Carl Friedrich Gauss

Para otros usos de este término, véase Gauss (desambiguación).

Carl Friedrich Gauss

Retrato de Carl Friedrich Gauss, por Christian Albrecht

Jensen

Nacimiento 30 de abril de 1777

Brunswick,   Sacro Imperio

Romano Germánico

Fallecimiento 23 de febrero de 1855(77 años)

Gotinga, Reino de Hanóver

Residencia Reino de Hanóver

Campo Matemático y físico

Instituciones Universidad de Gotinga

Alma máter Universidad de Helmstedt

Supervisor doctoral Johann Friedrich Pfaff

Estudiantes

destacados

Friedrich Bessel

Christoph Gudermann

Christian Ludwig Gerling

J. W. Richard Dedekind

Johann Encke

Johann Listing

Bernhard Riemann

Conocido por Teoría de números

Magnetismo

Cónyuge Johanna Osthoff

Mina Waldeck

Firma

Johann Carl Friedrich Gauss   (Gauß) (?·i) (Brunswick, 30 de

abril de 1777 – Gotinga, 23 de febrero de 1855), fue un matemático, astrónomo,geodesta,

y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de

números, el análisis matemático, lageometría diferencial, la estadística, el álgebra,

la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado «el príncipe de las matemáticas» y «el

matemático más grande desde la antigüedad», Gauss ha tenido una influencia notable en

muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos

que más influencia ha tenido en la Historia. Fue de los primeros en extender el concepto de

divisibilidad a otros conjuntos.

Gauss fue un niño prodigio, de quien existen muchas anécdotas acerca de su asombrosa

precocidad. Hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era apenas un adolescente

en el bachillerato y completó su magnum opus, Disquisitiones arithmeticae a los veintiún

años (1798), aunque fue publicado en 1801. Fue un trabajo fundamental para que se

consolidara la teoría de los números y ha moldeado esta área hasta los días presentes.

Índice

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1 Biografía

o 1.1 Juventud

o 1.2 Madurez

2 Disquisitiones arithmeticae

o 2.1 Contribuciones a la Teoría del Potencial

3 Publicaciones

4 Véase también

5 Referencias

6 Bibliografía

7 Enlaces externos

Biografía[editar]

Juventud[editar]

Gauss en un billete de 10 Marcos alemanes

Johann Carl Friedrich Gauss nació en el ducado de Brunswick, Alemania, el 30 de abril de

1777, en una familia campesina muy pobre: su abuelo era un humilde jardinero y

repartidor. Su padre nunca pudo superar la espantosa miseria con la que siempre convivió.

De pequeño Gauss fue respetuoso y obediente, y ya en su edad adulta nunca criticó a su

padre, quien murió poco después de que Gauss cumpliera 30 años, por su rudeza y

violencia para con él.

Desde muy pequeño, Gauss mostró su talento para los números y para el lenguaje.

Aprendió a leer solo y, sin que nadie lo ayudara, aprendió muy rápido la aritmética

elemental desde muy pequeño. En 1784, a los siete años de edad, ingresó a una de las

escuelas de primeras letras de Brunswick donde daba clases un maestro llamado Büttner,

quien corrigió rápidamente su lectura, le enseñó gramática, ortografía y caligrafía y

perfeccionó su talento matemático y lo animó a continuar el bachillerato, como consta en su

carta para que lo aceptaran en el Lyceum; pero quien usaba unos métodos severos y una

estricta disciplina, lo que desagradaba a alguien tan sensible. Se cuenta la anécdota de que,

a los dos años de estar en la escuela, durante la clase de Aritmética, el maestro propuso el

problema de sumar los números de una progresión aritmética.1Gauss halló la respuesta

correcta casi inmediatamente diciendo «Ligget se'» ('ya está'). Al acabar la hora se

comprobaron las soluciones y se vio que la solución de Gauss era correcta, mientras que no

lo eran muchas de las de sus compañeros.

Habiendo ingresado al bachillerato con el mecenazgo del duque de Brunswick, conoció al

matemático Martin Bartels quien fue su profesor y se aceleraron sus progresos en

Matemáticas. Ambos estudiaban juntos, se apoyaban y se ayudaban para descifrar y

entender los manuales que tenían sobre álgebra y análisis elemental. En estos años se

empezaron a gestar algunas de las ideas y formas de ver las matemáticas, que

caracterizaron posteriormente a Gauss. Se dio cuenta, por ejemplo, del poco rigor en

muchas demostraciones de los grandes matemáticos que le precedieron,

como Newton, Euler, Lagrange y otros más.

A los 12 años ya miraba con cierto recelo los fundamentos de la geometría, y a los 16 tuvo

sus primeras ideas intuitivas sobre la posibilidad de otro tipo de geometría. A los 17 años,

Gauss se dio a la tarea de completar lo que, a su juicio, habían dejado a medias sus

predecesores en materia de teoría de números. Así descubrió su pasión por la aritmética,

área en la que poco después tuvo sus primeros triunfos. Su gusto por la aritmética

prevaleció por toda su vida, ya que para él «La matemática es la reina de las ciencias y la

aritmética es la reina de las matemáticas». Gauss tenía 14 años cuando conoció al duque de

Brunswick Ferdinand. Este quedó fascinado por lo que había oído del muchacho, y por su

modestia y timidez, por lo que decidió hacerse cargo de todos los gastos de Gauss para

asegurar que su educación llegara a buen fin.

Al año siguiente de conocer al duque, Gauss ingresó al Collegium Carolinum para

continuar sus estudios, y lo que sorprendió a todos fue su facilidad para las lenguas.

Aprendió y dominó el griego y el latín en muy poco tiempo. Estuvo tres años en el

Collegium y, al salir, no tenía claro si quería dedicarse a las matemáticas o a la filología. En

esta época ya había descubierto su ley de los mínimos cuadrados, lo que indica el temprano

interés de Gauss por la teoría de errores de observación y su distribución.

Madurez[editar]

Distribución normal

En 1796 demostró que se puede dibujar un polígono regular de 17 lados con regla y

compás.

Fue el primero en probar rigurosamente el teorema fundamental del álgebra (disertación

para su tesis doctoral en 1799), aunque una prueba casi completa de dicho teorema fue

hecha por Jean Le Rond d'Alembert anteriormente.

En 1801 publicó el libro Disquisitiones arithmeticae, con seis secciones dedicadas a

la Teoría de números, dándole a esta rama de las matemáticas una estructura sistematizada.

En la última sección del libro expone su tesis doctoral. Ese mismo año predijo la órbita

de Ceres aproximando parámetros por mínimos cuadrados.

En 1809 fue nombrado director del Observatorio de Gotinga. En este mismo año

publicó Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem

ambientium describiendo cómo calcular la órbita de un planeta y cómo refinarla

posteriormente. Profundizó sobre ecuaciones diferenciales y secciones cónicas.

Gauss murió en Gotinga el 23 de febrero de 1855.

Disquisitiones arithmeticae[editar]

Artículo principal: Disquisitiones arithmeticae.

Cubierta de la edición original deDisquisitiones arithmeticae de Carl Friedrich Gauss, libro

fundamental de lateoría de números.

La primera estancia de Gauss en Gotinga duró tres años, que fueron de los más productivos

de su vida. Regresó a su ciudad natal Brunswick a finales de 1798 sin haber recibido

ningún título en la Universidad, pero en ese momento su primera obra

maestra,Disquisitiones arithmeticae, estaba casi lista aunque no se publicó por primera vez

hasta 1801.

Este libro, escrito en latín, está dedicado a su mecenas, el duque Ferdinand, por quien

Gauss sentía mucho respeto y agradecimiento. Es un tratado de la teoría de números en el

que se sintetiza y perfecciona todo el trabajo previo en esta área. La obra consta de 8

capítulos pero el octavo no se pudo imprimir por cuestiones financieras. El teorema

fundamental del álgebra establece que un polinomio en una variable, no constante y a

coeficientes complejos, tiene tantas raíces como su grado.

Contribuciones a la Teoría del Potencial[editar]

El Teorema de la divergencia de Gauss, de 1835 y publicado apenas en 1867, es

fundamental para la teoría del potencial y la física. Coloca en un campo vectorial la integral

del volumen para la divergencia de un campo vectorial en relación con la integral de

superficie del campo vectorial alrededor de dicho volumen.

Publicaciones[editar]

1799: Disertación sobre el teorema fundamental del álgebra, con el título: Demonstratio

nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis

in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse ("Nuevas pruebas del teorema

donde cada función integral algebraica de una variable puede resolverse en factores

reales [i.e. polinomiales] de primer o segundo grado")

1801: Disquisitiones Arithmeticae

1809: Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem

ambientium (Theorie der Bewegung der Himmelskörper, die die Sonne in

Kegelschnitten umkreisen), trad. al inglés × C. H. Davis, reimpreso en 1963, Dover,

NY

1821, 1823 & 1826: Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae.

Drei Abhandlungen betreffend die Wahrscheinlichkeitsrechnung als Grundlage des

Gauß'schen Fehlerfortpflanzungsgesetzes. trad. al inglés × G. W. Stewart, 1987,

Society for Industrial Mathematics.

1827: Disquisitiones generales circa superficies curvas, Commentationes Societatis

Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores. Volume VI, pp. 99-146. "General

Investigations of Curved Surfaces" (edición de 1965) Raven Press, New York, trad. ×

A.M.Hiltebeitel & J.C.Morehead.

1843/44: Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie. Erste

Abhandlung, Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in

Göttingen. Zweiter Band , pp. 3-46

1846/47: Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie. Zweite

Abhandlung, Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in

Göttingen. Dritter Band , pp. 3-44

Mathematisches Tagebuch 1796–1814, Ostwaldts Klassiker, Harri Deutsch Verlag

2005, mit Anmerkungen von Neumamn, ISBN 978-3-8171-3402-1 (es gibt auch engl.

Übers. mit Anmerkungen von Jeremy Gray, Expositiones Math. 1984)

Obras colectivas de Gauss online, traducciones al alemán del texto en latín y

comentarios de varias autoridades

Karl Friedrich Gauss

(Brunswick, actual Alemania, 1777 - Gotinga, id., 1855) Matemático, físico y astrónomo alemán. Nacido en el seno de una familia humilde, desde muy

temprana edad Karl Friedrich Gauss dio muestras de una prodigiosa capacidad para las matemáticas (según la leyenda, a los tres años interrumpió a su padre cuando estaba ocupado en la contabilidad de su negocio para indicarle un error de cálculo), hasta el punto de ser recomendado al duque de Brunswick por sus profesores de la escuela primaria.

Karl Friedrich Gauss

El duque le proporcionó asistencia financiera en sus estudios secundarios y universitarios, que efectuó en la Universidad de Gotinga entre 1795 y 1798. Su tesis doctoral (1799) versó sobre el teorema fundamental del álgebra (que establece que toda ecuación algebraica de coeficientes complejos tiene soluciones igualmente complejas), que Gauss demostró.

En 1801 Gauss publicó una obra destinada a influir de forma decisiva en la conformación de la matemática del resto del siglo, y particularmente en el ámbito de la teoría de números, las Disquisiciones aritméticas, entre cuyos numerosos hallazgos cabe destacar: la primera prueba de la ley de la reciprocidad cuadrática; una solución algebraica al problema de cómo determinar si un polígono regular de n lados puede ser construido de manera geométrica (sin resolver desde los tiempos de Euclides); un tratamiento exhaustivo de la teoría de los números congruentes; y numerosos resultados con números y funciones de variable compleja (que volvería a tratar en 1831, describiendo el modo exacto de desarrollar una teoría completa sobre los mismos a partir de sus representaciones en el plano x, y) que marcaron el punto de partida de la moderna teoría de los números algebraicos.

Su fama como matemático creció considerablemente ese mismo año, cuando fue capaz de predecir con exactitud el comportamiento orbital del asteroide Ceres, avistado por primera vez pocos meses antes, para lo cual empleó el método de los mínimos cuadrados, desarrollado por él mismo en 1794 y aún

hoy día la base computacional de modernas herramientas de estimación astronómica.

En 1807 aceptó el puesto de profesor de astronomía en el Observatorio de Gotinga, cargo en el que permaneció toda su vida. Dos años más tarde, su primera esposa, con quien había contraído matrimonio en 1805, falleció al dar a luz a su tercer hijo; más tarde se casó en segundas nupcias y tuvo tres hijos más. En esos años Gauss maduró sus ideas sobre geometría no euclidiana, esto es, la construcción de una geometría lógicamente coherente que prescindiera del postulado de Euclides de las paralelas; aunque no publicó sus conclusiones, se adelantó en más de treinta años a los trabajos posteriores de Lobachewski y Bolyai.

Alrededor de 1820, ocupado en la correcta determinación matemática de la forma y el tamaño del globo terráqueo, Gauss desarrolló numerosas herramientas para el tratamiento de los datos observacionales, entre las cuales destaca la curva de distribución de errores que lleva su nombre, conocida también con el apelativo de distribución normal y que constituye uno de los pilares de la estadística.

Otros resultados asociados a su interés por la geodesia son la invención del heliotropo, y, en el campo de la matemática pura, sus ideas sobre el estudio de las características de las superficies curvas que, explicitadas en su obra Disquisitiones generales circa superficies curvas (1828), sentaron las bases de la moderna geometría diferencial. También mereció su atención el fenómeno del magnetismo, que culminó con la instalación del primer telégrafo eléctrico (1833). Íntimamente relacionados con sus investigaciones sobre dicha materia fueron los principios de la teoría matemática del potencial, que publicó en 1840.

Otras áreas de la física que Gauss estudió fueron la mecánica, la acústica, la capilaridad y, muy especialmente, la óptica, disciplina sobre la que publicó el tratado Investigaciones dióptricas (1841), en las cuales demostró que un sistema de lentes cualquiera es siempre reducible a una sola lente con las características adecuadas. Fue tal vez la última aportación fundamental de Karl Friedrich Gauss, un científico cuya profundidad de análisis, amplitud de intereses y rigor de tratamiento le merecieron en vida el apelativo de «príncipe de los matemáticos».

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

“El príncipe de los matemáticos” 

Antonio Pérez Sanz

IES Salvador Dalí. Madrid

No es exagerado este título póstumo, Príncipe de los Matemáticos, acuñado en una moneda,  con que el rey Jorge V de Hannover honró a Gauss tras su muerte. Según E.T Bell, y es una opinión compartida por la mayoría de los historiadores de la ciencia, Gauss junto a Arquímedes y Newton ocuparía el podium de los grandes genios de las matemáticas a lo largo de la Historia

 

No se puede entender el avance y la revolución de las matemáticas del siglo XIX sin la mítica figura de Gauss. Su figura ilumina de forma completa la primera mitad del siglo. Sus aportaciones se producen en todos los campos de las matemáticas, tanto puras – Teoría de Números, Análisis, Geometría – como aplicadas – Astronomía, Geodesia, Teoría de errores – y en Física –Magnetismo, Óptica, Teoría del potencial...

Este gran matemático alemán llevó las Matemáticas del siglo XIX a cumbres insospechadas unas décadas antes y elevó la Aritmética Superior a la cima de las Matemáticas, citando sus propias palabras, “las matemáticas son la reina de las ciencias y la aritmética la reina de las matemáticas”

 

 

 

La apacible vida de un genio precoz 

El 4 de mayo de 1777 el viejo párroco de la iglesia de Wendengraben, en Brunswick, Alemania, procede a inscribir en el registro parroquial al más reciente de sus nuevos feligreses: Johann Friedrich Carl; se trata de un niño varón, nacido cuatro días antes, el último día del mes de abril, el hijo de un humilde matrimonio, la pareja formada por Geghard Dietrich Gauss  y Dorothea Benze, ambos de 33 años.

Con el paso de los años, este niño abandonará su primer nombre Johann y será conocido en toda Europa como Carl Freidrich Gauss, así es como firmará sus obras.

 

Su padre, Geghard Dietrich, desempeñó a lo largo de su vida los oficios manuales más diversos: jardinero, como su padre, matarife, albañil, mantenedor de los canales de riego de la ciudad, maestro constructor de fuentes y hasta cajero de una sociedad de seguros y pompas fúnebres. Dorothea, su madre, nació en Velpke, una aldea próxima a Brunswick. Su padre era cantero y murió de tuberculosis a la edad de treinta años, dejando a la familia en una situación precaria. Dorothea tuvo que emigrar a Brunswick, junto a su hermano Friedrich, cuando contaba 26 años para trabajar de criada. Esta fue su ocupación hasta que en 1776 contrajo matrimonio con el versátil Geghard, que había enviudado unos años antes.

 

En el seno de esta humilde familia, muy alejada de los salones ilustrados de la nobleza germana, el joven Gauss va a dar muestras tempranas de su genio precoz. Él mismo, ya anciano, acostumbraba a alardear de haber aprendido a contar antes que a escribir y de haber aprendido a leer por sí mismo, deletreando las letras de los nombres de los parientes y amigos de la familia. Y a él le debemos el relato de la anécdota que le coloca como el más precoz de los matemáticos. Cuando tenía tan sólo tres años, una mañana de un sábado de verano, cuando su padre procedía a efectuar las cuentas para abonar los salarios de los operarios a su cargo, el niño le sorprende afirmando que la suma está mal hecha y dando el resultado correcto.   El repaso posterior de Gerhard dio la razón al niño. Nadie le había enseñado los números y mucho menos a sumar.

 

“Ligget se!” (¡Aquí está!)

 

A los siete años, tras serios esfuerzos de Dorothea para convencer al padre, Gauss ingresa en la escuela primaria, una vieja escuela, la Katherinen Volkschule, dirigida por J.G Büttner, donde compartirá aula con otros cien escolares. La disciplina férrea parecía ser el único argumento pedagógico de Büttner, y de casi todos los maestros de la época.

 

A los nueve años Gauss asiste a su primera clase de Aritmética. Büttner propone a su centenar de pupilos un problema terrible: calcular la suma de los cien primeros números. Nada más terminar de proponer el problema, el jovencito Gauss traza un número en su pizarrín y lo deposita en la mesa del maestro exclamando: “Ligget se!” (¡Ahí está!). Había escrito 5.050. La respuesta correcta.Ante los ojos atónitos de Büttner y del resto de sus compañeros, Gauss había aplicado, por supuesto sin saberlo, el algoritmo de la suma de los términos de una progresión aritmética. Se había dado cuenta de que la suma de la primera y la última cifra daba el mismo resultado que la suma de la segunda y la penúltima, etc., es decir: 1+ 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... = 101

Como hay 50 parejas de números de esta forma el resultado se obtendrá multiplicando 101 . 50 = 5.050

“Ligget se!”

