de las relaciones
entre las medidas de los ngulos interiores de los
tringulos y paralelogramos
Justifica la suma
de los ngulos
internos de
cualquier tringulo
o polgono y utiliza
esta propiedad enla resolucin de
problemas.
Utiliza la regla yel comps para
hacer diversostrazos, como alturasde tringulos,mediatrices,
rotaciones, simetras,etctera.
Resuelve problemasque implican
construir crculos ypolgonos regularescon base eninformacin diversa
y usa las relacionesentre sus puntos yrectas notables.
8.3.3 Formulacin de una regla que permita calcular
la suma de los ngulos interiores de cualquier
polgono
8.3.4 Anlisis y explicitacin de las caractersticas de
los polgonos que permiten cubrir el plano
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Leccin 48 Teselados I
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
En esta leccin se pretende que los alumnos reconozcan las caractersticas
de los polgonos regulares con los que se puede formar un teselado.
Es importante que hagan teselados con distintos polgonos para que
descubran que con los que s es posible, cumplen ciertas caractersticas.
Pida que ensayen con las siguientes figuras.
Para ayudar a que descubran esas caractersticas, pregunte: Cunto
mide cada ngulo interior de un pentgono regular? Si se juntan varios
ngulos interiores de un pentgono regular, se puede formar un ngulo
de 360?, por qu? Cunto mide cada ngulo interior de un hexgono
regular? Si se juntan varios ngulos interiores de un hexgono regular, se
puede formar un ngulo de 360?, por qu? Con qu otros ngulos de un
polgono regular es posible formar un ngulo de 360?.
Distingue las
caractersticas de los
polgonos que permiten
cubrir el plano.
Leccin 49 Teselados II
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
El propsito de la leccin es que los estudiantes observen teselados y
deduzcan qu distingue a los ngulos interiores de las figuras que los
forman.
En la actividad 1 deben calcular los ngulos que se piden con lo que
conocen sobre teselados y la medida de los ngulos de los polgonosregulares.
En la actividad 4 deben observar que el polgono tiene dos pares de
ngulos iguales y que el plano se cubre juntando grupos de tres y de
cuatro ngulos. Al observar el grupo de cuatro ngulos se puede deducir
que los cuatro son iguales y por lo tanto miden 90 y al fijarse en el grupo
de tres ngulos se infiere que el valor de los otros dos desconocidos se
calcula restando 144 de 360 y dividiendo entre 2.
Analiza las condiciones
que deben cumplir lasfiguras para cubrir el
plano.
Traza teselados con
distintas figuras.
113
225
135113
67 67120
90
90
120
242
74
22
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Juegos y retos. Teselados
Estrategias de enseanza y aprendizajeIndicadores de
desempeo
Retome la imagen de inicio de bloque y pregunte a los alumnos si las celdillas
constituyen un teselado. Pida que argumenten sus respuestas. Plantee el siguiente problema.
El piso de una piscina de 5 4 se
debe cubrir con mosaicos azules
como los que se muestran. Cmo
deben colocarse los mosaicos?
Traza teseladoscon distintas
figuras.
Otros recursos. Este tema se puede apoyar con la leccin Suma de los ngulos
interiores de un tringulo en SEP. (2000). Geometra dinmica.
Emat. Mxico: SEP/ILCE/Cinvestav/Conacyt, pp. 46-47.
Eje.Forma, espacio y medida
Tema.Medida8.3.5 Relacin entre el decmetro cbico y el litro. Deduccin de otras equivalencias entre unidades
de volumen y capacidad para lquidos y otros materiales. Equivalencia entre unidades del Sistema
Internacional de Medidas y