 

Büttner tenía un ayudante, un joven estudiante de 17 años, Martin Bartels, que se encargaba de las clases de escritura de los más pequeños. Pero, por suerte para Gauss y para la ciencia, Bartels era una amante de las matemáticas, y un buen matemático, que acabó obteniendo una cátedra en la universidad de Kazan en la que dio clases de 1808 a 1820 teniendo como alumno a Lobachevski. A pesar de la diferencia de edad, Gauss tenía 10 años, juntos se iniciaron en los caminos de las matemáticas. En los libros de Bartels, Gauss se familiarizó con el binomio de Newton para exponentes no enteros y con las series infinitas e inició los primeros pasos por el análisis. 

Con 11 años de edad Gauss dejará la Katherinen Volkschule para ingresar en el Gymnasium Catharineum, a pesar de las reticencias de su padre a que continúe sus estudios. Allí estudia latín y griego y al cabo de dos años accede al grado superior de la enseñanza secundaria. Su fama se empieza a extender por los círculos cultivados de Brunswick y llegará a oídos del duque Karl Wilhelm Ferdinand (1735-1806). Así, en 1791, apadrinado por E.A.W. Zimmerman (1743-1815), profesor de Collegium Carolinum y consejero provincial del duque, éste le recibe en audiencia. Gauss es un adolescente de 14 años que deja impresionado al

anciano duque con su habilidad de cálculo. El duque le proporcionará los fondos para que pueda proseguir su formación y le regalará las tablas de logaritmos elaboradas por Johann Carl Schulze. 

El 18 de febrero de 1792, antes de cumplir los 15 años hace su inscripción en el Collegium Carolinum de Brunswick. En este colegio da clases de matemáticas y ciencias naturales  E. A W. Von Zimmermann (1743-1815) su valedor ante el duque.

 

Gauss permanecerá en él hasta 1795, estudiando lenguas clásicas, literatura, filosofía y, por supuesto, matemáticas superiores, siendo un alumno brillante en todas ellas. Entre sus lecturas de matemáticas de esta época están los Principia Mathematica de Newton, el Ars Conjectandi de Jackob Bernoulli y algunas de las memorias de Euler. En el Collegium Carolinum Gauss iniciará alguna de sus futuras investigaciones matemáticas, según sus propias confesiones posteriores, como la distribución de los números primos o los fundamentos de la geometría.

 

Cuando en el otoño de 1795 se traslada a la Universidad Georgia Augusta de Göttingen, con una beca del Duque. Gauss aún no ha decidido su futuro académico dudando entre los estudios de Filología clásica y las Matemáticas. Las lecciones de matemáticas, no muy buenas según la opinión de Gauss; las impartía el anciano profesor Gotthelf Abraham Kästner que tenía entonces 76 años. En esta época conoce a Wolfgang (Farkas) Bolyai, que se incorporó a la universidad un año después que él. Gauss, unos años más tarde llegó a afirmar:

“Bolyai fue el único que supo interpretar mis criterios metafísicos sobre las Matemáticas”.  Y también que Bolyai fue el “espíritu más complicado que jamás conocí”

 

Bolyai es más explícito al hablar de su amistad:

“Nos unía la pasión por las Matemáticas y nuestra conciencia moral, y así paseábamos durante largas horas en silencio, cada uno ocupado en sus propios pensamientos”

 

Construcción con regla y compás del polígono regular de 17 lados 

Desde su llegada a Göttingen el joven Gauss siguió desarrollando de forma autónoma sus investigaciones sobre números que había iniciado en el Collegium. Sin duda más fruto de estas investigaciones que de las enseñanzas de Kästner, cuando Gauss estaba en su casa de Brunswick, se va a producir un descubrimiento que será clave, no sólo en la carrera de Gauss, sino en el futuro de las matemáticas: el heptadecágono, el polígono regular de 17 lados se puede construir con regla y compás. Él mismo, muchos años más tarde, recordará el momento, en una carta que dirige a Gerling fechada el 6 de enero de 1819: “Fue el día 29 de marzo de 1796, durante unas vacaciones en Brunswick, y la casualidad no tuvo la menor participación en ello ya que fue fruto de esforzadas meditaciones; en la mañana del citado día, antes de levantarme de la cama, tuve la suerte de ver con la mayor claridad toda esta

correlación, de forma que en el mismo sitio e inmediatamente apliqué al heptadecágono la correspondiente confirmación numérica.” 

El día siguiente, el 30 de marzo, justo un mes antes de cumplir los 19 años, Gauss se decantará definitivamente por las matemáticas y hará su primera anotación en su diario de notas, un pequeño cuaderno de 19 páginas, que acompañará a Gauss hasta 1814, el diario científico más importante de la historia de las matemáticas, en el que irá anotando, a veces de forma críptica, los resultados matemáticos que le vienen a la cabeza, en total 144 anotaciones. Por este diario desfilará un alto porcentaje de los descubrimientos matemáticos del siglo XIX.. En este libro no fueron recogidos todos los descubrimientos de Gauss en el período prolífico de 1796 a 1814. Pero muchos de los anotados bastarían para establecer la prioridad de Gauss en campos, donde algunos de sus contemporáneos se niegan a creer que Gauss les precediera.Muchos hallazgos que quedaron enterrados durante décadas en este diario habrían encumbrado a media docena de grandes matemáticos de haber sido publicados. Algunos jamás se hicieron públicos durante la vida de Gauss, y nunca pretendió la prioridad cuando otros autores se le anticiparon. Sus anotaciones constituían descubrimientos esenciales de la Matemática del siglo XIX. Un documento que por desgracia para la ciencia no verá la luz hasta casi 50 años después de la muerte de Gauss

 “Principia quibus innititur sectio circuli, ac divisibilitas eiusdem geometrica in septemdecim partes, etc. Mart. 30 Brunsv.” Con tan sólo 18 años, el joven Gauss había hecho un descubrimiento que por sí solo le habría hecho pasar a la historia de las matemáticas. Un descubrimiento que constituía sólo la punta del iceberg de una teoría mucho más amplia que dará origen tres años más tarde a las Disquisitiones Arithmeticae, obra que Gauss va madurando durante su estancia en la universidad de Gottingën. Al terminar sus estudios Gauss deja de percibir la subvención del duque y regresa a la casa de sus padres en Brunswick. Por fortuna la situación no duró mucho tiempo. A principios de 1799 el duque le renueva su apoyo económico con la misma cuantía que cuando estaba estudiando. Esto le va a permitir continuar sin preocupaciones monetarias con sus investigaciones matemáticas, en concreto ultimar la obra que recogía todas sus conclusiones sobre los números, las Disquisitiones Arithmeticae. Ahora nos explicamos el encendido prefacio de Gauss manifestando su sincera agradecimiento al duque Karl Wilhelm Ferdinand. Gauss siempre fue una persona agradecida al duque, al fin y al cabo la persona que había hecho posible recibir una formación alejada de sus posibilidades familiares.

 

El Teorema Fundamental del Álgebra   [i]

 

Pero  los estímulos del duque no acabaron aquí, el mismo sufragará los gastos para que Gauss obtenga el doctorado en filosofía en la universidad de Helmstedt. Gauss leerá su tesis “in absentia” y dispensado del examen oral.

 

El título de su tesis: Demonstratio nova theoremattis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus posse, (Nueva demostración del teorema

que dice que toda función algebraica racional puede descomponerse en factores de primer o segundo grado con coeficientes reales).

 

El título contiene un ligero error que hará aún más grande al joven Gauss. No es una nueva demostración, es la primera demostración completa de la historia del Teorema fundamental del álgebra. El sueño del gran Euler. El presidente del tribunal es el mejor matemático germano de la época, Johann Friedrich Pfaff. Que este teorema cautivó a Gauss lo demuestra el hecho de que realizara tres demostraciones más del mismo. La segunda en 1815, basada en las ideas de Euler, rehuye los planteamientos geométricos y es el primer intento serio de una demostración exclusivamente algebraica. En la de 1816 ya utiliza expresamente los números complejos y de paso realiza una crítica a los intentos de otros matemáticos basados en métodos analíticos. La última demostración realizada en 1849 con motivo del cincuentenario de su tesis, es muy similar a la primera, pero en ella Gauss extiende el campo de variación de los coeficientes a los números complejos.  

 

1801. Un año glorioso 

El primer año del siglo XIX va a ser testigo del ascenso del joven Gauss, que cuenta con 24 años, a las más altas cimas de la matemática europea con el reconocimiento de toda la comunidad científica. Sus dos cartas de presentación: la publicación de las Disquisitiones Arithmeticae y el cálculo de la órbita de Ceres.

 

Disquisitiones arithmeticae 

Gauss inicia sus investigaciones sobre teoría de números durante su estancia en el Collegium Carolinum, en 1795. Pero acomete la elaboración de las Disquisitiones a lo largo de su estancia en la Universidad de Göttingen entre 1795 y 1798. Lo sabemos gracias a su diario científico en el que ya en 1796 aparecen dos de sus resultados más brillantes: la descomposición de todo número entero en tres triangulares y la construcción del heptadecágono regular. Ambos recogidos en las Disquisitiones.

 

A finales de 1798 Gauss entregará el manuscrito a un editor de Leipzig, pero dificultades económicas retrasarán la publicación hasta el verano de 1801.

 

Con las Disquisitiones, Gauss da una nueva orientación a la Teoría de Números, dejando de ser ésta una acumulación de resultados anecdóticos aislados para convertirse en una rama de las matemáticas tan importante como el análisis o la geometría.

 

En el prefacio, Gauss explica el contenido de esta obra, advirtiendo que tratará sobre los números enteros, excluyendo a menudo los fraccionarios y siempre a los irracionales, los sordos

como se les conocía hasta entonces. Su discurso tratará no de los temas de numerar y calcular, de los que se dedica la Aritmética elemental, sino de los aspectos propios de los números enteros de los que se ocupa la Aritmética Superior. En él afirma que en esa época desconocía muchos de los resultados contemporáneos: “desconocía todas las que habían sido elaboradas por los más modernos en este campo y estaba privado de todos los recursos mediante los cuales habría podido ayudarme un poco en estas cuestiones”.

 

Las Disquisitiones están organizadas en siete secciones:

 

1.      Números congruentes en general

2.      Congruencias de primer grado

3.      Residuos de potencias

4.      Congruencias de segundo grado

5.      Formas y ecuaciones indeterminadas de segundo grado

6.      Aplicaciones de las nociones anteriores

7.      Ecuaciones de las secciones de un círculo.

 

Un gran descubrimiento, una conquista revolucionaria de notación aritmética: las congruencias   [ii]

 

Dados dos números enteros a y b si su diferencia (a - b ó b - a) es exactamente divisible por el número m, decimos que a, b son congruentes respecto al módulo m , y simbolizamos esto escribiendo a b (mód m ) Así,

100 2 (mód 7), 35 2(mód 11).

 

La ventaja de esta notación es que recuerda la forma en que escribimos las ecuaciones algebraicas, trata la divisibilidad aritmética con una breve notación y permite "sumar, restar, multiplicar… congruencias", con tal de que el módulo sea el mismo en todas, para obtener otras congruencias. Y permite estudiar ecuaciones con congruencias: ax + b   c (mód m)

 

Como colofón a las dos primeras secciones Gauss aplica estos métodos a problemas históricos como el de dado un número A determinar la cantidad de números primos con A y menores que él.

Se trata de la célebre función  (A) introducida por Euler. Dando una fórmula general para su cálculo: Si A = a m b n c p... siendo a, b, c, ... primos,

 (A) = 

 

Y termina con la demostración del teorema fundamental de las congruencias polinómicas

Una congruencia de grado m, Ax m + Bx m-1 + ... +Mx + N  0 (mod p)

Cuyo módulo p es primo que no divide a A, no puede resolverse de más de m maneras diferentes o no puede tener más de m raíces no congruentes con relación a p. 

 

En la sección 3ª y 4º aborda los residuos cuadráticos y de potencias superiores. Dados r y m números enteros donde r no es divisible por m, si existe un número x tal que x 2 r (mód m), decimos que r es un residuo cuadrático de m, en caso contrario decimos que r es un no-residuo cuadrático de m.

Por ejemplo: 13 es residuo cuadrático de 17, pues la ecuación x 2 13 (mód 17) tiene soluciones x = 8, 25, 42

 

Demuestra Art. 49 y 50 el Pequeño Teorema de Fermat:

 

Si p es un número primo que no divide a a, a p -1 – 1 es siempre divisible por p.

 

Y el de Wilson:

 

El producto de todos los números menores que un número primo dado, aumentado en una unidad es siempre divisible por dicho número

 

En la sección 4ª Gauss nos proporciona la primera demostración de la ley de reciprocidad cuadrática, a la que denomina Theorema aureum. Art. 131 y siguientes:

 

Si p es primo de la forma 4n + 1, +p será un residuo o un no-residuo de todo primo que tomado positivamente sea un residuo o un no residuo de p. Si p es de la forma 4n + 3,    -p tiene la misma propiedad. 

En un lenguaje más asequible: Existe una reciprocidad entre el par de congruencias x 2 q (mód p ), x 2 p (mód q ) en la que tanto p como q son primos; ambas congruencias son posibles o ambas son imposibles, a no ser que tanto p como q den el resto 3 cuando se dividen por cuatro, en cuyo caso una de las congruencias es posible y la otra no.

Gauss contaba con esta demostración desde 1796, a los 19 años. Euler y Legendre lo habían intentado sin éxito como muy bien comenta el propio Gauss en el art. 151.

 

Sólo por esta demostración Gauss ya debería ser considerado como uno de los matemáticos más potentes de la época. Pero habría más, dentro de la misma obra.

 

Las secciones 6ª y 7ª tratan de las formas cuadráticas y sus aplicaciones.

 

Un número entero M puede representarse mediante la expresión ax2 + 2bxy + cy2 = M, donde a, b, c, x e y son números enteros.

 

A la expresión F = ax2 + 2bxy + cy2  Euler la denominó forma cuadrática.

 

Euler ya había utilizado las formas cuadráticas para abordar problemas de números enteros. El problema directo consiste en determinar todos los enteros M que se pueden representar por una forma dada. El inverso, y más interesante, consiste en dados M y a, b y c, encontrar los valores de x e y que representan a M.

Para Gauss es objetivo del estudio de formas es demostrar teoremas de teoría de números. Y a lo largo de la sección nos irá proporcionando unas cuantas joyas, algunas de ellas de incalculable valor. Una de ellas le hizo escribir el 16 de julio de 1796, en su diario, una de sus pocas manifestaciones de júbilo

 

:   Num = 

La alegría estaba más que justificada. El joven Gauss acababa de resolver uno de los retos del viejo Fermat. Y no un reto cualquiera; hasta el gran Euler se había estrellado con él.Esta vez Gauss iba a ser el primero en la historia en proporcionar la respuesta a uno de los innumerables enigmas de Fermat: 

Todo número entero positivo se puede escribir como suma de tres números triangulares 

La demostración de este resultado aparece en el art. 293 y es una consecuencia del estudio que Gauss realiza de las formas ternarias.

 

Sección 7ª. De las ecuaciones que definen las secciones del círculo

 

¿Qué tienen que ver las funciones que dependen del círculo, tan en boga a finales del siglo XVIII, como afirma el propio Gauss en el artículo de introducción de esta sección, con la aritmética superior, con la teoría de números?

 

El joven Gauss no se resiste a la tentación de incluir una sección que contenga su primer resultado estrella, aquel que en bifurcación vital del Collegium le inclinó a decantar su vida por el camino de las matemáticas en detrimento de las lenguas clásicas: la construcción con regla y compás del polígono regular de 17 lados. Aunque en apariencia este resultado tenga más que ver con la geometría o con el análisis que con la aritmética de números enteros.

Gauss va a dejar para su último artículo, el 366, un resultado que permite decidir los polígonos regulares construibles con regla y compás:

 

[Para poder seccionar geométricamente el círculo en N partes iguales]... se requiere que N no contenga ningún factor primo impar que no sea de la forma 2m +1, ni tampoco ningún factor primo de la forma 2m +1 más de una vez. De esta forma, se encuentran los 38 valores de N menores que 300:

 

2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272.

 

En aquel verano de 1801 Gauss había entrado con todos los honores en el parnaso de los genios matemáticos. A partir de este momento, y como vaticinara Bolyai a su madre en Brunswick, hacía sólo unos pocos años, Gauss se había convertido en el matemático más grande de Europa.

 

En el invierno también sería uno de los astrónomos más populares del viejo continente.

 

 

La órbita de Ceres 

Desde que en 1781 Herschel descubriera el planeta Urano, una fiebre por descubrir el esquivo planeta que los astrónomos Titius y Bode habían situado entre Marte y Júpiter.

 

El siglo XIX no puede empezar con mejores augurios en esta desesperada búsqueda. Exactamente la noche del primer día de enero de 1801, Giuseppe Piazzi, un clérigo de Palermo y astrónomo aficionado observa por primera vez lo que él piensa, como Herschel unos años antes, que es un nuevo cometa, un objeto de magnitud 8. Durante cuarenta y dos días, hasta la noche del 11 de febrero realiza el seguimiento del nuevo objeto en su viaje por el fondo de estrellas. Pero una inoportuna gripe le mantiene alejado del telescopio las noches siguientes. Cuando se reincorpora a la observación el astro ha dejado de ser visible durante la noche. Sencillamente ha desaparecido ocultado por el Sol. El corto periodo de observaciones no le permite fijar la órbita del “cometa” y predecir dónde volvería a aparecer en el cielo nocturno. Sus datos abarcaban sólo un arco de 9 grados de la órbita.

 

Cuando los datos de sus observaciones se divulgan un hecho parece claro, la distancia heliocéntrica del objeto lo sitúa entre Marte y Júpiter. En el mes de junio de ese mismo año el astrónomo alemán Franz von Zach utilizando los datos de Piazzi realiza un estudio previo de la órbita, sin ningún éxito.

 

Como el supuesto “cometa” no aparece por ninguna parte del firmamento, Zach envía los datos a un joven matemático de 24 años afincado en Gottingen, cuya fama se empieza extender por toda Alemania para que realice su propia estimación de la órbita. Se trata de Johann Friedrich Carl Gauss.

 

La posición del astro que se deducen de los cálculos de Gauss es muy diferente de todas las demás. Las predicciones de Zach y de otros astrónomos profesionales resultaron erróneas. No así las del joven Gauss, que puso en el intento además de su enorme capacidad de cálculo una de las herramientas matemáticas más fructífera para el cálculo de órbitas planetarias como se demostrará a lo largo del siglo: la ley de mínimos cuadrados, descubierta por Gauss unos seis años antes y que mantuvo sin publicar hasta 1809.

 

En diciembre, Zach decide por fin probar con las predicciones de Gauss y muy cerca de donde los cálculos teóricos de éste situaban el deseado objeto aparece un pequeño punto brillante; es la noche del 7 de diciembre. Las observaciones se prolongan todas las noches de diciembre, al menos todas en las que las condiciones meteorológicas lo permiten y por fin, el 1 de enero de 1802, Orbels en Bremen puede afirmar con toda certeza que el objeto observado encaja a la perfección con los datos de las observaciones de Piazzi de hace un año y con la órbita prevista teóricamente por Gauss. El pretendido cometa de Piazzi era en realidad un nuevo planeta que será observado por los astrónomos más prestigiosos a lo largo de los próximos meses en toda Europa: el 3 de febrero Maskelyne confirma su avistamiento en Greenwich, y unos días más tarde el propio Bode en Berlín y Méchain en París. Pero en el lugar del planeta perdido entre Marte y Júpiter no había uno, sino un rosario de pequeños planetas, los asteroides. Gracias a Ceres, al final del primer año del nuevo siglo, Gauss es además de uno de los matemáticos más notables, el astrónomo más popular de Europa. En marzo de 1802 Olbers descubre Pallas y plantea a Gauss la fijación de su órbita. El método de los mínimos cuadrados vuelve a manifestar su potencia... Orbels le propone la dirección del nuevo observatorio de Gottingën, aún por construir. En noviembre el joven Gauss, que cuenta con 25 años es nombrado miembro de la Real Sociedad de Ciencias de Gottingën. Tres meses

más tarde rechazará una oferta para instalarse en San Petersburgo como miembro de la Academia de Ciencias.  

La década triunfal. 1800-1810 

La primera década del siglo XIX es la década triunfal del joven matemático. En 1805 se casa con Johanna Ostoff con la que tendrá tres hijos: Joseph, Minna y Louis. Al año siguiente, poco después del nacimiento de su primer hijo, participará con el coronel francés Epailly en la triangulación de Brunswick, lo que dará origen a su interés por la geodesia. 

En 1807 es nombrado profesor en Gottingën y director de su observatorio astronómico que por los avatares políticos, la ocupación napoleónica de gran parte de los estados germánicos, no se terminará hasta 1816. Durante estos años prepara la que será la obra cumbre de la astronomía teórica durante más de medio siglo, la Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium (Teoría del movimiento de los cuerpos celestes que giran alrededor del Sol siguiendo secciones cónicas), publicada en 1809, una obra en dos volúmenes, el primero trata de las ecuaciones diferenciales, las secciones cónicas y las órbitas elípticas, en el segundo Gauss explica su método de mínimos cuadrados para la determinación de la órbita de un planeta. Aunque conocido y aplicado por Gauss desde 1796, la publicación

de Legendre de un método similar en 1806 alimentó una agria polémica entre ambos sobre la paternidad del mismo. Gauss es el padre de la moderna teoría de errores.

Descubrió que la función de distribución de los errores es  , la célebre campana de Gauss. En la memoria presentada a la Real Sociedad de Gottingen el 15 de febrero de 1821, titulada Método de Mínimos Cuadrados. Teoría de la combinación de las observaciones, Gauss desarrolla de forma completa y general sus ideas ya esbozadas en 1809 en Theoría motus corporum coelestium... Pero 1809 también será un año negro para Gauss; en octubre muere esposa al mes de dar a luz a su tercer hijo Louis, que morirá a los tres meses. Un año más tarde y tras rechazar una oferta de Humbolt para ocupar una plaza en la universidad de Berlín, Gauss contrae nuevo matrimonio con Minna Waldeck, amiga de Johanna, con la que tendrá dos hijos varones Eugen y Wilhelm y una hija Therèse. 

1810 -1830. Astronomía, Geodesia y Matemáticas. Desde 1810 hasta 1830 la mente de Gauss se ocupa de sus tareas como director del astronómico que se inaugurará en 1816 y que le obligará a realizar uno de los pocos viajes conocidos de Gauss para adquirir material científico para el mismo, pero no abandona sus investigaciones matemáticas. 

Investiga sobre series infinitas y sobre la serie hipergeométrica, sobre aproximación de integrales y sobre estimadores estadísticos. 

Serie hipergeométrica  En 1816 confiará en carta a su ex -alumno Schumacher (profesor de Astronomía en Copenhague) sus ideas sobre la geometría no euclídea que llevaba desarrollando desde hacía 20 años. En 1818 el ministro Arnswaldt encarga a Gauss la triangulación y medición de Hannover. Es una práctica muy habitual sobre todo tras la medición del meridiano realizada por los franceses e impuesta por las necesidades militares – toda Europa está en guerra - de una cartografía precisa. Durante casi 8 años, hasta 1825, Gauss dedicará sus esfuerzos a una práctica rutinaria y agotadora, al alcance de cualquier calculista mediano: efectúa mediciones durante el día y realiza los cálculos durante la noche, que le apartarán de actividades mucho más productivas en el ámbito de las matemáticas. Podemos afirmar que durante casi 20 años el genial Gauss perdió gran parte de su tiempo en tediosos cálculos astronómicos y geodésicos. Pero fruto de esta tarea nacerán más de 70 escritos sobre Geodesia,  la aplicación del método de mínimos cuadrados a medidas terrestres, el invento del heliotropo, un mecanismo ingenioso gracias al cual pueden ser transmitidas instantáneamente señales por medio de la luz del sol reflejada, y su interés por la geometría de superficies. La triangulación de Hannover se reinició en 1828, duró hasta 1844, y en ella participó su hijo Joseph, oficial del ejército.  Geometría diferencial: 1827. Disquisitiones circa generales superficies curvas

 Esta obra, fruto de las ideas sobre la geometría de superficies nacidas de sus observaciones geodésicas constituye la contribución definitiva de Gauss a la geometría diferencial. Gauss concibe la superficie “no como el límite de un sólido, sino como un sólido flexible e inextensible, una de cuyas dimensiones está obligada a desvanecer”. Pero su gran aportación va a ser no estudiar la superficie desde un punto de vista global sino desde un punto de vista local, en el entorno de un punto. Esto le va permitir despreciar las potencias de grado superior a dos en el cálculo de las distancias. 

En esta obra está Gauss aborda tres grandes problemas: la medida de la curvatura, la representación conforme y la aplicabilidad de superficies. Gauss define la curvatura total de una porción de superficie encerrada dentro de una curva C de la siguiente manera: 

La normal a una superficie en un punto dado es la recta que pasa por el punto y que es perpendicular al plano tangente a la superficie en el punto. En cada punto de C existe una normal a la superficie.  Si trazamos todas las normales en los puntos de C tendremos un haz de rectas.En una esfera de radio unidad trazamos las paralelas a las rectas normales a C que pasen por el centro de la esfera. Este haz de rectas corta a la superficie esférica determinando una curva C´. El área encerrada de la superficie esférica encerrada por esta curva C´ se denomina curvatura total de la porción de superficie limitada por C.  La curvatura total en un punto interior de C es el

límite de la razón entre el área de C´ y el área de C cuando la superficie C tiende al punto. Cada normal en un punto de una superficie genera un haz de planos que lo tienen como eje. Cada uno de esos planos corta a la superficie en curvas planas dentro de ellos. Cada una de esas curvas en el punto de apoyo de la normal tiene una curvatura dada. Entonces dado un punto de una superficie habrá un conjunto de curvaturas planas. Se sabe que hay una máxima y una mínima. La curvatura gaussiana que es el producto de la curvatura máxima por la curvatura mínima, las curvaturas principales introducidas por Euler.

 

En su estudio de superficies Gauss utiliza de forma magistral la representación paramétrica introducida por Euler, realizando una visión intrínseca de la superficie como una variedad bidimensional, las coordenadas (x, y, z) de un punto vienen dadas por tres ecuaciones dependiendo de dos parámetros: x = x(u, v); y = y(u, v);  z=z(u,v) Demuestra que si dos superficies son isométricas (aplicable la una sobre la otra) la curvatura total en dos puntos correspondientes es la misma (theorema egregium).

Una conclusión inmediata es que para mover sin distorsión una parte de una superficie sobre otra parte de la misma superficie es necesario que la superficie tenga curvatura constante. Así una parte de una esfera puede ser desplazada sin distorsión sobre otra, pero esto no ocurrirá con un paraboloide.

Trata también el problema de determinar las geodésicas (el equivalente a las rectas en el plano) de una superficie. En un artículo publicado en 1827 demuestra que la curvatura total de un triángulo cuyos lados

son geodésicas y los ángulos y  viene dada por  , donde K es la curvatura variable en los puntos del triángulo. En esta obra se pone definitivamente de manifiesto una observación interesante: la superficie puede ser un espacio en sí misma y las líneas rectas son las geodésicas siendo su geometría, una geometría no euclídea. 

Los números complejos 

 Desde 1799 Gauss dominaba la idea de una representación bidimensional de los complejos, de hecho los utilizó en su tesis doctoral aunque no de forma explícita. Y en 1811, tiene completamente acabado no sólo la representación de los complejos como puntos de un plano bidimensional, sino también la idea de integración de funciones complejas, el teorema integral o el desarrollo en serie de potencias de funciones analíticas. Buena prueba de ello es la carta que dirige a Bessel este año,

comentando un ensayo de éste sobre la integral logarítmica  , en la que podemos leer: 

¿Qué debemos entender por            para x= a + b i? Evidentemente si se quiere partir de conceptos claros es necesario admitir que x, partiendo del valor para el cual la integral debe ser cero, mediante incrementos infinitesimales (cada uno de la

forma a + bi) pasa a x = a + bi y entonces se suman todos los   Así el sentido de la integral queda completamente establecido. Pero el paso se puede dar de infinitas maneras: así como la totalidad de las magnitudes reales se pueden imaginar en forma de una recta infinita, también la totalidad de todas las magnitudes reales e imaginarias se puede en imaginar mediante un plano infinito, cada uno de cuyos puntos de abscisa a y ordenada b representará la magnitud a + bi. El paso continuo de un valor de x a otro a + bi se representa entonces mediante una línea, posiblemente de infinitas maneras. 

Afirmo ahora que la integral  para dos caminos distintos siempre conserva un mismo valor si dentro de la parte del plano comprendida entre las dos líneas representantes del

cambio,    no se hace infinita. Este maravilloso teorema, cuya demostración no es difícil la daré en otro momento. El teorema está vinculado con otras verdades magníficas relacionadas con el desarrollo en series” Gauss, como 150 años antes hiciera Fermat con su famoso último teorema, nos amenaza con la publicación de una demostración, que él ya parece tener, de un resultado que será demostrado por Cauchy  en 1825 y que hoy se conoce como teorema de la integral compleja de Cauchy. Habrá que esperar hasta 1831, para que Gauss, en una extensión de la teoría de los restos bicuadráticos a los números complejos, haga su presentación definitiva y su representación geométrica ante la sociedad matemática, propiciando gracias a su reconocida autoridad su aceptación definitiva. En esta obra introduce la noción de enteros complejos sobre los que generalizará resultados obtenidos para enteros reales.  

Gauss y la geometría no euclídea. La preocupación de Gauss por el problema de las paralelas, el quinto postulado de Euclides, data de 1796, de su estancia en Gottingën. Su profesor Kastnër disponía de una biblioteca de varios miles de volúmenes sobre este tema y seguro que contagió su inquietud a dos jóvenes inquietos como Gauss y Bolyai.

A partir de 1813 hasta 1831 elabora su geometría no euclídea. En 1813 escribe a Schumacher: “En la teoría de las líneas paralelas, nosotros, no nos encontramos más allá de Euclides. Esta es la parte de la matemática, que más tarde o más temprano debe adquirir una fisonomía absolutamente distinta”. Gaussencuentra numerosos resultados pero no se atreve a publicarlos. En 1829 en carta a Bessel le comunica: “Pasará tiempo antes de que yo elabore para conocimiento público mis extensas investigaciones, y quizás esto no llegue a ocurrir durante mi vida, pues temo el griterío de los beocios  (das geschrei der böotier), si alguna vez me propusiera exponer mi criterio” No es de extrañar que cuando Gauss recibe en 1831 el anexo de Johann Bolyai, hijo de su viejo compañero, La ciencia absoluta del espacio, exponiendo sus ideas sobre una geometría no euclídea, Gauss responda a Wolgang: “Si empiezo diciendo que no puedo alabar semejante trabajo te sentirás desconcertado, pero no puedo hacer otra cosa, porque alabarlo sería alabarme a mí mismo, pues todo el contenido del escrito, el camino seguido por tu hijo y los resultados a los que ha llegado coinciden casi completamente con mis meditaciones, parte de las cuales han tenido lugar desde hace 30 o 35 años” Sin embargo Gauss consideró públicamente a Janos Bolyai y a Lobachevski, cuando conoció los escritos de éste en 1841, como genios de primera magnitud; de hecho y a propuesta de Gauss Lobachevski fue nombrado miembro de la Academia de Gottingën en 1842.Hoy nadie discute que la paternidad de la primera geometría no euclídea es una gloria compartida por Gauss, Bolyai y Lobachevski.  

El magnetismo terrestre 1831 será un año clave en la vida de Gauss. Si un año antes su hijo Eugen emigra a Estados Unidos al parecer por desavenencias familiares, este año muere Minna la segunda esposa de Gauss. Desde entonces será su hija Therèse la que se encargará de los asuntos domésticos.  Pero a finales de ese año llega a Gottingën Wilhelm Weber, para ocupar la plaza de profesor de Física. A partir de este momento un decaído Gauss va a encontrar otra vez en la ciencia la solución de sus males familiares. 

En estrecha colaboración con Weber Gauss desarrollará una intensa labor en el estudio del magnetismo terrestre. Acoge con entusiasmo la propuesta de Alexander von Humbodltde crear una red de observatorios magnéticos que cubran toda la superficie terrestre. En la década de los 30 publica varias obras sobre el tema: Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata (1832), que trata teorías actuales sobre

magnetismo terrestre, anticipando las ideas de Poisson, la medida absoluta de la fuerza magnética y una definición empírica del magnetismo terrestre,  Allgemeine Theorie Erdmagnetismus (1839), en la que demuestra que solo puede haber dos polos y sienta las bases para determinar la intensidad de la componente horizontal de la fuerza magnética junto con el ángulo de inclinación. Se ayuda de la ecuación de Laplace y especifica la ubicación del polo sur magnético. Ambos construyen el primer telégrafo electromagnético que conseguía transmitir hasta nueve letras por minuto a una distancia de 500 pies, la que se paraba el Observatorio Astronómico de la Facultad de Física. Junto a Weber es autor del primer atlas geomagnético terrestre y de más de 40 obras sobre mediciones magnéticas de la Sociedad de Magnetismo, fundada por ellos, y de nuevas herramientas para medir el campo magnético. Sin embargo, un hecho va a truncar esta fructífera colaboración, Weber, junto a otros 6 profesores, es despedido de su cargo por negarse a jurar fidelidad al nuevo rey Ernesto Augusto von Cumberland, que había derogado la constitución de 1833. Gauss, de carácter conservador,

no movería un dedo a pesar de su influencia para detener el despido, a pesar de que entre los 7 de Gottingën estaban su propio yerno y su inseparable colaborador. Tras la marcha definitiva de Weber de Gottingën la producción científica de Gauss disminuye de forma rotunda. Trabaja en sus observaciones astronómicas, en dióptrica, en la teoría del potencial, en geodesia pero todas son obras menores. 

Los últimos años En 1849, con motivo del cincuentenario de su doctorado impartirá su famosa conferencia en la que presentará su cuarta demostración del Teorema Fundamental del Álgebra, una variación de la presentada en su tesis, incorporando ya de manera abierta los coeficientes complejos. Jacobi y Dirichlet serán testigos excepcionales. El reconocimiento de Gauss es general en Alemania y en toda Europa. Continuará con sus observaciones astronómicas hasta 1851, contando entre sus alumnos en estos años a Dedekind y Cantor. Y en junio de 1854, será el presidente del tribunal de la prueba para la habilitación de Riemann como profesor de matemáticas. En ella, Riemann a petición del tribunal leerá su famosa exposición, Sobre las hipótesis en que se fundamenta  la geometría, que sin duda impactó al anciano Gauss por lo que suponía de reconocimiento de las geometrías no  euclídeas. Curioso ante el progreso tecnológico visitará unos días más tarde las obras del ferrocarril Hannover – Gottingen, excursión en la que casi pierde la vida al sufrir un grave accidente el coche de caballos en que viajaba. De cualquier manera, el corazón del anciano Gauss, aquejado de hidropesía, está dando sus últimos latidos. Y dejará de latir de forma irremediable en la madrugada del 23 de febrero de 1855 mientras dormía plácidamente. Tenía 77 años, 10 meses y 22 días y sobre sus hombros la obra matemática más grandiosa en la historia de Humanidad. Sin duda, como muy bien reflejaba la inscripción de la  moneda acuñada en su honor por el rey Jorge V de Hannover, Gauss era “el Príncipe de los Matemáticos” Como decía su amigo Sartorius von Waltershausen, "Gauss fue sencillo y sin afectación desde su juventud hasta el día de su muerte. Un pequeño estudio, una mesita de trabajo con un tapete verde, un pupitre pintado de blanco, un estrecho sofá, y, después de cumplir los 70 años, un sillón, una lámpara con pantalla, una alcoba fresca, alimentos sencillos, una bata y un gorro de terciopelo eran todas sus necesidades".   Bibliografía InternetLos Grandes Matemáticos. Gauss. E. T. Bell. Edición en Internet:http://www.geocities.com/grandesmatematicos/index.htmlhttp://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Gauss.htmlhttp://www.geocities.com/RainForest/Vines/2977/gauss/english.htmlhttp://www.geocities.com/RainForest/Vines/2977/gauss/formulae/heptadecagon.htmlhttp://www.dim.uchile.cl/~mkiwi/applets/tfa/http://mathworld.wolfram.com/Congruence.html  Libros:C. B. Boyer: Historia de la matemática. Alianza Universidad. Madrid. 1986.

W. K. Bühler: Gauss A biographical Study. Springer-Verlag. New York. 1981

G W Dunnington, Carl Friedrich Gauss : Titan of Science (New York, 1955).

C. F Gauss: Méthode des moindres carrés. Traduits en francais par J. Bertrand. Mallet-Bachelier. Paris 1855.

C.F. Gauss: Werke. Hildesheim Georg Olms, 1973..

C. F Gauss: Disquisicions aritmètiques. Traducción de la profesora Pascual Xufrí G., editato por la sociedad Catalana de Matemáticas. Barcelona. 1996.

A. García Azcárate, Legendre. La honestidad de un científico. Ed. Nivola. Madrid 2002

T Hall, Carl Friedrich Gauss : A Biography (1970).

V. Pardo Rego, Lagrange. La elegancia matemática. Ed. Nivola. Madrid 2003

G M Rassias (ed.), The mathematical heritage of C F Gauss (Singapore, 1991).

Reich, K. Gauss. 1777/1977. Inter Nationes. Bonn-Bad Gedessberg. 1977

TARTAGLIA

 

                                                        Tartaglia

Su época

A mediados del siglo XIV Europa padece la peste negra, epidemia de grandísimas dimensiones que acabó con un tercio de la población. Por otra parte, los países donde se concentraban los matemáticos y científicos, Francia e Inglaterra, sufrieron dos largas guerras, la Guerra de los Cien Años y la Guerra de las Dos Rosas, que impidieron un desarrollo de las abras de los filósofos escolásticos de Oxford y París. Por ello, el florecimiento de las universidades italianas, alemanas y polacas constituyó un relevo de los puntos culturales.

En el año 1453 Constantinopla es tomada por los turcos musulmanes, lo que supuso la extinción del imperio bizantino, provocando a su vez la salida para Italia de numerosos refugiados bizantinos, llevándose consigo manuscritos originales de la civilización griega prácticamente desconocidos para los europeos. Este acontecimiento histórico supuso, a medio plazo, trasladar la actividad cultural y matemática hacia el occidente europeo, con un resurgimiento hasta entonces desconocido.

Otro hecho es determinante en este proceso: la invención de la imprenta. Hasta entonces, y gracias sobre todo al florecimiento de las universidades a partir del siglo XIII, se había desarrollado una industria de copistas conventuales cuyas dimensiones iban más allá del simple trabajo artesano. La imprenta supuso su extinción progresiva, y una mayor unificación de conocimientos, pues el poseedor de un manuscrito era incapaz de saber de su autenticidad, debido a las variantes que los copistas introducían. Sin embargo, también los impresores se dedicaron a poner variantes y añadidos en ciertas impresiones.

Representantes de este florecimiento de las matemáticas en el renacimiento italiano fueron  Nicolás de Cusa, Regiomontano, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Ferrari, Bombelli, Recorde, Copernico y, sin duda los más destacados, Cardano y Tartaglia.

Su vida

Nicolás Tartaglia nació en la ciudad de Brescia (Italia), posiblemente en el año 1500. Su familia era humilde. Muy pronto, a los seis años, quedó huérfano, y durante el saqueo de la ciudad por los franceses en el año 1512 resultó herido por un sablazo en el rostro, lo que le causó una tartamudez de por vida y el apodo de Tartaglia o tartamudo.

Aprendió solo, sin maestros, porque no tenía dinero para pagarlos, pero adquirió una gran formación científica. Enseñó en diversas ciudades italianas, como Verona, Brescia y Venecia, donde murió en el año 1557. Fue una gran aficiionado a las disputas públicas sobre cuestiones matemáticas, que le depararon fama y gran prestigio.

Su obra

Su obra más importante fue General trattato di numeri et misure, que apareció entre 1556 y 1560, y que desarrolla contenidos de aritmética, geometría práctica, álgebra, una traducción de la obra de Arquímedes Sobre la esfera y el cilindro y un tratado de la División de las figuras que sigue la tradición de Herón y Fibonacci.Se dice de Tartaglia que se apropiaba de los trabajos ajenos, a veces sin citar los autores, y es famosa la historia del descubrimiento de la solución algebraica de la ecuación cúbica que le enfrentó a Cardano. Parece que el primer inventor fue Scipione del Ferro, profesor de matemáticas de la universidad de Bolonia, que resolvió la ecuación x³+px=q, el cual reveló el secreto a un alumno. Tartaglia llegó, en 1541, a conocer esta solución. Entre ambos se entabló un duelo matemático de resolución de cúbicas, del cual salió victorioso Tartaglia, que sabía resolver también la ecuación del tipo x³+px²=q. Cardano se entrevistó con Tartaglia, éste le reveló su secreto y Cardano seguidamente lo publicó en su Ars magna como propio. Tartaglia protestó del plagio, pero a él también le acusaron de lo mismo.

Un problema

Tartaglia, estudioso de los números combinatorios, ideó un sistema para calcularlos que desde entonces se conoce como Triángulo de Tartaglia. Los números

combinatorios los expresaba con dos cifras entre paréntesis, una encima de la otra, que significaba el número de combinaciones que se pueden hacer con los elementos del número de arriba, tomados según el número de abajo. Así, 3 sobre 2 es igual a 3, pues con tres elementos a, b, c, se pueden formar tres grupos diferentes de dos: ab,

ac, bc. Estos números los dispuso así:

 

 

 

 

 

 

 

 

Tenía varias propiedades interesantes (que no vamos a demostrar):

a)      Cada fila empieza y termina en 1

b)      Cada fila es simétrica

c)      Salvo el primero y el último de cada fila, cada número es la suma de los dos que tiene encima.

Fijándonos solamente en estas propiedades proponemos el siguiente problema:

¿De cuántas maneras diferentes se pueden combinar siete personas para formar equipos de cuatro?

Solución

 Tartaglia, Nicolás Fontana (ca.1499-1557)

Escrito por Vicente Meavilla Seguí (Universidad de Zaragoza)   

ÍNDICE DEL ARTÍCULO

Tartaglia, Nicolás Fontana (ca.1499-1557)

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1. Algunos datos biográficos y científicos

1499-1500. Nicolás Fontana nació en Brescia (Italia).

1512. Durante la toma de Brescia por el ejército francés, al mando de  Gaston de Foix, murió el padre de Nicolás y éste recibió una cuchillada que le afectó la mandíbula y el paladar.Esta herida le ocasionó una especie de tartamudez, que le valió el apodo de “Tartaglia” [= tartamudo]. Nicolás aprendió a leer y a escribir por sí mismo y también fue autodidacta en su aprendizaje de las ciencias físicas y matemáticas.

1516-1518. Se trasladó a Verona donde enseñó Matemáticas.

1534. Se instaló en Venecia donde impartió clases de Matemáticas en la escuela parroquial de San Zanipolo y se relacionó con los artilleros venecianos.

1535. Tartaglia fue retado por Antonio María Fior, discípulo de Scipione del Ferro (1465-1526), a un torneo matemático en el que cada contendiente debía resolver treinta problemas propuestos por su adversario. Nicolás presentó una colección de cuestiones variadas sobre aritmética, geometría y álgebra. Por su parte, Antonio María propuso una serie de problemas con un denominador común: todos se podían resolver mediante una ecuación cúbica del tipo x3 + px = q  (p > 0 , q > 0). El perdedor  se comprometía a pagar una comida para un número de comensales igual al de cuestiones resueltas por el ganador.

Tartaglia resolvió los treinta problemas y ganó el desafío.

1537. Se publicó el tratado Nova scientia inventa (Venecia) consagrado a la balística. En él, Tartaglia sostuvo que la trayectoria de un proyectil lanzado por un cañón se componía de tres tramos: el primero,  rectilíneo e inclinado; el segundo, curvilíneo [= un arco de circunferencia]; el tercero, rectilíneo y vertical.

 

1539. Gerónimo Cardano (1501-1576), famoso médico, astrólogo, filósofo y matemático, residente en Milán, se enteró del descubrimiento de Tartaglia relativo a la ecuación x3 + px = q, y quiso incluirlo en su obra Practica Arithmetica Generalis que estaba terminando.

Gerónimo Cardano

Cardano propuso al librero Zuan Antonio da Bassano, amigo de ambos, que visitase a Tartaglia para que le facilitase el método de resolución. Este encuentro tuvo lugar el 2 de enero y la respuesta de Tartaglia fue negativa.Gerónimo le escribió una carta, fechada el 12 de febrero, en la que reiteró su petición. Tartaglia permaneció firme en su decisión de no comunicar su fórmula.

El 13 de marzo Cardano le remitió una nueva carta en la que le invitaba a su casa de Milán, prometiendo que le pondría en contacto con Alfonso de Ávalos, gobernador del Milanesado. Tartaglia aceptó con la esperanza de  presentar al gobernador sus recientes investigaciones en el campo de la artillería.  La reunión se celebró el 25 de marzo de 1539.En esta ocasión, Gerónimo logró su objetivo y Tartaglia le reveló sus métodos para resolver las  cúbicas x3 + px = q , x3 + q = px , x3 = px + q  (p > 0 , q > 0). Para ello, se sirvió de unos tercetos de los que hablaremos más adelante.

Tercetos de tercer grado

Cardano juró por los Santos Evangelios que no haría públicos los descubrimientos de Nicolás.

1542. Cardano y su discípulo Ludovico Ferrari (1522-1565) viajaron a Bolonia y obtuvieron permiso de Aníbal de la Nave, yerno de Scipione del Ferro, para consultar los documentos científicos que éste había heredado de su suegro. Entre ellos encontraron la resolución de la ecuación x3 + px = q que precedía a la de Tartaglia en veinte años. Esta fue la regla que, tres años más tarde, Cardano incluyó en su Artis Magnae, Sive de Regulis Algebraicis [= Ars Magna].

1545. Se imprimió el Ars Magna.

En el capítulo XI de esta obra [Cubo y primera potencia iguales a número], se ofrece la resolución de la cúbica x3 + px = q y se  atribuye la paternidad de la regla a Scipione del Ferro de Bolonia. No obstante, Cardano señala que, en su disputa con Antonio María Fior, Tartaglia la (re)descubrió.La publicación de “su fórmula”  hizo que Tartaglia se sintiese traicionado por Cardano que, según Nicolás, había incumplido su sagrado juramento y obrado de mala fe.

1546. Se editaron las Quesiti et inventioni diverse, escritas en forma de diálogo y dedicadas a la ingeniería y al arte militar. En esta obra Tartaglia rectificó la teoría propuesta en Nova scientia inventa y  consideró que la trayectoria de un proyectil lanzado por un cañón es totalmente curvilínea.Además, en este tratado aparece la versión de Tartaglia sobre su polémica con Cardano. Se reproducen las cartas intercambiadas y las conversaciones que mantuvieron. Tartaglia anima a Cardano a que desmienta lo que sea falso. Cardano no respondió a tal invitación.

1547. El 10 de febrero Tartaglia recibió respuesta a sus quejas por parte de Ludovico Ferrari. Se inició así una sucesión de réplicas y contrarréplicas, los famosos cartelli y risposti. Ferrari escribió seis y Tartaglia otros seis. En el último de ellos, fechado el 24 de julio de 1548, Tartaglia aceptaba las condiciones de un duelo matemático con Ferrari que empezó y acabó el 10 de agosto de 1548 con la victoria del discípulo de Cardano.

1551. Se publicó La travagliata inventione (Venecia), manual en el que se tratan asuntos tan diversos como la recuperación de barcos hundidos, la predicción del tiempo, etc.

1556. Se editaron las dos primeras partes  del General trattato de numeri et

misure, dividido en seis. Las cuatro siguientes se publicaron en 1560 y la sexta fue escrita por un “docto matemático” que utilizó material del “tartamudo” de Brescia.La primera parte del General trattato es un extenso tratado de aritmética práctica en el que se exponen profusamente las cuatro operaciones aritméticas elementales.La segunda se dedica a la aritmética teórica e incluye el estudio de las potencias y la extracción de raíces cuadradas y cúbicas. En una de sus páginas, Tartaglia ofrece algunas noticias acerca de la resolución de las ecuaciones cúbicas y sobre su controversia con Cardano. Mención especial merece el cálculo de las once primeras potencias de un binomio en el que interviene el “triángulo aritmético” o “triángulo de Tartaglia”.La tercera parte se consagra a la geometría práctica y la cuarta a la geometría especulativa.En la quinta se estudia la geometría desde una óptica constructiva, primero en el plano y después en el espacio. Para construir la perpendicular a una recta desde uno de sus puntos, Tartaglia utiliza un procedimiento que ya fue utilizado por el matemático árabe Abu’l Wafa (940-998).

Perpendicular a una recta desde uno de sus puntos(Método de Abu’l Wafa)

Sea B un punto de la recta dada r.Trácese una circunferencia de centro arbitrario C que pase por B. Sea A el otro punto de intersección de dicha circunferencia con la recta r.Dibújese  la recta que pasa por A y C. Sea D el punto de intersección de dicha recta con la circunferencia.En esta situación, la recta BD es perpendicular a r por el punto B.

La sexta parte se consagra al álgebra, pero su contenido no va más allá de las ecuaciones de segundo grado. A la parte teórica sigue una colección de problemas mercantiles y geométricos resolubles por ecuaciones lineales o cuadráticas.

Portada de la primera parte del General trattato di numeri et misure (Venecia, 1556)

General trattato de numeri …, Primera parte, fol. 25v. Multiplicación “por cuadrilátero” y “por gelosía”

1557. Nicolás Fontana murió en Venecia el 13 de diciembre.

2. El álgebra sincopada de Tartaglia

En sus investigaciones de carácter algebraico, los matemáticos del Renacimiento italiano no utilizaron un simbolismo como el actual. Para representar la incógnita, sus potencias y los signos de las operaciones elementales hicieron uso de algunos caracteres [los caracteres cósicos] y abreviaturas. Para ilustrar el lenguaje del que se sirvió Tartaglia en sus trabajos algebraicos presentamos dos textos (uno de Quesiti et inventioni diverse y otro que se incluye en la respuesta de Nicolás al segundo cartello de Ludovico Ferrari.

TEXTO 1Problema propuesto por el Maestro Antonio Veronese a Tartaglia

(16 de septiembre de 1527)

M.A. Una figura rómbica, cuyos lados miden 10 pies, tiene un área de 72 pies superficiales. Pregunto, ¿Cuál es la razón del diámetro [diagonal] mayor al diámetro [diagonal] menor?

N. No me parece un problema muy difícil, dado que, dividiendo el rombo en dos triángulos, cada uno de ellos tendrá un área de 36. Para saber cuál es la base de cada uno pongo que dicha base es una cosa. Luego, calculo la perpendicular [altura] y encuentro que es igual a R. universal de 100 men. 1/4 de censo. De modo similar calculo el área, que es igual a R. universal de 25 censos men. 1/16 de censo de censo. Esto debe ser igual a 36. Elevo al cuadrado los dos términos y resulta 1296 igual a 25 censos men. 1/16 censo de censo. Quito los quebrados, restauro las partes y encuentro que el valor de la cosa es R. universal de 200 más [Tartaglia escribe piu] R. 19264. Esto será el diámetro mayor del rombo. El diámetro menor será R. V. 200 men. R. 19264.

Quesiti et inventioni diverse, libro IX, quesito XIII

COMENTARIO

SIMBOLISMO DE TARTAGLIA SIMBOLISMO ACTUALcosa xcenso x2

censo de censo x4

piu +men. –

R. √R. universale  ó  R. V. √(...)

Teniendo en cuenta la tabla anterior, los cálculos de Tartaglia se puede traducir del modo siguiente:

TEXTO 2Problema propuesto por Tartaglia en su respuesta al segundo cartello

de Ludovico Ferrari

Encuentro que 27 cu.cu más 36 primeros relatos más 54 segundos relatos más 8 cubos iguales  a 1000. Pregunto si esta ecuación (y otras similares) es resoluble por fórmula general y, en caso afirmativo, cuánto vale la cosa.

COMENTARIO

SIMBOLISMO DE TARTAGLIASIMBOLISMO ACTUAL

cubo x3

primo relato x5

segundo relato x7

cu. cu x9

La ecuación presentada por Tartaglia se convierte en:

27x9 + 36x5 + 54x7 + 8x3 = 1000,

si se atiende a la información contenida en el cuadro anterior.

 

 

3. La resolución algebraica de la ecuación cúbica: tragicomedia en cuatro actos

Primer acto: los dos problemas de Zuanne de Tonini da Coi

Si atendemos al testimonio de Tartaglia, contenido en el diálogo mantenido con Zuanne de Tonini da Coi (Quesiti et inventioni diverse, libro IX, quesito XIV), en 1530 o antes Nicolás ya conocía una regla general para la resolución de la cúbica x3 + px2 = q  (p, q  > 0). Sin embargo, por aquel entonces Tartaglia desconocía el procedimiento para resolver cúbicas del tipo x3 = px + q.

QUESITO XIV que me fue propuesta en Veronapor el Maestro Zuanne de Tonini da Coi, que tiene

una escuela en Brescia, y me la hizo llegarMesser Antonio de Cellica el año 1530

MAESTRO ZUANNE. Encuentra un número tal que multiplicado por su raíz [cuadrada] más 3 sea igual a 5. De forma similar, encuentra tres números tales que el segundo sea igual al primero aumentado en 2, el tercero sea igual al segundo

aumentado en 2, y cuyo producto sea 100.

N. M. Zuanne, me has mandado estos dos problemas como cuestiones imposibles de resolver o desconocidas por ti; porque procediendo por Álgebra, el primero conduce a 1. cubo más 3 censos iguales a 5 [x3 + 3x2 = 5] y el segundo a 1. cubo más 6 censos más 8 cosas iguales a 1000 [x3 + 6x2 + 8x = 1000, siendo x el número menor. Notemos que si se toma como incógnita el número mediano, se llega a la ecuación x3 = 4x + 1000]. Según F. Luca [Pacioli] y otros, estas ecuaciones son irresolubles por regla general. Tú crees que con estos problemas puedes superarme y aparentar que eres un gran matemático. He oído que haces lo mismo con todos los profesores de esta ciencia de Brescia, los cuales, por temor a estas cuestiones, no se atreven a hablar contigo y quizás saben más de esta ciencia que tú (…)

M.Z. Entiendo lo que me has escrito y que consideras tales casos como imposibles (…)

N. Yo no digo que dichos casos sean imposibles. De hecho, para el primer caso, el de cubo y censos iguales a número, estoy convencido de que he encontrado la regla general, pero por ahora quiero guardarla en secreto por varios motivos. Para el segundo, el de cubo y censos y cosas iguales a número, confieso que no he sido capaz de encontrar la regla general. Con esto no quiero decir que sea imposible encontrarla aunque hasta ahora no haya sido encontrada. No obstante, me apuesto diez ducados contra cinco a que no eres capaz de resolver con regla general ninguna de las dos cuestiones que me has propuesto. Deberías avergonzarte de proponer a otros algo que tu no entiendes, pero que finges entender, para aparentar que eres alguien importante.

Segundo  acto: El desafío entre Antonio María Fior y Nicolás Tartaglia

Parece ser que la primera persona que resolvió algebraicamente la ecuación de tercer grado x3 + px = q (p > 0, q > 0)  fue Scipione del Ferro, profesor de la Universidad de Bolonia. Según Tartaglia (Quesiti et inventione diversi, libro IX, quesito XXV) lo hizo en 1506 y según Cardano (Ars Magna, capítulo XI) en 1515. Scipione nunca publicó su solución pero la dio a conocer a un reducido grupo de amigos entre los que se encontraba su discípulo Antonio María Fior.

El año 1535, Tartaglia fue retado por Antonio María a un torneo matemático en el que cada contendiente debía resolver treinta problemas propuestos por su adversario. Nicolás presentó una colección de cuestiones sobre aritmética, geometría y álgebra (sólo han llegado hasta nosotros cuatro de ellas).

Por su parte, Fior propuso una serie de problemas que se podían resolver mediante una cúbica del tipo x3 + px = q  (p > 0 , q > 0)

Tartaglia resolvió los treinta problemas y ganó el desafío.

Algunos problemas propuestos por Tartaglia

La primera cuestión, de las 30 que le propuse [a Antonio María Fior], si no recuerdo mal, decía:

Encuentra una cantidad irracional que multiplicada por su raíz [cuadrada] más 40 haga un número racional y discreto[x(√x+ 40) = a].

La segunda:

Encuentra una cantidad irracional que multiplicada por 30 menos la raíz [cuadrada] de dicha cantidad haga un número racional y discreto [x(30 – √x) = a].

La tercera:Encuentra una cantidad que sumada al cuádruplo de su raíz cúbica haga 13 [x3 + 4x = 13].

La cuarta:Encuentra una cantidad tal que restándole su raíz cúbica resulte 10 [x3 = x + 10].

Quesiti et inventioni diverse, libro IX, quesito XXV

 

 

Los treinta problemas propuestos por Antonio María Fior

1. Encuentra un número que sumado a  su raíz cúbica sea igual a 6 [x3 + x = 6].

2. Encuentra dos números en proporción dupla tales que si se multiplica el cuadrado del mayor por el menor, y este producto se suma a los dos números buscados, entonces el resultado es 40 [(2x)2·x + 2x + x = 40 ó 4x3 + 3x = 40].

3. Encuentra un número tal que si se cubica, y este cubo se suma al número, entonces resulta 5 [x3 + x = 5].

4. Encuentra tres números en proporción tripla tales que si se multiplica el cuadrado del menor por el mayor, y este producto se suma al número mediano, entonces el resultado es 7 [x2·9x + 3x = 7 ó 9x3 + 3x = 7].

5. Dos socios hacen compañía con un capital común de 900 ducados  Si uno aporta la raíz cúbica de lo que aporta el otro, ¿cuánto aporta cada socio? [x3 + x = 900].

6. Dos hombres ganan 100 ducados y quieren repartírselos de forma que uno reciba la raíz cúbica del otro. Pregunto, ¿cuánto le corresponde a cada uno? [x3 + x = 100].

7. Encuentra un número que sumado al doble de su raíz cúbica sea igual a 13. [x3 + 2x = 13]

8. Encuentra un número que sumado al triple de su raíz cúbica sea igual a 15. [x3 + 3x = 15]

9. Encuentra un número que sumado al cuádruplo de su raíz cúbica sea igual a 17. [x3 + 4x = 17]

10. Divide el número 14 en dos partes de modo que una sea la raíz cúbica de la otra [x3 + x = 14].

11. Divide el número 20  en dos partes de modo que una sea la raíz cúbica de la otra [x3 + x = 20]

12. Un joyero vende dos joyas por 1900 ducados, un diamante y un rubí. El rubí se vende por la raíz cúbica del precio del diamante. ¿Cuánto vale el rubí? [x3 + x = 1900]

13. Un prestamista deja a una persona una cantidad de dinero con la condición de que al cabo del año le debe dar de interés la raíz cúbica del  capital. Al cabo del año el prestamista recibe entre capital e intereses 800 ducados. ¿Cuál fue el capital prestado? [x3 + x = 800].

14. Haz de 13 dos partes tales que el producto de las dos sea igual al cuadrado de la parte menor multiplicada por sí misma [x3 + x = 13]

15. Un hombre vende un zafiro por 500 ducados obteniendo un beneficio igual a la raíz cúbica de su capital. ¿Cuál es este beneficio? [x3 + x = 500]

Los problemas siguientes (16-30) se refieren a la división de un número en dos partes tales que una es la raíz cúbica de la otra.

Quesiti et inventioni diverse, libro IX, quesito XXXI

  

Tercer acto: Tercetos de tercer grado

Gerónimo Cardano se enteró del descubrimiento de Tartaglia relativo a la resolución de la cúbica x3 + px = q, y quiso incluirlo en su obra Practica Arithmetica Generalis que estaba a punto de terminar.

Cardano propuso al librero Zuan Antonio da Bassano, amigo de ambos, que visitase a Tartaglia con la esperanza de que le facilitase la regla general. Este encuentro tuvo lugar el 2 de enero de 1539 (Quesiti et inventioni diverse, libro IX, quesito XXXI). Tartaglia respondió en los siguientes términos:

Decidle a su excelencia que cuando quiera publicar mis descubrimientos lo haré en alguna de mis obras y no en las de otros.

Ante esta negativa, el emisario, siguiendo instrucciones de Cardano, solicitó a Nicolás que le facilitase las treinta cuestiones que le había propuesto Fior junto con sus resoluciones. Tartaglia accedió a la primera petición pero no a la segunda, dado que:

Una vez que él [Cardano] tuviese uno de dichos problemas con su solución entendería rápidamente la regla que he descubierto con la que podría encontrar muchas otras reglas relativas a tal materia.

Esta nueva negativa no desanimó a Zuan Antonio que, de inmediato, presentó a Tartaglia los siete problemas siguientes con la intención de que le facilitase sus métodos de resolución.

Divide el número 10 en cuatro partes en continua proporción [en progresión geométrica] de modo que la primera sea igual a 2.

Divide el número 10 en cuatro partes en continua proporción de modo que la segunda sea igual a 2.

Encuentra cuatro números en continua proporción de modo que el primero sea 2 y la suma del segundo y el cuarto sea igual a 10.

Encuentra cuatro números en continua proporción de modo que el primero sea 2 y la suma del tercero y el cuarto sea igual a 10.

Encuentra cuatro números en continua proporción de modo que el segundo sea 2 y la suma del primero y el cuarto sea igual a 10.

Haz de 10 tres partes en continua proporción de modo que el producto de la primera por la segunda sea 8.

Encuentra un número que multiplicado por su raíz [cuadrada] más 3 haga 21.

Nicolás no cayó en la trampa y, por consiguiente, no resolvió los problemas. Así acabó la entrevista entre Zuan Antonio da Bassano y Tartaglia.

El 12 de febrero Cardano escribió una carta a Tartaglia en la que reiteraba su petición, pero éste permaneció firme en su decisión de no comunicar su fórmula aunque accedió a resolver dos problemas propuestos por Cardano.

 

El primer problema

Haz de 10 cuatro partes en proporción continua, de modo que la suma de sus cuadrados sea 60.

Quesiti et inventioni diverse, libro IX, quesito XXXII 

 

La resolución de Tartaglia

Para resolver el problema anterior Tartaglia se sirvió de una interesante relación entre los cuatro primeros términos de una progresión geométrica. A saber:

Si I, II, III, IV son los cuatro primeros términos de una progresión geométrica, entonces:

Sean I, II, III, IV las partes buscadas y  x = II + III.

Luego, I + IV = 10 – x.

En esta situación, resulta que:

A partir de aquí resulta que:

Con esto, resulta fácil determinar las cuatro partes requeridas.

 El 13 de marzo Cardano mandó una nueva carta a Tartaglia en la que le invitaba a su casa de Milán, prometiendo que le pondría en contacto con Alfonso de Ávalos, gobernador del Milanesado. Nicolás aceptó con la esperanza de  presentar al gobernador sus recientes investigaciones en el campo de la artillería.  La reunión se celebró el 25 de marzo de 1539.

Esta vez Gerónimo logró su objetivo y Tartaglia le reveló sus métodos para resolver las  cúbicas (i) x3 + px = q , (ii) x3 + q = px , (iii) x3 = px + q  (p , q > 0). Para ello, se sirvió de unos tercetos que se han hecho famosos en la historia de las Matemáticas. Cardano juró por los Santos Evangelios que no haría públicos los descubrimientos de Nicolás.

Presentamos la adaptación al castellano de los tres primeros tercetos [regla para la ecuación del tipo (i)] y su traducción al simbolismo algebraico moderno.

Cuando el cubo y las cosas juntas [x3 + px]Se igualan a cualquier número discreto: [x3 + px = q]Se buscan otros dos que difieran en él. [u – v = q]Luego, tendrás por costumbreQue su producto sea siempre igualAl cubo de la tercera parte de las cosas conocidas. [uv = (p/3)3]Como regla general, lo que quedaDe la diferencia de sus raíces cúbicas

Será igual a tu cosa principal. [x =  ]

Desconocemos la forma en que Tartaglia descubrió esta regla, pero bien pudo ser del modo siguiente.

Se sabe que:

De donde:

Entonces:

Si se compara la identidad anterior con la ecuación x3 + px = q que se quiere

resolver, resulta que:

En consecuencia, la regla de Tartaglia es correcta.

Sólo queda obtener la expresión de x en función de p y q.

Entonces, dado que la ecuación x3 + px = q tiene una única solución real positiva, se tiene que:

Por tanto:

Dicha expresión se conoce como fórmula de Tartaglia-Cardano.

 

 

Cuarto acto: la controversia Tartaglia-Cardano-Ferrari

Durante el intervalo comprendido entre marzo de 1539 hasta  1545, Nicolás y Gerónimo se dedicaron principalmente a traducir a Euclides y Arquímedes (Tartaglia) y a preparar la edición de Artis Magnae Sive de Regulis Algebraicis (Cardano).

 

OPERA ARCHIMEDIS SYRACVSANI PHILOSOPHIET MATEMATICI INGENIOSISSIMIper Nicolaum Tartaleam Brixianum

En 1542, atendiendo al testimonio de Ludovico Ferrari (Cartello II), Cardano y Ferrari se desplazaron a Bolonia para visitar a Aníbal de la Nave, yerno de Scipione del Ferro. Allí consultaron los documentos que Aníbal había heredado de su suegro y encontraron la resolución de la ecuación x3 + px = q debida a Scipione. Este procedimiento era anterior al de Tartaglia en unos veinte años y fue el que, según Ferrari, Cardano incluyó en su Ars Magna (Nuremberg, 1545).

En el capítulo XI de dicha obra, Gerónimo se expresaba en los siguientes términos:

Scipione del Ferro, de Bolonia, hace treinta años que descubrió esta regla y la comunicó a Antonio María Fior de Venecia, cuyo desafío con Nicolás Tartaglia de Brescia dio a Nicolás la oportunidad de descubrirla. Él me la dio sin la  demostración. Con esta ayuda busqué la demostración de varias formas. Fue muy difícil. Mi versión es la siguiente.

Ante este hecho Tartaglia consideró que Cardano había faltado a su juramento y le acusó, entre otras cosas, de traidor.

Cardano no contestó a las provocaciones de Tartaglia, pero el 10 de febrero de 1547 su discípulo Ferrari retó a Nicolás a un desafío público sobre Geometría, Aritmética y todas las disciplinas que de ellas dependen como Astrología, Música, Cosmografía, Perspectiva, Arquitectura y otras. Para ello utilizó un panfleto de cuatro  páginas de contenido y cuatro páginas de nombres de matemáticos y

personajes ilustres  (cincuenta en total, entre los que figuraba Aníbal de la Nave) de varias ciudades italianas (Roma, Venecia, Milán, Florencia, Ferrara, Bolonia, Salerno, Padua, Pavía, Pisa y Verona) a los que mandó copia  del documento. Ferrari proponía una garantía de 200 escudos y un plazo de treinta días para que Tartaglia diese respuesta a su escrito.

Nicolás respondió a Ludovico nueve días después. Seis páginas con las firmas de tres testigos y una postdata en la que comunicaba que había hecho mil copias de su escrito para distribuirlas por  toda Italia. En su respuesta, Tartaglia ponía de manifiesto que no quería enfrentarse a él, sino a su maestro.

Se iniciaba así una acalorada disputa a lo largo de la cual se sucedieron seis cartelli y seis risposti ordenados cronológicamente en el cuadro siguiente:

CARTELES (FERRARI) RESPUESTAS (TARTAGLIA)Primer cartel, 10 de febrero de 1547 Primera respuesta, 19 de febrero de 1547Segundo cartel, 1 de abril de 1547 Segunda respuesta, 21 de abril de 1547Tercer cartel, 1 de junio de 1547 Tercera respuesta, 9 de julio de 1547Cuarto cartel, 10 de agosto de 1547 Cuarta respuesta, 30 de agosto de 1547Quinto cartel, octubre de 1547 Quinta respuesta, 16 de junio de 1548Sexto cartel, 14 de julio de 1548 Sexta respuesta, 24 de julio de 154

En su segundo cartel de once páginas escritas en latín, Ferrari comentaba el descubrimiento de la regla para la cúbica x3 + px = q  por Scipione del Ferro.

En su segunda respuesta, Tartaglia proclamaba que había descubierto dicha regla de forma autónoma, aunque no descartaba la posibilidad de que otros la hubiesen podido encontrar con anterioridad o que algunos pudieran descubrirla más adelante de forma independiente.

Defendiéndose de las acusaciones de haber plagiado la obra de Jordanus de Nemore, Nicolás se expresaba así:

A esto respondo que, en este caso, basta con que consideréis que hice las demostraciones, y las demostraciones (como debéis saber) son de mayor consideración, doctrina, ciencia y  dificultad que las proposiciones. Porque cualquier proposición matemática sin su demostración no tiene ningún valor para los matemáticos. Proponer algo es fácil. Cualquier ignorante puede formar una proposición, pero no es capaz de demostrarla.

IORDANI OPVSCVLVM DE PONDEROSITATENICOLAI TARTALEAE STVDIO CORRECTVM

Dado que Tartaglia defendía como formato del duelo una lista de cuestiones que debían ser resueltas en un tiempo determinado, al final de su segunda respuesta propuso una colección de treinta y un problemas.

 

Uno de los  problemas de Tartaglia

21. En la obra titulada “Divina Proporción” se enseña la forma de calcular el volumen de diversos tipos de cuerpos. Me encuentro un cuerpo de 62 caras circunscrito a una esfera. De las 62 caras, 12 son pentágonos equiláteros y equiángulos, 30 son cuadrados y 20 son triángulos equiláteros. Si el lado de cada cara es igual a 4, demando cuál es el volumen del cuerpo.

El cuerpo al que se refiere Nicolás es el poliedro arquimediano representado en la figura adjunta, conocido con el nombre de rombicosidodecaedro.

 

Ferrari respondió en su tercer cartel con treinta y un problemas más.

 

Uno de los problemas de Ferrari

17. Divide el número 8 en dos partes de modo que su producto multiplicado por su diferencia sea lo mayor posible, demostrando cada paso.

Nicolás los resolvió (tercera respuesta) y se creyó vencedor.

 

Una respuesta de Tartaglia 

En vuestra decimoséptima cuestión me preguntáis que divida 8 en dos partes tales que el producto de una por la otra multiplicado por su diferencia sea lo mayor posible.

Respondo que la parte mayor es 4+  y la menor es 4– . Su producto es 10 , que

multiplicado por su diferencia, que es  , hace  . En el quinto cartel, Ferrari respondió a las cuestiones de Tartaglia y declaró que sólo cinco de las respuestas de Nicolás eran correctas.

Por fin, en su sexta respuesta, Tartaglia aceptó el desafío público. Éste tuvo lugar en Milán el 10 de agosto de 1548. En un ambiente muy hostil, en palabras de Nicolás, se desarrolló la primera sesión del duelo a la que no acudió Cardano. Esta hostilidad fue la causa de que Tartaglia, creyendo que su integridad física estaba en peligro, no asistiese a la sesión del día siguiente y, por consiguiente, perdiera el desafío.

De este modo concluía uno de los episodios más bochornosos de la historia del álgebra.

4. Tartaglia y la matemática recreativa

Para acabar esta breve biografía del “tartamudo” de Brescia, presentamos dos recreaciones matemáticas contenidas en el General trattato de numeri et misure.

Blancas y negras, turcos y cristianosGeneral trattaro…Primera parte, libro 16,art. 203, fols. 264v-265r

(…) Se quieren colocar 30 fichas sobre un tablero, 15 blancas y 15 negras, de modo que ordenándolas y contando adecuadamente se quiten todas las negras sin quitar ninguna blanca. De otro modo: en una barca hay 15 cristianos y 15 turcos.

Como hay exceso de carga, el número de tripulantes se debe reducir a la mitad. Se trata de colocarlos de modo que, contándolos  adecuadamente, se queden todos los cristianos y salgan los turcos. Pregunto, ¿cómo debe hacerse?

Para obtener la solución del problema, Tartaglia recurre, entre otras, a la siguiente regla mnemotécnica:

En el verso Ecce amata federe amaram fecere araneam meam asigna a la vocales a, e, i, o , u los valores 1, 2, 3, 4 y 5, respectivamente.

Entonces, la sucesión de vocales ee aaa eee aaa eee aaea ea, obtenida a partir del verso, se transforma en la sucesión numérica 22 111 222 111 222 1121 21 que admite la siguiente traducción.

CCTTCTCTTCCTTCTCTTCCTTCTCCTCCT

siendo C [= cristiano] y T [= turco].

Contando de izquierda a derecha y de tres en tres, se consigue eliminar a todos los turcos sin que se elimine a cristiano alguno.

Un problema de trasvasesGeneral trattato... Primera parte, libro 16, art. 133, fol. 255v

El problema propuesto por Tartaglia, cuyo enunciado no es “políticamente correcto”, equivale al siguiente:

Una vasija llena contiene 8 onzas de bálsamo. ¿Cómo pueden dividirse las 8 onzas en dos partes iguales utilizando dos vasijas de 3 y 5 onzas, respectivamente?

Esquematizamos la solución de Nicolás en el cuadro siguiente:

VASIJA DE 8 VASIJA DE 3 VASIJA DE 5Inicio 8 0 0

5 0 32 3 3

2 1 57 1 07 0 14 3 1

Final 4 0 4 

 

Referencias bibliográficas

BABINI, J. y REY PASTOR, J. (1985). Historia de la Matemática. Barcelona: Gedisa, S.A.

CARDANO, G. (1993). Ars Magna or the rules of Algebra (Translated by T. Richard Witmer). New York: Dover.

FAUVEL, J. & GRAY, J. (1987). The History of Mathematics: A  Reader. London: MacMillan Education  in association with The Open University.

GIORDANI, E. (1876). I sei cartelli di matematica disfida. Milano: R. Stabilimento  litografico di Luigi Ronchi e Tipografia degl’ Ingegneri.

LORIA, G. (1982). Storia delle matematiche dall’alba della civiltà al tramonto del secolo XIX. Milán: Cisalpino-Goliardica.

MARTÍN CASALDERREY, F. (2000). Cardano y Tartaglia. Las matemáticas en el Renacimiento italiano. Madrid: Nívola libros y ediciones, S. L.

MEAVILLA SEGUÍ, V. (2005). La historia de las Matemáticas como recurso didáctico: ideas, sugerencias y materiales para la clase. Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM).

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VAN DER WAENDER, L. B. (1985). A history of Algebra. From al-Khwarismi to Emmy Noether. Berlín: Springer-Verlag.

Referencias on-line

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http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView/ECHOzogiLib?mode=imagepath&url=/mpiwg/online/permanent/library/Q9B15RYG/pageimg

Quesiti et inventioni diverse (1554)http://archimedes.mpiwg-berlin.mpg.de/cgi-bin/toc/toc.cgi?dir=tarta_quesi_042_la_1554;step=thumb

SINGMASTER, D.  Sources in recreational mathematics an annotated bibliographyhttp://www.gotham-corp.com/sources.htm#_Toc69533865

Travagliata inventionehttp://mathematica.sns.it/volume.asp?Id=31

Johannes KeplerPara otros usos de este término, véase kepler (desambiguación).

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Johannes Kepler

Retrato de Kepler de un artista desconocido (ca.1610)

Nacimiento 27 de diciembre de 1571

Weil der Stadt, Alemania

Fallecimiento 15 de noviembre de 1630

Ratisbona, Alemania

Residencia Alemania, Austria y República Checa

Campo Astronomía, Física yMatemática

Instituciones Matemático imperial deRodolfo II

Alma máter Tycho Brahe

Conocido por Leyes sobre el movimiento de los planetas

sobre su órbita alrededor del Sol.

Johannes Kepler (Weil der Stadt, Alemania, 27 de diciembre de 1571 - Ratisbona, Alemania, 15 de

noviembre de 1630), figura clave en larevolución científica, astrónomo y matemático alemán;

fundamentalmente conocido por sus leyes sobre el movimiento de los planetas en su órbita alrededor

del Sol. Fue colaborador de Tycho Brahe, a quien sustituyó como matemático imperial de Rodolfo II.

En 1935 la UAI decidió en su honor llamarle «Kepler» a un astroblema lunar.1

Índice

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1 Biografía

2 Obra científica

3 Las tres leyes de Kepler

4 SN 1604: La estrella de Kepler

5 Obras de Kepler

6 Referencias

7 Bibliografía

8 Enlaces externos

Biografía[editar]

Kepler nació en el seno de una familia de religión protestante luterana, instalada en la ciudad de Weil

der Stadt en Baden-Wurtemberg, Alemania. Su abuelo había sido el alcalde de la ciudad, pero cuando

nació Kepler, la familia se encontraba en decadencia. Su padre, Heinrich Kepler, era mercenario en el

ejército del Duque de Wurtemberg y, siempre en campaña, raramente estaba presente en su domicilio.

[cita requerida] Su madre,Katherina Guldenmann, que llevaba una casa de huéspedes, era una curandera y

herborista, la cual más tarde fue acusada de brujería.[cita requerida] Kepler, nacido prematuramente a los

siete meses de embarazo, e hipocondríaco de naturaleza endeble, sufrió toda su vida una saludfrágil. A

la edad de tres años, contrae la viruela, lo que, entre otras secuelas, debilitará su vista severamente.

[cita requerida] A pesar de su salud, fue un niño brillante que gustaba impresionar a los viajeros en el

hospedaje de su madre con sus fenomenales facultades matemáticas.[cita requerida]

Heinrich Kepler tuvo además otros tres hijos: Margarette, de la que Kepler se sentía muy próximo,

Christopher, que le fue siempre antipático, y Heinrich. De 1574 a 1576, vivió con Heinrich –

un epiléptico– en casa de sus abuelos mientras que su padre estaba en una campaña y su madre se

había ido en su búsqueda.[cita requerida]

Al regresar sus padres, Kepler se trasladó a Leonberg y entra en la escuela latina en 1577. Sus padres

le hicieron despertar el interés por laastronomía. Con cinco años, observó el cometa de 1577,

comentando que su madre lo llevó a un lugar alto para verlo.[cita requerida] Su padre le mostró a la edad de

nueve años el eclipse de luna del 31 de enero de 1580, recordando que la Luna aparecía bastante roja.

Kepler estudió más tarde el fenómeno y lo explicó en una de sus obras de óptica. Su padre partió de

nuevo para la guerra en 1589, desapareciendo para siempre.[cita requerida]

Kepler terminó su primer ciclo de tres años en 1583, retardado debido a su empleo como jornalero

agrícola, entre nueve y once años. En 1584, entró en el Seminario protestante de Adelberg y dos años

más tarde, en el Seminario superior de Maulbronn.

Obtuvo allí su diploma de fin de estudios y se matriculó en 1589 en la universidad de Tubinga. Comenzó

primeramente por estudiar la ética, la dialéctica, la retórica, el griego, el hebreo, la astronomía y la física,

y más tarde la teología y las ciencias humanas.[cita requerida] Continuó con sus estudios después de obtener

una maestría en 1591. Su profesor de matemáticas, el astrónomo Michael Maestlin, le enseñó

el sistema heliocéntrico de Copérnico que se reservaba a los mejores estudiantes.[cita requerida] Los otros

estudiantes tomaban como cierto el sistema geocéntrico de Ptolomeo, que afirmaba que la Tierra estaba

inmóvil y ocupaba el centro del Universo, y que el Sol, la Luna, los planetas y las estrellas giraban a su

alrededor. Kepler se hizo así un copernicano convencido y mantuvo una relación muy estrecha con su

profesor; no vaciló en pedirle ayuda o consejo para sus trabajos.[cita requerida]

Mientras Kepler planeaba hacerse ministro luterano, la escuela protestante de Graz buscaba a un

profesor de matemáticas. Abandonó entonces sus estudios de Teología para tomar el puesto y dejó

Tubinga en 1594. En Graz, publicó almanaques con predicciones astrológicas –que los realizaba–

aunque él negaba algunos de sus preceptos.[cita requerida] En la época, la distinción entre ciencia y creencia

no estaba establecida todavía claramente y el movimiento de los astros, todavía bastante desconocido,

se consideraba gobernado por leyes divinas.

Kepler estuvo casado dos veces. El primer matrimonio, de conveniencia, el 27 de abril de 1597 con

Barbara Müller. En el año 1600, fue obligado a abandonar Austria cuando el archiduque

Fernando promulgó un edicto contra los protestantes.[cita requerida] En octubre de ese mismo año se trasladó

a Praga, donde fue invitado por Tycho Brahe, quien había leído algunos trabajos de Kepler. Al año

siguiente, Tycho Brahe falleció y Kepler lo sustituyó en el cargo de matemático imperial de Rodolfo II y

trabajó frecuentemente como consejero astrológico.[cita requerida]

En 1612 falleció su esposa Barbara Müller, al igual que dos de los cinco niños –de edades de apenas

uno y dos meses– que habían tenido juntos. Este matrimonio, organizado por sus allegados, lo unió a

una mujer "grasa y simple de espíritu", con carácter execrable. Otro de sus hijos murió a la edad de

siete años. Sólo su hija Susanne y su hijo Ludwig sobrevivieron. Al año siguiente, se casó en Linz con

Susanne Reuttinger, con la que tuvo siete niños, de los que tres fallecerán muy temprano.[cita requerida]

En 1615, su madre, entonces a la edad de 68 años, fue acusada de brujería. Kepler, persuadido de su

inocencia, fue a pasar seis años asegurando su defensa ante los tribunales y escribiendo numerosos

alegatos.[cita requerida] Debió regresar dos veces a Wurtemberg. Ella pasó un año encerrada en la torre de

Güglingen, a expensas de Kepler, habiendo escapado por poco de la tortura. Finalmente, fue liberada el

28 de septiembre de 1621. Debilitada por los duros años de proceso y de encarcelamiento, murió seis

meses más tarde.[cita requerida] En 1628 Kepler pasó al servicio de Albrecht von Wallenstein, en Silesia,

quien le prometió, en vano, resarcirle de la deuda contraída con él por la Corona a lo largo de los años.

Un mes antes de morir, víctima de la fiebre, Kepler abandonó Silesia en busca de un nuevo empleo.

[cita requerida]

Kepler murió en 1630 en Ratisbona, en Baviera, Alemania, a la edad de 59 años.[cita requerida]

En 1632, durante la Guerra de los Treinta Años, el ejército sueco destruyó su tumba y se perdieron sus

trabajos hasta el año 1773. Recuperados por Catalina II de Rusia, se encuentran actualmente en

el Observatorio de Pulkovo en San Petersburgo, Rusia.[cita requerida]

Obra científica[editar]

Modelo platónico del Sistema Solarpresentado por Kepler en su obra Misterium

Cosmographicum (1596).

Después de estudiar teología en la universidad de Tubinga, incluyendo astronomía con un seguidor

de Copérnico, enseñó en el seminario protestante de Graz. Kepler intentó comprender las leyes del

movimiento planetario durante la mayor parte de su vida. En un principio Kepler consideró que el

movimiento de los planetas debía cumplir las leyes pitagóricas de la armonía. Esta teoría es conocida

como la música o la armonía de las esferas celestes. En su visión cosmológica no era casualidad que el

número de planetas conocidos en su época fuera uno más que el número de poliedros perfectos. Siendo

un firme partidario del modelo copernicano, intentó demostrar que las distancias de los planetas

al Sol venían dadas por esferas en el interior de poliedros perfectos, anidadas sucesivamente unas en el

interior de otras. En la esfera interior estaba Mercurio mientras que los otros cinco planetas

(Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno) estarían situados en el interior de los cinco sólidos platónicos

correspondientes también a los cinco elementos clásicos.

En 1596 Kepler escribió un libro en el que exponía sus ideas. Mysterium Cosmographicum (El misterio

cósmico). Siendo un hombre de gran vocación religiosa, Kepler veía en su modelo cosmológico una

celebración de la existencia, sabiduría y elegancia de Dios. Escribió: «yo deseaba ser teólogo; pero

ahora me doy cuenta a través de mi esfuerzo de que Dios puede ser celebrado también por la

astronomía».

En 1600 acepta la propuesta de colaboración del astrónomo imperial Tycho Brahe, que a la sazón había

montado el mejor centro de observación astronómica de esa época. Tycho Brahe disponía de los que

entonces eran los mejores datos de observaciones planetarias pero la relación entre ambos fue

compleja y marcada por la desconfianza. No será hasta 1602, a la muerte de Tycho, cuando Kepler

consiga el acceso a todos los datos recopilados por Tycho, mucho más precisos que los manejados por

Copérnico. A la vista de los datos, especialmente los relativos al movimiento retrógrado de Marte se dio

cuenta de que el movimiento de los planetas no podía ser explicado por su modelo de poliedros

perfectos y armonía de esferas. Kepler, hombre profundamente religioso, incapaz de aceptar que Dios

no hubiera dispuesto que los planetas describieran figuras geométricas simples, se dedicó con tesón

ilimitado a probar con toda suerte de combinaciones de círculos. Cuando se convenció de la

imposibilidad de lograrlo con círculos, usó óvalos. Al fracasar también con ellos, «sólo me quedó una

carreta de estiércol» y empleó elipses. Con ellas desentrañó sus famosas tres leyes (publicadas en

1609 en su obra Astronomia Nova) que describen el movimiento de los planetas. Leyes que asombraron

al mundo, le revelaron como el mejor astrónomo de su época, aunque él no dejó de vivir como un cierto

fracaso de su primigenia intuición de simplicidad (¿por qué elipses, habiendo círculos?). Sin embargo,

tres siglos después, su intuición se vio confirmada cuando Einstein mostró en su Teoría de

la Relatividad general que en la geometría tetradimensional del espacio-tiempo los cuerpos celestes

siguen líneas rectas. Y es que aún había una figura más simple que el círculo: la recta.

Mapa del mundo, de Tabulae Rudolphine.

En 1627 publicó las Tabulae Rudolphine, a las que dedicó un enorme esfuerzo, y que durante más de

un siglo se usaron en todo el mundo para calcular las posiciones de los planetas y las estrellas.

Utilizando las leyes del movimiento planetario fue capaz de predecir satisfactoriamente eltránsito de

Venus del año 1631 con lo que su teoría quedó confirmada.

Escribió un biógrafo de la época con admiración, lo grande y magnífica que fue la obra de Kepler, pero

al final se lamentaba de que un hombre de su sabiduría, en la última etapa de su vida, tuviese demencia

senil, llegando incluso a afirmar que "las mareas venían motivadas por una atracción que la luna ejercía

sobre los mares...", un hecho que fue demostrado años después de su muerte.

En su honor una cadena montañosa del satélite marciano Fobos fue bautizada con el nombre de 'Kepler

Dorsum'.

Las tres leyes de Kepler[editar]

Artículo principal: Leyes de Kepler.

Durante su estancia con Tycho le fue imposible acceder a los datos de los movimientos aparentes de los

planetas ya que Tycho se negaba a dar esa información. Ya en el lecho de muerte de Tycho y después

a través de su familia, Kepler accedió a los datos de las órbitas de los planetas que durante años se

habían ido recolectando. Gracias a esos datos, los más precisos y abundantes de la época, Kepler pudo

ir deduciendo las órbitas reales planetarias. Afortunadamente, Tycho se centró en Marte, con una

elíptica muy acusada, de otra manera le hubiera sido imposible a Kepler darse cuenta de que las órbitas

de los planetas eran elípticas. Inicialmente Kepler intentó el círculo, por ser la más perfecta de las

trayectorias, pero los datos observados impedían un correcto ajuste, lo que entristeció a Kepler ya que

no podía saltarse un pertinaz error de ocho minutos de arco. Kepler comprendió que debía abandonar el

círculo, lo que implicaba abandonar la idea de un "mundo perfecto". De profundas creencias religiosas,

le costó llegar a la conclusión de que la tierra era un planeta imperfecto, asolado por las guerras, en esa

misma misiva incluyó la cita clave: "Si los planetas son lugares imperfectos, ¿por qué no deben de serlo

las órbitas de las mismas?". Finalmente utilizó la fórmula de la elipse, una rara figura descrita

por Apolonio de Pérgamo una de las obras salvadas de la destrucción de la biblioteca de Alejandría.

Descubrió que encajaba perfectamente en las mediciones de Tycho.

Había descubierto la primera ley de Kepler:

Los planetas tienen movimientos elípticos alrededor del Sol, estando éste situado en uno de los 2

focos que contiene la elipse.

Después de ese importante salto, en donde por primera vez los hechos se anteponían a los deseos y los

prejuicios sobre la naturaleza del mundo. Kepler se dedicó simplemente a observar los datos y sacar

conclusiones ya sin ninguna idea preconcebida. Pasó a comprobar la velocidad del planeta a través de

las órbitas llegando a la segunda ley:

Las áreas barridas por los radios de los planetas son proporcionales al tiempo empleado por estos

en recorrer el perímetro de dichas áreas.

Durante mucho tiempo, Kepler solo pudo confirmar estas dos leyes en el resto de planetas. Aun así fue

un logro espectacular, pero faltaba relacionar las trayectorias de los planetas entre sí. Tras varios años,

descubrió la tercera e importantísima ley del movimiento planetario:

El cuadrado de los períodos de la órbita de los planetas es proporcional al cubo de la distancia

promedio al Sol.

Esta ley, llamada también ley armónica, junto con las otras leyes permitía ya unificar, predecir y

comprender todos los movimientos de los astros.

SN 1604: La estrella de Kepler[editar]

Restos de la estrella de Kepler, la supernova SN 1604. Esta imagen ha sido compuesta a

partir de imágenes delTelescopio espacial Spitzer, el Telescopio Espacial Hubble y

el Observatorio de Rayos X Chandra.

El 17 de octubre de 1604 Kepler observó una supernova en la Vía Láctea, nuestra propia Galaxia, a la

que más tarde se le llamaría la estrella de Kepler. La estrella había sido observada por otros astrónomos

europeos el día 9 como Brunowski en Praga (quién escribió a

Kepler), Altobelli enVerona y Clavius en Roma y Capra y Marius en Padua. Kepler inspirado por el

trabajo de Tycho Brahe realizó un estudio detallado de su aparición. Su obra De Stella nova in pede

Serpentarii ('La nueva estrella en el pie de Ophiuchus') proporcionaba evidencias de que el Universo no

era estático y sí sometido a importantes cambios. La estrella pudo ser observada a simple vista durante

18 meses después de su aparición. La supernova se encuentra a tan solo 13000 años luz de nosotros.

Ninguna supernova posterior ha sido observada en tiempos históricos dentro de nuestra propia galaxia.

Dada la evolución del brillo de la estrella hoy en día se sospecha que se trata de una supernova de tipo

I.

Obras de Kepler[editar]

1596 - Mysterium Cosmographicum [El misterio cósmico]. Hay traducción en español publicada por

Alianza Editorial, El secreto del Universo.

1604 - Astronomiae Pars Óptica [La parte óptica de la astronomía].

1604 - De Stella nova in pede Serpentarii [La nueva estrella en el pie de Ophiuchus].

1609 -Astronomia nova' [Nueva astronomía].

1604 - Conversación con el mensajero sideral, editado junto a La gaceta sideral de Galileo Galilei;

introducción, traducción y notas de Carlos Solís. Madrid: Alianza Editorial, 2007.

1611 - Dioptrice [Dióptrica].

1611 - Strena, seu de Nive Sexangula [Strena, sobre el copo de nieve hexagonal].

1618-21 - Epitome astronomiae Copernicanae (publicado en tres partes).

1619 - Harmonices Mundi [La armonía del mundo].

1627 - Tabulae Rudolphinae.

1634 - Somnium sive Astronomia lunaris [El sueño]. Considerado como el primer precursor de

la ciencia ficción. Hay traducción de Francisco Socas, El sueño o La astronomía de la luna,

publicada por la Universidad de Huelva y la Universidad de Sevilla, 2001.

Referencias[editar]

1. ↑  International Astronomical Union. «Kepler». Gazeteer of Planetary

Nomenclature. Consultado el 13 de septiembre de 2012.

Bibliografía[editar]

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Berthold Sutter: Der Hexenprozess gegen Katharina Kepler, 1979

Johannes Tralow : Kepler und der Kaiser. Berlin: Verlag der Nation 1961

Enlaces externos

Johannes Kepler

(Würtemburg, actual Alemania, 1571-Ratisbona, id., 1630) Astrónomo, matemático y físico alemán. Hijo de un mercenario -que sirvió por dinero en las huestes del duque de Alba y desapareció en el exilio en 1589- y de una madre sospechosa de practicar la brujería, Johannes Kepler superó las secuelas de una infancia desgraciada y sórdida merced a su tenacidad e inteligencia.

Tras estudiar en los seminarios de Adelberg y Maulbronn, Kepler ingresó en la Universidad de Tubinga (1588), donde cursó los estudios de teología y fue también discípulo del copernicano Michael Mästlin. En 1594, sin embargo, interrumpió su carrera teológica al aceptar una plaza como profesor de matemáticas en el seminario protestante de Graz.

Johannes Kepler

Cuatro años más tarde, unos meses después de contraer un matrimonio de conveniencia, el edicto del archiduque Fernando contra los maestros protestantes le obligó a abandonar Austria y en 1600 se trasladó a Praga invitado por Tycho Brahe. Cuando éste murió repentinamente al año siguiente, Kepler lo sustituyó como matemático imperial de Rodolfo II, con el encargo de acabar las tablas astronómicas iniciadas por Brahe y en calidad de consejero astrológico, función a la que recurrió con frecuencia para ganarse la vida.

En 1611 fallecieron su esposa y uno de sus tres hijos; poco tiempo después, tras el óbito del emperador y la subida al trono de su hermano Matías, fue nombrado profesor de matemáticas en Linz. Allí residió Kepler hasta que, en 1626, las dificultades económicas y el clima de inestabilidad originado por la guerra de los Treinta Años lo llevaron a Ulm, donde supervisó la impresión de las Tablas rudolfinas, iniciadas por Brahe y completadas en 1624 por él mismo utilizando las leyes relativas a los movimientos planetarios que aquél estableció.

En 1628 pasó al servicio de A. von Wallenstein, en Sagan (Silesia), quien le prometió, en vano, resarcirle de la deuda contraída con él por la Corona a lo largo de los años. Un mes antes de morir, víctima de la fiebre, Kepler había abandonado Silesia en busca de un nuevo empleo.

La primera etapa en la obra de Kepler, desarrollada durante sus años en Graz, se centró en los problemas relacionados con las órbitas planetarias, así como en las velocidades variables con que los planetas las recorren, para lo que partió de la concepción pitagórica según la cual el mundo se rige en base a una armonía preestablecida. Tras intentar una solución aritmética de la cuestión, creyó encontrar una respuesta geométrica relacionando los intervalos entre las órbitas de los seis planetas entonces conocidos con los cinco sólidos regulares. Juzgó haber resuelto así un «misterio cosmográfico» que expuso en su primera obra, Mysterium cosmographicum (El misterio cosmográfico, 1596), de la que envió un ejemplar a Brahe y otro a Galileo, con el cual mantuvo una esporádica relación epistolar y a quien se unió en la defensa de la causa copernicana.

Durante el tiempo que permaneció en Praga, Kepler realizó una notable labor en el campo de la óptica: enunció una primera aproximación satisfactoria de la ley de la refracción, distinguió por vez primera claramente entre los problemas físicos de la visión y sus aspectos fisiológicos, y analizó el aspecto geométrico de diversos sistemas ópticos.

Pero el trabajo más importante de Kepler fue la revisión de los esquemas cosmológicos conocidos a partir de la gran cantidad de observaciones acumuladas por Brahe (en especial, las relativas a Marte), labor que desembocó en la publicación, en 1609, de la Astronomia nova (Nueva astronomía), la obra que contenía las dos primeras leyes llamadas de Kepler, relativas a la elipticidad de las órbitas y a la igualdad de las áreas barridas, en tiempos iguales, por los radios vectores que unen los planetas con el Sol.

Culminó su obra durante su estancia en Linz, en donde enunció la tercera de sus leyes, que relaciona numéricamente los períodos de revolución de los planetas con sus distancias medias al Sol; la publicó en 1619 en Harmonices mundi (Sobre la armonía del mundo), como una más de las armonías de la naturaleza, cuyo secreto creyó haber conseguido desvelar merced a una peculiar síntesis entre la astronomía, la música y la geometría.

Apolonio de Perge

Apolonio de Perga(Griego antiguo: Ἀπολλώνιος)

200px

Nacimiento 262 a.C.

Pérgamo

Fallecimiento 190 a.C. (72 años)

Alejandría

Campo matemático y astrónomo

Conocido por teoría de los epiciclos

Problema de Apolonio

Apolonio de Perge, Apolonio de Perga o Apolonio de Pérgamo (Griego antiguo: Ἀπολλώνιος)

(Perge, c. 262 - Alejandría, c. 190 a. C.) fue ungeómetra griego famoso por su obra Sobre las secciones

cónicas. Fue Apolonio quien dio el nombre de elipse, parábola e hipérbola, a las figuras que conocemos.

También se le atribuye la hipótesis de las órbitas excéntricas o teoría de los epiciclos para intentar

explicar el movimiento aparente de los planetas y de la velocidad variable de la Luna.

Sus extensos trabajos sobre geometría tratan de las secciones cónicas y de las curvas planas y la

cuadratura de sus áreas. Recopiló su obra en ocho libros y fue conocido con el sobrenombre de El Gran

Geómetra.1

Índice

  [ocultar] 

1 Biografía

2 Obra

3 Véase también

4 Referencias

5 Enlaces externos

Biografía[editar]

Nació: Alrededor del 262 A.C. en Perga, Grecia Ionia (Ahora Turquía) y falleció: Alrededor del 190 A.C

en Alejandría, Egipto.

Se sabe que estuvo en Alejandría durante los reinados de Ptolomeo Evergetes y Ptolomeo Filopater, a

la vez que fue tesorero general de Ptolomeo Filadelfo. Por las fuentes se puede afirmar que era entre

veinticinco y cuarenta años más joven que Arquímedes, de allí la estimación de sus años de nacimiento

y muerte. Fuera de ello, lo poco que se sabe de su vida es que estudió en Alejandría y en esta ciudad se

dedicó a la enseñanza; y que vivió al menos un tiempo en Pérgamo.1

Obra[editar]

Propuso y resolvió el problema de hallar las circunferencias tangentes a tres círculos dados, conocido

como problema de Apolonio. El problema aparece en su obra, hoy perdida, Las Tangenciaso Los

Contactos, conocida gracias a Pappus de Alejandría. Respecto a sus obras, se han perdido muchas:

Reparto rápido, en el que se enseñaban métodos rápidos de cálculo y se daba una aproximación

del número π; Secciones en una razón dada, trataba sobre los problemas derivados de trazar una recta

que pase por un punto dado y que corte a otras dos rectas dadas en segmentos (medidos desde sendos

puntos situados en dichas rectas) que estén en una razón dada (este problema es equivalente a

resolver la ecuación ax - x2 = bc); Secciones en un área dada, problema parecido al anterior, pero ahora

se pide que los segmentos determinados por las intersecciones formen un rectángulo equivalente a otro

(este problema es equivalente a resolver la ecuación ax + x2=bc); Secciones determinadas, dados

cuatro puntos A, B, C, D, sobre una recta, encontrar un quinto punto P, tal que el rectángulo construido

sobre AP y CP esté en una razón dada con el rectángulo construido sobre BP y DP; Tangencias,

resuelve los problemas de construir una circunferencia tangente a tres elementos cualesquiera elegidos

entre un punto, una recta y una circunferencia (este problema se conoce como el problema de

Apolonio); Lugares planos, los griegos clasificaban las curvas en tres tipos: lugares planos, eran las

rectas y las circunferencias, lugares sólidos eran las secciones cónicas y lugares lineales el resto de las

curvas; Inclinaciones, trataba del problema de trazar una circunferencia dada una cuerda de longitud

dada pasando por un punto dado.

Sólo dos obras de Apolonio han llegado hasta nuestros días: Secciones en una razón dada (no se

conserva el original sino una traducción al árabe) y Las Cónicas (sólo se conserva el original de la mitad

de la obra, el resto es una traducción al árabe). Esta última es la obra más importante de Apolonio, es

más, junto con los Elementos de Euclides es uno de los libros más importantes de matemáticas.

Las Cónicas está formado por 8 libros. Fue escrito cuando Apolonio estaba en Alejandría pero

posteriormente, ya en Pérgamo (hoy Bergama en Turquía), lo mejoró.

El libro I: trata de las propiedades fundamentales de estas curvas.

El libro II trata de los diámetros conjugados y de las tangentes de estas curvas.

El libro III: trata de los tipos de conos.

El libro IV: trata de las maneras en que pueden cortarse las secciones de conos.

El libro V: estudia segmentos máximos y mínimos trazados respecto a una cónica.

El libro VI: trata sobre cónicas semejante.

El libro VII: trata sobre los diámetros conjugados.

El libro VIII: se ha perdido, se cree que era un apéndice.

Los métodos que utiliza Apolonio (uso de rectas como sistemas de referencia) son muy parecidos a los

utilizados por Descartes en su Geometría y se considera una anticipación de la Geometría analítica

actual.

Apolonio de Perga(Unknown - Unknown)

Apolonio de Perga 

Matemático griego

Nació alrededor del 262 A.C. en Perga, Grecia Ionia (hoy Turquía). Cursó estudios en Alejandría y luego visitó Pérgamo. Fue conocido como "El gran geómetra", su famoso libro "Secciones Cónicas" introdujo los términos: parábola, elipse e hipérbola espiral. Ideó el tornillo, inventado en el año 200 AC.. El invento se generó a partir del desarrollo de la geometría de la hélice espiral. Creó los cimientos de la geometría a través de un compendio de 8 libros titulados Tratado de las cónicas. Los libros del 1 al 4 no contienen material original pero introducen las propiedades básicas de cónicas que fueron conocidas por Euclídes, Aristóteles y otros. Los libros del 5 al 7 son originales; en estos discute y muestra como muchas de las cónicas pueden ser dibujadas desde un punto. Da proposiciones determinando el centro de curvatura lo cual conduce inmediatamente a la ecuación cartesiana del desarrollo de la evolución. El libro número 8 de "Secciones Cónicas" está perdido, mientras que los libros del 5 al 7 sólo existen en traducción Arábica. Sabemos que obtuvo una aproximación de pi entre 22/7. Consideró un solo cono y hace variar la oblicuidad del plano que lo corta. De esta manera obtuvo como curva fundamental la parábola cuya ecuación es y2 = 2pix. Las otras dos curvas las caracteriza por : y2<2pix, que equivale a la hipérbola ("exceso"). En "On the Burning Mirror" mostró que rayos de luz paralelos no caen a un foco en un espejo esférico (como ha sido previamente pensado) y discutió las propiedades focales de un espejo parabólico. También fue fundador de la astronomía matemática griega, la cual usó modelos geométricos para explicar la teoría planetaria. Además se le atribuye la invención del reloj solar. Falleció alrededor del 190 A.C en alejandría, Egipto. 

iografía de Apolonio de Perga

Por :Javier de la Guardia

Conocido como "el gran geómetra" tuvo gran influencia en el desarrollo de las matemáticas, introduciendo términos como parábola, elipse e hipérbola.

Nació: alrededor del 262 a. de C. en Perga, Panfilia, Grecia Jónica (ahora Murtina, Antalia, Turquía)Murió: alrededor del 190 a. de C. en Alejandría, Egipto.

Apolonio de Perga era conocido como 'el gran geómetra'. Sabemos poco de su vida pero sus trabajos tuvieron una gran influencia en el desarrollo de las matemáticas, en particular su famoso libro Las cónicas1 introdujo términos tan familiares hoy en día como parábola2, elipse3 e hipérbola4.

Apolonio de Perga no debe ser confundido con otro estudiosos griegos llamados Apolonio, ya que éste era un nombre muy común. En [1] se dan detalles de otros con ese mismo nombre: Apolonio de Rodas, nacido alrededor del 295 a.C., poeta y gramático griego, alumno de Calímaco que fue maestro de Eratóstenes; Apolonio de Tralles, siglo II a. de C. escultor griego; Apolonio el ateniense, siglo I a. de C., escultor; Apolonio

de Tiana, siglo I, miembro de la sociedad fundada por Pitágoras; Apolonio Díscolo, siglo II, gramático griego que es conocido por ser el fundador del estudio sistemático de la gramática; y Apolonio de Tiro que es un personaje literario.

Apolonio el matemático nació en Perga, Panfilia, lo que es hoy conocido como Murtina, o Murtana y se encuentra en Antalia, Turquía. En esa época, Pérgamo era conocido como centro cultural y además era el lugar en el que se hallaba el santuario de la diosa Artemisa. De joven Apolonio fue a Alejandría donde estudió con los seguidores de Euclides y donde más tarde él mismo daría clases. Apolonio visitó Pérgamo lugar en el que existía una universidad y una biblioteca similares a las de Alejandría. Pérgamo, hoy la ciudad de Bergama en la provincia turca de Izmir, era una antigua ciudad griega de Misia. Estaba situada a 25 kms. del mar Egeo sobre una colina en el lado norte del amplio valle del río Caicus (hoy río Bakir).

Mientras Apolonio estuvo en Pérgamo se encontró con Eudemo de Pérgamo (no confundir con Eudemo de Rodas que escribió la Historia de la Geometría) y también con Atalo, considerado por algunos como el rey Atalo I de Pérgamo. En el prefacio a la segunda edición de su Las cónicas, Apolonio se dirigió a Eudemo (ver [4] o [5]):Si estás saludable y las cosas están en otros asuntos como deseas, todo está bien; yo también me siento moderadamente bien. Durante la época que estuve contigo en Pérgamo observé tu impaciencia por pasar a limpio mi trabajo 'Las cónicas'.Lo único que sabemos sobre la vida de Apolonio lo encontramos en el prefacio de las diferentes ediciones de Las cónicas. Sabemos que tuvo un hijo, llamado como él, y de hecho sabemos también que su hijo llevo la segunda edición de Las cónicas desde Alejandría hasta Eudemo en Pérgamo. También sabemos partiendo del prefacio del libro que Apolonio presentó al geómetra Filónidas a Eudemo mientras estuvieron en Éfeso.

Sabemos bastante más sobre los libros que escribió Apolonio. Las cónicas estaba dividido en ocho volúmenes pero tan sólo los cuatro primeros han perdurado en el griego original. En árabe, sin embargo, podemos encontrar los siete primeros.

Debemos remarcar en primer lugar que para Apolonio las secciones cónicas son por definición las curvas formadas por un plano que

intersecta la superficie de un cono. Apolonio explica en su prefacio cómo llegó a escribir su famoso trabajo 'Las cónicas' (ver [4] o [5]):... comencé investigando esta materia a petición de Náucrato el geómetra en la época en la que vino a Alejandría y permaneció conmigo, y, cuando terminé los ocho libros se los entregué en el momento, muy deprisa, porque estaba marchándose por mar; no habían sido revisados, de hecho los escribí de un tirón, posponiendo su revisión hasta el final.Los libros I y II de Las cónicas comenzaron a circular sin ninguna revisión, de hecho hay evidencias de que ciertas traducciones que han llegado a nosotros proceden de esos primeros manuscritos. Apolonio escribe (ver [4] o [5]):... algunas personas también, entre mis conocidos, consiguieron el primer y el segundo libro antes de que los corrigiera. ...Las cónicas se dividía en 8 volúmenes. Del uno al cuatro forman una introducción elemental a las propiedades básicas de los conos. La mayor parte de los resultados de estos libros eran conocidos porEuclides, Aristeo y otros pero algunos son, en palabras del propio Apolonio:... más trabajados y generalistas que en los escritos de otros.En el libro uno se estudian las relaciones entre los diámetros y tangentes5 de los conos, mientras que en el libro dos Apolonio investiga como se relacionan las hipérbolas con las asíntotas6, y estudia además como dibujar tangentes para conseguir conos. Hay, sin embargo, nuevos resultados en estos libros, en particular en el tercero. Apolonio escribe de este texto (ver [4] o [5]):... los mejores y más hermosos de estos teoremas son nuevos, y su descubrimiento me advirtió que Euclides no consiguió la síntesis de los lugares geométricos7 con respecto a tres o cuatro líneas, sino tan sólo una pequeña porción, y sin éxito; porque no era posible para tal síntesis ser completada sin la ayuda de los teoremas que he descubierto.Los libros V al VII son muy originales. En ellos Apolonio discute las normales8 a las cónicas y muestra cuantos pueden dibujarse a partir de un punto. Da proposiciones determinando el centro de curvatura que conduce a la ecuación cartesiana de la evoluta9. Heath escribe del libro cinco [5]:... es el más importante de los libros. Trata de normales a las cónicas vistas como líneas rectas máximas y mínimas dibujadas desde los puntos particulares de una curva. Incluido en él existen una serie de proposiciones las cuales, aunque resueltas mediante los más puros métodos geométricos, conducen directamente a la determinación de la evoluta de cada uno de las tres cónicas; o lo que es lo mismo, las ecuaciones cartesianas de las evolutas pueden ser fácilmente deducidas

de los resultados obtenidos por Apolonio. No hay ninguna duda de que el libro es casi todo original y es un verdadero 'tour de force' geométrico.La belleza de los Las cónicas de Apolonio puede adivinarse fácilmente leyendo las proposiciones de Heath, ver [4] o [5]. Sin embargo, Heath explica en [5] lo difícil que resulta leer el texto original:... el tratado es un gran clásico que merece ser mejor conocido de lo que es en realidad. Lo que lo hace tan difícil de leer en su forma original es la enorme extensión de la exposición (contiene 387 proposiciones separadas), debido principalmente al hábito de los griegos de demostrar casos particulares de una proposición general de forma separada a la propia proposición, pero más a la voluminosidad de los enunciados de complicadas proposiciones en términos generales (sin la ayuda de letras para marcar puntos particulares) y a la elaboración de la forma euclidiana, a la que Apolonio se adhiere de forma absoluta.Pappo proporciona algunas indicaciones del contenido de los restantes seis libros de Apolonio. Eran: Corte de una razón (en dos libros), Corte de un área (en dos libros), Determinación de una sección (en dos libros) y Construcciones (en dos libros). Corte de una razón sobrevive en árabe y el bibliógrafo del siglo X Ibn al-Nadim nos dice que otros tres trabajos fueron traducidos al árabe aunque ninguno de ellos ha llegado a nuestros días.

Para ilustrar lo lejos que llegó Apolonio en su geometría comparándola con los Elementos de Euclidespodemos considerar los resultados que se sabe estaban contenidos en Tangentes. En el libro III de losElementos, Euclides muestra cómo dibujar un círculo mediante tres puntos dados. En Tangentes, Apolonio muestra cómo construir el círculo tangencial a tres líneas dadas. De forma más general muestra cómo construir el círculo que es tangente a tres objetos cualesquiera, sean puntos, líneas o círculos.

En [11] Hogendijk cuenta que dos trabajos de Apolonio, que se desconocía que estuvierann traducidos al árabe, eran conocidos por geómetras musulmanes del siglo X. Son los trabajos Plane loci yConstrucciones. En [11] se describen algunos resultados de esos trabajos que desconocíamos fueran demostrados por Apolonio.

De otras fuentes surgen referencias a más trabajos de Apolonio, ninguno de los cuales ha perdurado. Hípsiclo hace referencia a un trabajo de Apolonio en el que compara un dodecaedro10 y un icosaedro11inscritos en la misma esfera, que como Las cónicas apareció en dos ediciones.

Marino, escribiendo un comentario sobre los datos de Euclides, hace referencia a un trabajo general de Apolonio en el que se discuten los fundamentos de las matemáticas tales como el significado de los axiomas. Apolonio también escribió sobre las hélices cilíndricas y otro sobre los números irracionales12, así lo menciona Proclo. Eutocio hace referencia a un libro de Apolonio en el que obtiene una aproximación para π mejor que la de223/71 < π < 22/7

conocida por Arquímedes. En El espejo ardiente, Apolonio demostró que los rayos paralelos de luz no se concentran en un foco por un espejo esférico (como se creía con anterioridad) y discutió las propiedades focales de un espejo parabólico.

Apolonio también fue un importante fundador de la astronomía matemática griega, que utilizaba modelos geométricos para explicar la teoría planetaria. Ptolomeo en su libro Sintaxis introdujo sistemas de movimiento excéntrico13 y epicíclico14 para explicar los movimientos aparentes de los planetas a través del cielo. Y esto no es del todo cierto ya que la teoría de epiciclos parte de las ideas de Apolonio.

Apolonio hizo contribuciones sustanciales usando sus grandes destrezas geométricas. Particularmente hizo un estudio de los puntos donde un planeta aparece estacionario, nombrando los puntos donde el movimiento hacia delante cambia a retrógrado o a la inversa.

Hubo otras aplicaciones hechas por Apolonio, usando su conocimiento sobre los conos, para resolver problemas prácticos. Desarrolló el hemiciclo, un reloj solar que marcaba las líneas de las horas en la superficie de una sección cónica proporcionando mayor precisión.

Artículo de: J J O'Connor y E F RobertsonMacTutor History of Mathematics Archive 

Glosario

1. Una cónica o sección cónica es una de las curvas (círculo, parábola, hipérbola o elipse) que pueden obtenerse intersectando un plano y un cono (de doble lado).

2. Una parábola es una de las secciones cónicas. Se puede definir como el lugar geométrico de todos los puntos que se encuentran a

la misma distancia de una recta fija (directriz) y de un punto fijo (foco). También se puede definir usando coordenadas cartesianas como el conjunto de puntos en un plano que satisfacen la ecuación y = x2.

3. Una elipse es una de las secciones cónicas. Puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es siempre igual a una constante e que es < 1. A e se le llama la excentricidad de la elipse. También se le puede definir mediante coordenadas cartesianas como el conjunto de puntos en un plano que satisfacen la ecuación ax2 + by2= 1. 

4. Una hipérbola es una de las secciones cónicas. Se puede definir como el lugar geométrico de todos los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es siempre igual a una constante e > 1, o mediante coordenadas cartesianas como el conjunto de puntos en un plano que satisfacen la ecuación ax2 - by2 = 1.

5. Una tangente a una curva en el punto p es la mejor aproximación lineal a la curva cerca de ese punto. Puede verse como el límite de todas las secantes desde el punto p a otros puntos cercanos a p. Si dos curvas tienen una tangente común en el punto de intersección, entonces se dice que las curvas se tocan o son tangentes.

6. Una asíntota a una curva es una línea recta (o, de manera más general, otra curva) que está arbitrariamente cerca de la curva. Una hipérbola tiene un par de líneas rectas como asíntotas.

7. Un lugar geométrico es el conjunto de puntos que comparten una propiedad común. Por ejemplo, una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo (centro) es constante.normal

8. La evoluta de una curva es la envolvente de las normales a la curva. También puede considerarse como el lugar geométrico de los centros de curvatura.

9. Un dodecaedro es un poliedro regular con 12 caras, cada una de las cuales es un pentágono regular.

10. Un icosaedro es un poliedro regular con 20 caras, cada una de las cuales es un triángulo equilátero.

11. Se dice que un círculo está inscrito en un triángulo u otro polígono si los lados de éste último son tangentes al círculo. Se dice entonces que el polígono está circunscrito al círculo. Al círculo inscrito en un triángulo se le llama incírculo y a su centro, incentro.

12. Un número irracional es un número real que no es racional, es decir, que no puede escribirse como el cociente (división) de dos números enteros. Ejemplos: π, e, √2.

13. La teoría excéntrica es la que plantea que los planetas se mueven en círculos cuyos centros no coinciden con la Tierra.

14. Una epicicloide es la curva que dibuja el centro de un círculo que se arrastra alrededor de otro círculo. Los epiciclos fueron introducidos originalmente para explicar las órbitas de cuerpos planetarios entre las estrellas fijas.

Bibliografía

1. Biografía en Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990). 

2. Biografía en Encyclopaedia Britannica. 

4. B Elsner, 'Apollonius Saxonicus' : Die Restitution eines verlorenen Werkes des Apollonius von Perga durch Joachim Jungius, Woldeck Weland und Johannes Müller (Göttingen, 1988). 

11. J P Hogendijk, Desargues' 'Brouillon project' and the 'Conics' of Apollonius, Centaurus 34 (1) (1991), 1-43.

Ronald GrahamDe Wikipedia, la enciclopedia libre

Para otras personas nombradas Ron Graham, vea Ron Graham (desambiguación) .

Ronald Graham

Ronald Graham [ ¿cuándo? ]

Nacido 31 de octubre 1935 (77 años) 

Taft, California

Instituciones Cal-(IT) 2  y UCSD

Alma máter Universidad de California, Berkeley

Doctoral consejero Derrick Henry Lehmer

Ronald Graham Lewis (nacido el 31 de octubre 1935) [ 1 ] es un matemático acreditado por la American

Mathematical Society como "uno de los principales arquitectos del rápido desarrollo en todo el mundo

de las matemáticas discretas en los últimos años ". [ 2 ] Él ha hecho importantes trabajar en la teoría de la

programación , la geometría computacional , la teoría de Ramsey , y cuasi-aleatoriedad . [ 3 ] [ 4 ]

En la actualidad es Jefe Científico en el Instituto de California de Telecomunicaciones y Tecnologías de

la Información (también conocida como Cal-(IT), 2 ) y el Irwin y Joan Jacobs profesor en Ciencias de la

Computación e Ingeniería de la Universidad de California, San Diego (UCSD).

Contenido

  [ ocultar ] 

1 Biografía

2 Premios y honores

3 Véase también

4 Referencias

5 Enlaces externos

Biografía [ editar ]

Graham nació en Taft, California . En 1962, recibió su doctorado en matemáticas de la Universidad de

California, Berkeley .

Su artículo 1977 considera un problema en la teoría de Ramsey, y le dio un " gran número ", como un

límite superior para su solución. Este número se ha convertido en bien conocido como el mayor número

jamás utilizada en una prueba matemática (aparece como tal en el Libro Guinness de los Récords ), y

ahora se conoce como el número de Graham .

Graham popularizó el concepto de número de Erdös , llamado así por el matemático húngaro altamente

prolífico Paul Erdös (1913-1996). Número Erdős de un científico es el número mínimo de publicaciones

coautor lejos de una publicación con Erdös. Número Erdős de Graham es 1. Es co-autor de casi 30

papeles con Erdös, y era también un buen amigo. Erdős menudo se quedaron con Graham, y le permitió

ocuparse de sus trabajos matemáticos e incluso su ingreso. Graham y Erdős visitaron el joven

matemático Jon Folkman cuando fue hospitalizado con cáncer cerebral. [ 5 ]

Ronald Graham haciendo malabarismos con un cuatro bolas fuente [ ¿cuándo? ]

Entre 1993 y 1994, Graham se desempeñó como presidente de la Sociedad Americana de

Matemáticas. Graham también fue ofrecido en Ripley lo cree o no por ser no sólo "uno de los

matemáticos más importantes del mundo", sino también "un trampolinist altamente cualificados y

malabarista", y ex presidente de la Asociación de Malabaristas Internacionales .

Ronald Graham, su esposa Fan Chung y Paul Erdös, Japón 1986

Ha publicado alrededor de 320 artículos y cinco libros, incluyendo Matemáticas hormigón con Donald

Knuth . [ 6 ]

Está casado con Fan Chung Graham (conocido profesionalmente como Fan Chung ), que es el profesor

de matemáticas Akamai Internet en la Universidad de California, San Diego. Tiene cuatro hijos, hijas

Ché, Laura y Christy, y un hijo de Marc de un matrimonio anterior.

Premios y reconocimientos [ editar ]

En 2003, Graham ganó anual de la American Mathematical Society Premio Steele por su trayectoria

artística. El premio fue entregado el 16 de enero de ese año, en las Matemáticas reuniones conjuntas

en Baltimore, Maryland . En 1999 fue admitido como miembro de la Association for Computing

Machinery . Graham, matemático prolífico y ser humano trabajador, ha ganado numerosos premios en

los últimos años, fue uno de los galardonados con el prestigioso Premio Pólya el primer año en que se

ha sido otorgado, y entre los primeros en ganar la Medalla de Euler . La Asociación Matemática de

América también se le ha concedido tanto el Lester R. Ford premio que fue "... estableció en 1964 para

reconocer a los autores de artículos de excelencia expositiva publicados en The American Mathematical

Monthly ... ", [ 7 ] y Carl Allendoerfer premio que fue establecido en 1976 por las mismas razones, sin

embargo, para una revista diferente, la Revista Matemática . [ 8 ] En 2012 se convirtió en miembro de

la Sociedad Americana de Matemáticas . [ 9 ]

Véase también [ editar ]

Algoritmo Coffman-Graham

Problema Erdős-Graham

Número de Graham

Graham scan

Mayor pequeña Polígono

Referencias [ editar ]

1. ̂  O'Connor, John J. ; Robertson, Edmund F. , "Ronald Graham" ,MacTutor

Historia de las matemáticas archivo , de la Universidad de St Andrews .

2. ̂  documento AMS sobre el Steele Premios 2003 ( PDF format)

3. ̂  Horgan, J. (1997) Perfil: Ronald L. Graham - malabarismo , Scientific

American 276 (3), 28-30.

4. ̂  Diaconis, Persi , Graham, Ron (2011), Matemáticas Mágicas: Las ideas

matemáticas que animan Grandes trucos de magia , Princeton, NJ: Princeton

University Press, ISBN  0-691-15164-4

El número de Graham, que recibe su nombre de Ronald Graham, es un número

grande que es una cota superior de la solución de un determinado problema en

la teoría de Ramsey. Este número consiguió cierta fama popular cuando Martin

Gardner lo describió en la sección «Mathematical Games» (Juegos Matemáticos)

de la revista Scientific American en noviembre de 1977:

En una demostración no publicada, Graham ha establecido recientemente ... una cota tan

vasta que tiene el registro de ser el mayor número jamás usado en una demostración

matemática seria.1

El Libro Guinness de los récords, en su edición de 1980, repitió la afirmación de

Gardner, lo que contribuyó al interés popular de este número. El número de

Graham es mucho mayor que otros conocidos números grandes tales como

el gúgol, el gúgolplex e incluso el número de Skewes y el de Moser. De hecho, es

imposible, dadas las limitaciones de espacio y materia de nuestrouniverso, denotar

el número de Graham o una aproximación razonable del mismo en un sistema de

numeración convencional. Incluso las «torres de exponentes» de la forma   se

revelan inútiles para este propósito, aunque el número puede ser descrito

mediante fórmulas recursivas por medio de la notación flecha de Knuth o fórmulas

equivalentes, como hizo Graham. Los diez últimos dígitos del número de Graham

son ...2464195387.

Desde el descubrimiento y uso del número de Graham, se han empleado números

aún mayores en otras demostraciones matemáticas, por ejemplo, relacionadas

con las variadas formas finitas de Friedman del teorema de Kruskal.

Índice

  [ocultar] 

1 Problema de Graham

2 Definición del número de Graham

o 2.1 Magnitud del número de Graham

3 Últimas cifras del número de Graham

4 Temas relacionados

5 Referencias

6 Bibliografía

7 Enlaces externos

Problema de Graham[editar]

El número de Graham está relacionado con el siguiente problema perteneciente a

la rama de las matemáticas conocida como la teoría de Ramsey:

Considérese un hipercubo n-dimensional, y conéctese cada par

de vértices para obtener un grafo completo con   vértices.

Posteriormente, coloréese cada una de las aristas de negro o de rojo.

¿Cuál es el menor valor de n para el cual toda manera de colorear las

aristas necesariamente da lugar a un subgrafo completo de un solo color

con 4 vértices que forman un plano?

Graham y Rothschild [1971] demostraron que este problema tiene una

solución, N*, y dieron como acotación de la misma 6 ≤ N* ≤ N, siendo N un

número determinado, definido explícitamente y muy grande; sin embargo, Graham

(en un trabajo no publicado) revisó esta cota superior al alza. Esta cota superior

revisada por Graham fue posteriormente publicada (y apodada número de

Graham) por Martin Gardner en [Scientific American, "Mathematical Games",

noviembre de 1977].

La cota inferior fue posteriormente mejorada por Exoo [2003], quien mostró que la

solución es al menos 11 y proporcionó evidente experimental que sugería que era

al menos 12. Con esto, la estimación más conocida para la solución N* es 11

≤ N* ≤ G, donde G es el número de Graham.

Definición del número de Graham[editar]

Mediante la notación flecha de Knuth, el número de Graham, G, tal como se define

en el artículo de Gardner en Scientific American, equivale a:

donde el número de flechas en cada fila, empezando por la fila superior, viene

especificado por el valor de la fila inmediatamente inferior, es decir,

donde un superíndice en una flecha superior indica cuántas flechas hay. En

otras palabras, G se calcula a través de 64 pasos: el primer paso consiste

en calcular g1 con cuatro flechas entre los treses; el segundo paso consiste

en calcular g2 con g1 flechas entre los treses, el tercer paso consiste en

calcular g3 con g2 flechas entre los treses, y así sucesivamente hasta

calcular finalmente G = g64, que tiene g63 flechas entre los treses.

Equivalentemente,

donde un superíndice en la f indica la iteración de la función. La

función f es un caso especial de la familia de

funciones hiper(),  , y también se puede

expresar mediante la notación de flechas encadenadas de

Conway como  . Esta última notación establece

las siguientes cotas para G:

Magnitud del número de Graham[editar]

Con el fin de hacer notar la dificultad de comprender la enorme

magnitud del número de Graham, puede ser útil expresar (mediante la

mera exponenciación) únicamente el primer término (g1) de la sucesión

rápidamente creciente de 64 términos. Primero, expresemos el número

mediante la tetración ( ):

donde el número de treses en la expresión de la derecha es

Ahora cada tetración ( ) se reduce a una «torre» de

exponenciaciones ( ) según la definición

Por tanto,

, únicamente empleando «torres de exponentes», se

convierte en

y donde el número de treses en cada torre,

empezando por la torre situada más a la izquierda,

viene especificado por el valor de la torre situada

inmediatamente a su derecha. Expandiendo

verticalmente, esto se convierte en

La magnitud de este primer término, g1, es tan

grande que prácticamente escapa a la

comprensión humana. Incluso el número de

torres presentes en esta fórmula para g1 es

mucho mayor que el número de volúmenes de

Planck en los que se podría dividir el universo

observable. Y cabe subrayar que, después de

este término, quedan otros 63 más en esta

sucesión rápidamente creciente antes de llegar al

número de Graham, G = g64.

Últimas cifras del número de Graham[editar]

El número de Graham es una «torre de

exponentes» de la forma 3 n (con un valor muy

grande de n), por lo que sus últimas cifras en

base decimal deben satisfacer ciertas

propiedades comunes a cualquier torre de este

tipo. Una de estas propiedades es que todas las

torres de este tipo de altura mayor que d

presentan la misma sucesión de d cifras

decimales situadas en los últimos lugares. Este es

un caso especial de una propiedad más general:

las d últimas cifras decimales de todas las torres

de este tipo de altura mayor que d+2

son independientes del "3" situado en la parte

superior de la torre, es decir, el 3 situado arriba

del todo se puede cambiar por cualquier otro

entero no negativo sin afectar las d últimas cifras

decimales.

La siguiente tabla ilustra, para unos pocos valores

de d, cómo ocurre esto. Para una altura dada de

la torre y un número de cifras d, no se presenta el

conjunto entero de números naturales de dcifras

(de los que hay 10d, contando los que tienen

ceros iniciales), sino que se presenta un

subconjunto reducido de valores que se repite

cíclicamente. La longitud del ciclo y algunos de

sus valores (entre paréntesis) se muestran en

cada una de las celdas de la tabla:

Número de valores posibles de 3 3 ...3

x cuando se ignoran todas las cifras menos

las d últimas

Nú

mer

o

de

cifr

as

(d)

3 x 3 3 x 3 3 3 x

3 3

3

3 x

3

3

3

3

3

x

14

(1,3,9,7)

2

(3,7)

1

(7)

1

(7)

1

(7)

2 20 4 2 1 1

(01,03,...

,87,...,67)

(03,27,83

,87)(27,87) (87)

(

87

)

3

100

(001,003,...

,387,...,667)

20

(003,027,..

.387,...,587

)

4

(027,987,

227,387)

2

(987

,387

)

1

(

38

7)

Las d cifras situadas en los últimos lugares que

son comunes a todas las torres suficientemente

altas' de treses están en negritas, y se pueden

verificar desarrollando la torre a medida que

aumenta su altura. Para todo número fijo de

cifras d (representado en las filas de la tabla), el

número de valores posibles para 3 3 ...3 x mod

10d, cuando x cubre los enteros no negativos,

decrece progresivamente a medida que aumenta

la altura, hasta reducirse a un solo valor (en las

celdas con fondo azul) cuando la altura es mayor

que d+2.

Se puede describir un algoritmo simple2 para

calcular estas últimas cifras de esta manera: sea x

= 3, luego itérese d veces la asignación x =

3x mod 10d. El último valor asignado a x (como

número en base 10) está compuesto por

las d últimas cifras decimales de 3 n, para

todo n > d. (Si el último valor de x sólo tiene d-1

cifras, basta con añadir un 0 a la izquierda.)

Siguiendo este algoritmo, las cien últimas cifras

del número de Graham (o de cualquier torre con

más de cien treses) son:

...9404248265018193851562535 7963996189939679054966380 0322234872396701848518643 9059104575627262464195387.

Temas relacionados[editar]

Función de Ackermann

Tetración

Gúgol

Referencias[editar]

1. ↑  En inglés en el original: In an unpublished

proof, Graham has recently established ... a

bound so vast that it holds the record for the

largest number ever used in a serious

mathematical proof.

2. ↑  The Math Forum @ Drexel ("Last Eight Digits

of Z")

Bibliografía[editar]

Graham, R. L.; Rothschild, B. L. (1971).

«Ramsey's Theorem for n-Parameter

Sets». Transactions of the American

Mathematical Society 159:  pp. 257–

292. doi:10.2307/1996010.

Gardner, Martin (November 1977).

«Mathematical Games». Scientific

American 237:  pp. 18–28.; reprinted (revised

2001) in the following book:

Gardner, Martin  (2001). The Colossal Book of

Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and

Problems. New York, NY:

Norton. ISBN 0393020231.

Gardner, Martin  (1989). Penrose Tiles to

Trapdoor Ciphers. Washington, D.C.:

Mathematical Association of America. ISBN 0-

88385-521-6.

Exoo, Geoffrey (2003). «A Euclidean Ramsey

Problem». Discrete Computational

Geometry 29:  pp. 223–227. doi:10.1007/s00454-

002-0780-5.

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